os postulados da mecânica quântica 2.1 – a função de onda uma partícula quântica é descrita...
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Os Postulados da Mecânica Quântica
2.1 – A Função de Onda
Uma partícula quântica é descrita por uma função de onda (r,t), que:
• Contém toda a informação sobre a dinâmica da partícula
• É uma função complexa
• É unívoca, finita e contínua
• Tem derivadas unívocas, finitas e contínuas
Interpretação probabilística da função de onda Max Born 1926 (Nobel 1954)
Se, no instante t, é feita uma medida da localização da partícula associada à função de onda (x,t), então a probabilidade P (x,t)dx de que a partícula seja encontrada entre x e x+dx é igual a *(x,t) (x,t)dx.
-
*
*
1),(),( :aoNormalizac
),(),(),( :adeprobabilid de Densidade
txtx
txtxtxP
Note que P (x,t) é real e não-negativa, como toda probabilidade…
“Deus não joga dados
com o universo”
(Albert Einstein)
“Einstein, pare de dizer a
Deus o que fazer”
(Niels Bohr)
2.2 – A Equação de Schroedinger
(Schroedinger 1926, Nobel 1933)
t
txitxtxV
x
tx
m
),(
),(),(),(
2 2
22
V(x,t): energia potencial
2
2
2
2
2
22
22
:Laplaciano
;),(
),(),(),(2
:3D Em
zyx
t
tritrtrVtr
m
Exemplo: partícula livre (V=0)
)()(
222
2
2
22
2
2
22
2
22
2
22
2
22
),( :geral Solucao
2)( :Solucao
2
2
)( )(
1
2
1
)]()([)]()([
2
)()(),( : variaveisde Separacao
),(),(
2
tkxitkxi
ikx
tiiEt
BeAetx
m
kEk
dx
dex
mE
dx
dE
dx
d
m
EeetiE
dt
dE
dt
di
Edt
di
dx
d
m
t
txi
x
tx
m
txtxt
txi
x
tx
m
Relação de dispersão (k)
(eletrons)
2
2
m
k
(fotons)
ck
k
2.3 – Operadores Quânticos
A cada grandeza física corresponde um operador matemático, que opera na função de onda.
),(),(),(
livre? particula da onda de funcao na operamos quando acontece que O
:linear momentoOperador
)()( txptxkekex
itxp
px
ip
p
tkxitkxiop
op
op
op
Quando aplicamos um operador a e obtemos de volta a própria multiplicada por uma constante, diz-se que é uma autofunção do operador, com autovalor igual à constante obtida. Quando isso acontece, diz-se que a grandeza física
associada tem valor bem definido, com incerteza nula.
Assim, a da partícula livre é uma autofunção do operador momento, com autovalor ħk.
),(),(),(
livre? particula da onda de funcao na operamos quando acontece que O
: energiaOperador
)()( txEtxeet
itxE
Et
iE
E
tkxitkxiop
op
op
op
A da partícula livre também é uma autofunção do operador energia, com autovalor ħ.
2
22
222
: cinetica energiaOperador
xmmx
ix
i
m
ppT
T
opopop
op
Cxex
xx
tkxi
op
)(
:posicao da autofuncao uma e' nao livre particula da a que Note
posicaoOperador
Note que a equação de Schroedinger pode ser escrita em termos dos operadores:
op
opop
opopop
EH
HVT
EVTt
txitxtxV
x
tx
m
no)Hamiltonia(operador
),(),(),(
),(
2 2
22
2.4 – Valores Esperados
• Em geral, o resultado de uma medida de uma certa grandeza física tem uma natureza aleatória: não pode ser previsto com total certeza.
• Pergunta: qual o valor esperado ou valor mais provável (do ponto-de-vista estatístico) do resultado de uma medida?
dxtxQtxQ
tQ
op
op
),(),(
:por dado e' instante no medida da esperado valor O
.operador ao associada fisica grandeza certa uma Seja
*
2.5 – A Equação de Schroedinger independente do tempo
tempodo teindependener Schroeding de Equacao
)(2
)( )(
1)(
2
1
)]()([)()()(
)]()([
2
)()(),( : variaveisde separacao Novamente,
),(),()(
),(
2
)(),( : tempodo depende nao potencial o
quandoer Schroeding de equacao a Considere
2
22
2
22
2
22
2
22
ExVdx
d
m
EeetiE
dt
dE
dt
di
Edt
dixV
dx
d
m
t
txitxxV
x
tx
m
txtxt
txitxxV
x
tx
m
xVtxV
tiiEt
energia da
sautovalore osencontrar permite solucao Sua
sautovalore de Equacao
)(2
:noHamiltoniaoperador o se-Define
2
22
EH
xVdx
d
mVTH opop
Exemplos de aplicação da Equação da Schroedinger em 1D
3.1 – Partícula livre (revisão)
m
kE
BeAex
Edx
d
m
xV
ikxikx
2 :Energias
)( :Solucoes
2 :erSchroeding Eq.
