operations research - lecture 6 - minimize problem

Operations ResearchMAM1627

Semester Genap tahun 2013/2014

M. Ziaul Arif

[email protected]

Jurusan Matematika - FMIPA

Universitas Jember 2013-14 Operation Research 1

Lecture 6 : Minimize Problem

Masalah Minimasi

• Untuk menyelesaikan masalah minimasi,

dapat dilakukan dengan cara mengubah fungsi

tujuan, menjadi masalah maksimasi. (untuk

semua kendala bertanda ≤)


Contoh

Fungsi tujuan : Minimumkan

2 1 3 2

F. Kendala

1 2 4

1 2 6

1, 2 0

Z x x

x x

x x

x x

= −

+ ≤

− ≤

≥


Contoh

Fungsi tujuan : Maksimumkan

2 1 3 2

F. Kendala

1 2 4

1 2 6

1, 2 0

Z x x

x x

x x

x x

− = − +

+ ≤

− ≤

≥


CB

Cj -2 3 0 0RHS

Rasio

Basis x1 x2 S1 S2

0 S1 1 1 1 0 4 4

0 S2 1 -1 0 1 6 6

Zj-Cj 2 -3 0 0 0

CB

Cj -2 3 0 0RHS

Rasio

Basis x1 x2 S1 S2

3 x2 1 1 1 0 4

0 S2 2 0 1 1 10

Zj-Cj 5 0 3 0 12


Kesimpulan

• x2=4, x1=0

• Karena –Z=12, maka Z=-12.


Masalah Minimasi

• Masalah maksimasi, biasanya memiliki kendala ≤,

sekarang akan diterangkan simpleks untuk

masalah minimasi yang biasanya memiliki

kendala pertidaksamaan ≥ atau =.

• Masalah tsb memiliki langkah-langkah yang

sedikit berbeda dengan masalah maksimasi.

• Tanda ≥ berarti bahwa kendala harus dikurangi S

(surplus)

• Penggunaan variable buatan / artificial variable


Penggunaan variable artificial

• Kebutuhan awal utama metode simpleks

adalah solusi awal yang layak (initial basic

feasible solution). Tanpa ini, table simpleks

tidak dapat dibuat.


Contoh


3 1 2 3

F. Kendala

1 2 2 3 11

4 1 2 2 3 3

2 1 3 1

1, 2, 3 0

Z x x x

x x x

x x x

x x

x x x

= − + +

− + ≤

− + + ≥

− + =

≥


Bentuk standar


3 1 2 3 0 1 0 2

F. Kendala

1 2 2 3 1 11

4 1 2 2 3 2 3

2 1 3 1

1, 2, 3, 1, 2 0

Z x x x S S

x x x S

x x x S

x x

x x x S S

= − + + − −

− + + =

− + + − =

− + =

≥



• Karena contoh diatas tidak bisa kita temukansolusi awal yang layak, agar bisa diselesaikandengan metode simpleks,maka kitatambahkan variable buatan (Artificial variabledilambangkan dengan R atau A) pada kendalayang tidak mempunyai variable basis (kendala2 dan 3)

• Sehingga akan diperoleh solusi awal yanglayak sebagai berikut:


Bentuk standar

F. Kendala

1 2 2 3 1 11

4 1 2 2 3 2 1 3

2 1 3 2 1

1, 2, 3, 1, 2, 1, 2 0

x x x S

x x x S R

x x R

x x x S S R R

− + + =

− + + − + =

− + + =

≥



• Karena Artificial variable tidak mempunyai arti

yang nyata, maka dari iterasi demi iterasi

mereka harus dijadikan bernilai nol (0),jika

tidak maka solusi yang dihasilkan tidak layak.

• untuk membuat variable artificial nol, maka

harus di berlakukan penalty pada setiap

variable artificial dalam fungsi tujuan.


Penalty Artificial variable

• Penalty berupa pemberian bilangan (M)

positif yang sangat besar dalam fungsi tujuan.

