PŁASKIE PRZEPŁYWYPOTENCJALNE

W ruchu płaskim wszystkie elementy płynu leżące na normalnej do pewnej nieruchomejpłaszczyzny poruszają się jednakowo

Do określenia tego ruchu wystarczy opisad ruch nieskooczenie cienkiej warstwy płynu po stałej płaszczyźnie (np. 0xy).

Wszystkie poznane dotychczas związki uproszczą się, gdyż z = 0 oraz vz = 0.

W płaskim ruchu potencjalnym stale musi byd spełniona zależnośd

Potencjałem prędkości ruchu płaskiego nazywa się skalarną funkcję spełniającązależności

Miejsce geometryczne punktów, w którym potencjał jest jednakowy, nazywa sięlinią jednakowego potencjału.

Dla przepływu płaskiego równanie linii prądu przyjmuje postad

Lub w postaci

Lewa strona tego równania przedstawia różniczkę zupełną pewnej funkcji Ψ (x, y),spełniającej zależności

Funkcję Ψ (x, y) charakteryzującą linię prądu (funkcja ta jest stała dla każdej liniiprądu) nazywa się funkcją prądu.

Weźmy pod uwagę dwie linie prądu, dla których funkcja prądu ma odpowiedniowartości C1 i C2, oraz obliczmy strumieo objętości przez odcinek łączący dwa dowolne punkty leżące na tych liniach prądu A i B (w ruchu płaskim jest to objętośd płynu przepływająca w jednostce czasu przypadająca na jednostkę długości).

Różnica wartości funkcji prądu w dwóch dowolnych punktach pola prędkości jest więc równa jednostkowemu strumieniowi objętości płynu między dwiema liniami prądu przechodzącymi przez obrane punkty

Pomiędzy potencjałem prędkości i funkcją prądu istnieje zależnośd

są to związki nazywane zależnościami Cauchy’ego–Riemanna.

Wiadomo, że jeżeli dwie funkcje spełniają związki Cauchy’ego–Riemanna, to można je przedstawid w postaci funkcji zmiennej zespolonej f (z), w której jedna z nich jest częścią rzeczywistą, a druga urojoną

Funkcję f (z) nazywa się potencjałem zespolonym.

Słuszne jest również twierdzenie odwrotne, że każda funkcja zmiennej zespolonej przedstawia pewien ruch płaski potencjalny, jej częśd rzeczywista i urojona oznaczają kolejno potencjał prędkości i funkcję prądu.

Każdemu ruchowi płaskiemu odpowiada więc pewna funkcja f (z) i każdej funkcji f (z)

odpowiada pewien ruch płaski.

Znając zatem tę funkcję, można łatwo określid wszystkie wielkości kinematyczne charakteryzujące dany ruch.

Pochodna funkcji f (z) jest równa

Pochodna ta nosi nazwę prędkości zespolonej.

Moduł prędkości zespolonej jest równy modułowi prędkości v

PRZYKŁADY PŁASKICH PÓL POTENCJALNYCH

Rozpatrzmy kilka najprostszych przypadków płaskiego ruchu potencjalnego.Z przepływów tych następnie można składad przepływy bardziej złożone.

1. Ruch równoległy

Zatem

Wartośd prędkości można również określid za pomocą prędkości zespolonej

Linie Φ = a x = const oraz Ψ = a y = const tworzą siatkę hydrodynamiczną

2. Źródło płaskie

Podstawmy z = r e ϕi

Liniami jednakowego potencjału Φ = C ln r = const są okręgi,liniami prądu Ψ = Cϕ = const jest pęk prostych wychodzących ze źródła

Liniami jednakowego potencjału Φ = C ln r = const są okręgi,liniami prądu Ψ = Cϕ = const jest pęk prostych wychodzących ze źródła

Samo źródło (punkt początkowy układu współrzędnych) jest punktem osobliwym, w którym prędkośd staje się nieskooczenie duża.

Składowe prędkości w układzie kartezjaoskim można określid za pomocą prędkościzespolonej. Stąd

3. Źródło wirowe (wir płaski)

Linie prądu są okręgami, linie potencjału prędkości tworzą pęk prostych

Składowe prędkości w układzie kartezjaoskim otrzyma się z prędkości zespolonej

4. Dipol płaski

Postępując podobnie jak w poprzednich przykładach, otrzymuje się

Linie prądu przedstawiają okręgi styczne do osi x w początku układu.

Linie jednakowego potencjału są również okręgami stycznymi, aledo osi y w początku układu.

5. Superpozycja pól przestrzennych

Omówiono potencjały i funkcje prądu kilku typowych ruchów płaskich. Po złożeniu ich można otrzymad opis ruchów bardziej złożonych, ilustrujących niektóre ważne w technice przepływy. Składając np. przepływ równoległy i źródło, otrzymuje się przepływ pokazany na rysunku a)

Ruch równoległy i para źródło–upust opisują przepływ pokazany na rysunku b

Po złożeniu przepływu równoległego i dipolu otrzyma się opływ przekroju kołowego (rys. c)).

OPŁYW CIAŁA STAŁEGO PŁYNEM.

