optimum es... jegyzet

5/15/2018 Optimum Es... Jegyzet - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/optimum-es-jegyzet 1/54

1

TARTALOMJEGYZÉK

I. FEJEZET: 2

1. Többváltozós valós függvények 2

2. Differenciálszámítás (parciális derivált, totális derivált) 3

3. Magasabb rendű parciális deriváltak, Hesse féle mátrix,másodfokú Taylor polinom 6

4. Feltétel nélküli szélsőérték számítás 7

5. Többváltozós valós értékű függvények feltételes szélsőértékeegyenlőségtípusú mellékfeltétel mellett 12

6. Többváltozós valós értékű függvények feltételes szélsőértékeegyenlőtlenség típusú mellékfeltételek mellett 15

II. FEJEZET: VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 19

1. A valószínűségszámítás alapfogalmai, események 19

2. Valószínűség 21

3. A valószínűségszámítás legfontosabb tételei, feltételes

valószínűség 24

4. Események sztochasztikus függetlensége 26

5. Többlépcsős véletlen kísérletek 28

6. Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel 29

7. Diszkrét és folytonos véletlen változók 32

8. Véletlen változók sztochasztikus függetlensége 35

9. A véletlen változókat jellemző legfőbb paraméterek: várhatóérték, variancia, szórás, momentumok, centrális momentumok. 36

10. Csebisev egyenlőtlenség 40

11. A legfontosabb diszkrét eloszlások és jellemzőik 40

12. A legfontosabb folytonos eloszlások és jellemzőik 45

13. Határérték tételek 51

1. SZÁMÚ MELLÉKLET 54



2

I. Fejezet:

1. Többváltozós valós függvények

Alapfogalmak

N n tetszőleges, akkor az

nnn x x f x f x x x x f f ,,,,,:,:

121

leképezést valós értékű n - változós függvénynek hívjuk. Ha n=2, akkor f(x,y) kétváltozós, ill. n=3 esetén f(x,y,z) háromváltozósfüggvény. Függvény gráfja: 1

,: nÉtf x x f x f graf

Speciális esetben, ha n=2, akkor

,,,,,3 Étf y x y x f y x f graf ezt a térbeli halmazt

felületnek hívjuk, és gyakran tudjuk szemléltetni.Egy felület meghatározásához segítségünkre vannak a

koordinátasíkokkal való metszésvonalak és az úgynevezettnívóhalmazok. Koordinátasíkokkal való metszésvonalak meghatározása:

a.) (x,y)-sík egyenletét (z=0) beírjuk a z=f(x,y) egyenletbe: 0=f(x,y).

Ebből az egyenletből kifejezzük y-t (ha lehet).

b.) (x,z)-sík egyenletét (y=0) beírjuk z=f(x,y) egyenletbe: z=f(x,0),ezt megoldjuk z-re (ha lehet).

c.) (y,z)-sík egyenletét (x=0) beírjuk Z=f(x,y) egyenletbe: z=f(0,y),ezt megoldjuk z-re (ha lehet).

Nívóhalmazok, szintvonalak meghatározása: Adott c esetén az f függvény nívóhalmaza:

.:n

c c x f Étf x N

Ha n=2, akkor ,2c N sőt általában síkbeli görbe.

1.1. Példa

Legyen 222, y x x y x f -4y+1

a.) f(-1,2)=? , f(1,1)=?

b.) Rajzolja fel a függvény gráfjának a koordinátasíkokkal való

metszésvonalait! c.) Rajzolja fel a c=0, c=-1, c=12 konstansokhoz tartozó nívóhalmazokat!

1.2. példa

Legyen 186164),(22 y y x x y x f

a.) f(2,3)=?

b.) c=9, c=2, c=-3 esetére adja meg a nívóhalmazokat! c.) Alulról becsülje meg f(x,y)-t!d.) F(y):=f(2,y)

G(x):=f(x,1) Rajzolja fel ezeket a függvényeket!



3

1.3. Példa

Határozza meg az421

,, N N N nívóhalmazokat, ha

a.)2

1),(

x

y y x f

b.) y x x

y y x f 1),(

2. Differenciálszámítás (parciális derivált, totális derivált)

Definíció: n f : függvény az i. változója szerint parciálisan

deriválható az Étf x pontban, ha

h

x f eh x f i

h

0lim létezik és véges (ahol

nie vektor i. koordinátája 1, a többi 0).

Ekkor a fenti határértéket hívjuk az f függvény i. változó szerinti

parciális deriváltjának az x helyen. Jele: . x f x f x x

f ii x x

i

Tehát

.lim:0 h

x f eh x f x

x

f i

hi

A parciális derivált meghatározása: A fenti definíció azt jelenti, hogy a függvény minden változóját - az i.

kivételével – rögzítettnek tekintjük és mint egy egyváltozós valós

függvényt (amely „csak” i x -től függ) deriváljuk. Az összes ismertderiválási szabály érvényben marad!

Definíció: T

n

x x

f x

x

f x

x

f xgradf

,,,:

21

Az f gradiens vektora az x helyen az összes lehetséges parciálisderiváltakból áll.

Elnevezés: A ni x

f n

i

,,1:

függvényeket elsőrendű parciális

derivált függvényeknek hívjuk.

2.1. Példa Adja meg az összes lehetséges elsőrendű parciális deriváltat, ha

a.) 32223425),( y x y y x x y x f

b.)2

22

),,( xy

yz x z y x f

c.) 2232),(

2

y xe y x f y x

d.) xy xy y x f 32sin),( 2

e.) 4 2223),( y x y x y x f



4

f.) 5232),,(222 y z yz xy x z y x f

g.) 24

3

21

51

2

54321ln32cos),,,,(

x xe x

x x x x x x x x x f

h.) 224),( xy x y x f

i.) y x x y x f lncos),(

2

j.) y x y x y x f 1),(

23

2.2 . Példa

Adja meg a grad f-t és t xgradf 0

, ha

a.) )2,2(,1),( 0

33 x x y y x y x f

b.) )1,1(,),(0 xe ye xe y x f xy x y

c.) )0,1(,3),( 0

233222 x y x y x y x f

d.) )1,1(,ln),(0

32 x xy ye xe y x f x y

Totális derivált, érintősík Azt mondjuk, hogy f totálisan deriválható benÉtf x

0, ha olyan

környezete nak x 0, hogy minden re x ebből a környezetből teljesül,

hogy 000

x x xgradf x f x f .

Az f függvény beli x 0

totális differenciálja:

000

:; x x xgradf x xdf

x xdf x f x f f ;:00

Tehát a függvényértékek megváltozása: f ”jól” közelíthető a totálisdifferenciál segítségével.n=2 esetben a 000

x x xgradf x f z éppen egy sík egyenlete,

és őt az f függvény beli x 0érintősíkjának hívjuk.

Tehát totálisan deriválható egy kétváltozós függvény ban x 0

, ha az

00

, x f x felületi pontban van érintősík, és ez az érintősík az0

x egy kis

környezetében jól közelíti a felületet, azaz a felület „sima”. Egy

függvény totálisan deriválható ban x 0 , ha minden elsőrendű parciálisderivált függvénye létezik és folytonos ban x 0

. (Ez a

közgazdaságtanban használt függvényekre általában igaz). A teljes (vagy totális) differenciállal való közelítést használjuk

akkor, ha bizonyos változók kis megváltoztatásának a függvény értékérevaló hatását akarjuk meghatározni.

2.3. példa

)1,2(,186164),(0

22 x y y x x y x f

a.) ?1,2 gradf

b.) Írja fel az beli x 0

érintősík egyenletét!

c.) Adjon közelítést az érintősík segítségével f(2,01;1,02)-re!



5

d.) Mekkora a függvényérték pontos megváltozásának és a közelítésnek

az eltérése? ?,0

x xdf f

2.4. Példa

)8;5;16(,1

ln),,(0

2

x y

z x

z y x f

a.) )8,5;08,16( x A teljes differenciál segítségével adjon közelítést

!re x f

b.) Adjon közelítést „a”-ra, ha 1,08,5,168,5,16 f aaa f f

2.5. példa

02,4;99,1;10,4;2;10,2

),,(0

2 x x x

y z z y x f

Közelítőleg mennyit változik f értéke, ha be xból x 0 megyünk át?

2.6. Példa

)4;3(,2),(0

22 x y y y x y x f

Az első változó értékét 3%-kal növeljük, a második változó értékét 2%-

kal csökkentjük, hány %-kal változik a függvényérték?

2.7. Példa

Egy termelési folyamat során a nyereség 8 változótól függ az alábbimódon:

2

8

3

7

2

654

2

32

2

12,03,043 x x x x x x x x x f

Legyen .1,1,1,1,1,1,1,10 x A vállalat valamelyik változót 10%-kal tudja

növelni. Melyiket kell növelni 10%-kal, ha a legnagyobb nyereségetakarja elérni?

2.8. Példa Rajzolja fel a síkon az alábbi függvények értelmezési tartományát!

a.) 221),( y x y x f

b.) 11),(22 y x y x f

c.) )ln(),( y x y x f

2.9. Példa

A teljes differenciál segítségével adjon közelítést az alábbi kifejezésekre:

a.) 32004,3003,2002,1

b.) 3397,102,1

c.)3 4 3

2

05,198,0

03,1



6

3. Magasabb rendű parciális deriváltak, Hesse féle mátrix,másodfokú Taylor polinom

Egy parciális derivált függvény parciális deriváltját másodrendű parciális

deriváltnak hívunk. Jele: .,,2,1,,

2

n ji x x

f f

ji x x ji

Egy n változós függvény összes lehetséges másodrendű parciálisderiváltját egy mátrixba, az úgynevezett Hesse féle mátrixba írjuk azalábbi módon:

n jni

x x

f

f f f

f f f

f f f

x x

f grad

x x

f grad

x x

f grad

x H ji

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

T

n

T

T

f

nnnn

n

n

,,1,,,1

2

2

1

21

22212

12111

Tehát a Hesse féle mátrix i. sorának j. eleme a

i x

f függvény j x -

szerinti parciális deriváltja az x helyen.

A parciális deriválás sorrendje tetszőleges akkor, ha minden másodrendű

parciális derivált létezik és folytonos. Ezt mindig feltesszük, így,

22

i j ji x x

f

x x

f

azaz a Hesse féle mátrix egy szimmetrikus négyzetes

mátrix.

3.1. Példa Írja fel a Hesse féle mátrixot az

z x z y y x z y xgaés y y x x y x f 23223223423),,(22),( függ

vények esetén általánosan, és az )1,1,1(.)1,1(*

0 xill x pontokban!

Megoldás:

)64(8

8)46(

)34(

)43(),(

2

2

22

22

y x xy

xy y x

y y xgrad

xy xgrad y x H

T

T

f

108

810)1,1(

f H

z y yz x

yz z x

x x x y

x z ygrad

yz xgrad

xz xygrad

z y x H

T

T

T

g

22

23

222

32

12128

1246

86)86(

)46(

)43(

)86(

),,(



7

12128

1246

862

)1,1,1(g

H

Egy f n változós valós függvény0

x pontbeli másodfokú Taylor

polinomja:

000000,2

2

1)( x x H x x x x xgradf x f xT

f

T T x

A másodfokú Taylor polinomot az f függvény0

x egy kis környezetében

való lokális közelítésére használjuk. Általában jobb közelítést ad, mint atotális derivált segítségével történő közelítés.

3.2. Példa

Legyen )2,1;9,0(,)1,1(,32),(*

0

2234 x x y x y x y x f

a.) ?* x f

b.) a totális derivált segítségével adjon közelítést !* ra x f

c.) a másodfokú Taylor polinom segítségével adjon közelítést !* ra x f

d.) Melyik közelíti meg jobban ?* t x f

Megoldás:

a.) 76668,52,19,032,19,02)2,1;9,0(2234 f

b.)

T y x y x xy y xgradf x f mivel x f

x x xgradf df

)66,68(,5)(,615)(

12,0121,014)())((

224233

0

*

0

*

0

c.)

1836

3630)1,1(,

)612()1224(

)1224()624(),(

2423

23232

f f H

x y x xy y x

xy y x y y x y x H

22

0,2

)1(9)1)(1(36)1(15)1(12)1(145

1

1

1836

3630)1,1(

2

1)1(12)1(145),(

y y x x y x

y

x y x y x y xT x

.79,5)2,1;9,0(0,2 xT

e.) Tehát a Taylor polinom jobb közelítést ad.

4. Feltétel nélküli szélsőérték számítás

Az x f függvénynek az nÉtf x 0

pontban:

a.) lokális maximuma van, ha n xK

,0környezet, hogy

0 xK x esetén ;0 x f x f

b.) lokális minimuma van, ha n

x

K ,0

környezet, hogy

0 xK x esetén ;0

x f x f

c.) abszolút maximuma van, ha Étf x esetén ;0

x f x f



8

d.) abszolút minimuma van, ha Étf x esetén .0

x f x f

benn egy ,0 xK környezet alatt a következő halmazt értjük:

0 tetszőleges ,0,0

x x xK n x azaz

0 x közepű

0 sugarú nyílt „gömb”. (Ha n=1, akkor

00

,,0

x xK x nyílt

intervallum; n=2 esetén 0 x közepű 0 sugarú nyílt körlemez; n=3esetén

0 x középpontú 0 sugarú tényleges gömbről van szó).

Szükséges és elégséges feltételek relatív (lokális) szélsőérték létezésére:

A.) Szükséges feltétel:

Ha f-nek 0

x - ban lokális szélsőértéke van, akkor .00

xgradf

Tehát a lehetséges lokális szélsőérték helyeket úgy keressük meg, hogymegoldjuk a 0

0 xgradf vektoregyenletnek megfelelő n db

egyenletet: ni x x

f

i,,2,1,0

.

A 00

xgradf megoldásait kritikus pontoknak, vagy stacionárius

pontoknak is hívják.

