Operator LogikaPERTEMUAN 3

VISKA ARMALINA, ST.,M.ENG

PendahuluanKata penghubung yang digunakan untuk menghubungkan proposisi atomik-proposisi atomik menjadikan kalimat tersebut menjadi kalimat majemuk.

Kata penghubung itu dapat diganti dengan simbol tertentu, yang disebut Operator Logika.

Penekanan logika pada penarikan kesimpulan tentang validitas suatu argumen untuk mendapatkan kebenaran yang bersifat abstrak, yang dibangun dengan memakai kaidah-kaidah dasar logika tentang kebenaran dan ketidakbenaran yang menggunakan operator logika, yakni:

“dan (and)”, “atau (or)”, “tidak (not)”, “jika…maka…(if…then…)”, dan “…jika dan hanya jika…(…if dan only if…)”

Tabel KebenaranSetiap operator pada logika memiliki nilai kebenarannya masing-masing sesuai jenis operator logika yang digunakan.

Untuk mengetahui nilai kebenarannya, digunakan aturan dengan memakai Tabel Kebenaran (truth table).

Tabel kebenaran adalah tabel nilai yang mendefinisikan nilai kebenaran keseluruhan kalimat berdasarkan nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.

Operator Logika (1)Setiap perangkai pada logika memiliki nilai kebenarannya masing-masing sesuai jenis perangkai logika yang digunakan.

Perangkai logika atau operator dalam bentuk simbol digunakan untuk membuat bentuk-bentuk logika atau ekspresi logika.

Digunakan konstanta proposisional T untuk TRUE dan F untuk FALSE.

Operator Logika (2)

Perangkai / Operator Simbol

Dan (and) ˄

Atau (or) ˅

Tidak/Bukan (not) ~

Jika... maka.... (if......then...../implies) →

Jika dan hanya jika (if and only if) ↔

Konjungsi ( )˄ Konjungsi (conjunction) adalah kata lain dari operator “dan (and)”.

Operator ini akan menghasilkan pernyataan yang bernilai benar (T) jika semua komponennya bernilai benar (T), dan akan bernilai salah (F) jika salah satu komponennya bernilai salah (F).

Perangkai atau operator ˄ disebut Perangkai Binary (Binary Logical Connective) karena ia merangkai dua variabel proposisional.

Tabel Kebenaran Konjungsi ( )˄

Konjungsi p ^ q bernilai benar (T) jika p dan q keduanya benar (T), selain itu nilainya salah (F).

Contoh Konjungsi p : 17 adalah bilangan prima Benar

q : bilangan prima selalu ganjil Salah

Pertanyaan : bagaimana konjungsi dari p dan q tersebut? ( p q )˄

Jawab :

p Benar ( T )

q Salah ( F )

p ˄ q : 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil

Salah ( T ) lihat tabel kebenaran

Contoh Tabel Kebenaran Konjungsi Yang Lebih Rumit

P Q R P Q˄ (P Q) R˄ ˄ Q R˄ P ( Q R )˄ ˄

F F F F F F F

F F T F F F F

F T F F F F F

F T T F F T F

T F F F F F F

T F T F F F F

T T F T F F F

T T T T T T T

Disjungsi ( )˅ Disjungsi (disjunction) adalah kata lain dari operator “atau (or)”.

Disjungsi juga disebut Perangkai Binary (Binary Logical Connective)

Operator ini akan menghasilkan pernyataan yang bernilai benar ( T ) jika salah satu komponen proposisi bernilai benar ( T ), dan akan bernilai salah (F) jika semua komponennya bernilai salah (F)

Tabel Kebenaran Disjungsi ( )˅

Disjungsi p v q bernilai salah (F) jika p dan q keduanya salah (F), selain itu nilainya benar (T)

Contoh Disjungsi Tentukan nilai kebenaran dari proposisi “p q”

p : 2 adalah bilangan prima

q : 4 adalah bilangan prima

p q : 2 atau 4 adalah bilangan prima

Jawab :

p Benar (T)

q Salah (F)

p q˅ Benar (T) lihat tabel kebenaran

Negasi ( ~ ) Negasi (negation) digunakan untuk menggantikan operator “tidak (not)”.

