osnove elektrotehnike 1 - samo materijali i materijali · pdf file-elektromagnetska polja --...

54
-ELEKTROMAGNETSKA POLJA - - 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 TEMA 11-14 ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja - tok Φ, gustoća toka B i jakost magnetskog polja H - homogeno i nehomogeno magnetsko polje - zakon protjecanja -magnetsko polje ravnog vodiča -Biot-Savartov zakon Tema 11. - OSNOVNE VELIČINE I OPIS MAGNETSKIH POLJA Materijali za studente - (ak.god. 2011./2012.)

Upload: buitruc

Post on 06-Feb-2018

265 views

Category:

Documents


8 download

TRANSCRIPT

Page 1: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 10 -

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- uvodna razmatranja

- tok Φ gustoća toka B i jakost magnetskog polja H

- homogeno i nehomogeno magnetsko polje

- zakon protjecanja

-magnetsko polje ravnog vodiča

-Biot-Savartov zakon

Tema 11 - OSNOVNE VELIČINE I OPIS MAGNETSKIH POLJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 11 -

učinci magnetskog polja

Uvod u magnetska polja (1)

učinci električne struje

toplinski

tRIQ 2

toplinska energija

magnetski

l

u ldHI

strujno protjecanje

kemijski

tIam elektrokemijski ekvivalent masa

lIBF

mehaničke sile

dt

dNe

elektromagnetska indukcija

osnovni učinci magnetskog polja sadržani su u dinamici elektromagnetskih polja kao

izraz predstavlja zakon protjecanja koji povezuje električna i magnetska polja i taj zakon

pokazuje da tamo gdje postoji određeno strujno protjecanje Iu nastaju i vrtlozi magnetskog polja l

u dlHI

ldH

bull Navedeni su osnovni učinci električne struje među kojima je i magnetsko polje

bull sila koja se javlja kada se

vodić protjecan strujom nalazi

u magnetskom polju

bull inducirani napon zbog

promijene magnetskog toka

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 12 -

S

N

N

S

N S

N

S

magnetska os

neutralna

zona Magnetske silnice elektromagneta prikazane uz pomoć

željezne piljevine

magnetska sila je vektorska veličina

silnice magnetskog polja opisuju veličinu i smjer

magnetske sile

silnice se izvan magneta prostiru od N ka S a

unutar magneta od S ka N

Magnetske silnice (1)

elektromagnet je magnetski materijal omotan električnom

žicom kroz koju prolazi struja

Magnetskim silnicama opisujemo magnetsko

polje u prostoru

na sl112 prikazane su silnice magnetskog

polja kao posljedica protoka struje I

NS

NS

NS

I

Sl112 Silnice magnetskog polja ravnog

vodiča protjecanog strujom I

I

pravilo desne ruke kaže da ako nam

ispruženi palac pokazuje smjer struje

tada savinuti prsti pokazuju smjer

kružnih silnica magnetskog polja

Pravilo prstiju desne ruke

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 13 -

dtedilidt

de

WbsVte ][][][

e - inducirani napon ovisi o brzini promjene magnetskog toka

pokusima se pokazuje da je direktna posljedica promijene magnetskog toka Φ u vremenu

nastanak električnog napona e te se može definirati jedinicu za mjerenje toka Φ

Weber (voltekunda)

magnetski tok Φ nije neko gibanje već je to posebno energetsko stanje prostora stvoreno strujom I

Magnetski tok Φ

Tok električne struje je dinamička pojava gibanja električnog naboja t

QI

to energetsko stanje prostora prikazujemo silnicama magnetskog polja

veličinu sa kojom obuhvaćamo sve magnetske silnice u nekom prostoru nazivamo magnetski tok Φ

više zavoja jače magnetsko polje

unutar svitka u sredini polje je homogeno a

izvan svitka polje je nehomogeno

Svitak predstavlja kružno namotani veći ili manji broj

vodljive električne žice u zraku ili oko nekog

magnetskog materijala

Sl115 Magnetsko polje zavoja i svitka protjecanog

električnom strujom

na sl115 prikazan je svitak sa jednim zavojem i svitak

protjecan strujom u zraku sa većim brojem zavoja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 14 -

