optimización de reactores y sistemas integrados usando gproms
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Matemática Superior Aplicada
Regresión Lineal
Prof.: Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz
J.T.P.: Dr. Juan Ignacio Manassaldi
Aux. 2da: Sr. Alejandro Jesús Ladreyt
Aux. 2da: Sra. Amalia Rueda
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2E mc
y a bc
Experimentos - Medición Recopilación y procesamiento de datos
Modelo matemático
Estimación de los parámetros
del modelo
Pasos a Seguir
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x
x
x
x
x
x
x
T
k
2k T Tc b a Temperatura
Conductivid
ad T
érm
ica
Regresión Lineal
kT
El análisis de regresión es una técnica estadística para investigar la relación funcional entre dos o más variables, ajustando algún modelo matemático.
1
2
m
T
T
T
1
2
m
k
k
k
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2k T Tc b a
Regresión Lineal
2
1 1 1
2
2 2 2
2
3 3 3
2
4 4 4
2
m m m
k c bT aT
k c bT aT
k c bT aT
k c bT aT
k c bT aT
kT
Datos
Modelo
m ecuaciones m + 3 incógnitas
residuo
1
2
m
T
T
T
1
2
m
k
k
k
1
2
3
4
m
r
r
r
r
r
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Regresión Lineal
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
2
3 3 3 3
2
4 4 4 3
2
m m m m
r c bT aT k
r c bT aT k
r c bT aT k
r c bT aT k
r c bT aT k
1
2
3
4
m
r
r
r
r
r
2
1 1 1
2
2 2 2
2
3 3 3
2
4 4 4
2
m m m
k c bT aT
k c bT aT
k c bT aT
k c bT aT
k c bT aT
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Matriz de las Funciones de Modelización
Parámetros de
Modelización
Regresión Lineal
c
x b
a
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
2
3 3 3 3
2
4 4 4 3
2
m m m m
r c bT aT k
r c bT aT k
r c bT aT k
r c bT aT k
r c bT aT k
r Ax y
21 1
22 2
2
1
1
1 m m
T T
T TA
T T
2
1 1
2
2 2
2
m m
c bT aT
c bT aT
c bT aT
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r Ax y
22
0 0min min
x xr Ax y
Regresión Lineal
Residuo
El objetivo es minimizar la norma del residuo al cuadrado
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
2
m m m m
r c bT aT k
r c bT aT k
r c bT aT k
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r Ax y
22r Ax y
Regresión Lineal
Residuo
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
2
m m m m
r c bT aT k
r c bT aT k
r c bT aT k
• A cada valor de x le corresponde un valor de la norma al cuadrado del residuo.
• El problema de mínimos cuadrados encuentra el valor de x para el cual la norma al cuadrado del vector residuo resulta lo mas pequeña posible.
22
0 0min min
x xr Ax y
Problema de mínimos cuadrados
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2k T Tc b a
Ejemplo: k vs T (Agua líquida 1 atm)
r Ax y Residuo ¿?
T [ºC] k [W/(m K)]
5 0.5694
15 0.5882
25 0.6106
35 0.6240
45 0.6345
55 0.6434
65 0.6569
75 0.6683
85 0.6741
95 0.6776
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Ejemplo
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
0.56941 5 5
0.58821 15 15
0.61061 25 25
0.621 35 35
1 45 45
1 55 55
1 65 65
1 75 75
1 85 85
1 95 95
r Ax
r
r
r
rc
rb
ra
r
r
r
r
40
0.6345
0.6434
0.6569
0.6683
0.6741
0.6776
y
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Ecuaciones Normales
T T
ata aty
A A x A y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0.56941 5 5
0.58821 15 15
0.61061 25 25
0.62401 35 35
0.63451 45 45
0.64341 55 55
0.65691 65 65
0.66831 75 75
0.67411 85 85
0.67761 95 95
Ax
c
b
a
y
Ax y
atax aty
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Ecuaciones Normales
T T
ata aty
A A x A y2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 5 5
1 15 15
1 25 25
1 35 35
1 45 45
1 55 55
1 65 65
1 75 75
1 85 85
1 95 95
A
0.5694
0.5882
0.6106
0.6240
0.6345
0.6434
0.6569
0.6683
0.6741
0.6776
y
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
TA
10 500 33250
500 33250 2487500
33250 2487500 198336250
ata
6.347
327.206
22044.055
aty
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Ecuaciones Normales
3x3 ¡Ya podemos resolver este sistema!