Negasi suatu pernyataan P adalah pernyataan baru yang bernilai salah (F) jika P benar (T) dan bernilai benar (T) jika P bernilai salah (F).

Negasi berarti hanya kebalikan dari nilai variabel proposisi yang dinegasinya.

Perangkai ~ disebut Perangkai Unary atau monadic karena hanya dapat merangkai satu variabel proposisional.

Tabel Kebenaran Negasi ( ~ )

Negasi p, yaitu ~p, bernilai benar (T) jika p salah (F) , juga sebaliknya akan bernilai salah (F) jika p benar (T).

p ~p ~~p

F T F

T F T

Contoh Negasi Tentukan nilai kebenaran dari proposisi “~p” jika :

p : 2 adalah bilangan prima

~p : 2 bukan bilangan prima

Proposisi “p” merupakan suatu proposisi yang bernilai benar.

Proposisi “~p” merupakan suatu proposisi yang bernilai salah.

Implikasi ( → ) Implikasi (implication) merupakan pernyataan bersyarat.

Digunakan untuk menggantikan operator “jika…maka… (if…then)”.

Implikasi dinyatakan dengan “p q”

Proposisi “p” disebut sebagai antecedent atau hipotesis atau premis,

Proposisi “q” disebut consequent atau konklusi atau kesimpulan

Operator ini akan menghasilkan pernyataan yang bernilai benar (T) jika kensekuensinya bernilai benar (T) , atau premis dan kesimpulan keduanya bernilai salah (F), dan akan bernilai salah (F) jika premis bernilai benar (T), sedangkan kesimpulan bernilai salah (F).

Pembahasan Implikasi Implikasi juga disebut conditional karena mengondisikan satu kemungkinan saja sebab dan akibat.

Implikasi dapat menimbulkan salah pengertian jika dipahami dengan bahasa sehari-hari.

Contoh pernyataan :

Jika hari hujan, maka saya akan membawa payung

PERHATIKAN TABEL KEBENARANNYA, HANYA ADA SATU NILAI F pada (p → q) yaitu jika p bernilai True dan q bernilai False.

Tabel Kebenaran Implikasi ( → )

Hanya ada satu nilai F, yaitu jika p bernilai benar (T), dan q bernilai salah (F), bukan sebaliknya.

Contoh Implikasi Tentukan nilai kebenaran dari p → q

p : manusia memiliki sayap

q : manusia bisa terbang

p q : jika manusia memiliki sayap maka bisa terbang

Bukti :

Proposisi “p” merupakan suatu proposisi yang bernilai salah.

Proposisi “q” merupakan suatu proposisi yang bernilai salah.

Sehingga proposisi “p q” bernilai benar. Lihat tabel kebenaran.

Biimplikasi /Ekuivalensi(↔ ) Biimplikasi (biimplication) digunakan untuk menggantikan operator “…jika dan hanya jika… (…if only if…)”.

Biimplikasi dapat disebut sebagai bicondisional karena ia mengkondisikan dua ekspresi logika.

Operator ini akan menghasilkan pernyataan yang bernilai benar (T) jika pasangan proposisi penyusunnya bernilai sama. Jika pasangannya memiliki nilai berbeda, maka nilai proposisi yang tersusun bernilai salah (F).