S

S B

α Φ

Gustoća magnetskog toka B - homogeno magnetsko polje

Na sl1118 prikazano je magnetsko polje sa silnicama magnetskog toka Φ

u prostoru silnica magnetskog toka Φ nacrtana je ploha površine S pod kutem α na smjer silnica

toka Φ

na slici je ucrtan i vektor gustoće magnetskog toka B koji je konstantan u svakoj točki polja po

iznosu orijentaciji i smjeru

SB

SB 0

vektor B predstavlja dakle gustoću silnica magnetskog toka Φ

po površini S

konstB

za slučaj da silnice magnetskog toka nisu okomite na plohu

površine S tada vrijedi

SB

SB

i vektora produkt skalarni

cos

SB0

ako se predpostavi da je ploha površine S okomita na silnice

magnetskog polja tada slijedi izraz koji povezuje veličine Φ i B

u slijedećem obliku

Tm

sV

m

Wb

SB

][

][

][

][22

(Tesla)

prema izrazu (111) može se sada definirati i jedinica za mjerenje gustoće magnetskog polja B

(111)

cos SB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 15 -

Gustoća magnetskog toka B - nehomogeno magnetsko polje

U nehomogenom magnetskom polju vektor B nema u svakoj točki plohe S istu vrijednost

na sl1119 prikazano je nehomogeno magnetsko polje kroz plohu S a

posebno je u točki A prikazan diferencijal površine dS sa jediničnim vektorom dS i

vektorom B kao tangentom u odabranoj točki A

SSS

dSBSdBd cos

ukupni tok je zbroj svih diferancijala dΦ te vrijedi

dS

dS

α

S

B

A

Φ

n

Sl719 Prikaz nehomogenog magnetskog polja

ako se još definira da je normalna komponenta vektora B na dS tada se za

tok Φ može pisati

cos BBn

za takvo magnetsko polje potrebno je postaviti

diferencijalnu jednadžbu te se za odnos toka Φ i

gustoće toka B može pisati slijedeći izraz

SdBd

dS - infinitezimalno mali element površine

dΦ - diferencijal toka

(114)

konstB

S

dSB cos S

n dSB (115)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 16 -

Jakost magnetskog polja -H (magnetska uzbuda)

Jakost magnetskog polja H je veličina koja je direktno

vezana sa protokom struje I

na slici je prikazana silnica magnetskog polja H∙l kao

posljedica struje I

Definicija jakost magnetskog polja H je veličina koja pokazuje mjeru magnetskog intenziteta

prostora uslijed protjecanja određene struje ImiddotN koja predstavlja magnetomotornu silu

za odnos struje i magnetskog polja vrijedi lHNI l

NIH

NI lHVm

R

l

H∙l

I

I

Pravilo prstiju

desne ruke

magnetomotorna sila magnetski napon

može se utvrditi da je zbog magnetomotorne sile ImiddotN prostor magnetski uzbuđen a mjera te

uzbude u pojedinim točkama prostora je veličina H

][

][

m

A

l

IH

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 17 -

Za definiranje odnosa između magnetske uzbude H

i vektora gustoće magnetskog polja B koristi se

torusni svitak sl1121

l

SNI 0

silnicezatvoreneduljinal

specijalnim mjerenjem induciranog napona u

pomoćnom zavoju utvrđeno je da za magnetski

tok torusnog svitka vrijedi

l

NI

S

0 dijeljenjem sa S slijedi Sl1121 Prikaz torusnog svitka

0

l

NIBB

S

uz relaciju

HB

0

skalar

vektoriHiB

0

H

slijedi izraz

Torusni svitak- odnos vektora H i B

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

(118)

(119)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 18 -

H1H2 H3

H4dl1

dl2 dl3

dl4

I

Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice

nehomogenog magnetskog polja

Zakon protjecanja (1)

B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj

duljini silnice

zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog

polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl

magnetska uzbuda konstantna (H=konst)

ldHdVm

dVm - magnetski napon

za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od

struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl

Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona

elektromagnetkog polja

a izraz za ukupni magnetski napon za

zatvorenu silnicu l je l

m ldHV

izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju

obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a

prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu

l

l IldH

strujno protjecanje

Definicija zatvoreni linijski integral

magnetske uzbude H po bilo kojoj

zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj

sumi struja koje linija l obuhvaća

u

l

i

n

i

IldHNIalg

lHNI

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 19 -

zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve

točke na silnici radijusa r H=konst

Magnetsko polje ravnog vodiča (1)