4.1. példa

a.) 2232164),( y y x x y x f

b.) yz z y x z y x f 62),,(22

Határozza meg a lehetséges lokális szélsőérték helyeket! M egoldás:

a.) 0))3)(1(3;168( T y y xgradf azaz

.0)3)(1(30168 y yés x A lehetséges lokális szélsőérték

helyek: ).3,2(),1,2(21

PP

b.) 062;6)2(4);2(2 y z z y x y xgradf azaz

.062,06)2(4,0)2(2 y z z y x y x Az első egyenletből,2 y x a harmadik egyenletből y z 3 , ezeket beírjuk a második

egyenletbe. Egyetlen lehetséges lokális szélsőérték hely tehát: P(0,0,0).

A továbbiakban azt kell eldöntenünk, hogy a kapott kritikus pontok közül

melyik ténylegesen lokális szélsőérték hely és melyik lokális minimumill. maximum hely.

B.) Elégséges feltételek:

Legyen f tetszőleges n változójú kétszer folytonosan deriválhatófüggvény, .

0Étf x Jelölje

0 x H az f függvény Hesse féle mátrixát az

0 x pontban.

1.) Ha ,000

x x H xesetén x T akkor f-nek

0 x -ban lokális

minimuma van. (Ekkor 0

x H mátrix pozitív definit)

2.) Ha ,00 0 x x H xesetén x T akkor f-nek 0 x -ban lokálismaximuma van. (Ekkor

0 x H mátrix negatív definit)



9

3.) Ha ,,n y x hogy ,0

0 x x H xT és ,0

0 y x H yT

akkor

f-nek 0 x -ban nyeregpontja van. (Ekkor

0 x H mátrixot

indefinitnek hívjuk)

A fenti feltételek gyakorlati ellenőrzése nem egyszerű.

Még azt is tudjuk, hogy ha a.) f-nek lokális minimuma van

0 x -ban, akkor 0

x H pozitív

szemidefinit (azaz );00 0 x x H xesetén x

f

T

b.) f-nek lokális maximuma van0 x -ban, akkor

0 x H negatív

szemidefinit (azaz ).00 0 x x H xesetén x f

T

Tehát a 0

x H pozitív szemidefinitségből csak az következi, hogy nincs

lokális maximum hely0

x - ben, azaz vagy lokális minimum vagy

nyeregpont van.

A Hesse mátrix definitségi vizsgálata történhet a sajátértékek segítségével, de ehhez ezeket ismerni kell. Egy másik módszer azúgynevezett Hurwitz- kritérium.

Hurwitz - kritérium (egyszerű kritérium 0

x H definitségére)

Legyen A egy tetszőleges szimmetrikus nxn-es mátrix. Képezzük a bal

felső saroktól kiindulva a négyzetes részmátrixok determinánsait.Jelölje tehát:

A Dsít

aaa

aaa

aaa

D

aaaaaa

aa D

a D

n det.,

det:

det:

:

333231

232221

131211

3

21122211

2221

1211

2

111

Az A mátrix definitsége és a Di , i=1,…,n aldeterminánsok előjele között

az alábbi összefüggések igazak: 1.) Astb D D D .,...0,0,0

321 pozitív definit 0 k D

2.) Astb D D D D .,...0,0,0,04321

negatív definit

01 k k D

3.) Ha A pozitív szemidefinit nk Dk ,,2,1,0

4.) Ha A negatív szemidefinit nk Dk k

,,2,1,01

5.) Ha se a 3.) se a 4.) eset nem áll fenn, akkor A indefinit.

Az alábbi táblázatba foglaljuk össze az eredményeket:

nnn

n

aa

aaa

aaa

aaaa

1

333231

232221

1131211



10

Speciálisan n=2 esetén célszerű az alábbiak szerint eljárni:

)(det 02x H D

4.2. Példa

A 4.1- ben szereplő függvények lokális szélsőértékeit határozzuk meg!

a.)

1260

08

9123

168

2 y y ygrad

xgrad H

f

1,21P vizsgálata: ,048

60

08,08

21

D D nyeregpont.

3,22

P vizsgálata: ,04860

08,08

21

D D lokális

minimumhely.

Lokális minimum Lokális maximum

Nyeregpont

0

0

k

k

D

D

teljesülnem Dsem Dsem k k

k 0)1(0

0 k D

0)1(

0)1(

k k

k k

D

D

0)(?

01 x f D xx

0)(

0)(

0

0

x f

vagy

x f

yy

xx

0 x nyeregpont

0 x lok. min. 0 x lok. max.

0 x lok. min. vagy

nyeregpont0 x lok. max.

vagy nyeregpont

02 D

02 D

02 D



11

b.)

x H H

y zgrad

z y xgrad

y xgrad

x H ggg

0,0,0,

260

684

042

62

684

42

.72

260

684

042

,08442,02

321

D D D

Tehát nyeregpont van ban x )0,0,0( (mivel nem teljesül sem az, hogy

0,0,0321 D D D sem pedig .)0,0,0

321 D D D

Feladatok:

Határozza meg az alábbi függvények lokális szélsőérték helyeit ésértékeit!

13626242),,(.19.4

112343),(.18.4

45629),(.17.4

103242),,(.16.4

4),,(.15.4

644),,(.14.4

33128),(.13.4

122),(.12.4

3),(.11.4

1),(.10.4

336),(.9.4

32),(.8.4

279),(.7.4

3),(.6.4

88),(.5.4

123),(.4.4

4),(.3.4

232

2232

222

232

2

222

23223

2224

23

22

22

22

33

33

22

22

23

22

z y x yz z y x z y x f Példa

y x y y x y x f Példa

x y x xy y x f Példa


xz x z y x f Példa

yz xy z y x z y x f Példa

y y xy x x y x f Példa

y x x x y x f Példa

xy ye y x f Példa

y x x y x f Példa

y y x x x y x f Példa

y xe y x f Példa

xy y x y x f Példa

xy y x y x f Példa

y x y xy x y x f Példa

y x y xy x y x f Példa

y x y x y x f Példa

x

y x

2244

22

232

222),(.23.4

11

27),(.22.4

3116),(.21.4

103242),,(.20.4

y x y x y x f Példa

y x

xy y x f Példa

y x y x f Példa




12

5. Többváltozós valós értékű függvények feltételes szélsőértékeegyenlőségtípusú mellékfeltétel mellett

Keressük az n x x x f x f ,,,21 függvény szélsőérték helyeit azon

x pontok között, amelyek a következő úgynevezett mellékfeltételeket kielégítik:

.,0,,0,021 nk ahol xg xg xg k

(Továbbra is feltesszük, hogy f és gi változója szerint folytonosan parciálisan deriválható).

Feladat: n xExtr x f ,!

Mellékfeltétel: nk k i xg i ,,,1,0

Ezt a feladattípust két féle módszerrel oldhatjuk meg: 1. módszer : helyettesítés módszere abban áll, hogy 1. lépésben az 1.mellékfeltételből kifejezzük t x

1és beírjuk a célfüggvénybe (f - be) és a

többi mellékfeltételbe. Így kiküszöböltük az1

x változót, és eggyel

csökkentettük a mellékfeltételek számát. Ezt ismételjük k -szor, ígykapunk egy olyan célfüggvényt, amelyben csak (n-k) db változó van.Mellékfeltétel pedig nincs. Tehát visszavezettük a feladatot egy feltételnélküli (n-k) változós függvény lokális szélsőérték meghatározására.

A módszer legnagyobb hátránya, hogy a mellékfeltételekből nemmindig egyszerű a kívánt változó kifejezése. Továbbá igenszámolásigényes, de sokszor egyszerű.

5.1. Példa

52

1:..

!22),,(222

z y x z y x f m

Min z z y x x z y x f

n=3, k=2

52),,(

1),,(

2

1

z y x z y xg

z y x z y xg

1. lépés: z=1-x-y, ezt beírjuk az f - be és a 2. mellékfeltételbe:

223532

1122)1,,(:),(

22

222

1

xy y x y x

y x y x y x x y x y x f y x f

m.f.: 2x-y-1+x+y=5, azaz 3x-6=0

A kapott feladat: !223532),( 22

1 Min xy y x y x y x f

m.f.: x-2=0

2. lépés: x=2, beírjuk az 1 f célfüggvénybe:

.6

5,

6

1,016)(,!3),2(:)(

'

2

2

12 z y y y f Min y y y f y f

Az eredeti feladat megoldása:

.0833,012

1)(,6

5,6

1,2 P f P



13

2. módszer : a Lagrange szorzók módszere a követk ező tételen alapul: Tétel: Tegyük fel, hogy

0 x megoldása F-nek, és

k i xgradgi ,,1,0 vektorok lineárisan függetlenek, akkor

k 00

vektor úgy, hogy

.:,,0,1

00xg x f x Lahol xgradL i

k

ii

A tétel segítségével az alábbi módon keressük a lehetségesmegoldásokat: 1. lépés: elkészítjük az úgynevezett Lagrange féle (n+k) változósfüggvényt:

xg x f x L i

k

ii

1

:,

2. lépés: felírjuk a 0, xgradL vektoregyenlettel ekvivalens (n+k) db

egyenletet:

n j x x

g x

x

f x L

j

ik

ii

j x j

,,1,0,,1

.,,1,0, k j xg x L j j

3. lépés: a fenti egyenletrendszert megoldjuk. Mivel a értékére nincsszükség, ezért nem kell kiszámolni.

Tehát előállítottuk a lehetséges megoldásokat. Két eset lehetséges: egy P pontot kapunk, vagy több r iPi ,,1, pontot.

a.) eset: egy lehetséges P pontunk van, ekkor tetszőlegesen keresünk egy

Q pontot, amely kielégíti a mellékfeltételeket. Majd f(P), f(Q) értékeketösszehasonlítjuk. Ha f(P)<f(Q), akkor P minimum hely, ha f(P)>f(Q),akkor P maximum hely az adott mellékfeltételek mellett. b.) eset: több r iPi ,,1, pontot kaptunk, mint lehetséges megoldást.

Ekkor az r iP f i ,,1),( függvény értékeket összehasonlítjuk.

Amelyik pontban a legnagyobb (legkisebb) a függvény érték, ott lesz amaximum (minimum) hely az adott mellékfeltételek mellett.

5.2. Példa

22

2:..

!3),,(

2

2

2

z y x

z y x f m

Min z y z y x f

1. lépés:

2223,,,,2

2

2

1

2

21 z y x z y x z y z y x L

2. lépés: 1.) 02, 21 x x L x

2.) 0232,21

y z y x L y

3.) 0232, 21 z y x L z

4.) 02,2

1 z y x x L

5.) 022,2

2 z y x x L

3. lépés: megoldjuk a fenti 5 ismeretlenes egyenletrendszert.



14

,212x ezt beírjuk a 2.) 3.) egyenletbe:

2.) 043211 xy z y

3.) 043211

x z y

2.)-3.): 0141

y x

Ekkor x=0, vagy y=1.

Ha x=0, akkor a 4.) 5.) egyenletekből: .022,02 2 z y z y

11,022222,22,1

22 z z z z z z y nem

lehetséges, tehát .0 x

Legyen y=1, ekkor a 4.) 5.) egyenletek alapján: x(1-2x)=0, azaz

.4

3,2

1 z x Tehát a lehetséges megoldás .4

3,1,2

1P legyen

Q(1,1,0), kielégíti mindkét mellékfeltételt.

,4)(,5625,116

25)( Q f P f nyilvánvaló, hogy f(P)<f(Q), így P

tényleg minimumhely az adott mellékfeltételek mellett.

Gyakorló feladatok

08,!1.18.5

3,!.17.5

333!.16.5

1243,!12.15.5

10,!3.14.5

12,!10.13.5

42,!.12.5

1,12,!.11.5

1,1,!.10.5

432,12,!.9.51,01ln,!.8.5

1,!2.7.5

1111

,!.6.5

1065,!532.5.5

1,!.4.5

12,!.3.5

222

2222

22

22

3

22

222

222

222

2

22

222

32

x y Min y xPélda

y xy x Extr y xPélda

y xy x Extr y xPélda

y x Extr y xPélda

y x Max y xy xPélda

y x Max y xPélda

y x Extr y xPélda

z y x z y x Extr y xPélda

z y x z y x Extr z y xPélda

z y x z y x Max z y xPélda z y xy xy Extr z xyPélda

y x Min xy xPélda

z y x Extr z y xPélda

y x Extr y xPélda

z y x Min z y xPélda

z y x Max z y xPélda

1963

,!.21.5

1,!.20.5

01,!2.19.5

222

222

2222

z y x Max xyzPélda

z y xExtr xz xyPélda

x x y Min y xPélda



15

6. Többváltozós valós értékű függvények feltételes szélsőértékeegyenlőtlenség típusú mellékfeltételek mellett

Keressük egy x f függvény szélsőértékeit azon n x pontok között,amelyek az alábbi halmazban vannak:

.0,0,0:21

nr

n xg xg xg xU

!Extr x f

Feltétel: U x

(Az f és gi függvények továbbra is minden változójuk szerint folytonosan parciálisan deriválhatóak.) A feladat megoldásait az alábbi pontok között keressük: 1.) az nU halmaz csúcspontjai, és az U azon pontjai, ahol f nemderiválható, 2.) az f azon stacionárius pontjai, amelyek az U belsejébe esnek,( r i xgés xgradf i ,,100 )

3.) az alábbi feltételes szélsőérték feladat megoldásai: 0,,0,0,! 21 xg xg xgExtr x f r

A kapott lehetséges megoldások mindegyikében kiszámítjuk a függvényértékét. A legnagyobb ill. legkisebb függvényérték adja meg az f függvény U halmazon vett globális maximum- ill. minimum értékét. Ez a feladattípus n>2 esetén nem egyszerű, ezért n=2 esetrekorlátozódunk.

