os desafios da escola pÚblica paranaense na … · 10 praticando matemática, editora brasil 11...
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Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Artigos
O SOFTWARE JCLIC COMO FERRAMENTA PEDAGÓGICA PARA
SE EXPLORAR OS CINCO SIGNIFICADOS DE FRAÇÃO: uma
intervenção com alunos de 6° ano do Ensino Fundamental
Aparecida de Araujo1
Veridiana Rezende2
Resumo: Nossa experiência como professora de Matemática, juntamente com resultados de pesquisas como Nunes e Bryant (1997), e os baixos resultados de avaliações realizadas pelo Ideb, Prova Brasil, Provinha Brasil, Saresp, Enem e SAEB em todo o Brasil, mostram que os alunos apresentam dificuldades para compreender o conceito de fração. Observamos que alguns livros didáticos abordam as frações como exercícios práticos, sequência de conceitos ilustrativos e conceito contextualizado, limitando a compreensão de fração apenas com significado parte do todo. Desta forma, apresentamos este trabalho com objetivo de favorecer um ambiente de reflexão, discussões e compreensão, apresentando uma diversidade de situações para contribuir com a compreensão do conceito de fração. O trabalho foi desenvolvido com vinte e oito alunos do 6° ano do Ensino Fundamental Além disso, com o presente texto temos o intuito de favorecer aos professores de matemática uma reflexão crítica sobre sua prática no ensino das frações. Esta proposta é resultado da produção didática realizada como requisito parcial do Programa de Desenvolvimento Educacional, e tem a intenção de se explorar os cinco significados do conceito de fração: número, relação parte-todo, medida, quociente e operador multiplicativo propostos por Nunes (2003). Aliamos a isto a abordagem das frações por meio do Software Jclic. Finalmente, constatamos que a metodologia e atividades propostas favoreceram a evolução do conhecimento informal para a formal. Que os alunos resolvem os problemas de forma prática, aplicando os conceitos de fração estabelecendo relação com o significado estudado. Compreenderam o significado e importância do denominador e do numerador, bem como o que representam. Efetivamente, o aluno estabelece e percebe a relação o “todo” envolvido e dá sentido fazendo a dupla contagem das partes. Palavras-chave: Educação Matemática. Cinco significados de fração. Software Jclic.
1 INTRODUÇÃO
Diante de uma sociedade que exige uma demanda de novas competências,
faz-se necessário propor um ensino com enfoque que priorize a formulação de
estratégias, que promovam o uso de ferramentas tecnológicas e oportunize
1 Professora participante do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, Turma 2013 –
SEED/PR, Especialista em Ensino de Matemática, Professora da Rede Pública Estadual na cidade de Goioerê – Paraná. E-mail: [email protected]. 2 Professora Doutora do Colegiado de Matemática da Universidade Estadual do Paraná – Câmpus de
Campo Mourão, orientadora deste trabalho PDE. E–mail: [email protected].
desenvolver o espírito crítico, a criatividade, a interpretação, a iniciativa, a
autonomia do indivíduo para conhecer e enfrentar desafios.
Neste sentido, optou-se por desenvolver este trabalho envolvendo os cinco
significados da fração, acreditando que esta prática pedagógica de se explorar
diferentes significados de fração possa contribuir com o ensino de Matemática,
possibilitando ao aluno uma aprendizagem significativa da Matemática a partir de
atividades que propicie entender e estabelecer conexões entre conceitos e situações
do cotidiano. Com esta perspectiva, o projeto “O software Jclic como ferramenta
pedagógica para se explorar os cinco significados de fração: uma intervenção com
alunos de 6° ano do Ensino Fundamental” apresentado ao Programa de
Desenvolvimento Educacional – PDE é parte integrante às atividades da formação
continuada da Rede Estadual de Educação do Paraná. Foi desenvolvido com vinte e
oito alunos do 6° ano do Ensino Fundamental do Colégio Estadual Antônio Lacerda
Braga – EFM e Profissionalizante, Município de Goioerê - Paraná, no período de
fevereiro a junho de 2014.
O objetivo principal da proposta foi implementar uma sequência de atividades
que favorecesse o ensino e a aprendizagem do conceito de fração, utilizando-se de
lápis e papel além do Software Jclic, para alunos do 6º ano do Ensino Fundamental.
Temos observado ao longo de nossas práticas escolares que, nossos alunos
apresentam dificuldades ou conceitos desconectados em relação a fração. Estas
dificuldades podem ser confirmados com os resultados de pesquisas e provas
realizadas por meio de várias aferições como: Saeb3, Ideb4, Prova Brasil5, Provinha
Brasil6, Saresp7, Enem8, que aferem o desempenho dos alunos.
Neste sentido, surge a preocupação e a necessidade de repensar nossa
própria prática docente e, de repente, colaborar com a prática pedagógica de outros
professores de Matemática, a respeito do ensino de fração. Assim, realizamos
estudos e pesquisas em documentos curriculares a respeito do tema frações que
culminou na elaboração de uma sequência didática com cinquenta e nove
atividades. As atividades apresentam-se fundamentadas nos cinco significados de
3 Sistema de Avaliação da Educação Básica. 4 Índice de Desenvolvimento da Educação Básica. 5 Avaliação para diagnóstico, em larga escala, desenvolvidas pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep/MEC). 6 A Provinha Brasil é uma avaliação diagnóstica aplicada aos alunos matriculados no segundo ano do ensino fundamental (MEC). 7 Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo 8 Exame Nacional do Ensino Médio
frações: número, relação parte-todo, medida, quociente,operador multiplicativo e
número, com a finalidade explorar uma diversidade de situações para favorecer a
compreensão dos alunos. A seguir, apresentamos a fundamentação teórica que
subsidiou o desenvolvimento deste trabalho.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Nesta seção, apresentamos reflexões dos principais autores que
fundamentaram o desenvolvimento do trabalho, bem como indicações de como o
ensino de fração deve ser abordado de acordo com os documentos curriculares
brasileiro (BRSIL, 1998) e paranaense (PARANÁ, 2008), e sua abordagem nos livros
didáticos de matemática.
