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OPERADORES TOPOLOGICOS Y RETICULOS

Katherinne Rocıo Paez Canon

Trabajo de Grado

Director:

Carlos Orlando Ochoa Castillo

universidad distrital francisco jose de caldas

facultad de ciencias y educacion

proyecto curricular de matematicas

2016

OPERADORES TOPOLOGICOS Y RETICULOS

Optando por el tıtulo de matematica

Katherinne Rocıo Paez Canon

universidad distrital francisco jose de caldas

facultad de ciencias y educacion

proyecto curricular de matematicas

2016

Agradecimientos

Quiero agradecer a todos los profesores que ayudaron en mi formacion academica en

el transcurso de la carrera, en especial a mi director Carlos Orlando Ochoa bajo cuya

supervision escogı este tema y al profesor Carlos Andres Giraldo por motivarme a

estudiar Topologia.

Gracias a todos mis companeros y amigos por las conversaciones que tuvimos tanto

personales como de matematicas de las cuales he sacado mucho provecho, aprecio

mucho sus ganas de ensenarme algunas cosas de la vida.

Y aun mas importante, le doy gracias a mi madre, a mi padre y a mi pareja por ser

mis consejeros en los momentos mas difıciles de temor y duda, en cuyas palabras de

aliento y amor encontre las fuerzas para seguir adelante a lo largo de los anos.

3

Indice general

1. Introduccion 6

1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Preliminares 10

2.1. Conjuntos Ordenados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Retıculos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3. Funciones adjuntas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4. Topologıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Constructos 23

4. Operadores Topologicos 28

4.1. Funcion de interior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2. Funcion de adherencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3. Operadores de Kuratowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5. Algebras booleanas 37

6. Conclusiones 49

Bibliografıa 50

4

Indice de figuras

4.1. Conjunto Ordenado O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2. Operadores de Kuratowski aplicados al conjunto A. . . . . . . . . . . 36

5.1. Subalgebra de Boole generada por {i, c}. . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2. Subalgebra de Boole generada por {a, c}. . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3. Algebra de Boole generada por {i, a, c}. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4. Operadores topologicos aplicados al conjunto A. . . . . . . . . . . . . 48

5

Capıtulo 1

Introduccion

Una caracterıstica de las matematicas es la conexion que tienen diferentes ramas, por

ejemplo, en topologıa la coleccion de los conjuntos abiertos de un espacio topologico

forma un retıculo completo, en algebra todos los retıculos son estructuras algebraicas

y se tienen funciones tales que preservan esta estructura, esta clase de objetos y

morfismos forman una Categorıa concreta, esto vincula de cierto modo la topologıa

con el algebra.

Este trabajo pretende mostrar una conexion mas entre algebra y topologıa, tomando

como base fundamental la teorıa de retıculos y los operadores de Kuratowski, ve-

rificando que los operadores de interior, adherencia y complemento denotados por

{i, a, c} pueden generar un algebra de Boole de 16 elementos.

En principio se revisan todas las nociones esenciales sobre estructuras ordenadas,

donde es muy importante saber la correspondencia que existe entre dos conjuntos

ordenados para esto es necesario el concepto de par adjunto que consiste en un par

de funciones adjuntas que preservan el orden y brindan informacion acerca de estos

conjuntos.

Las funciones adjuntas a la funcion de inclusion permiten caracterizar la coleccion de

abiertos y cerrados, como subobjetos adjuntos y adjutanbles del retıculo (P(X),⊆)

en el constructo de los retıculos acotados Ret•, de acuerdo a esto en el cuarto capıtulo

resultan caracterizadas las funciones de interior como las funciones cuya adjunta es

6

Capıtulo 1. Introduccion 7

la funcion de inclusion y las funciones de adherencia como las funciones adjuntas de

la inclusion.

Uno de los primeros textos de K. Kuratowski [9] define las propiedades que debe cum-

plir un operador de adherencia o clausura y ademas plantea que para un subconjunto

M de un espacio X pueden construirse, a lo mas, catorce conjuntos diferentes de M

al componer el complemento y la adherencia del conjunto varias veces, en el cuarto

capıtulo se define lo que son los operadores topologicos de adherencia e interior, y

por ultimo en le quinto capıtulo se presenta otra perspectiva del problema de Ku-

ratowski, mirando a la adherencia y el interior como operadores tales que pueden

generan nuevos operadores topologicos dadas las operaciones Booleanas de union,

interseccion y complemento.


1.1. Planteamiento del problema

En el ano 1920, Kazimierz Kuratowski [9] afirma que a partir de un subconjunto de

un espacio topologico se obtienen a lo sumo 14 distintos conjuntos resultantes de la

aplicacion del complemento y la adherencia, esta idea fue extendida al concepto de

operadores topologicos tal como aparece en [7]. Es comun hallar en todo libro de

topologıa los operadores de adherencia o clausura, interior, frontera, borde, coborde

y exterior; en este trabajo se pretende obtener todos los operadores que se forman a

partir de la union, interseccion y complemento de los operadores interior y adheren-

cia, aquellos operadores que generen una topologıa reciben el nombre de operadores

topologicos.

Es ası que se atiende a la pregunta,

¿Cuales son los operadores topologicos generados por los operadores de interior i,

adherencia a y complemento c, y que estructura subyace en ellos?

1.2. Justificacion

En el curso de topologıa general se estudian los textos de James Munkres [10], Wi-

lliam Pervin [11], Stephen Willard [16], John Kelley [8] entre otros, en estos libros

solo se presentan los conceptos topologicos de adherencia, interior, borde y frontera

por ser los mas interesantes.

De acuerdo con el artıculo de J. Gardner y M.Jackson [7] estos conceptos topologicos

pueden ser considerados como operadores, ademas en relacion con los 14 conjuntos de

K. Kuratowski se demuestra que existen 14 operadores distintos al componer varias

veces los operadores de complemento y adherencia, teniendo en cuenta esto, si defi-

nimos dos operaciones ademas de la composicion es posible generar otros operadores

topologicos. Pense que esto motiva una busqueda y una precision.

Me propongo estudiar estos operadores dada la perspectiva de la teorıa de retıculo.


1.3. Objetivos

Objetivos generales

1. Determinar y analizar las propiedades de los operadores topologicos generados

a partir de {i, a, c}.

Objetivos especıficos

1. Estudiar los operadores de adherencia e interior desde la perspectiva de las

funciones adjuntas.

2. Evocar y considerar los operadores topologicos estudiados en un curso usual

de topologıa general.

3. Determinar las propiedades y relaciones de los operadores topologicos.

1.4. Metodologıa

La metodologıa que se va a implementar es indagar de diferentes fuentes, con el

proposito de verificar lo desarrollado en el trabajo [14] del profesor Manuel Suarez el

cual es la base de mi tesis sobre operadores topologicos y su relacion con las algebras

booleanas. Ademas, se tendran en cuenta las siguientes actividades para cumplir con

los objetivos propuestos:

1. Consultar las fuentes primarias del libro para corroborar informacion y definir

mas claramente lo que este necesita e indagar otras fuentes que permitan afinar

la tematica.

2. Analizar la informacion adquirida, y reconstruir la prueba de los teoremas

pertinentes.

3. Dar ejemplos para entender mejor la tematica presentada.

Capıtulo 2

Preliminares

En este capıtulo se definen algunos conceptos basicos sobre conjuntos ordenados,

retıculos, algebras booleanas y las funciones que preservan su estructura. En la sec-

cion 2.3. se establece el significado de las funciones adjuntas, las cuales son una gran

herramienta para determinar ciertos operadores topologicos. Algunos conceptos to-

pologicos se presenta con la intencion de dar claridad a los conceptos desarrollados

en los siguientes capıtulos.

2.1. Conjuntos Ordenados.

Un conjunto parcialmente ordenado es un par (X,≤), X un conjunto no vacıo y ≤es una relacion binaria sobre X que verifica:

1. (Reflexiva) (Reflexiva) x ≤ x , para todo x ∈ X,

2. (Antisimetrica) Si x ≤ y e y ≤ x entonces x = y, para todo x, y ∈ X,

3. (Transitiva) Si x ≤ y e y ≤ z entonces x ≤ z, para todo x, y, z ∈ X.

Se dice que ≤ es una relacion de orden. Si ademas ≤ satisface x ≤ y o y ≤ x, para

todo x, y ∈ X es una relacion de orden total y (X,≤) es un conjunto totalmente

ordenado.

En particular para cada subconjunto Y de X, Y hereda el orden inducido por X, es

decir, para todo x, y ∈ Y se tiene que x ≤Y y si x ≤ y vistos como elementos de X,

dando a lugar a un nuevo conjunto ordenado que se denotara por (Y,≤).

10

Capıtulo 2. Preliminares 11

Ejemplo 2.1.1. Dado un conjunto X, se denota por P(X) a la coleccion de todos los

subconjuntos de X, sea ⊆ la relacion de inclusion entonces (P(X),⊆) es un conjunto

parcialmente ordenado.

Ejemplo 2.1.2. Sea F(P(X),P(X)) el conjunto de todos las funciones de P(X) en

sı mismo, con la relacion de orden definida por f ≤ g si y solo si f(E) ⊆ g(E) para

todo E ∈ P(X) forman un conjunto parcialmente ordenado.

Definicion 2.1.1. Sea (X,≤) un conjunto parcialmente ordenado y Y ⊆ X

1. Un elemento x ∈ X se dice es cota superior de Y si y ≤ x para todo y ∈ Y .

De manera dual, un elemento x ∈ X se dice es cota inferior de Y si x ≤ y para

todo y ∈ Y .

2. Un elemento x ∈ X se dice es supremo de Y si es la menor de las cotas

superiores de Y . De manera dual, un elemento x ∈ X se dice es ınfimo de Y si

es la mayor de las cotas inferiores de Y .

Definicion 2.1.2. Sea (X,≤) un conjunto parcialmente ordenado y Y ⊆ X, un

elemento x es maximo de Y , si x ∈ Y y es una cota superior de Y . Un elemento x

es mınimo del conjunto Y , si x ∈ Y y es una cota inferior de Y .

Cabe resaltar que no todo subconjunto de un conjunto ordenado tiene maximo y

mınimo, y si existen, estos coinciden con el supremo e ınfimo del conjunto.

