oscilatii 2015-2016

Eugen Scarlat, Fizică – Oscilații Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria și Managementul Afacerilor

2015-2016

1

Oscilații

Obiectivul acestui capitol este acela de a prezenta câteva principii ale transmiterii și prelucrării

informației.

Importanța oscilațiilor armonice rezidă în faptul că toate semnalele fizice se pot exprima ca

suma unor mărimi oscilatorii armonice. Eșantionarea și descompunerea în serie de termeni

armonici este utilizată în toate tipurile de analiză, prelucrare și sinteză numerică, iar

modulația este esențială în tehnologia comunicațiilor.

Cuprins

I. Mărimi oscilatorii

Definiție

Mărimi caracteristice

Cauzele oscilațiilor

Energia oscilatorului armonic

II. Spectrul oscilațiilor

Descompunerea în serie de componente armonice

Spectrul audibil și spectrul vizibil

III. Oscilații amortizate

IV. Compunerea oscilațiilor

Compunerea oscilațiilor cu aceeași pulsație

Oscilații modulate

Eșantionarea


2015-2016

2

I. Mărimi oscilatorii

Definiție

O variație periodică1 în timp a valorilor unei mărimi

fizice, de-o parte și de alta a unei valori fixe, se cheamă

oscilație.

Mărimea fizică oscilantă poate fi o coordonată spațială

(în acest caz este vorba de o mișcare oscilatorie în sens propriu, iar valoarea fixă se mai numește

poziție de echilibru), o tensiune electrică (tensiunea alternativă de la rețeaua publică de 220V),

iluminarea diurnă în succesiunea zi-noapte, o temperatură sezonieră iarnă-vară, un indicator

macroeconomic trimestrial (de ex. produs intern brut etc.).

Mărimi caracteristice

Intervalul temporal T după care mărimea fizică ce

oscilează își repetă valorile se numește perioada

oscilației:

)()( Ttxtx , [T]SI=secundă, simbol s.

Frecvența este numărul de oscilații pe secundă:

[ f ]SI=s1

sau Hertz (Hz).

Relația dintre frecvența și perioada oscilațiilor este:

1Tf .

Pulsația oscilației este legată, până la un factor multiplicativ 2 , de frecvență (sau viteza

unghiulară):

f 2ω , []SI=rad/s

Oscilații armonice

Mărimea periodică poate varia în timp în diverse feluri.

Dacă dependența de timp este de formă sinusoidală, atunci oscilația este armonică2.

Ecuația unei mișcări oscilatorii armonice, unidimensionale, pe direcția x, cu frecvența f este

xftxtx 00 2πsin)( , (OSC)

unde se pot evidenția alte mărimi caracteristice, anume amplitudinea și faza oscilației:

i/ valoarea pozitivă x0 este amplitudinea oscilației, [x]SI=m,

iar

ii/ (t)=2 f t +0x este faza oscilației, ((0)=0x se numește faza inițială); []SI=rad.

1 În aceasta prezentare ne limităm la oscilațiile periodice; pentru cele aperiodice, cvasi-periodice etc. se poate

consulta http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html 2 Funcțiile sinus și cosinus se mai numesc funcții armonice.

Fig.1

Fig.2 Oscilații periodice

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html


2015-2016

3

Viteza de variație a mărimii oscilatorii armonice (OSC) este viteza de variație a coordonatei x,

deci este chiar viteza de mișcare a obiectului pe direcția x, care se obține prin derivarea la timp a

ecuației de mișcare (OSC):

t

xtvx

d

d)( xx ftxftv 00 2πcos2)( , [vx]SI=m/s. (VOSC)

Observație

Expresia xftxtx 00 2πcos)( este la fel de bună, fiind echivalentă cu xftxtx 00 2πsin)( , în

virtutea identităților

xft 02πcos

x

xft

0

02

2πsin xft 02πcos ,

unde legătura dintre fazele inițiale este 2

00

xx .

Exemple de reprezentări grafice de mărimi oscilatorii (mărimea oscilatorie este notată x, poate să

nu fie neapărat o elongație) sunt ilustrate în fig.3. Expresiile matematice ale oscilațiilor din fig.3

sunt:

0π2sin)( 0 ftxtx , respectiv )0π2sin(sgn)( 0 ftxtx .

Interpretarea mărimii fizice pulsație.

Frecvența este legată, până la un factor

multiplicativ 2 , de pulsația oscilației

(sau viteza unghiulară):

f 2ω , []SI=rad/s

Noțiunea de viteză unghiulară își are

originea în analogia cu mișcarea

circulară (v. fig.4), unde o mișcare

circulară poate fi proiectată pe cele două

axe carteziene x și y în două mișcări

oscilatorii unidimensionale.

Fig.4

Oscilații armonice 0π2sin)( 0 ftxtx Oscilații nearmonice )0π2sin(sgn)( 0 ftxtx

Fig.3


2015-2016

4

Teme

1. Care este perioada oscilațiilor ceasului primar al unui calculator care are frecvența de 3,6GHz?

2. Arătați că, în cazul oscilațiilor armonice, o perioadă temporală T corespunde unei diferențe de

fază 2. Cărui interval de timp îi corespunde o diferență de fază = ?

3. Expresia analitică a tensiunii electrice de la rețeaua casnică este 0314sin311)( ttu (V).

Identificați: i/ valoarea cea mai mare, respectiv cea mai mică a tensiunii electrice dintre cele

două borne ale unei prize, și ii/ de câte ori pe secundă se atinge fiecare din aceste valori

(maximă, respectiv minimă)?

Cauzele oscilațiilor

Mișcările oscilatorii iau naștere în câmpuri unde interacțiunile sunt proporționale cu deplasarea

față de un punct numit punct (centru) de echilibru, unde forțele câmpului sunt nule:

Felastic(t) ~ kel x(t) .

Se va exemplifica pe cazul mișcării oscilatorii armonice, care ia naștere în medii elastice, în urma

deplasării obiectului față de centrul de echilibru.

