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OPTIMIZACIÓN Y SIMULACIÓN PARA LA EMPRESA

Tema 3Programación Entera

ORGANIZACIÓN DEL TEMA

• Sesiones:

• Introducción y formulación

• Variables binarias

• Métodos de solución

OPTIMIZACIÓN DE MODELOS DISCRETOS

• Los modelos discretos son una extensión de los modelos lineales, donde algunas variables toman valores enteros

• Habitualmente estas variables toman los valores 0-1: variables binarias

• Estas variables se usan para representar condiciones lógicas

• Estos modelos permiten representar mejor situaciones complejas

• Economías de escala

• Discontinuidades en el problema

• Incluso aproximaciones de soluciones globales

OPTIMIZACIÓN DE MODELOS DISCRETOS

• En cambio, el cálculo de soluciones es mucho más costoso

• Ya no podemos usar las propiedades “suaves” de las funciones para obtener información útil cerca de la solución

• Ahora es necesario explorar muchos más candidatos a óptimo

• Algunos problemas con decenas de variables son casi imposibles de resolver en un tiempo razonable

MODELOS DISCRETOS: FORMULACIÓN

• La formulación es similar a la de los modelos lineales:

• Si I={1,…, n}, el problema es lineal entero puro• Si I≠{1,…, n}, el problema es lineal entero mixto• Si xi ∈ {0,1} ∀i ∈ I, el problema es binario o 0-1

MODELOS DISCRETOS: FORMULACIÓN

• En general, un modelo discreto se usa por distintas razones:

• Directas: las variables de interés deben tomar valores enteros

• Codificación: las variables enteras (usualmente 0-1) se usan para representar el cumplimiento (o no) de algunas condiciones

• Transformación: las variables enteras son útiles para representar ciertas condiciones (implicaciones, condiciones lógicas, etc.)

SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS• Primer caso: selección entre alternativas

• Usaremos variables binarias yi para escoger subconjuntos entre una serie de alternativas

• Si las variables yi toman el valor1, la alternativa se escoge, en caso contrario no se escoge (o no se realiza)

• Estas variables se multiplican por sus correspondientes costes, uso de recursos, etc.• Si la variable toman el valor 1, asumimos el correspondiente coste• Si toma el valor 0, no incurrimos en el coste

• Las variables se pueden usar para contar el número de proyectos seleccionados, etc.

• Sumando los valores de yi

EJEMPLO 1: SELECCIÓN DE PROYECTOS

• Descripción:

• Una compañía quiere evaluar 5 proyectos a ejecutar en próximos 3 años

• Estos proyectos requieren de inversiones durante los próximos 3 años

• Si se ejecuta un proyecto, se deben realizar todas las inversiones anuales asociadas al mismo

• Hay un presupuesto total, que no se debe exceder

• ¿Qué proyectos seleccionar para aumentar lo más posible los beneficios?


• Datos:

• Cada año, se dispone de 25 millones de euros para realizar inversiones

• El beneficio esperado (en mill de euros) para cada proyecto, y las cantidades a invertir cada año para ejecutar los proyectos son:

Inversión

Proyecto Año 1 Año 2 Año 3 Beneficio

1 5 1 8 20

2 4 7 10 40

3 3 9 2 20

4 7 4 1 15

5 8 6 10 30


• Modelo:

• Variables de decisión

• Dónde invertir el presupuesto

• Función objetivo

• Maximizar el beneficio total

• Restricciones

• No exceder el presupuesto anual


• Modelo:


• Una variable binaria xi asociada a cada proyecto


• Maximizar el beneficio esperado

max

x

20x1 + 40x2 + 20x3 + 15x4 + 30x5

xi =

⇢1 si se selecciona el proyecto i,

0 si no se lleva a cabo el proyecto i.

i = 1, . . . , 5


• Restricciones:

• Presupuestos anuales:

• Definición de variables binarias:

• Cálculo de solución en Excel

xi 2 {0, 1}, i = 1, . . . , 5

5x1 + 4x2 + 3x3 + 7x4 + 8x5 25 (presupuesto ano 1)



PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN• Segundo caso: problemas de asignación

• Se trata de encontrar asignaciones eficientes de algunos recursos a un conjunto de tareas

• Ejemplos:• Planificación de horarios, de tareas a máquinas, rotas de trenes o aviones,

asignación de comerciales a regiones, etc.• Problema binario 0-1

• El objetivo es generalmente minimizar costes, tiempo de viaje, o maximizar eficiencia

• Aparece como submodelo de modelos más complejos• Las variables binarias yij toman valor 1 si recurso i se asigna a tarea j

• El número de tareas o recursos a asignar se controla sumando yij

EJEMPLO 2: PROBLEMA DE ASIGNACIÓN

• Descripción:

• John es el director un bufete de abogados y está interesado en asignar de la forma más eficiente posible sus abogados a los casos (clientes) en este momento

• Actualmente, el bufete tiene 4 casos (clientes) distintos

• Para atender esos casos, cuenta con 4 abogados: Ann, Brian, Casey y Don

• Cada uno de ellos puede ser asignado a un único caso

• Un único abogado debe llevar cada caso

• La asignación se realizará en función de alguna medida de eficiencia


• Datos:

• John ha recogido datos sobre la eficiencia de cada abogado y tipo de caso (en una escala de 1 a 9):

• Estos datos son estimaciones basadas en el éxito en casos pasados

• Y tienen en cuenta la especialización/experiencia de cada abogado

Medida de eficiencia

Abogado Divorcios (1) Fusiones (2) Robos (3) Donaciones (4)

Ann (1) 6 2 8 5

Brian (2) 9 3 5 8

Casey (3) 4 8 3 4

Don (4) 6 7 6 4


• Modelo:


• Una variable binaria xij para cada posible asignación


• Maximizar la calidad de la asignaciónmaximize 6x11 + 2x12 + 8x13 + 5x14 + 9x21 + 3x22 + 5x33 + 8x44

+ 4x31 + 8x32 + 3x33 + 4x34 + 6x41 + 7x42 + 6x43 + 4x44

xij =

⇢1 si se asigna al abogado i el caso j,

0 si no se asigna.

EJEMPLO 2: PROBLEMA DE ASIGNACIÓN• Restricciones

• Cada caso debe tener un (único) abogado asignado:

• Cada abogado debe estar asignado a un (único) caso:

• Condición de variables binarias:

4X

i=1

xij = 1, j = 1, . . . , 4

4X

j=1

xij = 1, i = 1, . . . , 4

xij 2 {0, 1}, i = 1, . . . , 4, j = 1, . . . , 4

CONDICIONES LÓGICAS

• Tercer caso: condiciones lógicas• Variables binarias que se pueden usar para forzar asociaciones entre

variables• Si una actividad se lleva a cabo, otras tareas se deben llevar a cabo (o no)

• Una compañía debe decidir qué proyectos abordar en próximos años: • Algunos proyectos requieren de la ejecución de otros previamente• Algunos proyectos pueden no ser compatibles• Algunos proyectos no pueden empezarse hasta que no pase un

tiempo tras la finalización de otros

CONDICIONES LÓGICAS• Aparecen cuando el valor de una variable binaria impone condiciones sobre otras

• La condición y = 0 ⇒ x = 0 es equivalente a x ≤ y

• Si el proyecto y no se lleva a cabo, el proyecto x tampoco• La condición y = 0 ⇒ x = 1 es equivalente a x ≥ 1 - y

• Si el proyecto y no se lleva a cabo, el proyecto x se debe llevar a cabo• La condición y = 1 ⇒ x = 0 es equivalente a x ≤ 1 - y

• Si el proyecto y se lleva a cabo, el proyecto x no se puede llevar a cabo• La condición y = 1 ⇒ x = 1 es equivalente a x ≥ y