0)( Potencial
22
2
22
2
22
m
kE
k
E
Qualquer energia positiva é permitida
(energia varia de forma contínua)
V
x0 L
0ou ,
0 ,0)(
:Potencial
xLx
LxxV
3.2 – Poço de potencial infinitoR
egiã
o
pro
ibid
a Regiã
o
pro
ibid
a
m
kEBeAex
Edx
d
m
xVLx
x
xLx
ikxikx
2 ;)( :Solucao
livre) particula a (como 2
:erSchroeding Eq.
:0)( temos,0 Em
0)(
:proibida) (regiao 0ou Em
22
2
22
xkAxmL
n
m
kE
L
nk
nnkLkLALLx
kxAeeAx
BABAx
L
Lxx
nnn
nnn
ikxikx
sen)( :onda de Funcoes
)quantizada (energia 22
...)3,2,1(0sen)( : Em
..)constante. uma de menos (a sen)(
0)0( :0 Em
0)()0(
:CONTORNO DE CONDICAO
e 0 em continuaser deve onda de Funcao
2
22222
n : número quântico
V
x0 L
Regiã
o
pro
ibid
a Regiã
o
pro
ibid
a
E1
E2
E3
0 L 0 L
0 L 0 L
n = 1 n = 2
n = 3 n = 4
(x)
Comentários de validade geral:
• Partículas que estão confinadas a uma região do espaço têm um espectro discreto de energias, ou seja, têm energias quantizadas
• Matematicamente, isto decorre das condições de contorno impostas nas extremidades (como numa corda vibrante)
• Quanto maior o número de zeros (nós) da função de onda, maior a energia do estado
Exemplo em nanotecnologia: Poços
quânticos semicondutores
Efeito túnel: Atravessando barreiras
P < 100 %100% - P
P = 100 %Barreira
3.3 – Potencial degrau, barreira de potencial e efeito túnel
V
x0
V0
E < V0E
1 2
EVm
DeCex
EVEVm
dx
d
EVdx
d
m
xx
0
2
020
2
2
02
22
2 onde
,)( :Solucao
0 ,2
2
:erSchroeding Eq.- 2 Regiao
mE
km
kE
BeAex ikxikx
2
2
refletida) (incidente )(
:livreeletron - 1 Regiao
22
1
Potencial degrau
Encontrar B, C e D em termos de A
)1(
:0 em continuaser Deve
0
:divergir pode nao onda de Funcao
0,)(
0,)(
2
1
DBA
x
C
xDeCex
xBeAexxx
ikxikx
Aik
ikDDA
ik
ikA
Aik
ikBBABAik
DikBikA
dx
d
dx
d
x
xx
2
)()(
:obtemos (2), e (1) Combinando
)2(
:0 em continuas derivadas ter Deve
0
2
0
1
Barreira de potencial e Efeito TúnelV
x0
V0 (x)
xe
Existe uma probabilidade de
encontrar o elétron na região classicamente
proibida
V
x0
(x)
a
incidente
refletido
transmitido
Se a barreira for suficientemente
pequena (largura a) o elétron poderá ser
transmitido (tunelar) com uma certa
probabilidade: EFEITO TÚNEL
atrans eaP 22
2 )( Simulações: http://www.neti.no/java/sgi_java/WaveSim.html
“Efeito túnel” em ondas clássicas: Ondas evanescentes
Reflexão interna total
Acoplamento entre guias de onda
http://wwwhome.math.utwente.nl/~hammerm/Metric/Illust/parcoreM.html
Aplicação em nanotecnologia: STM(scanning tunneling microscope)
Visualização e manipulação de átomos
Heinrich Rohrer (à esquerda) e Gerd K. Binnig (direita), cientistas do IBM's Zurich Research Laboratory, na Suíça, receberam
o Prêmio Nobel de Física de 1986 por seu trabalhono desenvolvimento do microscópio de varredura por tunelamento.
STMVisualizando átomos
Superfície de Silício(Naval Research Lab, Wash DC, USA)
Superfície de Níquel(IBM Research Labs, California)
Referências:• “Materiais e Dispositivos Eletrônicos”, Sergio M.
Rezende, Editora Livraria da Física – Seções 2.3, 2.4, 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4.
• “Física Quântica”, Eisberg e Resnick, Editora Campus - Seções 2.2, 2.3, 2.5, 2.4, Cap. 3, 5.1 a 5.5, 6.1, 6.2, 6.3, 6.5, 6.8 e 6.9
• “Lectures on Physics”, Feynman, Vol. 1, Cap. 37 (interferência com fenda dupla)
Problemas:
Rezende 2.8, 2.9, 2.12, 2.13, 3.2, 3.6, 3.7. 3.9, 3.10 Reproduza os cálculos realizados nesta aula.
Apresentação de Rodrigo Capaz