În cazul unui corp de masă m, atașat unui resort, care se

poate mișca orizontal, fără frecare, forța câmpului

elastic este direct proporțională cu alungirea resortului

și orientată în sens invers alungirii resortului:

)()( elelastic txktF ,

unde constanta de proporționalitate kel este constanta elastică a resortului. Pe de altă parte,

conform principiului fundamental al dinamicii newtoniene, această forță va modifica impulsul

obiectului:

t

ptF

d

delastic ,

de unde, succesiv

2

2

elasticelasticelasticelasticd

d

d

d

d

d

d

d

d

)d(

t

xmtF

t

x

tmtF

t

vmtF

t

mvtF

.

În consecință, forțele care guvernează mișcarea se pot exprima în funcție de funcția necunoscută

x(t), iar relația care se obține este ecuația diferențială a mișcării oscilatorii:

0d

del2

2

xkt

xm . (EDO)

Rezolvarea acesteia conduce la aflarea ecuației de mișcare3, unde trebuie determinată funcția

necunoscută x(t), dacă sunt date condițiile inițiale:

3 A se vedea Cap.„Ecuatiile de mișcare” din fascicula Mecanică.

Fig.5


2015-2016

5

Ax )0( și 0

0d

dv

t

x

t

.

Fără a demonstra cum se rezolvă ecuația diferențială precedentă, se poate verifica faptul că

xtxtx 00 sin)(

este soluție a ecuației diferențiale (EDO), unde pulsația depinde de constanta mediului elastic și

de masa obiectului care oscilează, conform relației m

kel .

Amplitudinea A și faza inițială x0 se determină din condițiile inițiale:

0)0()0(

vvAx

000

00

0cos0sin

vxAx

x

x

de unde, după câteva operații matematice, se obține

0

0

0

0

2

02

0

arctansautanv

A

v

A

vAx

xx

Exemplu

Fiecare arc elicoidal dintre cele patru care se găsesc la fiecare roată de la un automobil cu masa

m=800kg are constanta elastică kel=50kN/m2. Care este frecvența oscilațiilor verticale ale

automobilului?

Automobilul este susținut de cele patru arcuri care sunt echivalente cu un singur arc, de patru ori

mai „tare”, adică are constanta elastică 4kel=50kN/m2 (la fel de bine se poate considera că fiecare

arc susține un sfert din masa automobilului). Frecvența de oscilație este m

kf el4

2

1

800

1054

14,32

1 4

f f=2,52Hz, adică aproximativ două oscilații și jumătate pe secundă.

În realitate, aceste oscilații nu sunt simțite de pasageri, deoarece sunt puternic și rapid atenuate de

dispozitivele amortizoare ale automobilului.

Temă

Verificați faptul că expresia xtxtx 00 sin)( satisface ecuația diferențială (EDO).

În concluzie, orice mărime, notată generic cu u, care respectă o ecuație diferențială de forma

0)(d

d 2

2

2

tut

u (tip EDO), va avea o variație oscilatorie armonică: 00 sin)( tutu .


2015-2016

6

Ecuațiile diferențiale de tip (EDO) sunt caracteristice mediilor care au proprietatea că se opun

variației mărimii u după o lege liniară Fu ~ ku, unde Fu este mărimea fizică ce caracterizează

interacțiunea de revenire a mărimii u.

Energia oscilatorului armonic

Energia oscilatorului armonic izolat

Prin oscilator armonic izolat se înțelege ansamblul „obiect oscilator”-„câmp elastic” izolat de

alte interacțiuni. Un astfel de ansamblu poate fi cel mecanic, cu care suntem familiarizați, al unui

obiect pus în miscare de un resort elastic, sau poate fi un oscilator mai abstract, în interacțiune cu

mediul, unde interacțiunea poate fi modelată de o relație similară celei a unui „câmp elastic”.

Spre exemplu, în cazul oscilației tensiunii electrice de la rețeaua casnică de 220V, obiectele

oscilante sunt electroni, iar câmpul de tip elastic este câmpul electric, cu care electronii

interacționează prin forțe electrice.

În cele ce urmează, deși rezultatele sunt valabile pentru orice fel de oscilatori, referirea se va face

la oscilatorul mecanic.

Energia oscilatorului armonic este compusă din energie cinetică și energie potențială:

PC EEE . Energia potențială este energia de interacție în câmpul elastic și indică „potențialul”

ansamblului oscilator-câmp de a schimba lucru mecanic. Variația energiei potențiale este egală

cu lucrul forței câmpului, cu semn schimbat (se va considera că energia potențială este nulă în

poziția de echilibru):

x

xxFx

0

elasticP d)(0)(E , sau

x

xxkx

0

elP d)(E .

Punând în evidență timpul, rezultatul pentru energia potențială este:

2

elP )(2

1)( txkt E .

Pentru oscilatorul armonic izolat, făra forțe exterioare, este ușor de arătat că, înlocuind în

expresia energiei potențiale soluția armonică xtxtx 00 sin)( , se obține

xtxkt 022

0elP sin2

1)( E . (EP)

Dacă obiectul este adus, de o forță exterioară, până în

punctul x0, după care forța exterioară dispare, obiectul

începe să oscileze, energia cinetică fiind 2

C2

1)( mvv E ,

de asemenea dependentă de timp:

2C )(2

1)( tvmt E .

Înlocuind viteza v=dx/dt (VOSC) în expresia energiei cinetice, rezultă expresia

Fig.6


2015-2016

7

xtxkt 022

0elC cos2

1)( E . (EC)

Energia totală nu mai depinde de timp, fiind constantă

2

0el2

1xkE .

Se spune că energia se conservă, sistemul oscilant obiect-câmp având energia staționară. Soluția

armonică xftxtx 00 2sin)( caracterizează o stare energetică a sistemului obiect-câmp

elastic 2

0el2

1xkE , stare care se păstrează indefinit, atâta timp cât acesta este izolat.