• Si el proyecto y se lleva a cabo, el proyecto x también

EJEMPLO 3: PRESUPUESTO NASA

• Descripción: • La NASA debe decidir qué proyectos espaciales ejecutar en próximos años

• Periodo 2015-2039• Cada proyecto tiene un beneficio o interés científico determinado• Cada proyecto requiere de una inversión durante periodos específicos• Los proyectos presentan dependencias complejas entre sí

• Algunos no se pueden llevar a cabo hasta que otros se hayan ejecutado• Algunos proyectos son incompatibles entre sí: solo uno se puede llevar a

cabo


• Datos:Inversión

Proyecto 2015/19 2020/24 2025/29 2030/34 2035/39 Beneficio esperado no con depende

de

1 Satélite de comunicaciones 6 200

2 Enlace microondas orbital 2 3 3

3 Aterrizaje en Io 3 5 20

4 Misión Urano 2042 10 50 5 3

5 Misión Urano 2027 5 8 70 4 3

6 Aterrizaje en Mercurio 1 8 4 20 3

7 Misión a Saturno 1 8 5 3

8 Imágenes infrarrojas AR 5 10 11

9 SETI desde la Tierra 4 5 200 14

10 Grandes estructuras orbitales 8 4 150

11 Imágenes en color AR 2 7 18 8 2

12 Tecnología médica espacial 5 7 8

13 Plataforma en órbita polar 1 4 1 1 300

14 SETI satélites geosíncronos 4 5 3 3 185 9

Presupuestos 10 12 14 14 14


• Modelo:


• Una variable binaria xi para cada proyecto


• Maximizar el beneficio (científico) esperado de los proyectos seleccionados

max

x

200x1 + 3x2 + 20x3 + 50x4 + 70x5 + 20x6 + 5x7 + 10x8

+ 200x9 + 150x10 + 18x11 + 8x12 + 300x13 + 185x14

xi =

(1 si la mision i se aprueba,

0 si se rechaza.


• Modelo:

• Restricciones:

• Límites presupuestarios en cada periodo de 5 años

• Condición de variables binarias

6x1 + 2x2 + 3x3 + 1x7 + 4x9 + 5x12 103x2 + 5x3 + 5x5 + 7x8 + 5x9 + 8x10 + 7x12 + x13 + 4x14 128x5 + x6 + 4x10 + 2x11 + 4x13 + 5x14 148x6 + 5x8 + 7x11 + 1x13 + 3x14 1410x4 + 4x6 + 1x13 + 3x14 14

xi 2 {0, 1}, i = 1, . . . , 14


• Modelo:

• Restricciones:

• Incompatibilidades:

• Los proyectos Misión Urano 2042 (4) y Misión Urano 2027 (5) son incompatibles

• Los proyectos 8 y 11, o 9 y 14, también son incompatibles

x4 + x5 1

x8 + x11 1x9 + x14 1


• Modelo:

• Restricciones:

• Dependencias:

• Si el proyecto Aterrizaje en Io (3) no se lleva a cabo, los proyectos 4, 5, 6 y 7 tampoco pueden realizarse:

• O alternativamente,

• Para seleccionar el proyecto 11, el proyecto 2 debe haber sido completado previamente

x4 x3, x5 x3, x6 x3, x7 x3

x4 + x5 + x6 + x7 4x3

x11 x2

VALORES DISCONTINUOS• Cuarto caso: valores discontinuos

• Las variables binarias se pueden usar para representar discontinuidades en funciones o variables

• Costes fijos: • Cuando ejecutar una determinada tarea conlleva un gasto fijo,

independientemente de su nivel• Comisiones mínimas al cambiar de moneda (de euros a dólares p.e.), o

al sacar dinero en un cajero del extranjero, o al comprar acciones en bolsa, etc.

