Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

Universidade Estadual de Maringá

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

REINALDO ALVES SOUTO

LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS NAS AULAS DE MATEMÁTICA

Maringá ─ Paraná

2013

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

Universidade Estadual de Maringá

UNIDADE DIDÁTICA

REINALDO ALVES SOUTO

Produção Didático-pedagógica, apresentadaà Secretaria de Estado da Educação ─SEED, na disciplina de Matemática, comsubsídio metodológico para o conteúdoespecífico Expressões Algébricas eEquações do Primeiro Grau, parte dosrequisitos do Programa de DesenvolvimentoEducacional ─ PDE, 2013/2014, em parceriacom a Universidade Estadual de Maringá ─UEM.

Orientador IES: Profª. Dr. Clélia Maria Ignatius Nogueira

Maringá ─ Paraná

2013

1. FICHA DE DADOS DE IDENTIFICAÇÃOTÍTULO Leitura e interpretação de textos como elementos facilitadores

à aprendizagem de expressões e equações algébricasAutor REINALDO ALVES SOUTODisciplina/Área MatemáticaEscola deimplementação

Colégio Estadual Dr. Gastão Vidigal – Maringá

MUNICÍPIO MaringáNRE MaringáProfessorOrientador IES

CLÉLIA MARIA IGNATIUS NOGUEIRA

IES Vinculada Universidade Estadual de Maringá - UEMRESUMO A presente produção é um material didático-pedagógico que

se destina a uma intervenção pedagógica e, é direcionadoaos alunos do 9.º ano do Ensino Fundamental quefrequentam a Sala de Apoio à Aprendizagem (SAA) doColégio Estadual Dr. Gastão Vidigal ─ EFMP de Maringá e,pretende oferecer a esses alunos, que apresentamdefasagem na aprendizagem dos conteúdos matemáticos,um ensino de álgebra: “Expressões e Equações do primeirograu”, tendo como estratégia metodológica a Leitura e aInterpretação de textos. Assim, essa produção visa contribuir,ainda, com a formação do aluno enquanto cidadão que lê einterpreta em qualquer área do conhecimento, em especial naMatemática, partindo do pressuposto que a leitura e ainterpretação são fundamentais nos processos de ensinar eaprender esta disciplina. Para isso, ela apresenta umasequência de atividades, com o objetivo de possibilitar aoaluno perceber a sua cotidianidade e correlacioná-la com asexpressões e equações do 1º grau. Para a realização dasatividades de leitura e interpretação de textos relacionadosaos conteúdos supracitados, será seguido um roteiro e, emcada atividade desenvolvida, será registrado o conhecimentocientífico adquirido pelos educandos, suas discussões e suasideias, compondo um portfólio.

Palavras-chave Álgebra. Expressões algébricas. Equações do 1º grau. Leitura

e interpretação de textos nas aulas de Matemática.FORMATO DOMATERIALDIDÁTICO

Unidade Didática

PÚBLICO OBJETODA INTERVENÇÃO

Alunos do 9º ano do Ensino fundamental do Colégio EstadualDr. Gastão Vidigal e que frequentam a Sala de Apoio àAprendizagem.

TEMA DE ESTUDODO PROFESSORPDE

Leitura e interpretação de textos nas aulas de matemática.

SUMÁRIO

2. APRESENTAÇÃO.................................................................................................05

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.............................................................................05

3.1 A importância de trabalhar com textos em sala de aula......................................07

3.2 Texto e contextualização no ensino da Matemática............................................08

4. DIMENSÃO HISTÓRICA DA ALGEBRA..............................................................12

4.1 História da Álgebra.............................................................................................12

4.2 Álgebra: expressão e equação............................................................................14

5. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS..............................................................17

5.1 Observações Gerais..........................................................................................19

6. MATERIAL DIDÁTICO..........................................................................................20

6.1 Pré-Teste: questões...........................................................................................20

6.2 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS: textos e atividades.........................................23

6.2.1_ História: Aladim e a lâmpada maravilhosa...........................................23

6.2.2_ Artigo: Pinhão─manso mais perto da colheita mecanizada.................27

6.2.3_ Reportagem: A eletricidade em litros...................................................29

6.2.4_Texto: Quiz............................................................................................32

6.2.5_Tese: Copa do Mundo...........................................................................35

6.2.6_ Artigo: Texto Informativo e Tratamento da Informação: adolescência,

sexualidade e gravidez....................................................................................37

6.2.7_Texto: Brasil x Realidade......................................................................39

6.2.8_Texto: Uma Questão de Saúde.............................................................42

6.2.9_História: O Conjunto de Quatro Amigos................................................45

6.3 EQUAÇÕES DO 1º GRAU: textos e atividades...............................................50

6.3.1_História: O x da Questão.......................................................................50

6.3.2_ História: A Esposa de Diofante............................................................54

6.3.3_ História: Lilavati....................................................................................57

6.3.4_História: O Velho Libanês......................................................................60

6.3.5_História: Queimem os Livros de Matemática.........................................62

7. REFERÊNCIAS.....................................................................................................64

8. APÊNDICE............................................................................................................66

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2. APRESENTAÇÃO

A produção dessa Unidade Didática é o resultado de um ano de estudos, na

condição de participante do Programa de Desenvolvimento Educacional ─

PDE/2013, oferecido pelo Governo do Estado do Paraná como Formação

Continuada.

Este material é direcionado aos alunos do 9.º ano do Ensino Fundamental que

frequentam a Sala de Apoio à Aprendizagem (SAA) do Colégio Estadual Dr. Gastão

Vidigal ─ EFMP de Maringá, como subsídio aos processos de ensinar e de aprender

o conteúdo algébrico previsto nas Diretrizes Curriculares de Matemática do Paraná

(2008): “Expressões e Equações do primeiro grau” e tem como estratégia

metodológica a Leitura e a Interpretação de textos. Assim, essa unidade didática

visa contribuir, ainda, com a formação do aluno enquanto cidadão que lê e interpreta

em qualquer área do conhecimento, partindo do pressuposto que a leitura e a

interpretação são fundamentais para os processos de ensino e de aprendizagem,

pois, as observações cotidianas apontam-nas como as principais dificuldades

escolares. A ideia foi elaborar um material com atividades que possibilitem ao aluno

perceber a sua cotidianidade e correlacioná-la com o conteúdo matemático,

percebendo a importância de integrar a leitura e a interpretação nas aulas de

matemática.

No intuito de que os processos de ensino e de aprendizagem se efetivem com

significado e segurança, a presente produção didático-pedagógica apresenta

atividades, com ênfase às contextualizadas na história, visando analisar as atitudes

e os procedimentos dos estudantes da SAA diante da leitura e da interpretação de

textos nas aulas de matemática.

Assim, as atividades elaboradas visam desenvolver noções e conceitos de

Expressões e Equações, bem como, contribuir com a formação do aluno como

cidadão critico, reflexivo e politicamente inserido no mundo social globalizado.

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Sabe-se que há muitos anos o ensino aprendizagem de Matemática vem

sendo questionado por estudiosos e educadores e, propostas são apresentadas na

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tentativa de alcançar um ensino no qual a atividade do aluno seja constante, para

torná-lo um descobridor e não um mero receptor de conhecimentos. Nessa linha,

vários autores em Educação Matemática defendem o uso de textos com uma

linguagem acessível e clara, para facilitar a sua leitura e compreensão. E, segundo

eles a participação do aluno no meio em que vive é determinante, não só no

conhecimento matemático, mas, na formação de estruturas mentais, que se ampliam

quanto mais ele interage com o meio.

Segundo Rabelo (1996), pesquisas realizadas a partir da constatação do

baixo desempenho dos alunos diante do conteúdo matemático, apontam que a falta

de competência para a interpretação de textos relacionados com a Matemática,

contribui para esse baixo desempenho e, consequentemente com o fracasso

escolar. Nesse viés, se usar textos do cotidiano do aluno no ensino de Matemática,

pode favorecer sua aprendizagem.

“O ensino, de modo geral, está baseado em um modelo de educação que

trata o conhecimento matemático como um conjunto de fatos, leis e fórmulas

prontas, fechadas e de difícil compreensão, não admitindo mudanças” (RABELO,

1996, p.15). Ainda de acordo Rabelo (1996), mesmo em se tratando do ensino

escolar, é possível perceber que, ao contrário do acontece com o ensino de

Matemática, o de línguas tem sido sofrido de mudanças ao longo dos anos. E, para

ele um dos objetivos da escola é instrumentalizar o aluno, para que se constitua num

bom leitor e escritor, no entanto, esse objetivo não vem sendo alcançado com

eficiência.

Foi com essa preocupação que se proponha a trabalhar com leitura e

interpretação de textos como sendo elementos fundamentais na aprendizagem de

Matemática e, com textos cujos temas sejam de preferência atuais e principalmente

do universo em que os alunos estejam inseridos.

Para Rabelo (1996, p. 59) o ensino da matemática não acontece de forma

isolada e sim num processo global na formação do aluno, enquanto ser social, no

qual a interdisciplinaridade deve estar presente. O sistema educativo precisa ter

como objetivo, o desenvolvimento da capacidade do aluno como um ser social, nas

esferas cultural, econômica e política. E, nesse processo, é preciso que a

Matemática tal como a língua materna, seja um instrumento de intervenção para

contribuir na formação social do aluno, para que ele possa ser um bom leitor,

formulador e resolvedor de problemas. Portanto, se faz necessário inserir os alunos

7

no mundo dos textos matemáticos ou não, através dos quais eles possam ler

interpretar, analisar e até mesmo produzir pequenos textos.

3.1 A importância de trabalhar com textos em sala de aula

Segundo os autores Almeida (1997) e Raboni (1997) é conveniente que,

quando se fizer a opção por trabalhar com textos em sala de aula, estes abordem

temas dos quais os alunos já tenham um pré-conceito e, que sejam contextualizados

no universo dos alunos.

Segundo Curi (2009, p.144) em função do que tem que resolver o aluno

precisa de conhecimento prévio e isso requer desenvolver diferentes capacidades

de leitura. Assim, ele passa a ser interessar pelo assunto e, a partir de então o

professor passa a ensinar o conteúdo de Matemática ancorado nesses textos,

levando o aluno a ampliar o seu processo de autonomia, de criatividade e o seu

processo reflexivo.

Quanto da escolha dos tipos de textos para o trabalho em sala de aula, o

professor deve levar em consideração as características que os alunos devem se

apropriar e atribuir significados, fazendo antecipações significativas, mostrando-se

eficaz nas interpretações. Para Rabelo (1996) após a leitura de um texto, o professor

não deve ficar preocupado em apenas transmitir suas ideias, que provavelmente já

estão prontas e acabadas, como sendo o dono da verdade, mas, tentar extrair dos

alunos através de discussão, o que eles entenderam sobre a essência do texto. Se

precisar, nesse momento o professor pode passar a ser um mediador da discussão,

de forma a interligar as ideias dos alunos e fazer a ponte com o conteúdo

matemático a ser trabalhado. Isso possibilita ao aluno aperfeiçoar sua linguagem e

ampliar seus conhecimentos e conceitos sobre determinado assunto.

No contexto de sala de aula, o aluno deve ser o foco principal, o protagonista,

para que possa explorar os textos e as situações problema neles encontradas. Para

então, aplicar conceitos novos, negociar, trocar ideias com seus colegas, buscando

e criando novas estratégias de solução, pois, são desafiados a encontrar soluções.

Assim, eles precisam avaliar e discutir possibilidades e, com isso, desenvolve um

trabalho de colaboração com os colegas e passa assumir responsabilidade por suas

próprias ideias. Ele passa a questionar, a fazer criticas, tornando a sala de aula um

espaço interativo e de diálogo, instrumento para a construção do conhecimento

8

matemático, onde o professor tem seu papel e não menos importante do que dos

alunos.

As ideias propostas são analisadas e debatidas. As perguntas, muitasvezes, desafiam as explicações dadas. O processo faz do projetocolaborativo no qual todos trabalham em sintonia para influenciar aaprendizagem da matemática por todos os da comunidade (LOPES eNACARATO, 2009, p11).

Sabe-se que no processo de ensino aprendizagem, a comunicação se faz

necessário, portanto é preciso que essa comunicação seja de mão dupla, é preciso

desenvolver o ato de escutar e ouvir uns aos outros e, o trabalho com texto

possibilita esse ato. Segundo Lopes e Nacarato (2009) nesse ato, o professor ganha

e muito, porque passa a dividir responsabilidades e passa a não ser o único

responsável pelas avaliações e correções de ideias propostas e os alunos também

assumem essas responsabilidades. Então, o professor tem a oportunidade de

explorar um pouco mais a maneira como os alunos podem utilizar a Matemática no

seu ato de “ler” o mundo ao seu redor. Sabe-se que a leitura e interpretação são

importantes em todas as disciplinas escolares, assim como na vida. Portanto, ambas

são fundamentais no ensino aprendizagem de Matemática, pois, permitem uma

ampla leitura da realidade.

A leitura do mundo precede sempre a leitura da palavra... e a leitura dapalavra não é apenas precedida pela leitura do mundo, mas por uma formade escrevê-lo ou de reescrevê-lo, quer dizer, de transformá-lo por meio denossa prática consciente (FREIRE, 2008, p.201 apud LOPES e NACARATO,2009, p.74).

3.2 Texto e contextualização no ensino da Matemática

O professor precisa entender como a leitura e interpretação de textos pode

contribuir com os processos de ensino e de aprendizagem de Matemática, para que

passe a utilizar textos contextualizados nas aulas dessa disciplina. Baseando-se em

D’Ambrósio2, Curi (2009, p.142) diz que “a Matemática Contextualizada se apresenta

como mais um recurso para a solução de problemas originados de determinadas

culturas e que exigem instrumentos intelectuais de outras culturas”. Se o professor

realmente deseja que os alunos melhorem sua aprendizagem, ele precisa

1 FREIRE, P. A importância do ato de ler: em três artigos que se completam. 49. Ed. São Paulo, Cortez, 20082 D’AMBRÓSIO, U. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. Belo Horizonte, Autêntica, 2002.

9

diversificar os gêneros textuais, para possibilitar aos alunos meios diferentes de

apropriação do conhecimento (ibidem, 2009).

Considerando que a aprendizagem acontece na intersecção entre a vida

escolar e vida fora da escola, a Matemática, dependendo de como for ensinada e

aprendida pode favorecer a leitura pelo aluno do mundo em que está inserido.

[...] em nossas escolas, a ciência é apresentada como uma prática estranhaao sujeito, e, na maioria das vezes, o conhecimento científico é tratado demaneira fragmentária e descontextualizado, e não como fruto de umprocesso histórico de produção do saber (ALMEIDA E BRITO, 1997, P.06).

É fato que no processo da escrita a leitura também se faz presente, mas,

optamos neste projeto por focar mais o processo da leitura, porque, a interpretação

de textos é fundamental para a compreensão do enunciado de problemas. A

Matemática tem uma linguagem própria (abstrata e simbólica) e, portanto, é preciso

escolher o momento oportuno e adequado para apresentar o vocabulário especifico

como os termos e expressões, para que se possa aproximar a matemática escolar

da matemática vivenciada pelo aluno no seu cotidiano. Klüsener (2000) lembra que,

a linguagem matemática não é adquirida naturalmente, por isso, necessita ser

apreendida e praticada em diferentes contextos. A “[...] utilização de textos tanto

com enfoque histórico como os desenvolvidos pelos meios de comunicação são de

importância para o desenvolvimento das diferentes linguagens até chegar à

linguagem matemática” (KLÜSENER, 2000, p.180). Já para Passos (2009, p. 118) o

professor precisa fazer perguntas aos alunos de forma a convidá-los ao debate, com

questões que sugiram investigações e, de modo que eles se sintam ativos no

processo ensino aprendizagem. No entanto, é o professor que precisa decidir o que

deve ser aprofundado ao apresentar um conteúdo matemático.