În general, pentru o mărime care oscilează armonic xftutu 00 2sin)( , energia totală este

proporțională cu pătratul amplitudinii oscilației

E ~ u02. (E)

În medie, energia oscilatorului armonic este repartizată în mod egal între energia cinetică și cea

potențială, medierea făcându-se pe o perioadă (T)=2 și fiind simbolizată prin parantezele

ascuțite „< >”:

2

0el

2

0

22

0elP4

1d)(sin

2

1xktxk

E ; 2

0el

2

0

22

0elC4

1d)(cos

2

1xktxk

E ,

adică

EEE2

1CP .

Evident, valoarea medie este, și ea, proporțională cu pătratul amplitudinii, dar factorul de

proporționalitate este altul.

Măsurarea mărimilor oscilatorii: valori efective

Toți senzorii și toate aparatele de măsură funcționează pe baza preluării unei fracțiuni din

energia oscilatorului. Timpanul urechii preia o parte din energia de oscilație a moleculelor

gazelor care compun aerul, o fotodiodă preia o parte a energiei oscilației câmpului electric

incident pe joncțiune etc. Urechea transformă în senzație auditivă vibrația de 100Hz, dar nu

detectează niciodată 100 de schimbări ale intensității sunetului într-o secundă, motivul fiind

acela că urechea percepe doar valoarea medie a energiei mărimii oscilatorii. La fel, nici

ochiul uman (și niciun aparat de măsură) nu percepe cele 51014

oscilații pe secundă ale

câmpului electromagnetic care ne impresionează retina sub forma senzatiei de „culoare

galbena”.

Detectoarele sunt caracterizate de un timp caracteristic, în care energia recepționată este

mediată pe durata timpului caracteristic c, astfel că indicația este proporțională cu valoarea

medie a pătratului mărimii oscilatorii, care se mai numește valoare efectivă:

Indicație detector ~

c

0

2

c

d)(1

ttu .


2015-2016

8

De obicei perioada oscilației este mult mai mică decât timpul caracteristic T<<c, astfel că

medierea pe o perioadă dă același rezultat ca medierea peste timpul caracteristic

Indicație detector ~

c

0

2

c

d)(1

ttu =

T

ttuT

0

2 d)(1

.

În concluzie, mărimile măsurate sunt valori pătratice medii (valori efective) ale mărimilor

oscilatorii. Acest lucru se poate înțelege mai bine în cazul mărimilor oscilatorii nearmonice,

unde, de obicei, amplitudinile de oscilație depind de timp.

Analogie econo-fizică

Pentru a prelua o fracțiune din energia oscilatorului și a efectua, astfel, măsuratoarea, aparatul de

măsura interacționează cu ansamblul oscilant, modificându-i starea. Aparatul de măsură trebuie

să fie astfel proiectat încât perturbația să fie minimă. Același lucru se întâmplă și în fenomenele

economice. Pentru a “măsura” valoarea unui bun, produs de o întreprindere, singura cale este

aceea de a-l tranzacționa pe piață, adică sistemul economic „întreprindere” trebuie să

interacționeze cu mediul economic înconjurător, prin intermediul pieței.

Orice altă evaluare a bunului, în afara valorii de piață, este arbitrară. Un produs care costă pe

producător 10 se poate găsi, pe piață, în situații dintre cele mai diverse. Spre exemplu, există

posibilitatea ca acesta să poată fi vândut cu 12 lei (cu un profit brut de 2 lei), dacă producătorul a

anticipat corect nevoile de piață. Dacă însă este un produs de sezon, iar sezonul a trecut, acesta

se poate vinde, dar sub prețul de cost (de ex. să se vândă la prețul de 5 lei); mai mult, dacă nu

mai există deloc cerere, produsul nu se mai vinde deloc. Așadar, valoarea reală a bunului este

valoarea de piață, dată de utilitatea acestuia la un moment dat.

Informația referitoare la prețul vânzării influențează compania producatoare. În cazul vânzării

sub prețul de cost, fie trebuie să ia măsuri de reducere a prețului de cost, fie chiar să scoată bunul

respectiv din fabricație.

Există numeroase deosebiri între modelul economic și cel fizic. Modelul fizic este un caz limită,

care ține cont numai de elementele cele mai relevante. În realitatea economică, există numeroși

alți factori care influențează piețele (geografici, comportamentali, politici etc.). Cu cât piața este

mai apropiată de piață ideală, cu concurența perfectă, cu atât modelul economic se apropie de

modelul fizic, iar valoarea la care se face tranzacția tinde să exprime cel mai bine utilitatea

bunului.


2015-2016

9

II. Spectrul oscilațiilor

Oscilațiile se pot caracteriza atât în timp, cât și în frecvență. O oscilație armonică de forma

00 2sin)( ftutu are în structură o singură frecvență f. O oscilație nearmonică are în

structură mai multe frecvențe. În general, oscilațiile nu sunt armonice, dar pot fi exprimate ca

sume de termeni armonici.

Prin spectru se înțelege repartiția în frecvență a unei mărimi fizice, de obicei o mărime

energetică (putere, energie, intensitate etc.).

Exemplu

Energia semnalelor muzicale de la difuzoare este repartizată în intervale spectrale denumite uzual

„(frecvențe) joase”, „(frecvențe) medii” și „(frecvențe) înalte”, difuzoarele având dimensiuni

diferite: diametre mai mari pentru „bași”, și diametre mici pentru „acute”.

Descompunerea în serie de componente armonice

Importanța studiului oscilațiilor armonice rezidă în aceea că se poate demonstra ca orice oscilație

nearmonică se poate descompune în serie de componente armonice. Această descompunere stă la

baza prelucrarii semnalelor și a transmiterii informației la distanță (modulație, codare,

eșantionare, filtrare etc.).