10 500 33250 6.347
500 33250 2487500 327.206
33250 2487500 198336250 22044.055
c
b
a
atax aty
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Solución del ejemplo
//Ecuaciones Normales
T=[5 15 25 35 45 55 65 75 85 95]';
k=[0.5694 0.5882 0.6106 0.6240 0.6345 0.6434 0.6569 0.6683 0.6741 0.6776]';
A=[ones(10,1) T T.^2];
y=k;
ata=A'*A;
aty=A'*y;
x=ata\aty;
c=x(1)
b=x(2)
a=x(3)
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20.56059 0.002053 -8.58333 -6k T e T
Solución del ejemplo
T [ºC] k [W/(m K)]
5 0.5694
15 0.5882
25 0.6106
35 0.6240
45 0.6345
55 0.6434
65 0.6569
75 0.6683
85 0.6741
95 0.6776
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Solución del ejemplo
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A QR
11 12 1 1 1
22 2 1 2
11 1
21 2 11 1
1 1 1
1
( )1
( )
0
0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
p pp
p p
p
p n
p p p p
pp
n nn
Q n nn np
A n p
r r r r
r r ra a
a a q qr r
nr
q q
a a
( )R n p
Descomposición QR
Algoritmo de descomposición QR
Ortogonal
Triangular Superior
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A QR
Descomposición QR
yxA yxRQ
Ortogonal
yQxRQQ tt
yQxR t Debemos resolver este sistema
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Descomposición QR
yQxR t
111 12 1 1 1
222 2 1 2
1
2
11 1 1
1
1
( )
0
0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
p p
p p
pp p p p
ppp
p
p
p
x
n
R n p
qtyr r r r
qtyr r rx
xqtyr r
qtyrx
qtyx
qty
'Q y
Resolvemos el sistema con los elementos no nulos de la matriz R. Observamos que se puede aplicar sustitución hacia atrás.
¡Podemos calcular el Residuo!
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Descomposición QR
1
2
1
1
'
p
p
p
N
Q y
qty
qty
qty
qty
qty
qty
22
1 2p p NR Ax y qty qty qty
Estos elementos se utilizan para obtener el valor del residuo sin tener que resolver el sistema.
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[n p]=size(A);
[Q,R]=qr(A)
qty=Q'*y
x=s_atras(R(1:p,:),qty(1:p))
Residuo=norm(qty(p+1:n))^2
Descomposición QR
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Descomposición en Valores Singulares
11
11 1 22
21 2 11 1
1
( )1
( )
( )
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
p
p
p n
pp
n nn
U N Nn np
A n p
n p
d
a a d
a a u u
N d
u u
a a
11 1
1
( )T
p
p pp
V p p
v v
v v
Solo con elementos en la diagonal principal
tVUA
Ortogonales
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Descomposición en Valores Singulares
yxA Ortogonal
z Obtengo el vector z de manera directa
' '
z d
V x U y
'A U V
'U V x y ' ' 'U U V x U y
z d
'z V x x V z
![Page 24: Optimización de Reactores y Sistemas Integrados usando gPROMS](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012103/616a04b811a7b741a34de9d8/html5/thumbnails/24.jpg)
Descomposición en Valores Singulares
//Descomposición en Valores Singulares
[n p]=size(A);
[U,S,V]=svd(A)
d=U'*y
z=d(1:p)./diag(S)
x=V*z
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Métodos para ajuste a rectas
2 2*
1 1
N N
i i i i
i i
Sum y y y mx h
0Sum
h
0Sum
m
x
x
x x
x
x
x
x
y
*
1 1
*
2 2
*
N N
y mx h
y mx h
y mx h
1y
*
1y
1x
Condición de Mínimo
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Métodos de Mínimos Cuadrados
22
yx yxm
x x
h y mx
1
1 N
i
i
J jN
//Mínimos Cuadrados
m=(y*x’/n-sum(y)/n*sum(x)/n)/(x*x‘/n-(sum(x)/n)^2);
h=(sum(y)-m*sum(x))/n;