optimización simultánea de varias respuestas- lectura 3
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Optimización simultánea de
Varias Variables de respuesta
GEORGE DERRINGER
Laboratorios Batelle Columbus, 505 King Avenue, Columbus, Ohio 43201
RONALD SUICH
California State University, Fullerton, California 92634
Un problema que enfrenta la comunidad de desarrollo de producto es la selección de un conjunto de condiciones
lo que resultará en un producto con una conveniente combinación de propiedades. Esto es esencialmente una
problema de la optimización simultánea de varias variables de respuesta (lo deseable
combinación de propiedades) que dependen de un número de variables independientes o conjuntos de
condiciones. Harrington, entre otros, ha abordado este problema y ha presentado un desira
enfoque de la función de durabilidad. Este papel se modificar su enfoque e ilustrar cómo varios respuesta
variables pueden transformarse en una función de conveniencia, que puede ser optimizada por univariado
técnicas. Su uso será ilustrado en el desarrollo de un compuesto de caucho para neumáticos de las pisadas.
Introducción
A
problema común en el desarrollo de productos in
volves la selección de un conjunto de condiciones, la
X, lo que resultará en un producto con una deseable
combinación de propiedades, la Y Esencialmente, esto
se convierte en un problema en el optimiza simultánea
ción de la Y, o variables de respuesta, cada una de ellas
depende de un conjunto de variables independientes, Xl,
X 2, •••, Xp. Como ejemplo de la goma indus
prueba, considerar el problema de un compuesto de la banda de rodadura del neumático.
Aquí tenemos una serie de variables de respuesta, tal
como índice de abrasión de PICa, módulo de 200 por ciento, elon
tamiento en la rotura y dureza. Cada una de estas re
las variables de respuesta depende de la vari de ingrediente
ables, la x, como hidratada silano nivel, sílice
acoplador de nivel y azufre.Queremos seleccionar
los niveles de la x que maximizará la Y
Desafortunadamente, los niveles de la X s que maximizar YI
no podría incluso acercarse a maximizar Y2•
Una aproximación a este problema ha sido a través de
el uso de programación lineal. Hartmann y
Beaumont [3] y Nicholson y Pullen [5] detallada
esquemas de gramil optimización basados en el lineal
Dr. Derringer es Investigador Principal en el Batelle Mem
Instituto Orial.
Dr. Suich es profesor asociado en el Departamento de
Management Science.
Palabras clave: Conveniencia, multivariante, Opti
mization, regresión
modelo de programación. Sin embargo, un importante disadvan
Tage de estos esquemas es la filosofía que
se basan. Estos métodos implican la optimización
de la variable de respuesta de un sujeto a las limitaciones en
las restantes variables de respuesta. A menudo, sin embargo,
el objetivo es alcanzar el mejor equilibrio entre
varias variables de respuesta diferentes. En el desarrollo
un compuesto para manguera de radiador, por ejemplo, es
más realista para dar la absorción de agua, calor resist
Ance y resistencia a la tracción igual pesos en el
optimización que para optimizar la resistencia mientras
manteniendo las otras propiedades dentro de límites especificados.
Harrington [2] presentó un esquema de optimización
utilizando lo que llamó la función de deseabilidad.
Gatza y McMillan [1] dieron una ligera modificación
de la función de Harrington. Empleamos una diferente
forma de esta función e ilustrar su uso en la
ejemplo del desarrollo de un compuesto de caucho
para peldaños del neumático. Vamos a maximizar esta función
Utilice un método de búsqueda de patrón similar a ése pre
tantes por Hooke y Jeeves [4]. Además, también nos va parcela esta función de conveniencia contra dos
variables independientes con el tercer lugar en su
nivel óptimo.
Desarrollo
Supongo que cada una de las variables de respuesta k es reinterpretaron
calculado para las variables independientes de p por
i = 1,2,..., k
j = 1,2,... . , ni
donde fi denota que la relación funcional be
interpolación ¥ i y Xl, X 2, •••, Xp. Observamos que esto
función puede ser diferente para cada ¥ i y representa fi
Esta relación excepto por un término de error Eij. Si nos
hacer la suposición usual que E(Eij) = 0 para cada uno
yo, entonces podemos relacionar el promedio o esperado re
sponses YJi a las variables independientes de p por
i = 1,2,..., k.