Orice mărime oscilatorie (periodică) )()( Ttutu se poate exprima ca sumă de oscilații

armonice4, de frecvențe multiple de frecvența fixată prin perioada oscilației fmin=1/T:

n

nnn tfuutu }2sin{)( 000 , unde minfnfn , n=1,.... (DSF)

Componenta u00 se numește componenta continuă (cu frecvența zero), iar

nnnn tfutu 2sin)( 0 se numesc armonicele de ordin n, unde un0 este amplitudinea, iar

fn=n/T este frecvența armonicei de ordin n. Amplitudinile sunt univoc determinate, adică pentru

o oscilație periodică, nearmonică, descompunerea este unică. Deoarece și frecvențele sunt fixate,

rezultă că unei oscilații u(t) îi corespunde o singură serie (DSF).

Calculul coeficienților seriei. Fiind dată mărimea oscilatorie (periodică) )()( Ttutu ,

coeficienții din dezvoltarea în serie se calculează cu relația 22

0 nnn bau , unde

ttftua n

T

n d2sin)(

0

, ttftub n

T

n d2cos)(

0

.

Totalitatea coeficienților armonicelor unei oscilații (în general, unei mărimi periodice) formează

spectrul de amplitudini al oscilației S(f): {u00, u10, u20, …}.

4 Descompunerea se numește seria Fourier a funcției periodice u.


2015-2016

10

Spectrul energetic

Deoarece oscilația nearmonică este o sumă de componente armonice, iar energia fiecărei

componente armonice este proporțională cu pătratul amplitudinii sale (a se vedea ec. (E)),

înseamnă că energia oscilației (nearmonice) este dată de suma energiilor componentelor

armonice, adică, până la o constantă multiplivativă, de suma pătratelor coeficienților

n

n

n

n u20~EE .

Totalitatea pătratelor valorilor coeficienților armonicelor unei oscilații (în general, unei mărimi

periodice) formează spectrul de energie al oscilației

En(f): }...,,...,,,,{

/ armonicei energia

2

0

/2 armonicei energia

2

20


2

10

0 armoniceienergia

2

00

Tnf

n

TfTff

uuuu

.

În practică, numărul de coeficienți din serie se limitează la primii N care conțin, de exemplu,

95% din energie

95,00

20

N

n

nu E .

Spectrul de energie al oscilației este

En(f): },...,,,,{

/ armonicei energia

2

0


2

20


2

10

0 armoniceienergia

2

00

TNf

N

TfTff

uuuu

.

ceea ce corespunde la o serie trunchiată la primii N termeni

N

n

nnn tfutu0

0 }2sin{)( .

Calculul coeficienților seriei. Fiind dată mărimea oscilatorie (periodică) )()( Ttxtx ,

coeficienții din dezvoltarea în serie se calculează cu relația 220 nnn bau , unde

ttftua n

T

n d2sin)(

0

, ttftub n

T

n d2cos)(

0

, n=1,...N.

Exemple

1. Oscilația 00,01π2sin1)( ttu (u.a.) este are o singură frecvență în spectru f=0,01Hz;

corespunzător, perioada oscilației este T=100s. Semnalul oscilatoriu u(t), pentru domeniul

temporal )4000,0(t s, și spectrul sau energetic E(f), sunt ilustrate în fig 7. Dezvoltarea (DSF)

are un singur termen.


2015-2016

11

Fig.7

2. Oscilația compusă din suma a două oscilații monocromatice, de frecvențe f1=0,01Hz și

f2=0,02Hz, cu expresia

202,02sin3001,0π2sin3)( tttu ,

are reprezentările grafice u(t) și E(f) din fig.8. Seria (DSF) conține doi termeni.

Fig.8

3. În Fig.9 este ilustrată oscilația x(t) în forma de „dinți de fierastrău” cu perioada T=0,2s.

Frevența cea mai mică este fmin=1/T=5Hz. Dezvoltarea DSF are, teoretic, un număr nelimitat de

armonice; totuși, doar amplitudinile primelor șase sunt semnificative, conținănd circa 95% din

energia oscilației. Din acest motiv, celelalte se neglijează.

Fig.9

Trunchierea făcută conduce la o reconstrucție aproximativă a oscilației originale. Dacă dorim

reconstruim semnalul xrec din cele șase armonice păstrate (fig.9bis), se observă că x și xrec nu

sunt identice, dar, în aplicațiile practice, această aproximare poate fi satisfăcătoare.

Cu cât se păstrează mai multe armonice pentru reconstrucție, cu atât semnalul reconstruit

reproduce mai fidel semnalul original xrecx.

Oscilația compusă x(t)

Spectrul oscilației compuse Sx(f)


2015-2016

12

Intervalul spectral dintre frecvența cea mai mică și cea mai mare se numește banda semnalului

(fig.9bis).

Temă. Pentru a înțelege mai bine aceste lucruri, vizitați pagina http://www.falstad.com/fourier/.

Observație

În prelucrările numerice, calculatoarele folosesc tehnica dezvoltării în serie. Pentru mărimile

neperiodice, se procedează analog, considerând în locul perioadei T de la semnalul periodic

lungimea temporală a unei ferestre de analiză. Acestă durată fixează perioada cea mai mare

(echivalent, frecvența cea mai mică, nenulă) din spectrul semnalului.

Spectrul audibil și spectrul vizibil

Spectrul audibil al oscilațiilor

sonore

Frecvențele audibile ale oscilațiilor

mecanice ale timpanului uman sunt

în intervalul 16Hz–20kHz. Peste

20000Hz se numesc ultrasunete, iar

sub 16Hz, infrasunete; nici primele,

nici ultimele nu mai pot fi

transformate în senzații auditive de

receptorul uman. Anumite animale

comunică prin infrasunete (cașalotul,

elefantul), în timp ce senzorii

acustici ai altor animale acoperă

domeniul ultasunetelor (liliacul,

pisica, șarpele).

Ramura fizicii care se ocupă de producerea și recepția sunetelor în domeniul audio este acustica.

