opr wnioskowanie statystyczne 2007
TRANSCRIPT
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
1/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
1
WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
W eknmii pewne interesujce nas zjawisk traktujemy jak jen b wielwymiarw
zmienn lsw. Rzka prawpbieostwa tej zmiennej lswej na g nie jest znany,
psiaane infrmacje pzwalaj jeynie wyrnid rzin rzkaw ktrej naley rzka
tej zmiennej losowej.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
2/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
2
Przykad:
Dzienny utarg sklepu jest zmienn lsw ) , , .
Celem wnioskowania statystycznego jest przedstawienie pewnych syntetycznych
infrmacji rzkazie zmiennej lswej reprezentujcej interesujce zjawisk na pstawie
pewnego zbioru informacji dotyczcych zjawiska (wynikw eksperymentu, prby).
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
3/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
3
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
4/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
4
Trjk , gdzie jest rzin rzkaw prawpbieostwa nazywamy
przestrzeni statystyczna.
W wielu interesujcych z praktyczneg punktu wizenia przypadkach rzin memy
przestawid w pstaci , gdzie jest pewnym zbiorem parametrw.
Przestrzeo statystyczna suy pisu zbiru mliwych mechanizmw rzzcych
eksperymentem losowym.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
5/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
5
Przykad: Rzwaamy jenkrtny rzut mnet. Oznaczmy przez
prawpbieostw trzymania ra. Przyjmujemy, e wynikiem eksperymentu jest
wyrzucenie ra alb reszki. Oznaczajc te zarzenia pwieni przez i , mamy:
,
rzina mliwych rzkaw prawpbieostwa: ,
gdzie , , , .
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
6/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
6
Jeeli , t mwimy, e eksperyment lswy jest pisany k wymiarowym
melem parametrycznym. Jeeli nie a si przestawid jak pzbir la aneg
, t mwimy, e eksperyment jest pisany melem nieparametrycznym.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
7/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
7
Podstawowym zadaniem statystyki jest panie met, ktre umliwiaj wskazanie
rzkau, rzzceg eksperymentem lswym, na pstawie bserwacji jeg wyniku . Na
g wyrnia si trzy typy takiej ientyfikacji:
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
8/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
8
1.Estymacja punktowapolega na oszacowaniu nieznanego parametru za pmcfunkcji, ktrej argumentami s bserwacje , wartciami za s pszczeglne wartci
parametru ;
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
9/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
9
2.Estymacja przedziaowa polega na oszacowaniu nieznanego parametru zapmc funkcji, ktrej argumentami s bserwacje , wartciami za s pzbiry
przestrzeni parametrw ;
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
10/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
10
3.Testowanie hipotez plega na wyrbnieniu, prze przeprwazeniemeksperymentu, takich wu rzcznych zbirw , la ktrych ,
wyknaniu eksperymentu lsweg, a nastpnie pjciu na pstawie jeg wynikw
ecyzji, w ktrym ze zbirw znajuje si nieznany parametr .
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
11/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
11
Na g atwiej jest wskazad waciwy rzka prawpbieostwa, jeeli wielkrtnie
pwtrzymy eksperyment.
N-krotne pwtrzenie eksperymentu lsweg krelamy mianem prby
losowejjeeli znaczaj zmienne lswe. Jeeli zmienne lswe s
niezalene i maj ten sam rzka, t mwimy, e prba losowa jest prosta.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
12/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
12
Dla zdarzenia elementarnego liczby nazywamy
realizacj prbylosowej , pwiaajc zarzeniu elementarnemu .
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
13/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
13
Kaa funkcja wartciach rzeczywistych, ktrej argumentami s realizacje prby
losowej, generuje pewne odwzorowanie , krelne w nastpujcy spsb:
.