A fundamentação teórica da pesquisa contou com os estudos de Terezinha
Nunes e Peter Bryant (1997), que estão apoiados no trabalho sobre o significado da
representação fracionária dos números racionais e nos estudos da Teoria dos
Campos Conceituais de Vergnaud, que trata do ensino e aprendizagem do conceito
de fração e seus significados: número, parte todo, quociente, medida e operador
multiplicativo.
Nos PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL,
1998), encontramos indicações de que os professores devem iniciar formalmente as
primeiras ideias do conceito de número racional a partir do 4° e 5° anos do Ensino
Fundamental, ampliando-se este estudo nos 6° e 7° anos desta mesma modalidade
de ensino. Esta mesma indicação é estabelecida pelas DCE - Diretrizes Curriculares
para a Educação Básica de Matemática do Estado do Paraná (PARANÁ, 2008). Este
estudo dos números racionais, estende-se ao nível médio, como um dos principais
conceitos a ser estudado.
Autores como Bonotto (2011) e Moutinho (2005), em suas análises de livros
didáticos e entre outras obras como de Jakubovic, Lellis e Centurión (1999), Dante
(2001)9, Andrini e Vasconcellos (2002)10, Jakubovic e Lellis (1999)11, referente à 5ª
série do Ensino Fundamental abordam as frações como exercícios práticos,
sequência de conceitos ilustrativos e conceito contextualizado. Observamos estas
9 Matemática, Editora Ática.
10 Praticando Matemática, Editora Brasil 11 Matemática na Medida Certa, Editora Scipione
mesmas características na abordagem de fração em coleção mais recentes, tais
como Giovani, Castrucci e Giovanni Jr (2009)12.
Toledo e Toledo (1997) asseguram que a forma como o professor introduz os
números racionais, e o conceito de fração, estão aliados aos conceitos dos livros
didáticos, que é ensinada de modo rígido por meio de ilustrações de situações de
natureza contínua que é repartida em n partes iguais e são coloridas m dessas
partes, para representar a fração n
m. Mas, pesquisadores como Bertoni (2004),
Bezerra (2002), Moutinho, (2005), Nunes (2005), Santos (2005) e Rodrigues (2005),
sinalizam as dificuldades na compreensão dos alunos ao se abordar o conceito de
fração somente como quociente e como descritoras de quantidades.
Toledo e Toledo (1997), relacionam as dificuldades apresentadas pelo aluno
em compreender os conceitos de frações a forma de ensinar. Pois, na maioria a
abordagem está relacionada ao significado parte do todo, a partir de sua
representação b
a com a e b naturais e 0b . Para Campos e Cols (1997 apud
NUNES, p. 191) esse modo de ensino “[...] simplesmente encoraja os alunos a
empregar um tipo de procedimento de contagem dupla – ou seja, contar o número
total de partes e então as partes pintadas – sem entender o significado desse novo
tipo de número”.
Desta forma podemos relacionar as dificuldades que os alunos apresentam
em aprender conceitos de frações com a importância de diversificar metodologias e
na forma de abordar tais conceitos.
Nunes e Bryant (1997, p.191) afirmam que quanto à aprendizagem de
frações, os alunos podem manifestar habilidades em manipular operações com
números fracionários sem ter assimilados os conceitos.
Com as frações as aparências enganam. Às vezes as crianças parecem ter
uma compreensão completa das frações e ainda não a têm. Elas usam os
termos fracionários certos; falam sobre frações coerentemente, resolvem
alguns problemas fracionais; mas diversos aspectos cruciais das frações
ainda lhes escapam. De fato, as aparências podem ser tão enganosas que
é possível que alguns alunos passem pela escola sem dominar as
dificuldades das frações, e sem que ninguém perceba.
Se atentarmos para situações do cotidiano, podemos observar que as frações
estão vinculadas a várias situações. Estão sempre relacionadas com medidas,
12 A Conquista da Matemática, A+Nova e na Edição renovada
objetos, valores, quantidades entre outros. Podemos relacionar situações diversas
nas quais utilizamos frações como por exemplo, 43
de um copo, 21
quilo de
tomate, eleições vence o candidatos que obtiver (metade) total dos votos mais um
no primeiro turno ou a maioria simples no segundo, em mapas e plantas com uso de
escalas; razões e proporções empregadas na música, na física, na culinária e em
outras.
Para Moutinho (2005),
[...] os conceitos que nós utilizamos estão embebidos na vida cotidiana e
não surgem por simples apreensão sensível diretamente do real; por outro
lado, os conceitos só funcionam, quando estão reunidos em proposições,
sentenças, enunciados e teoremas e não operam em vão.
Moutinho (2005), afirma que o ser humano não se relaciona de forma
mecânica ou imediata com o outro e com a realidade. Para essas relações, faz-se
preciso uma dimensão simbólica ou representacional.
Neste sentido, ressalto a importância de nós professores trabalharmos os
conteúdos embasados em teorias que fundamentam os conceitos. Que possibilite
estabelecer análise e entender como se dá a construção dos conhecimentos. Ou
seja, propor atividades que promova situações que permita ao aluno compreender e
estabelecer relações com outros conhecimentos já adquiridos.
A teoria deve estabelecer uma reflexão sobre novas possibilidades ao
acesso do conhecimento, além de ser um instrumento para análise da própria
prática.