Para Curi (2009, p.140)

[...] a leitura é um processo interativo e construtivo, no qual entram em jogo asrelações entre as diferentes partes do texto e os conhecimentos prévios doleitor. Portanto, a leitura de um texto nunca deve estar desassociada de seucontexto. [...] cabe destacar que a leitura nas aulas de matemática temespecificidades próprias devido aos tipos de textos típicos dessa área doconhecimento.

Portanto, o professor de matemática precisa desenvolver algumas estratégias

de leitura, pois, através delas pode identificar o que os alunos já conhecem sobre o

tema, localizar a ideia central durante a leitura, identificar as palavras-chave para a

10

identificação dos conceitos veiculados e buscar informações complementares

(ibidem, 2009, p.141). Para Curi (2009), após a leitura é importante estimular a

trocas de ideias sobre o texto lido, mesmo que seja através de perguntas para

estimular a participação e o fechamento da discussão. Ainda afirma que, trabalhar

com textos nas aulas de Matemática requer planejamento, escolha criteriosa dos

textos e, objetivos bem definidos do que realmente se pretende atingir com

determinado texto. E, que precisa saber se o texto desperta o interesse pelo assunto

matemático, se ele vai ampliar o assunto estudado e se tem função social.

Segundo Miguel e Miorim (2008), para alguns autores, os textos que tratam

sobre o conhecimento histórico da Matemática, pode despertar interesse do aluno

pelo conteúdo estudado nesta disciplina e, que tais textos podem ser lidos pelos

alunos para complementar o tema trabalhado. Clairaut3 apud Miguel e Miorim (2008,

p.44), afirma que é possível ter elementos históricos em atividades e situações

problema, sem que eles sejam explicitamente colocados.

Percebe-se que, atualmente nos livros de Matemática poucos enunciados de

problemas são contextualizados. Para Curi (2009, p.144) “[...] os enunciados

contextualizados são aqueles que apresentam e se manifestam vinculados a

contextos. Os enunciados não-contextualizados são aqueles que não se apresentam

explícitos em um contexto propriamente dito”. E segundo Jaramillo (2009, p.157)

mesmo sabendo da importância, da contextualização, na escola ainda hoje

predomina na área de ciências exatas um ensino descontextualizado historicamente

e socialmente, em que os saberes são desprovidos de significados, porque,

desconsideram o cotidiano do aluno, além de privilegiar um conteúdo em detrimento

do outro.

Segundo Orlandi (1997, p.29) “Não há sentido que não seja discursivo, isto é,

que não seja sujeito à interpretação”, e, segundo ela dependendo do texto, pode

induzir a uma interpretação errônea e com diferentes sentidos, pois, as lacunas e o

que não falamos também exprimem ideias. Nessas situações, no ensino e na

aprendizagem de Matemática, será que existe uma metodologia melhor do que as

outras e, que seja capaz de corrigir esses erros e lacunas?

Para Smole (1996, p.186),

3 CLAIRAUT, A. C. Elementos de geometria. Trad. j. Feliciano. São Paulo: Empresa Bibliópola Ed., 1892

11

[...] o portfólio constitui um importante elemento de comunicação entre alunoe professor, professor e pais e entre alunos e pais, funcionando ao mesmotempo como regulação do processo educativo e como instrumento deavaliação eficiente, uma vez que propicia uma análise contínua dosprogressos individuais dos alunos.

Nesse sentido, o aluno participa do processo ensino aprendizagem, através

da organização, reflexão e da auto-avaliação.

Sabendo da dificuldade que os alunos têm em ler escrever com linguagem

matemática, alguns estudiosos indicam meios para minimizar essa dificuldade,

dentre eles Carrasco4 apud Fonseca e Cardoso (2005, p.65), para quem “[...]

explicar e escrever em linguagem usual os resultados matemáticos e, ajudar as

pessoas a dominarem as ferramentas da leitura” ajuda as pessoas compreenderem

o conteúdo escrito.

Assim, para que se tenha êxito na leitura e compreensão de textos, no sentido

de explorar conteúdos matemáticos, precisa-se desenvolver em sala de aula uma

rotina e momentos de leitura, seja ela, oral, silenciosa, individual ou em conjunto,

para que se tenha no aluno, um sujeito ativo da sua aprendizagem.

A leitura de textos que tenham como objetivo conceitos e procedimentosmatemáticos, história da matemática ou reflexões sobre a Matemática, seusproblemas, seus métodos, seus desafios. Pode, porém, muito mais do queorientar a execução de determinada técnica, agregar elementos que não sófavoreçam a constituição de significados dos conteúdos matemáticos, mastambém colaborem para a produção de sentidos da própria Matemática e desua aprendizagem pelo aluno (FONSECA e CARDOSO, 2005, p.66).

Segundo Silva (1997, p.71), a escola engloba três aspectos, a saber, o

político-social, o psicológico e o epistemológico na interação dialógica e na

construção de conhecimento, então o professor não pode desconsiderar nenhum

deles nos processos de ensino e de aprendizagem. Isto implica na seleção de textos

que colaborem com a formação ética e moral do aluno e, que aproxime as práticas

sociais das escolares. “Na atualidade, as linguagens matemáticas estão presentes

em quase todas as áreas do conhecimento. Por isso, o fato de dominá-las passa a

constituir-se um saber necessário considerando o contexto do dia a dia” (Klüsener,

2000, p.177).

Além disso, o trabalho com a leitura e interpretação de textos em Matemática

favorece a interdisciplinaridade, o que exige do leitor conhecer outros assuntos, para4 CARRASCO, Lucia H. M.; Leitura e escrita na Matemática. In: Neves, Iara C. B. et al. (Orgs). Ler e escrever, compromisso de todas as áreas. Porto Alegre: editora da Universidade/ UFRGS, 2000, P.190-202.

12

que ele possa fazer uma interpretação correta do que lê, pois, “[...] um conhecimento

sempre é referência para a aquisição de outro conhecimento” (DANYLUK, 1998,

p.52). O professor tem oportunidade de escolher de forma intencional, textos para

serem trabalhados em sala de aula, o que já não acontece com os conteúdos, pois,

estes são determinados pela entidade mantenedora, no entanto, ele pode buscar

textos que facilitem a aprendizagem e o ensino desses conteúdos. É interessante

que, os textos escolhidos pelo professor estejam relacionados com assuntos de

interesse dos alunos e não só com o cotidiano dele, podendo até mesmo ser uma

combinação de ambos.

Para Andrade (2005, p.143) “[...] o indivíduo lê as diferentes formas de

expressão existente no mundo social, afetivo onde está imerso, compreendendo-as

e interpretando-as”. Para Andrade (2005), quando um indivíduo lê e interpreta algo e

deseja comunicar seu pensamento, sentimentos e expressões para os outros, pode

fazer com diferentes linguagens e, os outros farão leituras dessas linguagens

(expressões). Para Smole e Diniz5 apud Lopes e Nacarato (2005, p.175) “[...] ser um

leitor em matemática permite compreender outras ciências e fatos da realidade,

além de perceber relações entre diferentes tipos de textos”.

Para Danyluk (1991, p.21) a leitura deve ser entendida “[...] como a revelação

discursiva de linguagem em um contexto escolar”. Como destaca Klüsener (2000),

que a leitura da palavra, do símbolo ou do mundo, ocorre quando o significado das

coisas que são representadas emerge pelo ato da interpretação. Por isso, não se

pode ler e escrever matemática sem compreender o que ela significa.

4. DIMENSÃO HISTÓRICA DA ALGEBRA

4.1 História da Álgebra

Equação é uma maneira de resolver situações nas quais surgem valores

desconhecidos quando se tem uma igualdade. A primeira referência a equações de

que se têm notícias consta no papiro de Rhind, datado de aproximadamente 1650

5 SMOLE, Kátia S.; DINIZ, Maria Ignez. Ler e aprender matemática. In: SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. (Orgs). Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre, Artmed Editora,2001, P.69-86.

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a.C., um documento egípcio e provavelmente um dos mais antigos que tratam de

matemática..

No livro de Guelli (2001), consta que, por volta de 1650 a.C. o escriba Ahmes

resolvia problemas matemáticos utilizando a regra de três simples. E, que a álgebra

geométrica dos matemáticos gregos e a regra do valor falso do Egito eram as

equações na Antiguidade, mas, que nenhum desses métodos era satisfatório para

os matemáticos. Por volta do ano 400 da era Cristã, começavam a surgir os

primeiros símbolos matemáticos, inicialmente na forma de abreviações de palavras.

A fase sincopada da expressão do pensamento algébrico teria surgido comDiofante de Alexandria (século III d.C.), pois, foi ele quem pela primeira vezatribuiu um símbolo para a incógnita (letra sigma do alfabeto grego) eutilizou uma forma mais abreviada e concisa para expressar suas equações.[...] o estilo sincopado foi utilizado também pelos algebristas italianos doséculo XVI, dentre eles Cardano. [...] embora Viète (1540-1603) aindautilizava um estilo sincopado, ele foi o principal responsável pela introduçãode novos símbolos na álgebra, [...] vogais para representar quantidadeconstante e consoante para quantidades incógnitas. Descarte (1596-1650)consolidaria o uso da linguagem simbólica com a publicação, em 1637 deseu, La géométrie (FIORENTINI, MIORIM e MIGUEL, 1993, P.80).

Em seu livro, Guelli (2001), diz que: Os símbolos de Diofante marcaram a

passagem da álgebra retórica, em que as expressões são escritas totalmente em

palavras, para a álgebra sincopada, na qual algumas expressões vêm escritas em

palavras e outras são abreviadas. Pareciam estar presentes todas as condições

para a próxima etapa do desenvolvimento da álgebra, as equações expressas

totalmente em símbolos, como as conhecemos hoje (álgebra simbólica). O maior

dos matemáticos árabe de todos os tempos (século IX): Moham-med ibn Musa al-

khowarizmi, resolvia as equações de modo semelhante ao que usamos hoje. A

diferença é que tudo vinha expresso em palavras, até mesmo os números, mas, ele

não foi capaz de expressar as equações totalmente em símbolos, sem usar

nenhuma palavra. Ao francês François Viète (1540-1603) se devem os passos mais

decisivos para a introdução dos símbolos no mundo da Matemática, por isso, ele é

conhecido como Pai da Álgebra. Foi ele o primeiro a escrever as equações e a

estudar suas propriedades através de expressões gerais (ax + b = 0) e, graças a ele

as equações passaram a ser interpretadas como as entendemos atualmente. Com

François Viète, foram dados os primeiros passos para a criação da álgebra

puramente simbólica. Para Viète, decifrar códigos era o mesmo que resolver

equações. Ele não criou a álgebra simbólica sozinho, pois, assim como ele se

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apoiou nos trabalhos de grandes matemáticos da Antiguidade, matemáticos

posteriores a ele aperfeiçoaram sua álgebra e, as poucas palavras que eram

escritas por extenso foram sendo substituídas por símbolos.

4.2 Álgebra: expressão e equação

Para Kern e Gravina (2012) existem diferentes ideias e diferentes enfoques

para introduzir a linguagem algébrica. Charbonneau6 (1996, p. 34) apud Kern e

Gravina (2012) diz que a álgebra seria “[...] um caminho para manipular relações”. Já

Usiskin (1997)7 apud Kern e Gravina (2012) chama a atenção para as diferentes

interpretações e concepções associadas à álgebra: aritmética generalizada; estudos

de procedimentos para resolução de problemas; estudo de relações entre

quantidades; e o estudo de estruturas e propriedades

Em conformidade com os PCNs:

O estudo da Álgebra constitui um espaço bastante significativo para que oaluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização,além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta pararesolver problemas (BRASIL, 1998, p. 1158 apud Kern e Gravina 2012).

De forma mais específica, os PCNs destacam as diferentes dimensões a

serem contempladas no estudo da álgebra escolar, sinalizando as diferentes

características do uso das letras, bem como os diferentes conceitos e procedimentos

que se apresentam em cada uma destas dimensões. Em seu TCC, Jacomelli (2003)

ao falar da álgebra, destaca dois momentos do PCN, que afirmam: "0 ensino de

álgebra precisa continuar garantindo que os alunos trabalhem com problemas, que

lhes permitam dar significado a linguagem e as idéias matemáticas." [...] (pág. 84) e

que a:

Construção de procedimentos para calcular o valor numérico e efetuaroperações com expressões algébricas, utilizando as propriedadesconhecidas. Obtenção de expressões equivalentes a um Express &algébrica por meio de fatorações e simplificações (pág. 88).

6 CHARBONNEAU, Louis. From Euclid to Descartes: Algebra an its Relation to Geometry. In: BEDNARZ, N. Et al. (Ed.). Approaches to Algebra. Dordrecht Kluwer Academic Publishers, p. 15-37. 7 USISKIN, Zalman. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das variáveis. In: COXFORD, A.; SHULTE, A. (Org.). As Ideias da Álgebra. São Paulo, Atual, 1997. P. 9-228 BRASIL, MEC. Secretaria de educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais (5ª a 8ª série): Matemática. Brasília: MEC/ SEF, 1998.

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Segundo os PCNs de Matemática (1997, p.55), os trabalhos algébricos são

ampliados quando envolvem situações problemas que possibilitem ao aluno

reconhecer as diferentes funções da álgebra e representar problemas por meio de

equações, além de reconhecer as regras para a resolução (sintaxe) de uma

equação.

Para Bonadiman (2007) o atual ensino da matemática, em especial o da

álgebra, encontra-se afastado da realidade da maioria dos alunos. Existe certa

habilidade, por parte deles, para resolver expressões algébricas mecanicamente,

mas, em geral, não sabem por que chegaram a tal resultado ou porque certo

problema é resolvido de determinada forma, muito menos fazem associações com

os conhecimentos adquiridos em seu cotidiano. Segundo Bonadiman (2007) é

preciso desenvolver um ensino que promova a compreensão das operações básicas

com expressões algébricas no Ensino Fundamental, pois, para este autor, são

evidentes as dificuldades dos alunos em relação aos conceitos abordados na

álgebra elementar, em especial nos anos finais do Ensino Fundamental, em que a

manipulação e as operações com expressões algébricas são motivo de “pavor” para

muitos alunos.

Assim, entendemos que é preciso elaborar atividades específicas, visando

desenvolver no aluno a compreensão de algumas propriedades básicas necessárias

ao desenvolvimento das operações com expressões algébricas, para que ele

produza significados para tais ações.

Para Miguel9 et al (1992, p. 40) apud Martins (artigo) “[...] a maioria dos

professores ainda trabalham a Álgebra de forma mecânica e automatizada,

dissociada de qualquer significação social e lógica, enfatizando simplesmente a

memorização e a manipulação de regras, macetes, símbolos e expressões”.

Segundo as DCEs da Educação de Jovens e Adultos - EJA (2002), para desenvolver

o pensamento Algébrico é preciso que sejam exploradas situações de

aprendizagem, tais como generalizações aritméticas, tradução de situações-

problema e favorecimento de soluções; tradução de informações de tabelas e

gráficos para a linguagem algébrica, além de, generalizar regularidades e possibilitar

a identificação dos significados das letras e construção de estratégias de cálculo

9 MIORIN, Ângela; MIGUEL, Antonio; FIORENTINI, Dário. Álgebra ou Geometria: para onde Pende o Pêndulo? Pró-posições, vol. 3, nº 1, Campinas, SP, 1992.

16

algébrico. Ainda, as DCEs da EJA (2002) destacam a importância de identificar as

equações, resolver problemas usando equações do 1° grau, compreender os

procedimentos envolvidos; observar a regularidade e obter as leis que as

expressam.