Fig.9bis

Sursa: https://www.google.co.in/#q=audio+graphic+equalizer

Egalizor audio; pe orizontală, pe mijloc, sunt notate

frecvențele centrale ale intervalelor spectrale; în partea

de sus este indicată curba de amplificare în frecvență

http://www.falstad.com/fourier/

https://www.google.co.in/#q=audio+graphic+equalizer


2015-2016

13

Spectrul vizibil al oscilațiilor electromagnetice

Oscilațiile electromagnetice ocupă un spectru extrem de larg, de la undele radio la radiația

gamma. Spectrul oscilațiilor electromagnetice care sunt convertite în senzații cromatice de

receptorul uman – așa numitul domeniu vizibil – se află însă într-un interval extrem de îngust,

între 200 și 950THz. Ramura fizicii care se ocupă de producerea și recepția în domeniul vizibil

este optica.

Sursa: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

Denumirile și prefixele multiplilor și submultiplilor zecimali

Multipli 101

Deca, da

102

Hecto, h

103

Kilo, k

106

Mega, M

109

Giga, G

1012

Terra, T

1015

Peta, P

1018

Exa, E

1021

Zetta, Z

1024

Yotta, Y

Sub-

multipli

101

deci, d

102

centi, c

103

mili, m

106

micro,

109

nano, n

1012

pico, p

1015

femto, f

1018

atto, a

1021

zepto, z

1024

yocto, y

Observație

Stocarea și prelucrarea imaginilor color (televiziune, computere) nu se face sub formă optică, ci

sunt utilizate tehnologii electronice de codare. Imaginile sunt convertite în semnale electrice a

căror bandă este de aproximativ 6,5MHz. Pentru a putea transmite la distanță informațiile de

sunet (bandă 20kHz) și imagine (bandă 6,5MHz) este necesar un proces suplimentar de

modulație, prin care aceste informații-mesaj sunt “încărcate” pe oscilații purtătoare cu

frecvențele de 106-10

8Hz, care se pot propaga în spațiu sub formă de unde.

Există și tehnologiile optice de stocare a imaginilor, care folosesc principiul holografiei.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html


2015-2016

14

III. Oscilații amortizate

Comportarea în timp a oscilațiilor amortizate

Oscilatoarele sunt construite pentru a ceda în exterior lucru mecanic, pentru scopuri economice

(inițiere sau sincronizare procese, mașini ciclice etc.), acționând împotriva unei forțe exterioare.

Forța exterioară poate fi forța rezistentă pe care o opune

un dispozitiv mecanic (piston, turbină), forța electrică care

pune în mișcare electronii dintr-un metal etc. O parte a

lucrului mecanic se transformă, inevitabil, în căldură, din

cauza forțelor de frecare, care pot fi minimizate, dar nu

anulate complet. Transferul de energie de la sistemul

oscilant către exterior are drept consecință reducerea în

timp a amplitudinii de oscilație, oscilația devenind

amortizată, amplitudinea scăzând în timp cu un factor de

amortizare , []SI=s–1:

0

in timp scade

0 2sin)( tfeutu t

După un timp τ=β1

(u.a.) amplitudinea oscilației scade de e2,7 ori. Acesta poate fi considerată

durata în care se amortizează complet oscilația. După acest interval, se presupune că energia

oscilatorului este neglijabilă, deoarece scade de e27,3 ori. Echivalent, energia va scădea de

e2,7 ori după un timp (2β)1

, adică de două ori mai repede decât amplitudinea.

Aplicație

Oscilatorul primar al unui calculator actual are frecvența de

ordinul a 3GHz. Din acesta se alimentează toate circuitele de

prelucrare a informației: unitatea aritmetică, adresele de

acces, memoria s.a.m.d. Atenuarea, până la dispariție, a

oscilațiior, din cauza cedării continue a energiei, este evitată

prin aport adecvat, continuu, de energie electrică spre

câmpul oscilatorului. Aceste oscilații se numesc întreținute.

Ecuația de mișcare a oscilatorului amortizat. Dacă forța exterioară este proporțională cu viteza de

oscilație, orientată în sens contrar acesteia, Fext=v, atunci ecuația fortelor conduce la o ecuație

diferențială de forma:

0

d

d

d

del

exterioara forta

2

2

xkt

x

t

xm ,

Punând m

kelc și

2

m, rezultă

0d

d2

d

d 2c2

2

xt

x

t

x.

Fig.11 Oscilații întreținute

Fig.10 Oscilații amortizate


2015-2016

15

Mărimea β este factorul de amortizare, și are dimensiune de s1

. Amplitudinea nu mai este

constantă, ci scade exponențial în timp (v. Fig.10). La adresa http://www.lon-

capa.org/~mmp/applist/damped/d.htm există un exemplu interactiv de oscilație amortizată.

Ecuația de mișcare a oscilatorului5 amortizat (soluția ecuației diferențiale de mai sus) este

x

t textx 0

in timp scade eaamplitudin

0 sin)(

,

unde 22

c . Frecvența f=/2 nu este identică cu cea a aceluiași oscilator, dacă ar fi

neamortizat (notată fc=c/2=1/T):

2

cc

21

fff

Cu cât amortizarea este mai slabă (β mai mic), cu atât frecvența de oscilație f se apropie de fc.

Spectrul oscilației amortizate

Spre deosebire de oscilația armonică neamortizată,

care are o singură frecvență în spectru, cea

amortizată are o bandă de frecvențe, oscilația ne mai

fiind armonică.

Lărgimea de bandă este 2β, simetrică, în jurul valorii

fc=c/2=1/T.

Exemplu

În cazul oscilațiilor slab amortizate, neperiodice, se consideră ca durată efectivă a semnalului

intervalul τ>>Tc. Fie sunetul grav emis de un contrabas pe frecvența fc=20Hz, care se aude timp

de 0,5s (τ=0,5s). Ne propunem să determinăm, semi-cantitativ, spectrul acestui sunet.

Descompunerea în serie (DSF) este de forma cunoscută

n

nnn tfuutu }2sin{)( 000 ,

unde minfnfn , fmin=1/τ =2Hz.