Assim, percebemos na teoria dos Campos Conceituais embasamentos
importantes para a prática dos professores em sala de aula, que podem contribuir
para a aprendizagem dos alunos, sobretudo do conceito de fração, objeto de estudo
deste trabalho. Uma vez que os conceitos de frações serão apresentados por meio
de cinco diferentes significados com intuito de promover a compreensão de modo a
dar sentido em cada situação estudada pelos alunos.
Para Silva (2007 apud VERGNAUD, 1990, p.133) o princípio de Gérard
Vergnaud é uma teoria cognitivista que busca favorecer um quadro coerente,
estabelecendo a base de estudo do desenvolvimento da aprendizagem.
Vergnaud (1982, p. 40 apud MOREIRA, 2002), toma como premissa que o
conhecimento está organizado em campos conceituais cujo domínio, por parte do
sujeito, ocorre ao longo de um largo período de tempo, através de experiência,
maturidade e aprendizagem. Campo conceitual é, para ele, um conjunto informal e
heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e
operações de pensamento, conectados uns aos outros e, provavelmente,
entrelaçados durante o processo de aquisição (ibid).
O pesquisador afirma, ainda, que é possível contornar as dificuldades
conceituais, as quais são superadas na medida em que são encontradas, ao longo
da experiência escolar.
Desta forma, Vergnaud (1983a, p. 393; 1988 p. 141; 1990 p. 145; 1993 p. 8;
1997 p. 6, apud MOREIRA 2002) define o conceito formado por tripleto de conjuntos
C = (S, I, R) onde:
S é um conjunto de situações que dão sentido ao conceito;
I é um conjunto de invariantes (objetos, propriedades e relações) sobre os
quais repousa a operacionalidade do conceito, ou o conjunto de invariantes
operatórios associados ao conceito, ou o conjunto de invariantes que
podem ser reconhecidos e usados pelos sujeitos para analisar e dominar
as situações do primeiro conjunto;
R é um conjunto de representações simbólicas (linguagem natural, gráficos
e diagramas, sentenças formais, etc.) que podem ser usadas para indicar e
representar esses invariantes e, consequentemente, representar as
situações e os procedimentos para lidar com elas.
Para tanto, Vergnaud (1998, p. 141 apud MOREIRA 2002), explica que, o
primeiro conjunto – de situações – é o referente do conceito, o segundo – de
invariantes operatórios – é o significado do conceito, enquanto o terceiro – de
representações simbólicas – é o significante. Desta forma podemos citar que,
psicologicamente (s), é a realidade e (S) é a representação que pode ser
considerada sob os dois aspectos do pensamento, a saber: I é o significado, ligado
ao teorema de ação, e S é o significante.
O pesquisador apresenta ainda, três argumentos principais que levaram ao
conceito de campo conceitual: 1) um conceito não se forma dentro de um só tipo de
situações; 2) uma situação não se analisa com um só conceito; 3) a construção e
apropriação de todas as propriedades de um conceito ou todos os aspectos de uma
situação é um processo de muito fôlego que se estende ao longo dos anos, às vezes
uma dezena de anos, com analogias e mal-entendidos entre situações, entre
concepções, entre procedimentos, entre significantes (ibid).
Assim sendo, justifica-se a forma como pensamos, pois o nosso raciocínio
reflete os conceitos que temos abstraído ao longo do período e experiências da
vivência construída historicamente. Esse processo se dá em todas as instâncias e
situações que nos deparamos.
Este conceito fica muito claro quando Vergnaud (1990 apud Moutinho, 2002,
p.14) registra que, a situação tem a ver com o contexto, o qual o problema (tarefa)
se encontra inserido, de forma a contribuir, para que os conceitos presentes nessa
situação ganhem significado.
Desta forma, cabe ao professor propor situações problemas para que
aconteça a apropriação dos conceitos, onde o aluno precisa estabelecer relações
entre o conhecimento novo e os prévios. Neste processo o professor desempenhará
o papel de mediador do processo na construção do conhecimento do aluno. Assim o
aluno estabelecerá conexões com conceitos já organizados e engendrará novas
conexões.
Os pesquisadores Barais e Vergnaud (1990, p. 78 apud Moreira, 2002, p.11)
afirmam que, as situações é que dão sentido ao conceito; as situações é que são
responsáveis pelo sentido atribuído ao conceito; um conceito torna-se significativo
através de uma variedade de situações (1994, p. 46). Mas o sentido não está nas
situações em si mesmas, assim como não está nas palavras nem nos símbolos
(1990, p. 158).
Nesse sentido, torna-se importante o professor pensar em uma prática em
que o aluno possa vivenciar situações, mas não são situações isoladas, trata-se de
situações capazes de dar significados e produzir um pensar construtivo. Pois quanto
mais situações vivenciam, mais conexões estabelecem. Desta forma o aluno poderá
utilizar os mesmos conceitos para situações diferentes. Quando falamos em frações,
há diversos conceitos relacionados, entre eles podemos citar divisão, multiplicação.
Kieren (1976 apud CANOVA, 2006, p. 35) foi o primeiro pesquisador a
alertar a comunidade científica para a importância dos números racionais serem
constituídos de diversos constructores13 e que a compreensão destes fará com que
o aprendiz entenda a natureza do numero racional. O pesquisador enfatiza a ideia
13 Kieren refere-se aos constructores e subonstructores. Podemos entender Constructores como sendo o conceito e subsconstrutores como um pequeno conceito e juntos formam um conceito maior.
de que o número racional deve ser visto primeiro como um conhecimento humano e
só posteriormente como uma construção lógica formal.
Neste sentido, justifica-se a necessidade de propor situações diversificadas
para oportunizar ao aprendiz a apropriação de conceitos, pelos quais desenvolverá
competências necessárias no sentido de automatizar, organizar ações para
aprender novos conceitos e aplicá-los.
