opredelenie konusa
TRANSCRIPT
![Page 1: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/1.jpg)
Определение конуса.
МОУ СОШ №256 г.Фокино
![Page 2: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/2.jpg)
Круговым конусом называется тело ограниченное кругом – основанием конуса, и конической
поверхностью, образованной отрезками, соединяющими точку, вершину конуса, со всеми
точками окружности, ограничивающей основание конуса.
![Page 3: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/3.jpg)
Элементы конуса.
![Page 4: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/4.jpg)
Конус – это тело, которое получается, если коническую поверхность, образованную прямыми, соединяющими фиксированную точку со всеми точками какой–нибудь
кривой, ограничить плоскостью.
![Page 5: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/5.jpg)
Прямой круговой конус.
Круговой конус называется прямым, если его высота попадает в центр круга.
![Page 6: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/6.jpg)
Все образующие конуса равны между собой и составляют один угол с основанием.
SOBSOA ∆=∆
lSBSA ==
SBOSAO ∠=∠
![Page 7: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/7.jpg)
• Чему равен угол между образующей и основанием конуса, если известен угол между высотой и образующей.
?
650
![Page 8: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/8.jpg)
• Конус можно получить, вращая прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов. При этом осью вращения будет прямая, содержащая высоту конуса. Эта прямая так и называется – осью конуса.
![Page 9: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/9.jpg)
• Конус получен при вращении прямоугольного треугольника
S = 14. Радиус основания конуса равен 4. Определите высоту этого конуса.
?7
![Page 10: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/10.jpg)
Сечения конуса.
• Если через вершину конуса провести плоскость, пересекающую основание, то в сечении получится равнобедренный треугольник.
![Page 11: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/11.jpg)
• Сечение конуса, проходящее через ось, называется осевым. В основании осевого сечения лежит диаметр – максимальная хорда, поэтому угол при вершине осевого сечения – это максимальный угол между образующими конуса. (Угол при вершине конуса).
Сечения конуса.
сечениеосевоеSKL −∆диаметрRKL −= 2
.
2
конусавершине
приуголKSL −=∠ α
![Page 12: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/12.jpg)
• Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус основания конуса и образующая.
? 30
![Page 13: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/13.jpg)
• Любое сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, - это круг.
Сечения конуса.
![Page 14: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/14.jpg)
• Через середину высоты конуса провели плоскость, перпендикулярную оси, и получили круг R = 5. Чему равна площадь основания конуса?
?
100π
![Page 15: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/15.jpg)
Задача.
Дано: H = R = 5;
SAB – сечение;
d (O, SAB) = 3.
Найти: SΔSAB
![Page 16: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/16.jpg)
1) В сечении равнобедренный треугольник. Найдем его высоту.
~SOH∆ SDO∆
SH
SO
SO
SD =
4
25
35
5522
2
=−⋅==
SD
SOSH
![Page 17: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/17.jpg)
2) Определим боковые стороны и основание треугольника, являющегося сечением.
: SOAИз ∆
2555 22 =+=SA
: SAHИз ∆
4
75
4
17522 ==−= SHSAAH
![Page 18: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/18.jpg)
3) Вычислим площадь треугольника.
4
25=SH4
75=AH
2
552 =⋅= AHAB
16
7125
2
75
4
25
2
1
2
1 =⋅⋅=⋅=∆ ABSHS SAB
![Page 19: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/19.jpg)
Вписанная и описанная пирамиды.
Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой – многоугольник, вписанный в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.
![Page 20: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/20.jpg)
• Пусть высота конуса равна 5 , а радиус основания – 2.
В конус вписана правильная треугольная пирамида. Определите ее объем.
? 5√3
![Page 21: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/21.jpg)
Пирамида называется описанной около конуса, если ее основание – это многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.
Вписанная и описанная пирамиды.
![Page 22: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/22.jpg)
Плоскости боковых граней описанной пирамиды проходят через образующую конуса и касательную к окружности основания, т.е. касаются боковой поверхности конуса.