Calculul coeficienților6 indică spectrul din figura

alăturată, adică cea mai mare valoare o are

componenta u10 de la frecvența f10=20Hz. Acest

lucru nu este surprinzător, deoarece este frecvența

oscilației armonice, cu frecvența f1=fc=1/T=20Hz,

5 Deoarece obiectul capitolului este studiul oscilațiilor, se va lua în consideratie doar această soluție, care este

caracteristică oscilațiilor slab amortizate. 6 Acest calcul nu este arătat aici, dar se poate folosi programul Mathematica sau MatLab.



http://www.lon-capa.org/~mmp/applist/damped/d.htm

http://www.lon-capa.org/~mmp/applist/damped/d.htm


2015-2016

16

dacă nu ar fi fost amortizată. Componentele alăturate, decalate cu β=2Hz sunt cele mai

semnificative, celelalte fiind practic nule, și de aceea se neglijează. În concluzie, seria conține trei

armonice nenule n=9, n=10 și n=11. În realitate, frecvențele de oscilație nu sunt constante, ci

fluctuează în intervalul (9/τ, 11/τ), sau (fc–β, fc+β).

Exemplu din econo-fizică

Un șoc poate genera oscilații care se amortizează în timp. În figurile de mai jos este ilustrat

cursul de schimb al monedei sud coreene (WON) în raport cu dolarul american (USD), la

începutul crizei financiare care a lovit Asia de sud-est în anul 1997. A doua figură este

prelucrată, componentele cu variație rapidă (echivalent, cu frecvență ridicată) fiind înlăturate prin

filtrare digitală.

Abscisa timpului este în zile. Se observă că, după șoc (devalorizare bruscă), oscilațiile au durat

aproximativ 700 de zile, adică circa doi ani.


2015-2016

17

IV. Compunerea oscilațiilor

Din punct de vedere fizic, problema compunerii se pune atunci când cele două mărimi au aceeași

dimensiune, adică sunt de acelasi tip, având aceeași unitate de măsură. În continuare sunt

prezentate câteva cazuri simple de compunere a oscilațiilor.

Compunerea oscilațiilor cu aceeași pulsație

Oscilații pe direcții perpendiculare

Fie direcțiile de oscilație x și y. Rezultatul compunerii este o

traiectorie eliptică.

Cazuri particulare:

Oscilațiile au aceeasi fază inițială (sunt în fază)

0sin)( 0 txtx , 0sin)( 0 tyty .

Elipsa este degenerată la un segment de dreaptă, de pantă y0/x0.

Oscilațiile sunt în antifază

0sin)( 0 txtx , tyty sin)( 0 .

Elipsa este degenerată la un segment de dreaptă, de pantă y0/x0.

Oscilațiile sunt în cuadratură

0sin)( 0 txtx ,

2sin)( 0 tyty .

Elipsa este orientată fie orizontal, fie vertical. Pentru y0=x0, elipsa

devine cerc.

De cele mai multe ori este mai ușor de înțeles reciproca, adică o

mișcare în plan, după o traiectorie eliptică, se proiectează pe două

direcții reciproc perpendiculare, sub formă de mișcări oscilatorii rectilinii, după fiecare axă.

Acest lucru este valabil și pentru miscarea periodică în spațiul fizic (a se vedea și fig.4).

Aplicație. Mișcarea de revoluție a Pământului în jurul Soarelui se poate descompune în trei

mișcări oscilatorii. Metoda este de interes în astrofizică, deoarece, dacă se cunosc trei proiecții

ale mișcării unui corp ceresc, pe trei direcții oarecare - nu neapărat perpendiculare -, atunci se

poate recompune mișcarea în spațiu a acestuia.

Oscilații pe aceeași direcție

Fie oscilațiile care se compun:

01011 sin)( txtx ; 02022 sin)( txtx .

Fig.12

Fig.11

Fig.13


2015-2016

18

Rezultatul compunerii )()()( 21 txtxtx este o oscilație cu aceași pulsație (frecvență) cu a

componentelor, de forma:

00 sin)( txtx ,

unde

02020101

020201010

01020201202

201

20

coscos

sinsintan :faza

)cos(2 :eaamplitudin

xx

xx

xxxxx

Amplitudinea oscilației rezultante depinde de defazajul inițial 0102 .

Cazuri particulare:

Oscilații în fază: 00102 .

În acest caz, amplitudinea rezultantă este

maximă: 02010 xxx .

Oscilații în antifază: 0102 .

În acest caz, amplitudinea rezultantă este

minimă: 02010 xxx .

Oscilații în cuadratură: 2

0102

.

Amplitudinea rezultantă este: 2

02

2

010 xxx ,

între valoarea minimă și cea maximă.

Observație: coerența.

Pană acum s-a presupus că defazajul nu depinde de timp. Se spune că oscilațiile sunt coerente.

Dacă, însă, defazajul ar varia în timp, atunci amplitudinea oscilației rezultante, ca și faza ei

“inițială”, ar varia, de asemenea, în timp:

)()( 0102 tt x0(t).

În sens larg, condiția de coerență se referă nu atât la invarianța în timp a defazajului, lucru

imposibil de realizat practic, ci la lentoarea cu care variază acesta, în comparație cu timpul

caracteristic al aparatului cu care se măsoară oscilația rezultantă. Dacă variațiile sunt prea rapide,

atunci figura de interferență nu poate fi inregistrată.

Oscilații în fază; cu roșu este rezultanta

Oscilații în antifază; cu roșu este rezultanta

Oscilații în cuadratură; cu roșu este rezultanta

Fig.14


2015-2016

19

Aplicații

1. Măsurători interferometrice. Interferometria este metoda de a transforma diferența de fază,

care, de obicei, nu este sesizată de aparatele de măsura – nici de urechea sau ochiul uman – în

diferență de amplitudine, care poate fi măsurata. Pe acest principiu functioneaza

interferometrele, precum și sistemele audio stereo și quadro, imagistica 3D, sau prelucrarea de

imagini holografice.