Traži se magnetska uzbuda H i magnetska

gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog

strujom I na udaljenosti r od osi vodiča

r

l

I

H

dlA

Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog

ravnog vodiča protjecanog strujom

1cos 0

ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici

slijedi prema zakonu protjecanja

IldHl

l

i uz H=konst u svim točkama

kružne magnetske silnice slijedi IdlH

l

IrH 2

ako za silnicu l radijusa r vrijedi

tada slijedi

te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje

izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom

rl 2

m

A

r

IH

2

HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T

r

IB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 110 -

struja I je ukupna struja kroz cijeli

presjek vodiča )( 2R

struja malo i predstavlja struju

koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi

2

2

2 rR

IrJi

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)

Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124

r

r

R

i

HI

Sl1124 Magnetsko polje unutar

vodiča protjecanog strujom I

2R

IJ

gustoća struje J za istosmjernu

struju je konstantna po cijelom

presjeku vodiča

(1116)

2

2

R

rIi (1117)

te je konačni izraz za veličinu

magnetskog polja unutar vodiča

mAr

R

IH

2 2

(1118)

r

IHB

2104 7

0

a za gustoću magnetsku polja B vrijedi

][ 102 7T

r

IB

(1120)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 111 -

Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog

strujom I

r

H (B)

r

IH

2

2 2

rR

IH

R

IH

2

r R r

R

IB 7102

Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)

prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko

polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog

polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 112 -

Biot - Savartov zakon

Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj

silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora

na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana

strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH

r

α

0dl

I

Magnetsko polje u točki A

prostora kao posljedica struje I

nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može

se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan

strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan

doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H

Biot-Savartov zakon

za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H

mogu se pisati izrazi

I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča

r - udaljenost dl od točke A

α - kut između dl i spojnice r -OA

dlr

IH

l

sin

4 2

2

sin

4

1

r

dlIdH

ovim zakonom i principom superpozicije može se

izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog

vodiča

smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog

produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r

r

rld

r

IHd A

24

0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 113 -

RRr

RIdl

r

I

r

dlIB

2

2

0

2

0

2

2

0

4

2sin

4

sin

4

sin

2

0 sin

2 r

RIB

slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku

indukciju B

222 xRr

rRsin

ako imamo N zavoja i

ako prema slici vrijedi 23

)(2 22

2

0

XR

RNIB

za točku M (X=0) u središtu

kružnog zavoja slijedi R

NIB

2

00

I

dl

dl

R

r

x x

y

dBdBy

dBx

M

prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B

24 r

dlIdH

2

0

4 r

dlIdB

ydB

sin

4sincos

2

0

r

dlIdBdBdBx

komponente u smjeru y se poništavaju

za komponente u smjeru osi x vrijedi

Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 114 -

2

0 sin

2 r

RIB

222 xRr

rRsin

uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu

kružnog zavoja i (X=0)

Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I

r

A

HI

I

H

l

prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija

2

sin

4 r

dlIdH

R

NIB

2

00

bull I∙dl - element struje kružnog zavoja

r - udaljenost elemenata dl od središta

bull kut između r i dl je 90 te vrijedi

slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet

polja H u središtu kružnog zavoja

r

r

Idl

r

IH

l

244 22

1sin

r

IH

2

uz N zavoja vrijedi za

jakost mag polja

r

NIH

2

a za gustoću

magnetskog toka u

vakuumu i u središtu A

kružnog zavoja slijedi r

NIB

2

0

a to je upravo granični slučaj iz

prethodnog primjera za vrijednost X=0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 115 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- sila na električne naboje u magnetskom polju

- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju

- magnetski krug

- serijski i pralelni spoj induktiviteta

- induktivitet zračnog voda i kabela

Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 2: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 11 -

učinci magnetskog polja

Uvod u magnetska polja (1)

učinci električne struje

toplinski

tRIQ 2

toplinska energija

magnetski

l

u ldHI

strujno protjecanje

kemijski

tIam elektrokemijski ekvivalent masa

lIBF

mehaničke sile

dt

dNe

elektromagnetska indukcija

osnovni učinci magnetskog polja sadržani su u dinamici elektromagnetskih polja kao

izraz predstavlja zakon protjecanja koji povezuje električna i magnetska polja i taj zakon

pokazuje da tamo gdje postoji određeno strujno protjecanje Iu nastaju i vrtlozi magnetskog polja l