Definicion 2.1.3. Sean (X,≤) y (Y,≤) dos conjuntos parcialmente ordenados. Una

funcion f : X −→ Y se dice que preserva el orden o es un morfismo de conjuntos

ordenados si para cada par de elementos x, x′

de X se tiene que:

x ≤ x′

implica f(x) ≤ f(x′).

Segun la definicion anterior es claro que toda funcion que preserva el orden es una

funcion creciente.

Ejemplo 2.1.3. Si Y ⊆ X, la funcion de inclusion ι : Y −→ X tal que ι(y) = y es

un morfismo de conjuntos ordenados donde Y tiene el orden inducido por X.

Ejemplo 2.1.4. SiX es un conjunto no vacıo y A ⊆ X entonces fA : P(X) −→ P(X)

y hA : P(X) −→ P(X) definidas ası fA(M) = M∩A y hA(M) = M∪A son morfismos

de conjuntos ordenados.


2.2. Retıculos.

Definicion 2.2.1. Un retıculo es un conjunto parcialmente ordenado (X,≤) tal que

para todo par de elementos x, y de X, el conjunto {x, y} tiene un supremo x ∨ y y

un ınfimo x ∧ y.

Ası quedan definidas dos operaciones binarias ∨ y ∧, de la siguiente forma,

x ∨ y = sup{x, y},x ∧ y = inf{x, y}.

De acuerdo a la definicion de anterior, en un retıculo para cada par de elementos x, y

existen x∨y y x∧y , por induccion matematica se sigue que todo subconjunto finito

{x1, x2, . . . , xn} no vacıo tiene supremo x1 ∨ x2 ∨ . . .∨ xn e ınfimo x1 ∧ x2 ∧ . . .∧ xn.

En ocasiones se tiene la existencia del extremo superior y el extremo inferior para

un subconjunto A de X, cuando esto sucede se denotan como supA e ınf A respec-

tivamente. Si ademas supA e ınf A existen para todo subconjunto no vacıo A de X

se dice que el retıculo (X,≤) es completo.

Definicion 2.2.2. Un subretıculo de un retıculo (X,≤) es un subconjunto Y de X,

tal que para cada y1 , y2 en Y se tiene que y1 ∨ y2 ∈ Y y y1 ∧ y2 ∈ Y .

La siguiente proposicion presenta las propiedades algebraicas que tienen las opera-

ciones ∧ y ∨, su demostracion puede verse en [3, pag. 8].

Proposicion 2.2.1. Sea (X,≤) un conjunto parcialmente ordenado, las operacio-

nes ∧ y ∨ satisfacen las siguientes leyes, cada vez que las expresiones mencionadas

existan:

R1 (Idempotencia) x ∨ x = x, x ∧ x = x,

R2 (Conmutativa) x ∨ y = y ∨ x, x ∧ y = y ∧ x,

R3 (Asociativa) x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z, x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z,

R4 (Absorcion) x ∧ (x ∨ y) = x, x ∨ (x ∧ y) = x.

Ademas, x ≤ y es equivalente a cada una de las condiciones


x ∨ y = y y x ∧ y = x.

En este contexto, un retıculo (X,∨,∧) es una estructura algebraica donde X es un

conjunto con dos operaciones binarias ∨ y ∧ tal que satisfacen las propiedades de

(R1) a (R4), ademas es posible recuperar el orden sobre X ya que x ∨ y = y es

equivalente a x ≤ y.

Definicion 2.2.3. Un retıculo (X,≤) se dice que es distributivo, si las operaciones

∨ y ∧ satisfacen

R5 (Distributiva) x∨ (y∧ z) = (x∨ y)∧ (x∨ z), x∧ (y∨ z) = (x∧ y)∨ (x∧ z),

para todo x, y, z en X.

Un retıculo (X,≤) es acotado, si existe dos elementos > y ⊥ en X tales que para todo

x ∈ X se cumple ⊥ ≤ x ≤ >, los elementos > y ⊥ se llaman las cotas universales

de X. En consecuencia, para todo elemento x de X se cumplen las identidades,

R6 (Identidades) x ∨ > = >, x ∧ ⊥ = ⊥.

Ahora bien, para un retıculo (X,≤) con cotas universales > y ⊥ se tiene que un

subretıculo acotado, es un subretıculo (Y,≤) tal que > y ⊥ estan en Y .

Definicion 2.2.4. Sea (X,≤) un retıculo acotado. Para cualesquier x, y en X se

dice que y es un complemento de x si

R7 (Complemento) x ∧ y = ⊥, x ∨ y = >.

Teorema 2.2.1. En un retıculo distributivo y acotado, el complemento de un ele-

mento x si existe es unico.

Demostracion. Sea (X,≤) un retıculo distributivo y acotado, supongamos que x′

y

x′′

son complementos de x entonces

x′ ∨ x = > y x

′′ ∨ x = >,

x′ ∧ x = ⊥ y x

′′ ∧ x = ⊥.

De aquı resulta,

x′ ∨ x = x

′′ ∨ x y x′ ∧ x = x

′′ ∧ x.


Por las propiedades (R2), (R4) y (R5)

x′= x

′ ∨ (x′ ∧ x) = x

′ ∨ (x′′ ∧ x) = (x

′ ∨ x′′) ∧ (x

′ ∨ x)

= (x′ ∨ x′′

) ∧ (x′′ ∨ x) = x

′′ ∨ (x′ ∧ x) = x

′′ ∨ (x′′ ∧ x) = x

′′.

Por lo tanto, x′= x

′′y x tiene un unico complemento. [3, pag. 12]

Definicion 2.2.5. Un retıculo complementado, es un retıculo acotado en el cual

todo elemento x tiene al menos un complemento x′.

Como consecuencia del Teorema 2.2.1 para un retıculo (X,≤) que es acotado, dis-

tributivo y complementado, todo elemento x tiene un unico complemento x′

(vease

en [3, pag. 12]).

Definicion 2.2.6. Un algebra de Boole B es un retıculo acotado, distributivo y

complementado.

El algebra de Boole o algebra Booleana B=(X,∨,∧, ′) es una estructura que cons-

ta de un conjunto X no vacıo en el cual se define una operacion unaria ′ y dos

operaciones binarias ∨ y ∧ tales que satisfacen las identidades (R1)-(R7).

Ejemplo 2.2.1. Sea X un conjunto, para P(X) las operaciones ∧ y ∨ son la union

∪ e interseccion ∩ de conjuntos, estas operaciones cumplen con (R1)-(R7) donde el

complemento de un elemento A en P(X) es el conjunto Ac = {x ∈ X : x /∈ A}, las

cotas universales de P(X) son X y ∅. Por lo tanto (P(X),∪,∩,c) es un algebra de

Boole.

Ejemplo 2.2.2. Dado un conjunto X no vacıo, en el conjunto F(P(X),P(X)) se

define el supremo y el ınfimo, como sigue:

(f ∨ g)(M) = f(M) ∪ g(M),

(f ∧ g)(M) = f(M) ∩ g(M),

para todo M ∈ P(X). Sea c ∈ F(P(X),P(X)) una funcion que a todo subconjunto

conjunto M le asigna su complemento M c, denominada funcion complemento. Ası,

el complemento de un elemento f es la composicion de c con f denotado por cf , esto

quiere decir, cf(M) = (f(M))c para todo M ∈ P(X).

Las cotas universales son las funciones:


C∅(M) = ∅, es la funcion constante de valor ∅,

CX(M) = X, es la funcion constante de valor X.

Como las operaciones ∪ y ∩ cumplen con las propiedades (R1)-(R7) de igual manera

lo hacen ∨ y ∧, entonces (F(P(X),P(X)),∨,∧, c) es un algebra de Boole.

Partiendo de que cualquier algebra de Boole satisface las siete leyes anteriores, se

pueden deducir y demostrar las leyes de De Morgan, la ley de involucion y otras mas

que se presentan en [3, pag. 17].

Teorema 2.2.2. Sea B un algebra de Boole, entonces para todo x, y ∈ B

1. x ∨ ⊥ = x, x ∧ > = x,

2. (x′)′= x,

3. (x ∨ y)′= x

′ ∧ y′, (x ∧ y)

′= x

′ ∨ y′.

Todo subconjunto U de una algebra Booleana B, tal que bajo las operaciones de B

es en sı mismo un algebra Booleana, es llamado una subalgebra de Boole [3, pag.

18].

Definicion 2.2.7. Un subconjunto no vacıo U de un algebra Booleana B es una

subalgebra de Boole siempre que las siguientes condiciones se satisfacen:

1. Si a, b ∈ U, entonces a ∨ b ∈ U,

2. Si a, b ∈ U, entonces a ∧ b ∈ U,

3. Si a ∈ U, entonces a′ ∈ U.

Ejemplo 2.2.3. Toda algebra de boole B tiene como subalgebra el subconjunto

{>,⊥} que consiste en las cotas universales de B, puesto que > es el complemento

de ⊥ y viceversa, ademas al aplicar las operaciones ∨ , ∧ a los elementos > y ⊥resulta:

> ∨⊥ = >, > ∧⊥ = ⊥.


Ejemplo 2.2.4. Sea A un subconjunto no va’cio de X, entonces {∅, A,Ac, X} es

una subalgebra del algebra Booleana (P(X),∪,∩,c) debido a que es cerrada bajo las

operaciones de union, interseccion y complemento.

Definicion 2.2.8. Sean (X,≤) y (Y,≤) dos retıculos. Un morfismo de retıculos es

una funcion de conjuntos ordenados f : X −→ Y tal que para cada par de elementos

x e y de X, se satisface,

f(x ∨ y) = f(x) ∨ f(y),

f(x ∧ y) = f(x) ∧ f(y).

Note que todo morfismo de retıculos entreX e Y resulta ser un morfismo de conjuntos

ordenados, pero la recıproca no siempre se tiene.

2.3. Funciones adjuntas.

El concepto de par adjunto da a lugar a dos funciones que son adjuntas sobre dos

conjuntos parcialmente ordenados distintos, tales que preservan el orden. El par ad-

junto tambien es conocido por el nombre de conexion de Galois gracias al matematico

frances Evariste Galois, esta terminologıa provino de la correspondencia que existe

entre las extensiones de Galois de un cuerpo y los subgrupos del grupo de Galois de

dicha extension.

Definicion 2.3.1. Dados (X,≤), (Y,≤) dos conjuntos ordenados y un par de fun-

ciones f : X −→ Y , g : Y −→ X se dice que 〈f, g〉 es un par adjunto si para todo

x ∈ X y todo y ∈ Y , se cumple que:

g(y) ≤ x si y solo si y ≤ f(x).