6.1. Példa

8,!323),(2222 y xExtr y xy x y x f

(A mellékfeltételben szereplő nU halmaz itt egy origó középpontú8r sugarú körlemez, azaz ,08),(

222 y x y xU tehát itt

.)8),(22

1 y x y xg A 1.) eset nem lép fel, mivel csúcspontja

körlemeznek nincs. Megkeressük az f lehetséges lokális szélsőérték helyei közül azokat, amelyek a körlemez belsejébe esnek.

062),(

026),(

y x y x f

y x y x f

y

xAz egyenletrendszernek egyetlen

megoldása van: P(0,0), és ez benne van a körlemez belsejében.A következő lépésben megoldjuk az f(x,y)=Extr!, 8

22 y x feltételes

szélsőérték feladatot pl. a Lagrange módszerrel. 8323),,(

2222 y x y xy x z y x L

1.) y x y x L x / 0226

2.) x y y x L y / 0262

3.) 0822 y x L

0262.)2

0226.)1

2

2

yx yx x

xy y xy

022.)2.)1

22 y x



16

,48

02

22

22

x

y x

y x

2,2

2,2

2,2

2,2

44

33

22

11

y x

y x

y x

y x

A kapott 5 db pontban a célfüggvény értékeit összehasonlítjuk.

3216032)2,2()2,2()2,2(16)2,2(

0)0,0(

f f f f

f

Tehát a függvény a globális maximumát az U halmazon a (2,-2) és a(-2,2) pontban veszi fel, a maximum érték 32. A globális minimumot azU halmazon a (0,0)- ban veszi fel, a minimum értéke: 0.

6.2. Példa

22,02

!3324

y x

Extr x xy y

1. lépés: U csúcspontjai: A(0,2), B(2,2), C(2,-2), D(0,-2)

2. lépés: f lehetséges lokális szélsőérték helyei, amelyek a téglalap

belsejében vannak.

.)2032.)10064

0332

3

22

x y y x y x y

xy y f

x y f

y

x

a.) eset: x=y,

2

3,

2

3

0,003203222

x y

x y y y y y y

b.) eset: x=-y,

2

3,

2

30,003232

22

x y

x y y y y y y



17

Innen 2 különböző pont jöhet szóba: 2

3,2

3,2

3,2

321

PP

3. lépés: Megkeressük a függvény lokális szélsőérték helyeit a téglalaphatárán.

4321I I I I U

202,1

x x I DC szakasz

22,22

y y I CB szakasz

202,3

x x I AB szakasz

22,04

y y I DA szakasz

2,2,043123)('

2,0,1612)(:

21

22

1

3

1 / 1

x x x x x f

x x x x f f I

nek f 1

(0,2)- ben nincs lokális szélsőértéke.

3,3,0,034124)('

2,2,86)(:

232

24

2 / 2

y y y y y y y y f

y y y y f f I

Mindhárom pont jó, azaz újabb lehetséges pontokat kaptunk:

)3,2(),0,2(),3,2(321

QQQ .

)()(

2,0,1612)(:

13

3

3 / 3

x f x f

x x x x f f I

Így innen nem kapunk pontot.

0,04)('

2,2,)(:

3

4

4

4 / 4

y y y f

y y y f f I

Innen egyetlen pont jön szóba: a Q4(0,0).

Pont Függvényérték A pont jellege

)2,0( A 16 Globális maximum helyU-n

)2,2( B 0

)2,2( C 0

)2,0( D 16 Globális maximum helyU-n

)2

3,2

3(1P

16

27

Globális minimum helyU-n

)23,23(2 P 1627

Globális minimum helyU-n

3,21

Q -1



18

0,22

Q 8

3,23

Q -1

0,04Q 0

Speciális eset: a célfüggvény lineáris, és a mellékfeltételekben szereplő

ig függvények is lineárisak.

6.3. Példa

!32),( Extr y x y x f

x y

y x y x

24

,0,2,4

1.)

0

3

2gradf nem létezik lokális szélsőérték!

2.)4321I I I I U

2,2,2:1 / 1

x x f f I (-2,2)- ben nem létezik

szélsőérték !

2,0,34: 2 / 2 y y f f I (0,2)- ben nem létezik szélsőérték!

2,0,12432:3 / 3

x x x x f f I nem létezik szélsőérték!

0,2,83122432:4 / 4

x x x f f I nem létezik szélsőérték!

nU nem létezik lokális szélsőérték! 3.) a tartomány csúcspontjaiban

A(-2,0), B(2,0), C(2,2), D(0,4)

f(-2,0)=-4, f(2,0)=4, f(2,2)=10, f(0,4)=12

maximum hely: D(00,4) pont, maximum érték 12

minimum hely: A(-2,0) pont, minimum érték -4

Következtetés: A feladat megoldásaként csak az U tartománycsúcspontjai jöhetnek szóba. Majd ezekben a pontokban kiszámoljuk afüggvény értékeket és összehasonlítjuk őket.



19

II. Fejezet: Valószínűségszámítás

1. A valószínűségszámítás alapfogalmai, események

A valószínűségszámítás véletlen események, jelenségek, kísérletek vizsgálatával foglalkozik. Véletlen esemény, kísérlet vagy jelenség olyanfolyamat, amely eredménye meghatározatlan, a létrejöttét befolyásolóösszes tényezőt nem ismerjük, elvileg ugyanolyan körülmények közöttsokszor megfigyelhető, vagy végrehajtható. A lehetséges végállapotokatmeg tudjuk határozni.Példa véletlen kísérletre: kockadobás, pénzdobás, urnából golyókihúzása, kiválasztások, sorba rendezés sít. (Röviden: VK)

Ha adott egy véletlen kísérlet, akkor a lehetséges kimeneteleit elemi

eseményeknek hívjuk. Ezek tovább nem bonthatók és egymást kizárják.(Jele: )

Esemény egy olyan adott véletlen kísérlettel kapcsolatos állítás, amely

igaz vagy hamis értéke egyértelműen eldönthető. (Jele: A,B,…, sít.) Eseménytér egy adott véletlen kísérlet összes lehetséges elemieseményeinek halmaza, jele .

Lehetetlen esemény olyan esemény, ami a kísérlet során soha nemkövetkezik be. (jele: Ø). Biztos esemény, amely a kísérlet során mindig

bekövetkezik. Két eseményt ekvivalensnek hívnak, ha egymásbólkövetkeznek. Ekvivalens események között nem teszünk különbséget.Egy esemény lehet elemi esemény, vagy összetett esemény, ami elemieseményekből előállítható.Mivel az események az részhalmazai, így az eseményekre isalkalmazhatóak a halmazműveletek és azok törvényei is érvényben

maradnak.

1.1. Példa

Az alábbi VK esetén határozza meg -t!

a.) Egy szabályos kockával dobunk egyszer

b.) Egy pénzérmét feldobunk egyszer. c.) Egy szabályos kockával kétszer dobunk egymás után. d.) Adott időszakban adott telefonkészüléken történő hívások száma. e.) Adott gép adott műszakban valamilyen termékeket gyárt. A hibástermékeket számoljuk. f.) Adott típusú gépkocsikerék (egyéb gép) élettartama.

Műveletek eseményekkel :

1.) A és B események különbsége: A\ B, pontosan akkor következik be,ha A bekövetkezik, de B nem.

2.) A esemény ellentett eseménye: : A \ A, pontosan akkor következik

be, ha A nem következik be. Nyilvánvaló, hogy . A A

3.) A és B események összege: A+B, pontosan akkor következik be, halegalább az egyik esemény bekövetkezik. (Minden A esemény felfoghatóelemi események összegeként.) 4.) A és B események szorzata: B A az az esemény, amely pontosanakkor következik be, ha mind a két esemény bekövetkezik.



20

Azt mondjuk, hogy A és B események diszjunktak (egymást kizárják), ha B A Ø, azaz együttesen soha nem következnek be. (Az elemi

események mindig diszjunktak.)Azt mondjuk, hogy az n A A A ,,,

21 események teljes eseményrendszert

alkotnak, ha

a.) ji A A Ø, ji (páronként diszjunktak)

b.) i A (összegük a biztos esemény)

Adott VK esetén teljes eseményrendszert alkotnak: a.) az elemi események,

b.) ,, A A bármely A esemény esetén. Az eseményekre vonatkozó legfőbb műveleti szabályok :1.) Az összeadásra vonatkozóak : A szorzásra vonatkozóak :

A+A=A A A A

A+B=B+A A B B A

A+(B+C)=(A+B)+C C B AC B A

A+ A A A Ø A+ Ø=A A Ø= Ø

A+ A A

2.) Az összeadásra és szorzásra vonatkozóak: AC ABC B A

(A+B)(A+C)=A+BC

3.) A de Morgan azonosságok:

B A B A

B A B A

1.2. PéldaA VK legyen a következő, az 1,2,3,4,5,6,7,8,9 számjegyekbőlvéletlenszerűen kiválasztunk egyet. Elemi eseményekkel határozza megaz alábbi eseményeket! a.) A ~ a kiválasztott szám páros,

b.) B ~ a kiválasztott szám osztható hárommal, c.) C ~ a kiválasztott szám nem nagyobb hatnál, d.) D ~ a kiválasztott szám két különböző prímszám szorzata,

e.) ,? A A\B=? , ,? DC B+C=?

1.3. Példa Egy műhelyben három gép dolgozik: I., II., III. Legyen A:= Az I. gép elromlik 1 éven belül,

B:= A II. gép elromlik 1 éven belül, C:= A III. gép elromlik 1 éven belül.

Fejezze ki a következő eseményeket az A,B,C események segítségével.Egy éven belül: a.) csak az I. gép romlik el,

b.) I. és II. elromlanak, de III. nem, c.) mindhárman elromlanak,

d.) legalább egy gép elromlik, e.) legalább két gép elromlik, f.) pontosan egy gép romlik el, g.) pontosan két gép romlik el,



21

h.) egyik gép sem romlik el, i.) legfeljebb két gép romlik el.

1.4. Példa

Hozza egyszerűbb alakra az alábbi kifejezéseket:

a.) ? B A AB A,B tetszőleges események.

b.) (A\B)+ ? B A A,B tetszőleges események. c.) Legyenek A,B,C páronként diszjunkt események:

(A\B) B( \C)+(C\A)=?

1.5. Példa

Legyenek A,B tetszőleges események. Állítsa elő (A+B) eseményt a.) két,

b.) három diszjunkt esemény összegeként!

Adott egy VK, jelölje A az összes kísérlettel kapcsolatba hozható,úgynevezett megfigyelhető események halmazát. Az „A” halmaz nemfeltétlenül azonos Ω úgynevezett hatványhalmazával, azaz az összes Ω-

beli részhalmaz halmazával, de annak részhalmaza, azaz A P (Ω).

Feltesszük, hogy teljesülnek A-ra a következő tulajdonságok:

1.) A, ØA, ( biztos esemény megfigyelhető)

2.) ha A A, akkor A A, (ha egy esemény megfigyelhető, akkor azellentettje is az),

3.) ha i A A, akkor i A A és i A A (megfigyelhető események

összege és szorzata is megfigyelhető). Ha A eleget tesz a fenti tulajdonságoknak és végtelen sok (ill. véges sok)eleme van, akkor -algebrának (ill. algebrának) hívjuk.

2. Valószínűség

Adott egy VK, az ehhez tartozó eseménytér: Ω, és a megfigyelhetőesemények - algebrája: A. Ekkor értelmezhető egy olyan P-vel jelölt

leképezés, amely minden A A eseményhez hozzárendel egy 0≤P(A)≤1számot (amelyet az A esemény valószínűségének fogunk nevezni) és

eleget tesz a következő axiómáknak :1.) P(A)≥0 , minden A A eseményre, 2.) P(Ω)=1 ,

3.) ha ,...,21

A A események páronként diszjunktak, akkor

. ii AP AP

A fenti tulajdonságokkal rendelkező P:A→[0,1] leképezést valószínűségimértéknek nevezzük. Minden VK-hoz tartozik egy (Ω, A, P) hármas, amelyetvalószínűségtérnek vagy Kolmogorov-féle valószínűségi mezőnek hívunk.Minden A A esetén a P(A)[0,1] számot az A eseményvalószínűségének nevezünk.Az axiómákból beláthatók az alábbi tulajdonságok is:



22

1.) ,1 AP AP

2.) P(Ø)=0, 3.) ha i A teljes eseményrendszert alkot, akkor 1 i AP ,

4.) ha B A , akkor P(A)≤P(B), 5.) P(B\A)=P(B)-P(AB).

Fontos kérdés, hogyan kell az események valószínűségét, azaz P-tkonkrét VK esetén meghatározni. A három legfontosabb valószínűség: 1.) klasszikus vagy Laplace – féle valószínűség, 2.) geometriai valószínűség, 3.) statisztikai valószínűség. A klasszikus valószínűségi problémák esetén a VK -nek csak véges sok lehetséges kimenetele van és ezek mindegyike egyenlő eséllyelkövetkezik be. Azaz nn ,,,,

21 , és feltesszük, hogy

.,1

,21

rein

Ptehát PPP in Ekkor

egy tetszőleges A A esemény valószínűsége egy hányados, az A bekövetkezésének szempontjából kedvezőnek tekintett elemi események

számát elosztjuk az összes lehetséges elemi események számával:

,)(n

k A

számaesetek összes

számaesetek kedvező AP

ha

.21 k iii A

A kedvező és az összes elemi események számának meghatározásáhozgyakran kell a kombinatorika módszereit használni.

2.1. Példa

Egy kockát egyszer feldobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy

a.) páros számot, b.) hárommal osztható számot, c.) prímszámot dobunk?

2.2. Példa

Egy kockával kétszer dobunk egymás után. Mekkora a valószínűsége,hogy

a.) mindkét dobott szám prímszám, b.) a két szám összege kisebb hétnél,

c.) a két szám különbségének abszolút értéke pontosan 3, d.) az első dobott szám kétszerese a másodiknak, e.) mindkét szám egyenlő?