Jeeli wzrwanie jest zmienn lsw, t nazywamy j statystyk.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
14/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
14
Przykadystatystyk:
rednia z prby
Niech bzie prb lsw. reni z prby nazywamy statystyk
.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
15/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
15
Wariancja z prby:
Wariancj z prby lswej , la ktrej , gdzie jest znane,
nazywamy statystyk
Gdy nie jest znane , wariancj z prby nazywamy statystyk
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
16/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
16
Dystrybuanta empiryczna:
Dla anej prby prstej , dystrybuanta empiryczna w punkcie jest
krelna nastpujcym wzrem:
gdzie dla dowolnego przez znaczamy tzw. funkcj wskanikw zbiru:
,
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
17/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
17
POLSKA POWIATY 2000 PRZYROST NATURALNY
-9,23-8,14
-7,06-5,97
-4,89-3,80
-2,71-1,63
-0,540,54
1,632,71
3,804,89
5,977,06
8,149,23
0
50
100
150
200
250
300
350
400
liczbaobserwacji
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
18/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
18
Wspczynnik korelacji z prby:
Niech ana bzie prba prsta , ktrej elementami s wuwymiarwe
wektry. Wspczynnik krelacji z prby jest krelony nastepujacym wzorem:
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
19/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
19
Histogram z prby:
POLSKA POWIATY 2000 r.
POW. MIESZK. NA 1 MIESZK.
0% 0% 1%
7%
20%
27%
24%
10%
7%
3%
1%0% 0%
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
POW. MIESZK. NA 1 MIESZK.
0%
5%
11%
16%
21%
27%
32%
Percentofobs
0
20
40
60
80
100
120
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
20/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
20
Estymacja punktowa
Niech bzie prb lsw w melu pisanym za pmc przestrzeni
statystycznej , gdzie . Na g jest tak, e rzka
prawdopodobienstwa danej statystyki zaley parametru . Obserwacje
statystyki mna wykrzystad wniskwania parametrze .
Ka statystyk , ktra przyjmuje wartci z przestrzeni parametrw ,
bziemy nazywad estymatoremparametru .
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
21/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
21
Nieobciono estymatora
Oznaczmy przez estymator parametru rzkau zmiennej lswej w
ppulacji bliczany w parciu prb lsw .
Jeelima miejsce: ,
t mwimy, e jest estymatorem nieobcionym.
/ Psugujc si estymatrem niebcinym reni rzecz birc trafiamy w prawziw
wartd parametru /
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
22/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
22
Przykady:
W przypadku gdy , to
renia arytmetyczna z prby jest niebcinym estymatrem wartci czekiwanej w
populacji.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
23/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
23
Niech oraz niech , w przypadku, gdy
znamy wartd czekiwan w populacji wtedy
.
W przypadku, gy nie znamy wartci czekiwanej w ppulacji mamy:
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
24/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
24
Dlateg te wprwaza si nieobciony estymator wariancji:
Mamy wwczas:
Obcieniem estymatora parametru nazywamy wielkd .
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
25/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
25
Estymatory zgodne
Niech bzie cigiem niezalenym zmiennych lswych tym samym rzkazie
zalecym parametru rzeczywisteg . Niech bzie estymatrem
parametru , otrzymanym na podstawie obserwacji . Mwimy, e jest
zgodny,jeeli la kaeg ,
.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
26/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
26
Zgnd znacza, e la statecznie uych licznci prby estymator przyjmuje z
uym prawpbieostwem wartci bliskie estymwanemu parametrwi .
Przykayestymatrw zgnych:
rednia arytmetyczna, meiana z prby
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
27/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
27
Mwimy, e estymatr parametru jest mocno zgodny, jeeli speniny jest warunek
Mcna zgnd znacza, e z prawpbieostwem 1 realizacje estymatra , przy
, do estymanowanego parametru.
Przykayestymatrw mcn zgnych :
rednia arytmetyczna, dystrybuanta empiryczna
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
28/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
28
Odporno estymatora
Oznaczmy przez estymatr, wzrwanie przyprzkwujace jeen b wicej
parametrw z ustalneg zbiru parametrw kaemu rzkawi zmiennej losowej o
wartciach w zbirze .
Rzwamy wszelkie zanieczyszczne prby n elementowe , ktre uzyskujemy przez
zastpienie obserwacji w nelementwej prbie z rzkau dowolnymi obserwacjami
(np. bserwacjami stajcymi).
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
29/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
29
Oznaczmy przez maksymalne bcienie, ktre me pwstad przez takie
zastpienie: , gdzie supremum brane jest po wszystkich
prbach .