u dlHI

ldH

bull Navedeni su osnovni učinci električne struje među kojima je i magnetsko polje

bull sila koja se javlja kada se

vodić protjecan strujom nalazi

u magnetskom polju

bull inducirani napon zbog

promijene magnetskog toka

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 12 -

S

N

N

S

N S

N

S

magnetska os

neutralna

zona Magnetske silnice elektromagneta prikazane uz pomoć

željezne piljevine

magnetska sila je vektorska veličina

silnice magnetskog polja opisuju veličinu i smjer

magnetske sile

silnice se izvan magneta prostiru od N ka S a

unutar magneta od S ka N

Magnetske silnice (1)

elektromagnet je magnetski materijal omotan električnom

žicom kroz koju prolazi struja

Magnetskim silnicama opisujemo magnetsko

polje u prostoru

na sl112 prikazane su silnice magnetskog

polja kao posljedica protoka struje I

NS

NS

NS

I

Sl112 Silnice magnetskog polja ravnog

vodiča protjecanog strujom I

I

pravilo desne ruke kaže da ako nam

ispruženi palac pokazuje smjer struje

tada savinuti prsti pokazuju smjer

kružnih silnica magnetskog polja

Pravilo prstiju desne ruke

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 13 -

dtedilidt

de

WbsVte ][][][

e - inducirani napon ovisi o brzini promjene magnetskog toka

pokusima se pokazuje da je direktna posljedica promijene magnetskog toka Φ u vremenu

nastanak električnog napona e te se može definirati jedinicu za mjerenje toka Φ

Weber (voltekunda)

magnetski tok Φ nije neko gibanje već je to posebno energetsko stanje prostora stvoreno strujom I

Magnetski tok Φ

Tok električne struje je dinamička pojava gibanja električnog naboja t

QI

to energetsko stanje prostora prikazujemo silnicama magnetskog polja

veličinu sa kojom obuhvaćamo sve magnetske silnice u nekom prostoru nazivamo magnetski tok Φ

više zavoja jače magnetsko polje

unutar svitka u sredini polje je homogeno a

izvan svitka polje je nehomogeno

Svitak predstavlja kružno namotani veći ili manji broj

vodljive električne žice u zraku ili oko nekog

magnetskog materijala

Sl115 Magnetsko polje zavoja i svitka protjecanog

električnom strujom

na sl115 prikazan je svitak sa jednim zavojem i svitak

protjecan strujom u zraku sa većim brojem zavoja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 14 -

S

S B

α Φ

Gustoća magnetskog toka B - homogeno magnetsko polje

Na sl1118 prikazano je magnetsko polje sa silnicama magnetskog toka Φ

u prostoru silnica magnetskog toka Φ nacrtana je ploha površine S pod kutem α na smjer silnica

toka Φ

na slici je ucrtan i vektor gustoće magnetskog toka B koji je konstantan u svakoj točki polja po

iznosu orijentaciji i smjeru

SB

SB 0

vektor B predstavlja dakle gustoću silnica magnetskog toka Φ

po površini S

konstB

za slučaj da silnice magnetskog toka nisu okomite na plohu

površine S tada vrijedi

SB

SB

i vektora produkt skalarni

cos

SB0

ako se predpostavi da je ploha površine S okomita na silnice

magnetskog polja tada slijedi izraz koji povezuje veličine Φ i B

u slijedećem obliku

Tm

sV

m

Wb

SB

][

][

][

][22

(Tesla)

prema izrazu (111) može se sada definirati i jedinica za mjerenje gustoće magnetskog polja B

(111)

cos SB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 15 -

Gustoća magnetskog toka B - nehomogeno magnetsko polje

U nehomogenom magnetskom polju vektor B nema u svakoj točki plohe S istu vrijednost

na sl1119 prikazano je nehomogeno magnetsko polje kroz plohu S a

posebno je u točki A prikazan diferencijal površine dS sa jediničnim vektorom dS i

vektorom B kao tangentom u odabranoj točki A

SSS

dSBSdBd cos

ukupni tok je zbroj svih diferancijala dΦ te vrijedi

dS

dS

α

S

B

A

Φ

n

Sl719 Prikaz nehomogenog magnetskog polja

ako se još definira da je normalna komponenta vektora B na dS tada se za

tok Φ može pisati

cos BBn

za takvo magnetsko polje potrebno je postaviti

diferencijalnu jednadžbu te se za odnos toka Φ i

gustoće toka B može pisati slijedeći izraz

SdBd

dS - infinitezimalno mali element površine

dΦ - diferencijal toka

(114)

konstB

S

dSB cos S

n dSB (115)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 16 -

Jakost magnetskog polja -H (magnetska uzbuda)