En tal caso, se dice que g es adjunta de f o que f admite adjunta, la cual es g.

Sin embargo, G. Birkhoff [3, pag. 124] establece una definicion alternativa de es-

te concepto, la equivalencia de estas dos definiciones se demuestra en el siguiente

teorema.

Proposicion 2.3.1. Dados (X,≤), (Y,≤) dos conjuntos ordenados y un par de

funciones f : X −→ Y , g : Y −→ X se dice que 〈f, g〉 es un par adjunto si y solo si

se tiene:


1. Para todo x ∈ X, g(f(x)) ≤ x,

2. Para todo y ∈ Y , y ≤ f(g(y)),

3. Las funciones f y g son morfismos de conjuntos ordenados.

Demostracion. Suponga que 〈f, g〉 es un par adjunto, para todo x ∈ X, f(x) ≤ f(x)

como g es adjunta se tiene que g(f(x)) ≤ x. Por otra parte, para todo y ∈ Y ,

g(y) ≤ g(y) como f admite adjunta entonces y ≤ f(g(y)).

Ahora si x1 ≤ x2 para x1 y x2 en X, por el punto 1. g(f(x1)) ≤ x1 ≤ x2 lo cual

implica f(x1) ≤ f(x2) ası f es un morfismo. Ademas si y1 ≤ y2 para y1 y y2 en Y ,

por el punto 2. y1 ≤ y2 ≤ f(g(y2)) lo que implica g(y1) ≤ g(y2). Por tanto f y g son

morfismos de conjuntos ordenados.

Por ultimo, si se tiene que f y g satisfacen las tres condiciones entonces 〈f, g〉 es un

par adjunto. En efecto, si g(y) ≤ x por 2. y 3. se tiene que y ≤ f(g(y)) ≤ f(x),

ası y ≤ f(x). Ahora si y ≤ f(x), por 1. y 3. g(y) ≤ g(f(x)) ≤ x, luego g(y) ≤ x.

Al tener una funcion entre conjuntos ordenados esta admite adjunta o es adjunta de

a lo sumo una funcion, lo que indica que la adjuncion es unica.

Teorema 2.3.1. Si 〈f, g〉 y 〈f, h〉 son pares adjuntos entonces g = h. En consecuen-

cia, si 〈f, g〉 y 〈l, g〉 son pares adjuntos entonces f = l.

Demostracion. Suponga que 〈f, g〉 y 〈f, h〉 son pares adjuntos, como g es adjunta

de f , para todo y ∈ Y se tiene que y ≤ f(g(y)) y por la adjuncion del par 〈f, h〉,y ≤ f(g(y)) es equivalente a h(y) ≤ g(y). Por otra parte, como h es adjunta de f

implica que y ≤ f(h(y)) y por la adjuncion de 〈f, g〉 esto es equivalente a g(y) ≤ h(y).

De estas dos desigualdades se deduce que h(y) = g(y) para todo y en Y .

Ahora suponga que 〈f, g〉 y 〈l, g〉 son pares adjuntos, f admite adjunta a g ası para

todo x ∈ X se tiene que g(f(x)) ≤ x, por la adjuncion del par 〈l, g〉, f(x) ≤ l(x).

Del igual forma, l admite adjunta a g lo que implica l(f(x)) ≤ x es equivalente

a l(x) ≤ f(x) por la adjuncion de 〈f, g〉. De estas dos desigualdades se obtiene la

igualdad f(x) = l(x) para todo x en X. [12, pag. 11]

Otra propiedad que se cumple es que a partir de una de las adjuntas se puede

recuperar la otra, esto quiere decir que existe una dependencia reciproca entre las

funciones adjuntas.


Teorema 2.3.2. Sean f y g morfismos de conjuntos ordenados.

1. La funcion f : X −→ Y admite adjunta si y solo si para cada y ∈ Y , el

conjunto {x ∈ X : y ≤ f(x)} tiene mınimo.

2. La funcion g : Y −→ X es adjunta si y solo si para cada x ∈ X, el conjunto

{y ∈ Y : g(y) ≤ x} tiene maximo.

Demostracion. 1. Suponga que f admite como adjunta a una funcion g entonces

{x ∈ X : y ≤ f(x)} = {x ∈ X : g(y) ≤ x}, como g(y) esta en X para todo

y ∈ Y , g(y) es el mınimo del conjunto {x ∈ X : y ≤ f(x)}.Por otro lado, si para todo y ∈ Y el conjunto {x ∈ X : y ≤ f(x)} tiene mınimo,

la funcion g : Y −→ X definida por

g(y) = mın{x ∈ X : y ≤ f(x)},

es a la cual f admite como adjunta. En efecto, si y ≤ f(x) para todo y ∈ Y y

x ∈ X entonces x ∈ {x ∈ X : y ≤ f(x)} y por definicion de mınimo g(y) ≤ x.

Ahora suponga que g(y) ≤ x entonces y ≤ f(g(y)) ya que g(y) ∈ {x ∈ X : y ≤f(x)}, como f es un morfismo se tiene que y ≤ f(g(y)) ≤ f(x). Por lo tanto,

〈f, g〉 es un par adjunto.

2. Suponga que g es adjunta de una funcion f entonces para todo x ∈ X el

conjunto {y ∈ Y : g(y) ≤ x} = {y ∈ Y : y ≤ f(x)}, como f(x) esta en Y para

todo x ∈ X, f(x) es el maximo del conjunto {y ∈ Y : g(y) ≤ x}.Por otro lado, suponga ahora que para todo x ∈ X existe el maximo del

conjunto {y ∈ Y : g(y) ≤ x} entonces g es adjunta de la funcion f : X −→ Y

definida por

f(x) = max{y ∈ Y : g(y) ≤ x}.

Veamos que g(y) ≤ x si solo si y ≤ f(x), la primera implicacion para todo

y ∈ Y y para todo x ∈ X tal que g(y) ≤ x se tiene y ∈ {y ∈ Y : g(y) ≤ x}y por definicion de maximo y ≤ f(x). De forma reciproca suponga y ≤ f(x),

como f(x) ∈ {y ∈ Y : g(y) ≤ x} entonces y ≤ f(g(y)), por g ser un morfismo

g(y) ≤ g(f(x)) ≤ x. Por lo tanto, 〈f, g〉 es un par adjunto.


Definicion 2.3.2. Sean (X,≤) y (Y,≤) dos conjuntos ordenados y f : X −→ Y

una funcion entre ellos.

1. Se dice que f conmuta con extremos superiores si para cualquier subconjunto

U de X que admita extremo superior en X, el conjunto f(U) = {f(x) : x ∈ U}admite extremo superior en Y y ademas,

sup f(U) = f(supU).

2. De manera dual, f conmuta con extremos inferiores si para cualquier subcon-

junto U de X que admita extremo inferior en X, el conjunto f(U) admite

extremo inferior en Y y ademas

ınf f(U) = f (ınf U).

La adjuncion existente entre dos funciones permite demostrar las siguientes propie-

dades las cuales pueden ser consultadas en [6], [12] y [14].

Teorema 2.3.3. Sea 〈f, g〉 un par adjunto entonces f conmuta con extremos infe-

riores y g conmuta con extremos superiores.

Demostracion. Primero se demuestra que g conmuta con extremos superiores.

Suponga que supU = y para un subconjunto U de Y . Debido a que g es un morfismo

g(y) es cota superior del conjunto g(U), como g(U) esta acotado superiormente

entonces existe el supremo sup g(U) = x y ademas cumple que x ≤ g(y). Por otra

parte, x es una cota superior del conjunto g(U) entonces para cada u ∈ U se tiene

que g(u) ≤ x, por 〈f, g〉 ser un par adjunto u ≤ f(x) para todo u de U , es decir, f(x)

es cota superior para U . En consecuencia y ≤ f(x) lo cual implica que g(y) ≤ x. Por

lo tanto g(y) = x lo cual es equivalente a g(supU) = sup g(U).

Por ultimo se demuestra que f conmuta con extremos inferiores, suponga ınf V =

x para un subconjunto V de X, como f es un morfismo de conjuntos ordenados

entonces f(x) es cota inferior del conjunto f(V ) lo que implica que existe el ınfimo del

subconjunto f(V ) denotado como ınf f(V ) = y y por definicion de ınfimo f(x) ≤ y.

Por otra lado, y es una cota inferior del conjunto f(V ) entonces para v en V , se


tiene que y ≤ f(v). De la adjuncion de f y g, g(y) ≤ v para todo v de V , es decir,

g(y) es cota inferior del conjunto V entonces g(y) ≤ x lo cual implica que y ≤ f(x).

Ası f (ınf V ) = ınf f(V ). [12, pag. 13]

Teorema 2.3.4. Sea 〈f, g〉 un par adjunto entonces f ◦ g ◦ f = f .

Demostracion. Por la Proposicion 2.3.1. para todo x ∈ X, g(f(x)) ≤ x, y como f es

un morfismo de conjuntos ordenados, f(g(f(x))) ≤ f(x). Ademas, para todo y ∈ Y ,

y ≤ f(g(y)), si se toma y = f(x) entonces f(x) ≤ f(g(f(x)). Dado que se tiene las

anteriores desigualdades para todo x ∈ X, f ◦ g ◦ f = f .

Teorema 2.3.5. Sea 〈f, g〉 un par adjunto entonces g ◦ f ◦ g = g.

La demostracion se desarrolla de forma analoga a la del Teorema 2.3.4. por medio

de la Proposicion 2.3.1.

2.4. Topologıa.

Una coleccion de subconjuntos de X que es cerrada bajo uniones arbitraria e in-

tersecciones finitas siempre contiene a X y al conjunto vacıo puesto que la union⋃{Mα : α ∈ ∅} = ∅ y la interseccion finita

⋂{Mα : α ∈ ∅} = X. Es por esto que se

da la siguiente definicion que se encuentra en [10, pag. 76].

Definicion 2.4.1. Sea X un conjunto no vacıo. Una topologıa en X es una coleccion

T de subconjuntos de X que satisface:

1. ∅ y X pertenecen a T.

2. La union de cualquier subcoleccion de T pertenece a T.

3. La interseccion de cualquier subcoleccion finita de T pertenece a T.

Los elementos de T se llaman conjuntos abiertos de X y al par (X,T) se le dice que

es un espacio topologico.