2.3. Példa

A természetes számokat tekintjük 1-től 100-ig. Egyet kiválasztunk tetszőlegesen. Mekkora a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám

a.) osztható 4-gyel,

b.) osztható 4-gyel és 6-tal,

c.) osztható 5-tel és 3-mal,

d.) osztható 17-tel és 35-nél nagyobb?



23

2.4. Példa

Mekkora a valószínűsége, hogy

a.) az 1,2,3 számjegyekből páros háromjegyű számot kapunk, b.) az A,A,A,A,B,L,M betűkből az ALABAMA szót kapjuk, c.) a hagyományos 5-ös lottón ötös-, négyes-, hármas- találatunk van?

2.5. Példa Húsz almából 6 férges. 4 db-t kiválasztunk véletlenszerűen. Mekkora avalószínűsége, hogy a 4 elemű mintában 2 db férges alma van, ha

a.) egyszerre vesszük ki a 4 db almát, b.) egymás után vesszük ki visszatevés nélkül, c.) egymás után vesszük ki és a kiválasztott almát visszatesszük, miutánmegnéztük, férges-e?

Geometriai valószínűségről beszélünk akkor, ha egy VK elemieseményeinek halmaza egy véges mértékű geometriai alakzatot alkot.

Ilyenkor egy esemény mindig egy részhalmazt jelöl. Ekkor

)()(

A AP , ahol a az adott halmaz geometriai mértékét

jelöli. A leggyakoribb esetek: 1.) Ω egy intervallum, A A intervallumok, ekkor )( A az adott

intervallum hossza.

2.) Ω, és A A síkidomok, ekkor )( A területet jelöl.

3.) Ω és A A térbeli testek, ekkor )( A térfogatot jelent.

2.6. Példa

Egy 9cm hosszú értékelő skálán egy vonalhúzással kell véleménytmondani. Mekkora a valószínűsége, hogy

a.) tetszőleges személy véleménye a középső harmadban van?

b.) ha két személy értékel egymástól függetlenül, akkor a véleményüketkifejező vonalak távolsága max. 0,5cm?

2.7. Példa

Egy L hosszúságú szakaszt 2 db véletlenül választott ponttal 3 részreosztunk. Mekkora valószínűséggel szerkeszthető háromszög a 3szakaszból?

2.8. Példa

Két személy délután 2 és 3 óra között akar találkozni. Megegyeznek,hogy mindenki max. 25 percet vár, aztán elmegy. Mekkoravalószínűséggel találkoznak?

2.9. Példa

Egy R=0,5m sugarú céltáblára lövünk. A táblát biztosan eltaláljuk.Mekkora a valószínűsége, hogy a találat a.) a tábla alsó felén van

b.) a jobb felső negyedben van,

c.) távolsága a tábla középpontjától max. 0,2m?



24

2.10. Példa

Legyen ].1,0[, y x Mekkora a valószínűsége, hogy x+y<1 és xy<0,16?

Statisztikai valószínűségről beszélünk az alábbi esetekben. Jelöljön K egy tetszőleges véletlen kísérletet K n pedig jelentse a K kísérlet azonoskörülmények közötti n-szeres végrehajtását. Tegyük fel, hogy az i.

kísérlet eredménye nem függ az előző (i-1) db kísérlet kimenetelétől. K n-tekkor n-szeres független kísérletsorozatnak hívjuk. Ha egy K n n-szeres

kísérletsorozat alatt az A esemény k -szor következett be, akkor aztmondjuk, hogy az A esemény relatív gyakorisága:

.,:)( nk n

k Ahn

Nyilvánvaló, hogy a relatív gyakoriság értéke függ a véletlentől, és minélnagyobb az n, annál kevésbé ingadozik valamely érték körül. Ezt azértéket nevezzük az A statisztikai valószínűségének:

)()( Ah AP n ha n elég nagy.

Az olyan véletlen kísérleteknél, eseményeknél, ahol az elemi események nem egyenlő valószínűséggel következnek be, gyakorlatilag így lehet azesemények valószínűségét meghatározni, illetve közelíteni.

Egy pénzérme feldobásakor a fej (vagy írás) valószínűségének megállapítása a „Buffon és Pearson kísérletből” ered. Ők elkészítették azalábbi táblázatot:

A~a dobás eredménye fej

Innen vélelmezzük, hogy .5,0)( AP AP

Megjegyezzük, hogy pl. a „fiú születés” statisztikai valószínűsége: 0,514. A továbbiakban mindig feltesszük, hogy (Ω, A, P) valószínűségtér, azaz

A -algebra, P pedig az axiómáknak eleget tevő valószínűségi mérték.

3. A valószínűségszámítás legfontosabb tételei, feltételesvalószínűség

Összegzési tétel: a.) Legyenek A,B A események tetszőlegesek, akkor

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

b.) Legyenek A, B, C A tetszőleges események, akkor P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

Ezt lehet n>3 esetre is általánosan felírni, ez a Sylvester – féle formula,ettől itt eltekintünk.

3.1. Példa Az első 100 természetes számból kiválasztunk egyet tetszőlegesen.Mekkora a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám 30 és 60 közé esik

vagy osztható 6-tal vagy osztható 8-cal?

N )( Ahn

Buffon 4040 0,5080

Pearson 12000 0,5016

Pearson 24000 0,5005



25

3.2. Példa

Egy kockával kétszer dobunk egymás után. Mekkora a valószínűsége,hogy a két szám összege kisebb 7-nél, vagy mindkét dobott szám

páratlan?

Feltételes valószínűség. Legyenek A, B A tetszőleges események, és

P(B)>0. Ekkor az alábbi hányadost az A esemény B feltétel mellettifeltételes valószínűségének hívjuk:

.)(

)(:

BP

ABP B AP

Teljesülnek az alábbiak is: P(Ø׀B)=0, 0≤P(A׀B)≤1, P(B׀B)=1.

Szorzás tételek 1.) A,B A tetszőleges események, ekkor

),( BP B AP B AP

2.) ha321

,, A A A tetszőleges események, akkor

213121321 A A AP A AP AP A A AP

3.) ha n A A ,,1 tetszőlegesek akkor

.1121312121 nnn A A AP A A AP A AP AP A A AP

3.3. Példa Egy urnában 3 fehér és 3 fekete golyó van. Visszatevés nélkül kihúzunk a.) 2db,

b.) 3 db golyót. Mekkora valószínűséggel húzunk csupa fehér golyót?

3.4. Példa Kétszer dobunk fel egy kockát. Feltéve, hogy az első dobás páros, mi avalószínűsége, hogy a két dobás összege nagyobb vagy egyenlő 10-nél?

3.5. Példa Tegyük fel, hogy P(A)=0,35, P(B)=0,2, P(AB)=0,11. Határozza meg azalábbi valószínűségeket: a.) B AP A BP ,

b.) )(),( B AP B AP

c.) )(),( B AP B AP

3.6. Példa

Az A esemény azt jelenti, hogy egy adott csoportból véletlenszerűenkiválasztott hallgató alacsonyabb 160cm-nél, a B pedig azt, hogy ahallgató súlya 90kb-nél nagyobb. Tudjuk, hogy P(A)=0,15, P(B)=0,2 és

P(AB)=0,01. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűenkiválasztott hallgató

a.) 160cm vagy ennél magasabb és 90kg-nál soványabb, vagy pont 90kb?

b.) 90kb-nál soványabb vagy pont 90kg, ha tudjuk róla, hogyalacsonyabb 160cm-nél?



26

3.7. Példa

1000 háztartást vizsgálat, ebből 603-ban van CD- játszó, 630-ban van

videó, 478-ban van PC, 392-ben van CD- játszó és videó, 322-ben CD-

játszó és PC, 297- ben videó és PC, végül 214- ben mind a hárommegtalálható: CD- játszó, PC és videó. Mekkora a valószínűsége, hogy

egy tetszőlegesen kiválasztott háztartásban egyik készülés sincs?

3.8. Példa

3db levelet véletlenszerűen 3db különböző címzett borítékába teszünk.Mekkora a valószínűsége, hogy legalább egy levél a helyes borítékbakerül?

4. Események sztochasztikus függetlensége

1.) Azt mondjuk, hogy az A1, A2 események páronként függetlenek , ha

egyik esemény valószínűsége sem függ attól, hogy a másik esemény

bekövetkezett-e vagy sem. Azaz ,2

1212

AP A AP A AP ez ekvivalens az alábbival:

.2121 AP AP A AP

2.) Három esemény: A1, A2, A3 sztochasztikusan független / vagy

teljesen független, ha páronként függetlenek:

),()()(

),()()(

3131

2121

AP AP A AP

AP AP A AP

),()()(3232

AP AP A AP és ezen felül még az alábbi

összefüggés is teljesül:

).()()()( 321321 AP AP AP A A AP 3.) n>3 esemény sztochasztikusan (vagy teljesen) független, ha

bárhogyan választunk k db-t az n- ből (k≤n) akkor )()()()(

2121 k k iiiiii AP AP AP A A AP összefüggés

teljesül. A sztochasztikus függetlenség kettőnél több esemény esetén több, mint a

páronkénti függetlenség. Konkrét feladatoknál kettőnél több eseménysztochasztikus f üggetlenségének bizonyításához az összes olyan eseményvalószínűségét ismernünk kellene, amely fellép a definícióban.Általában pedig éppen ezen valószínűségeket kell meghatározni. Így

konkrét esetekben a feladat természetétől függően feltesszük azesemények sztochasztikus függetlenségét, ha nincs köztük okozatiösszefüggés.

4.1. Példa

Egy kockával 2-szer dobunk. Legyenek az események az alábbiak: A1:= az 1. dobás eredménye páros, A2:= a 2. dobás eredménye páros, A3:= a két dobás összeg páros. Mutassa mag, hogy az A1, A2, A3 események páronként függetlenek, desztochasztikusan nem függetlenek!



27

4.2. Példa

Mutassa meg, ha A1, A2 páronként független, akkor 21, A A is független!

4.3. Példa

Egy lakásban 5 db azonos 100W-os égőt és 6 db azonos 60W-os égőt

csavarunk be a hálózatba. A 100W-os égő 1% valószínűséggel hibás, a60W-os égő pedig 0,5% valószínűséggel hibás. Mekkora avalószínűsége, hogy mindegyik körte ép? (Nyilván feltehető, hogy azegyes villanykörték hibás volta egymástól sztochasztikusan független.)

4.4. Példa a.) Egy szabályos kockával 4-szer dobunk egymás után. Mekkora avalószínűsége, hogy legalább egyszer 6-ost dobunk?

b.) Két kockával dobunk egymás után 5-ször. Mekkora a valószínűsége,hogy legalább egyszer dupla 6-ost dobunk?

A sztochasztikusan független eseményekre vonatkozó legfőbb állítások :Legyenek A1, A2, …,An sztochasztikusan független események. Annak a valószínűsége, hogy

a.) az összes esemény egyszerre következik be:

),()()()(2121 nn AP AP AP A A AP

b.) egyik esemény sem következik be:

))(1())(1())(1()()()()(212121 nnn AP AP AP AP AP AP A A AP

c.) legalább egy esemény bekövetkezik :

).(1)( 21

21

n

n

A A AP A A AP

4.5. Példa Egy ügynök telefonon keresztül próbál ügyfeleket szerezni. (pl. üdülési

jog, biztosítás, pénzbefektetés sít.) Tegyük fel, hogy minden 100 hívásbólegy sikeres, és a hívások eredményessége egymástól sztochasztikusanfüggetlen. Hányszor kell telefonálnia ahhoz, hogy 0,95 valószínűséggelszerezzen legalább egy ügyfelet?

4.6. Példa

Egy VK eredményének eltalálása 1% valószínűségű. Mekkora a

valószínűsége, hogy n=200 személyből legalább 1 fő eltalálja, feltéve,hogy a találgatások egymástól függetlenek?

4.7. Példa Egy 3 motoros repülő lezuhan, ha a középső főmotor, vagy mindkétoldalmotor leáll. Egy 4 motoros repülő akkor zuhan le, ha az egyik oldalán mindkét motor egyszerre áll le. Tegyük fel, hogy bármely motor leállásának valószínűsége p (és a motorok egymástól teljesenfüggetlenek). Mekkora valószínűséggel esik le egy

a.) 3 motoros,

b.) 4 motoros repülőgép motorhiba miatt?



28

4.8. Példa

Egy kőolajtermelő cég 3 helyen végez fúrásokat. Tekintsük a következőegymástól sztochasztikusan független eseményeket: A:= az első helyen találnak olajat, P(A)=0,4

B:= a második helyen találnak olajat, P(B)=0,6

C:= a harmadik helyen találnak olajat, P(C)=0,15.

Mekkora a valószínűsége, hogy a.) mindhárom helyen van olaj,

b.) sehol sincs olaj,

c.) legalább egy helyen van olaj, d.) pontosan két helyen van olaj?

5. Többlépcsős véletlen kísérletek

Sok véletlen kísérlet felbontható egyszerűbb véletlen kísérletek sorozatára. Gondoljunk pl. arra, hogy egy urnából 2-szer (3-szor) húzunk egymás után. Az első húzás eredményét vizsgáljuk az 1. lépcsőben (eztörtént időben legelőször), majd a 2. húzás eredményeinek vizsgálatatörténik a 2. lépcsőben (ez időben később történt), sít. Jól szemléltethetők az ilyen többlépcsős kísérletek gráfokkal.Egyszerű kétlépcsős kísérlet szemléltetése az alábbi módon történik. Azelső lépcső lehetséges kimeneteleit jelölje: A1, A2. A második lépcsőlehetséges kimeneteleit jelölje: B1, B2.

Látható, hogy a kísérletnek négy lehetséges lefolyása van, ezeknek egyértelműen megfeleltethető egy „nyílrendszer”. A lehetséges

kimenetelek valószínűségeit úgy számoljuk, hogy a megfelelő nyilakonlevő valószínűségeket ill. feltételes valószínűségeket összeszorozzuk.