Jakost magnetskog polja H je veličina koja je direktno

vezana sa protokom struje I

na slici je prikazana silnica magnetskog polja H∙l kao

posljedica struje I

Definicija jakost magnetskog polja H je veličina koja pokazuje mjeru magnetskog intenziteta

prostora uslijed protjecanja određene struje ImiddotN koja predstavlja magnetomotornu silu

za odnos struje i magnetskog polja vrijedi lHNI l

NIH

NI lHVm

R

l

H∙l

I

I

Pravilo prstiju

desne ruke

magnetomotorna sila magnetski napon

može se utvrditi da je zbog magnetomotorne sile ImiddotN prostor magnetski uzbuđen a mjera te

uzbude u pojedinim točkama prostora je veličina H

][

][

m

A

l

IH

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 17 -

Za definiranje odnosa između magnetske uzbude H

i vektora gustoće magnetskog polja B koristi se

torusni svitak sl1121

l

SNI 0

silnicezatvoreneduljinal

specijalnim mjerenjem induciranog napona u

pomoćnom zavoju utvrđeno je da za magnetski

tok torusnog svitka vrijedi

l

NI

S

0 dijeljenjem sa S slijedi Sl1121 Prikaz torusnog svitka

0

l

NIBB

S

uz relaciju

HB

0

skalar

vektoriHiB

0

H

slijedi izraz

Torusni svitak- odnos vektora H i B

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

(118)

(119)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 18 -

H1H2 H3

H4dl1

dl2 dl3

dl4

I

Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice

nehomogenog magnetskog polja

Zakon protjecanja (1)

B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj

duljini silnice

zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog

polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl

magnetska uzbuda konstantna (H=konst)

ldHdVm

dVm - magnetski napon

za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od

struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl

Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona

elektromagnetkog polja

a izraz za ukupni magnetski napon za

zatvorenu silnicu l je l

m ldHV

izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju

obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a

prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu

l

l IldH

strujno protjecanje

Definicija zatvoreni linijski integral

magnetske uzbude H po bilo kojoj

zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj

sumi struja koje linija l obuhvaća

u

l

i

n

i

IldHNIalg

lHNI

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 19 -

zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve

točke na silnici radijusa r H=konst

Magnetsko polje ravnog vodiča (1)

Traži se magnetska uzbuda H i magnetska

gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog

strujom I na udaljenosti r od osi vodiča

r

l

I

H

dlA

Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog

ravnog vodiča protjecanog strujom

1cos 0

ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici

slijedi prema zakonu protjecanja

IldHl

l

i uz H=konst u svim točkama

kružne magnetske silnice slijedi IdlH

l

IrH 2

ako za silnicu l radijusa r vrijedi

tada slijedi

te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje

izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom

rl 2

m

A

r

IH

2

HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T

r

IB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 110 -

struja I je ukupna struja kroz cijeli

presjek vodiča )( 2R

struja malo i predstavlja struju

koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi

2

2

2 rR

IrJi

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)

Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124

r

r

R

i

HI

Sl1124 Magnetsko polje unutar

vodiča protjecanog strujom I

2R

IJ

gustoća struje J za istosmjernu

struju je konstantna po cijelom

presjeku vodiča

(1116)

2

2

R

rIi (1117)

te je konačni izraz za veličinu

magnetskog polja unutar vodiča

mAr

R

IH

2 2

(1118)

r

IHB

2104 7

0

a za gustoću magnetsku polja B vrijedi

][ 102 7T

r

IB

(1120)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 111 -

Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog

strujom I

r

H (B)

r

IH

2

2 2

rR

IH

R

IH

2

r R r

R

IB 7102

Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)

prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko

polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog

polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 112 -

Biot - Savartov zakon

Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj

silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora

na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana

strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH

r

α

0dl

I

Magnetsko polje u točki A

prostora kao posljedica struje I

nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može

se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan

strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan

doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H

Biot-Savartov zakon

za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H

mogu se pisati izrazi

I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča

r - udaljenost dl od točke A

α - kut između dl i spojnice r -OA

dlr

IH

l

sin

4 2

2

sin

4

1

r

dlIdH

ovim zakonom i principom superpozicije može se

izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog

vodiča

smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog

produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r

r

rld

r

IHd A

24

0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 113 -

RRr

RIdl

r

I

r

dlIB

2

2

0

2

0

2

2

0

4

2sin

4

sin

4

sin

2

0 sin

2 r

RIB

slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku

indukciju B

222 xRr

rRsin

ako imamo N zavoja i

ako prema slici vrijedi 23

)(2 22

2

0

XR

RNIB

za točku M (X=0) u središtu

kružnog zavoja slijedi R

NIB

2

00

I

dl

dl

R

r

x x

y

dBdBy

dBx

M

prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B

24 r

dlIdH

2

0

4 r

dlIdB

ydB

sin

4sincos

2

0

r

dlIdBdBdBx

komponente u smjeru y se poništavaju

za komponente u smjeru osi x vrijedi

Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 114 -

2

0 sin

2 r

RIB

222 xRr

rRsin

uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu

kružnog zavoja i (X=0)

Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I

r

A

HI

I

H

l

prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija

2

sin

4 r

dlIdH

R

NIB

2

00

bull I∙dl - element struje kružnog zavoja

r - udaljenost elemenata dl od središta

bull kut između r i dl je 90 te vrijedi

slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet

polja H u središtu kružnog zavoja

r

r

Idl

r

IH

l

244 22

1sin

r

IH

2

uz N zavoja vrijedi za

jakost mag polja

r

NIH

2

a za gustoću

magnetskog toka u

vakuumu i u središtu A

kružnog zavoja slijedi r

NIB

2

0

a to je upravo granični slučaj iz

prethodnog primjera za vrijednost X=0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 115 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- sila na električne naboje u magnetskom polju

- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju

- magnetski krug

- serijski i pralelni spoj induktiviteta

- induktivitet zračnog voda i kabela

Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 3: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 12 -

S

N

N

S

N S

N

S

magnetska os

neutralna

zona Magnetske silnice elektromagneta prikazane uz pomoć

željezne piljevine

magnetska sila je vektorska veličina

silnice magnetskog polja opisuju veličinu i smjer

magnetske sile

silnice se izvan magneta prostiru od N ka S a

unutar magneta od S ka N

Magnetske silnice (1)

elektromagnet je magnetski materijal omotan električnom

žicom kroz koju prolazi struja

Magnetskim silnicama opisujemo magnetsko

polje u prostoru

na sl112 prikazane su silnice magnetskog

polja kao posljedica protoka struje I

NS

NS

NS

I

Sl112 Silnice magnetskog polja ravnog

vodiča protjecanog strujom I

I

pravilo desne ruke kaže da ako nam

ispruženi palac pokazuje smjer struje

tada savinuti prsti pokazuju smjer

kružnih silnica magnetskog polja

Pravilo prstiju desne ruke

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 13 -

dtedilidt

de

WbsVte ][][][

e - inducirani napon ovisi o brzini promjene magnetskog toka

pokusima se pokazuje da je direktna posljedica promijene magnetskog toka Φ u vremenu

nastanak električnog napona e te se može definirati jedinicu za mjerenje toka Φ

Weber (voltekunda)

magnetski tok Φ nije neko gibanje već je to posebno energetsko stanje prostora stvoreno strujom I

Magnetski tok Φ

Tok električne struje je dinamička pojava gibanja električnog naboja t

QI

to energetsko stanje prostora prikazujemo silnicama magnetskog polja

veličinu sa kojom obuhvaćamo sve magnetske silnice u nekom prostoru nazivamo magnetski tok Φ

više zavoja jače magnetsko polje

unutar svitka u sredini polje je homogeno a

izvan svitka polje je nehomogeno

Svitak predstavlja kružno namotani veći ili manji broj

vodljive električne žice u zraku ili oko nekog

magnetskog materijala

Sl115 Magnetsko polje zavoja i svitka protjecanog

električnom strujom

na sl115 prikazan je svitak sa jednim zavojem i svitak

protjecan strujom u zraku sa većim brojem zavoja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 14 -