Definicion 2.4.2. En un espacio topologico (X,T) el complemento de un conjunto

abierto de X son llamados conjuntos cerrados.


De la definicion de topologıa los conjuntos abiertos cumple ciertas condiciones, es

de esperar que los conjuntos cerrados deban cumplir unas condiciones duales a las

dadas en la Definicion 2.4.1., estas se deducen facilmente por las leyes de De Morgan

y propiedades del complemento en conjuntos tal como se ve en [10, pag. 94].

Teorema 2.4.1. [16, pag. 24] Si C es la coleccion de todos los conjuntos cerrados

en un espacio topologico (X,T), entonces

1. X y ∅ esta en C.

2. La interseccion de cualquier subcoleccion de cerrados esta en C.

3. La union de cualquier subcoleccion finita de cerrados esta en C.

Para un conjunto en un espacio (X,T) el ser abierto es independiente de ser cerrado,

ası pues un conjunto puede ser abierto y cerrado, abierto y no cerrado, cerrado y no

abierto o ninguno de los dos, pero siempre es posible encontrar conjuntos cerrados

que lo contienen como X y conjuntos abiertos que esten contenidos como ∅.

Definicion 2.4.3. [16, pag. 25] Dado (X,T) un espacio topologico y M ⊂ X, la

clausura o adherencia de M en X es el conjunto

M =⋂{K ⊆ X | K es cerrado y M ⊆ K}.

Cabe senalar que M es un conjunto cerrado por ser la interseccion de conjuntos

cerrados, de hecho es el cerrado mas pequeno que contiene a M .

Definicion 2.4.4. [16, pag. 25] Dado (X,T) un espacio topologico y M ⊂ X, el

interior de M en X es el conjunto

M◦ =⋃{A ⊆ X | A es abierto y A ⊆M}.

Por la tercer propiedad de conjuntos abiertos se tiene que M◦ es abierto e incluso es

el mas grande abierto que contiene a M . Las nociones de interior y adherencia son

duales entre sı, de manera que

M◦ = (M c)c y M = ((M c)◦)c


Teorema 2.4.2. Sea (X,T) un espacio topologico y M ⊆ X entonces

(M◦)c = (M c)

Demostracion. Es claro que M◦ ⊆ M , lo que implica M c ⊆ (M◦)c, ya que M◦ es

abierto (M◦)c es un cerrado, como la adherencia es mas pequena que otro conjunto

cerrado que contenga a M c entonces M c ⊆ (M c) ⊆ (M◦)c.

En particular se tiene que M c ⊆ (M c) entonces ((M c))c ⊆ M . Como (M c) es un

conjunto cerrado su complemento ((M c))c es abierto que ademas esta contenido en

M , luego ((M c))c ⊆ M◦ y aplicando el complemento a esta inclusion se obtiene

(M◦)c ⊆ (M c).

Puesto que (M c) ⊆ (M◦)c y ((M◦)c ⊆ (M c) se concluye (M◦)c = (M c).

Otros conjuntos igual de importantes en topologıa son el exterior el cual es un con-

junto abierto, la frontera que es un conjunto cerrado, el borde y el coborde que no

necesariamente son abiertos o cerrados, todos ellos estan definidos a continuacion.

Definicion 2.4.5. [13, pag. 4] Si (X,T) es un espacio topologico y M ⊂ X, el

exterior de M en X es el conjunto

Ext(M) = (M)c

Definicion 2.4.6. [13, pag. 5] Si (X,T) es un espacio topologico y M ⊂ X, la

frontera de M en X es el conjunto

Fr(M) = M ∩M c

Definicion 2.4.7. [13, pag. 5] Si (X,T) es un espacio topologico y M ⊂ X, el borde

de M en X es el conjunto

Bd(M) = M ∩ (M◦)c

Definicion 2.4.8. [5, pag. 119] Si (X,T) es un espacio topologico y M ⊂ X, el

coborde de M en X es el conjunto

CB(M) = M ∩M c

Capıtulo 3

Constructos

En las secciones 2.1 y 2.2 se mostro que los conjuntos ordenados y retıculos tienen

una estructura definida que es la relacion de orden, ademas existen funciones que

preservan tal estructura y cumplen con dos propiedades que establece la siguiente

definicion.

Definicion 3.0.9. Un constructo S esta dado por los siguientes datos:

1. Para cada conjunto X se define una clase S[X]. Sus elementos son llamados

estructuras sobre X y los pares X = (X,α) donde X es un conjunto y α es su

estructura, son los objetos de S.

2. Para cada par de objetos X = (X,α) y Y = (Y, β), se define el conjunto

Mor(X,Y) de todos los morfismos de X en Y que preservan la estructura,

cuyos elementos se escriben como f : X −→ Y. Los conjuntos de morfismos

satisfacen:

a) Axioma de composicion, si f ∈ Mor(X,Y) y g ∈ Mor(Y,Z) entonces

g ◦ f ∈Mor(X,Z).

b) Axioma de identidad, para cada objeto X = (X,α), la funcion identidad

idX

: X −→ X es un morfismo.

En terminos de la Teorıa de categorıas, los constructos son categorıas concretas

topologicas de conjuntos estructurados, algunos ejemplos sobre constructos se pueden

encontrar en [1, pag. 22] y [2, pag. 7].

23

Capıtulo 3. Constructos 24

Ejemplo 3.0.1. Sea Pos el constructo cuyos objetos son los conjuntos parcialmente

ordenados y morfismos son los morfismos de conjuntos ordenados, este cumple con

los axiomas de composicion e identidad, sean

f : (X,≤) −→ (Y,�) y g : (Y,�) −→ (Z,v)

morfismos de conjuntos ordenados, entonces

g ◦ f : (X,≤) −→ (Z,v)

es un morfismo, pues dados x1, x2 ∈ X

x1 ≤ x2 implica f(x1) � f(x2)

y a su vez

f(x1) � f(x2) implica g(f(x1)) v g(f(x2)).

Ademas,

idX

: (X,≤) −→ (X,≤)

es un morfismo ya que x1 ≤ x2 implica x1 ≤ x2 para todo x1, x2 ∈ X.

Ejemplo 3.0.2. El constructo Ret cuyo objetos son los retıculos y los morfismos

son los morfismos de retıculos, sean

f : (X,≤) −→ (Y,�) y g : (Y,�) −→ (Z,v)

morfismos de retıculos, entonces para todo x1, x2 ∈ X

g(f(x1 ∨Xx2)) = g(f(x1) ∨

Yf(x2))

= g(f(x1)) ∨Zg(f(x2))

Ası mismo,

g(f(x1 ∧Xx2)) = g(f(x1) ∧

Yf(x2))

= g(f(x1)) ∧Zg(f(x2))

Por lo tanto, g ◦ f : (X,≤) −→ (Z,v) es un morfismo de retıculos. Ademas, la

funcion identidad idX

satisface,


idX

(x1 ∨ x2) = x1 ∨ x2 = idX

(x1) ∨ idX

(x2).

idX

(x1 ∧ x2) = x1 ∧ x2 = idX

(x1) ∧ idX

(x2).

para todo x1, x2 ∈ X, luego idX

es un morfismo de retıculos.

Ejemplo 3.0.3. El constructo Ret• cuyo objetos son los retıculos acotados y los

morfismos son los morfismos de retıculos, la demostracion no difiere del ejemplo

anterior.

Ejemplo 3.0.4. El constructo Top cuyo objetos son espacios topologicos y los

morfismos son todos las funciones continuas entre ellos, ya que la composicion de

funciones continuas es continua y para cualquier espacio topologico la identidad es

continua.

Definicion 3.0.10. Sea (X,α) un objeto de un constructo τ y sea Y un subconjunto

de X. Un objeto (Y, β) se llama un subobjeto de (X,α) si la funcion de inclusion

ι : Y −→ X satisface las siguientes condiciones:

1. ι : (Y, β) −→ (X,α) es un morfismo.

2. Para cada objeto (Z, δ) y cada funcion h de Z en Y , tal que

ι ◦ h : (Z, δ) −→ (Y, β)

es un morfismo, entonces tambien h : (Z, δ) −→ (Y, β) es un morfismo.

De acuerdo a los ejemplos dados anteriormente de constructos sus respectivos subob-

jetos son:

• Los subobjetos en el constructo Pos son todos los subconjuntos de un conjunto

ordenado.

• Los subobjetos en el constructo Ret son todos los subretıculos de un retıculo.

• Los subobjetos en el constructo Ret• son todos los subretıculos acotados.

• Los subobjetos en el constructo Top son todos los subespacios de un espacio

topologico.


Definicion 3.0.11. Sea (Y, β) un subobjeto de (X, β),

1. El objeto (Y, β) se llama un subobjeto adjuntable de (X, β) si la funcion de

inclusion ι : Y −→ X admite adjunta.

2. El objeto (Y, β) se llama un subobjeto adjunto de (X, β) si la funcion de in-

clusion ι : Y −→ X es adjunta.

3. EL objeto (Y, β) se llama un subobjeto biadjunto de (X, β) si la funcion de

inclusion ι : Y −→ X admite adjunta y es adjunta.

A continuacion se ve como estan determinados los subretıculos del retıculo (P(X),⊆)

en el constructo Ret•. Los siguientes teoremas y sus demostraciones estan basadas

en [14].

Teorema 3.0.3. Un subretıculo acotado (A,⊆) de (P(X),⊆) es una coleccion de

subconjuntos de X tal que para todo A y B en A se tiene que A ∪B, A ∩B, ∅ y X

estan en A.

Demostracion. Por la Definicion 2.2.2. de subretıculo, donde las operaciones binarias

del ∨ y ∧ son ∪ y ∩ respectivamente, se tiene que A es cerrada para uniones e

intersecciones de pares. Como (A,⊆) es acotada entonces ∅ ∈ A y X ∈ A.

Teorema 3.0.4. Si (A,⊆) es un subretıculo acotado adjunto de (P(X),⊆) entonces

A es una topologıa en X.

Demostracion. Por hipotesis (A,⊆) es un subretıculo acotado, ası la coleccion A es

cerrada bajo intersecciones finitas y ∅, X pertenecen a A.

Como (A,⊆) es un subobjeto adjunto de (P(X),⊆), por definicion existe una funcion

: P(X) −→ A para la cual la funcion de inclusion ι : A −→ P(X) es adjunta.