CZYNNIKI WPŁYWAJĄCE NA OPÓR CIAŁ

na ciało (opływane lub poruszające się w płynie lepkim) działają siły ciśnieniai naprężeo stycznych. podczas opływu płynem nielepkim naprężenia styczne nie występują

Rozważmy opływ walca kołowego

Zakładamy początkowo potencjalny opływ walca o promieniu R i długości l płasko-równoległą strugą płynu nielepkiego.

Prędkośd płynu nielepkiego na powierzchni walca wynosi

Gdy znane jest pole prędkości, można na podstawie równania Bernoulliego wyznaczyd pole ciśnieo

Stosunek różnicy ciśnieo do ciśnienia dynamicznego strugi niezakłóconej,zwany jest współczynnikiem ciśnienia

nie zależy zatem od wymiarów geometrycznych walca ani parametrów przepływustrugi, a jedynie jest funkcją kąta f

Rozkład współczynnika ciśnienia na obwodzie walca:a) opływ potencjalny, b) opływ z oderwaniem laminarnej warstwy przyściennej,c) opływ z oderwaniem turbulentnej warstwy przyściennej

Rzeczywisty opływ walca:a) z oderwaniem laminarnym, b) z oderwaniem turbulentnym

Jeżeli, w przypadku rzeczywistych rozkładów ciśnienia, obliczymy siłę oporu ciśnieniowego działającą w kierunku osi x,

to przekonamy się, że siła ta jest większa od zera

Wynika to z tego, że w tylnej części walca, zwłaszcza w obszarze oderwania, ciśnienia są dużo mniejsze niż w części przedniej i wobec tego nie równoważą się one tak, jak w przepływie potencjalnym.

Z analizy rozkładów ciśnienia wynika, że opór ciśnieniowy jest tym większy, im większy jest obszar oderwania.

Zatem w przepływie z oderwaniem laminarnym opór ten jest większy niż w przepływie z oderwaniem turbulentnym.

Całkowita siła oporu składa się z oporu ciśnieniowego i oporu tarcia

Odnosząc poszczególne składniki powyższego równania do przyczym A jest polem przekroju charakterystycznego ciała opływanego, otrzymamy zależnośd

w której:

– współczynnik oporu profilowego,

– współczynnik oporu ciśnieniowego,

– współczynnik oporu tarcia.

Opór tarcia jest proporcjonalny do gradientu prędkości w kierunku normalnym do opływanej powierzchni-stosunkowo mały w przepływie laminarnym, a znacznie większy w turbulentnym.

zmiana charakteru przepływu wywołuje więc znaczne zmiany wartości oporu ciśnieniowego i oporu tarcia.

w opływach ciał, w których występują wyraźne obszary oderwania, decydujący wpływ na opór całkowity wywiera opór ciśnieniowy

w opływach tzw. ciał aerodynamicznych, w których nie ma oderwania albo występuje na znikomej powierzchni, decydującą rolę odgrywają opory tarcia.

Zależnośd współczynnika oporu profilowego rodziny elipsoid obrotowych od liczby Reynoldsa

Wpływ liczby Reynoldsa na wartości współczynnika oporu profilowego.

Podobnie jak w przypadku opływu płytki, występuje następująca zależnośd:im większa liczba Reynoldsa, tym mniejsza powierzchnia ciała jest pokryta laminarną warstwą przyścienną i tym mniejsza jest grubośd tej warstwy.

W opływach z oderwaniem pojawienie się turbulencji powoduje zasilanie warstwy przyściennej w energię kinetyczną i w konsekwencji przesunięcie się punktu oderwania do tyłu.

Ze wzrostem więc liczby Reynoldsa, w zakresie, w jakim wzrasta również turbulencja, maleje współczynnik oporu profilowego.

Opływy brył o tzw. kształtach opływowych (aerodynamicznych)

Rodzina symetrycznych profili opływowych o różnych grubościach względnych

Zależnośd udziału oporu tarcia w oporzecałkowitym od grubości względnej

Wizualizacje opływówАЛЬБОМ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

AN ALBUM OF FLUID MOTIONСОСТАВЛЕНИЕ И АВТОРСКИЙ ТЕКСТ М. ВАН-ДАЙКА

Перевод с английского Л.В. СоколовскойПод редакцией Г. И. Баренблатта и В. П. ШидловскогоМосква “Мир” 1986

Opływ potencjalny profilu NASA 64AO15

Symetryczny laminarny opływ profilu NASA 64AO15

Oderwanie warstwy przyściennej na profilu NASA 64AO15

Opływ laminarny, =5o

Opływ walca kołowego jednorodnym strumieniem Re=0,16

Opływ walca kołowego jednorodnym strumieniem Re=1,54

Opływ walca kołowego jednorodnym strumieniem Re=9,6

Opływ potencjalny płaskiej płytki

Oderwanie laminarnej warstwy przyściennej na płaskiej płytce

=2,5o, Re=10 000

Globalne oderwanie laminarnej warstwy przyściennej na płaskiej płytce

=20o, Re=10 000

Oderwanie laminarnej warstwy przyściennej na zakrzywionej płytce

Re=20 000