OPTIMASI MULTIVARIABEL DENGAN KENDALA KESAMAAN

Fungsi kontinu Min f(x)

Kendala gj = 0, di mana j = 1, 2, ... m

Vektor Rn, syarat m n

nx

x

x

x 2

1

...

Penyelesaian dengan 3 cara :1. Metode Substitusi Langsung

a. nyatakan n variabel dengan (n-m) variabel lainb. substitusikan m kendala ke fungsi tujuan, fungsi tujuan mengandung n-m variabelc. selesaikan optimasi n-m variabel tanpa kendala

Contohnya

Contoh:

Minimumkan f(x1, x2, x3)= ½(x12+ x2

2+ x32)

Kendala g1= x1- x2 = 0g2= x1+x2+x3-1

Jawab:g1= 0 x1= x2

g2= 0 x1+x1+x3-1=0 x3=1-2x1

f(x1, x2, x3)= ½(x12+ x1

2+ (1-2x1)2)=½(2x12+(1-2x1)2) f(x1)

1x

f

= ½(4x1+2(1-2x1)(-2)) = 2x1-2(1-2x1)

1x

f

= 0 x1-(1-2x1)= 0 x1-1+2x1= 0 3x1= 1x1= 1/3, x2= 1/3 x3= 1-2/3 = 1/3

21

2

x

f

= 2+4=6>0,f(1/3,1/3,1/3)= 1/6 Optimum Minimum

2. Metode Constrained Variation a. Untuk n = 2, m = 1 agar f(x1

*, x2*)

merupakan optimum x1*, x2

* harus memenuhi 0

1221

x

g

x

f

x

g

x

f

b. Syarat perlu agar f(x*) merupakan optimum

Contohnya

0

.........

..........

....

1

1

21

21

m

mm

k

m

mk

mk

x

g

x

g

x

g

x

f

x

g

x

g

x

f

x

f

x

f

x

f

...

...

Minimumkan f = 9-8x1- 6x2- 4x3+ 2x12+2x2

2+ x32+ 2x1

x2+2x1x3 Kendala x1+x2+2x3= 3Jawab:n = 3, m = 1, Ambil y3 = x3, y2 = x2 sehingga y1= x1 011

11

x

gj

g

gj

k = m + 1 = 2

12

12

12

12

x

g

x

g

x

f

x

f

y

g

y

g

y

f

y

f

-6+4x2+ 2x1 -8+ 4x1+2x2+2x3

1 1

= -6+4x2+2x1+8-4x1-2x2-2x3

= 2+2x2+2x1-2x3 = 0 x1 – x2 + x3 – 1 = 0 ...(1)

Lanjutkan

k = m + 2 = 3 = n

13

13

y

g

y

g

y

f

y

f

-4+2x3+2x1 -8+ 4x1+2x2+2x3

2 1

= -4+2x3+2x1+16-8x1-4x2-4x3

= 12-2x3-6x1-4x2

= 2(6-x3-3x1-2x2)= 0 3x1+2x2+x3-6= 0 ... (2)

3x1+2x2+x3-6 = 0 ... (2) x1 – x2+x3–1 = 0 ...(1)(-)

2x1+ 3x2 - 6 = 0 x2= 5 - 2x1 3

x1 – x2+x3–1 = 0

x3 = 8 - 5x1

3

5 - 2x1

3+x3–1 = 0

3x1–5+2x1+3x3–3= 05x1+3x3– 8= 0

x1 –

x1 – x2+2x2 = 3

5 - 2x1

3+2x1 – 8 - 5x1

3= 3

3x1 + 5 - 2x1 + 16 - 10x1 = 9

9x1= 12x1 = 4 ;

3x2 = 7 ;

9x3 = 4

9

3. Metode MultiplikatorJika titik-titik ekstrem dari fungsi Z = f(x;y) harus ditentukan dengan restriksi (x;y)=0, maka berlaku persyaratan sebagai berikut:

(x;y)=0;

R

yxyxfy

yxyxfx

0)];();([

0)];();([

Penentuan Titik Ekstrem

yyyx

f

yx

f

..)(

2)( 22

2

2

2

2

2 )(

xy

f

< 0 max

> 0 min

Catatan:);();;( yxyxff

Metode tersebut juga berlaku untuk n variabel bebas dan m restriksi (n + m persamaan) Contohnya

Contoh:

Fungsi Z = f(x;y) = x2 + xy + y2

Restriksi : (x;y) = xy – 9 = 0Tentukan titik ekstrimnya!Jawab :

0;;

0;;

0;

yxyxfy

yxyxfx

yx

Xy – 9 =

02x + y + y= 0

x + 2y + x= 0

x1;2 = 3

y1;2 = 3

= - 3Nilai ekstrem adalah P1 (3;3;27) & P2 (-3;-3;-27)

Penentuan Jenis Titik Ekstrem :

2)2(

;;;1)(

;;2)(

2

222

2

2

2

y

fx

yy

xyx

fx

yx

f

Oleh karena itu:22 2)1(22 yxyx

Untuk P1 berlaku:

= 2*9 – 2(1-3)*3*3 + 2*9 = 72 > 0 Minimum

Untuk P2 berlaku:

= 2*9 – 2(1+3)*(-3)*(-3) + 2*9 = -36 > 0 Maksimum

Metode Lagrange

Prinsipnya adalah menambahkan satu variabel 1. Syarat perlu agar f(x1

*,x2*) merupakan jawaban masalah optimasi

Minimasi f(x1*,x2

*)

Kendala g(x1,x2) = 0

adalah

0,

0,

0,

*2

*1

*2

*1

22

*2

*1

11

xxg

xxx

g

x

f

xxx

g

x

f

2. Misalkan x suatu vektor masalah optimasi f(x) terhadap kendala g(x) = 0 didapat dengan f(x) = g(x), dan g(x) = 0L(xi,) = f(xi) + g(xi) Vektor x, y memenuhi persamaan tersebut = titik kritis

3. Syarat cukup agar f(x*) merupakan minimum relatif

*

1 1

2

xxxxxx

Qn

i

m

jji

ji

Definit Positif

4. Optimasi multivariabel dengan kendala pertidaksamaan Prinsipnya adalah menambah variable slack tak negatif yj

2 sehinggaminimum f(x) dan kendala gj(x) 0, j = 1, 2, ... m menjadi Gj(x,y) = gj(x) + yj

2 = 0, j = 1, 2, ... m Titik x* dimana f(x*) minimum dengan syarat Kuhn-Tucker

01

i

j

jjj

i x

g

x

f

Dimana i = 1, 2, ... n, j 0,

j jiJ1 = kendala aktifJ2 = kendala tidak aktif

Jika kumpulan kendala aktif tidak diketahui, maka:

0

0

0

01

j

j

jj

m

j i

jj

i

g

g

x

g

x

f

, i = 1, 2, ... n

, j = 1, 2, ... m

, j = 1, 2, ... m

, j = 1, 2, ... m

Contoh:

1. Minimasi f(x1, x2, x3) = x12+x2

2+ x3+40x1+20 x2-3000

Kendala g1= x1-50 0

g2= x1+x2-100 0

g3= x1+x2+x3-150 0

1. Minimasi f(x1, x2, x3) = x12+x2

2+ x3+40x1+20 x2-3000Kendala g1= x1-50 0 g2= x1+x2-100 0 g3= x1+x2+x3-150 0

Syarat Kuhn-Tucker

3,2,1,03

3

2

2

1

1

1

ix

g

x

g

x

g

x

f

Contoh:

2x1+40+ 1+ 2+ 3 = 0 2x2+20+ 2+ 3 = 0 2x3+ 3 = 0 jgj = 0, j = 1, 2, 3

1(x1-50) = 0 2(x1+x2-100) = 0 3(x1+x2+x3-150) = 0j 0, j = 1, 2, 3, 1 0, 2 0, 3 0Dari 1(x1-50) = 0 1 = 0 atau x1 = 50

(i) Jika x1 = 50 2x1+40+ 1+ 2+ 3 = 0 2x2+20+ 2+ 3 = 0 2x3+ 3 = 03 = -2x3

2 = -20-2x2-3 = -20-2x2+2x3

1 = -40-2x1-2-3 = -120+2x2Substitusi:2(x1+x2-100) = 03(x1+x2+x3-150) = 0

Sehingga:(-20-2x2+2x3)(x1+x2-100) -2x3 (x1+x2+x3-150) = 0

Sistem ini mempunyai 4 jawaban, yaitu:

-

1. -20-2x2+2x3 = 0, x1+x2+x3-150 -10-x2+x3 = 050+x2+x3-150 = 090-2x2= 0

x2= 0x1= 50, x2= 45 melanggar x1+x2 100

x3 = 150-x1-x2 x3 = 150-50-45 = 55 x1= 50, x2= 45, x3 = 55

2. -20-2x2+2x3 = 0, -2x3 = 0 x3 = 0, x2 = -10x1= 50, x2= -10, x3 = 0, melanggar x1+x2 100

3. x1+x2-100 = 0, -2x3 = 0 x3 = 0, 50+x2 = 100 x2 = 50x1= 50, x2= 50, x3 = 0, melanggar x1+x2+x3 150

4. x1+x2-100 = 0, x1+x2+x3 – 150 = 0 50+x2 = 100, 50+50+x3 =150

x2 = 50 x3 = 50 x1= 50, x2= 50, x3 = 50

Jawaban ini memenuhi kendala

3 = -2x3 = 100, 2 = -20-100+100= -20, 1 = -120+100 = -201 = -20, 2 = -20, 3 = -100

x1 = 50, x2 = 50, x3 = 50

Sehingga titik optimum :x1

* = x2* = x3

* = 50

2. Maksimumkan f(x1, x2) = x1x2, x1>0, x2>0Kendala g(x1,x2)= x1

2+x22-4 = 0

Jawab: L(x1,x2,) = x1x2 + (x1

2+x22-4)

04

202

202

22

21

2

121

2

1

212

1

xxL

x

xxx

x

L

x

xxx

x

L

(1) dan (2) -x2/x1 = -x1/x2

x22 = x1

2

(3) x12+x2

2-4 = 0 2x1

2 = 4 x1

2 = 2 x1 = 2, x2 = 2

= 1/2