En la práctica, fi generalmente se desconoce. La habitual
procedimiento debe fi aproximada, a menudo (pero no nec
encarga) por una función polinómica. Nosotros entonces esti
compañero YJi por Yi, el estimador obtenido a través de
técnicas de regresión.
La función de deseabilidad implica transformación
de cada variable de respuesta estimado Yi a un desira
bility valor di, donde 0:: di s:: s 1. El valor de di
aumentos como la "conveniencia" de las correspondientes
aumenta la respuesta. Los desirabilities individuales son
luego combinaron mediante la media geométrica.
D = (dl X d2 X ••• X dk
)
l/k (1)
Este valor único de D da la evaluación general
de la conveniencia de los niveles de respuesta combinada.
Claramente la gama de re caerá en el intervalo [0, 1]
y D se aumenta como el equilibrio de las propiedades
llega a ser más favorable. D también tiene la propiedad
eso si cualquier di = 0 (es decir, si uno de la respuesta
variables es inaceptable) entonces D = 0 (es decir, la
producto en general es inaceptable). Es por estos
las razones que la media geométrica, en lugar de algunos
otra función del d/s como la aritmética
significa, fue utilizado.
Transformaciones unilaterales
En la transformación de Yi di dos casos surgen: unilateral
y transformaciones de la conveniencia de dos caras. Para el
caso unilateral, di aumenta como Yi aumenta y es
empleado cuando Yi debe maximizarse. (Minimiza
ción de Yi es equivalente a maximización de - Yi).
Muchas transformaciones son posibles-nos vamos con
Sider las transformaciones dadas por
o Yi::s ¥ i *
di =
¥ i * < Yi < ¥ i *
(2)
1
y graficados en la figura 1.
El valor ¥ i * da el mínimo aceptable
valor de Yi. El usuario especifica este valor de ¥ i *,
sabiendo que cualquier valor menor de Yi daría lugar a
an overall unacceptable product, since Yi ::s ¥i*
FIGURE 1. Graph of Transformation (2) for Various
Values of r
would make di = 0, and thus D = 0, which indicates
an unacceptable product. For example, if ¥i is the
tensile strength of a radiator hose, a value of ¥i
below ¥i* = 1500 psi would result in a product that
could be unacceptable in the judgment of the man
agement regardless of how desirable the other re
sponse variables might be.
The value ¥i* gives the highest value of Yi.
Actually, since we are considering a one-sided trans
formation here, there is no highest value of Yi.
However, from a practical viewpoint, one can think
of ¥i*
as the value for Yi such that higher values of
Yi have little additional merit. For example, ¥i*
might be the tensile strength such that higher val
ues of tensile strength would add little to the quality
of the hose. Therefore, di would remain at 1.
The value of r used in the transformation would
again be specified by the user. Figure 1 indicates a
large value of r would be specified if it were very
desirable for the value of Yi to increase rapidly
above ¥i*. In other words, even though ¥i* is an
acceptable value the desirability of the product
would be greatly increased by having Yi consider
ably greater than ¥i*. Again using the radiator hose
example, even though any tensile strength above
¥i* = 1500 psi would be acceptable, management
puede encontrar valores considerablemente superiores a 1500 psi
altamente deseable y así elegir un valor grande de r,
decir r = 10. Como puede verse, el tren de di de conveniencia
aumenta lentamente como Yi aumentos. Por lo tanto, a max
imize di y de tal modo Di, Yi debe ser enormemente in
arrugada sobre ¥ i *. Por otra parte, un valor pequeño
r especificar si los valores de Yi consid
erably sobre ¥ i * no eran de importancia crítica. A
valor de r = 0.1, por ejemplo, significa que cualquier
fue casi tan deseable como valor de Yi sobre ¥ i *
cualquier otro valor de Yi sobre ¥ i *.
Transformaciones de dos caras
La transformación de dos caras se presenta cuando el
respuesta variable Yi tiene tanto un mínimo y un
restricción máxima. Examinaremos el transporte
formaciones dadas
di = (3)
o
En esta situación Yi * es el mínimo aceptable
valor de Yi y Yi * es el máximo aceptable
valor. Los valores de Yi fuera de estos límites haría
el producto inaceptable. El valor seleccionado
Ci sería ese valor de Yi más
deseable y en cualquier lugar puede seleccionarse entre
Yi * y Yi *. Los valores de s y t en los dos lados
transformaciones jugar mucho el mismo papel como r
en la transformación de un solo lado.