![Page 23: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/23.jpg)
• Вокруг конуса описана правильная четырехугольная пирамида. Радиус основания и образующая конуса известны. Найдите боковое ребро пирамиды.
?2√2
![Page 24: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/24.jpg)
Боковая поверхность конуса. Под боковой
поверхностью конуса мы будем понимать предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной пирамиды, когда число боковых граней неограниченно увеличивается.
![Page 25: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/25.jpg)
Теорема. Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения длины
окружности основания на образующую.
Дано:
R – радиус основания конуса,
l – образующая конуса.
Доказать:
Sбок.кон.= π Rl
![Page 26: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/26.jpg)
Доказательство:
hРS пироснпирбок ⋅= .... 2
1
lh →RP пиросн π2 .. →
RlRlS конбок ππ =⋅⋅= 22
1..
![Page 27: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/27.jpg)
• Пусть конус будет получен от вращения прямоугольного треугольника с известными катетами. Найдите боковую поверхность этого конуса.
?20π
![Page 28: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/28.jpg)
Развертка конуса. Развертка конуса –
это круговой сектор. Его можно рассматривать как развертку боковой поверхности вписанной правильной пирамиды, у которой число боковых граней бесконечно увеличивается.
![Page 29: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/29.jpg)
• Зная угол, образованный высотой и образующей конуса, можно вычислить угол сектора, полученного при развертке конуса, и наоборот.
![Page 30: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/30.jpg)
• Найдем выражение для градусной меры угла развертки конуса.
![Page 31: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/31.jpg)
• По данным рисунка определите, чему равен угол развертки этого конуса. Ответ дайте в градусах.
?
720
![Page 32: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/32.jpg)
Дано: полукруг радиусом R = 8.Найти: Н, β ( угол между образующей и
основанием.)
Задача.
![Page 33: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/33.jpg)
1) Используем формулу, связывающую угол кругового сектора развертки с углом между высотой и
образующей конуса. Получим угол между высотой и образующей, а затем найдем угол между образующей и
основанием конуса.
πϕ =αππ sin2 ⋅=
2
1sin =α
030=α00 6090 =−= αβ
![Page 34: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/34.jpg)
2) Найдем высоту конуса, используя определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике.
R
Htg =β
3600 =tg
βtgRН ⋅=38=H
![Page 35: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/35.jpg)
Объем конуса.
Дано: R – радиус основания
Н – высота конуса
Доказать: Vкон.= 1/3 Sосн.H
Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
HRVкон ⋅⋅= 2
. 3
1π
![Page 36: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/36.jpg)
Объемом конуса будем считать предел, к которому стремится объем вписанной в этот конус правильной пирамиды, когда число боковых граней неограниченно увеличивается.
Доказательство:
![Page 37: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/37.jpg)
Доказательство:
HSV пироснпир ⋅= ... 3
1
2
.... RSS коноснпиросн π=→
HRНSНS коноснпиросн
2
.... 3
1
3
1
3
1 π=→
HRVкон2
. 3
1π=
![Page 38: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/38.jpg)
• Найдите объем конуса, если радиус его основания равен трем, а образующая равна пяти.
?12π
![Page 39: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/39.jpg)
Дано:
SABC – пирамида, вписанная в конус
SA = 13, AB = 5,
ے ACB = 300.
Найти: Vконуса
Задача.
![Page 40: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/40.jpg)
1) Найдем радиус конуса по теореме синусов.
R230sin
50
=
2
130sin 0 =
5=R
![Page 41: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/41.jpg)
2) У пирамиды, вписанной в конус, высота равна высоте конуса и попадает в центр описанной
окружности. Найдем высоту пирамиды.
: SOBИз ∆222 HRSB +=
1222 =−= RSBH
![Page 42: Opredelenie konusa](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042715/55a019031a28abd26f8b4649/html5/thumbnails/42.jpg)
3) Определим объем конуса.
HRVкон ⋅⋅= 2
. 3
1π
ππ 1001253
1 2
. =⋅⋅=конV