5.1. PéldaEgy urnában 5db számozott golyó van. Az 1-es szám két db golyónszerepel, a 2-es szám három db golyón szerepel. Kétszer húzunk visszatevés nélkül egymás után. Melyek a lehetséges kimenetek és adjameg ezek valószínűségeit! Rajzolja fel a gráfot!

5.2. Példa

Van két urnánk, az 1. urnában 2 piros és 3 db fehér golyó van, a 2.urnában 3 fekete, 1 piros és 2 zöld golyó van. Feldobunk egy pénzérmét.Ha fej, akkor az 1. urnából húzunk egy golyót, ha írás, akkor a 2. urnábólhúzunk egy golyót. Amennyiben piros golyót húztunk még egyszer

A A2

B1 B2 B1 B2

P(A1) P(A2)

P(B1׀A1)P(B2׀A2)

P(B1׀A2)P(B2׀A1)

---- 1. lépcső

---- 2. lépcső



29

húzhatunk ugyanabból az urnából. Adja meg a lehetséges kimeneteleketés ezek valószínűségeit! Készítse el a megfelelő gráfot! (A kihúzott pirosgolyót nem tesszük vissza a 2. húzás előtt!)

6. Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel

Tegyük fel, hogy az n A A A ,, 21 A teljes eseményrendszer (azaz páronként diszjunkt események és összegük a biztos esemény). LegyenBA tetszőleges esemény. Ekkor:

n

i

BP BP1

()( ׀ ),() ii AP A (sétlejlsvaésíl) i AP( |B)= ,

)() / (

)() / (

)(

)() / (

1

n

k k k

iiii

AP A BP

AP A BP

BP

AP A BP(Bayes tétel)

A teljes valószínűségtétel és a Bayes tétel is szemléltethető egy gráffal.Tekinthetjük a következő kétlépcsős kísérletet: első lépcsőben a teljeseseményrendszer: n A A A ,,, 21

események következhetnek be, majd a

második lépcsőben a vizsgált B esemény. A B eseményhez csak az

i A ”közbülső (megelőző)” eseményeken keresztül juthatunk el.

A Bayes tétel (vagy Bayes f ormula) azt fejezi ki, hogy ha fellépett a Besemény, akkor ezen információ alapján visszatekintünk időben a teljeseseményrendszer valamelyik elemének valószínűségére.

6.1. Példa

Egy urnában 2 db fehér és 3 db zöld golyó van. Háromszor húzunk visszatevés nélkül. Mekkora a valószínűsége, hogy harmadszorra fehérethúzunk?

A1 A2 Ai An-1

An

B

P(A1)

P(An)

P(B|An)

P(B|A1)

P(Ai)

P(B|Ai)



30

6.2. Példa

Egy hírcsatornán a 0 és 1 jeleket továbbítják 3:2 arányban. A zavarásmiatt a küldött 0 jelek 3%-t 1-nek fogják és a küldött 1 jelek 2%-t 0-nak

értelmezik. Mekkora a valószínűsége, hogya.) a fogadott jel 0,

b.) egy jel, amelyet 0-nak értelmeztek valóban 0-ként lett elküldve?

6.3. Példa

Tegyük fel, hogy egy konkrét betegség diagnosztizálása esetén azalábbiak teljesülnek. Ha egy beteg ténylegesen szenved az adott

betegségben, akkor a vizsgálat eredménye 0,95 valószínűséggel lesz pozitív. Ha nem szenved az adott betegségben, akkor a vizsgálateredménye 0,92 valószínűséggel negatív. Egy konkrét beteg esetén avizsgálat eredménye pozitív lett. Mekkora valószínűséggel betegténylegesen a vizsgált személy, ha tudjuk, hogy az össznépesség 0,5%-a

ebben a korcsoportban az adott betegségben hal meg?

6.4. Példa

Egy üzemben bizonyos munkadarabot 3 gépen állítják elő, jelölje agépeket: I, II, III. tudjuk, hogy az összes termék 50%-t az I. gép állítja elő 3%-os selejt mellett,

30%-t a II. gép állítja elő 1%-os selejt mellett és

20%-t a III. gép állítja elő 2%-os selejt mellett.


a.) egy tetszőlegesen kiválasztott munkadarab selejtes, b.) feltéve, hogy a kiválasztott munkadarab hibás, őt az I. gép gyártotta?

6.5. Példa Egy kirándulásról hazafelé eltűnik a kutya. 3 lehetőség van a családvéleménye szerint: A:= a kutya előreszaladt és a kapu előtt várja a családot, B:= a kapott csontot ássa a földbe az ebéd helyén,

C:= vígan cserkészik az erdőben.Így az egyik gyereket elküldik az erdőbe, a másikat pedig visszaküldik azebéd helyére. A kutyát ismerve a család szerint: P(A)=0,25; P(B)=0,5; P(C)=0,25.

Ha a kutya visszament csontot ásni, 90% valószínűséggel találja meg a

gyerek. Ha viszont az erdőben cserkészik, akkor a megtalálásvalószínűsége már csak 50%.Mekkora a valószínűsége, hogy

a.) valamelyik gyerek megtalálja az ebet, b.) az eb a kapu előtt ül (feltéve, hogy nem találták meg)?

6.6. Példa1 érmével dobunk kétszer egymás után. Ha mindkét dobás eredményefej, akkor az A urnából húzunk egy golyót, ebben 2 db piros és 1 db fehér golyó van. Ha mindkét dobás eredménye írás, akkor a B urnából húzunk egy golyót, ebben egy piros és egy fehér golyó van. Amennyiben a két

dobás különböző, a C urnából húzunk egyet, ebben 2 db fehér és 1 db piros golyó van. Mekkora a valószínűsége, hogy

a.) fehéret húztunk,



31

b.) a két dobás eredménye különböző volt, feltéve, hogy pirosat húztunk?

6.7. Példa

3 gép gyártja ugyanazt a terméket. Naponta az 1. gép 5000 db-t, a 2. gép12000 db-t a 3. gép pedig 30000 db-t termel. A selejt arány az 1. gépnél2%, a 2. gépnél 1%, a 3. gépnél pedig 5%. Mekkora a valószínűsége,

hogy egy tetszőlegesen kiválasztott termék a.) jó,

b.) a 2. géptől származik, ha tudjuk, hogy hibás, c.) az 1. géptől származik, feltéve, hogy hibátlan?

6.8. Példa

Egy hallgatót az év munkanapjainak 30%-ban késve kelti azébresztőórája. Ilyenkor csak 20% valószínűséggel ér be pontosan afőiskolára. Ha az óra pontosan ébreszt, még mindig előfordulhat 10%valószínűséggel, hogy elkésik. Egy nap elkésik. Mekkora a

valószínűsége, hogy erről az ébresztőóra tehet?

6.9. Példa

A tapasztalat szerint egy 250 fős évfolyamról 20% rendszeresen jár matematika órára, 70% már volt a félév folyamán órán, a maradék mégsosem vett részt matematika előadáson. A rendszeres óralátogatók eseténa sikeres vizsga valószínűsége 80%, a néha bejárók esetén a sikeresvizsga valószínűsége 40%, míg a maradék 8% valószínűséggel megy át avizsgán. Mekkora a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztotthallgató

a.) sikeresen vizsgázik,

b.) sikeresen vizsgázik, feltéve, hogy csak néha járt órára, c.) megbukik, feltéve, hogy rendszeresen járt órára, d.) megbukik, feltéve, hogy sosem volt órán?

6.10. Példa

Minőség-ellenőrzés során az alkalmazott módszerrel 0,98valószínűséggel ismerik fel a selejtet. Egy hibátlan darabot 0,99valószínűséggel minősítenek valóban hibátlannak. Legyen az össztermék 3%-a hibás. Mekkora a valószínűsége, hogy egy véletlenül kiválasztottdarab

a.) selejtesnek lesz minősítve, b.) ténylegesen hibás feltéve, hogy hibásnak lett minősítve?

6.11. Példa

Egy gyárrészleg termékeit két ellenőr minősíti 30% ill. 70%-os arányban.Annak a valószínűsége, hogy az ellenőr rosszul dönt, az elsőnél 0,03, amásodiknál pedig 0,05.a.) A szállításnál találtak egy rosszul minősített terméket. Mekkora avalószínűsége, hogy ezt a darabot az első (ill. második) ellenőr minősítette?

b.) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy véletlenül kiválasztott

termék a valóságnak megfelelően van minősítve?



32

7. Diszkrét és folytonos véletlen változók

Adott egy VK és a megfelelő (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy Ω-n

értelmezett számértékű leképezést hívunk véletlen változónak , jele:X.

Az X:Ω→ véletlen változó tehát minden elemi eseményhezhozzárendel egy számértéket. (Pl. Egy adott hallgatói csoportból

véletlenszerűen kiválasztunk egy személyt. Minden személyhezhozzárendelhetjük a testmagasságát, testvérei számát, TAJ számát sít.) Az X véletlen változó diszkrét, ha ÉkX maximum megszámlálható sok elemet tartalmaz; folytonos, ha ÉkX intervallum.

Diszkrét véletlen változók jellemzői Legyen X diszkrét véletlen változó, azaz ÉkX= .,,,,

21 k x x x Tegyük

fel, hogy P(X=xk )=pk (k=1,2,…), azaz annak a valószínűsége, hogy Xéppen az xk értéket veszi fel: .1,0k p Ekkor a 1,0: f

különben

k x xha p x f k k

,0

,2,1,,:)(

Függvényt az X diszkrét véletlen változó sűrűségfüggvényének (vagy

valószínűségfüggvényének) hívjuk. Az X eloszlásfüggvényének pedig a ,1,0: F

F(x)=:=P(X≤x)=

x x

i x x

i

ii

p x f )( függvényt nevezzük.

Az X diszkrét véletlen változó sűrűség és eloszlás függvényére igazak azalábbi összefüggések:

,1)( ÉkX x

i

i

x f

0≤F(x)≤1, F monoton növő lépcsős függvény, amely jobbról folytonos,

1)(lim,0)(lim

xF xF

).()()()( aF bF x f b X aPb xa

i

i

7.1. Példa

10 db csavarból 4 db selejtes. Visszatevés nélkül kiveszünk egyszerre 2db-t (a sorrend nem számít). X véletlen változó jelölje a mintában lévőselejtes csavarok számát. Határozza meg és rajzolja fel a f,F sűrűség - ill.

eloszlás függvényeket!

7.2. Példa

Egy kísérletet addig ismételünk, amíg először sikerül. A siker valószínűsége legyen ).1,0( p Legyen X a sikerhez szükségesk ísérletek db száma. Adja meg f(k)-t!

7.3. Példa

Egy urnában 4 db golyó van 1-től 4-ig számozva. Legyen X a kihúzottgolyón lévő szám. Adja meg a f és F függvényeket!



33

7.4. Példa

Egy céltáblára egymástól függetlenül 4 lövést adunk le. Legyen a találatvalószínűsége minden lövésnél 0,5. Legyen X a 4 független lövés általelért találatok száma. ÉkX=?, f=?, F=?

7.5. Példa

Szabályos kockával kétszer dobunk egymás után. X legyen a dobottszámok közül a nagyobb. a.) f=?, F=?

b.) Mekkora a valószínűsége, hogy 2 és 5 közé eső számot dobunk?

7.6. Példa

Egy szállítmányban 30 db alkatrész van. Annak a valószínűsége, hogyegy alkatrész hibás 0,3. Mekkora valószínűséggel van a szállítmánybanlegalább 5, de legfeljebb 10 hibás?

Folytonos véletlen változók jellemzői Egy X véletlen változót folytonosnak hívunk, ha egy adott I intervallumon bármely értéket felvehet, így P(X=x) értéket nem

lehet megadni, de annak a valószínűségét meg lehet adni, hogy az Xértéke egy adott intervallumba esik. Tehát az eloszlásfüggvényt lehetdefiniálni ugyanúgy, mint diszkrét véletlenváltozók esetén. Egy X

folytonos véletlenváltozó F eloszlásfüggvényének az alábbi függvénythívjuk:

F(x):=P(X≤x) , x .

Ekkor az X sűrűségfüggvényének azt a f≥0 függvényt hívjuk, amelyreigaz az alábbi összefüggés:

x

dt t f xF )(:)( .

Egy folytonos véletlen változó eloszlás- és sűrűségfüggvényeireteljesülnek az alábbi állítások:

1)(,0)( F F

F’(x)=f(x) , (ha f függvény x pontban folytonos)

P(a≤X≤b)=P(a<X<b)=P(a<X≤b)=F(b)-F(a) , a<b

P(X=x)=0 , x

Megjegyezzük, hogy egy egyváltozós valós értékű f≥0 függvény pontosan akkor sűrűségfüggvénye valamely X folytonos véletlenváltozónak, ha

.1)( dt t f

Egy 1,0: F függvény pontosan akkor eloszlásfüggvénye valamely

X folytonos véletlen változónak, ha F folytonos, monoton növő és 1,0 F F összefüggések teljesülnek. A sűrűség- és

eloszlásfüggvények közti kapcsolatot a F’(x)=f(x) , (ha f függvény x pontban folytonos) összefüggés tartalmazza.

Egy X véletlenváltozót (diszkrét, vagy folytonos) kölcsönösen

egyértelműen jellemzi az eloszlás- ill. sűrűségfüggvénye. (Gyakranazonosítják a hétköznapi szóhasználatban az F eloszlásfüggvénnyelrendelkező X véletlenváltozót magával az F eloszlásfüggvénnyel.)



34

7.7. Példa

A X folytonos véletlen változót egyenletes eloszlásúnak hívjuk a [0,2]intervallumon, ha sűrűségfüggvénye:

2,0,

.,0

2

1

)(

t

kül

t f Adja meg F-t. Rajzolja is fel!

7.8. Példa

Legyen X sűrűségfüggvénye az alábbi :0 rögzített

0,.

