oscilações forçadas amortecidas
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Oscilações forçadase amortecidas
http://dfn.if.usp.br/~rliguori/FEP2196
Oscilações forçadas e amortecidas
A força de resistência viscosa Fa é proporciocinal à velocidade, Fa=-ρρρρx, e a força externa periódica é dada por Fext=F0cos(ΩΩΩΩt)
.
Considere um sistema massa-mola imerso em um fluido viscoso e sujeito à uma força externa periódica.
- ρρρρx
m
0 x
-kxk
Fext
- ρρρρx
m
0 x
-kxk
m
0 x
-kxk
Fext
A equação de movimento será escrita como
externa.freqüênciaéedecaimentodeconstanteaéoscilação,denaturalde
freqüênciaaémkondet),cos(
m
Fxxx
daít)cos(Fkxxxm
sejaout)cos(FkxxFFaFxm
002
0
0
0ext
ΩΩΩΩγγγγ
ωωωωΩΩΩΩωωωωγγγγ
ΩΩΩΩρρρρΩΩΩΩρρρρ
==++
=+++−−=++=
&&&
&&&
&&&
Equação do oscilador forçado e amortecido
x+γx+ω0x= cos(Ωt)... 2 F0
m
Equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
x+γx+ω0x= cos(Ωt)... 2 F0
mSolução Geral
x(t)=xh(t)+xp(t)
Solução da homegênea Solução particular
A solução da homegênea já foi discutida. Por exemplose γγγγ
2<ωωωω0 (caso sub-crítico):
))))ωωωωγγγγ
φ+= −tcos(Bex(t)
t2
iniciaiscondiçõesdas
partiradefinidasconstanteseB42
20
φφφφγγγγωωωωωωωω ;−=
Solução Particular
t)exp(im
Fzzz complexa equação a Tomemos 02
0ΩΩΩΩωωωωγγγγ =++⇒ &&&
(note que a parte real da equação acima reproduz a equação do oscilador forçado)
Tentemos uma solução do tipo z(t)=z0exp(iΩΩΩΩt)
t)exp(im
Ft)exp(izi( 0
020
2 ΩΩΩΩΩΩΩΩωωωωγΩγΩγΩγΩΩΩΩΩ =++− )
A equação acima só é satisfeita para todo t se:
+−=
γΩγΩγΩγΩΩΩΩΩωωωω i
1m
Fz
220
00
z0 é complexo ; multiplicandoe dividindo pelo complexo conjugado.
+−
−=
=−
−×
+−=
−
−
−
222220
2200
220
220
220
00
i
m
F
i
i
i
1m
Fz
ΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωω
γΩγΩγΩγΩΩΩΩΩωωωω
γΩγΩγΩγΩΩΩΩΩωωωω
γΩγΩγΩγΩΩΩΩΩωωωω
γΩγΩγΩγΩΩΩΩΩωωωω
Número complexo do tipo a+bi, onde:
+−−=
+−
−=
222220
0
222220
2200
m
Fbe
m
Fa
ΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωω
γΩγΩγΩγΩ
ΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωω
ΩΩΩΩωωωω
Em coordenadas polaresa+bi=A(cosϕϕϕϕ+isenϕϕϕϕ)=Aexp(iϕϕϕϕ) ))))
Aϕϕϕϕ
b
a
2202
1
222220
0
22
arctane1m
FA(
abtanebaA
ΩΩΩΩωωωωγΩγΩγΩγΩ
ΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωω
Ω)Ω)Ω)Ω)
ϕϕϕϕ
))))ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(−
−=
+−
=
−=+=
Ω
z(t)=A(ΩΩΩΩ)expi[ΩΩΩΩt+ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)]=>xp(t)=Re[z(t)]
xp(t)=A(ΩΩΩΩ)cos[ΩΩΩΩt+ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)]
a+bi=A(cosϕϕϕϕ+isenϕϕϕϕ)=Aexp(iϕϕϕϕ)
Equação de um oscilador harmônico de freqüência ΩΩΩΩamplitude A(ΩΩΩΩ) e fase inicial ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)
Ressonância de Amplitude
A amplitude A(ΩΩΩΩ) da solução estacionária é máxima
2 02
222e0dd
mínimofor quando máxima éA(
220
AR
2220
2220
222
220
222
220
γγγγωωωωΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωω
0000ΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩΩΩΩΩωωωωΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωωΩΩΩΩ
ΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωω Ω)Ω)Ω)Ω)
−=⇒=+−
=+×−⇒=+−
+−
Efeito da ressonância
−≈−+=−
<<−
<<→
ΩΩΩΩωωωωωωωωΩΩΩΩωωωωΩΩΩΩωωωωΩΩΩΩωωωω
ωωωω ωωωωΩΩΩΩ
ωωωωγγγγ
000022
0
00
0
2
aressonânci da Próximo
fraco ntoAmortecime
−−≅
−−
+−≅
+−≅
≅ΩΩΩΩΩωωωω2222
γγγγΩΩΩΩωωωω2ω2ω2ω2ω
γωγωγωγω
γγγγΩΩΩΩωωωωωωωωωωωωγγγγΩΩΩΩωωωωωωωω
Ω)Ω)Ω)Ω)
))))ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(000
0
22
00
0
20
22
020
0
arctanarctan
4
12m
F
4
1m
FA(
γγγγ2
<ωωωω0Exemplo: solução da homogênea para
Solução Geral
x(t)=xh(t)+xp(t)
Be cos(ωωωω0t+φφφφ)+A(ΩΩΩΩ)cos[ΩΩΩΩt+ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)]2γγγγ
- tx(t)=
transiente estacionária
m =1,0 kg, =0000ωωωω 5,0 s-1,
γ γ γ γ = 0,50 s-1, B =2,0 m , φ = -0.05 rad, F0 = 10 N
Ω Ω Ω Ω = 5,0 s-1.