Este parágrafo é baseado nas DCEs de Matemática do Paraná, na qual

consta que, a álgebra é um campo do conhecimento matemático que se formou sob

contribuições de diversas culturas. Consta ainda que o ensino da álgebra no cenário

educacional brasileiro foi influenciado pelas produções didáticas européias do século

XVIII. Ainda mais, que é necessária a articulação entre a álgebra e os números, de

modo que o aluno compreenda o conceito de incógnita, realize a escrita de uma

situação problema na linguagem matemática, reconheça e resolva equações

algébricas e diferencie e realize operações com expressões algébricas. Contudo,

ainda de acordo com o documento acima citado, o conhecimento algébrico não pode

ser concebido isoladamente, sendo necessária uma abordagem pedagógica, na qual

os conceitos se complementem e tragam significado aos conteúdos. Segundo Lins &

Gimenez10 apud DCE de Matemática (2008) “[...] pensar algebricamente é produzir

significado para situações em termos de números e operações aritméticas e, com

base nisso, transformar as expressões obtidas” (PARANÁ, 2008, p.52)

Para Soares (2012) a forma como o professor aborda e introduz a álgebra,

pode fazer toda a diferença para o aluno. Segundo Van de Walle (2009, p.287) “[...]

o pensamento algébrico ou raciocínio algébrico envolve formar generalizações a

partir de experiências com números e operações, formalizar essas ideias com o uso

de um sistema de símbolos significativo e explorar os conceitos de padrão e de

função”. Para Van de Walle (2009) as variáveis são símbolos que tomam o lugar de

números ou domínio de números, elas são usadas para representar quantidades

que variam (variáveis) ou valores desconhecidos (incógnitas), além de permitir as

generalizações, pois, permitem maior compreensão e facilidade nos cálculos. Ainda

de acordo com o mesmo autor, “[...] quando os estudantes falham na compreensão

do sinal de igual, eles em geral apresentam dificuldades ao lidar com expressões

algébricas” (VAN DE WALLE, 2009, p.289), portanto, eles devem ver ambos os

lados de uma igualdade como expressões equivalentes.

No que se refere à resolução de problemas de matemática, para Guelli (2001)

o melhor método, é traduzi-los para o idioma da álgebra, que é a equação. Em

10 LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, 1997

17

nossa cotidianidade, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as

mesmas representam expressões algébricas ou numéricas. Num colégio, por

exemplo, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço

de um salgado, usando expressões do tipo 1x+1y em que x representa o preço do

salgado e y o preço do refrigerante e, usamos a subtração para saber o valor do

troco. Por exemplo, se v é o valor total de dinheiro disponível e t é o valor do troco,

temos uma expressão algébrica do tipo v-(1x+1y)= t. As expressões algébricas são

encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas, como em cálculo de áreas de

retângulos, triângulos e outras figuras.

5. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

O presente material didático-pedagógico se destina a uma intervenção

pedagógica, utilizando a leitura e a interpretação como estratégia metodológica

durante os processos de ensino e de aprendizagem de matemática.

As atividades aqui propostas constam de textos para a leitura e interpretação

que contemplam o conteúdo algébrico de expressões e equações do 1º grau. O

papel do professor responsável pela implementação da produção didático-

pedagógica é de mediador e facilitador na formação de um aluno que lê e interpreta

ao mesmo tempo em que desenvolve o conteúdo matemático presente na atividade.

As atividades selecionadas têm por objetivo fazer com que os alunos adquiram

maior afinidade com a matemática e possam correlacioná-la com sua cotidianidade,

assim como, estabelecer relações interdisciplinares com outras áreas do

conhecimento, favorecendo a compreensão e a valorização do conteúdo em

questão.

Para a realização das atividades de leitura e interpretação de textos

relacionados aos conteúdos supracitados, seguem-se os procedimentos abaixo

relacionados, compondo um roteiro:

O professor apresenta o texto e faz uma pré-leitura com os alunos buscando

identificar palavras desconhecidas;

• Leitura silenciosa pelos alunos;

• Após a leitura individual, os alunos passam a trabalhar em pequenos grupos;

18

• Os alunos devem responder algumas questões referentes ao texto, previamente

elaboradas pelo professor para contextualizar matematicamente o texto

(identificar o assunto e relacionar com o conteúdo matemático) e para auxiliar na

identificação de elementos intertextuais (conhecimentos matemáticos já

assimilados, conhecimentos interdisciplinares necessários) e análise textual

(identificar os conhecimentos matemáticos que precisam ser aprendidos);

• O professor esquematiza as informações do texto no quadro, com a colaboração

dos alunos;

• Após a leitura do texto, discussão a partir das respostas às perguntas

elaboradas pelo professor, elaboração do esquema, deve ser realizado a

formulação coletiva do principal problema matemático do texto, sendo ele

transcrito ou esquematizado no quadro pelo professor;

• Resolução do problema pelos alunos, auxiliados por perguntas formuladas pelo

professor de maneira a orientá-los nesta resolução;

• Apresentação e discussão de novos conteúdos eventualmente necessários à

resolução do problema;

• Mediar à resolução do problema esquematizado;

• Discussão das soluções encontradas, sempre de maneira a permitir que os

alunos argumentem em favor da solução encontrada pelo seu grupo;

• Redação coletiva da resolução final do problema;

• Elaboração coletiva de resumo escrito sobre os conteúdos matemáticos

recordados, consolidados ou novos;

• Os grupos de alunos fazem uma descrição da atividade, destacando as

dificuldades encontradas;

Em cada atividade desenvolvida, será registrado o conhecimento científico adquirido

pelos educandos, suas discussões e suas ideias, compondo um portfólio, o qual

servirá como um dos instrumentos de organização, testemunha da ação pedagógica,

comunicação e de avaliação da aprendizagem dos alunos. No início da

implementação do projeto de intervenção pedagógica será aplicado um pré-teste e

no final o pós-teste, para junto ao portfólio ser instrumento de comparação, com o

qual o professor PDE possa verificar se ocorreu ou não a aprendizagem do

conteúdo matemático apresentado.

19

5.1 Observações gerais

Essa produção didático-pedagógica (PDP) propõe procedimentos metodológicos ao

professor que deseja trabalhar o ensino da álgebra, a partir dos textos e suas

respectivas atividades. Para tanto, apresenta uma sequência didática referente aos

conteúdos, expressões algébricas e equação do 1º grau.

Nesta sequência, inicialmente é apresentado aos alunos um texto para ser

explorado e contextualizado matematicamente identificando o assunto através da

leitura e discussão e, em seguida apresentam-se as atividades relativas ao texto. Os

alunos devem esquematizar a resolução, para depois, sob a mediação do professor,

elaborarem coletivamente, no quadro um esquema geral, para a resolução do

problema.

Nas atividades, cujas sentenças são abertas, o professor auxiliará o aluno, mediante

a formulação de questões adequadas, a perceber as condições necessárias para a

representação algébrica, como por exemplo, uma letra que representa a medida de

uma altura não pode assumir um valor negativo, além das comparações necessárias

em uma mesma atividade como: a altura de caverna e de uma pessoa, área

plantada e sua produtividade, saúde e alimentação, amizade e solidariedade dentre

outras.

Nas atividades referentes às expressões algébricas, em que o aluno precisa recorrer

às sequências numéricas e às regularidades para identificar um padrão

(generalização) e estabelecer uma expressão algébrica, o professor precisa mediar,

fazendo perguntas pré-elaboradas que levam o aluno a entender a importância das

conexões entre as representações, para que ele perceba os diferentes papéis dos

símbolos em álgebra. Portanto, a importância de se calcular algebricamente a área e

o perímetro das figuras, para que além dos conceitos e das representações

simbólicas, o aluno possa entender a equivalência e seu papel nas equações.

Já nas atividades que envolvem diretamente as equações, o professor precisa dar

indicações, como por exemplo, retomar os conceitos de expressões para que o

aluno possa diferenciar uma sentença aberta de uma fechada e exemplificar o

conceito de equivalência com a balança de dois pratos, direcionando para que o

aluno transponha a situação problema dada em linguagem natural para a linguagem

algébrica (simbólica) e resolva a situação problema. Nessa mediação, mediante uma

20

atenta observação, o professor percebe as dificuldades de cada aluno, possibilitando

assim, a retomada dos conceitos e dos conteúdos.

As atividades apresentadas nessa PDP estão concebidas para uma realização em

sala de aula seguindo o roteiro descrito nos procedimentos metodológicos, porém, é

fundamental que a redação e discussão coletiva estejam sempre presentes, pois,

são elas que permitem a validação, formalização e síntese dos resultados. Assim, o

professor mediador garante a todos os alunos a construção de novos

conhecimentos, de forma que eles sejam compreendidos, aprofundados e

ampliados, e o aluno possa desenvolver sua capacidade de autonomia,

argumentação e comunicação matemática. O professor precisa garantir que o aluno

reflita sobre sua resolução e seu pensamento e os confronte com os de seus

colegas.

No decorrer das atividades, o professor precisa considerar o conhecimento prévio

dos alunos, no que estão aprendendo e no que precisam aprender, para avaliar se

as estratégias estão sendo adequadas para as atividades propostas, haja vista que

as atividades tendem a ficar cada vez mais complexas.

Sugere-se aos professores que adaptem as atividades aqui propostas às

características de seus alunos, mas, que mantenha o roteiro, principalmente, a pré-

leitura, leitura individual, esquematização coletiva da problematização e resolução

final conjunta. No entanto, essa sequência didática não é um manual a ser

rigorosamente seguido pelo professor, mas, apenas uma sugestão de atividades

para auxiliar aqueles que acreditam na metodologia nela apresentada.

6. MATERIAL DIDÁTICO

6.1 PRÉ-TESTE

Conteúdo estruturante: números e álgebra

Conteúdos específicos: expressões algébricas e equações do primeiro grau

Objetivo: Identificar o conhecimento prévio e as dificuldades dos alunos em

trabalhar com questões que envolvam expressões e equações do primeiro grau.

Expectativa: espera-se que aluno ao resolver as expressões e as equações do pré-

teste, o faça da mesma maneira que faz as suas atividades escolares, para facilitar a

21

identificação do conhecimento já adquirido, assim como, as dificuldades existentes e

erros que cometem, para que posteriormente os mesmos sejam trabalhados nas

atividades, com o objetivo de minimizá-los. Provavelmente alguns alunos resolverão

os problemas usando cálculos aritméticos, apresentando, todavia, dificuldades nas

atividades envolvendo expressões, enquanto que, outros terão facilidade nas

atividades de expressões, e tentarão resolver os problemas usando cálculos

algébricos. Provavelmente, todos apresentarão dificuldades para representar

algebricamente as sentenças abertas.

QUESTÕES

1- Determine uma expressão que represente o perímetro das seguintes figuras:

(Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados).

a) b)

c)

2 – Estabeleça uma expressão que represente:

a) o dobro de um número adicionado a 20?

b) a diferença entre dois números x e y.

c) o triplo de um número qualquer subtraído do quádruplo deste mesmo número.

d) a distância percorrida em y etapas por uma nave espacial, que viaja por etapas,

sendo que a extensão de cada etapa é de 11 anos-luz.

d) A – B – C se A = – x – 2y + 10 e B = x + y + 1 e C = – 3x – 2y + 1

22

3) Represente algebricamente a área de o retângulo a seguir:

4) Determine o valor da expressão algébrica , para x = 3.

5) Determine os valores numéricos das expressões algébricas

a) 7y + 5 para y =5 b) x+ y para x= y/3 e y = 75

6) Determine o valor da incógnita (letra) em cada uma das expressões (equações):

a) x + 3 = 12

b) 2 + 3a = 4(a – 4)

c) 2(y – 1/2) = 23

d) b – b/3 = 10

e) Os pesos de cada pacote são iguais. Quanto pesa cada pacote?

7 – A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Qual é a idade de cada um

deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos?

8 – Jorge, Pedro e Antony são irmãos. Pedro tem 2 anos a mais do que o Antony e

dois anos a menos do que Jorge. Juntos eles têm 48 anos, qual é a idade de cada

um deles?

23

9 – A população de uma cidade A é um terço da população da cidade B. Se as duas

cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes têm a

cidade B?

10 – Uma casa com 260 m² de área construída possui 3 quartos de mesmo

tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam

140 m²?

6.2 EXPRESSÕES

6.2.1_História: Aladim e a lâmpada maravilhosa

Conteúdo estruturante: números e álgebra

Conteúdos específicos: expressões algébricas

Objetivos

• Desenvolver hábito da leitura, de modo que o aluno aprenda interpretar,

coletar dados e raciocinar matematicamente nas situações problema;

• Despertar o raciocínio lógico para noções de medidas desconhecidas e

conceito de incógnitas;

• Transpor a linguagem escrita formal para a linguagem matemática

(simbólica);

• Perceber que as letras em uma expressão algébrica representam qualquer

número real, e são chamadas de incógnitas;

• Representar e analisar situações usando símbolos algébricos

• Medir e comparar algebricamente;

• Refletir sobre medidas equivalentes e suas representações algébricas

• Calcular perímetro de figuras cujas dimensões são termos de uma expressão

algébrica;

• Classificar expressões como sendo do primeiro ou do segundo grau

• Calcular numericamente o valor de uma expressão algébrica.

Expectativa

Espera-se que o aluno seja capaz de realizar uma boa leitura, mas, que poderá

ter dificuldades em relacionar o texto com seu cotidiano, principalmente em

correlacionar o texto com o conteúdo e com conceito matemático implícito na

24

atividade. Espera-se que o aluno tenha noção de incógnita, de medida

desconhecida, de equivalência, mas que encontre dificuldades em representar

medidas desconhecidas com termos algébricos, por serem sentenças abertas.

Aladim e a lâmpada maravilhosa

Era uma vez um velho tecelão, que tentava de todas as maneiras ensinar o ofício ao

seu filho, Aladim. Mas Aladim não estava interessado. Um dia, o tecelão viajou para

a china, a trabalho.

Dias depois, um mercador chegou à procura do pai de Aladim.

─ Meu pai viajou a trabalho, provavelmente retornará daqui a três meses, disse

Aladim a ele.

O mercador ficou muito triste, diante dos amigos de Aladim.

─ E sua mãe, como está?

─Está bem, mas não está no momento, pois foi visitar minha tia ─ respondeu

Aladim.

O mercador disse-lhe que tinha algo muito importante a ser entregue a ela e que

voltaria mais tarde. Conforme prometido, ele retornou e entregou à mãe de Aladim

algumas moedas de ouro e disse:

─ Levarei o rapaz e farei dele um grande comerciante, tenho certeza que o pai dele,

meu grande amigo, ficará contente.

A mãe, achando o homem bondoso, concordou.

O mercador levou Aladim até o pé de uma montanha, mostrou-lhe uma caverna e

disse:

─ Ali existe um tesouro que será seu. Ache uma velha lâmpada para mim e ficarei

satisfeito.

Aladim desceu por uma corda, um lugar profundo, parecia um poço, não conseguia

enxergar o fundo daquela caverna. Ao chegar lá, viu o grande tesouro, joias,

brilhantes e um grande livro. Aladim ficou maravilhado! Encheu os bolsos com joias

e brilhantes, pegou o livro, achou a lâmpada do mercador e voltou. Mas este havia

25

retirado a corda, com a intenção de deixar Aladim preso para sempre. Aladim pediu

que ele jogasse a corda para que ele pudesse subir, mas ele disse:

─ Primeiro, dê-me a lâmpada!

─ Não! Nada feito! A lâmpada é sua, mas preciso sair daqui ─, disse Aladim.

O mercador, raivoso, transformou-se em um bruxo e Jogou uma praga, trancando

Aladim na caverna.

Aladim ficou sozinho no escuro. Sem querer, esfregou a lâmpada e um Gênio

apareceu.

─ Agora, você é meu amo. Peça o que quiser ─, disse o Gênio.

Surpreso com o Gênio, disse:

─ Quero ir para a casa! Num instante, Aladim estava em casa. Alegre, contou para a

sua mãe, que, com a ajuda do Gênio, conseguiu se liberar e, ainda, pode levar toda

a riqueza que estava na caverna. A mãe, com a ajuda do Gênio, preparou um

banquete para comemorar.