Assim sendo, além de se relacionar entre si, os conceitos, dão suporte para
estabelecer novos conceitos, estabelecendo conexões com várias áreas de
conhecimento.
Outro documento que orienta o ensino no Estado do Paraná são as Diretrizes
Curriculares de Matemática da Rede Pública de Educação do Estado do Paraná
(PARANÁ, 2008). Propõe que o ensino da matemática deve possibilitar aos
estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e
formulação ideias, ou seja, que os alunos tornem-se capazes de estabelecer
relações e se apropriem significativamente dos conceitos matemáticos necessários
para atuar positivamente em seu cotidiano e contribua para o desenvolvimento da
sociedade.
Paraná (2008) apresenta considerações sobre tendências metodológicas que
compõem o campo de estudos da Educação Matemática. Dentre elas, aponta que
as mídias tecnológicas vêm contribuindo para uma melhora na compreensão da
disciplina.
No contexto da Educação Matemática, as mídias tecnológicas têm
potencializado o processo pedagógico através de recursos tecnológicos, como
software, a televisão, as calculadoras, os aplicativos da internet, entre outros, pois
tem favorecido as experimentações matemáticas e possibilitado simulações nas
formas de resolução de problemas (PARANÁ, 2008). Nesse sentido D’Ambròsio e
Barros (1998), afirmam que:
As atividades com lápis e papel ou mesmo quadro de giz, para construir gráficos, por exemplo, se forem feitas com o uso dos computadores, permitem ao estudante ampliar suas possibilidades de observação e investigação, porque algumas etapas formais do processo construtivo são
sintetizadas.
Na medida em que for possível, o professor poderá propor atividades
significativas, utilizando as ferramentas tecnológicas, pois as mesmas possibilitam
ao estudante realizar ensaios, expectativas e simulações.
Neste sentido, Moram (2008) assinala que é necessário um currículo mais
integrado, mais próximo do cotidiano, com muito mais liberdade de percurso, de
escolhas, de integração significativa. Com metodologias diversificadas, mais ativas e
focadas em pesquisa e produção, em jogos, na relação prática-teoria-prática.
Utilizando as mídias possíveis e de forma integrada nos novos nichos educacionais.
Com este propósito, desenvolvemos nossa produção didático pedagógica e
implementação, buscando favorecer o ensino e a aprendizagem de frações. Os
recursos tecnológicos, como o software Jclic, no ensino de Matemática, composta
com atividades que envolve os cinco significados de frações vem enriquecer e
auxiliar na compreensão do conteúdo trabalhado.
Os cinco significados de fração:
O êxito na aprendizagem de conceito de fração pode ser obtida quando esse
conceito é explorado por meio de cinco significados: parte-todo, medida, quociente e
operador multiplicativo e número, sendo cada um trabalhado a partir de uma gama
diversificada de situações, Magina (2013 p.91, apud NUNES, 2003). Segue a
descrição de cada significado.
Significado Número: Uma fração b
a, com b 0, pode assumir o significado de
número e ser posicionada na reta numérica. Assim como os pesquisadores Bonotto
(2011) e Moutinho(2005), podemos observar que esta abordagem raramente é
utilizada pelos livros didáticos, o que prejudica a organização do conceito, pois o
aluno tende a não identificar a fração como um número. É importante que o aluno
reconheça este significado, e visualize seu posicionamento na reta numérica, além
do fato deste número também poder ser representado como um decimal.
Significado Relação Parte-Todo: Esta ideia representa um todo (contínuo ou
discreto) dividido em n partes iguais, onde cada uma dessas partes é representada
como n
1 . A relação parte-todo implica em um procedimento de dupla contagem,
onde o denominador representa o número de partes que este todo foi dividido e o
numerador quantas partes foram consideradas. Nota-se que esta ideia é bastante
abordada pelos livros didáticos, sendo muitas vezes utilizada como uma estratégia
para a introdução do conteúdo de frações. Este fato por ser observado nos livros
didáticos como: Dante (2001)14, Andrini e Vasconcellos (202)15, Jakubovic e Lellis
(199)16, entre outros.
Significado de Medida: Neste caso, a ideia é de comparação entre duas
grandezas, podendo estas ser intensivas ou extensivas (medida de quantidade de
mesma natureza, parte todo). Como exemplo, cita-se o cálculo da probabilidade de
um evento, que é obtido através da razão entre o número de casos prováveis e o
número de casos possíveis desse evento ocorrer. Assim, a chance de ocorrer de tal
evento varia entre 0 e 1, sendo este número, na maioria dos casos, uma fração. Da
mesma forma que o estudo de probabilidades, podemos relacionar a este significado
a porcentagem.
Significado de Quociente: O significado quociente é empregado quando, em uma
determinada situação, a divisão é o recurso empregado para a solução do problema,
ou seja, quando a situação b
a, a e b inteiros, e 0b , é utilizado para escrever ba .
Este aspecto do conceito de fração é pouco explorado pelos materiais didáticos.
Operador Multiplicativo: A fração b
a, com a e b inteiros, e 0b , atua como fator
transformador de um número ao ser multiplicando por ''a e, logo em seguida,
dividindo por ‘b’. O número resultante deste processo pode ser maior ou menor que
o número em seu estado inicial, dependendo do quociente b
a. Este momento poder
aproveitado para abordar as ideias de número inverso e identidade.
Como nos referimos anteriormente, a maioria dos autores de livros didáticos
estabelece uma relação entre inteiro e divisão em partes iguais. Representam
geometricamente figuras divididas em partes iguais e pintadas de acordo com o
denominador da fração, além de analisar ordem da fração e equivalência por meio
da observação e percepção. Tal forma de abordagem, pode possibilitar ao aluno
raciocinar de um maneira errônea das relações lógico-matemáticas que estão
envolvidas nos conceitos fracionários.