Veamos ahora que la union de una subcoleccion {Aα}α∈Λ esta en A. Es claro que

para todo α ∈ Λ, Aα ⊆⋃Aα, por ser un morfismo y por el punto (2) de la

Proposicion 2.3.1. se obtiene

Aα ⊆ (Aα) ⊆ (⋃

Aα

)para todo α ∈ Λ, ası se deduce

⋃Aα ⊆ (

⋃Aα).


Por otra parte, usando el punto (1) de la Proposicion 2.3.1. se tiene ι ( (⋃Aα)) =

(⋃Aα) ⊆

⋃Aα.

Dado que⋃Aα ⊆ (

⋃Aα) y (

⋃Aα) ⊆

⋃Aα entonces (

⋃Aα) =

⋃Aα. Como

(⋃Aα) ∈ A, entonces

⋃Aα ∈ A. Luego A es una topologıa en X.

Teorema 3.0.5. Si (C,⊆) es un subretıculo acotado adjuntable de (P(X),⊆) enton-

ces C es una coleccion de cerrados en X.

Demostracion. Como (C,⊆) es un subretıculo acotado, la coleccion es cerrada bajo

uniones finitas y ∅, X estan en C.

Supongamos que la inclusion ι : C −→ P(X) admite como adjunta a una funcion

: P(X) −→ C, y sea {Cα}α∈Λ una subcoleccion de C, es claro que⋂Cα ⊆ Cα para

todo α ∈ Λ, por ser un morfismo y usando el punto (1) de la Proposicion 2.3.1

(⋂

Cα

)⊆ (Cα) ⊆ Cα

para todo α ∈ Λ, luego (⋂Cα) ⊆

⋂Cα.

De nuevo por la Proposicion 2.3.1 se obtiene⋂Cα ⊆ ι((

⋂Cα)) = (

⋂Cα).

Por tanto (⋂Cα) =

⋂Cα, ası

⋂Cα ∈ C. Por el Teorema 2.4.1. C es una coleccion

de cerrados en X.

Capıtulo 4

Operadores Topologicos

El matematico polaco K. Kuratowski fue el primero en referirse a la adherencia

como un operador que cumplıa cuatro propiedades fundamentales, ası mismo es

posible considerar al interior como un operador que cumple con cuatro propiedades

e incluso este par de operadores llegan a generar una topologıa.

Definicion 4.0.12. Dado un conjunto X, un operador topologico es una aplica-

cion de P(X) en P(X) tal que satisface ciertas propiedades que permiten definir la

estructura topologica del conjunto X.

4.1. Funcion de interior.

Para un espacio topologico (X,A), la definicion de topologıa indica que (A,⊆) es

un subretıculo acotado de (P(X),⊆) e incluso se vera que (A,⊆) es un subobjeto

adjunto de (P(X),⊆) en el constructo Ret• es suficiente con demostrar que la funcion

de inclusion es adjunta.

Teorema 4.1.1. Sea (X,A) un espacio topologico entonces la funcion de inclusion

ι : A −→ P(X) es adjunta de iA : P(X) −→ A, definida por:

iA(M) = max{A ∈ A | A ⊆M},

a la funcion iA se le llama funcion de interior.

28

Capıtulo 4. Operadores Topologicos 29

Demostracion. Como A es una topologıa en X, ∅ ∈ A y ademas para cada M ∈ P(X)

se tiene que ∅ ⊆M , luego el conjunto {A ∈ A | A ⊆M} tiene al menos un elemento.

Puesto que la union de abiertos es un abierto el elemento⋃{A ∈ A | A ⊆ M}

esta en A, lo cual implica

max{A ∈ A | A ⊆M} =⋃{A ∈ A | A ⊆M},

para todo M ∈ P(X). De acuerdo con el punto 2. del Teorema 2.3.2. la funcion ι

es adjunta de iA debido a que el conjunto {A ∈ A | ι(A) = A ⊆ M} tiene maximo

para todo M ∈ P(X).

La definicion de la funcion iA resulta ser muy parecida a la definicion de interior de

un conjunto M en la topologıa A. El par adjunto que existe entre la inclusion y una

funcion de interior permite comprobar las siguientes propiedades para una funcion

de interior.

Teorema 4.1.2. Sea A una topologıa en X, una funcion de interior iA satisface:

1. Para todo M en P(X), iA(M) ⊆M ,

2. Para todo M1 y M2 en P(X), si M1 ⊆M2 implica que iA(M1) ⊆ iA(M2),

3. Para todo M en P(X), si M ∈ A se tiene que iA(M) = M ,

4. Para todo M en P(X), iA(iA(M)) = iA(M),

5. Para todo M1 y M2 en P(X), iA(M1 ∩M2) = iA(M1) ∩ iA(M2).

Demostracion. Como 〈iA, ι〉 es un par adjunto, los puntos 1., 2. y 3. se deducen de

la Proposicion 2.3.1.

Veamos que 4. se cumple, por el Teorema 2.3.4. se obtieneiA(ι(iA(M))) = iA(M)

para todo M ∈ P(X), pero ι(iA(M)) = iA(M), por tanto iA(iA(M)) = iA(M).

Ahora para el punto 5. se utiliza el Teorema 2.3.3. donde iA conmuta con extremos

inferiores, por tanto si ınf{M1,M2} = M1 ∩M2 se tiene que

iA(M1 ∩M2) = iA(M1) ∩ iA(M2).


En el constructo Ret•, para un par 〈iA, ι〉 se presentan las composiciones iA ◦ ι la

identidad con respecto a A y ι ◦ iA una funcion que por el Teorema 4.1.2. resulta ser

un operador de interior definido a continuacion.

Definicion 4.1.1. Sea X un conjunto no vacıo, una funcion i : P(X)→ P(X) es un

operador de interior si cumple las propiedades:

I1. i(X) = X,

I2. Para todo M ∈ P(X), i(M) ⊆M ,

I3. Para todo M ∈ P(X), i(i(M)) = i(M),

I4. Para todo M1,M2 ∈ P(X), i(M1 ∩M2) = i(M1) ∩ i(M2).

La condicion (I4) implica que si M1 ⊆M2 entonces i(M1) ⊆ i(M2).

Teorema 4.1.3. Sea X un conjunto e i : P(X) → P(X) un operador de interior

entonces la coleccion Ti = {M ⊆ X | i(M) = M} es una topologıa en X.

Demostracion. X ∈ Ti ya que i(X) = X. ∅ ∈ Ti puesto que por (I2), i(∅) ⊆ ∅.

Sea {Mα}α∈Λ un subcoleccion de subconjuntos de Ti, entonces

Mα = i(Mα)

= i(Mα ∩

⋃Mα

)= i(Mα) ∩ i

(⋃Mα

)= Mα ∩ i

(⋃Mα

)Lo cual indica que Mα ⊆ i(

⋃Mα) para todo α ∈ Λ, luego⋃

Mα ⊆ i(⋃

Mα

)Y por (I2) se obtiene la igualdad de estos conjuntos i (

⋃Mα) =

⋃Mα, por tanto⋃

αMα pertenece a Ti. Para cualesquiera M1,M2 ∈ Ti de (I3)

i(M1 ∩M2) = i(M1) ∩ i(M2) = M1 ∩M2.


Ası, M1 ∩M2 ∈ Ti. Luego Ti es una topologıa en X [5, pag. 98].

Una de la principales consecuencias que establece el teorema anterior es que para

todo operador interior i existe una topologıa asociada a el y por tanto existe una

funcion de interior iT de modo que i = ι ◦ iT, esto quiere decir que todo operador de

interior es un operador topologico.

4.2. Funcion de adherencia.

Sea C la respectiva coleccion de cerrados de un espacio topologico (X,A), por el

Teorema 2.4.1. (C,⊆) es un subretıculo acotado de (P(X),⊆), mas aun (C,⊆) es un

subobjeto adjuntable de (P(X),⊆) en el constructo Ret• basta con demostrar que

la funcion de inclusion admite adjunta.

Teorema 4.2.1. Sea (X,A) un espacio topologico y C la coleccion de cerrados en X,

entonces la funcion de inclusion ι : C −→ P(X) admite como adjunta a la funcion

aC

: P(X) −→ C, definida por:

aC(M) = mın{C ∈ C | M ⊆ C},

a la funcion aC

se le llama funcion de adherencia.

Demostracion. Para todo M ∈ P(X), M ⊆ X y como C es una coleccion de cerrados

X ∈ C, por tanto el conjunto {C ∈ C | M ⊆ C} tiene al menos un elemento.

Puesto que la interseccion arbitraria de cerrados es un cerrado,⋂{C ∈ C | M ⊆ C}

esta en C. Ası, el mınimo existe y es de la forma

mın{C ∈ C | M ⊆ C} =⋂{C ∈ C | M ⊆ C},

Como existe el mınimo del conjunto {C ∈ C | M ⊆ C = ι(C)} para todo M ∈ P(X),

el punto 1. del Teorema 2.3.2. implica que la funcion ι admite como adjunta a aC.

Note que la funcion de adherencia aC

esta definida de igual forma que la adherencia

del conjunto M en la topologıa A. El par adjunto que existe entre la inclusion y

una funcion de adherencia permite comprobar las siguientes propiedades para una

funcion de adherencia.


Teorema 4.2.2. Sea C un coleccion de cerrados sobre X, una funcion de adherencia

aC

satisface,

1. Para todo M ∈ P(X), M ⊆ aC(M),

2. Para todo M1,M2 ∈ P(X), si M1 ⊆M2 implica que aC(M1) ⊆ a

C(M2),

3. Para todo M ∈ P(X), si M ∈ C se tiene que aC(M) = M ,

4. Para todo M ∈ P(X), aC(a

C(M)) = a

C(M),

5. Para todo M1,M2 ∈ P(X), aC(M1 ∪M2) = a

C(M1) ∪ a

C(M2).

Demostracion. Como 〈ι, aC〉 es un par adjunto, los puntos 1., 2. y 3. se deducen

de la Proposicion 2.3.1. Para demostrar el punto 4. se utiliza el Teorema 2.3.5. del

cual se tiene que aC(ι(a

C(M))) = a

C(M) entonces a

C(a

C(M)) = a

C(M) para todo

M ∈ P(X).

