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Autos, Quader, Rechtecke
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Reisezeit!
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Wieviel passt in eine Vorlesung?
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Wieviel passt in einen Kofferraum?
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Gegeben: Eine Menge von n Objekten, jedes mit einer Größe
Gesamtgröße ist
Gesucht: Eine Packung in zwei Container der Größe K
120
120
24
13 17
31
3529
7
31
53
Kofferpacken für die Reise
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Gegeben: Eine Menge von n Objekten, jedes mit einer Größe
Gesamtgröße ist
Gesucht: Eine Packung in zwei Container der Größe K
120
120
24 13 17 31 35
29 7 31 53
Kofferpacken für die Reise
Karp (1972): Das Finden einer optimalen Partition ist NP-vollständig.
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Packen und Presse(n)
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Wie groß ist der Kofferraum?
DIN-Messmethode: Zahl der 5cm*10cm*20cm-Quader (Tetra Paks), die sich packen lassen
Kofferraumdesign
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Wie groß ist der Kofferraum?
DIN-Messmethode: Zahl der 5cm*10cm*20cm-Quader (Tetra Paks), die sich packen lassen
Schwierigkeit: Mehrdimensionales Packen ist praktisch noch schwerer als eindimensionales!
Kofferraumdesign
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Kofferraumdesign
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Kofferraumdesign
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Kofferraumdesign
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Mathematische Methoden
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1515
Gegeben: 9 Würfel der Kantenlänge 0.4
Frage: Passen die Würfel in einen würfel-förmigen Container der Kantenlänge 1?
Ein einfaches Beispiel
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Ist der Container groß genug?
Lösen schwerer Packungsprobleme
Schnelle Heuristiken:Bekannt
Gute Schranken:Fekete&Schepers 2001 (Bin Packing, also 1D)Fekete&Schepers 2004 (Höhere Dimensionen)
Schnelle Baumsuche:Fekete&Schepers 2004.
Praktische Umsetzung:Fekete, Schepers, van der
Veen 2006
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Satz (Fekete & Schepers): Ist eine dualzulässige Funktion, dann ist eine untere Schranke für das benötigte Volumen.
Idee: Betrachte dualzulässige Funktionen:
Gute und schnelle Schranken
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Gute und schnelle Schranken
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Gute und schnelle Schranken
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Konsequenz I: Die resultierenden Schranken sind in Linearzeit berechenbar und haben eine Gütegarantie von ¾.
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Gute und schnelle Schranken
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Konsequenz II: Framework für mehrdimensionale Schranken
Gute und schnelle Schranken
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Konsequenz II: Framework für mehrdimensionale Schranken
Gute und schnelle Schranken
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Ergebnisse
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Ergebnisse
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G1
G2
Baumsuche: Packmusterklassen
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G1
G2
G1 und G2 sind Intervallgraphen
1.
Unabhängige Mengen von Knoten in G1 und G2 sind i-zulässig
2.
G1 und G2 haben keine Kanten gemeinsam
3.
Satz (Fekete & Schepers): Eine Menge von Boxen lässt genau dann eine Packung zu, wenn es eine Packmusterklasse gibt.
Baumsuche: Packmusterklassen
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Graphen statt Quader
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Graphen statt Quader
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Graphen statt Quader
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Packen und Packmusterklassen
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Ergebnisse
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Anwendung: Reconfigurable Computing
Packen in der Elektrotechnik
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Anwendung: Reconfigurable Computing
Packen in der Elektrotechnik
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DFG-Projekt ``ReCoNodes‘‘ 2003-2009,mit Jürgen Teich (Software-Hardware-CoDesign,
Erlangen)
Packen in der Elektrotechnik
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Erweiterung: Packen mit Anordnungsrestriktionen (Fekete, Köhler, Teich, SIAM J. Disc. Math. 2006)
Packen in der Elektrotechnik
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Erweiterung: Packen mit Anordnungsrestriktionen (Fekete, Köhler, Teich, SIAM J. Disc. Math. 2006)
Packen in der Elektrotechnik
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Ergebnisse
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Ergebnisse
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Origami
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Falter unter sich
Erik Demaine Robert Lang
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Origami
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Origami
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Origami
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Origami
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Origami
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Origami
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Origami
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Schritt 1 - Baumkonstruktion
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• Jede Kante repräsentiert eine Klappe.
• Jeder Knoten ist eine Klappenspitze oder eine Verbindung von Klappen.
• Endklappen entsprechen Blattkanten im Baum.
