Oscar J. Navarro Casillaspresentación

Prof. Cesar Octavio Martínez Padilla

Ecuaciones diferenciales:

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial .

La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:

Orden:

Al polinomio en el que los grados de sus términos van creciendo, se le llama POLINOMIO ORDENADO EN SENTIDO CRECIENTE

Ejemplo: 2 + 3x2 - 5x4 Al polinomio en el que los grados de sus términos van decreciendo,

se le llama POLINOMIO ORDENADO EN SENTIDO DECRECIENTE Ejemplo: - 5x4 + 3x2 + 2 Al polinomio que contiene todos los términos desde el grado 0 al

grado "n" inclusive, se le llama POLINOMIO COMPLETO DE GRADO n Ejemplo: 3 + 2x + 5x2 - 3x3 Al polinomio desprovisto de términos semejantes y de coeficientes

nulos se le llama POLINOMIO REDUCIDO Ejemplo: 2x2 + 3x3+ Es un polinomio reducido Ejemplo: 3x2 - 2x3 + 5x2 +  No es un polinomio reducido. Su

forma reducida sería: 8x2 - 2x3

A que se le llama grado:

Al mayor exponente de la indeterminada con coeficiente distinto de 0 se le llama: GRADO DE UN POLINOMIO DISTINTO DEL POLINOMIO 0.

Ejemplo: P(x) = x - 5x2 + 7x3 - 3x4

El grado de este polinomio es CUATRO. Ejemplo: P(x) = 0 + 0x + 0x2 + 0x3 + ...... ¿Cuál

es su grado? NO TIENE GRADO Ejemplo: P(x) = 6       ¿Cuál es su grado? POLINOMIO DE GRADO CERO ya que P(x) = 6x0

Clasificación de grado y tipos de orden:

Grado: se clasifica en varias partes primer, segundo, tercer grado, etc...

Lineales: las variables depensientes (Y) y todas sus derivadas son de primer orden

No lineales: son aquellas que no cumplen con las lineales

Solución

Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las aplicaciones, ya que muchas leyes y relaciones físicas pueden idealizarse matemáticamente en la forma de estas ecuaciones. En particular, el estudio de problemas de equilibrio de sistemas continuos se encuentran dentro de este contexto.

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL. Dada una ecuación diferencial ordinaria de orden n y

cualquier grado, cuya forma general es: (1) Se establece en matemáticas que en su solución

general deben aparecer n constantes arbitrarias. Entonces, puede aceptarse que la solución general de (1) es:

G(X, Y, C1, C 2, ... , C n) = 0 (2)

Solución general

En realidad, es de variables separables, no separadas. Lo primero, es separar las variables.y' = dy/dx

Por tanto la ecuación: xdy/dx = (2x+1)(y+1)

Ahora separas variables, las y a un lado y las x al otro:dy / (y+1) = [(2x+1) / x ] dxO de una forma más sencilla:dy / (y+1) = [2+ (1/x)] dx

Ahora se integra cada expresión y queda:

ln(y+1) = 2x + ln(x) + K

siendo K la constante de integración.

Solución particular

u = x0 Ecuaciones en las que no aparece la variable dependiente: u como funcion de t.

u = x0 ) x00 = u0, x00 = f (t, x0) ) u0 = f (t, u)Se resuelve u0 = f (t, u) y se obtiene u = u(t).

Luego sedeshace el cambio:x0(t) = u(t) ) x(t) =Zu(t) dt.2tx00 − x0 +1x0 = 0 (t 6= 0) ) 2tu0 − u

+1u= 03

Trayectorias ortogonales

Es una expresión de la forma F(x;y;K) = 0

en la que K es un parámetro arbitrario. Ejemplo x2+2kx +y2 = 0Una trayectoria ortogonal de una familia

de curvas es una curva que cruza con cada una de las curvas de la familia de forma ortogonal. En un campo electrostático, las líneas de fuerza son ortogonales a las líneas de potencial constante.

Campos direccionales

En la ecuación diferencial Dx F(x, y) = dy el valor de F(x, y) para cada pareja ordenada (x, y) del plano, representa la pendiente de la curva solución que pasa por ese punto. Si a cada punto del plano le asociamos un pequeño segmento de recta con pendiente F(x,y) se obtiene lo que se llama campo direccional, éstos segmentos permiten visualizar en forma general las curvas solución.

Referencias bibliográficas

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/ecuacionesdiferenciales/edo-geo/edo-cap1-geo/node3.html

http://www.aulamatematica.com/ESO3/03_Polin/3ESO_index03.htm

http://www.mitecnologico.com/Main/SolucionGeneralEcuacionesDiferencialesLinealesHomogeneas

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Cramer_d3/inicio.htm