• Variables semicontinuas:• Si una tarea se lleva a cabo, se debe realizar a un nivel mínimo

• Por ejemplo, una variable vale 0 o bien 20, 21,..., 100

VALORES DISCONTINUOS• Modelización

• En estos casos definimos tanto variables continuas como discretas

• Sea xi una variable continua con coste fijo, o semicontinua

• Sea yi una variable binaria asociada, que toma el valor 1 cuando xi es distinta de 0 y el valor 0 en otro caso

• Una función con coste fijo K y coste variable d se representará como

• Una variable semicontinua xi ∈ {0,[a,b]} se representará como

VALORES DISCONTINUOS• Representación de discontinuidades con variables binarias

• Necesitamos asegurar que las variables xi e yi estén relacionadas

• Si xi es 0, yi debe ser 0, y si xi es positivo entonces yi debe valer 1

• En el caso de variables semicontinuas esto es automático

• Para costes fijos, necesitamos restricciones adicionales

• Las constantes C y c se deben escoger como cotas inferiores y superiores para xi

EJEMPLO 4: PROBLEMA DE PRODUCCIÓN

• Descripción:• La compañía X produce ketchup en 5 plantas

• Estas plantas tienen distintos costes• Costes de operación fijos y variables

• Y capacidades de producción• El producto se transporta a 4 grandes centros de distribución

• Con contratos que definen las cantidades anuales a proporcionar• Con diferentes costes de producción y de distribución

• El objetivo es determinar la producción óptima y el plan de distribución• Minimizando el coste total


• Datos:• Capacidades de plantas y costes fijos:

• Costes de producción y transporte/Demandas:

Planta P1 P2 P3 P4 P5Capacidad 300 200 300 200 400

Coste fijo 35000 45000 40000 42000 40000

CostesA:

C1 C2 C3 C4

De:

P1 1180 1160 1190 1200P2 810 800 850 760P3 850 830 890 840P4 770 750 810 780P5 800 770 820 830

C1 C2 C3 C4Demanda 200 300 200 250


• Modelo:• Variables:

• Función objetivo:

xij = toneladas de ketchup producidas en la planta j y entregadas al cliente i

yj =

(1 si la planta j esta produciendo

0 si no lo esta

i = 1, . . . , 4, j = 1, . . . , 5


• Modelo

• Restricciones

• Demanda:

• Capacidad de las plantas y relaciones entre x e y :

• No negatividad y definición de variables binarias:

MODELOS DISCRETOS: SOLUCIÓN

• Herramienta básica:• Resolver problemas relajados (ignorando condición de variables

enteras): PLs• Estrategias naif:

• Redondeo• Redondear los valores que han de ser enteros en la solución

• Muchas alternativas de redondeo (cantidad exponencial)• No hay garantías de optimalidad• Peor aún: no hay garantías de factibilidad


• Algoritmos eficientes:• Cutting planes (Planos de corte)

• No se redondea directamente el vértice solución del PL relajado• Se introducen restricciones que fuerzan a la solución entera a ser un

vértice del problema modificado• En el proceso se eliminan puntos que no pueden ser soluciones• Existen técnicas sofisticadas basadas en las propiedades de la solución

• Gomory cuts• O en propiedades de las restricciones del problema

• Las aproximaciones convexas contienen las soluciones enteras


• Algoritmos eficientes:• Branch and bound

• Dividir el problema introduciendo condiciones simples sobre los valores de las variables• Esto fuerza a las soluciones de las distintas partes a ser enteras• Aparte, esto permite enumerar implícitamente todas las posibles soluciones

enteras• Para ganar eficiencia, se calculan cotas sobre la función objetivo para eliminar

subproblemas donde no puede estar la solución• Dividir el problema en subproblemas más pequeños: “branching” o ramificar• Descartar muchos de ellos: “bounding” o acotar

• Branch and cut• Una combinación eficiente de ambos métodos (branch and bound and cutting planes)

optimizaciÓn y simulaciÓn para la empresa...ejemplo 2: problema de asignaciÓn • descripción:...

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