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
30/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
30
W przypadku, gdy jest nieskoczne, tzn. jenstek stajcych me mied
wlnie wielki wpyw na , mwimy, e estymatr amie si. Punkt zaamania estymatra
w prbie definiowany jest jako:
.
Innymi swy jest t najmniejsza frakcja zastpienia, ktra me sprawid, e estymatr
przyjmuje wartci wlnie lege wielkci, ktr estymuje.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
31/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
31
Punkt zaamania reniej arytmetycznej z prby wynosi 0% - zalewie jena stajca
bserwacja jest w stanie znieksztacid analiz prwazna za pmcreniej, punktzaamania
meiany z prby jest bliski 49%.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
32/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
32
Estymacja przedziaowa
Niech ana bzie prba lswa , ktrej rzka zaley pewneg parametru
rzeczywistego . Przeziaem ufnci la parametru na pzimie ufnci
nazywamy przezia speniajcy warunki:
1) oraz s funkcjami prby lswej nie zalejednak od .
2)Dla kaeg ,.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
33/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
33
Koce przeziau ufnci s zmiennymi lswymi, jenak la uej liczby realizacji
przeziau ufnci czstd pkrycia parametru przeziaem jest w przyblieniu rwna
.
Rnica nazywana jest ugci przeziau ufnci.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
34/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
34
Przykad 1
Interesujca nas cecha w ppulacji jest zmienn lsw rzkazie nrmalnym ) , nie
znamy ale znamy . Pobieramy nelementw prb prst z ppulacji tzn. .
Wiemy, e statystyka
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
35/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
35
Ustalamy pewn liczb np.
W tablicach rzkau szukamy liczby , ktra spenia ,
y=normal(x;0;1)
-3,00 -1,96 0,00 1,96 3,000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
36/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
36
Rzwizujemy nierwnd wzglem :
Otrzymujemy:
Przezia pstaci jest przeziaem ufnci la nieznanej wartcioczekiwanej .
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
37/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
37
Przykad 2
Interesujca nas cecha w ppulacji jest zmienn lsw rzkazie nrmalnym ) , nie
znamy , nie znamy take . Pobieramy n elementw prb prst z populacji tzn.
( .
Wiemy, e statystyka
ma rzka - Studenta o stopniach swobody.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
38/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
38
Ustalamy pewn liczb np.
W tablicach rzkau Studenta o szukamy liczby , ktra spenia
,
np. la prby 4 elementowej
y=student(x;4)
-3,00
-2,13
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
2,13
3,000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
39/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
39
Rzwizujemy nierwnd wzglem :
Otrzymujemy:
Przezia pstaci jest przeziaem ufnci la nieznanej wartci
oczekiwanej .
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
40/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
40
Interpretacja:
Realizacje przeziau ufnci na g rni si prby prby jena k dla ustalonego
wspczynnika ufnci czstd pkrycia przez realizacj przeziau ufnci nieznaneg
parametru bzie w przyblizeniu rwna . Precyzj szacwania przeziaweg mna
wiazad z ugci przeziau ufnci. Na g im wyszy przyjmiemy wspczynnik ufnci tym
nisza bzie precyzja szacwania przeziaweg.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
41/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
41
Testowanie hipotez
Dana jest pewna przestrzeo statystyczna , gdzie , ,
. Stwierzenia, ktre maj pstad oraz bziemy nazywad
hiptezami statystycznymi i bziemy znaczad pwieni literami i . Hiptez
bziemy nazywad hipotez alternatywndla hipotezy zerowej .
Hiptez nazywamy prst, jeeli pwiaajcy jej zbir , zawiera tylko jeden
parametr, w przeciwnym razie mwimy hiptezie zonej.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
42/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
42
Testem statystycznymnazywamy met pstpwania, ktra mliwym realizacjm
prby lswej , okrelonej na przestrzeni statystycznej przypisuje
ecyzj rzucenia (alb przyjcia) weryfikwanej hiptezy.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
43/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
43
W celu zbudowania testu do weryfikacji postawionej hipotezy naley sknstruwad wa
peniajce si zbiry i ( , ) raz pewn statystyk ,
nazywan statystyk testow, przy czym:
Jeeli to odrzucamy na rzecz
Jeeli to przyjmujemy.