Um dia, Aladim viu passar a filha do Sultão e ficou apaixonado. Foi até o palácio e o

ministro do Sultão disse:

─ A Princesa merece quarenta baús cheios de joias!

Aladim, então, pediu ao Gênio aquela fortuna. Depois, entregou tudo ao Sultão, que,

admirado por ver tantas joias, aceitou. Assim que regressou a casa, chamou o Gênio

e disse:

─ Dê-me um palácio grande e muito alto, do mais fino mármore, com figuras

geométricas incrustadas de pedras preciosas nas paredes laterais. Quero a mais

linda decoração, com os móveis mais luxuosos do mundo. Nele quero encontrar

estábulos e cocheiras.

Dali a alguns dias, Aladim casou-se com a Princesa e foram morar no palácio.

O bruxo, vendo Aladim rico e casado com uma Princesa, quis se vingar. Disfarçou-

se de vendedor de lâmpada e foi até o palácio.

Chamou a Princesa e ofereceu-lhe lâmpadas novas em troca das velhas.

A Princesa, então, trocou a lâmpada de Aladim. O bruxo pegou-a e fez o Gênio

aparecer.

Ordenou que o palácio se tornasse sua propriedade e que a Princesa passasse a

ser sua prisioneira.

O Gênio obedeceu.

26

Quando Aladim voltou, viu um portão imenso, muito alto e guardas que não o

deixaram entrar no palácio. Deu a volta no castelo e viu a Princesa na janela de uma

sala escura, que nunca fora usada. Ela contou o que acontecera e Aladim disse:

─ Hoje, durante o jantar, ponha sonífero no vinho do bruxo.

A Princesa fez isso e o mercador adormeceu. Ela pegou a lâmpada, esfregou e

depois ordenou ao Gênio:

─ Deixe tudo como antes e mande o bruxo para bem longe, na África.

Aladim, em agradecimentos, deu uma grande festa no seu castelo e, desde então,

viveram felizes todos os anos de suas vidas.

(Adaptação da estória infantil Aladim e a lâmpada maravilhosa, de autoria de Cristina Marques eRoberto Belli Apud Produção Didático-Pedagógica de Marisa Castilho Dias Ferreira, 2010)

ATIVIDADE

a) Existem palavras que não fazem parte de seu vocabulário? Em caso afirmativo,

busquem no dicionário seus significados.

b) Dê um valor desconhecido que represente a profundidade da caverna.

c) Qual a expressão algébrica que representa o comprimento da corda que Aladim

usou para descer na caverna, sabendo que a corda tem o dobro da profundidade da

caverna menos uma unidade?

d) Qual expressão algébrica representa a altura do palácio que Aladim foi morar com

a Princesa depois de casados, sabendo que a altura do palácio é três meios do

comprimento da corda mais 2 unidades?

e) Qual a altura e a largura do portão do palácio de Aladim, sabendo que a largura é

um décimos da profundidade da caverna menos 2 unidades e que a altura é igual à

largura mais 4 unidades?

f) Determine as expressões algébricas que represente as dimensões, o perímetro e

a área do terreno que foi construído o palácio de Aladim. Dado que, este terreno é

de forma retangular e, Aladim descobriu que o comprimento dele era dez vezes o

tamanho da corda que ele usou para descer na caverna, enquanto que a largura é a

metade do comprimento.

g) O baú que a Princesa guardava suas joias mais parecia uma caverna, no entanto

bem menor, ele tinha aproximadamente de largura e profundidade respectivamente

dois oitenta avos e um sessenta avos da profundidade da caverna. Determine a

largura e a profundidade desse baú.

27

h) A janela pela qual Aladim viu a Princesa tinha perímetro igual a um dezenove

avos da profundidade da caverna. Qual era o perímetro dessa janela?

i) Se você somar as expressões dos itens c e f qual expressão você obterá? Ela é

do primeiro ou do segundo grau?

j) Elabore com linguagem natural uma situação problema que represente a

expressão encontrada no item i.

k) Atribua um valor numérico para a profundidade da caverna e verifique se ele

satisfaz os itens subsequentes.

l) Em relação ao texto e a atividade, o que você já sabia?

m) Em relação ao texto e a atividade, o que você aprendeu?

n) Em relação ao texto e a atividade, o que foi mais fácil e, o mais difícil?

6.2.2_ Artigo: Pinhão─manso mais perto da colheita mecanizada

Conteúdo estruturante: números e álgebra

Conteúdos específicos: expressões algébricas

Objetivos

• Identificar as diferentes matérias primas para o biodiesel e realizar cálculos

numéricos para reconhecer a mais rentável;

• Representar medidas algébricas, medir e comparar algebricamente;

• Calcular o perímetro de um retângulo utilizando fatoração de polinômios

Expectativa

Penso que aluno possa saber o que é perímetro, até mesmo calculá-lo

numericamente, mas, que ele tenha dúvidas com o significado de algumas palavras

do texto, bem como, em algumas perguntas, além de dificuldades na fatoração, na

identificação do fator comum e na realização de cálculos algébricos.

Pinhão ─ manso mais perto da colheita mecanizada

Os pesquisadores do Instituto Agronômico de Campinas (IAC) transformaram o

pinhão─manso, árvore de amêndoas que normalmente atinge 3,5 metros de altura,

em uma planta com tamanho comparado ao de um pé de soja. A façanha paulista

promete facilitar o uso de máquinas na colheita do pinhão, que tem alta

concentração de óleo para produção de biodiesel.

28

Nesse estudo, o IAC ganhou pontos na corrida para viabilizar o cultivo em escala

investigando parentes selvagens do pinhão─manso. Os pesquisadores introduziram

na árvore de amêndoas características de uma variedade anã. O pinhão─manso

anão é como um bonsai. Os primeiros exemplares, plantados em vasos, começam a

florescer e dão frutos com pouco mais de meio metro de altura.

A importância da pesquisa é medida pelo rendimento de óleo da cultura. Enquanto a

soja representa 80% da matéria prima da indústria de biodiesel no Brasil, e oferece

cerca de 600 quilos de óleo por hectare, o pinhão─manso rende 2,5 mil quilos na

mesma área, segundo o pesquisador Carlos Colombo, do IAC. Aproximadamente,

10% do biodiesel brasileiro são produzidos com alternativas vegetais, incluindo

mamona e algodão, enquanto, os outros 10% saem do sebo bovino.

O pesquisador Walter Siqueira explica que ainda há um longo caminho pela frente

antes da produção de pinhão─manso anão em escala. A experiência que mudou o

tamanho da planta, no entanto, é considerada uma demonstração do quanto é

possível avançar. Ainda é preciso investigar, por exemplo, qual o rendimento das

novas árvores, seu ciclo de produção, a concentração de óleo nas sementes, a

concentração de substâncias tóxicas.

Nas pesquisas realizadas nos últimos anos, o rendimento de óleo variou de 1,3 mil a

3,2 mil quilos por hectare, abaixo apenas dos resultados do dendê e da macaúba. A

qualidade do biodiesel de pinhão─manso é considerada excelente pelos técnicos. A

busca por novas fontes está relacionada ao consumo cada vez maior. O Brasil adota

atualmente a proporção de 5% de biodiesel no diesel, o que exige a produção de 2,5

bilhões de litros ao ano.

(excerto do artigo Pinhão manso mais perto da colheita mecanizada, de José Rocher, Campinas, SP─ Gazeta do Povo, postado em 6 de julho de 2010 em http://agro.gazetadopovo.com.br e acessadoem 18/09/2013)

ATIVIDADE

a) Quais as matérias primas do biodiesel descritas no texto?

b) Quantos hectares serão necessários para que o Pinhão ─ manso renda 250 mil

quilos de óleo?

c) Segundo o excerto do artigo apresentado, a árvore de amêndoas, denominada

pinhão ─ manso, possui uma altura média de 3,5 metros de altura, e os

29

pesquisadores transformaram-na em uma planta comparada ao pé de soja. Supondo

que o pé de soja tenha altura de 25 cm, quantas alturas desse pé se soja cabem em

uma altura da árvore pinhão─manso?

d) Baseando-se no item c, se o pé de soja mede x cm de altura, quanto medirá a

altura do pé de Pinhão─manso?

e) Pelo item d, qual a expressão algébrica representa a diferença de altura entre as

duas plantas citadas?

f) Qual o perímetro de uma região retangular em que foi plantado o Pinhão─manso e

que tem área igual à X² + 2X hectare?

g) Determine uma expressão algébrica que relaciona quilos de óleo de soja

produzido com a quantidade de hectares plantados.

h) Determine uma expressão algébrica que relaciona quilos de óleo de pinhão ─

manso produzido com a quantidade de hectares plantados?

i) Com base no texto pinhão ─ manso determine uma expressão algébrica que

representa a produção de biodiesel proveniente da soja, sendo que a produção de

biodiesel no Brasil é x.

j) Com base no texto pinhão ─ manso determine uma expressão algébrica que

representa a produção de biodiesel no Brasil que não provém da soja.

l) De acordo com o artigo pinhão ─ manso para qual das plantas você precisaria

usar menos espaço de plantação para produzir a mesma quantidade de biodiesel?

Por quê?

m) Em relação ao texto e a atividade, o que você já sabia?

n) Em relação ao texto e a atividade, o que você aprendeu?

o) Em relação ao texto e a atividade, o que foi mais fácil e, o mais difícil?

6.2.3_ Reportagem: A ELETRICIDADE EM LITROS

Conteúdo estruturante: números e álgebra

Conteúdos específicos: expressões algébricas

Objetivos

• Estabelecer uma expressão algébrica que relacione o tempo de uso e a

quantidade de água necessária para a produção de energia elétrica

necessária para o funcionamento de determinado aparelho elétrico;

• Analisar o consumo de água, de determinado aparelho, para refletir sobre a

ação do homem no meio ambiente.

30

Expectativa

Que o aluno fique surpreso com essa medição, pois, na sua cotidianidade a energia

é sempre medida em quilowatts-hora (conta de luz), mas, não em litros de água e

muito menos por aparelho, mas, que isso possa dar a ele uma nova visão ambiental.

Espera-se que, ele não tenha dificuldades em identificar um padrão, a partir de,

sequencias numéricas por ser uma simples relação de dependência.

A eletricidade em litros

Atualmente, as usinas hidroelétricas são responsáveis por aproximadamente 18%

da produção de energia elétrica no mundo, isso torna a produção de eletricidade

proveniente deste tipo de usinas a mais baixa do mundo. No entanto, o custo dessa

produção é a mais baixa de todas as formas de geração de eletricidade, além de ser

uma das formas de geração de energia que menos polui o meio ambiente.

Já no Brasil, mais de 95% da energia elétrica produzida é proveniente de usinas

hidroelétricas. Portanto, na econômica globalizada que vivemos no mundo de hoje,

deveríamos tirar proveito do baixo custo de produção de eletricidade oriundo das

usinas hidroelétricas e dar preferência a produtos com alto valor agregado de

eletricidade. Seríamos imbatíveis no mundo. Em vez disso, existem empresários que

ainda teimam em dar preferência a processos com alta agregação de mão de obra,

que no caso brasileiro é uma das mais caras do mundo.

O horário de verão é um artifício inventado nos Estados Unidos onde 70 % da

eletricidade é produzida em Usinas Térmicas, usinas com alto nível de agressão ao

meio ambiente. Portanto, quando eles economizam energia elétrica, economizam-se

milhares de litros da matéria prima que é o óleo combustível. Ao contrário dos

Estados Unidos, no Brasil, com o horário de verão se economiza milhões de litros de

água, pois, ela é a maior matéria prima das usinas brasileiras, porque, a maioria das

usinas do Brasil são as hidroelétricas.

31

Em fase de racionamento, as pessoas habituaram-se a calcular o consumo de

energia pela medida padrão, o quilowatt-hora. Como a eletricidade no Brasil é obtida

basicamente a partir das hidrelétricas, é possível verificar não apenas quantos

quilowatts-hora, mas quantos litros de água são consumidos para fazer funcionar os

eletrodomésticos. Veja quanta água uma usina como a de Xingó, na divisa entre

Alagoas e Sergipe, utiliza para movimentar as turbinas e colocar em funcionamento

os seguintes produtos:

FORNO DE MICRO-ONDASTempo médio de funcionamento diário (minutos) Quantidade de água que precisa passar pelas

turbinas para manter o aparelho funcionando

durante esse tempo (litros)1 382 763 1144 1525 190.

.

.

.FERRO DE PASSAR ROUPATempo médio de funcionamento diário (minutos) Quantidade de água que precisa passar pelas

turbinas para manter o aparelho funcionando

durante esse tempo (litros)10 55011 60512 66013 715.

.

.

. Fonte: Veja 27 de junho de 2001

(Uma adaptação do texto disponível em http://www.ebanataw.com.br/roberto/energia/ener11.htm e,

visitado em 30 de setembro de2013).

ATIVIDADE

a) Quais tipos de energia você conhece e, quais são as matérias primas desses

tipos de energias?

b) Quais tipos de energia foram citados no texto e, qual deles polui mais o meio

ambiente?

c) Determine uma expressão algébrica que representa a quantidade de água que

passa pelas turbinas para manter um forno micro-ondas funcionando por um

determinado tempo.

32

d) Qual expressão algébrica representa a quantidade de água que passa pelas

turbinas para manter o ferro de passar roupa funcionando em determinado tempo?

e) Dos aparelhos citados, qual consome mais água para funcionar? Justifique sua

resposta.

f) Em relação ao texto e a atividade, o que você já sabia?

g) Em relação ao texto e a atividade, o que você aprendeu?

g) Em relação ao texto e a atividade, o que foi mais fácil e, o mais difícil?

6.2.4_Texto: QUIZ

Conteúdo estruturante: números e álgebra

Conteúdos específicos: expressões algébricas

Objetivos

• Perceber a necessidade de analisar com cuidado os dados antes de dar

uma reposta

• Identificar padrões a partir de uma sequência numérica e estabelecer a

expressão algébrica correspondente;

• Perceber que o valor da expressão numérica muda dependendo da

situação problema;

• Formular e testar conjecturas matemáticas na exploração da situação

proposta

• Representar e analisar situações usando símbolos algébricos

• Compreender a noção de termo geral (expressão algébrica) de uma

sequência e escrever simbolicamente esse termo

Expectativa

O aluno de início tem tendência a responder pelo visual e pelo valor maior, o quê

provavelmente nessa atividade o induzirá ao erro, entretanto, é de se esperar que

ele faça os cálculos numéricos e perceba seu erro. Porém, ele deverá ter facilidade

em desvendar o padrão da sequência numérica no primeiro caso por ser expressões

algébricas simples, o que possivelmente não venha ocorrer no segundo caso. E, que

no final ele perceba a necessidade de se estabelecer padrão de modo a facilitar a

realização de cálculos, além de relacionar o texto com a atividade proposta.

33

Quiz

Após alguns anos de casado com a uma apresentadora de TV, Alan resolveu que

eles deveriam ter um filho para que a felicidade fosse realmente completa. E, assim

o filho nasceu.

Eles tiveram um menino que recebeu o nome de Natan, o qual como seu pai era

muito esperto e, também tinha muita sorte e, ambos viviam nos bastidores da TV, o

pai por ser o produtor da esposa e o filho por curiosidade. Natan teve uma chance

de participar de um Quiz no programa da emissora de TV, cujo apresentador era

amigo de sua mãe. Veja o que aconteceu:

Natan ficou muito contente quando viu o apresentador entrar no ar, pois, era a

chance que ele tanto esperava.

Ele tinha certeza de que o apresentador iria lhe chamar e dar o direito de participar

dos três quadros do programa. Não era assim que acontecia normalmente, mas, ele

era o filho da melhor amiga do apresentador, além do que, sua mãe trabalhava na

emissora.