2. Imagistica 3D. Imaginea stereoscopica este compusa din două imagini separate, preluate de

fiecare ochi. Din cauza poziției spațiale a ochilor, imaginile provenite de la același obiect nu sunt

identice, ci puțin defazate; acest mic defazaj este receptionat de fiecare ochi sub formă de

imagini cu intensitate diferită, între maximul și minimul de interferență. Pe baza experientei

acumulate în timp, cortexul cerebral prelucrează informația de intensitate și o interpretează sub

forma de senzație de spațialitate, reușind să evalueze distanța până la obiect. În general,

aprecierea distanței este cu atât mai bună cu cât distanța dintre ochi este mai mare. Evaluarea

depinde foarte mult de experiența anterioară; spre exemplu, un copil mic apreciază prost

distanțele. Pe de altă parte, un adult poate aprecia satisfăcător distanțele, chiar cu un ochi închis.

În cazul sunetelor, audiția cu o singură ureche nu dă rezultate satisfacătoare, pierzând informația

referitoare la distanță.

Oscilații modulate

Oscilațiile modulate sunt rezultatul compunerii oscilațiilor pe aceeași direcție, cu pulsații

semnificativ diferite.

Spre deosebire de cazurile anterioare, în care compunerea era aditivă, modulația este o

compunere multiplicativă.

Oscilațiile modulate sunt cele care prin care se transmit informațiile. Oscilațiile armonice simple

nu pot realiza acest lucru. Convenim să denumim oscilațiile modulate semnale. Oscilația de

frecvență mare este purtătoarea, iar cea de frecvența joasă conține mesajul. Rezultatul

compunerii este o oscilație modulată.

Modulația este procedeul utilizat în transmiterea la distanță a informației (radio, televiziune,

transmisii optice prin cablu etc.). Modulația este obligatorie, deoarece doar oscilațiile de

frecvență mare se propagă prin spațiu, sub formă de unde. Prin urmare, este necesar ca mesajele

de frecvență joasă (până la 20kHz semnalul audio, până la 6,5MHz semnalul imagine) să fie

“urcate” în frecvență, iar acest lucru se realizează prin modulație.

Exemplu

Mai jos este ilustrat cazul

05,02sin1)(m ttx ; fm=0,5Hz,

0182sin1)(p ttx , fp=18Hz, fm<< fp.


2015-2016

20

Oscilația „mesaj” 05,02sin1)(m ttx și spectrul acesteia.

Oscilația „purtătoare” 0182sin1)(p ttx și spectrul acesteia.

Semnalul modulat transmis 05,182cos5,0)( transmissemnal ttx și spectrul acestuia.

În realitate, spectrul mesajului este cuprins într-o bandă de frecvențe, prin urmare și semnalul

transmis are o bandă (f0–fm, f0+fm).

Aplicație: transmisia informației la distanță

Fie mesajul

0pm0mmesaj sin)( txtx

și purtătoarea

s000purtatoare sin)( txtx , m0 ,

prin a căror multiplicare se obține oscilația modulată

0p00mmm0semnal sinsin)( ttxtx .

Semnalul de mai sus conține două frecvențe, anume suma f0+fm și diferența f0–fm , deoarece

expresia semnalulului se poate rescrie, folosind identitățile trigonometrice:

)()(cos)()(cos2

1)( 0m0pm00m0pm0m0semnal ttxtx .


2015-2016

21

Ambii termeni conțin mesajul, așadar este suficient să se transmită la distanță doar una dintre

dintre oscilațiile modulate, prin intermediul unei unde, de exemplu

)()(cos2

1)( 0m0pm0m0 transmissemnal txtx .

Pentru recuperarea mesajului, la recepție are loc demodulația, care constă într-o nouă

multiplicare, urmată de filtrare.

i/ Multiplicare la recepție cu semnalul generat local t0sin

local

generat semnal

0

treceptiona semnal

0m0pm0m0receptie sin)()(cos2

1)( ttxtx

filtrareprin inlatura se

m0m0

mesaj irereconstitu

0m0pmm0receptie )2(sin4

1)(sin

4

1)( txtxtx .

ii/ Înlăturarea componentei de frecvență 20 prin filtrare

mesaj irereconstitu

0m0pmm0receptie )(sin4

1)( txtx .

Se observă că, până la un factor de amplificare și o fază inițială

(fără importanță practică) mesajul este reconstituit

)(sin4

1)( 0m0pmm0receptie txtx ~

0pm0mmesaj sin)( txtx .

Multiplexarea în frecvență: canale de transmisie

Mai multe astfel de purtătoare, funcționând pe frecvențe diferite, pot transmite, fiecare,

informații independente unele de celelalte, pe aceeași cale fizică, cum ar fi o fibră optică. Acesta

este principiul multiplexării pe canale de transmisie, fiecare canal având propria bandă, în jurul

purtătoarei. Există mai multe variante de modulație, nu doar cea indicată aici. În oricare dintre

ele, atunci când se precizează frecvența (ex. Radio FM 101,5MHz), aceasta este frecvența

purtătoarei.

Aplicație

Principiul multiplexării în frecvență este ilustrat în figura de mai jos, unde purtătoare de

frecvențe diferite sunt modulate cu mesaje diferite și transmise pe aceeasi cale fizică. La recepție,

fiecare purtătoare este extrasă prin filtrarea canalului aferent.


2015-2016

22

Principiul multiplexarii in frecventa

Eșantionarea

Semnalele “mesaj” se transmit, la distanță, cu ajutorul undelor7, printr-un proces de modulație,

urmat de filtrare. După cum am văzut, multiplexarea permite transmiterea mai multor mesaje pe

aceeași cale fizică. Totuși, necesitatea socială crescândă a transmiterii și prelucrării rapide a

informației (ex. internet de mare viteză) impune raționalizarea transmisiilor, dată fiind

capacitatea finită a căilor de comunicație. Transmiterea continuă a semnalului mesaj ocupă

integral timpul de transmisie.

Se pune problema, cât din mesaj, și cum trebuie alese aceste porțiuni de semnal, pentru ca la

utilizator să fie posibilă reconstituirea mesajului.

Răspunsul este oferit de teorema eșantionării.

Orice semnal poate fi reconstituit dacă se cunosc doar părți ale sale.