Zbir Knazywamy zbiorem krytycznym, zbir Wnazywamyzbiorem przyj.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
44/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
44
W procedurze decyzyjnej, przy weryfikacji ustalonej hipotezy bdem I go rodzaju
nazywamy rzucenie na pstawie wynikw prby lswej weryfikwanej hiptezy wtey,
gdy jest ona prawdziwa, a bdem II go rodzaju nazywamy przyjcie na pstawie
wynikw prby weryfikwanej hiptezy wtey, gy jest na faszywa
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
45/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
45
Jeeli H0 i H1 s hiptezami prstymi tzn.: wwczas
prawpbieostwa bw pierwszeg i rugiegrodzaju obliczamy odpowiednio:
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
46/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
46
- prawpbieostw, e
wartd statystyki testwej wpanie zbiru krytyczneg K gy wartd parametru wynosi
;
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
47/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
47
- prawpbieostw, e
wartd statystyki testwej wpanie zbiru przyjd W, gy wartd parametru wynosi
.
Uwaga:zbiory Ki Wwyznaczamy zakaajc prawziwd H0
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
48/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
48
Moc testu nazywamy prawpbieostw pjcia prawiwej ecyzji plegajcej na
rzuceniu weryfikwanej hiptezy na pstawie wynikw z prby, gy jest na faszywa.
Moc testu
prawpbieostw, e rzucimy
hiptez gdy prawdziwa jest hipoteza alternatywna .
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
49/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
49
Testem najmocniejszymnazywamy test, ktry jest party na takim zbirze krytycznym
K0 (tym samym na zbirze przyjd W0), la ktreg przy ustalnym z gry
prawpbieostwie bu I- g rzaju, prawpbieostw bu II go rodzaju jest
najmniejsze.
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
50/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
50
Przykad:
; vs. ; w przypadku gdy wnioskujemy w oparciu o jedna
bserwacj z :
"H_1 = Normal(x;7;2)" ; "H_0 = Normal(x;5;2)"
0,00 2,00 4,00 6,00 7,56 10,00 12,00 14,000,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
alfa = 0.1
beta (prawd bdu II rodzaju)
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
51/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
51
Natmiast w przypaku gy wniskujemy w parciu reni z czterelementwej prby z :
"H_0 = =normal(x;5;1)" ; "H_1 = Normal(x;7;1)"
0,00 4,00 6,28 10,00 14,000,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
alfa = 0,1
beta (prawd. bdu II rodzaju)
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
52/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
52
WYBRANE TESTY STATYSTYCZNE
TEST DLA WARTOCI OCZEKIWANEJ 1
Baamy pewn ppulacj ze wzglu na cech statystyczn ktrej zakaamy, e jest
zmienna lsw rzkazie , nie znamy ale znamy odchylenie standardowe .
Zamierzamy zweryfikwad uka hiptez:
vs.
( ; ) na pzimie isttnci
/
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
53/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
53
Postpowanie:
Z populacji pobieramy elementw prb, bliczamy reni arytmetyczn z prby
Przy zaeniu prawziwci hiptezy zerwej statystyka testowa:
ma rzka .
W k S D K k 00 / 00
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
54/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
54
W tablicach rzkau szukamy liczby speniajcej warunek: .
Knstruujemy zbir krytyczny pstaci . Jeeli wartd statsystyki
testowej bliczna z naszej prby wpanie zbiru krytyczneg t odrzucamy. Jaka
bzie pstadzbioru krytycznego w przypadku hipotez oraz .
W i k i S D K i ki 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
55/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
55
TEST DLA WARTOCI OCZEKIWANEJ 2
Badamy pewn ppulacj ze wzglu na cech statystyczn ktrej zakaamy, e jest
zmienna lsw rzkazie , nie znamy wartci czekiwanej ani odchylenia
standardowego . Zamierzamy zweryfikwad uka hiptez:
vs.
( ; ) na pzimie isttnci
W i k i St t t D K i ki 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
56/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
56
Postpowanie:
Z populacji pobieramy elementw prb, bliczamy reni arytmetyczn z prby i
odchylenie standardowe .