O apresentador estava pronto para chamar Natan, e ele só ficava imaginando quais

seriam os prêmios que poderia ganhar, e se perguntava:

O que poderia ser? Uma prancha de surfe, um vídeo game, uma viagem à

Disneylândia, um carro zero quilômetro... Natan fazia planos.

Mas os tempos eram outros. Quem diria?

Já não se encontravam programas de TV que dê prêmios como antigamente. O mal-

humorado apresentador informou ao Natan que ele só teria direito a um premio, o

qual era em dinheiro. Natan deveria fazer uma escolha, mas, não era uma escolha

qualquer, pois, ele participaria somente de um dos três quadros do programa. Se

Natan ganhasse o jogo, ele teria que escolher entre duas opções que o

apresentador lhe daria.

Ele poderia receber R$ 10000,00 todos os dias, durante 21 dias, ou receber R$ 1,00

no primeiro dia, R$ 2,00 no segundo dia, R$ 4,00 no terceiro dia, R$ 8,00 no quarto

dia, e assim por diante, até completar 21 dias.

(Texto de autoria do próprio autor desta produção didático-pedagógica)

34

ATIVIDADE

a) Qual das opções Natan devia escolher? Sugestão: para responder a essa

pergunta, complete a tabela abaixo.

Natan recebe R$ 10000,00 pordia

Natan recebe R$ 1,00 no primeiro dia, R$ 2,00no segundo dia, R$ 4,00 no terceiro dia, R$ 8,00no quarto dia, e assim até o vigésimo primeirodia

1º dia 10000 12º dia 10000 23º dia 10000 44º dia 10000 85º dia6º dia7º dia8º dia9º dia10º dia11º dia12º dia13º dia14º dia15º dia16º dia17º dia18º dia19º dia20º dia21º diaTotal

b) Natan por ser esperto, preferiu usar uma expressão algébrica no primeiro caso

para descobrir o total que ganharia. Qual é essa expressão?

c) Para o segundo caso, ele teve que pensar um pouco mais, para descobrir o total

que ele ganharia. Primeiro ele usou uma expressão algébrica para descobrir o que

ele ganharia no 21º dia, dado que em cada dia o valor era diferente. Depois, ele

usou outra expressão algébrica para encontrar o total de seu ganho, se escolhesse

a segunda opção. Nessas situações, quais foram às expressões encontradas?

d) Em relação ao texto e a atividade, o que você já sabia?

e) Em relação ao texto e a atividade, o que você aprendeu?

F) Em relação ao texto e a atividade, o que foi mais fácil e, o mais difícil?

35

6.2.5_Tese: COPA DO MUNDO

Conteúdo estruturante: números e álgebra

Conteúdos específicos: expressões algébricas

Objetivos

• Interagir conteúdo matemático com fatos históricos e atuais;

• Transpor a linguagem escrita formal para a linguagem matemática

(simbólica);

• Realizar cálculos e estabelecer proporcionalidade;

• Verificar que o valor da expressão numérica depende da situação problema;

• Estabelecer relação de dependência e expressá-la através de uma expressão

algébrica.

Expectativa

Que o aluno consiga realizar a maioria dos cálculos utilizando cálculos

aritméticos. Pode ser que os meninos acertem mais questões do que as

meninas, por tratar-se de um assunto ainda predominantemente masculino, e

que todos apresentem dificuldades para estabelecer a relação ano/copa, devido

os dados não estarem tabulados.

Copa do Mundo

Apesar de terem sido responsáveis por levarem a seleção brasileira a uma inédita

final de campeonato mundial, projetando o futebol nacional para quase todo o

planeta, os jogadores que compunham o selecionado brasileiro na copa de 1950

deixaram sua condição de heróis que eles ostentaram antes do jogo Brasil X

Uruguai, ao não conquistarem a taça desejada e sobre a qual se havia depositado

tanta expectativa. O vice-campeonato o transformara em simples mortais. A perda

do título mundial deixava claro que apenas a vitória poderia ter conduzido algum

jogador ou o selecionado como um todo ao trono do futebol nacional. Da derrota

nasceu outra tipologia de jogador: o vilão. A terrível perda do IV do campeonato

mundial modificou grandemente a sensibilidade do brasileiro em relação às derrotas

da seleção em Copas do Mundo e essa alteração consolidou em nosso imaginário

essa figura vilanesca cuja composição entra em clara oposição à imagem idealizada

do herói.

36

Se a vitória tem nos heróis seus protagonistas para os quais se destina o trono do

futebol brasileiro, a derrota, por sua vez, também possui seu personagem principal e

ele é aquilo que, aqui, denominamos de vilão.

Na Copa de 1950 o vilão foi o lateral Bigode (O Globo 17/07/1950).

Os jornais da época foram decisivos para fazer com que a partida entre Brasil X

Uruguai deixasse de ser “apenas um jogo”. Tratava-se de uma grande oportunidade

de mostrar mundialmente que o país era capaz de grandes realizações e conquistas.

Já havíamos construído o maior estádio do mundo, o Maracanã, que conseguia

abrigar cerca de 10% da população carioca da época.

Na copa de 1990 o vilão da vez foi o jogador Dunga, o qual foi responsabilizado pela

eliminação da seleção brasileira. No entanto, existem os quase vilões como Zico que

perdeu um pênalti no jogo Brasil X França de 1986, mas nem por isso chegou a ser

explicitamente responsabilizado pela desclassificação, enquanto a vilania parecia

inevitável para o Ronaldinho na Copa de 2006.

(Excerto da tese de Leda Maria da Costa, _ A Trajetória da Queda - tese de Doutorado apresentada aUERJ, RJ, 2008 disponível em: http://www.historia.uff.br/nepess/arquivos/teseledacosta.pdf, sitevisitado no dia 05/09/2013).

1958 1962

1970 1994 2002

FONTE: fotos disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Sele%C3%A7%C3%A3o_Brasileira_de_Futebol visitado no dia 05/09/2013

ATIVIDADE

a) Quantas vezes a seleção brasileiro de futebol foi campeã mundial? Em quais

anos isso ocorreu?

b) Você sabe o nome de pelo menos um dos goleiros que defenderam a seleção

brasileira? Qual e em qual ano?

c) Em sua opinião, porque uma seleção chega à final e perde o campeonato?

37

d) Em sua opinião, qual foi o maior jogador de futebol do mundo? E atualmente

quem é?

e) De acordo com o texto acima, se a população carioca fosse de 1.000.000 em

1950 quantas delas estariam no Maracanã?

f) Se fosse hoje, em que a população carioca é aproximadamente de 16.400.000,

quantas pessoas estariam no Maracanã? Isso seria possível?

g) A copa do mundo de futebol acontece de quatro em quatro anos. Sabendo que

uma das copas aconteceu em 1970, em que ano acontecerá 11ª depois do ano de

1970? E a 43ª?

h) É possível estabelecer uma expressão algébrica para descobrir o ano (A) em que

acontecerá determinada copa do mundo de futebol (C) depois de 1970. Qual é essa

expressão?

I) Em relação ao texto e a atividade, o que você já sabia?

J) Em relação ao texto e a atividade, o que você aprendeu?

K) Em relação ao texto e a atividade, o que foi mais fácil e, o mais difícil?

6.2.6_ Artigo: Texto Informativo e Tratamento da Informação: adolescência,

sexualidade e gravidez.

Conteúdo estruturante: números e álgebra

Conteúdos específicos: expressões algébricas

Objetivos

• Ler, interpretar, e estabelecer uma expressão algébrica que traduza o

problema;

• Compreender o que é uma expressão algébrica e suas finalidades.

• Formular expressão.

Expectativa

O aluno terá facilidade para interpretar o texto, por se tratar de temas presentes no

seu cotidiano e que também não apresente dificuldades para fazer a generalização

em uma expressão algébrica, pois, as relações de dependências são simples regras

de três. A facilidade maior deverá ser nos cálculos numéricos, já nos algébricos,

talvez encontre obstáculos pelo motivo dos dados numéricos estarem no meio do

texto e não em um quadro, o qual facilitaria a descoberta de um padrão.

38

Adolescência, Sexualidade e Gravidez.

A adolescência chega e muitas vezes com ela as primeiras experiências sexuais.

Quando o adolescente seja ele rapaz ou moça inicia a sua vida sexual, raramente

ele se prepara antes.

A adolescente apaixonada, num momento de paixão desenfreada esquece-se do

mundo, e também esquece que o ato de iniciar a sua vida sexual implica em

responsabilidades sérias, que caso não sejam pensadas podem trazer ao mundo

uma nova vida.

Será que então ela estará preparada para ser mãe? E o rapaz vai querer assumir a

paternidade da criança?

De quem é a “culpa”? Dos pais que não orientaram? Da irresponsabilidade dos

adolescentes, que julgam saber tudo e não aceitam opiniões para nada? Pois é,

neste momento ninguém tem resposta para nada não é mesmo?

A vida de uma adolescente muda radicalmente depois que engravida, seu corpo

muda, seus hábitos se alteram, suas responsabilidades aumentam, sua saúde tem

de ser observada com cuidado.

Gravidez na adolescência pode implicar em muitos problemas para a menina, como

por exemplo, risco de parto prematuro, anemia, hipertensão, diabetes gestacional e

outros. Muitas meninas acabam em hospitais devido a complicações de abortos

clandestinos.

Estatísticas mostram que no Brasil 70% dos jovens iniciam a sua vida sexual antes

dos 17 anos, e 17 % das meninas tiveram seu primeiro filho entre 15 e 19 anos.

De cada 100 estudantes que entram no ensino fundamental, apenas 60 terminam a

8ª série e apenas 40, o ensino médio. A evasão escolar e a falta às aulas ocorrem

por diferentes razões, incluindo violência e gravidez na adolescência.

O país registra anualmente o nascimento de 300 mil crianças que são filhos e filhas

de mães adolescentes.

DADOS:

População de mulheres de 15 a 19 anos no Brasil, 2010 --- 8.432.002;

População de mulheres de 15 a 19 anos em Santa Catarina, 2010 --- 269.017.

(O texto foi extraído do Artigo: Texto Informativo e Tratamento da Informação: uma aplicação em sala

de aula, dos autores josiane Bernz Siqueira, Jéssica Sabel e Ana Paula Poffo e se encontra nos

39

Anais do XI Encontro Nacional de Educação Matemática – ISSN 2178 – PR, Curitiba, 18 a 21 de julho

2013).

ATIVIDADE

a) O que as autoras do texto quiseram transmitir com a frase: “A adolescente

apaixonada, num momento de paixão desenfreada esquece-se do mundo...”?

b) Quais são os problemas de saúde que podem ocorrer a partir de uma gravidez na

adolescência?

c) Quantas jovens brasileiras tiveram pelo menos um filho entre 15 e 19 anos?

d) Quantas jovens catarinenses tiveram pelo menos um filho entre 15 e 19 anos?

e) Estabeleça uma expressão algébrica para representar a relação ano e

nascimento de crianças que são filhos e filhas de mães adolescentes?

f) Qual a porcentagem de estudantes brasileiros que concluem o ensino

fundamental? E o ensino médio?

g) Estabeleça uma expressão algébrica que represente a relação entre a população

de estudantes que iniciam o ensino fundamental e os que terminam o ensino

fundamental.

h) Estabeleça uma expressão algébrica que represente a relação entre a população

de estudantes que iniciam o ensino fundamental e os que terminam o ensino médio.

I) Em relação ao texto e a atividade, o que você já sabia?

J) Em relação ao texto e a atividade, o que você aprendeu?

K) Em relação ao texto e a atividade, o que foi mais fácil e, o mais difícil?

6.2.7_Texto: BRASIL X REALIDADE

Conteúdo estruturante: números e álgebra

Conteúdos específicos: expressões algébricas

Objetivo

• Relacionar o conhecimento matemático à realidade, de forma a registrar sua

participação, presença e utilização nas várias situações da atuação humana,

destacando o uso social e cultural da matemática.

Expectativa

O aluno terá facilidade para interpretar o texto, por se tratar de uma realidade que

infelizmente ainda é presente em nosso país, no entanto, é de se esperar que ele

apresente dificuldades para fazer a generalização, pelo fato de que no texto a

40

sequência dos intervalos de anos não tem a mesma amplitude. Porém, mesmo com

dificuldades, o aluno poderá responder algumas perguntas, após, a realização de

cálculos aritméticos.

Brasil x Realidade

I- FAVELAS NO BRASIL

Os primeiros assentamentos que deram início ao que hoje conhecemos por favelas

ocorreram no final do século XVIII e foram chamados de “bairros africanos”. Nesses

bairros moravam ex-escravos e cidadãos pobres sem terras e sem opção de

trabalho. Já as favelas mais modernas começaram aparecer na década de 1970,

devido ao êxodo rural.

Nos últimos 40 anos as favelas têm aumentado sua expansão. Isso tem ocorrido,

não só por causa da migração das áreas rurais, mas também pelo crescimento

natural e pela industrialização. E, de acordo com o IBGE (2010), ha 6.329 favelas

em todo o país, localizadas em 323 dos 5.565 municípios brasileiros. Ainda,

segundo o (IBGE) de 2010 cerca de 6% da população vivem em “aglomerados

subnormais”.

A maioria dos “favelados” vive de uma combinação de trabalho casual, serviços

domésticos, produção de pequena escala, comércio e várias outras atividades.

II- FAVELAS NO RIO DE JANEIRO E FAVELAS MAIS ANTIGAS DO BRASIL

O nome favela se originou através do episódio histórico “Guerra de Canudos”. A

cidade de Canudos foi construída entre alguns morros entre eles o Morro da Favela.

A planta Cnidoscolus quercifolius (popularmente chamada de favela) encobria a

região. Daí originou-se o nome “favela”.

Em meados do século XIX surgiram às primeiras favelas na cidade do Rio de

Janeiro, devido à decadência da produção cafeeira, a abolição dos escravos e o

início da industrialização.

Segundo fatos históricos, os cortiços precederam as favelas. O prefeito do Rio de

Janeiro naquela época, Cândido Barata Ribeiro, iniciou a perseguição a esse tipo de

moradia, o que culminou, em 1893, com a demolição dos cortiços, expulsando os

moradores pobres da área central desta cidade para os morros.

41

O morro da Providência se tornou a favela mais antiga do Brasil, pois, em 1897

cerca de 20 mil soldados que haviam retornado da Guerra dos Canudos deixaram

de receber o soldo e foram morar no já habitado morro.

Já na década de 1940 com a crise da habitação os cidadãos mais pobres da cidade

obrigaram-se a construir seus barracos nos subúrbios. Essa foi a era do crescimento

explosivo das favelas.

Em 1970 as favelas se expandiram para além da área urbana do Rio de Janeiro e

para periferia metropolitana. Isso ocorreu por causa do forte crescimento econômico

brasileiro durante o regime militar quando teve início o êxodo rural, e trabalhadores

dos estados mais pobres do Brasil foram em direção a regiões mais ricas.

Ao longo do tempo as comunidades que vivem nas favelas se organizaram e

formaram associações sociais e religiosas com o objetivo de obter serviços como:

água encanada e eletricidade. Apesar dessas conquistas a superlotação, as

condições insalubres, a má nutrição e a poluição têm causado muitas doenças e a

taxa da mortalidade infantil é alta.

As favelas do Rio de Janeiro, assim como as demais do Brasil são consideradas

consequências da má distribuição de renda, êxodo rural e da falta de políticas

públicas habitacionais adequadas.

OS DADOS ABAIXO SOBRE O NÚMERO DE FAVELAS NO MUNICÍPIO DO RIO DE JANEIRO (RJ)

ENTRE 1980 A 2004 SÃO DO ENEM 2010 E, FORAM ADAPTADOS PARA ATIVIDADE.

→Em 1980, tínhamos o número de favelas igual a 370;

→Em 1992, tínhamos o número de favelas igual a 670;

→Em 2004, tínhamos o número de favelas igual a 970.

Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, o

número de favelas em 2010 será de 1120.