0,0)(

xek

x x f

x

a.) k=?

b.) F=?

c.) P(1<X≤2)=? )1(

7.9. Példa

Legyen X eloszlásfüggvénye a következő:

0,0

0,11)(

x

xe x xF

x

a.) f=?

b.) P(1,5<X≤3)=?

7.10. Példa

Legyen az X és Y véletlenváltozók sűrűségfüggvénye f és g.

különben

x x f

,0

2,0,2

1

)( ,

különben

ye yg

y

,0

0,)(

Határozza meg az alábbi véletlenváltozók eloszlás- éssűrűségfüggvényeit: a.) 2X

b.) Y2

c.) (4Y-1)

7.11. Példa Melyek eloszlásfüggvények az alábbiak közül?

a.)

.,0

2

1,

1

1

)(

kül

x x

x xF b.)

.,0

1,1

1

)(

kül

x x

x xF

c.)

11

0,0

10,

)(

2

x

x

x x

xF d.)

.,0

4,2

4,0,

)(

kül

x

x x

xF



35

7.12. Példa

Melyek sűrűségfüggvények az alábbiak közül?

a.)

.,0

0,2

1

)(

kül

xe x f

x

b.)

.,0

2,1,2)(kül x x x f

c.)

.,0

1,1)(

kül

x x x f

d.)

.,0

6,3,3

1

)(

kül

x x f

7.13. Példa

Az „a” paraméter értékét válassza meg úgy, hogy f sűrűségfüggvénylegyen. Adja meg F-t is!

a.)

2,

2,0

)(

3x

x

a

x x f b.)

2,

1

2,0

)(2

x x

a

x

x f

c.)

.,0

0,2

cos)(

kül

x x

a x f

8. Véletlen változók sztochasztikus függetlensége

Azt mondjuk, hogy az n X X X ,,, 21 véletlen változók sztochasztikusan

függetlenek, ha közös eloszlásfüggvényük megegyezik az egyeseloszlásfüggvények szorzatával, azaz minden n x x x ,,,

21 esetén:

nnn xF xF xF x x xF 221121 ),,,( , ahol

),,,(:),,,(221121 nnn x X x X x X P x x xF az

úgynevezett együttes eloszlásfüggvény, és )(:)( x X P xF ii

Feltesszük, hogy az n X X X ,,,21 mindegyike folytonos, vagy

mindegyike diszkrét. Belátható, hogy n X X X ,,,21 pontosan akkor

sztochasztikusan függetlenek, ha az együttes sűrűségfüggvényük megegyezik az egyes sűrűségfüggvények szorzatával:

nnn x f x f x f x x x f 221121

)(),,,( , minden

n x x x ,,,21 esetén.

8.1. Példa

Egy urnában 2 db golyón az 1-es szám, 3 db golyón a 2-es szám áll.Kétszer húzunk visszatevés nélkül. Legyenek X1:= az 1. húzásnál kihúzott golyón lévő szám,



36

X2:= a 2. húzásnál kivett golyón álló szám. a.)Adja meg a megfelelő sűrűségfüggvényeket: f 1, f 2 és az együttessűrűségfüggvényeket!

b.) Független-e X1 és X2?

8.2. Példa

Tegyük fel, hogy X és Y független véletlen változók éssűrűségfüggvényeik:

.,0

0,22

1kül

xe x f

x

,

.,0

0,5,05,0

2kül

ye y f

y

Határozza meg a közös sűrűségfüggvényt: f(x,y)-t és az alábbivalószínűségeket: P(0<X≤1, 1<Y≤2)=?

P(0<X≤1)=?

P(1<Y≤2)=?

9. A véletlen változókat jellemző legfőbb paraméterek: várhatóérték, variancia, szórás, momentumok, centrálismomentumok.

Az X diszkrét véletlen változó várható értéke alatt az alábbi számotértjük:

.:)( ii

i x f x X E

Az X folytonos véletlen változó várható értéke az alábbi szám:

.:)( dx x f x X E

Megjegyezzük, hogy ha X egy tetszőleges véletlen változó, g(x) egytetszőleges folytonos függvény, akkor a g(X) is egy véletlen változó, úgya várható értékét az alábbiak szerint definiálhatjuk. a.) Ha X diszkrét véletlenváltozó, akkor

.:))(( ii

i x f xg X gE

b.) Ha X folytonos véletlenváltozó, akkor

.)()(:))(( dx x f xg X gE

A várható érték legfőbb tulajdonságai: E(a)=a (konstans várható érték saját maga)

)()( X E a X aE (konstans kiemelhető) E(X+Y)=E(X)+E(Y) (összeg várható értéke a várható értékek összege) ha X,Y sztochasztikusan független véletlen változók, akkor

)()()( Y E X E Y X E

A várható értéket középértéknek is szokták nevezni, és gyakranhasználják a )(: X E jelölést is. A várható érték az X véletlen változó lehetséges értékeinek avalószínűséggel súlyozott összege és egy olyan értéknek tekinthető,

amellyel X-t legjobban közelíthetjük. Egy véletlen változó értékei aközépérték körül ingadoznak a legkisebb mértékben. Ezt a minimális



37

ingadozást, bizonytalanságot jellemzi a variancia, vagy más néven aszórásnégyzet. Egy X véletlen változó varianciája alatt a középértéktől való eltérésnégyzetének a várható értékét értjük, azaz:

.:)(22

X E X Var

Amennyiben X diszkrét, akkor

ii

i x f x X Var 2

:)( , ha viszont

X folytonos véletlen változó, akkor

.:)(2 dx x f x X Var

Egy X véletlen változó szórása alatt a varianciából vont pozitívnégyzetgyököt értjük:

.)(: X Var

(Az X véletlen változó értékei ugyanolyan dimenziósak mint a szórás. Pl.

ha X értékei mm- ben adottak, akkor a Var(X) értéke mm2

- ben van, míg értéke szintén mm.) Előfordul, hogy a véletlen változó szórásának és középértékének hányadosát használjuk, ezt a dimenzió nélküli számot hívjuk az Xvéletlen változó variációs együtthatójának , azaz

.:

v

A varianciára vonatkozó legfontosabb számítási szabályok az alábbiak:

,)()(22 X E X E X Var

Ez az összefüggés előnyösebb a Var(X) kiszámításához, mit a definíció. .,,)()(

2 baahol X Var abaX Var

Legyenek X,Y véletlen változók sztochasztikusan függetlenek, akkor baY Var b X Var abY aX Var ,),()()(

22 .

Speciálisan, ha a=1, b=-1, akkor

).()()( Y Var X Var Y X Var

Legyen X tetszőleges véletlen változó, amelyre.0)(),(

2 X Var X E

Ekkor az X standardizáltjának vagy standard-transzformáltjának akövetkező Z véletlen változót hívjuk:

.:

X Z

Erre a Z véletlen változóra mindig igaz, hogy

E(Z)=0, Var(Z)=1.

Azt mondjuk, hogy egy X véletlenváltozó k. momentuma az (Xk )

véletlen változó várhatóértéke: ),(:

k k X E amely formája diszkrét esetben:

,ii

k ik x f x

folytonos esetben pedig:

N k dx x f xk k

.)(



38

Megjegyezzük, hogy nem mindig létezik a ii

k ik x f x -beli sor

összege, ill. a N k dx x f xk k

.)( - beli improprius integrál,

ekkor nincs a megfelelő véletlen változónak k. momentuma.

A X véletlen változó k. centrális momentuma alatt az

k

X )( véletlenváltozó várható értékét értjük, azaz

.,: N k X E k k

Amennyiben X diszkrét, akkor

,i

k

iik x f x ha pedig

X folytonos, akkor

.dx x f x k k

Megjegyezzük, hogy .,02

211

és

A momentumok a véletlen változó eloszlására jellemző mennyiségek,amelyekkel bizonyos mértékig leírható a véletlen változó. Az első négymomentum a statisztikában játszik fontos szerepet. Egy diszkrét véletlen változót gyakran az alábbi úgynevezetteloszlástáblázattal adunk meg, megadjuk mely értékeket milyenvalószínűségekkel vehet fel: Pl.:

xi .

pi=f(xi) .

9.1. Példa: 0-1-eloszlás xi 0 1

pi p q

a.) E(X)=? b.) Var(X)=? c.) ?k

9.2. Példa Két játékos dobál egy szabályos kockát. Megállapodnak abban, hogy haaz A játékos egy bizonyos számot dob, akkor a B játékostól pénzt kap az

alábbiak szerint: 100Ft-t, ha 1 vagy 2,

200Ft-t, ha 3 vagy 4,400Ft-t, ha 5,

800Ft-t, ha 6-ost dob.

a.) Mekkora átlag bevételre számíthat az A játékos egy játék során?(legyen X= az játékos dobásonkénti bevétele)

b.) Előzőleg az A játékos egy bizonyos pénzösszeget letétbe helyezett.Mekkora ez az összeg, ha az A játékos 20-szor dob, és azt akarjuk, hogya játék igazságos legyen?



39

9.3. Példa

Legyen X eloszlásfüggvénye:

0,1

02,8

1

4

1

2,0

)(

21 xecc

x x

x

xF

x

a.) c1=?, c2=?

b.) E(X)=?

c.) P(X>-1)=?

9.4. Példa

X sűrűségfüggvénye legyen az alábbi:

.,0

21,2

10,

)(

kül

x x

x x

x f

a.) E(X)=?

b.) Var(X)=?

9.5. Példa

Egy bizonyos géptípus élettartamát jelöljük az X véletlen változóval.Tudjuk, hogy sűrűségfüggvénye adott 0 paraméteresetén az alábbi:

.,0

0,)(

2

kül

x xe x f

x

a.) E(X)=? (a várható élettartam)

b.) ?)( X P

9.6. Példa

Adott a következő eloszlástáblázat. Határozza meg E(X)-t, !t

a.)

xi -1 0 1

pi 6

1 6

2 6

3

b.)

xi -2 1 3

pi 4

1 4

2 4

1

9.7. Példa

Adott az alábbi sűrűségfüggvény, határozza meg E(X) és értékét!

a.)

.,0

10,)(

kül

xe x f

x

b.)

.,0

10,2)(

kül

x x x f

c.)

.,0

1,1

2

1

)(kül

x x

x f d.)

.,0

1,1

)( kül

x x

x f



40

10. Csebisev egyenlőtlenség

A Csebisev egyenlőtlenség arról ad információt, hogy egy tetszőlegesvéletlen változó a várható értékétől milyen távolságra „szóródhat”.Legyen X tetszőleges véletlen változó, amelyre

2)(,)( X Var X E mennyiségek léteznek. Ekkor 0 esetén

teljesül a következő úgynevezett Csebisev egyenlőtlenség:

.0,12

t t

t X P

10.1. Példa

Dobozokba csavarokat csomagolunk, egy dobozba átlag 1000 db csavar

jut. Jelölje X a dobozokba beletett csavarok db számát. Tegyük fel, hogy.10 Mi annak a valószínűsége, hogy a dobozba került csavarok db

száma 950 és 1050 között van?

A Csebisev egyenlőtlenség jól használható a valószínűség korlátainak megadására.

10.2. Példa

Egy újságárus 1 óra alatt átlagosan 120 újságot ad el, 12 szórással. Xlegyen az 1 óra alatt eladott újságok száma. Adjon alsó becslést akövetkező valószínűségre:

!15684 X P

11. A legfontosabb diszkrét eloszlások és jellemzőik

Egy X diszkrét véletlen változót egyértelműen meghatározza az ,2,1,, i p x ii párok halmaza, amelyet eloszlásnak nevezünk. Ezek

a párok sokszor táblázattal adottak, ezt eloszlástáblázatnak hívjuk. Atovábbiakban az „adott eloszlású X véletlen változó” helyett csak az„adott eloszlás” elnevezést használjuk. Mint korábban említettük,

ÉkX xi és .iii x X P x f p

Indikátor eloszlás (vagy más néven 0-1 eloszlás):Egy X véletlen változó 0-1 eloszlású, ha

p X PésÉkX )1(,1,0 P(X=0)=1-p=:q, ahol 0<p<1.

Ezt a véletlen változót akkor használjuk, ha egy konkrét A esemény bekövetkezésére vagyunk kíváncsiak. Ha bekövetkezik az A eseményakkor X értéke legyen 1, ha nem következik be, akkor legyen 0. Az Aesemény bekövetkezésének valószínűségét jelölje:p. Ezt az X véletlenváltozót szokták az A esemény indikátor változójának is nevezni.

Bonyolultabb eloszlások felépítésénél hasznos. Egy 0-1-eloszlás várható

értéke: E(X)=p, szórása pedig .q p

Egyenletes eloszlás: Azt mondjuk, hogy X egyenletes eloszlású véletlen változó,

ha n x x xÉkX ,,,21 és .,,2,1,

1)( ni

n

x f x X P p iii

A várható éték: ,1

)(1

n

ii x

n X E



41

a variancia pedig: .11

)(

2

11

2

n

ii

n

ii x

n x

n X Var

11.1. Példa

Legyen X egyenletes eloszlású és ÉkX= .,,2,1 n

a.) E(X)=?, Var(X)=?b.) ha n=20, akkor E(X)=?, Var(X)=?

Binomiális eloszlás: B(n;p) Egy X véletlen változó binomiális eloszlású, ha ÉkX= ,,,2,1,0 n és

f(k)=P(X=k)= .,10,1 N n p p pk

n k nk

Binomiális eloszlású véletlen változót az alábbi esetekben használunk: 1.) Egy véletlen kísérlet elvégzésénél az A esemény adott p

valószínűséggel következhet be. A kísérletet n-szer végezzük el, a

kimenetelek egymástól függetlenek. Jelölje X az n kísérlet soránaz A esemény bekövetkezésének számát.

2.) Egy N elemű halmazban M<N elem rendelkezik egy bizonyos Btulajdonsággal. Az N elemből kiválasztunk n db-t visszatevéssel.X véletlen változó jelölje az n kiválasztott elemből a Btulajdonságú elemek db számát. (visszatevéses mintavétel).