Neste sentido, consideramos a importância de se explorar os cinco
significados de frações: parte-todo, medida, quociente e operador multiplicativo e
14 Matemática, Editora Ática, 2001 15 Praticando Matemática. Editora Brasil, 2002 16 Matemática na medida certa.Editora Scipione,1999
número, é que conduzimos a proposta da produção didático pedagógica de nosso
trabalho do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE.
Assim, propomos trabalhar tais significados com uma diversidade de
situações. Possibilitamos, por meio de cada atividade, situações para o aluno
vivenciar, os diferentes conceitos contextualizando todas as conjecturas proposta
com o seu cotidiano.
Também, levamos em consideração os grandes avanços tecnológicos e
inserimos recursos tecnológicos no ensino da Matemática, em conformidade com
documentos curriculares do Estado do Paraná (PARANÁ, 2008).
Para atender as demandas tecnológicas e estabelecer uma linguagem mais
próxima da realidade de nossos alunos, favorecendo a compreensão e visualização
das situações propostas, trabalhamos as atividades no Software Jclic.
METODOLOGIA
Nosso trabalho foi desenvolvido com 28 alunos de 6° ano do Ensino
Fundamental do Colégio Estadual Antônio Lacerda Braga – EFM e
Profissionalizante, Município de Goioerê - Paraná, no período matutino, de fevereiro
a junho de 2014. O objetivo principal da proposta foi implementar uma sequência de
atividades que favorecesse o ensino e a aprendizagem do conceito de fração,
utilizando-se do uso do Software Jclic, com uma carga horária de 32h/a,
desenvolvida no primeiro semestre de 2014.
Com nossa experiência em sala de aula, podemos observar que a maioria
dos alunos envolvidos apresentava defasagem quanto aos pré-requisitos
relacionados aos conteúdos de fração, não demonstrando clareza na compreensão
dos conceitos de números fracionários, além da dificuldade de interpretar e
estabelecer conexões com situações problemas.
Ao implementar o projeto, tivemos a preocupação de despertar nos alunos a
relação entre os cinco significados da fração com a sua vida diária.
As atividades foram propostas por seção, sendo que em cada seção foi
trabalhado um dos cinco significados da fração. Para introduzir cada significado,
trabalhamos com lápis e papel, em sala de aula convencional e laboratório de
informática com atividades proposta no Software Jclic.
Para iniciar os estudos, cada aluno recebeu folhas impressas com o
significado a ser abordado. Sempre iniciamos a abordagem por meio de um diálogo,
onde o aluno foi conduzido a observar e trazer de seu convívio conceitos
relacionados naquele significado. Nas atividades impressas, por meio de papel e
lápis, os alunos construíam a trajetória dos conceitos e registraram por meio de
desenhos, textos ou resolução das atividades suas impressões, conclusões e
relações de aprendizagem. Como descritas e propostas na Produção Didático
Pedagógica, as atividades foram diversificadas e de acordo com a intenção de
explorar conceitos específicos de cada significado, ou seja, momentos coletivos,
individuais e em grupos. Para enriquecer a aprendizagem, logo depois de cada
conceitos trabalhado, os alunos se dirigiram para o laboratório de informática, onde
foram realizadas atividades de fixação e complementação no software Jclic
Após explorar e trabalhar cada “ação” proposta na Unidade Didática
Pedagógica, os alunos realizaram as atividades de fixação e verificação de
aprendizagem vinculados ao significado estudado, posteriormente corrigidos
individualmente ou coletivamente. Oportunidade para fixar e tirar dúvidas dos
conceitos estudados.
Os encaminhamentos realizados permitiram a autora não apenas observar os
níveis dos conceitos abstraídos pelos alunos, naquela abordagem, mas também,
organizar e (re)organizar tais conceitos mediando as situações de vivencia, trazidas
pelos alunos, para dar significados aos conceitos já assimilados em outras situações
de aprendizagem, seja na escola ou em seu cotidiano.
Desta forma, foi possível verificar que, de acordo com Vergnaud, onde
assinala as relações das teorias dos campos conceituais, que os conceitos
permeiam o universo das relações, estabelecendo conexões entre si.
ANALISE DOS RESULTADOS
A realização da implementação deu-se por meio cinquenta e nove atividades.
Porém, apresentaremos a análise dos resultados de duas atividades específicas
proposta em nossa implementação da produção didático pedagógica. A primeira
referente ao “significado do todo”, pois consideramos o cerne da compreensão dos
conceitos fracionários. É por meio da abstração deste conceito “todo”, que permeiam
a compreensão do significado do “numerador” e do “denominador”. Além do que,
entender o “todo” e as partes em que foram dividido o “inteiro”, está intrinsecamente
ligada os conceitos absoluto da fração. Da mesma forma para assimilar a leitura, a
representação gráfica, a probabilidade e proporção, a comparação de frações, ou
seja, este conceito é abrangente quanto aos cinco significado da fração e auxilia na
sua compreensão.
ANÁLISE DE ATIVIDADES COM SIGNIFICADO PARTE - TODO:
Ao trabalhar o significado parte do todo, quando solicitado ao alunos para que
desenhassem o que consideravam o “todo” ou “um inteiro”, eles não apresentaram
nenhuma dificuldade ou surpresa. Este fato comprova que os alunos trazem este
conceito do meio social em que vivem. Este conceito foi evidenciado em várias
ações da Unidade Didática trabalhada.
A primeira evidência desse conceito foi observado na ação 1, quando
solicitado para registrar frações em seu cotidiano.