• Untuk Masalah Maksimasi : M bertanda

negatif (-)

• Untuk masalah minimasi : M bertanda positif

(+)


ContohFungsi tujuan : Maksimumkan

3 1 5 2

F. Kendala

1 4

2 2 12

3 1 2 2 18

1, 2 0

Z x x

x

x

x x

x x

= +

≤

≤

+ =

≥


3 1 2 3

F. Kendala

1 2 2 3 11

4 1 2 2 3 3

2 1 3 1

1, 2, 3 0

Z x x x

x x x

x x x

x x

x x x

= − + +

− + ≤

− + + ≥

− + =

≥


Contoh Fungsi tujuan : Maksimumkan

3 1 5 2 0 1 0 2 1

F. Kendala

1 1 4

2 2 2 12

3 1 2 2 1 18

1, 2 0

Z x x S S MR

x S

x S

x x R

x x

= + + + −

+ =

+ =

+ + =

≥Fungsi tujuan : Minimumkan

3 1 2 3 0 1 0 2 1 2

F. Kendala

F. Kendala

1 2 2 3 1 11

4 1 2 2 3 2 1 3

2 1 3 2 1

1, 2, 3 0

Z x x x S S MR MR

x x x S

x x x S R

x x R

x x x

= − + + − − + +

− + + =

− + + − + =

− + + =

≥Universitas Jember 2013-14 Operation Research 16

Metode Penyelesaian

1. Metode Big-M

2. Metode Dua fase/langkah


Metode BIG-M

• M bilangan positif yang sangat Besar

• Langkah-langkah sama dengan Simpleks yang

sudah dipelajari


Contoh


3 1 2 3

F. Kendala

1 2 2 3 11

4 1 2 2 3 3

2 1 3 1

1, 2, 3 0

Z x x x

x x x

x x x

x x

x x x

= − + +

− + ≤

− + + ≥

− + =

≥


Contoh


3 1 2 3 0 1 0 2 1 2

F. Kendala

F. Kendala

1 2 2 3 1 11

4 1 2 2 3 2 1 3

2 1 3 2 1

1, 2, 3 0

Z x x x S S MR MR

x x x S

x x x S R

x x R

x x x

= − + + − − + +

− + + =

− + + − + =

− + + =

≥


Contoh

CB

Cj -3 1 1 0 M M 0 RHS

Rasio

Basis x1 x2 x3 S1 R1 R2 S2

0 S1 1 -2 1 1 0 0 0 11 11

M R1 -4 1 2 0 1 0 -1 3 3/2

M R2 -2 0 1 0 0 1 0 1 1

Zj-Cj 3-6M M-1 3M-1 0 0 0 -M 4M

CBCj -3 1 1 0 M M 0 RHS

RasioBasis x1 x2 x3 S1 R1 R2 S2

0 S1 3 -2 0 1 0 -1 0 10 -

M R1 0 1 0 0 1 -2 -1 1 1

1 X3 -2 0 1 0 0 1 0 1 -

Zj-Cj 1 M-1 0 0 0 1-3M -M M+1Universitas Jember 2013-14 Operation Research 21

Contoh

CB

Cj -3 1 1 0 M M 0 RHSRasi

oBasis x1 x2 x3 S1 R1 R2 S2

-3 X1 1 0 0 1/3 2/3 -5/3 -2/3 4

1 X2 0 1 0 0 1 -2 -1 1

1 X3 0 0 1 2/3 4/3 -7/3 -4/3 9

Zj-Cj 0 0 0 -1/3 1/3-M 2/3-M -1/3 -2

CBCj -3 1 1 0 M M 0 RHS

RasioBasis x1 x2 x3 S1 R1 R2 S2

0 S1 3 0 0 1 2 -5 -2 12 4

1 X2 0 1 0 0 1 -2 -1 1 -

1 X3 -2 0 1 0 0 1 0 1 -

Zj-Cj 1 0 0 0 1-M -2-M -1 2


Latihan

• Selesaikan masalah-masalah berikut1. Minimumkan Z = 3x + 2y

Fungsi Kendala x + y 600

3x + y = 1500

x + 3y 1500

x,y 0

≥

≤

≥


operations research - lecture 6 - minimize problem

Documents