En la figura 2 varios diferentes valores de t y s son
trazado. Para la Ilustración, cabe señalar que el Ci era
elegido para mentir en 0.25 de la distancia entre Yi * y Yi *. Esta figura muestra también que grandes valores para
s y t serán seleccionados si fuese muy deseable
for the value of Yi to be close to Ci. In this case the
desirability di would not get large until Yi got close
to Ci. On the other hand, if almost any value of Yi
above Yi* and below Yi* were acceptable, then
small values of s and t would be chosen. Moderate
values for s and t (near 1) would represent a com
promise between the two extremes. One could also
select a large value of s and a small value of t if it
were desirable for Yi to increase rapidly to Ci while
almost any value of Yi above Ci but below Y;* was
also desirable.
FIGURE 2. Graph of Transformation (3) for Various
Values of sand t
The procedure outlined can be used to maximize
some of the d/s (corresponding to certain Y/s) while
in essence putting constraints on the other Y/s.
This, of course, would be similar to a linear pro
gramming approach. For those Y/s that are subject
to constraints one uses extremely small values of
the exponents (r, s, and t) and permits Yi* and Yi*
to act as the boundary values.
The original transformation proposed by Har
rington [2] is of the form di = exp( -exp( -Y;» for
the one-�ided transformation and di = exp( - I Yi I S)
for the two-sided transformation. Gatza and Mc
Millan [1] used di = {exp[-exp(-Yi)]-exp(-l)}/
[1 - exp( -1)], a modification of Harrington's which
produces negative values of di for unacceptable
properties. The transformations presented in this
paper may be viewed as a type of generalization of
those above. We no longer restrict ourselves to
particular members of the exponential family but
consider transformations that offer the user greater
flexibility in the setting of desirabilities. As an ex
ample, the use of Ci in (3) allows the user to set the
most deisrable value of Yi anywhere between the
lower and upper boundaries (Yi* and Yi*) rather
than exactly in the middle. Harrington's and Gatza
and McMillan's transformations may be closely ap
proximated by selection of the parameters (r, s, and
t) in (2) and (3) and may be viewed as special cases.
Method of Optimization
We have assumed that Yi is a continuous function
of the Xh• From (2) and (3) we see that the d/s are
a continuous function of Y/s and from (1) that D is
a continuous function of the d/s. Therefore, it fol
lows that D is a continuous function of the Xh• As
a result, existing univariate search techniques can
be used to maximize D over the independent vari
able domain. In essence, the desirability function
condenses a multivariate optimization problem into
a univariate one. An added benefit of the method is
the ability to plot D as a function of one or more
independent variables.
Example
In the development of a tire tread compound, the
optimal combination of three ingredient (indepen
dent) variables-hydrated silica level Xl, silane cou
pling agent level X2, and sulfur level X3-was
buscó. Las propiedades para optimizar y con
Straint niveles fueron los siguientes.
Índice de abrasión de PICO, Yl
Módulo de 200%, Y2
Alargamiento en la rotura, Y3
Dureza, Y4
120 < Y1
1000 < Y2
400 < Y3 < 600
60 < Y4 < 75
FIGURA 3. Gráfico de transformación (2) utilizado para Y1
y ejemplo de la pisada de Y2 para neumático
Yl y Y2 las transformaciones unilaterales
dada por (2) se utilizaron y se muestran en la figura 3.
Como puede verse, hemos creado Yl * = 120 y Y2 * = 1000.
Cualquier valor de 1\ inferior a 120 dio lugar a un unaccept
neumático capaz de pisada compuesto. De una práctica stand
punto, establecemos Yl * = 170 y Y2 * = 1300. Es decir, nos
considera cualquier índice de abrasión de PICO por encima de 170 a
ser tan deseable como uno en 170. En este ejemplo,
establecemos r = 1 en la transformación de (2)
Yl y Y2• esto se hizo porque sentíamos que
la conveniencia aumentó en forma lineal.
Y3 y Y4 las transformaciones de dos caras
dada por (3) se utilizaron y se muestran en la figura 4.