Na ação 2, observa-se que o aluno estabelece relação entre o “todo”e a parte
considerada.
Figura 3: Registro do aluno 1 do 6° ano a
respeito do conceito de frações Figura 2: Registro do aluno 2 do 6° ano respeito do conceito de frações
Por meio das representações gráficas e escrita, observa-se que quase todos
os alunos compreendem e estabelecem, relação entre o conceito “parte do todo”
com o “inteiro”, ou seja, apresentaram com clareza a ideia do “todo”, seja na forma
discreta ou contínua. Apenas 8% dos alunos apresentaram dificuldades em
relacionar o “todo: com a parte considerada, conforme registros dos aluno 4 ao
realizar as ações 4 e 5.
Como afirmam Barais e Vergnaud (1990, p. 78 apud MOREIRA, 2002, p.11),
“as situações é que dão sentido ao conceito; as situações é que são responsáveis
pelo sentido atribuído ao conceito; um conceito torna-se significativo através de uma
variedade de situações” (1994, p. 46). “Mas o sentido não está nas situações em si
mesmas, assim como não está nas palavras nem nos símbolos” (1990, p. 158).
Figura 5: Registro do aluno 4 do 6° ano a
respeito do conceito do “inteiro”e a parte
considerada.
Figura 6: Registro do aluno 4 do 6° ano a
respeito do conceito do “inteiro”e a parte
considerada.
Figura 3: Registro do aluno 1 do 6° ano a
respeito do conceito de frações .
Figura 4: Registro do aluno 3 do 6° ano a respeito do conceito do “inteiro”e sua representação gráfica.
Figura 7: atividade lápis e papel – significado de fração parte-todo
A ideia do todo corresponde a um conjunto de 7 dias da semana, sendo que
três dias começam com a letra “S”. Nestes casos, temos uma representação parte-
todo chamada de “discreta” porque cada elemento que compõe o todo são
independentes.
A relação parte-todo implica em um procedimento de dupla contagem, onde o
denominador representa o número de partes que este todo foi dividido e o
numerador quantas partes foram consideradas.
Após trabalhar o significado parte do todo, com lápis de papel nas folhas
impressas na sala de aula convencional, os alunos desenvolveram atividades
virtuais no laboratório de informática e com o auxilio do aparelho multimídia, que
possibilitaram aplicar os conceitos estudados realizando várias atividades proposta
no Software Jclic.
No Software Jclic, é possível emitir um relatório das atividades realizadas
pelos alunos, no qual apresenta-se, entre outros dados, a porcentagem dos acertos
Figura 8: atividade Software Jclic– significado de fração parte-todo
e erros. Por meio deste relatório de atividades, observa-se que nas atividades
realizadas, 85% dos alunos estabelecem o mesmo raciocínio quando o significado
do “Todo”.
A atividade abaixo, tem por objetivo que o aluno reconheça o “todo” e
estabeleça relações com o numerador e denominador, dos meses do ano que se
inicia com a letra “j”.
Figura 09: atividade Jclic – significado de fração parte-todo
Observa-se que a relação do “todo” trabalhada com elementos que
representa a parte discreta, é percebida pelos alunos, com mais clareza do que com
as divisões do inteiro contínuo.
Nesta etapa os alunos começaram a perceber que a fração não é um
“desenho geométrico”, quando, por exemplo, escreveram os dias da semana.
Assim, assume significado a representação geométrica estabelecida nos dias da
semana, quando separadas em partes, onde cada dia ocupa uma parte do inteiro.
Percebe-se que estabeleceram uma relação mais lógica, mais real, concreta daquilo
que era abstrato – geométrica. Como por exemplo nas duas atividades abaixo, em
que deve executar o cálculo, encontrando a fração de uma quantia e/ou
estabelecendo relação entre o todo e partes.
Figura 10: atividade Jclic – significado de fração parte-todo
No presente contexto, torna-se importante ressaltar algumas dificuldades
encontradas para trabalhar com as ferramentas tecnológicas. O colégio nem sempre
oferece plenas condições para trabalhar em seus laboratórios, tanto em se tratando
do número de máquinas como das condições de uso . Assim sendo, nos primeiros
momentos trabalhamos as atividades coletivamente, com o auxilio do multimídia,
aproveitando o entusiasmo dos alunos, continuamos trabalhando off-line com o
software Jclic. Para organizar o desempenho no laboratório, disponibilizamos
atividades impressas para a metade da turma, enquanto o outro grupo trabalhava
nas máquinas.
O software Jclic é uma ferramenta pedagógica que possibilita ao professor
verificar as atividades que o aluno realizou com sucesso, bem como fornece a
porcentagem de acertos no final da seção proposta.
Diante de várias barreiras para administrar o trabalho com as ferramentas
tecnológicas, acreditamos que o professor deva propor atividades por meio do
software Jclic que possibilite ao aluno experimentar, simular e aplicar através destas
ferramentas, os conceitos trabalhados e assimilados por meio de experiências. Com
o uso das ferramentas tecnológicas, vamos ao encontro dos interesses da maioria
dos alunos, haja vista que os mesmos convivem com estes recursos e apresentam
uma grande satisfação em executar atividades proposta por meio das mesmas. Pois
sabemos que nossos alunos são “filhos” experientes de ambientes tecnológicos.
Os alunos apresentaram mais entusiasmo em realizar as atividades proposta
no software Jclic do que ao realizar com lápis e papel. Muitos executaram as
atividades como se estivessem “testando” o conceito que é aplicável àquela
atividade.
Torne-se importante ressaltar que o Software Jclic , mesmo com todos os
recursos e possibilidades, não substitui as atividades com lápis e papel nas aulas
convencionais, mas complementa e auxilia na fixação dos conteúdos e na
aplicabilidade dos conceitos estudados.