(Excerto de textos retirados dos sites: pt.wikipedia.org/wiki/Favelas_no_Brasil. acessado em 24 de

abril de 2013, WWW.IBGE. gov.br acessado em 20 de abril de 2013, http://portal.mec.gov.br, ENEM

2010, acessado em 25 de abril de 2013 e http://carloschinaski.wordpress.com/about/texto-favelados

acessado em 01 de outubro de 2013)

ATIVIDADE

a) Existe (em) palavra (s) no texto que você desconhece? Se existir (em) identifique-

a (s) e pesquise no dicionário o seu significado.

42

b) O que é favela?

c) No Brasil, quais fatores justificam o crescimento das favelas?

d) Qual será o número de favelas em 2016 no RJ?

e) Qual será o número de favelas em 2022 no RJ?

f) Determine uma expressão algébrica que relacione o ano com números de favelas

no RJ.

g) Em que ano o número de favelas será de 2470 no RJ?

h) Em relação ao texto e a atividade, o que você já sabia?

I) Em relação ao texto e a atividade, o que você aprendeu?

J) Em relação ao texto e a atividade, o que foi mais fácil e, o mais difícil?

6.2.8_Texto: UMA QUESTÃO DE SAÚDE

Conteúdo estruturante: números e álgebra

Conteúdos específicos: expressões algébricas

Objetivos

• Refletir sobre a alimentação adequada e a necessidade de praticar atividades

físicas,

• Relacionar o conhecimento matemático com seu cotidiano e com as outras

áreas do conhecimento;

• Ter clareza que situações problema podem ser resolvidas com o auxílio da

álgebra e, determinar expressões algébricas a partir de uma situação real;

• Reconhecer expressões algébricas como sendo uma expressão que envolve

números, letras e operações indicadas entre eles e, realizar essas operações;

Expectativa

O aluno realizará os cálculos numéricos, mas, que no caso particular da

proporcionalidade ele irá cometer erros. Ele terá dificuldades para resolver

exercícios que envolvam relação de dependência, de igualdade, de média aritmética

e de frações. Portanto, espera-se que ele não consiga estabelecer uma relação

entre os termômetros, mas, que consiga desenvolver e identificar outros padrões.

43

Uma questão de saúde

Na vida agitada que todos levam, no dia a dia muitos não se preocupam com a

alimentação e acabam por desenvolver hábitos como: pular refeições, comer

alimentos ricos em gorduras e consumir produtos industrializados. Porém, de acordo

com os especialistas, hábitos como estes não são bons para o organismo, pois, na

maioria das vezes o organismo acaba adoecido.

Uma das consequências da má alimentação é a obesidade, que tem como principal

característica o acúmulo excessivo de gordura corporal, e é associado a problemas

de saúde.

Segundo os profissionais da saúde, para o tratamento da obesidade é fundamental a

redução no consumo de calorias, bons hábitos alimentares e atividade física regular,

por serem meios que levam o obeso a obter excelentes resultados no processo de

emagrecimento.

Preocupada com sua saúde, uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156

kg, recolhe-se a um SPA onde se anunciam perdas de massa de até 2,5 kg por

semana, com base na boa alimentação e atividades físicas. Espera-se que isso

realmente ocorra, pois, o SPA é de renome, no entanto, sabemos que isso depende

também da pessoa obesa.

(Excerto do texto: doenças causadas pela má alimentação, disponível emhttp://cyberdiet.terra.com.br/doencas-causadas-pela-ma-alimentacao-12-1-12-55.html evisitado no dia 25/09/2013)

ATIVIDADE

a) Em conformidade com o texto, você tem bons hábitos alimentares? Justifique-se.

b) É conveniente se prevenir ou se tratar num SPA? Por quê?

c) Qual expressão algébrica que expressa à massa mínima (m) que uma pessoa

pode eliminar após n semanas no SPA citado no texto?

d) Qual o número mínimo de semanas completas que uma pessoa de 180 kg deverá

permanecer no SPA para sair com 120 kg?

e) No SPA, sabemos que é proibido refrigerante, porém, o administrador do SPA

encontrou vários canudinhos de tomar refrigerante. Sem titubear, ele resolveu usá-

los na realização de uma atividade com as pessoas presentes no SPA, como forma

de mostrar que o delito fora descoberto. O administrador formou algumas figuras a

partir de quadrados, em que cada lado era representado por um canudinho. A

44

quantidade de canudos (c) de cada figura depende da quantidade de quadrados (q)

que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a

seguir:

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Qual expressão algébrica fornece a quantidade de canudos em relação à quantidade

de quadrados de cada figura?

f) Sabemos que o ser humano possui a capacidade de manter uma temperatura

média de 36ºC e, que a temperatura entre 37,5ºC e 38ºC é caracterizado como

estado febril, e temperaturas superiores são diagnosticados como febre. Se o

médico do SPA diagnosticar pessoas com temperatura superior a 36ºC, ele

recomenda medicação adequada e banho para baixar a temperatura da pessoa.

Contando apenas com um termômetro graduado na escala Fahrenheit, o médico

verificou que uma das pessoas ali presente estava a uma temperatura de 100ºF.

Considerando que o: que o: ponto de fusão do gelo é 0ºC ou 32ºF e o

ponto de ebulição da água é100ºC ou 212ºF,

I) determine uma expressão algébrica para relacionar as duas escalas;

II) qual seria a temperatura da pessoa se médico tivesse usado o termômetro na

escala Celsius?

III) qual era a característica do estado da pessoa? Justifique.

g) O preparador físico que presta serviço ao SPA é uma pessoa que está sempre

atento às notícias. A seguir, um trecho de um artigo que ele lia: Em 2007,

pesquisadores da Universidade de Oakland analisaram o batimento cardíaco

máximo de 132 indivíduos com base em estudos realizados num período de 25

anos. A melhor representação gráfica do número máximo batimentos cardíacos de

uma pessoa saudável com relação à idade é a representada no quadro a seguir,

onde, bpm = batimento por minuto.

Anos =X ... 10 30 50 70 ...Bpm =Y ... 200 186 172 158 ...

Qual das expressões algébricas a seguir representa a relação entre batimento

cardíaco e a idade?

45

I) Y= 207 + 0, 7. X II) Y=100 – 0, 2.X III) Y= 207 – 0, 7.X

IV) Y=230 + 0, 5. X

h) A dona do SPA precisava saber do administrador quantas pessoas estavam

presentes, ao que ele respondeu dizendo: Na figura abaixo, X é a média aritmética

dos números que estão nos quatro círculos claros e Y é a média aritmética dos

números que estão nos quatro círculos escuros, e X representa a quantidade de

mulheres e Y a quantidade de homens aqui presentes. Quantas pessoas estavam

no SPA?

I) Em relação ao texto e a atividade, o que você já sabia?

J) Em relação ao texto e a atividade, o que você aprendeu?

K) Em relação ao texto e a atividade, o que foi mais fácil e, o mais difícil?

6.2.9_História: O CONJUNTO DE QUATRO AMIGOS

Conteúdo estruturante: números e álgebra

Conteúdos específicos: expressões algébricas

Objetivos

• Relacionar o conhecimento matemático à realidade;

• Identificar termos semelhantes, para realizar operações com termos

algébricos;

• Associar termos semelhantes de uma expressão algébrica

• Identificar e realizar as operações de multiplicação, potenciação, adição e

operação inversa, nos cálculos de área e perímetro de figuras planas, cujas

dimensões são termos algébricos;

• Somar os coeficientes conservando a parte literal;

5

49 X Y 24

16 23

3

46

• Formular e testar conjecturas matemáticas na exploração da situação

proposta, desenvolvendo e avaliando argumentos matemáticos e,

• Construir procedimentos de cálculo de área e perímetro de superfícies planas

com medidas algébricas;

• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema, compreendendo

diferentes significados das operações com expressões algébricas e figuras

planas.

Expectativa

Espera-se que o aluno já tenha noção de parte literal e coeficiente numérico, mas

que na hora de operar com os temos semelhantes cometa erros na adição, somando

os coeficientes e também os expoentes e, que possa ocorrer o mesmo na

multiplicação, multiplicando os coeficientes e também os expoentes, por não

entender as propriedades. Ele não deve ter hábitos de construir procedimentos de

cálculo para operar com frações numéricas, principalmente com frações algébricas,

portanto, encontrará dificuldade nos cálculos de áreas e perímetros que envolvem

frações e álgebra.

O conjunto de quatro amigos

Em um dia de verão, os irmãos Alice e Lino como de costume, encontraram os

irmãos Beto e Taís para irem à escola e ficaram esperando a carona do professor de

matemática Samuel. Enquanto esperavam, a conversa entre eles é especialmente

sobre o conjunto musical que pretendem formar e, para isso, sabem que precisam

ganhar dinheiro de alguma maneira. Muitas vezes desanimavam, ficavam sem

esperanças para alcançar tal milagre, como costumavam dizer. Mas, os amigos se

apoiavam mutuamente para não desistirem.

Num determinado dia, comentando sobre a aula de Samuel, Lino passou a falar da

casa abandonada do pequeno sítio, por onde ele passava todos os dias para

encontrar seus amigos e, garantiu que alguém passou a morar nela. Os amigos

ficaram curiosos e se propuseram a visitar a casa abandonada no dia seguinte, após

a aula de Samuel.

47

Já no outro dia e do alto da montanha, Alice e Beto confirmaram que realmente

havia alguém morando na casa que era abandonada, porque viram fumaça saindo

da chaminé.

Chegando a casa, para a surpresa dos amigos, apareceu Dona Rosa, uma senhora

muito simpática e disse: ─ Que moçada bonita. Ela contou a eles que seu irmão

José havia comprado aquele sitio com o dinheiro que economizou a vida toda. Ele

iria morar lá depois de aposentado, mas infelizmente faleceu antes de se aposentar

e por ser solteiro ela se tornou sua herdeira.

Dona Rosa, disse que queria produzir naquela terra, mas precisava de ajuda, pois

não tinha experiência e estava disposta a dar sociedade na produção. Ela oferecia

terra, ferramenta, sementes e 50% do que colher, como pagamento pelo trabalho.

Alice e os garotos disseram que procurariam alguém para ajudá-la.

Os quatro conversaram e chegaram à conclusão que eles mesmos poderiam ser os

ajudantes de Dona Rosa e foram conversar com seus pais sobre o assunto. Seus

pais apoiaram o projeto e alertaram para as dificuldades e responsabilidades.

No dia seguinte foram novamente à escola e mantiveram a rotina. À tarde, os

amigos foram à casa de dona Rosa com a decisão tomada. Após serem bem

recebidos pela senhora, Beto falou de seus planos e disse que só poderiam

trabalhar à tarde, pois pela manhã eles estudavam. Dona Rosa aceitou a proposta.

Dona Rosa, sugeriu iniciar as plantações com verduras e legumes e, Alice alertou

sobre a necessidade da utilização da água que estava escassa por causa da falta de

chuva. Lino logo disse que água existia, pois havia muitas nascentes lá em cima e

bastaria à utilização de uma mangueira para irrigar a terra.

Beto disse que precisavam conhecer os limites do terreno e Dona Rosa mostrou a

eles, que decidiram fazer a plantação na parte do sítio próximo à estrada. Thais

desenhou essa parte do terreno no papel e a dividiu em quatro partes, iguais, os

demais concordaram. Thais também sugeriu que ela e Alice ficassem com o plantio

de verduras e que Beto e Lino ficassem com os legumes. Lino apaixonado por ela,

logo concordou. Dona Rosa, regaria as plantas no final da tarde. Com essa

sociedade, Alice se lembrou da possibilidade de comprar os instrumentos musicais

para formar o conjunto que tanto sonharam.

A rotina da escola continuava, mas, o professor Samuel estava curioso para

conhecer Dona Rosa. Pois os alunos falavam muito dela e Dona Rosa para

conhecê-lo também, pois notava o carinho que os alunos tinham por ele. A

48

oportunidade surgiu com a necessidade das compras da mangueira, ferramentas e

sementes.

Os pais de Thais liberaram um dos seus empregados para que ele consertasse a

cerca, o telhado da casa e instalasse a mangueira.

Na segunda feira os jovens iniciaram o trabalho, fincaram estacas de madeira e

esticaram os fios determinando os vários canteiros. Jogaram água para amolecer a

terra para ficar mais fácil para cavar e iniciar a plantação.

Na escola o Professor Samuel ensinava os alunos a desenvolver o pensamento

algébrico. Os quatros amigos ficavam sempre atentos à aula, pois, precisavam saber

matemática para a nova empreitada.

Iniciaram a plantação com sementes de cenoura, rabanete, tomate, pimentão,

alface, couve, couve-flor, repolho e outros. Choveu muito e os meninos ficaram

muito felizes.

Continuavam a estudar expressões algébricas com o professor Samuel, que usou

como exemplo a água da chuva que os meninos tinham guardado em latões para

regar as plantas caso faltasse água, com isso os meninos descobriram quanto de

água eles tinham reservado.

Ao retornar ao sítio perceberam que um boi havia destruído metade de um dos

canteiros. Samuel com a intenção de reanimá-los, recorreu à matemática para

ajudá-los na reconstrução dos canteiros.

Na escola Samuel ensinava os alunos a pensarem algebricamente, sempre usando

o exemplo dos quatro amigos para ilustrar suas aulas.

A terra de Dona Rosa, era muito boa e ficou ainda melhor depois da chuva. Os

produtos que os amigos e ela haviam plantado eram de dar espanto de tão bonitos e

saudáveis.

A garotada preparou uma surpresa para dona Rosa. Thais fez um bolo

de cenoura colhida no sítio. Todos comentaram sobre o lucro obtido na colheita e

faziam planos para a segunda etapa, principalmente, para o conjunto musical.

(Uma adaptação da história: frações sem mistérios, de Luzia Faraco Ramos. Da série: a descoberta

da Matemática. São Paulo: Ática, 1988).

ATIVIDADE

a) Quais são os personagens principais da estória?

49

b) O que os meninos aprendiam na escola com o professor Samuel?

c) O que eles plantaram?

d) Os meninos e a Dona Rosa resolveram fazer canteiros de tamanhos diferentes,

para isso, precisava plantar quantidades diferentes em cada canteiro. Então, eles

fizeram o seguinte:

Canteiro Números de mudas plantadas1 22 53 104 175 26.

.

.

.

.

.x ?

I) Qual a expressão algébrica expressa o número de muda plantada em x canteiros?

II) Quantas mudas serão plantadas no 16º canteiro?

III) Qual expressão algébrica representa o número de canteiro, sabendo que o

número de mudas plantadas é representado pela expressão x²/4 + 1?

IV) Se o número de canteiro é y + 2, qual é o número de mudas plantadas nele?

e) O professor Samuel sugeriu que os meninos fizessem canteiros com formatos das

figuras geométricas abaixo e, pediu que eles calculassem o perímetro e a área de

cada canteiro. Faça você estes cálculos.

I) Quadrado de lado q + 3

II) Retângulo de dimensões (x – 2)/3 e 3(y + 2)

III) Triângulo equilátero, cujo lado mede x

50

IV)Triângulo retângulo isósceles, cujo o lado que não é a hipotenusa mede y + 5

v) Trapézio isóscele

f) Dona Rosa disse às meninos que ela precisava de um canteiro no formato de uma

pipa, então, Lino disse, é um losango não é professor Samuel, o qual sorriu e

afirmou que ele estava correto. Então, os meninos desenharam um losango, cujas

diagonais são iguais e mede x. Determine a área e o perímetro deste losango.

g) Em relação ao texto e a atividade, o que você já sabia?

H) Em relação ao texto e a atividade, o que você aprendeu?

I) Em relação ao texto e a atividade, o que foi mais fácil e, o mais difícil?