Przy zaeniu prawziwci hipotezy zerowej statystyka testowa:
ma rzka - Studenta o stopniach swobody
W i k i St t t D K i ki 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
57/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
57
W tablicach rzkau Studenta o stopniach swobody szukamy liczby speniajcej
warunek: . Knstruujemy zbir krytyczny pstaci .
Jeeli wartd statsystyki testwej bliczna z naszej prby wpanie zbiru krytyczneg
to rzucamy. Jaka bzie pstad zbiru krytyczneg w przypaku hipotez oraz .
Wnioskowanie Statystyczne D Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
58/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
58
TEST RWNOCI WARTOCI OCZEKIWANYCH W DWCH POPULACJACH
Badamy dwie populacje oraz , nie znamy chyleo stanartwych
w ppulacjach ale zakaamy, e ma miejsce . Zamierzamy zweryfikwad ukla hiptez:
vs.
( ; ) na pzimie isttnci
Wnioskowanie Statystyczne D Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
59/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
59
Z populacji pobieramy elementw prb
Z populacji pobieramy elementw prb
Obliczamy: , , ,
Przy zaeniu prawziwci hiptezy zerwej statystyka testowa:
ma rzka - Studenta o stopniach swobody.
Wnioskowanie Statystyczne D Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
60/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
60
W tablicach rzkau Studenta o stopniach swobody szukamy liczby
speniajcej warunek: . Knstruujemy zbir krytyczny pstaci
. Jeeli wartd statsystyki testwej bliczna z naszej prby
wpadnie do zbioru krytycznego to rzucamy. Jaka bzie pstad zbiru krytyczneg w
przypadku hipotez oraz .
Wnioskowanie Statystyczne D Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
61/79
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
61
Test zgodnoci
Interesujca nas cecha w ppulacji ma rzka prawpbieostwa nieznanej
dystrybuancie . Zamierzamy zweryfikwad hiptez zerw gszc, e nieznan
ystrybuant jest pewna ustalna ystrybuanta (dystrybuanta teoretyczna):
vs. ; na ustalnym pzimie isttnci
Wnioskowanie Statystyczne D Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
62/79
Wnioskowanie Statystyczne D. Kosiorowski 2007/2008
62
Dzielimy cay zbir liczb rzeczywistych na rzcznych przeziaw za pmc liczb
tzn.:
Niech znacza prawpbieostw, e zmienna lswa przyjmie wartd z przeziau
jeeli zmienna ma rzka wyznaczny ystrybuant (prawziw jest ), niech .
Wnioskowanie Statystyczne D. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
63/79
Wnioskowanie Statystyczne D. Kosiorowski 2007/2008
63
W takiej sytuacji liczba jest czekiwan liczb bserwacji w elementwej prbie, ktre
przyjmuj wartd (wpaaj ) przeziau .
Wnioskowanie Statystyczne D. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
64/79
W k w e S y y z e w k /
64
Postpowanie:
Z populacji pobieramy elementw prb lsw.
Niech znacza liczb bserwacji w prbie, ktre przyjmuj wartci z przezialu . K.
Pearsn uwni, e statystyka:
Przy zaeniu prawziwci hiptezy zerwej ma rzka o stopniach swobody, gdy
.
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
65/79
y y z /
65
Dzielimy zakres wartci jakie me przyjmwad zmienna lswa na rzcznych
przezialw, zliczmy ile bserwacji prby przyjmuje wartsci z teg przeziau. Obliczamy
wartd statystyki testwej .
Dla ustalneg pzimu isttnci w parciu tablice rzkau o stopniach
swby wyznaczmy zbir krytyczny pstaci , gzie wartd krytyczna wyznaczana
jest z warunku .
Jeeli wartd statystyki testwej wpanie zbiru krytyczneg hiptez zerwodrzucamy.
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
66/79
y y z
66
Przykad: Przyrost naturalny w powiatach RP w roku 2000
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
67/79
y y z
67
Zmienna: PRZYROST NATURALNY, Rozkad: Jednostajny
Chi-Square test = 133,44, df = 16, p = 0,00000
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Category (upper limits)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
No.ofobservations
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
68/79
68
Test niezalenoci
Baamy pewn ppulacj ze wzglu na wuwymiarw cech statystyczn , ktrej
zakaamy, e jest wuwymiarw zmienna lsw nieznanym rzkazie. Zamierzamy
zweryfikwac hipteze zerw:
vs.