ANÁLISE DE ATIVIDADES COM SIGNIFICADO MEDIDA:
O significado do “todo” também tem grande importância no significado
“medida”, pois a ideia é de comparação entre duas grandezas, podendo estas serem
intensivas ou extensivas (medida de quantidade de mesma natureza, parte todo).
Como exemplo, cita-se o cálculo da probabilidade de um evento, que é obtido
através da razão entre o número de casos prováveis e o número de casos possíveis
desse evento ocorrer. Assim, a chance de ocorrer de tal evento varia entre 0 e 1,
sendo este número, na maioria dos casos, uma fração. Da mesma forma que o
estudo de probabilidades, podemos relacionar a este significado a porcentagem. Na
maioria dos valores que trabalhamos são fracionários.
Desta forma foram realizadas as atividades da Ação 9: Os alunos foram
organizados em 5 grupos. Cada grupo recebeu:
Para o primeiro experimento:
um copo descartável com uma etiqueta “2ª–feira”, um palito de sorvete, três
tubinhos de tinta guache azul e três tubinhos de tinta branca.
Para o segundo experimento:
um copo descartável com uma etiqueta “3ª–feira”, um palito de sorvete, dois
tubinho de tinta guache azul e dois brancos.
Realizaram as misturas conforme solicitadas nos primeiro e segundo experimentos
Figura 11: atividade experiência – significado medida- proporção
Durante a realização dos experimentos, os alunos tentaram “adivinhar” os
resultados. Alguns dos alunos dos grupos que estavam com duas tintas de cada cor
acreditavam que a mistura deles ficariam mais clara. Mas muitos alunos já
deduziram que independente da quantidade de tinta, mais ou menos, mas na
mesma “proporção”, que eles se referem a “mesma quantidade” as misturas teriam
as mesmas cores.
Ao final da atividade, concluíram que independente da quantidade, mas sim
da proporção, as misturas ficarão sempre iguais. Assim, puderam estabelecer outras
relações com outras situações de proporcionalidade, como: misturas para sucos,
receitas em geral, em situações de metade, dobro, triplo de medidas.
Estabelecendo, também relação com a porcentagem de quantidades com situações
que envolvem frações no seu cotidiano.
A segunda atividade, “Significado de números”, a qual os alunos
apresentaram maior dificuldade, não na compreensão, mas na representação do
número fracionário na reta numérica. Fato este que nos deixa alerta quanto a
deficiência de outros conceitos, possíveis de atenção por parte do professor de
matemática.
Uma fração b/a com b ≠ 0 pode assumir o significado de número e ser
posicionada na reta numérica. Para Rodrigues (2010), de acordo com definições
propostas por Lamon ,(1999) que se aproximam bastante das propostas por Nunes
e Bryant (1996), isso significa que o valor numérico de uma situação em que o
número racional na forma fracionária, possui uma representação decimal, e que
representa um valor na reta numérica. Para compreender esse subconstruto, o aluno
precisa entender que o número racional na forma fracionária não representa um
número sobre outro, mas sim a divisão de um número por outro, além de saber que
esse número representa uma posição na reta numérica, que entre esses dois
números existem infinitos números e observar que há duas formas para
representarmos um número racional, isto é, a forma fracionária e a forma decimal.
De acordo com Vasconcelos e Belfort (2006),
... a visualização dos números fracionários na reta numérica não deveria, a rigor, ser considerada como uma nova ideia, pois também se trata da divisão de uma unidade em partes iguais. Só que, ao invés de destacarmos a parte, passamos a destacar pontos da reta. (p. 2)
Durante a realizações das atividades deste significado, podemos observar
que os alunos estabelecem relações entre frações e números decimais de uma
forma bastante lógica dentro dos conceitos abstraídos no seu cotidiano. Porém,
apresentam dificuldades em localizar os valores “números decimais” na reta,
conforme podemos observar nos recortes das atividades abaixo.
Figura 12: atividade lápis e papel – significado de número
Os alunos apresentaram dificuldades para representar a reta. Aproveitei a
oportunidade para trabalhar o inteiro e parte do todo e a divisão em partes iguais:
centímetros, milímetros...
Outra dificuldade apresentada pelos alunos, além de localizar o número
decimal na reta numérica é divisão decimal. Trabalhei retomando os passos e
introduzi o uso da calculadora para facilitar.
Para auxiliar na compreensão e localização, iniciamos a comparação com
centavos de reais, especificamente R$0,50, indicando a representação da reta entre
0 (zero) e 1. Questionei-os em que posição poderia “posicionar” 0,5. Se a direita de
zero (se 0,5 era maior ou menor de 0), estabelecendo a relação com meio ( ½),
metade de um real. Até perceberem que 0,5 é a metade entre zero e 1, ou seja, que
50 centavos é a metade de zero centavos a um real. Depois, passamos para a
localização de ¾ na reta. Já sabiam que era só dividir 3 por 4. Para posicionar 0,75
na reta, passamos a estabelecer a relação com centavos de reais. Demonstrei na
reta que o inteiro, entre 0 e 1 foi dividido em quatro partes e três dessas quatro
partes representava 0,75, ou seja, que 0,75 é a terça parte de um inteiro que foi
dividido em quatro partes, isto é, que cada parte é 0,25, somando 0,25 com 0,25,
temos 0,50 e localizamos na reta essa divisão. Ficou mais visível estabelecer
relação da divisão de um real em quatro moedas e 25 centavos, ou seja, um inteiro
dividido em quatro partes iguais. Sempre questionado se 0,75 está localizada a
direita ou a esquerda do 0,50. Quando apresentaram dúvidas, recorremos a soma
das três moedas de 25 centavos. Logo em seguida, localizaram ¼ na reta. Desta
vez, apresentaram mais facilidade e propriedade. Alguns estabeleceram relação
com as moedas, ou seja, com inteiro dividido em quatro partes.