6.3 EQUAÇÕES

6.3.1_História: O X DA QUESTÃO

Conteúdo estruturante: números e álgebra

Conteúdos específicos: Equações do primeiro grau

Objetivos

• Ler e interpretar o texto

• Entender que equação é uma sentença matemática expressa por uma

igualdade que envolve números desconhecidos representados por letras, ou

seja, é uma expressão algébrica com igualdade, e que o valor da equação é

fixo;

• Escrever simbolicamente a equação dada em linguagem natural;

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• Reconhecer a situação problema como uma equação;

• Reescrever a situação problema como uma equação do primeiro grau;

• Utilizar a balança de dois pratos para entender e resolver equações;

• Operar com os termos semelhantes de uma equação;

• Estudar e determinar soluções dos problemas do dia a dia nas diversas áreas

do conhecimento, utilizando equações na resolução desses problemas.

Expectativa

Que os alunos gostem da estória e que consigam relacioná-la com a atividade

proposta. Que eles entendam que, a equação nada mais é do que a representação

de uma situação problema e que tentem resolver os problemas. Provavelmente,

alguns vão tentar resolver usando cálculos aritméticos, porém, outros irão usar

cálculos algébricos, por ser atividade relacionada a conteúdo já estudado em séries

anteriores. No entanto, eles poderão ter dificuldade em passar o problema da

linguagem natural para a simbólica e, em decifrar o enigma.

O x da questão

Carolina é uma garota muito estudiosa. Ela é filha de Ângelo dono de uma fábrica.

Carolina estava estudando em sua casa para uma prova de matemática e de

repente, o telefone tocou, era Rodrigo, um grande amigo avisando que viria para a

festa da cidade, na qual faria uma apresentação de balonismo e, que chegaria no

próximo fim de semana, para aproveitar e ficar uns dias com ela. Carolina contou a

seu pai, que Rodrigo viria para a festa, ele ficou muito feliz e disse a ela que também

tinha uma boa notícia sobre a poluição que sua fábrica causara ao rio, e contou a ela

que conhecera um homem chamado Wang, o qual estava prestes a descobrir um

meio para despoluir o rio e solucionar o problema da fábrica.

O fim de semana chegou, Carolina preparou a casa para esperar seu amigo. Assim

que Rodrigo chegou e descansou um pouco, ele logo foi passear com Carolina para

conhecer a região.

No dia seguinte, Carolina tinha alguns compromissos e Rodrigo resolveu passear

sozinho pela redondeza, chegou até o vale cortado pelo rio verde, onde encontrou

Wang. Os dois começaram a conversar e Wang disse a Rodrigo que era

52

pesquisador. Rodrigo ficou muito interessado em conhecer o laboratório do

pesquisador e os dois foram à casa de Wang. Chegando lá Rodrigo perguntou a

Wang:

─ O que você faz com tudo isso?

─ Estou fazendo pesquisas e experiências com essas pedras multicoloridas que

retiro do Rio Verde, para tentar solucionar o problema da fábrica do pai de Carolina.

Rodrigo viu uma balança de dois pratos e quis saber qual era a sua serventia e,

Wang explicou. Então, Rodrigo passou a tentar equilibrar, usando os pesos que

Wang dispunha e as pedras. Após algumas tentativas, Rodrigo descobriu o peso da

pedra e, Wang lhe disse ─ era assim que na antiguidade resolviam os problemas,

com tentativas. Foi quando Rodrigo disse a Wang sobre a sua frustração com a

linguagem matemática.

Havia ficado muito tarde e Rodrigo precisava voltar para casa de Carolina, mas,

prometeu a Wang que voltaria outras vezes durante a semana. Em uma dessas

visitas, Wang contou para Rodrigo que tinha descoberto como resolver o problema

da fabrica de Ângelo, e pediu para Rodrigo não contar a ninguém até que ele

estivesse certo de sua descoberta. Wang lembrou a Rodrigo, que ao equilibrar a

balança, Rodrigo também havia feito uma descoberta, pois, tinha aprendido a

resolver uma equação matemática. Foi então que Wang explicou para Rodrigo o

significado de incógnita, dizendo que x representa a coisa desconhecida numa

determinada situação, dando um exemplo, disse: ─ uma coisa mais duas coisas é

igual a noventa e seis. Foi quando Rodrigo descreveu para Wang como tinha feito

para equilibrar a balança: num dos pratos estava a pedra, cuja massa é x, que é o

valor desconhecido, mais 75 gramas, que pesavam o mesmo que 500 gramas, que

estavam no outro prato. Percebendo que Rodrigo já havia compreendido, Wang

pediu que ele resolvesse a situação descrita.

Carolina combinou com Rodrigo e mais dois amigos e foram à lanchonete, onde

gastaram 960 reais, Rodrigo pediu desconto e ganharam 60 reais de desconto, eles

fizeram as continhas e racharam o gasto. Chegando a casa, Rodrigo contou para

Carolina o que havia aprendido com Wang e resolveu a situação que vivera na

lanchonete através de uma equação.

No dia seguinte, Rodrigo contou à Wang sobre a equação que ensinara para

53

Carolina, então, Wang colocou-lhe uma nova situação, dizendo: certo número é igual

à soma entre 31 e o quíntuplo do próprio número. Enquanto Rodrigo fazia as contas,

Wang dizia a ele que finalmente tinha certeza que seu experimento ajudaria Ângelo

a resolver o problema da fabrica. ─ Foi um enigma, mas consegui, disse Wang.

Maravilhado com a descoberta de Wang, Rodrigo disse ─ eu também quero

descobrir um enigma. Então, Wang passou-lhe o seguinte enigma:

M = 0

2 -11 -6 -7 7 2 -3 -1 8 0 -3 1 -11

2 6 -7 5

Rodrigo precisou da ajuda de Carolina para resolver o enigma, mas resolveu.

Chegara o dia da festa. Wang confirmaria a Ângelo o sucesso de sua experiência, e

Rodrigo daria aos festeiros um show de balonismo. Rodrigo esquecera que havia

combinado com Wang de irem juntos à festa. Rodrigo estava demorando chegar,

então, Wang resolveu esperá-lo a beira do Rio Verde, mas, antes Wang rascunhou

umas equações em um papel que deixou sobre a bancada, como pista para Rodrigo

encontrá-lo.

Chegando à casa de Wang, Carolina viu um pedaço de papel sobre a bancada e

percebera que tinha algo escrito, foi então que Rodrigo disse ─ são cinco equações.

Mesmo atrasados para abertura da festa, decidiram resolvê-las, foi quando

perceberam que as respostas eram todas diferentes, então, Rodrigo teve um

feedback e lembrou-se do enigma que eles tinham resolvido, então, tomaram M=0 e

com as respostas das equações (--9, -11, 1, 2, -11) encontraram a palavra CANOA.

Logo perceberam que canoa lembrava rio, e concluíram que Wang estava no rio à

espera deles, não hesitaram e foram ao encontro de Wang.

Já na beira do rio, os amigos Rodrigo, Carolina e Wang avistaram um balão e, para

54

a surpresa deles, era Ângelo, que estava à procura deles.

Após os amigos subirem no balão, Ângelo passou o comando a Rodrigo, então,

Wang iniciou uma longa conversa com Ângelo, contando-lhe sua descoberta,

enquanto isso, Rodrigo fazia sua apresentação para os festeiros.

No solo, enquanto Wang anunciava para a população sua descoberta, Rodrigo se

despedia de Carolina, pois, chegara a hora de retornar à sua cidade, mas, de uma

coisa ele tinha certeza, além de fortalecer sua amizade com Carolina, ele tinha

encontrado um grande amigo, Wang, que havia transformado seus sentimentos em

relação à Matemática.

(Uma adaptação da história: encontros de primeiro grau, de Luzia Faraco Ramos. Da série: adescoberta da Matemática. São Paulo: Ática, 1995).

ATIVIDADE

a) Qual outro título você daria a este texto?

b) Quais personagens fazem parte do texto?

c) Em sua opinião, quais as principais personagens do texto?

d) Qual assunto de Matemática está presente no texto?

e) represente em linguagem matemática e resolva as situações problema que

aparecem no texto.

f) Decifre você também o que Wang escreveu para Carolina e Rodrigo no

primeiro enigma.

g)Elabore situações problema que tenham as mesmas respostas das cinco

equações escritas por Wang.

h) Sugestão de atividade: trabalhar com a balança interativa (online).

I) Em relação ao texto e a atividade, o que você já sabia?

J) Em relação ao texto e a atividade, o que você aprendeu?

K) Em relação ao texto e a atividade, o que foi mais fácil e, o mais difícil?

6.3.2_ História: A ESPOSA DE DIOFANTE

Conteúdo estruturante: números e álgebra

Conteúdos específicos: Equações do primeiro grau

Objetivos

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• Transpor a linguagem escrita formal para a linguagem matemática

(simbólica);

• Entender que equação é uma sentença matemática expressa por uma

igualdade que envolve números desconhecidos representados por letras;

• Reconhecer a situação problema como uma equação;

• Descobrir a idade de Diofante usando equação do primeiro grau.

Expectativa

Na situação problema apresentada, o aluno vai encontrar facilidade na leitura, mas,

terá dificuldades na interpretação, na transposição da linguagem natural para a

simbologia matemática e nos cálculos com frações. Quiçá ele consiga entender o

problema como uma equação, mas, espera-se que ele tente resolver usando

cálculos aritméticos. Espera-se que o aluno tenha clareza que situação problema,

como o enigma citado na tumba de Diofante, pode ser resolvida, com auxílio da

álgebra.

A esposa de Diofante: Hipátia

Entre os gênios matemáticos da Antiguidade conta-se Hipátia (370 - 415), a

primeira grande matemática (mulher) de que se tem conhecimento. Ela era filha de

Theon de Alexandria, também um matemático distinto e autor de várias obras. Sabe-

se que seu pai, um eminente professor no Museu de Alexandria (ponto de encontro

de sábios de todo o Império Romano), do qual mais tarde se tornou diretor, foi

simultaneamente seu tutor, seu professor e seu companheiro.

Hipátia teve uma esmerada educação que, para além de um cuidadoso treino físico

diário, incluiu arte, ciência, literatura e filosofia. Hipátia desenvolveu também a

oratória e a retórica, por saber que elas eram um fator para a aceitação e integração

das pessoas na sociedade da época. No campo religioso, Hipátia recebeu

informação sobre todos os sistemas de religião conhecidos, de forma que nenhuma

religião ou crença lhe limitasse a busca e a construção do seu próprio conhecimento.

Hipátia eclipsava seu irmão, devido ao seu saber, gentileza, palavra, talento e

beleza, adjetivos pelos quais também conquistara Diofante.

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Hipátia estudou geometria e astronomia em Alexandria, depois foi à Atenas

continuar seus estudos. Mais tarde regressou a Alexandria onde foi convidada para

dar aulas no Museu, juntamente com aqueles que haviam sido seus professores.

A sua paixão pela matemática e a sua inteligência brilhante refletiam nas suas aulas

que atraíam estudantes de várias partes do mundo.

Do seu trabalho, pouco chegou até nós. Sabemos que desenvolveu estudos sobre a

álgebra de Diofante e inventou alguns instrumentos para a astronomia e aparelhos

utilizados na física e, que ainda escreveu um tratado sobre as secções cônicas de

Apolônio e alguns comentários sobre os matemáticos clássicos, entre eles, Diofante.

Porque, até aquela época, os matemáticos gregos preferiam estudar geometria,

apenas Diofante se dedicou a Álgebra. Talvez este motivo, levou Hipátia a estudar

sobre sua vida, mas, outros indícios, indicam que também foi por amor.

Apesar do esforço de Hipátia, a história não guardou muitos dados sobre a vida de

Diofante. Tudo o que sabemos sobre ele estava numa dedicatória gravada em seu

túmulo, a qual dizia:

Caminhante! Aqui foram sepultados os restos de Diofante. E os números podem

mostrar ─ oh, milagre ─ quão longa foi a sua vida:

Cuja sexta parte constituiu sua famosa infância.

E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido, quando de pêlos se

cobriu o seu rosto.

E a sétima parte de sua existência transcorreu em um matrimônio sem filhos.

Passou um quinquênio mais e deixou-o muito feliz o nascimento de seu filho, que

entregou a terra seu corpo, sua formosa vida, que durou somente a metade da de

seu pai.

E com profundo pesar desceu à sepultura, tendo sobrevivido apenas quatro anos ao

descanso de seu filho.

Dedicatória esta que, com toda a certeza, escrita por Hipátia.

57

Apesar da vida brilhante, a tragédia de Hipátia foi ter vivido numa época de luta

entre o paganismo e o cristianismo que, na sua época, se tentava apoderar dos

centros importantes então existentes. Hipátia era uma ilustre pagã e, a ira dos

cristãos abateu-se sobre ela. Era para o museu que estava indo a bela jovem Hipátia

e, usava uma carroça que a levava pelas ruas cheias de gente, como sempre estava

pensativa, talvez pensasse nas conferências que acostumava dar, nas quais

frequentemente falava sobre o Marido Diofante, grande estudioso de Álgebra, que

tinha morrido poucos anos antes. Pois, fazia tempo que ela se dedicava a estudar o

trabalho do mestre, a escrever e dar aulas sobre ele. Quando de repente, até hoje

ninguém sabe por que, um grupo de desordeiro parou a carroça e, a golpes de

afiadas conchas de ostra, matou a jovem conferencista.

(Excerto da História: HIPÁTIA, extraída do livro Contando a história da matemática, de Oscar Guelli.São Paulo: Ática, 2001. E do sitehttp://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/hipatia/hipatia.htm Acessado 22 em de julho de2013).

ATIVIDADE

a) Usando o que Hipátia escreveu no túmulo Diofante, descubra quantos anos ele

tinha quando morreu.

b) Em relação ao texto e a atividade, o que você já sabia?

c) Em relação ao texto e a atividade, o que você aprendeu?

d) Em relação ao texto e a atividade, o que foi mais fácil e, o mais difícil?

6.3.3_ História: LILAVATI

Conteúdo estruturante: números e álgebra

Conteúdos específicos: Equações do primeiro grau

Objetivos

• Ler, utilizar e interpretar informações apresentadas no texto;

• Reconhecer a situação problema como uma equação, passando-a da

linguagem natural para a simbólica;

• Compreender que resolver uma equação significa aplicar técnicas

matemáticas no intuito de determinar o valor da incógnita;

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• Analisar e refletir sobre o(s) processo(s) de resolução do problema;

• Resolver as situações problema utilizando uma equação.

Expectativa

Os alunos devem ser capazes de interpretar o enunciado dos problemas, porém,

poderão apresentar dificuldades em escrever simbolicamente as equações dadas

em linguagem natural, bem como, resolvê-las, principalmente, as que envolvem

frações.

Lilavati: a noiva

Segundo Guelli (2001), o ensino de Matemática na índia tinha uma ligação estreita

com a religião.

Consta-se na história da Matemática que Bhaskara Akaria foi um matemático

indiano que viveu no século XII e, que é o autor do livro Lilavati, o qual se tornou um

dos livros mais importante da história da Matemática. A história a seguir sobre

Lilavati é uma adaptação baseado no texto que se encontra no livro de Guelli (2001).

Lilavati era a única filha de Bhaskara. Era muito culta, pois o pai tinha sido

particularmente cuidadoso com a sua educação. Diz à lenda que era também muito

bonita.

Aos dezoito anos, Lilavati disse ao pai que gostaria de casar. Ela sabia que quando

nasceu os astrólogos consultados por Bhaskara tinham predito que ela teria uma

vida longa, mas nunca se casaria. Ansioso pela felicidade da filha, Bhaskara fez

cálculos e mais cálculos, e finalmente descobriu que, as estrelas permitiam Lilavati

se casar, mas apenas se o casamento fosse feito numa certa hora de um

determinado dia.

Então, o sábio Bhaskara arranjou tudo para que o presságio se cumprisse. A hora

estava chegando.