Aquí Y3 * = 400 y Y3 * = 600 mientras Y4 * = 60 y
Y4 * = 75. Para cada uno de estos, se seleccionaron los puntos medios
C3 = 500 y C4 = valor como el más deseable 67.5
FIGURA 4. Gráfico de transformación (3) utilizado para Y3
y ejemplo de la pisada de Y4 para neumático
de constantes Y3 y Y4• otra vez de s = 1 y t = 1
fueron utilizados, ya que pensamos que una transformación lineal
expresa nuestra evaluación de la conveniencia.
Una detallada compuesto de tres variables, rotativo, central
muestra con seis puntos de centro (se muestra en la tabla 1) era
employed to generate the data which was then
fitted to the second degree polynomials
3 3 3
Yi = bo + L bLxL + L L bLmXLXm
L�l L�l m�L
i = 1,2,3,4.
(4)
The resultant fitted coefficients are given in Table
2, along with the standard errors for each Yi• Since
it is important to have a good estimator Yi of 1/i for
this optimization technique care should be taken to
use good regression and design techniques, along
with experience. It was felt from past experience
that at least a second degree polynomial would be
required to provide an adequate fit to the data. A
central composite response surface design was em
ployed because of favorable past experience with
such designs. With less previous experience, how
ever, one could certainly utilize standard procedures
in design and regression (including stepwise regres- .
sion) in obtaining estimators Yi•
The next step was to use the coefficients given in
Table 2 along with various values of Xl, X2, and X3
to obtain the Y/s. Each Yi was then transformed
into a di, using (2) and (3) as illustrated in Figures
3 and 4. The four d/s were combined into a single
Dusing (1). Hence, for each level of Xl, X2, and X3,
a D value was obtained. We then searched through
TABLE 2. Regression Coefficients and Standard Error for Responses
the levels of Xl, X2, and X3 to find the optimum
value for D. All of this was, of course, done on a
computer. The algorithm we employed generally
converged in fewer than 250 iterations. The result
ing optimum formulation is shown in Table 3. The
maximum composite desirability was 0.583 and all
of the constraints have clearly been met. The value
of 0.583 has little numerical meaning, except to
indicate the level of the X's where the maximum D
occurs. Aside from finding the maximum D, how
ever, the experimenter is generally interested in
how stable the optimum is. For example, do small
changes in the independent variables result in sharp
decreases in D? Since D is a function of the X
variables, it can be plotted to answer such ques
tions.
+1
-1
Std.
b33 b12 b13 b23 Error
-l. 57 5.13 7.13 7.88 5.61
199.17 69.38 94.13 104.38 328.69
0.43 8.75 6.25 l. 25 20.55
-0.32 -1.63 0.13 -0.25 l.27
Figures 5, 6, and 7 show the contour plots
(sketched from a grid of D values) of D for two
independent variables with the other held at its
TABLE 3. Optimum Compound and Predicted
Properties
FIGURE 5. Contour Plots of D for X1 and X2 for Tire
Tread Example
FIGURE 6. Contour Plots of D for X1 and X3 for Tire
Tread Example
FIGURE 7. Contour Plots of 0 for X2 and X3 forTire
Tread Example
optimum. For example, Figure 5 shows the plot of
Xl versus X2 with X3 held at its optimum, that is,
X3 = -0.868. All three of these plots show the
surface to be relatively flat near the maximum,
meaning that small departures from optimality of
the X values would not appreciably decrease the
desirability.
Obviously, the approach utilized in this example
is not the only possible approach. Another feasible
method would involve studying the coefficients in
the fitted equations and overlaying contour plots.
However, the optimum reached in Table 3 did prove
to be satisfactory from a production standpoint,
although slight deviations from the optimum levels
of the X's were instituted for other reasons. This
proved no great problem in this example, since the
surface is relatively flat near the optimum.
Computer Program
We have available, and will provide upon request,
a copy of the FORTRAN computer program used
to maximize D in terms of the Xh• This program
also enables one to generate a response surface of
D as a function of two of the independent variables,
holding the other independent variables constant.
This can then be used to obtain contour plots. It
should be noted that any good optimization pro
gram may be used.
Summary
The simultaneous optimization of several re
sponses has often been accomplished by a hit-or
miss approach. In such a procedure, numerous for
mulations are evaluated until one is found which is
within all constraints. This becomes the "optimum"
formulation. The desirability function approach is
a considerable improvement over this method and
usually not only requires fewer formulations to be
evaluated but also results in more desirable prop
erty levels. Furthermore, the advantage of being
able to plot the desirability surface to determine its
sensitivity to small changes in the independent
variables is significant.
References
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