Y por ultimo, el Teorema 2.3.3. implica que aC

conmuta con extremos superior, por

tanto si sup{M1,M2} = M1 ∪M2 se tiene

aC(M1 ∪M2) = a

C(M1) ∪ a

C(M2).

para cualesquiera M1,M2 ∈ P(X), ası queda demostrado el teorema.

Cada adjuncion 〈ι, aC〉 da a lugar una funcion a = ι ◦ a

Cque cumple con la siguiente

definicion de un operador de adherencia. Y viceversa, para todo operador de adhe-

rencia a existe una coleccion C de cerrados y una funcion de adherencia aC

tal que

a = ι ◦ aC.

Definicion 4.2.1. Sea X un conjunto no vacıo, una funcion a : P(X) → P(X) es

un operador de adherencia si satisface,

A1. a(∅) = ∅,

A2. Para todo M ∈ P(X), M ⊆ a(M),

A3. Para todo M ∈ P(X), a(a(M)) = a(M),

A4. Para todo M1,M2 ∈ P(X), a(M1 ∪M2) = a(M1) ∪ a(M2).


De la condicion (A4) se deduce que si M1 ⊆M2 entonces a(M1) ⊆ a(M2).

Teorema 4.2.3. Sea X un conjunto y a : P(X)→ P(X) un operador de adherencia

entonces C = {M ⊆ X | a(M) = M} es una coleccion de cerrados en X.

Demostracion. ∅ ∈ C puesto que de (A1) a(∅) = ∅. Como X = M ∪M c para algun

M ∈ C, de la propiedad (A4) se obtiene

a(X) = a(M ∪M c) = a(M) ∪ a(M c) = M ∪M c = X

entonces X ∈ C. Sea {Mα}α∈Λ es una subcoleccion de C, por (A2) se tiene que,⋂Mα ⊆ a

(⋂Mα

).

Por otra parte es claro que⋂Mα ⊆Mα y por la propiedad (A4)

a(Mα) = a(Mα ∪

⋂Mα

)= a(Mα) ∪ a

(⋂Mα

).

Ası, a (⋂Mα) ⊆ a(Mα) = Mα para todo α ∈ Λ esto implica,

a(⋂

Mα

)⊆⋂

a(Mα) =⋂

Mα.

Luego⋂Mα ∈ C. Para cualesquiera M1 y M2 en C,

a(M1 ∪M2) = a(M1) ∪ a(M2) = M1 ∪M2.

Por tanto M1 ∪M2 ∈ C y C es una coleccion de cerrados en X.

La topologıa asociada a un operador a es Ta = {M ⊆ X | a(M c) = M c}, ası pues

todo operador de adherencia es un operador topologıco.

En definitiva, los Teoremas 4.1.1. y 4.2.1. implican que dados A una topologıa y C

la respectiva coleccion de cerrados para un espacio X, se obtiene un operador de

interior i y un operador de adherencia a, tal que para todo M ⊆ X, i(M) = M◦ y

a(M) = M , luego por el Teorema 2.4.2. se tiene el siguiente corolario.


Corolario 4.2.1. Sean (X,T) un espacio topologico, i y a los operadores de interior y

adherencia asociados a T entonces para la funcion complemento c se tiene la igualdad

c ◦ i = a ◦ c.

4.3. Operadores de Kuratowski

El teorema que se presenta a continuacion es conocido como el teorema clausura-

complemento de Kuratowski, fue planteado y demostrado por K. Kuratowski [9] en

1922, desde entonces, este teorema, sus resultados e implicaciones han sido objeto

de estudio en una gran variedad de textos (Ver por ejemplo [14] y [17] ).

Teorema 4.3.1. (Kuratowski). Si (X,T) es un espacio topologico y M ⊆ X, enton-

ces existe a lo mas 14 conjuntos distintos formados al tomar adherencias y comple-

mentos del conjunto M iteradas veces. Mas aun, existe un espacio topologico en el

que esa cota se alcanza.

La demostracion realizada por B. J. Gardner y M. Jackson [7] de este teorema fue a

partir de operadores, ellos replantearon este problema de la siguiente manera: Dado

un espacio topologico (X,T) los operadores de adherencia a y complemento c generan

a lo mas 14 operadores diferentes en F(P(X),P(X)) bajo la operacion de composicion

◦. Estos catorce operadores se llaman operadores de Kuratowski y son:

u, a, ac, aca, acac, acaca, acacac, c, ca, cac, caca, cacac, cacaca, cacacac.

Donde u : P(X) −→ P(X) es la identidad. Aquı el sımbolo ◦ es omitido para no

tener una expresion demasiado larga, por ejemplo la composicion a ◦ c ◦ a se escribe

como aca.

Teniendo en cuenta que dos funciones ϕ, ψ ∈ F(P(X),P(X)) son distintas si y solo

si existe E ⊆ X tal que ϕ(E) 6= ψ(E), ası pues para comprobar que todos los

operadores de Kuratowski son distintos es suficiente encontrar un espacio topologico

con un subconjunto del cual cada uno de los 14 posibles operadores produce un

conjunto diferente incluyendo al conjunto mismo. Encontrar un subconjunto de los

reales en la topologıa Euclidiana con esta propiedad es propuesto como ejercicio en

algunos libros [10, pag. 102], tal como se muestra en [15, pag. 60, punto 9] un ejemplo

es el conjunto,


A = {1/n : n ∈ Z+} ∪ (2, 3) ∪ (3, 4) ∪ {412} ∪ [5, 6] ∪ {x : x es racional y 7 ≤ x ≤ 8},

este conjunto se representa graficamente en la figura 4.2.

Debido al Corolario 4.2.1. los operadores de Kuratowski se puede reescribir como

O = {u, i, a, ia, ai, aia, iai, c, ci, ca, cia, cai, caia, ciai}, todos ellos forman un subcon-

junto ordenado con la relacion ≤ definida en el Ejemplo 2.1.2. sobre el conjunto

F(P(X),P(X)), la estructura de orden de O es como se muestra en la Figura 4.1 en

el caso de que todos los operadores sean distintos.

a

iaaiu

aia

iai

i

ci

ciacaic

caia

ciai

ca

Figura 4.1: Conjunto Ordenado O.

Existen algunas variantes del problema de clausura-complemento una de ellas se

presentan en el artıculo [7], donde proponen encontrar los posibles operadores que

existen al aplicar a el conjunto O las operaciones binarias ∨ y ∧. Sin embargo, estas

dos operaciones hacen cada vez mas extenso el calculo de hallar el maximo numero

de operadores obtenidos por O.

Note que en la figura 4.2. O no es cerrado bajos las operaciones ∨ y ∧, puesto que

ia(A)∩ai(A) 6= iai(A) entonces el operador ia∧ai no necesariamente es iai e incluso

el operador aia ∧ ciai no existe en O, por tanto O no puede ser una subalgebra de

Boole del algebra Booleana (F(P(X),P(X),∨,∧, c). Por esta razon la intencion del

siguiente capıtulo es mostrar el algebra de Boole que se genera en particular con los

operadores {i, a, c} al aplicar las operaciones Booleanas que aparecen en el Ejemplo

2.2.2.

La figura 4.2. (basada en [15, pag. 62]) muestra los operadores del conjunto O defi-

nidos en el subconjunto A de R con la topologıa Euclidiana.


racionalesu

1 5 6 7 80 2 3 4irracionales

c

0 2 3 41 5 6 7 8

a

30 1 2 4 5 6 7 8

ca

30 1 2 4 5 6 7 8

i0 1 7 82 3 4 5 6

ci0 1 7 82 3 4 5 6

ia0 1 32 4 5 6 7 8

cia0 1 32 4 5 6 7 8

ai0 1 3 7 82 4 5 6

cai0 1 3 7 82 4 5 6

aia0 1 32 4 5 6 7 8

caia0 1 32 4 5 6 7 8

iai0 1 3 7 82 4 5 6

ciai0 1 3 7 82 4 5 6

Figura 4.2: Operadores de Kuratowski aplicados al conjunto A.

Capıtulo 5

Algebras booleanas

Algunos de los resultados aquı presentados son parte de la tesis de Manuel Suarez [14],

quien observo que los operadores de interior, complemento y adherencia por medio

de las operaciones Booleanas de union, interseccion y complemento, generan una

coleccion de 16 funciones que tienen como dominio y codominio al conjunto partes

de X. Entre estas dieciseis, estan los operadores topologicos de exterior, frontera,

borde y coborde con sus respectivos complementos.

Es de gran interes conocer cuales son los elementos del algebra Booleana generada

por los operadores {i, a, c}, en vista de lo cual es conveniente examinar primero las

subalgebras generadas por los conjuntos {c}, {a, c} y {i, c} con las operaciones ∧ y

∨ definidas en F(P(X),P(X)).

Para empezar es importante tener en cuenta las siguientes propiedades del operador

complemento c definido en el Ejemplo 2.2.2.

1. c(X) = ∅ y c(∅) = X,

2. Para todo M ∈ P(X), c(c(M)) = M ,

3. Para todo M1,M2 ∈ P(X), si M1 ⊆M2 entonces c(M2) ⊆ c(M1),

4. Para todo M1,M2 ∈ P(X),

c(M1 ∩M2) = c(M1) ∪ c(M2) y c(M1 ∪M2) = c(M1) ∩ c(M2).

Note que por la segunda propiedad el complemento de c es la identidad u, debido a

que u(M) = M para todo M ∈ P(X).

37

Capıtulo 5. Algebras booleanas 38

Por otra parte, al aplicar las operaciones ∧, ∨ para u y c se obtiene

u ∨ c = CX y u ∧ c = C∅.

Las funciones CX y C∅ estan definidas en el Ejemplo 2.2.2., ahora teniendo en cuenta

que el conjunto {CX , C∅, u, c} es cerrado bajo las dos operaciones y segun la Defini-

cion 2.2.7. el es una subalgebra Booleana de F(P(X),P(X)).

En primer lugar, se denotara por 〈{i, c}〉 a la subalgebra de F(P(X),P(X)) generada

por los operadores {i, c}, por definicion de subalgebra 〈{i, c}〉 debe contener al con-

junto {CX , C∅, u, c} y tambien al complemento del operador de interior ci, ademas

para ser cerrado bajo las operaciones ∧ y ∨ se necesario que esten los elementos u∧ciy c∨ i. De esta forma se construye la subalgebra de Boole mas pequena que contiene

al conjunto {i, c}.