S

S B

α Φ

Gustoća magnetskog toka B - homogeno magnetsko polje

Na sl1118 prikazano je magnetsko polje sa silnicama magnetskog toka Φ

u prostoru silnica magnetskog toka Φ nacrtana je ploha površine S pod kutem α na smjer silnica

toka Φ

na slici je ucrtan i vektor gustoće magnetskog toka B koji je konstantan u svakoj točki polja po

iznosu orijentaciji i smjeru

SB

SB 0

vektor B predstavlja dakle gustoću silnica magnetskog toka Φ

po površini S

konstB

za slučaj da silnice magnetskog toka nisu okomite na plohu

površine S tada vrijedi

SB

SB

i vektora produkt skalarni

cos

SB0

ako se predpostavi da je ploha površine S okomita na silnice

magnetskog polja tada slijedi izraz koji povezuje veličine Φ i B

u slijedećem obliku

Tm

sV

m

Wb

SB

][

][

][

][22

(Tesla)

prema izrazu (111) može se sada definirati i jedinica za mjerenje gustoće magnetskog polja B

(111)

cos SB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 15 -

Gustoća magnetskog toka B - nehomogeno magnetsko polje

U nehomogenom magnetskom polju vektor B nema u svakoj točki plohe S istu vrijednost

na sl1119 prikazano je nehomogeno magnetsko polje kroz plohu S a

posebno je u točki A prikazan diferencijal površine dS sa jediničnim vektorom dS i

vektorom B kao tangentom u odabranoj točki A

SSS

dSBSdBd cos

ukupni tok je zbroj svih diferancijala dΦ te vrijedi

dS

dS

α

S

B

A

Φ

n

Sl719 Prikaz nehomogenog magnetskog polja

ako se još definira da je normalna komponenta vektora B na dS tada se za

tok Φ može pisati

cos BBn

za takvo magnetsko polje potrebno je postaviti

diferencijalnu jednadžbu te se za odnos toka Φ i

gustoće toka B može pisati slijedeći izraz

SdBd

dS - infinitezimalno mali element površine

dΦ - diferencijal toka

(114)

konstB

S

dSB cos S

n dSB (115)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 16 -

Jakost magnetskog polja -H (magnetska uzbuda)

Jakost magnetskog polja H je veličina koja je direktno

vezana sa protokom struje I

na slici je prikazana silnica magnetskog polja H∙l kao

posljedica struje I

Definicija jakost magnetskog polja H je veličina koja pokazuje mjeru magnetskog intenziteta

prostora uslijed protjecanja određene struje ImiddotN koja predstavlja magnetomotornu silu

za odnos struje i magnetskog polja vrijedi lHNI l

NIH

NI lHVm

R

l

H∙l

I

I

Pravilo prstiju

desne ruke

magnetomotorna sila magnetski napon

može se utvrditi da je zbog magnetomotorne sile ImiddotN prostor magnetski uzbuđen a mjera te

uzbude u pojedinim točkama prostora je veličina H

][

][

m

A

l

IH

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 17 -

Za definiranje odnosa između magnetske uzbude H

i vektora gustoće magnetskog polja B koristi se

torusni svitak sl1121

l

SNI 0

silnicezatvoreneduljinal

specijalnim mjerenjem induciranog napona u

pomoćnom zavoju utvrđeno je da za magnetski

tok torusnog svitka vrijedi

l

NI

S

0 dijeljenjem sa S slijedi Sl1121 Prikaz torusnog svitka

0

l

NIBB

S

uz relaciju

HB

0

skalar

vektoriHiB

0

H

slijedi izraz

Torusni svitak- odnos vektora H i B

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

(118)

(119)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 18 -

H1H2 H3

H4dl1

dl2 dl3

dl4

I

Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice

nehomogenog magnetskog polja

Zakon protjecanja (1)

B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj

duljini silnice

zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog

polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl

magnetska uzbuda konstantna (H=konst)

ldHdVm

dVm - magnetski napon

za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od

struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl

Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona

elektromagnetkog polja

a izraz za ukupni magnetski napon za

zatvorenu silnicu l je l

m ldHV

izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju

obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a

prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu

l

l IldH

strujno protjecanje

Definicija zatvoreni linijski integral

magnetske uzbude H po bilo kojoj

zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj

sumi struja koje linija l obuhvaća

u

l

i

n

i

IldHNIalg

lHNI

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 19 -

zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve

točke na silnici radijusa r H=konst

Magnetsko polje ravnog vodiča (1)