Schritt 1 - Baumkonstruktion
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• Endklappen werden zu Kreisen
• Verzweigungskanten werden zu Flüssen
• Radius/Breite eines Kreises/Flusses ist die Länge einer Klappe.
Schritt 2 – Von Bäumen zu Flüssen
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• Packe Mittelpunkte in ein Quadrat, dann vergrößere die Objekte (oder schrumpfe das Quadrat).
• Kreismittelpunkte müssen innerhalb des Quadrates bleiben (Mittelpunkte sind Klappenspitzen).
Schritt 3 – Kreispackung in Quadrat
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• Resultierende Polygone sind alle konvex.
• Keine “losen” Kreise erlaubt
• Verbindungen sind axiale Faltungen
Schritt 4 – Dualgraph bilden
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• Axial (grün)• Kante (rot)• Zwickel (grau)• Scharnier (blau)
Schritt 5 – Quadrat mit Faltungen füllen
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• Ein exakter Algorithmus existiert
• Implementiert in TreeMaker
• Schneller; Einfache Regeln anwenden und die Ausnahmen behandeln
• Axial = fast immer Berg• Kante = immer Tal• Zwickel = immer Berg• Scharnier = Berg, Tal,
flach, abhängig von Klappenrichtung
Schritt 6 – Faltungen zuordnen
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Sterne und Kreispackungen
• Die Pfadbedinungen für einen Stern sind äquivalent zum Problem, die Mittelpunkte einer Menge von Kreisen in ein Quadrat zu packen.
• Der Kreisradius entspricht jeweils der Kantenlänge.
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Sándor Fekete – Algorithmen für komplexe Probleme --– 07.07.2010
Komplexität: 3-Partition
Gegeben:3k Zahlen
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Sándor Fekete – Algorithmen für komplexe Probleme --– 07.07.2010
Komplexität: 3-Partition
Gegeben:3k Zahlen
Gesucht:Eine Partition in gleichgroße
Tripel – d.h., eine Packung in k Einheitscontainer.
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Sándor Fekete – Algorithmen für komplexe Probleme --– 07.07.2010
Komplexität: 3-Partition
Gegeben:3k Zahlen
Gesucht:Eine Partition in gleichgroße
Tripel – d.h., eine Packung in k Einheitscontainer.
Bekannt:3-Partition ist NP-schwer.
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Sándor Fekete – Algorithmen für komplexe Probleme --– 07.07.2010
Komplexität: Beweis von NP-Schwere
Gegeben:3k Zahlen
Transformiere in:eine Kreispackungsinstanz die
gelöst werden kann, gdw die 3-Partitioninstanz lösbar ist.
Konsequenz 1:Falls es einen polynomiellen
Algorithmus für Kreispacken gibt, dann ist P=NP.
Konsequenz 2:Falls es einen effizienten
Algorithmus für Origami-Design gibt, ist P=NP
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43
Untere Schranke für QuadrateSatz:Jede Menge von Quadraten mit Gesamtfläche höchstens 0.5 lässt sich in ein Einheitsquadrat packen.
Beweisidee: (1) Sortiere die Quadrate nach absteigender
Größe.(2) Verwende Shelf
Packing.(3) Betrachte erste
unzulässige Packung.
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44
Untere Schranke für QuadrateBilanziere gepackte Fläche:
x
y
z
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44
Untere Schranke für QuadrateBilanziere gepackte Fläche:
x
y
z
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44
Untere Schranke für QuadrateBilanziere gepackte Fläche:
x
y
z
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44
Untere Schranke für QuadrateBilanziere gepackte Fläche:
x
y
z 1-y
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Untere Schranke für QuadrateBilanziere gepackte Fläche:
x
y
z 1-y
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44
Untere Schranke für QuadrateBilanziere gepackte Fläche:
x
y
z 1-y
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Untere Schranke für QuadrateBilanziere gepackte Fläche:
x
y
z 1-y
1-x
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Untere Schranke für QuadrateBilanziere gepackte Fläche:
x
y
z 1-y
1-x
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Untere Schranke für Kreise
Korollar:
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Untere Schranke für Kreise
Korollar: Jede Menge von Kreisen mit Gesamtfläche höchstens
lässt sich in ein Einheitsquadrat packen.
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Sándor Fekete – Algorithmen für komplexe Probleme --– 07.07.2010
Obere Schranke
Kritische Konfiguration für Kreise, Dichte:
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Online-Packen
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