Simulação
kx)x(mxdtdE(t)kx
21(t)xm
21E(t) 22 +=⇒+= &&&&
F(t)xmkxxm +γ−=+ &&&
(t)Pxm(t)xF(t)xmdtdE 22 +−=×+−= &&& γγγγγγγγ
Balanço Energético
O segundo membro desta equação representa o balançoentre a potência dissipada pela força de resistência viscosa e a potência fornecida pela força externa.
Regime estacionário
x(t)= A(ΩΩΩΩ)cos[ΩΩΩΩt+ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)]
x(t)=-ΩΩΩΩA(ΩΩΩΩ)sen[ΩΩΩΩt+ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)].
x(t)=-ΩΩΩΩ2A(ΩΩΩΩ)cos[ΩΩΩΩt+ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)]=>x=-ΩΩΩΩ2x.. ..
20
2 mk e x-x Mas F(t).xmkxxm ωωωω=Ω=+γ−=+ &&&&&
tsen(AtAcos(t)Acos(-mdtdE 22
0ϕ)]ϕ)]ϕ)]ϕ)]ϕ)[ϕ)[ϕ)[ϕ)[ϕ)ϕ)ϕ)ϕ)(ω(ω(ω(ω +ΩΩ−+Ω+ΩΩ−=
tsen[2(A21)Am
dtdE 2
022 ϕ)]ϕ)]ϕ)]ϕ)]ωωωω(((( +ΩΩΩΩ= −
x)x-mdtdE 22
0&Ω−= (ω(ω(ω(ω
Tomando a média sobre um período
0tsen[2(A21)Am
dtdE 2
022 =+ΩΩΩΩ= − ϕ)]ϕ)]ϕ)]ϕ)]ωωωω((((
No regime estacionário, em média, a energia se conserva
xm(t)P0(t)PxmdtdE 22 && γγγγγγγγ =⇒=+−=
No regime estacionário a potência média fornecida pelaforça externa é igual a potência média dissipada pelapela força de atrito.
t(senAm xm(t)P 2222 ϕ)ϕ)ϕ)ϕ)γγγγγγγγ +ΩΩ== &
])2m[(F
Am21P
222220
22022
ΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωωΩΩΩΩγγγγ
γΩγΩγΩγΩ+−
==
12
])11
2m
FP Definindo
20
2220
20
0ωωωωγγγγ
αααα(α(α(α(αωωωω
γγγγ
ωωωωΩΩΩΩαααα
+−
=⇒=
010)1
rdenominado do mínimoP de máximoValor
ωωωωαααααααα
(α(α(α(α =Ω⇒=⇒=−
⇒
0PR
Potência de aRessonânci ωωωωΩΩΩΩ =⇒
2 Amplitude de aRessonânci
220
AR
γγγγωωωωΩΩΩΩ −=⇒
PR
AR
)0
( fraco ntoamortecime o Para ΩΩΩΩΩΩΩΩωωωωγγγγ ≅⇒<<
Oscilações acopladas
M
m
d
k
Se M>>m => oscilações forçadas.O pêndulo menor oscila com a freqüência do pêndulo pesado.
Pêndulos idênticos
mm
k
ll
d
)
)
θθθθ1
θθθθ2
1 2
x1 x2
As equações que descrevem o sistema são as seguintes:
mkxxxx
lgxxxx
2112
212
202
2012
211
201
=
=
−−=
−=
+
+
ωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωωωωωω
)(
)(
&&
&& Sistema de equações diferenciais
acopladas
Solução do sistema de equações
21
2022
e 1
,2
,1
2221012
2221011
2esarbitráriaconstantessãoAA
)tcos(A)tcos(A(t)x
)tcos(A)tcos(A(t)x
ωωωωωωωωωωωωϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕωωωωϕϕϕϕωωωωϕϕϕϕωωωωϕϕϕϕωωωω
+=
+−+=+++=
Modos Normais
x1 x2
Modo simétrico
x1 x2
Modo assimétrico
x1=x2
mola relaxada
lg
0=ωωωω
x1=-x2
mola distendida
mk2
lg
0+=ωωωω
Caso ParticularPêndulos partindo do repouso com um deles partindo
da posição de equilíbriox1(0)=A ;x2(0)=0 e x1(0)=x2(0)=0
..
21
202202
201
2 ; t)]cos(t)[cos(2A(t)x
t)]cos(t)[cos(2A(t)x
ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωω
+=−=
+=
t)]t)sen(2
Asen((t) x
t)]t)cos(2
Acos((t) x
)(e)(21 Definindo
2
1
0202
ωωωωωωωω
ωωωωωωωω
ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω
∆=
∆=
=∆= −+
Simulação
t
t
x1
x2
A
-A
Batimento (∆ω∆ω∆ω∆ω<<ωωωω)
Outro exemplo de oscilador acoplado
Modo simétricox1=x2 m
k0
=ωωωω
Modo assimétricox1=-x2 m
k30
=ωωωω
Oscilações longitudinaisModos normais
Molas relaxadas
Oscilações transversais – 3 molas igualmente esticadas
T0 magnitude da força restauradora => T0=k(a-d)
Modos normais
Modo simétricoma
T0
0=ωωωω
Modo assimétricoma
3T0
0=ωωωω
Modos transversais de 4 partículas