Prin eșantionare se înțelege procesul de selectare a acelor porțiuni din semnal care sunt

suficiente pentru reconstituire.

Teorema eșantionării (Shannon-Nyquist)

Teorema Shannon-Nyquist indică modul cum trebuie eșantionat un semnal a cărui energie este

cuprinsă (de ex. în proporție de 95%) în intervalul f(fmin, fmax), interval cunoscut și sub

denumirea de banda semnalului (spre exemplu, banda audio este (16, 20000Hz)).

Intervalul (pasul) de eșantionare tesant trebuie să fie mai mic, sau cel mult egal cu jumătate din

perioada componentei cu frecvența cea mai înaltă din spectrul semnalului:

max

esant2

1

ft .

7 Undele vor fi prezentate in fascicula urmatoare Unde.


2015-2016

23

Interpretare fizică: la limita impusă de condiția Shannon-Nyquist, frecvența de eșantionare este

suficient de mare încât să prindă valorile relevante ale componentelor din semnal cu variația

temporală cea mai rapidă (cu frecvența cea mai mare fmax), adică să prindă atât valoarea maximă,

cât și pe cea minimă a semnalului.

Frecvențele mai înalte dacât fmax din spectrul semnalului

(reprezentând, în exemplul nostru, restul de 5% din

energia sa) nu pot fi puse în evidență. De aceea,

semnalul reconstituie foarte bine, dar nu identic, pe cel

original.

Exemplu

Care este frecvența de eșantionare pentru semnalul

audio?

Ținând cont că frecvența limită maximă audibilă este

20000Hz, înseamnă că o eșantionare cu frecvența dublă, de 40kHz asigură recuperarea totală a

mesajului audio.

Observație

1. Condiția Shannon-Nyquist impune limita superioară a frecvenței din spectru.

2. Eșantionarea se aplică semnalelor mesaj, astfel că, de obicei, frecvența inferioară este fie nulă,

fie fixată din alte considerente, fără nicio constrângere suplimentară asupra procesului de

eșantionare. Spre exemplu, la un mesaj vocal nu are sens să fie păstrate frecvențele mai mici de

16Hz, deoarece nu pot fi auzite; totuși, frecvența de eșantionare din exemplul precedent rămâne

feșant=40kHz.

Aplicație: digitizarea semnalelor pentru prelucrarea numerică.

În imensa majoritate a cazurilor, în calculatoare semnalele se procesează digital, motivele

principale fiind două: i/ reducerea costurilor de transmisie, prin utilizarea, simultan, a aceleiași

căi fizice, de către mai mulți operatori, și ii/ protecția la perturbații. Digitizarea se face conform

teoremei esantionarii.

Aplicație: multiplexarea în timp.

Eșantionarea permite transmiterea mai multor mesaje prin intercalarea (întrețeserea)

eșantioanelor care provin de la mesaje diferite. Acest proces de intercalare se numeste

multiplexare in timp. Rezultatul este ca toate mesajele sunt comprimate intr-unul singur, care

contine informatia tuturor mesajelor constitutive. La receptie se foloseste procedeul invers,

demultiplexarea coerenta, prin care mesajele componente sunt separate, pe rand din semnalul

multiplexat. Principiul multiplexarii este ilustrat in figura de mai jos.

Fig.15 Interpretarea fizică a condiției

Nyquist pentru componenta cu perioada

cea mai mică


2015-2016

24

Fig.16 Multiplexarea mesajelor în timp

Aplicație: multiplexarea în timp și în frecvență

Dacă mai multe semnale multiplexate în timp (multiplex 1,… multiplex i) se modulează, cu

purtătoare de frecvente diferite (f1,…fpi), se obține, suplimentar, și o multiplexare în frecvență.

Aceste semnale se transmit la distanta prin unde electromagnetice repartizate pe domenii

spectrale (radio, tv, microunde, domeniu optic etc.).

Fig.17 Multiplexarea mesajelor în timp, urmată de multiplexarea în frecvență


2015-2016

25

Aplicatie econo-fizică

Fie cursul de schimb Euro-USD din fig.18. Pasul de eșantionare este tesant=1zi, prin urmare

componenta cu cea mai mare frecvență care poate fi pusă în evidenta este fmax=0,5zi1

, care

corespunde perioadei de 2 zile. Variațiile mai rapide de 2 zile nu pot fi puse în evidența, cu acest

pas de eșantionare8. Spectrul de frecvențe al acestui semnal (fig.18b) indică ciclicitățile cu cele

mai mari ponderi în evolutia temporala a cursului. Se observă că ponderile cele mai mari sunt pe

frecvențele cele mai joase – echivalent, pe ciclurile cu perioadele cele mai mari.

Fig.18 Cursul de schimb Euro-USD în perioada 1998-2008 și spectrul său de frecvențe.

Semnalul temporal are N=3300 eșantioane, luate la interval tesant=1zi, așadar are durata

Ttot=3300zile. Similar cu relația Shannon-Nyquist, care fixează relația dintre pasul de eșantionare

în timp și frecvența maximă, există o relație analoagă, care fixează reprezentarea eșantioanelor pe

graficul din domeniul frecvență, în funcție de durata totală a înregistrării temporale (v. fig.18):

totesant

1

Tf .

În consecință, numărul de eșantioane în domeniul frecvență este n=1650, jumătate din cel al

eșantioanelor temporale. Aceaste tehnici sunt utilizate în toate programele de calculator9.

Aplicație. Indicatorii macroeconomici, precum produsul intern brut, sunt afectați de sezonalități.

Pentru a fi comparabili, de la trimestru la trimestru, sezonalitățile trebuie detectate și eliminate

prin filtrare.

Temă. Bursa de la București afișează valorile prețurilor tranzacțiilor la fiecare jumătate de oră.

Care este perioada ciclicităților care se pot evidenția în seria de valori a acestora?

8 Indicii bursieri sunt esantionati cu un pas mai des, de obicei de ordinul minutelor.

9 MatLab, Mathematica

oscilatii 2015-2016

Documents