Definicion 5.0.1. Sea i un operador de interior. La funcion b : P(X) → P(X)

definida para todo M ∈ P(X) como

b(M) = u(M) ∩ ci(M),

se le llama operador de borde.

El complemento de un operador de borde es de la forma cb(M) = c(M) ∪ i(M).

El siguiente teorema da a conocer las propiedades de un operador de borde que lo

convierten en un operador topologico, su prueba aparece en [5, pag. 117].

Teorema 5.0.2. Sea X un conjunto y b : P(X)→ P(X) una funcion tal que

B1. b(X) = ∅,

B2. Para todo M ∈ P(X), b(b(M)) ⊆ b(M),

B3. Para todo M1,M2 ∈ P(X), b(M1 ∩M2) = [M1 ∩ b(M2)] ∪ [M2 ∩ b(M1)].

Entonces la coleccion Tb = {M ⊆ X | b(M) = ∅} es una topologıa en X.

Para un operador de interior i, la funcion b = u ∧ ci satisface las condiciones (B1),

(B2) y (B3). En efecto,

(B1) Ya que i(X) = X se tiene que


b(X) = u(X) ∩ ci(X) = X ∩ c(i(X)) = X ∩ c(X) = ∅

(B2) Sea M un subconjunto de X, entonces

b(b(M)) = u(b(M)) ∩ ci(b(M))

= b(M) ∩ ci(b(M))

⊆ b(M).

(B3) Sean M1 y M2 en P(X), como la interseccion es conmutativa y asociativa se

tiene que

b(M1 ∩M2) = u(M1 ∩M2) ∩ ci(M1 ∩M2)

= [u(M1) ∩ u(M2)] ∩ [ci(M1) ∪ ci(M2)]

= [(u(M1) ∩ u(M2)) ∩ ci(M1)] ∪ [(u(M1) ∩ u(M2)) ∩ ci(M2)]

= [u(M2) ∩ (u(M1) ∩ ci(M1))] ∪ [u(M1) ∩ (u(M2) ∩ ci(M2))]

= [u(M2) ∩ b(M1)] ∪ [u(M1) ∩ b(M2)]

= [M2 ∩ b(M1)] ∪ [M1 ∩ b(M2)].

Por lo tanto, todo operador de borde b define una topologıa Tb sobre un conjunto

X, de igual modo pasa con su complemento el operador topologico cb produce la

topologıa Tcb = {M ⊆ X | cb(M) = X} . En definitiva se tiene que la subalge-

bra Booleana 〈{i, c}〉 esta conformada por los elementos {CX , C∅, u, c, i, ci, b, cb} su

estructura se muestra en la Figura 5.1.

CX

u cb ci

i b c

C∅

Figura 5.1: Subalgebra de Boole generada por {i, c}.

En concordancia con lo anterior, se denota por 〈{a, c}〉 a la subalgebra Booleana


generada por los operadores de adherencia y complemento, puesto que c ∈ 〈{a, c}〉es claro que el conjunto {CX , C∅, u, c} esta contenido en 〈{a, c}〉.

Por definicion de subalgebra si a ∈ 〈{a, c}〉 entonces su complemento tambien, esto

es ca ∈ 〈{a, c}〉 ası surge la siguiente definicion.

Definicion 5.0.2. Sea a un operador de adherencia. La funcion e : P(X) → P(X)


e(M) = ca(M),

se le llama operador de exterior.

Teorema 5.0.3. Sea X un conjunto y e : P(X)→ P(X) una funcion tal que

E1. e(∅) = X,

E2. Para todo M ∈ P(X), e(M) ⊆ c(M),

E3. Para todo M ∈ P(X), e(M) = e(c(e(M))),

E4. Para todo M1,M2 ∈ P(X), e(M1 ∪M2) = e(M1) ∩ e(M2).

Entonces la coleccion Te = {M ⊆ X | e(M c) = M} es una topologıa en X.

La demostracion se puede ver en [5, pag. 114]. Veamos ahora que un operador de

exterior e = ca satisface las condiciones (E1)-(E4),

(E1) Por el Teorema 4.2.3 se tiene que a(X) = X entonces ca(X) = ∅.

(E2) Sea M ⊆ X, como resultado de (A2), ca(M) ⊆ c(M).

(E3) Para todo subconjunto M de X, por (A3) se tiene

ca(c(ca(M))) = ca(c(c(a(M))))

= c(a(a(M)))

= ca(M).

(E4) Sean M1 y M2 subconjuntos de X, la propiedad (A4) implica

ca(M1 ∪M2) = c(a(M1) ∪ a(M2))

= ca(M1) ∩ ca(M2).


Por lo tanto, todo operador de exterior e tiene una topologıa asociada Te.

Considerando nuevamente las operaciones ∧ y ∨ en el conjunto {CX , C∅, u, c, a, e}aparecen dos nuevos operadores a ∧ c y u ∨ ca ambos son el complemento del otro.

Definicion 5.0.3. Sea a un operador de adherencia. La funcion k : P(X) → P(X)


k(M) = a(M) ∩ c(M),

se le llama operador de coborde.

Cada operador de coborde k tiene un complemento ck(M) = ca(M)∪u(M), ademas

ambos producen topologıas sobre el conjunto X, esto es resultado del siguiente teo-

rema cuya demostracion se encuentra en [5, pag. 120].

Teorema 5.0.4. Sea X un conjunto y k : P(X)→ P(X) una funcion tal que

K1. k(∅) = ∅,

K2. Para todo M ∈ P(X), k(k(M)) ⊆ k(c(M)),

K3. Para todo M1,M2 ∈ P(X), k(M1 ∪M2) = [c(M1) ∩ k(M2)] ∪ [c(M2) ∩ k(M1)].

Entonces la coleccion Tk = {M ⊆ X | k(M c) = ∅} es una topologıa en X.

Todo operador de coborde k = c ∧ a satisface las propiedades (K1), (K2) y (K3),

puesto que

(K1) k(∅) = a(∅) ∩ c(∅) = ∅ ∩X = ∅.

(K2) Sea M un subconjunto de X, utilizando el hecho de que para cualesquiera M1

y M2 en P(X), a(M1 ∩M2) ⊆ a(M1) ∩ a(M2) se tiene

k(a(M) ∩ c(M)) = a(c(M) ∩ a(M)) ∩ c(c(M) ∩ a(M))

= a(c(M) ∩ a(M)) ∩ [c(c(M)) ∪ ca(M)]

= [a(c(M) ∩ a(M)) ∩ c(c(M))] ∪ [a(c(M) ∩ a(M)) ∩ ca(M)]

⊆ [a(c(M)) ∩ a(M) ∩ c(c(M))] ∪ [a(c(M)) ∩ a(M) ∩ ca(M)]

= [a(c(M)) ∩ c(c(M))] ∪ ∅

= k(c(M))


Por tanto, k(k(M)) ⊆ k(c(M)).

(K3) Sean M1,M2 ∈ P(X), por la propiedad (A4)

k(M1 ∪M2) = a(M1 ∪M2) ∩ c(M1 ∪M2)

= [a(M1) ∪ a(M2)] ∩ [c(M1) ∩ c(M2)]

= [a(M1) ∩ c(M1) ∩ c(M2)] ∪ [a(M2) ∩ c(M1) ∩ c(M2)]

= [k(M1) ∩ c(M2)] ∪ [k(M2) ∩ c(M1)]

En consecuencia, un operador de coborde k genera una topologıa Tk esto implica que

la coleccion Tck = {M ⊆ X | ck(M c) = X} es una topologıa en X que depende del

operador ck.

Luego, la subalgebra Booleana generada por los operadores a y c esta conformada

por 〈{a, c}〉 = {CX , C∅, u, c, a, e, k, ck} y el diagrama en la Figura 5.2. representa su

estructura.

CX

a ck c

u k e

C∅

Figura 5.2: Subalgebra de Boole generada por {a, c}.

Y por ultimo, para la subalgebra Booleana 〈{i, a, c}〉 de F(P(X),P(X)) es suficiente

con considerar las operaciones ∧ y ∨ entre los elementos de 〈{i, c}〉 y de 〈{a, c}〉,para simplificar los calculos hay que tener en cuenta las relaciones siguientes,

i ≤ u ≤ a y e ≤ c ≤ ci.

Otro rasgo importante son las propiedades distributivas de ∧ y ∨ gracias a estas se

tienen las siguientes igualdades,

a ∧ cb = i ∨ k ca ∨ b = ci ∧ cka ∧ ci = b ∨ k ca ∨ i = cb ∧ ck


Por consiguiente, se obtienen cuatro nuevos operadores, en terminos de los operadores

a e i estos son a ∧ ci, ca ∨ i, i ∨ (c ∧ a) y ci ∧ (u ∨ ca).

Definicion 5.0.4. Sea a un operador de adherencia e i un operador de interior. La

funcion f : P(X)→ P(X) definida para todo M ∈ P(X) como

f(M) = a(M) ∩ ci(M),

se le llama operador de frontera.

Como en los otros casos, para cada operador debe existir su complemento ası pues

para el operador frontera f se define su complemento como cf(M) = ca(M)∪ i(M),

la topologıa asociada a ellos esta determinada en el siguiente teorema.

Teorema 5.0.5. Sea X un conjunto y f : P(X)→ P(X) una funcion tal que

F1. f(∅) = ∅,

F2. Para todo M ∈ P(X), f(f(M)) ⊆ f(M),

F3. Para todo M ∈ P(X), f(M) = f(c(M)),

F4. Para todo M1,M2 ∈ P(X), M1∩M2∩f(M1∩M2) = M1∩M2∩[f(M1)∪f(M2)].

Entonces la coleccion Tf = {M ⊆ X | M ∩ f(M) = ∅} es una topologıa en X.

Vease en [5, pag. 110] la demostracion del Teorema 5.0.5. El operador de frontera

f = a ∧ ci tambien genera una topologıa ya que satisface todas las condiciones del

teorema anterior,

(F1) La propiedad (I2) implica que i(∅) = ∅, entonces ci(∅) = X, ademas por (A1)

f(∅) = a(∅) ∩ ci(∅) = ∅ ∩X = ∅

(F2) Sea M un subconjunto de X, ci = ac por el Corolario 4.2.1. entonces

a(f(M)) = a(a(M) ∩ ci(M))

= a(a(M) ∩ ac(M))

⊆ a(a(M)) ∩ a(a(c(M))

= a(M) ∩ ac(M)

= f(M)


(F3) Utilizando de nuevo el Corolario 4.2.1. para M ⊆ X se tiene

f(c(M)) = a(c(M)) ∩ ci(c(M)) = ci(M) ∩ a(M) = f(M).