Mindkét esetben X binomiális eloszlású. Belátható, ha X binomiális eloszlású véletlen változó, azaz

),;( pn B X akkor

E(X)=np , Var(X)=npq , továbbá

k f q pk k nk f 1

1 rekurziós formula is teljesül, (q=1-p).

11.2. Példa

Egy szállítmányból mintát veszünk. A mintabeli selejtek számától függ,hogy átveszik -e a szállítmányt. Legyen n=40 db-os a minta. Ha 2-néltöbb selejt van, akkor nem veszik át. Mekkora az átvétel valószínűsége,ha a selejt arány p%?

a.) p=1% , b.) p=2% , c.) p=5%

11.3. Példa Egy kérdőíven 10 db kérdés van, mindegyikre 4 különböző válasz közüllehet választani- tudjuk, hogy egy válasz a helyes minden kérdés esetén.Tegyük fel, hogy véletlenszerűen választunk a válaszok közül. Mekkoraa valószínűsége, hogy egy kitöltött kérdőív esetén

a.) pontosan 3 válasz helyes, b.) legalább 3 válasz helyes?

11.4. Példa

A személy B-nek javasol egy játékot: egy pénzérmét feldobnak 20-szor.

B személy nyer, ha 9,10 vagy 11 dobás eredménye írás. Különben A

nyer. Előnyös-e ez a játék B-nek?



42

11.5. Példa

Egy termék előállításánál a selejt valószínűsége 0,5%. A termékeketdobozokba teszik, egy dobozba 100 db kerül. Egy dobozt kiválasztunk véletlenszerűen. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a dobozban

a.) nincs selejtes darab,

b.) 2 vagy több selejtes db van?

11.6. Példa

Egy futball-kapusról tudjuk, hogy átlagban a 11-es rúgások 15%-t kivédi.Mekkora a valószínűsége, hogy 5 db 11-es rúgás esetén

a.) egyet véd ki, b.) kettőt véd ki, c.) egyet sem tud kivédeni?

11.7. Példa

Egy céltáblára 20 lövést adunk le egymástól függetlenül. Az egyes

lövések találati valószínűsége 0,8. mekkora a valószínűsége, hogy a.) pontosan 5 lövés talál, b.) legalább 1 lövés talál, c.) legfeljebb 10 lövés talál?

d.) Adja meg a találatok számának várható értékét!

11.8. Példa

Egy üzemben annak a valószínűsége, hogy a nyersanyagellátás valamelynapon zavartalan 0,75. Mekkora annak a valószínűsége, hogy 6 naponkeresztül csak 3 napon át lesz a nyereségellátás zavartalan?

11.9. Példa

A megfigyelések szerint Magyarországom 1000 újszülött közül átlagosan516 a fiú és 484 a lány. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy 6gyermekes családban ugyanannyi fiú van mint lány?

Geometriai eloszlás

Egy X véletlen változó geometriai eloszlású, ha ÉkX=N,,)()(

1 k q pk X Pk f 0<p<1, q=1-p.

Egy X geometriai eloszlású véletlen változóra

.

1

)(,

1

)( 2 p

p

X Var p X E

Egy geometriai eloszlású véletlen változó azt „számolja”, hogy egy bizonyos esemény mikor következik be először. Egy kísérletet addigvégzünk el, amíg először be nem következik a vizsgált esemény, amely

bekövetkezésének valószínűsége egy kísérlet során p.

11.10. Példa

Egy relé egy kapcsolási folyamatban p=0,0001 valószínűséggel romolhatel. Mekkora a valószínűsége, hogy a relé

a.) a 3. kapcsolásig legalább egyszer elromlik,

b.) legkorábban a 4. kapcsolásánál romlik el először?



43

11.11. Példa

Egy éjjeliőrnek 10 db hasonló kulcs van a kulcstartóján. Ha részeg, akkor úgy próbálja kinyitni az ajtókat, hogy véletlenszerűen kiválaszt egykulcsot. Minden zárba csak 1 db kulcs illik. Mekkora a valószínűsége,

hogy részeg állapotban egy konkrét ajtót a.) pontosan az 5. próbánál tud kinyitni,

b.) 8 próbálkozás után sem sikerült kinyitni?

11.12. Példa

a.) Egy kockával addig dobunk, amíg 6-os nem jön ki. Átlagosanhányszor kell dobni?

b.) Két kockával dobunk addig, amíg az összeg 12 lesz. Átlagosanmennyit kell dobni?

11.13. Példa

Egy hallgató egy vizsgán 0,3 valószínűséggel megy át. Addig ismétli a

vizsgát, amíg nem sikerül. Várhatóan hányszor kell elmennie vizsgázni?

Hipergeometriai eloszlás

Azt mondjuk, hogy X hipergeometriai eloszlású, ha

ÉkX= n M ,min,2,1,0 és

.),min(,2,1,0)()( n M k k f

n

N

k n

M N

k

M

k X P

Hipergeometriai eloszlású véletlen változót használunk visszatevésnélküli mintavétel esetén. Egy N elemű halmazban M<N elemrendelkezik egy bizonyos B tulajdonsággal. Ebből az N elembőlkiválasztunk véletlenszerűen visszatevés nélkül (egyszerre pl.) n dbelemet. X véletlen változó adja meg az n elemű mintában lévő Btulajdonságú elemek db számát.Egy X hipergeometriai véletlen változó esetén:

).1,(1

)(,)( pq N

M pahol

N

n N npq X Var np X E

A valószínűségek kiszámításában segít az alábbi rekurziós képlet:

.111 k f k n M N k

k M k n

k f

11.14. Példa

Egy szállítmányban N=500 alkatrészből M=10 hibás. Visszatevés nélkülkiveszünk n=50 db-t.

a.) Mekkora a valószínűsége, hogy a mintában nincs hibás alkatrész?

b.) E(X)=? , Var(X)=?

(X:= az n elemű mintában lévő hibás alkatrészek száma)

11.15. Példa

Egy hetilap N=52 kiadásából M=12- ben szerepel egy bizonyos hirdetés.Egy olvasó az év során n=15 alkalommal vette meg a lapot. Mekkoravalószínűséggel látta legalább egyszer a hirdetést?



44

11.16. Példa

6 férfi és 8 nő közül véletlenszerűen kiválasztanak 4 személyt. Mekkoraa valószínűsége, hogy legalább 2 nő van köztük?

11.17. Példa

Egy áruszállítmány 50 db- ból áll, amelyből 10 hibás. A szállítmányból

véletlenszerűen, visszatevés nélkül kiveszünk 3 db-t. Adja meg az f sűrűségfüggvényt, E(X) és értékét!

Megjegyezzük, hogy a hipergeometriai eloszlás jól közelíthető

binomiális eloszlással pl. ha .05,0 N

nHa egy N elemű halmazban a B

tulajdonságú elemek száma: M az N növekedésével arányosan nő, azaz

,lim p

N

N M N

akkor .1limk nk

N p p

k

n

n N

k n

M N

k

M

Poisson eloszlás P

Az X diszkrét véletlen változó Poisson eloszlású (azaz P X ) a

0 paraméter mellett, ha Ék(X)= ,0,2,1,0 N és

.!

)( e

k k X Pk f

k

Poisson eloszlású véletlen változóra igaz, hogy

,)(,)( X Var X E

.11 k f k k f

A Poisson eloszlásnak több hasznos tulajdonsága is van: 1.) A binomiális eloszlás bizonyos feltételek mellett jól közelíthetőPoisson – eloszlással, ha pl. np<10, akkor

.,!

1 npek

p pk

n k k nk

2.) Ha PY P X , sztochasztikusan függetlenek akkor

PY X , azaz két sztochasztikusan független Poisson eloszlásúvéletlen változó összege is Poisson eloszlású.

Általánosan elmondhatjuk, hogy a ritka (kis valószínűségű) események közül bekövetkezők száma Poisson eloszlást követ. Pl. egy boltba adottidőegység alatt betérő vevők száma, sajtóhibák száma, rendelések száma,telefonhívások száma, egy időegység alatt bekövetkező katasztrófák száma sít. Poisson eloszlású véletlen változó. az esemény intenzitása.

11.18. Példa

Egy üzemben a selejt valószínűsége p=0,001. Mekkora a valószínűsége,hogy egy n=500 db-os szállítmányban nincs 2-nél több selejtes termék?

(A binomiális eloszlást közelítse Poisson eloszlással!)



45

11.19. Példa

Egy telefonközpontba óránként 180 hívás érkezik. A percenkénti hívások száma Poisson eloszlású. Mekkora a valószínűsége, hogy egy percen

belül 6-nál több hívás érkezik?

11.20. Példa

Budapest valamely kerületében a naponta karambolozott autók számalegyen Poisson eloszlású, 1 mellett.

a.) Mekkora a valószínűsége, hogy egy napon nem történik k arambol a

kerületben?

b.) Egy évben hány olyan nap van a kerületben, amikor nincs karambol?

11.21. Példa

Egy gyárban a hetente történő üzemi balesetek száma legyen .9,0P X


a.) egy héten belül 2-nél több baleset nem történik,

b.) két egymás utáni héten nincs baleset?

11.22. Példa

Egy augusztusi éjszakán átlag 20 percenként észlelhető csillaghullás.Mennyi annak a valószínűsége, hogy negyedóra alatt két csillaghullástlátunk?

11.23. Példa

2007 karácsonyán Magyarországon az emberek másodpercenként átlag 5SMS-t küldtek egymásnak, Norvégiában pedig 9-t. Mekkora a

valószínűsége annak, hogy e két országban egy másodpercben összesen20 SMS-t küldtek el?

11.24. Példa

20 év adatainak alapján megállapították, hogy a porosz hadseregben

lórúgásban elhunyt katonák száma Poisson eloszlást követ 61,0

paraméter mellett. Mekkora a valószínűsége, hogy

a.) senki nem halt meg lórúgás következtében, b.) maximum 3-n haltak meg lórúgás miatt?

12. A legfontosabb folytonos eloszlások és jellemzőik

Egy X véletlen változót folytonosnak hívunk, haÉkX= I intervallum. Egy ilyen véletlen változót általában asűrűségfüggvényével adunk meg, amelyről az eloszlásfüggvény és azegyéb jellemző paraméterek egyértelműen meghatározhatóak.

Egyenletes eloszlás

X véletlen változó egyenletes eloszlású az ba, intervallumon, ha

.,0

,,1

)(

kül

ba xab x f



46

Egyenletes eloszlású X véletlen változó esetén igaz, hogy

),(,

,1

,,

,0

)( ggvényeloszlásfüaz

b x

ba xab

a x

a x

xF

.12

)(,2

)(2ab X Var ba X E

A sűrűségfüggvény és az eloszlásfüggvény gráfjai az alábbiak:

sűrűségfüggvény: f

eloszlásfüggvény: F

12.1. Példa

Legyen X egyenletes eloszlású [-1,1]-n, akkor

a.) adja meg és rajzolja is fel f, F függvényeket, b.) ?,,: Y Y F f X Y

c.) ?,,32: Z Z F f X Z

12.2. Példa

Egy X véletlen változóról tudjuk, hogy az [a,b] intervallumon egyenleteseloszlású, továbbá, hogy E(X)=Var(X)=4. Mekkora a és b?

Exponenciális eloszlás, Ex

Az X folytonos véletlen változót 0 paraméterű exponenciáliseloszlású véletlen változónak hívjuk, ha sűrűségfüggvénye:

.,0

0,)(

kül

xe x f

x



47

Az eloszlásfüggvénye pedig az alábbi:

.,0

0,1)(

kül

xe xF

x

Exponenciális eloszlású véletlen változó esetén:

2

1)(,

1)(

X Var X E

Mikor használjuk az exponenciális eloszlást?

Általában elmondhatjuk, ha adott egy 0 X intenzitású diszkrétPoisson eloszlású véletlen változó (amelyről tudjuk, hogy úgynevezett

ritka események bekövetkezésének számát adja meg adott időegységalatt), akkor az egymást követő események közötti szakaszok hosszátmérő folytonos véletlen változó ugyanazon 0 paraméterűexponenciális eloszlású véletlen változó lesz. Tipikusan exponenciális eloszlást követ a „nem kopó” alkatrészek élettartama (villanykörte, chip, elektronikus alkatrész, a látótávolság azerdőben, a gépjárművek közti távolság, a telefonhívások között eltelt idő,a telefonbeszélgetések időtartama, radioaktív anyagok bomlási ideje,szolgáltatások időtartama sít.)Az X exponenciális eloszlású véletlen változó rendelkezik azúgynevezett „örökifjú” tulajdonsággal, azaz:

0, t t X Pt X t t X P esetén.

Ha pl. X egy gép élettartamát jelöli, akkor annak a valószínűsége, hogyez min. t t feltéve, hogy már t ideig működött, nem függ t-től. Azaza készüléket újnak lehet tekinteni addig, amíg meg nem hibásodik. Akészülék hosszú idő alatt „öregszik el”, a túlélési kondíciók az időmúlásával nem változnak. Be lehet látni, hogy ha egy folytonos véletlenváltozó rendelkezik az „örökifjú” tulajdonsággal, akkor ő exponenciáliseloszlású.

12.3. Példa Legyen Ex X , adja meg Y:=3Y+3 esetén yY F f , függvényeket!

12.4. Példa Egy ház előtt óránként 600 autó halad el. Mekkora a valószínűsége, hogy

a.) legalább 10 mp-ig egyetlen autó sem halad el, b.) min. 5 és max. 10 mp-ig egyetlen autó sem halad el?

12.5. Példa

Egy 3m-es falécet véletlenszerűen 8 darabra vágunk szét. Mekkora a

valószínűsége, hogy egy darab min. 50cm hosszú?



48

12.6. Példa

Egy villanykörte átlagos élettartama 500 óra. Mekkora a valószínűsége,hogy egy villanykörte 1000 óránál többet ég?