Assim sendo, o casamento foi preparado. No dia do casamento, Lilavati estava

enfeitada com as suas mais belas joias, um véu tapando-lhe a cara para só poder

ver o noivo depois de terminada a cerimônia, como era o costume. Ao lado de

Lilavati os astrônomos tinham colocado um pequeno relógio numa vasilha com água,

o relógio tinha um buraquinho no fundo, por onde a água deveria entrar para afundá-

lo, pois, quando ele se afundasse, era o momento exato para o casamento se

59

efetuar. Lilavati nervosa olhava para o pequeno relógio.

Todos esperavam com ansiedade que o relógio se afundasse, mas estranhamente

isso tardava em acontecer, parecia que a sorte tinha abandonado a bela noiva.

Intrigados, os astrônomos acabaram por descobrir a causa de tanta demora: uma

das pérolas do vestido de Lilavati tinha caído dentro da vasilha com a água e

atingindo o buraquinho do relógio, impedindo a água de entrar e o relógio de

afundar. O momento escolhido pelos céus para o casamento já tinha passado e

Lilavati nunca mais se casou!

Para consolar a filha, Bhaskara prometeu torná-la imortal escrevendo um livro com

seu nome. Pois, para Bhaskara o “nome perdurará até o fim dos tempos, porque um

bom nome é uma segunda vida e é à base da existência eterna”.

Se, é verdade ou mentira, se é lenda ou história, ninguém sabe com certeza. Mas

Bhaskara realmente escreveu o livro Lilavati o qual é famoso até hoje.

Esta obra é repleta de situações problema simples e interessantes, dos quais,

muitos são resolvidos pelo teorema de Pitágoras.

ATIVIDADE

a) Uma das belas joias que Lilavati usava era um colar de pérolas e, por acreditar

ser a pérola a responsável pelo seu não casamento, ela deu o colar a um casal que

se fazia presente no seu casamento. O casal ficou muito feliz com o presente e, na

cama de seu quarto começaram a brincar com o colar, foi quando ele rompeu e:

Uma fileira de pérolas escapou

A sexta parte ao solo caiu

A quinta parte na cama ficou

Um terço pela jovem se salvou

A décima parte o namorado recolheu

E com seis pérolas o colar ficou.

Quantas pérolas tinha o colar que o casal ganhou de Lilavati?

b) Se juntássemos ao pequeno relógio o equivalente a sua metade e depois a sua

quarta parte; obteríamos 7 kg. Quantos quilos pesavam o pequeno relógio?

c) Após os astrônomos descobrirem porque o relógio não se afundou, eles

penduraram o relógio em um bambu de 32 côvados de altura, o qual não aguentou o

60

peso do relógio e se quebrou, de modo que a ponta tocou o chão a 16 côvados da

base, a que altura a partir do chão o bambu se quebrou?

d) Em relação ao texto e a atividade, o que você já sabia?

e) Em relação ao texto e a atividade, o que você aprendeu?

f) Em relação ao texto e a atividade, o que foi mais fácil e, o mais difícil?

6.3.4_História: O VELHO LIBANÊS

Conteúdo estruturante: números e álgebra

Conteúdos específicos: Equações do primeiro grau

Objetivos

• Verificar a relação pessoal vinculada ao registro das operações efetuadas e

estabelecida com aspectos da álgebra;

• Ler, interpretar e utilizar informações explicita e implícitas apresentadas no

texto;

• Realizar operações, para solucionar uma equação a fim de que se determine

o valor de sua incógnita;

• Desenvolver a capacidade de análise do problema, construindo estratégias de

resolução;

• Saber operar com os termos semelhantes de uma equação;

• Realizar operações com frações;

• Analisar e refletir sobre o(s) processo(s) de resolução do problema, testando

os resultados.

Expectativa

O aluno, provavelmente após a leitura, entenderá o texto, mas, ficará com dúvidas

em relação ao problema, pensando até mesmo que faltam dados. Pode-se até

imaginar que, alguns alunos irão tentar resolver o problema com cálculos aritméticos

e por tentativas, mas, terão dificuldade em operar com as frações e em determinar o

mínimo múltiplo comum. Porém, outros vão tentar equacionar o problema, mas,

encontrarão dificuldade por não saber o total de filhos do Libanês e, pelo fato que,

eles provavelmente não desenvolveram hábitos de construir procedimentos para

realizar cálculos com frações algébricas.

61

O velho libanês

A pressa de resolver as demandas do cotidiano faz com que as pessoas deixem de

lado, o que de fato é importante, como por exemplo: dar um bom dia, ter paciência e

atenção para com as pessoas, principalmente com colegas de trabalho. No entanto,

as pessoas não prestam a atenção nesses pequenos e importantes detalhes, que

fazem a diferença em nossas vidas. Comigo, isso não é diferente.

Em determinado dia, quando entrei na sala dos professores, já tinha batido o sinal.

Nervoso, apressado, mal prestei atenção quando Alceu, um professor de Língua

Portuguesa, me entregou um papel.

A caminho da classe, dei uma olhadela no papel e pensei irritado: ”Este parece um

daqueles bem cabeludos”!

Era um problema de Matemática, extraído de um livro árabe por um velho libanês e

amigo do professor Alceu.

Passaram-se alguns dias e eu não arranjei tempo e nem paciência para resolver o

problema. Sempre achava uma desculpa, com a secreta esperança de que Alceu

esquecesse o assunto. Acabei perdendo a folha.

Um dia, quando Alceu veio falar novamente do problema, tive de lhe dizer que não o

tinha mais.

O desapontamento que apareceu no rosto do meu amigo mostrou que eu tinha

cometido uma indelicadeza muito maior do que imaginava.

E tinha mesmo. Pois, segundo Alceu, durante anos, seu amigo libanês tentava

resolver o problema e, finalmente encontrara a solução e só queria que um professor

a conferisse. Com que ansiedade o velho libanês deveria estar esperando para

saber se tinha encontrado a resposta certa.

Emocionado e constrangido, fiz um enorme esforço para me lembrar dos dados e

finalmente consegui.

Com a ajuda da Álgebra, a resolução não era difícil. Mas imagino como deve ter sido

trabalhoso para uma pessoa que não conhecia a teoria das equações, ter

encontrando a solução.

Quando levei o exercício resolvido a Alceu, ele tirou da carteira uma folha toda

amassada que o velho libanês tinha deixado com ele, onde continha a solução tão

insistentemente procurada pelo velho senhor. O velho libanês certamente ficaria

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muito feliz, pois, as respostas estavam corretas. No entanto, era tarde, pois, o velho

libanês havia morrido. Provavelmente, era por estar doente, que ele insistia em

saber se a resposta do problema que havia encontrado estava correta. Mas foi fácil

identificar que, o velho libanês antes de sua morte e mesmo com dúvidas, usou o

enunciado do problema para indicar como seus filhos deveriam dividir a herança que

ele deixara, pois, no testamento escreveu: deixo como herança moedas de ouro, as

quais devem ser repartidas igualmente entre meus filhos. Sendo que, meu filho mais

velho deverá receber 100 moedas mais 1/8 do resto; meu segundo filho receberá

200 moedas mais 1/8 do resto; meu terceiro filho ficará com 300 moedas mais 1/8

do resto e assim por diante até o meu filho mais novo, que receberá as moedas

restantes.

(Uma adaptação da história extraída do livro de Oscar Guelli, 2001, p.40).

ATIVIDADE

a) Quantas moedas de ouro o velho libanês deixou de herança para os filhos?

b) Quantas moedas recebeu cada filho?

c) Quantos filhos tinha o velho libanês?

d) Em relação ao texto e a atividade, o que você já sabia?

e) Em relação ao texto e a atividade, o que você aprendeu?

f) Em relação ao texto e a atividade, o que foi mais fácil e, o mais difícil?

6.3.5_História: QUEIMEM OS LIVROS DE MATEMÁTICA

Conteúdo estruturante: números e álgebra

Conteúdos específicos: Equações do primeiro grau

Objetivos

• Avaliar a habilidade do aluno em equacionar um problema, que depende de

mais de uma variável e de uma equação;

• Representar as situações usando símbolos algébricos, analisá-las e construir

estratégias de resolução;

• Relacionar o valor desconhecido com outros elementos, para determinar o

valor que faz a equação ser verdadeira;

• Analisar e refletir sobre o(s) processo(s) de resolução do problema;

• Identificar que determinado problema pode ter mais de uma solução.

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Expectativa

Que os alunos tentem resolver o problema usando cálculos aritméticos ou usando

uma única equação, sem notar a relação de dependência entre equações. Podem

até encontrar uma das respostas, mas, provavelmente alguns deles não irão analisar

as condições dadas no problema, tais como, pelo menos quatro são galos, e que a

quantidade de cada tipo de ave tem que ser inteira e não pode ser negativo.

Queimem os livros de matemática

Muitos e muitos séculos atrás reinava na China um imperador astuto e cruel. Shi

Huang-Ti, esse era seu nome. Ele queria a todo custo tornar-se conhecido como o

mais inteligente de todos os imperadores.

Para alcançar seu objetivo, teve uma ideia muito estranha: ordenou que todos os

livros de Matemáticas fossem queimados. Seu plano parecia brilhante: os sábios

com certeza escreveriam novos livros, e como os antigos haviam sido destruídos,

todos pensariam que a Matemática tinha sido inventada em seu reinado!

Mas nem tudo deu certo para a esperteza maldosa do imperador Ti. Os sábios do

reino não concordaram com a destruição das obras que tinham levado a vida toda

para escrever. E recusaram-se a entregar os livros.

Como castigo, o imperador Ti ordenou que eles fossem marcados a ferro e

encerrados nas prisões da Grande Muralha. Mesmo sofrendo pesados castigos, os

sábios se revoltaram. O imperador mandou então que fossem enterrados vivos.

Os livros foram todos queimados. Mas alguns sábios conseguiram escapar do

massacre e eles reescreveram de memória grande parte das obras destruídas.

A astúcia do imperador Ti não deu resultado. Queria ficar conhecido como o mais

sábio dos imperadores da China, mas entrou para a História como o mais cruel e

ignorante deles.

Graças à persistência e ao amor ao saber dos estudiosos chineses, a Matemática

daquele país pôde continuar a se desenvolver. Entre outras contribuições, os

matemáticos chineses nos deixaram um conjunto de problemas muito interessantes

e curiosos. Dentre eles está o problema do cento de aves, que despertou a atenção

de matemáticos de todo o mundo, isso, durante centenas de anos. O problema

surgiu quando um dos estudiosos chineses precisou saber quantos galos, quantas

galinhas e quantos frangos ele poderia comprar, já que ele tinha um comércio em

64

que vendia essas aves, mas, ele precisava comprar exatamente 100 aves, dentre as

quais, pelo menos quatro deveriam ser galos. Como resolver este problema,

sabendo-se que o chinês dispunha de somente 100 yuan e que um galo valia 5

yuan, uma galinha 3 yuan e três frangos valiam 1 yuan?

(Uma readaptação da história do livro de Oscar Guelli, 2001, p. 43).

ATIVIDADE

a) Quantas aves de cada tipo, o estudioso chinês pode comprar?

b) Em relação ao texto e a atividade, o que você já sabia?

c) Em relação ao texto e a atividade, o que você aprendeu?

d) Em relação ao texto e a atividade, o que foi mais fácil e, o mais difícil?

7. REFERÊNCIAS

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8. APÊNDICE

6.1 PRÉ-TESTE: respostas das questões

67

1a) 12x +2 1b) 20x + 12 1c) 6x + 12 2a) 2n + 20 2b) x – y 2c) 3n – 4n

2d) 11y 2e) x – y + 8 3) 6x² + 10x 4) 169 5a) 40 5b) 100

6a) x = 9 6b) a = 18 6c) y = 12 6d) b= 15 6e) 5 kg 7) Carlos

tem 13 anos e André 9 anos 8) Jorge tem 18 anos, Pedro tem 16 anos e Antony

tem 14 anos 9) 75000 10) 40 m²

6.2 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

6.2.1: Respostas

b) p c) 2p – 1 d) (2p – 1 )/3 + 2 e) largura = p/10 – 2 e altura= p/10 + 2

f)comprimento = 20p – 10, largura = 10p – 5, perímetro = 60p – 30 e área = 200p² -

200p + 50 g) largura = p/40 e profundidade = p/60 h) p/19 i) 200p² -108p + 4

6.2.2: Respostas

a) soja, pinhão-manso, vegetais (mamona, algodão e outros) e sebo bovino b) 100

c) 14 d) 14x e) 13x f) 4x + 4 g) k = 600h onde k = quilos e h = hectares

h) k = 2500h onde k = quilos e h = hectares i) 0,80x j) x/5 l) pinhão-manso, pois,

enquanto, a soja produz 600 kg de óleo em um hectare, ele produz 2,5 mil kg

6.2.3: Respostas

b) energia elétrica e energia térmica, sendo o ultima a mais poluente. c) q = 38 t d)

q= 55t e) ferro de passar roupa, pois, a cada minuto consome 55 litros, enquanto,

o micro-ondas consome 38 litros

6.2.4: Respostas

a) na primeira opção, total = 210000 e na segunda opção, total de 1048576,

portanto, segunda opção b) 10000x c) 2x-1 e 2x - 1 onde x = dias

6.2.5: Respostas

a) 5 vezes, nos anos de: 1958, 1962, 1970, 1994 e 2002 b) 100.000 f) 1.640.000

g) 2014 e 2142 h) ax – a + 1974 onde a = 4 e x = anos, então, 4x + 1970

6.2.6: Respostas

a) esquece-se dos perigos e das responsabilidades b) parto prematuro, anemia,

hipertensão, diabetes gestacional e outros c) 1.433.440,34 d) 45.732,89 e) n =

300x onde n = milhares de nascimentos e x = anos f) fundamental = 60% e médio

= 40% g) t = 0,6i onde t = termina e i = inicia h) t = 0,4i onde t = termina e i =

inicia

6.2.7: Respostas

68

c) êxodo rural, industrialização e abolição dos escravos d) 1270 e) 1420 f) y =

370 + 25x onde y = número de favelas e x = anos g) 2064

6.2.8: Respostas

c) m = 2,5n d) 24 e) c = 3q + 1 f.I) C = (F – 32)5/9 f.II) 37,7ºC f.III) estado

febril, pois, sua temperatura está entre 37,5ºC e 38º C g) y = 207 – 0,7. x h) x =

22 e y=18 total de 40

6.2.9: Respostas

a) Alice, Lino, Beto, Taís, Samuel e Dona Rosa b) expressões algébricas c)

cenoura, rabanete, tomate, pimentão, alface, couve couve-flor, repolho e outros

d.I) x² + 1 d.II) 256 d.III) x/2 d.IV) y² +4y + 5 e.I) perímetro = 4q + 12 e área

= q² + 6q + 9 e.II) perímetro = (x + 16)2/3 + 6y e área = xy + 2(x – y) – 4 e.III)

perímetro = 3x e área = (x² √3 )/4 e.IV) perímetro = (2 + √2) (y + 5) e área = y² +

10y + 25 e.V) perímetro = 2(√(x² + 1) + x – 3) e área = x² - 3x f) perímetro = 2x√2

e área = x²/2

6.3 EQUAÇÕES DO 1º GRAU

6.3.1: Respostas

b) Carolina, Ângelo, Rodrigo e Wang d) equação do primeiro grau e) c + 2c = 96

e solução = {32}, x + 75 = 500 e solução = {425}, p + p + 2p = 960 – 60 e solução =

{225}, n = 31 + 5n e solução = { - 31/4}

f) enigma: “o afeto ilumina o ser”. Desconsidere as letras k, w, y e use

... L M N ... ... - 1 0 1 ...

6.3.2: Respostas

a) 84

6.3.3: Respostas

a) 30 b) 4 kg c) 12 côvados

6.3.4: Respostas

a) 4900 b)700 c) 7

6.3.5: Respostas

a) x = galos e y = galinhas, então, se x = 4 e y = 18, então, z = 78, ou

se x = 8 e y = 11, então, y = 81 ou se x = 12 e y = 4, então, z = 84