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
69/79
69
Postpowanie:
Niech cecha przyjmuje wartci ,
Niech cecha przyjmuje wartci .
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
70/79
70
Z populacji pobieramy - elementwa prb, ane zestawiamy w postaci nastepujacej tabeli:
XY
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
71/79
71
Gdzie symbol znacza liczb elementw prby ktre maj wartd co do cechy oraz
wartd co do cechy . Symbol oznacza tzw. liczno brzegow la wartci - ile
elementw w prbie przyj wartd bez wzglu na t jak przyje wartd c cechy .
Zachz przy tym rwnci:
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
72/79
72
Jeeli hipteza , e cechy i s niezalene, jest prawdziwa, to statystyka:
,
ma, gdy , rzka o stopniach swobody.
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
73/79
73
Ustalamy pzim isttnci , z tablic rzkau o czytujemy wartd
speniajc warunek . Knstruujemy zbir krytyczny pstaci - jeeli
wartd statsystyki z prby wpadnie do zbioru krytycznego, to odrzucamy.
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
74/79
74
Przykad:
Istnieje pwszechne przeknanie, e biega znajmd jzykw bcych isttnie zwiksza szanse
na znalezienie brze patnej pracy. W celu zweryfikwania przeknania w lutym 2005 rku
wylswan 1000 rsych mieszkaocw wjewztwa maplskieg i zapytano ich o
wielkd chu uzyskaneg w rku 2004 raz bieg znajmd c najmniej jeneg jzyka
bceg. Rezultaty baania zestawin w pniszej tabeli:
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
75/79
75
DOCHD PRZED OPODATKOWANIEM W ROKU 2004
Pniej reniej krajwej Pwyejreniej krajwej
Waa biegle c najmniej jenym
jzykiem bcym
100 50
Nie waa biegle jzykiem bcym 500 350
W parciu ane zawarte w tabeli zweryfikwad pwszechne przeknanie. Przyjd pzim
isttnci rwny 5%.
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
76/79
76
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
77/79
77
Uwagi na temat odpornoci testu statystycznego
Procedur wyboru waciwego modelu stochastycznego, w kategoriach ktrego rozpatruje si
zaobserwowane dane okrela si jako specyfikacj modelu. Na og pocztkowo wybiera si tzw.
oglny model roboczy w oparciu o obserwacje szacuje si szczegln posta modelu (kryterium
dobroci oszacowania odnosi si do oglnego modelu roboczego). Mona tu popeni tzw. bd
specyfikacji w przypadku gdy oglny model roboczy nie zawiera prawdziwego modelu
stochastycznego generujcego dane.
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
78/79
78
W praktyce wybr modelu stochastycznego poprzedzony jest odpowiedziami na pytania:
- w jaki sposb pozyskiwane s dane?- na ile dane obarczone s bdami pomiaru i zapisu?- co jest populacj, o ktrej informuj dane?- czy dysponujemy uyteczn informacj a priori o badanym zjawisku lub o naturze
zaobserwowanych danych?
Wnioskowanie StatystyczneD. Kosiorowski 2007/2008
-
5/23/2018 Opr Wnioskowanie Statystyczne 2007
79/79
Mwic o odpornoci procedury statystycznej bardzo czsto za punkt odniesienia przyjmuje si myl
Boxa i Andersena Uyteczne w badaniach testy statystyczne to takie, ktre: 1) s wraliwe na
zmiany tych wielkoci, ktrych dotycz weryfikowane hipotezy, 2) nieczue na zmiany tych
wielkoci, ktre w danym problemie graj rol czynnikw pobocznych. Test speniajcy pierwszy
postulat nazywa si mocnym, test speniajcy drugi postulat bdziemy nazywamy odpornym.
Okrelenie odporny (ang.: robust) stosuje si do procedur statystycznych, zwaszcza testw
statystycznych oraz do statystyk, na ktrych si te metody opieraj.