orientando: cosmo d. santiago – msc. orientador: carlos h. marchi – dr.eng. 1º seminário do...

Orientando: Cosmo D. Santiago – MSc.Orientando: Cosmo D. Santiago – MSc.Orientador: Carlos H. Marchi – Dr.Eng.Orientador: Carlos H. Marchi – Dr.Eng.

1º Seminário do projeto 1º Seminário do projeto Multigrid - abril/2008 Multigrid - abril/2008

Otimização do método multigrid Otimização do método multigrid geométrico para sistemas de geométrico para sistemas de

equações 2D em CFDequações 2D em CFD

Programa de Pós-Graduação emEngenharia Mecânica -PG-Mec - UFPR

Objetivos dessa apresentação

Apresentar um resumo de resultados já obtidos.

Atividades em andamento

Resultados esperados

Objetivos dessa etapa da pesquisa

Obter parâmetros ótimos do método multigrid geométrico para 2 sistemas de equações.

Os parâmetros estudados são:

- Iterações internas (ITI);- Iterações internas (ITI); - Número de níveis (L);- Número de níveis (L); - Número de variáveis (N).- Número de variáveis (N). Verificar se os parâmetros ótimos são os mesmos para os esquemas CS e FAS.

Verificar se os valores ótimos obtidos com os 2 sistemas são os mesmos obtidos para uma equação.

Modelos Matemáticos – 2D

• Equação de Laplace

02

2

2

2

y

T

x

T

Solução analítica:Solução analítica:

1,0 yx

xyyxT ,

TT representa o campo de temperaturas. representa o campo de temperaturas.

Modelos Matemáticos – 2D• Equações de Navier (Termoelasticidade)

uSx

TC

y

u

x

u

y

v

x

u

xC

2

2

2

2

2

vSy

TC

y

v

x

v

y

v

x

u

yC

2

2

2

2

21,0 yx

Onde : Onde :

1

1C

)sinh(

sinhsin,

y

xyxT

ee

sol. analíticasol. analítica 11

11sin,

2

2

ee

eexyxu

yx

2, xyyxv ee

é o campo de temperaturasé o campo de temperaturas

é a razão de Poisson,é a razão de Poisson,

uu e e v v representam os deslocamentos.representam os deslocamentos.

uS vSee são termos fontessão termos fontes

By

v

x

v

y

p

y

v

x

uv

y

u

x

u

x

p

y

vu

x

u

2

2

2

22

2

2

2

22

)(

)(

Modelos Matemáticos – 2D• Equações de Burgers

1,0 yx

Onde : Onde : p é a pressão estáticaé a pressão estáticaB é o termo fonteé o termo fonte

yyxxxyxu 2428, 3234

2423 2648, yyxxxyxv

pp, , uu ee vv são dados analíticamente por são dados analíticamente por Shih et al. (1989)Shih et al. (1989)

Sol. analíticaSol. analítica

uu e e v v representam as velocidades.representam as velocidades.

Modelo numéricoModelo numérico

- Discretização com o Método de Diferenças FinitasDiscretização com o Método de Diferenças Finitas

- Malha uniformeMalha uniforme

- Aproximações: UDS/CDS para os termosAproximações: UDS/CDS para os termos advectivos e difusivos, respectivamenteadvectivos e difusivos, respectivamente

- Solver: MSI e tolerância - Solver: MSI e tolerância

- Condições de contorno de DirichletCondições de contorno de Dirichlet

-

Para os três problemas:Para os três problemas:

1210

Linguagem: Fortran/95Linguagem: Fortran/95 Multigrid Geométrico com Ciclo VMultigrid Geométrico com Ciclo V Engrossamento da malha: 2 (padrão)Engrossamento da malha: 2 (padrão) Restrição: injeçãoRestrição: injeção Prolongação: interpolação bilinearProlongação: interpolação bilinear Algoritmos: Algoritmos:

• Equação de Laplace e equações de Navier (CS e FAS)Equação de Laplace e equações de Navier (CS e FAS)• Equações de Burgers (FAS)Equações de Burgers (FAS)

ImplementaçãoImplementação

Iterações internas (ITI): Equação de Laplace x Equações de Navier

Conclusão: ITIoptimum = 2 para os dois problemas

Fig. 1: Comparação do número de iterações internas com os esquemas CS e FAS

ResultadosResultados

(a) Iterações internas com CS (b) Iterações internas com FAS

Conclusão: ITIoptimum = 2 para Navier ITIoptimum = 8 para Laplace

ótimoCPUmáximoCPU LtLt

Número de malhas (L): Equação de Laplace x Equações de Navier


Para os dois problemas e os dois esquemas (CS/FAS) observa-se que:

Fig. 2: Comparação do número de níveis com os esquemas CS e FAS

(a) Número de níveis com CS (b) Número de níveis com FAS

ResultadosResultados Número de variáveis (N): Equação de Laplace x Equações de Navier

Para os dois problemas e os dois esquemas (CS/FAS) observa-se que:

Fig. 3: Comparação do esforço computacional com CS e FAS

(a) Ajuste de curva com CS (b) Ajuste de curva para Navier com FAS

MG: o tempo computacional cresce linearmente com o aumento do número de variáveis.SG : o tempo computacional cresce muito rapidamente com o aumento do número de variáveis.

Iterações internas (ITI): Equações de Burgers (Somente esquema FAS)


Fig. 4: Comparação do número de iterações internas com o FAS

Fig. 5: Comparação do número de níveis

Fig. 6: Ajuste de curva para os 3 solvers

Observe-se que: Na Fig. 4, ITIoptimum = 5. ótimoCPUmáximoCPU LtLt

Na Fig. 6: MG: o tempo de CPU cresce linearmente com o aumento do nº de variáveis. SG : o tempo de CPU cresce muito rapidamente com o aumento do nº de variáveis.

Na Fig. 5,

Esquema CS ITIoptimum = 2, em qualquer malha. O ITI afeta significativamente o

tempo de CPU.

O número ótimo de malhas é próximo do máximo, isto é, Loptimum ≈ Lmaximum. O número de malhas pode afetar

significativamente o tempo de CPU

O acoplamento das duas equações não degenera a perfomance do multigrid quando comparado com o caso de uma equação.

O tempo de CPU cresce aproximadamente linear com o aumento do número de variáveis.

Verificou–se que:

Algumas conclusões Algumas conclusões

Equação de Laplace x Equações de Navier

Esquema FAS

ITIoptimum = 8, (Equação de Laplace) ITIoptimum = 2, (Equações de Navier)O ITI afeta significativamente o tempo de CPU.

Nº de níveis (Idem a conclusão com esquema CS).

Acoplamento (Idem a conclusão com esquema CS).

O tempo de CPU (Idem a conclusão com esquema CS)


ITIoptimum = 5, em todas as malhas. O ITI afeta significativamente o tempo de CPU.

Nº de níveis (Idem aos casos anteriores).

Acoplamento (Idem aos casos anteriores).

O tempo de CPU (Idem aos casos anteriores).


Equações de Burgers (apenas esquema FAS)

Próximas etapasPróximas etapas

Otimizar o método Otimizar o método multigridmultigrid geométrico ciclo geométrico ciclo V para as equações de Navier-Stokes nas V para as equações de Navier-Stokes nas formulações:formulações:

Função Corrente-Velocidade (mai/jun);Função Corrente-Velocidade (mai/jun);

Função Corrente-Vorticidade (jul/ago/set);Função Corrente-Vorticidade (jul/ago/set);

Vorticidade –Velocidade (out/nov/dez);Vorticidade –Velocidade (out/nov/dez);

Modelo numérico:Modelo numérico:

Mesmo usado com os problemas mostrado aqui.Mesmo usado com os problemas mostrado aqui.

Atividades em andamentoAtividades em andamento

Desenvolvimento do texto de qualificação;Desenvolvimento do texto de qualificação;

Texto de artigo para Cilamce/2008 sobre osTexto de artigo para Cilamce/2008 sobre os resultados obtidos até agora; resultados obtidos até agora;

Implementação dos algoritmos SG/MG-FAS para aImplementação dos algoritmos SG/MG-FAS para a formulação função corrente-velocidade formulação função corrente-velocidade..

Próximas etapasPróximas etapas

Resultados esperados:Resultados esperados:

Otimizar o método Otimizar o método multigridmultigrid geométrico ciclo V geométrico ciclo V para problemas com duas equações; para problemas com duas equações;

Mostrar que o acoplamento das equações nãoMostrar que o acoplamento das equações não degenera a performance do método degenera a performance do método multigrid.multigrid.

Otimizar o método Otimizar o método multigrid multigrid para as equações depara as equações de Navier-Stokes em formulações alternativas. Navier-Stokes em formulações alternativas.

AgradecimentosAgradecimentos

- Laboratório de Experimentação Numérica (LENA) do Demec/UFPR;- Prof. Marchi- Meus amigos do LENA.

orientando: cosmo d. santiago – msc. orientador: carlos h. marchi – dr.eng. 1º seminário do...

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