12.7. Példa

Egy géptípus javítási ideje átlagosan 10 óra. Mekkora valószínűséggel

lehet 8 óránál rövidebb idő alatt megjavítani?

12.8. Példa

Egy televízió átlagos javítási időtartama 5,0Ex X . Mekkora a

valószínűsége, hogy egy tetszőleges készülék javításához legalább 3 órakell? Átlagosan mennyi ideig tart egy készülék megjavítása?

12.9. Példa

Egy izzólámpa – típus élettartama exponenciális eloszlású és tudjuk,hogy 2

3 e X P .

a.) E(X)=?

b.) P(2<X<3)=?

12.10. Példa Jelölje X azt a km számot, amelyet egy gépkocsi az első műszaki hibáigmegtesz. Tudjuk, hogy Ex X és E(X)=5000km. Mekkora annak a

valószínűsége, hogy X a várható értéknél kisebb értéket vesz fel?

Legyen 21

, ExY Ex X és egymástól függetlenek, akkor igazaz alábbi egyenlőség:

21, aeaY a X P .

Normális eloszlás: ; N

A normális eloszlású véletlen változók a valószínűség számításban és astatisztikában is nagyon fontos szerepet játszanak.

Normális eloszlást követnek pl. a megfigyelési hibák, mérési hibák, valósértéknek a névértéktől való eltérései sít. Egy X folytonos véletlen változó normális eloszlású a és

0 paraméterek mellet (jele: ; N X ), ha sűrűségfüggvénye:

R xe x f

x

,

2

1)(2

2

2

.

A függvényelemzés ismert módszereivel belátható, hogy f szimmetrikusaz x egyenesre, maximumát az x pontban éri el és

maximumértéke:2

1

, valamint két inflexiós helye van:

21

. xill x . Ezt a függvényt hívják Gauss – féleharanggörbének is:



49

Továbbá teljesülnek az alábbi összefüggések is:

0lim,1

x f dx x f .

Normális eloszlású véletlen változó eloszlásfüggvénye:

dt e xF x t

2

2

2

2

1

.

Belátható, hogy 2

1,1,0 F F F .

Az F(x) értékek meghatározása csak numerikus úton lehetséges. Ha ,; N X akkor

2)(,)( X Var X E .

Normális eloszlású véletlen változókra igaz az alábbi úgynevezettaddíciós tétel: ha 222111 ,,, N X N X és

21, X X függetlenek, akkor

21: X X X is normális eloszlású véletlen

változó, amelyre21

)( X E és 2

2

2

1)( X Var .

Egy tetszőleges ; N X véletlen változó esetén F(x) és P(a<X<b)meghatározása bonyolult, így a következőképpen járunk el. Definiáljuk az úgynevezett standard – normális eloszlású véletlen változót:

X U : , (az X standard – normál transzformáltja)

Erről tudjuk, hogy E(U)=0, Var(U)=1, jele: 1;0 N U .

Az 1;0 N U véletlen változóról belátható, hogy a sűrűségfüggvénye

(jele: )

ueuu

,2

12

2

, az eloszlásfüggvénye

Ф(u):=

udt e

u t

,2

12

2

.

Az Ф(u) eloszlásfüggvényt szintén nem tudjuk elemi függvényekkelkifejezni, de numerikusan jól lehet közelíteni. A Ф(u) értékeittáblázatban adják meg (lsd. 1. függelék), innen lehet megnézni. Az 1,0 N U standard normális eloszlású véletlen változó Ф(u)eloszlásfüggvényére igaz, hogy

Ф(-u)=1- Ф(u), 0u



50

ezért az eloszlástáblázatban csak 0u értékekre van Ф(u) megadva. A

Ф(u) képe az alábbi:

a megfelelő sűrűségfüggvény képe pedig:

Legyen ; N X tetszőleges normális eloszlású véletlen változó. AzF eloszlásfüggvényének értékeit és a megfelelő valószínűségeket a Фsegítségével az alábbi összefüggések alapján számoljuk ki:

)(t F Ф

t

b X aP Ф

b Ф

a

2 k X P Ф(k)-1 , k=1,2,3,…

2 a X P Ф 0,1

a

a

.

12.11. Példa

Legyen 2;6 N X , a táblázat segítségével határozza meg az alábbiértékeket: a.) F(3),

b.) 82,6 X P ,

c.) 76,4 X P .

12.12. Példa Egy automata zacskókba cukorkát csomagol. A zacskók X súlyát gr gr 2,100 paraméterű normális eloszlású véletlen

változónak tekintjük. Mennyi a valószínűsége, hogy egy zacskó súlya 99és 101 gr közé esik?

12.13. Példa

Átlagosan 1000mm hosszú lécek elkészítése 0,8mm eltéréssel történik. Alécek hossza legyen 8,0;1000 N X . Mekkora a valószínűsége, hogy

a.) egy léc hossza rövidebb 998mm-nél, b.) egy léc tényleges hossza 1000mm és 1002mm közé esik, c.) a tényleges hossz eltérése a névértéktől abszolutértékben kisebb, mint1mm?



51

d.)* A valós értéknek a névértéktől való mekkora eltérését tudjuk 90%-os

biztonsággal garantálni?

e.) Mekkora legyen , ha az összes léc 90%-a a 2 mm tűréshatáron belül kell maradjon?

12.14. Példa

Egy diák naponta 720-kor indul el az ÁVF-re. 8h-ra bent kell lennie.

Tegyük fel, hogy az utazási idő hosszát egy X normális eloszlású véletlenváltozó adja meg, 5,35 perc és 11,3 perc paraméterek mellett. Haegy évben 240 munkanapot tételezünk fel, hány napon fog elkésni?

12.15. Példa

Egy fémgyalu gép lemezeket állít elő. Legyen a lemezvastagságotmegadó X véletlen változó normális eloszlású a mm10 és

mm02,0 paraméterek mellett. Hogyan kell a toleranciahatártmegválasztani, ha nem akarjuk, hogy 5%-nál több legyen a selejt?

12.16. Példa

Egy üdítőital gyártó cég az 1l-es flakonokat gépekkel tölti meg. Azüvegbe kerülő ital térfogata legyen ; N normális eloszlású véletlenváltozó. Mekkora a és a értéke, ah tudjuk, hogy

P(X<0,97)=0,04 és P(X>1,03)=0,03?

12.17. Példa

A matematika vizsgán elért pontszámokat lehet normális eloszlású

véletlen változónak tekinteni, amelyre 30,40

.a.) A hallgatók hány %-a ért el 40 pontnál kevesebbet?

b.) Mekkora annak a valószínűsége, hogy valaki 55 és 70 pont közötti pontszámot ért el?

12.18. Példa

Azt mondják a zöldségesek, hogy 100 esetből körülbelül ötször fordulelő, hogy egy zsák krumpli súlya az előírttól 50 dkg-mal többel tér el.

Normális eloszlást tételezve fel, mekkora a zsákok súlyának szórása?

13. Határérték tételek

A határérték tételeknek két nagy csoportját különböztetjük meg: az egyik az úgynevezett lokális határérték tételek, a másik csoport az úgynevezettglobális határérték tételek .A lokális határérték tételek diszkrét eloszlású véletlen változók sűrűségfüggvényeire vonatkoznak. A globális határeloszlás tételek azeloszlásfüggvényekre vonatkoznak. A két legfontosabb lokális határeloszlás tételt az alábbiaknak foglaljuk össze. 1.) Hipergeometriai eloszlású véletlen változók sűrűségfüggvényeinek

pontonkénti limese bizonyos feltételek mellett binomiális eloszlásúvéletlen változó sűrűségfüggvényével egyezik meg. Azaz legyenek n M N H X n ,, hipergeometriai eloszlású véletlen változók, amelyekre



52

p N

M N

lim , akkor N k pnk f n M N k f N

,;,,;lim , azaz

k nk

N p p

k

n

n

N

k n

M N

k

M

1lim .

Ennek az állításnak a gyakorlati jelentősége az, hogy ha pl.

05,0 N

nteljesül, akkor az alábbi közelítés alkalmazható:

k nk p pk

n

n

N

k n

M N

k

M

1 .

2.) Poisson tétel: binomiális eloszlású véletlen változók

sűrűségfüggvényeinek pontonkénti limese Poisson – eloszlású véletlenváltozó sűrűségfüggvényével egyezik meg bizonyos feltételek mellett.Legyenek nn pn B X , és tegyük fel, hogy

n

n pnlim , akkor

;,;lim k f pnk f n

azaz más szóval:

N k ek

p pk

n k k nk

n

,

!1lim

.

Ha például 10np és n>1500p egyenlőtlenségek teljesülnek, akkor

e

k

p p

k

n k k nk

!

1 .

A lokális határeloszlás tételek azért fontosak, mert a binomiálisegyütthatókat nagy számok esetén nehéz kiszámolni.A globális határeloszlás tételek (vagy centrális határeloszlás tételek)lényege az, hogy sztochasztikusan független véletlen változók összegegyakran teljesülő feltételek mellett asszimptotikusan normális eloszlású.(Ezért is játszik a normális eloszlás kiemelkedő szerepet a valószínűségszámításban és a statisztikában.) Lindeberg – Levy tétele (centrális határeloszlás tétel) Legyenek ,2,1i X i sztochasztikusan független véletlen változók,

amelyek azonos eloszlásúak, azaz várhatóértékük és szórásnégyzeteik isazonosak: ,2,1,,

2 i X Var X E ii . Ekkor az összegük

standardizáltja közelítőleg standard normális eloszlású. Azaz legyen

n

n X

Z

n

ii

n

1: , ekkor a n Z eloszlásfüggvényeire teljesül, hogy

zF nnlim Ф(z), vagy másként: dt e z Z P

z t

nn

2

2

2

1lim .

Ezt a tételt leggyakrabban az alábbi átfogalmazásokban használjuk:

1.) x X X X P n21 Ф

n

n x

,



53

2.) b X X X aP n21

Ф

n

nb

Ф

n

na

.

A Lindeberg – Levy tételt lehet általánosítani úgy, hogy az i X változók

lehetnek különböző eloszlásúak is. Ezt az általánosítást fogalmazza meg

a Ljapunov tétel.

Ljapunov tétel. Legyenek i X véletlen változók sztochasztikusanfüggetlenek, és jelölje:

n

iin

n

iiniiiiii b B X E b X Var X E

1

3

1

2~232

,,,,

Legyen

~

1:

n

n

iii

n

X

Z

.

Tegyük fel, hogy teljesül az úgynevezett Ljapunov – feltétel:

0lim ~

n

n

n

B

, akkor a n Z véletlen változók

eloszlásfüggvényeinek sorozata pontonként standard normális eloszlású,azaz:

zF n

nlim Ф(z).

A Ljapunov feltétel azt jelenti, hogy az n X sorozatban egyik sem

domináns, azaz nincs olyan i X , amely az összegre lényeges befolyást

gyakorolna.



54

1. számú melléklet

A standard normális eloszlás eloszlásfüggvényének táblázata

x

x x

x x

x

,00 ,50000000 3,00 ,99865010 3,60 ,99984089

,10 ,53982784 3,05 ,99885579 3,61 ,99984690

,20 ,57925971 3,10 ,99903240 3,62 ,99985270

,30 ,61791142 3,15 ,99918365 3,63 ,99985829

,40 ,65542174 3,20 ,99931286 3,64 ,99986368

,50 ,69146246 3,25 ,99942297 3,65 ,99986888

,60 ,72574688 3,26 ,99944294 3,66 ,99987389

,70 ,75803635 3,27 ,99946226 3,67 ,99987872

,80 ,78814460 3,28 ,99948096 3,68 ,99988338

,90 ,81593987 3,29 ,99949906 3,69 ,99988787

1,00 ,84134475 3,30 ,99951658 3,70 ,99989220

1,10 ,86433394 3,31 ,99953352 3,71 ,99989637

1,20 ,88493033 3,32 ,99954991 3,72 ,99990039

1,30 ,90319952 3,33 ,99956577 3,73 ,99990426

1,40 ,91924334 3,34 ,99958111 3,74 ,99990799

1,50 ,93319280 3,35 ,99959594 3,75 ,99991158

1,60 ,94520071 3,36 ,99961029 3,76 ,99991504

1,70 ,95543454 3,37 ,99962416 3,77 ,99991838

1,80 ,96406968 3,38 ,99963757 3,78 ,99992159

1,90 ,97128344 3,39 ,99965054 3,79 ,99992468

2,00 ,97724987 3,40 ,99966307 3,80 ,999927652,05 ,97981778 3,41 ,99967519 3,81 ,99993052

2,10 ,98213558 3,42 ,99968689 3,82 ,99993327

2,15 ,98422239 3,43 ,99969821 3,83 ,99993593

2,20 ,98609655 3,44 ,99970914 3,84 ,99993848

2,25 ,98777553 3,45 ,99971971 3,85 ,99994094

2,30 ,98927589 3,46 ,99972991 3,86 ,99994331

2,35 ,99061329 3,47 ,99973977 3,87 ,99994558

2,40 ,99180246 3,48 ,99974929 3,88 ,99994777

2,45 ,99285719 3,49 ,99975849 3,89 ,99994988

2,50 ,99379033 3,50 ,99976737 3,90 ,999951902,55 ,99461385 3,51 ,99977595 3,91 ,99995385

2,90 ,99533881 3,52 ,99978423 3,92 ,99995573

2,65 ,99597541 3,53 ,99979222 3,93 ,99995753

2,70 ,99653303 3,54 ,99979994 3,94 ,99995926

2,75 ,99702024 3,55 ,99980738 3,95 ,99996092

2,80 ,99744487 3,56 ,99981457 3,96 ,99996253

2,85 ,99781404 3,57 ,99982151 3,97 ,99996406

2,90 ,99813419 3,58 ,99982820 3,98 ,99996554

2,95 ,99841113 3,59 ,99983466 3,99 ,99996696

optimum es... jegyzet

Documents