Nesta seção, foi possível trabalhar comparação de frações. Não só por meio
da representação geométrica, divisão do inteiro, mas também estabelecendo
comparações entre o numerador e o denominador. Por exemplo: 2/5 e 4/5 em
quantas partes foi dividido o inteiro? Se de cinco partes foi consideradas duas
partes, se de cinco partes foram consideradas quatro partes. Quem é maior, 2/5 ou
4/5? Relacionando com divisão de folha de papel, pizza, bolos, animais, frutas, etc.
E quando os denominadores são diferentes, por exemplo: 7/10 e 7/20,
trabalhamos em quantas partes o inteiro foi dividido. E os inteiros de mesmo
tamanho forem dividido em 10 e 20 partes, quais desses inteiros terão os pedaços
maiores?
Na atividade de fixação e verificação, 35% dos alunos apresentaram dificuldades
em localizar as frações na reta numérica, mesmo com a divisão e representação em
números decimais, como se verifica nas imagens abaixo.
Figura 13: atividade lápis e papel – significado de número
Figura 14: atividade lápis e papel – significado de número
As mesmas dificuldades apresentadas durante a realização das atividades
com lápis e papel, em localizar as frações na reta, refletiram ao realizarem as
atividades proposto no Software Jclic . Para suprir a dificuldade posta pelos alunos,
tornou-se necessário trabalhar identificação de números decimais, parte inteira e
parte decimal. Desta forma, o aluno pode estabelecer relação entre a parte inteira e
decimal, proporcionando uma visualização e localização das frações divididas, como
por exemplo: 5/2 – 2 inteiros e 5 décimos (metade de um).
Ë importante o uso das tecnologias para auxiliar os alunos nas apropriações
dos conceitos trabalhados, desta forma, disponho o link as atividades
complementares sobre o estudo de frações:
https://dl.dropboxusercontent.com/u/43336033/jclic/index.htm. Ao clicar no link e
não abrir o jogo, clique no “ícone” do Fiferox do lado esquerdo da “URL” , depois na
seta – “continuar bloqueado” e escolha “desativar proteção”. Quando aparecer o
Java, clicar em “eu aceito...”> executar. Conforme figura abaixo:
Com forma de contornar as dificuldades encontradas durante a implementação
quanto ao uso do laboratório de informática por fatores já mencionados e como
forma de proporcionar a todos os alunos o acesso as atividades do Software Jclic
fora do ambiente escolar, forneci o link para que os mesmos realizassem as
atividades quantas vezes desejassem.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Após a implementação, constatamos que a forma de abordagem e as
relações propostas nas atividades favoreceram o aprendizado dos alunos do 6º ano
do Ensino Fundamental de forma significativa.
A turma demonstrou empenho, envolvimento e interesse em desenvolver as
atividades, fatores que tornaram a implementação muito gratificante e produtiva.
Percebemos por meio da realização das atividades, sejam elas com lápis e papel ou
com a utilização do software Jclic, na reconstrução dos conceitos de fração, houve
progresso, compreensão e uma aprendizagem contextualizada.
Desta forma, chega-se a conclusão de que é possível ensinar frações por
meio da metodologia que foi aplicada e obter uma aprendizagem efetiva. Percebe-se
que as estratégias utilizadas propiciaram aos alunos utilizar e estabelecer relações
de conceitos já adquirido construir e formar novos conceitos.
Observa-se que a metodologia e atividades propostas favoreceram a
evolução do conhecimento informal para a formal. Que os alunos resolveram os
problemas de forma prática, aplicando os conceitos de fração estabelecendo relação
com o significado estudado. Compreenderam o significado e importância do
denominador e do numerador, bem como o que representam. Efetivamente, os
alunos estabeleceram e perceberam a relação o “todo” envolvido e deram sentido
fazendo a dupla contagem das partes.
As atividades no Software Jclic, complementou, facilitou e estimulou a
compreensão dos conceitos estudados.
Dentre as considerações apresentadas podemos apontar a presença dos três
argumentos principais que levaram a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud
(1998, p. 141 apud Moreira 2002): 1) um conceito não se forma dentro de um só tipo
de situações; 2) uma situação não se analisa com um só conceito; 3) a construção e
apropriação de todas as propriedades de um conceito ou todos os aspectos de uma
situação é um processo de muito fôlego que se estende ao longo dos anos, às vezes
uma dezena de anos, com analogias e mal-entendidos entre situações, entre
concepções, entre procedimentos, entre significantes.
As atividades propostas na Unidade Didática: os cinco significados da fração,
são bastante diversificadas, enriquecendo os conceitos estudados e propiciando aos
alunos, além das realizações de atividades convencionais, experiências com
materiais concretos na abordagem de proporção, probabilidade, sendo
complementadas com ferramentas tecnológicas, as quais podem ser acessadas por
meio do link acima mencionado.
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Conferência Internacional para a Psicologia da Educação Matemática (PME), vol. 2, pp 89-96, Norwich, UK, de Julho. MOREIRA, M. A. A teoria dos campos conceituais de Vergnaud, o ensino de ciências e a pesquisa nesta área. Em: Investigações em Ensino de Ciências - IENCI, Janeiro de 2002, Volume 7, Número 1. DELORS, Jacques et al. Educação: um tesouro a descobrir. Relatório para Unesco da Comissão Internacional sobre Educação para o Século XXI. 4 ed.São Paulo: Cortez: Brasília: UNESCO. 1996. PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica, Secretaria de Estado da
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