(F4) Sean M1,M2 ∈ P(X), (I4) implica ci(M1 ∩M2) = ci(M1)∪ ci(M2), ademas por

la propiedad (A2) se tiene que M1 ∩M2 ⊆ a(M1 ∩M2), por tanto

M1 ∩M2 ∩ [f(M1) ∪ f(M2)] = M1 ∩M2 ∩ [(a(M1) ∩ ci(M1)) ∪ (a(M2) ∩ ci(M2))]

= [M1 ∩M2 ∩ a(M1) ∩ ci(M1)]

∪ [M1 ∩M2 ∩ a(M2) ∩ ci(M2)]

= [M1 ∩M2 ∩ ci(M1)] ∪ [M1 ∩M2 ∩ ci(M2)]

= M1 ∩M2 ∩ [ci(M1) ∪ ci(M2)]

= M1 ∩M2 ∩ ci(M1 ∩M2)

= M1 ∩M2 ∩ a(M1 ∩M2) ∩ ci(M1 ∩M2)

= M1 ∩M2 ∩ f(M1 ∩M2)

Por lo tanto, el operador f genera la topologıa Tf de igual modo el operador cf

produce la topologıa Tcf = {M ⊆ X | M c ∩ cf(M) = X}.

Entre los operadores topologicos de la subalgebra Booleana 〈{i, a, c}〉 se encuentra la

funcion topologica h que tiene como dominio y codominio al conjunto de partes de X,

la cual estableciendo un subconjunto M se define como h(M) = a(M)∩[c(M)∪i(M)],

esta es equivalente a los operadores i∨k y a∧ cb. Las propiedades fundamentales del

operador h se presentan a continuacion, todo la informacion sobre h se puede ver en

[14].

Teorema 5.0.6. Sea X un conjunto y h : P(X)→ P(X) una funcion tal que

H1. h(X) = X,

H2. h(M c) = (h(M))c,

H3. M1 ∪M2 ∪ h(M1 ∪M2) = M1 ∪M2 ∪ [h(M1) ∪ h(M2)].

Entonces la coleccion Th = {M ⊆ X | M ⊆ h(M)} es una topologıa en X.


Demostracion. X ∈ Th ya que h(X) = X por (H1). ∅ ∈ Th pues ∅ ⊆ h(∅).

Sea {Mα}α∈Λ una subcoleccion de Th, como Mα ⊆ h(Mα) entonces [h(Mα)]c ⊆ (Mα)c

para todo α ∈ Λ, ademas Mα ⊆⋃Mα y (

⋃Mα)c ⊆ (Mα)c, luego por (H3) y (H2)

se tiene

(Mα)c = (Mα)c ∪(⋃

Mα

)c∪ h((Mα)c ∪

(⋃Mα

)c)

= (Mα)c ∪(⋃

Mα

)c∪ h((Mα)c) ∪ h

((⋃Mα

)c)= (Mα)c ∪

(⋃Mα

)c∪ [h(Mα)]c ∪

[h(⋃

Mα

)]c= (Mα)c ∪

[h(⋃

Mα

)]c,

esto implica que [h (⋃Mα)]c ⊆ (Mα)c entonces para todo α ∈ Λ⋃

Mα ⊆ h(⋃

Mα

).

Por tanto⋃Mα ∈ Th. Sean M1 y M2 en Th, por las propiedades (H2) y (H3)

(M1)c ∪ (M2)

c ∪ h((M1 ∩M2)c) = (M1)

c ∪ (M2)c ∪ h((M1)

c ∪ (M2)c)

= (M1)c ∪ (M2)

c ∪ h((M1)c) ∪ h((M2)

c)

= (M1)c ∪ (M2)

c ∪ [h(M1)]c ∪ [h(M2)]

c

= (M1)c ∪ (M2)

c.

se deduce que h((M1 ∩M2)c) ⊆ (M1 ∩M2)c, por tanto M1 ∩M2 ⊆ h(M1 ∩M2) y

M1 ∩M2 ∈ Th.

Esto quiere decir, que la coleccion de puntos de ampliacion de la funcion h es una

coleccion de abiertos sobre X, ademas por la condicion (H2) la coleccion de puntos

fijos de h es una coleccion de conjuntos abiertos y cerrados a la vez.

Sea a un operador de adherencia e i un operador de interior, la funcion topologica

h = a ∧ (c ∨ i) satisface las condiciones del Teorema 5.0.6,

(H1) Por definicion de operador de interior i(X) = X, ademas la propiedad (A4)

implica que a(X) = X, entonces

h(X) = a(X) ∩ [c(X) ∪ i(X)] = X ∩ [∅ ∪X] = X


(H2) Sea M un subconjunto de X, como ci = ac es equivalente a tener ic = ca

entonces

[h(M)]c = c [a(M) ∩ (c(M) ∪ i(M))]

= ca(M) ∪ [c(c(M)) ∩ ci(M)]

= [ca(M) ∪ c(c(M))] ∩ [ca(M) ∪ ci(M)]

= [ic(M) ∪ c(c(M))] ∩ ci(M)

= [i(M c) ∪ c(c(M))] ∩ ac(M)

= [i(M c) ∪ c(M c)] ∩ a(M c)

= h(M c).

(H3) Sean M1 y M2 subconjunto de X, por las leyes distributivas de ∧ y ∨, h se

puede reescribir como

h = i ∨ (c ∧ a).

Ahora utilizando las propiedades (I2), (I4) y (A5) se tiene

M1 ∪M2 ∪ [h(M1) ∪ h(M2)] = M1 ∪M2 ∪ i(M1) ∪ [c(M1) ∩ a(M1)]

∪ i(M2) ∪ [c(M2) ∩ a(M2)]

= M1 ∪M2 ∪ [c(M1) ∩ a(M1)] ∪ [c(M2) ∩ a(M2)]

= M1 ∪M2 ∪ [c(M1) ∩ a(M1)] ∪ [c(M2) ∩ a(M2)]

= M1 ∪M2 ∪ [c(M1) ∩ c(M2) ∩ a(M1)]

∪ [c(M2) ∩ c(M1) ∩ a(M2)]

= M1 ∪M2 ∪ [(c(M1) ∩ c(M2)) ∩ (a(M1) ∪ a(M2))]

= M1 ∪M2 ∪ [(c(M1 ∪M2)) ∩ (a(M1 ∪M2))]

= M1 ∪M2 ∪ i(M1 ∪M2) ∪ [(c(M1 ∪M2)) ∩ (a(M1 ∪M2))]

= M1 ∪M2 ∪ h(M1 ∪M2)

Por tanto, todo operador h genera una topologia esto significa que h es un operador

topologico.


El complemento ch se define por ch(M) = ca(M) ∪ [u(M) ∩ ci(M)] para todo M

en P(X), al igual que h el operador ch cumple tres propiedades fundamentales las

cuales son importantes para generar la topologıa Tch = {M ⊆ X | ch(M) ⊆M c}.

Ahora con los operadores a, i y c se obtiene el algebra de Boole

〈{i, a, c}〉 = {CX , C∅, u, c, a, i, b, k, f, h, e, ci, cb, ck, cf, ch}

En el siguiente diagrama es mas facil ver como son las relaciones que hay entre las

16 funciones de 〈{i, a, c}〉. Aunque las funciones CX y C∅ no puedan generar una

topologıa, las 14 funciones restantes son operadores topologicos.

C∅

i

b k

e

u ch ch

f

cf

a

ck cb

ci

CX

Figura 5.3: Algebra de Boole generada por {i, a, c}.

Finalmente, tomando el conjunto A que esta en la Seccion 4.3. podemos verificar que

los operadores topologicos de 〈{i, a, c}〉 son distintos entre sı, aunque no es necesario

tener un conjunto tan complicado puesto que bastarıa no mas con aplicar cada una de

estas funciones al intervalo [0, 1) de la recta real para verificar que producen dieciseis

conjuntos distintos, sin embargo, esto se hace con la intencion de mostrar que no

todos los operadores en 〈{i, a, c}〉 son iguales a los operadores de Kuratowski.


racionalesu

1 5 6 7 80 2 3 4irracionales

c

0 2 3 41 5 6 7 8

a

30 1 2 4 5 6 7 8

e

30 1 2 4 5 6 7 8

i0 1 7 82 3 4 5 6

ci0 1 7 82 3 4 5 6

bracionales

2 3 40 1 5 6 7 8

cbirracionales

2 3 40 1 5 6 7 8

kirracionales

1 5 6 7 80 2 3 4

ckracionales

1 5 6 7 80 2 3 4

f

0 2 3 41 5 6 7 8

cf

0 2 3 41 5 6 7 8

hirracionales

10 2 4 5 6 7 8

chracionales

10 2 4 5 6 7 8

Figura 5.4: Operadores topologicos aplicados al conjunto A.

Capıtulo 6

Conclusiones

Los conceptos que fueron presentados al inicio del trabajo sobre la teorıa de retıculos

son fundamentales para la construccion de los operadores de adherencia y de interior,

donde la conexion de Galois juega un papel muy importante ya que genera una

pareja de funciones entre conjuntos ordenados las cuales mas adelante determinaron

las coleccion de abierto y cerrados, las composiciones de tales funciones dieron lugar

a la definicion de los operadores a e i.

Al estudiar el teorema de clausura-complemento de Kuratowski se considera que este

puede ser demostrado en terminos de los operadores de adherencia y complemento,

por tanto existen no mas de 14 operadores distintos al componer varias veces las

funciones a y c, este conjunto de operadores llamados operadores de Kuratowski a

su vez forman un conjunto ordenado con la relacion de orden en F(P(X),P(X)).

Los operadores de Kuratowski O no forman un algebra de Boole y si aplicamos las

operaciones binarias ∧, ∨ entre ellos se generar nuevos operadores, por este motivo

se escogen en particular los operadores {i, a, c} para observar el algebra de Boole que

estos generan con las operaciones ∧, ∨.

El algebra de Boole 〈{i, a, c}〉 tiene como elementos los operadores de borde, coborde,

exterior y frontera, los cuales poseen ciertas caracterısticas que ayudan a generar

topologıas para el espacio X. Ademas de estos se presentaron dos nuevos operadores

h y ch.

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