operaciones sistemas numéricos
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SISTEMAS NUMÉRICOS
Es una serie de elementos que se utilizan para representar una
cadena de caracteres (numéricos).
Un sistema numérico son un conjunto de símbolos y reglas que se
utilizan para representar datos numéricos o cantidades. Se
caracterizan por su base que indican el número de símbolos distinto
que utiliza y además es el coeficiente que determina cual es el valor
de cada símbolo dependiendo de la posición que ocupe. Estas
cantidades se caracterizan por tener dígitos enteros y fraccionarios.
Si (aj) indica cualquier dígito de la cifra, b la base del sistema de
numeración y además de esto la cantidad de dígitos enteros y
fraccionarios son n y k respectivamente, entonces el número
representado en cualquier base se puede expresar de la siguiente
forma:
Nb = [an-1.an-2.an-3..........a3.a2.a1.a0, a-1.a-2.a-3 .......a-k] b
Donde: j = {n-1, n-2,.........2, 1, 0,-1, -2,......, -k} y n + k indica la
cantidad de dígitos de la cifra.
Características
Todo sistema numérico debe tener unos símbolos
Todo sistema numérico debe tener una base
Ejemplo
- Decimal - Binario - Octal - Hexadecimal
DECIMAL: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Símbolos base 10.
BINARIO: 0,1 Símbolos base 2.
OCTAL: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Símbolos base 8.
HEXADECIMAL: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C ,D ,E, F Símbolos
base16.
CONVERSIONES
Decimal a Binario: se hace divisiones sucesivas por dos.
Ejemplo:
45 ÷ 2 = 101101
DECIMAL BINARIO OCTAL HEXADECIMAL
0 0000 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
17 10001 21 11
18 10010 22 12
19 10011 23 13
20 10100 24 14
Aquí podemos ver las potencias que son las siguientes:
20 = 1
21 = 10
22 = 100
23 = 1000
24 = 10000
25 = 100000
26 = 1000000
27 = 10000000
28 = 100000000
29 = 1000000000
210 = 10000000000
211 = 100000000000
212 = 1000000000000
213 = 10000000000000
214 = 100000000000000
Hechos de la Suma
Aquí miraremos como son las operaciones de la suma
0+0 = 0
1+0 = 1
0+1 = 1
1+1 = 0 y llevo 1
1+1 = 0 y llevo 1
1+1+1 = 1 y llevo 1
1+1+1+1 = 0 llevo 2 unos
Ejemplo:
Pasar 96 a binario
96 = 64 + 32
1000000 = 64 100000 = 321100000 = 96
Suma
110111 11111 11010 + 1111110001111
Resta
El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema
decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal
para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los
términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo
y diferencia.
Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes
0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 - 1 = no cabe o se pide prestado al próximo.
La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando
una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1,
lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada
debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente.
Ejemplo
1001101 - 10111 110110
Restamos 17 - 10 = 7 (2=345) Restamos 217 - 171 = 46
(3=690)
10001 11011001 -01010 -10101011 ———— —————— 00111 00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento, es fácil confundirse.
Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar
mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del
arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer
errores hay varias soluciones:
Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos
cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:
100110011101 1001 1001 1101 -010101110010 -0101 -0111 -0010 ————————— = ————— ————— ————— 010000101011 0100 0010 1011
Multiplicación
El algoritmo del producto en binario es igual que en números
decimales; aunque se lleva a cabo con más sencillez, ya que el 0
multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro
del producto.
Ejemplo
Multipliquemos 10110 por 1001
10110 * 1001 ————————— 10110 00000 00000 10110 ————————— 11000110
División
La división en binario es similar a la de decimal, la única diferencia es
que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, estas deben
ser realizadas en binario.
Ejemplo