Tabel Kebenaran Biimplikasi

p ↔ q nilainya True jika p maupun q nilainya sama

p ↔ q nilainya True jika p maupun q nilainya sama

Contoh Biimplikasi Tentukan nilai kebenaran dari p ↔ q

p : manusia memiliki sayap False

q : manusia bisa terbang False

p ↔ q : manusia memiliki sayap jika dan hanya jika bisa terbang

Lihat tabel kebenaran.

p : False,

q : False

p ↔ q : True

Operator nand ( | ) Merupakan kebalikan dari operator Dan , dibaca operator “tidak dan” (not and)

Operator nand kadang disebut Sheffer Stroke , sehingga simbol dari operator nand disebut vertical stroke ( | ).

Operator ini akan menghasilkan pernyataan yang bernilai salah (F) jika semua komponennya bernilai benar (T), dan akan bernilai benar (T) jika salah satu komponennya bernilai salah (F).

Pernyataan tersebut menghasilkan pernyataan yang terbalik dari operator and.

Perbandingan Tabel Kebenaran Nand ( | ) dengan Tabel Kebenaran And ( )˄

p q p|q

F F T

F T T

T F T

T T F

p q p q˄

F F F

F T F

T F F

T T T

Tabel Kebenaran Nand ( | ) Tabel Kebenaran And ( )˄

Operator nor (↓) Merupakan kebalikan dari operator Atau, dibaca operator “tidak atau” (not or)

Disebut juga Peirce Arrow (↓)

Operator ini akan menghasilkan pernyataan yang bernilai benar ( T ) jika semua komponen proposisi bernilai salah ( F ), dan akan bernilai salah (F) jika salah satu komponennya bernilai benar (T).

Pernyataan tersebut menghasilkan pernyataan yang terbalik dari operator or .

Perbandingan Tabel Kebenaran Nor (↓) dengan Tabel Kebenaran Or ( )˅

p q p(↓)

F F T

F T F

T F F

T T F

p q p( )q˅

F F F

F T T

T F T

T T T

Tabel Kebenaran Nor (↓) Tabel Kebenaran Or ( )˅

Operator xor ( )⊕ Operator xor (exclusive or) dengan simbol ( ) ⊕ mempunyai hasil tabel kebenaran yang terbalik dari operator biimplikasi /ekuivalensi (↔).

Operator ini akan menghasilkan pernyataan yang bernilai salah (F) jika pasangan proposisi penyusunnya bernilai sama. Jika pasangannya memiliki nilai berbeda, maka nilai proposisi yang tersusun bernilai benar (T).

Perbandingan Tabel Kebenaran xor (⊕) dengan Tabel Kebenaran Biimplikasi/Ekuivalensi (↔)

p q p( )q⊕

F F F

F T T

T F T

T T F

p q p(↔)q

F F T

F T F

T F F

T T T

Tabel Kebenaran xor (⊕) Tabel Kebenaran Biimplikasi/Ekuivalensi (↔)

Latihan Soal (1) Ubahlah kalimat proposisi berikut ini ke dalam bentuk logika (gunakan

variabel p, q,r....)

a. Dewi akan membayar hutang jika sudah mendapatkan uang

b. Yuli dan Yeni adalah mahasiswi berprestasi

c. Budi akan memperoleh beasiswa jika mempunyai IPK minimal 3

atau mempunyai prestasi tingkat nasional

d. Ana dan Ani akan berangkat ke Bandung jika telah lulus kuliah.

Latihan Soal (2) Buatlah tabel kebenaran dengan semua kemungkinan nilai kebenaran dari ekspresi-ekspresi logika berikut :

1. p ( p q )˄ ˅

2. p ((r q) ↔ r)˄ ˅

3. ~ ( p q)˄

4. (p q) ((~p q) → p) ˄ ˅ ˄

5. (p q) ↔ r˄

Latihan Soal (3) Misalkan p, q, dan r adalah variabel proporsisi :

p : Toni sakit flu

q : Toni mengikuti ujian

r : Toni lulus

Ubah ekspresi berikut menjadi pernyataan/kalimat dalam bahasa Indonesia :1. ~p2. p q3. (p ~q) (q ~r)4. (p q) (~q r)