Traži se magnetska uzbuda H i magnetska

gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog

strujom I na udaljenosti r od osi vodiča

r

l

I

H

dlA

Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog

ravnog vodiča protjecanog strujom

1cos 0

ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici

slijedi prema zakonu protjecanja

IldHl

l

i uz H=konst u svim točkama

kružne magnetske silnice slijedi IdlH

l

IrH 2

ako za silnicu l radijusa r vrijedi

tada slijedi

te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje

izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom

rl 2

m

A

r

IH

2

HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T

r

IB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 110 -

struja I je ukupna struja kroz cijeli

presjek vodiča )( 2R

struja malo i predstavlja struju

koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi

2

2

2 rR

IrJi

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)

Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124

r

r

R

i

HI

Sl1124 Magnetsko polje unutar

vodiča protjecanog strujom I

2R

IJ

gustoća struje J za istosmjernu

struju je konstantna po cijelom

presjeku vodiča

(1116)

2

2

R

rIi (1117)

te je konačni izraz za veličinu

magnetskog polja unutar vodiča

mAr

R

IH

2 2

(1118)

r

IHB

2104 7

0

a za gustoću magnetsku polja B vrijedi

][ 102 7T

r

IB

(1120)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 111 -

Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog

strujom I

r

H (B)

r

IH

2

2 2

rR

IH

R

IH

2

r R r

R

IB 7102

Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)

prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko

polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog

polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 112 -

Biot - Savartov zakon

Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj

silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora

na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana

strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH

r

α

0dl

I

Magnetsko polje u točki A

prostora kao posljedica struje I

nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može

se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan

strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan

doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H

Biot-Savartov zakon

za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H

mogu se pisati izrazi

I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča

r - udaljenost dl od točke A

α - kut između dl i spojnice r -OA

dlr

IH

l

sin

4 2

2

sin

4

1

r

dlIdH

ovim zakonom i principom superpozicije može se

izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog

vodiča

smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog

produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r

r

rld

r

IHd A

24

0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 113 -

RRr

RIdl

r

I

r

dlIB

2

2

0

2

0

2

2

0

4

2sin

4

sin

4

sin

2

0 sin

2 r

RIB

slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku

indukciju B

222 xRr

rRsin

ako imamo N zavoja i

ako prema slici vrijedi 23

)(2 22

2

0

XR

RNIB

za točku M (X=0) u središtu

kružnog zavoja slijedi R

NIB

2

00

I

dl

dl

R

r

x x

y

dBdBy

dBx

M

prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B

24 r

dlIdH

2

0

4 r

dlIdB

ydB

sin

4sincos

2

0

r

dlIdBdBdBx

komponente u smjeru y se poništavaju

za komponente u smjeru osi x vrijedi

Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 114 -

2

0 sin

2 r

RIB

222 xRr

rRsin

uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu

kružnog zavoja i (X=0)

Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I

r

A

HI

I

H

l

prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija

2

sin

4 r

dlIdH

R

NIB

2

00

bull I∙dl - element struje kružnog zavoja

r - udaljenost elemenata dl od središta

bull kut između r i dl je 90 te vrijedi

slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet

polja H u središtu kružnog zavoja

r

r

Idl

r

IH

l

244 22

1sin

r

IH

2

uz N zavoja vrijedi za

jakost mag polja

r

NIH

2

a za gustoću

magnetskog toka u

vakuumu i u središtu A

kružnog zavoja slijedi r

NIB

2

0

a to je upravo granični slučaj iz

prethodnog primjera za vrijednost X=0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 115 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- sila na električne naboje u magnetskom polju

- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju

- magnetski krug

- serijski i pralelni spoj induktiviteta

- induktivitet zračnog voda i kabela

Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 4: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 13 -

dtedilidt

de

WbsVte ][][][

e - inducirani napon ovisi o brzini promjene magnetskog toka

pokusima se pokazuje da je direktna posljedica promijene magnetskog toka Φ u vremenu

nastanak električnog napona e te se može definirati jedinicu za mjerenje toka Φ

Weber (voltekunda)

magnetski tok Φ nije neko gibanje već je to posebno energetsko stanje prostora stvoreno strujom I

Magnetski tok Φ

Tok električne struje je dinamička pojava gibanja električnog naboja t

QI

to energetsko stanje prostora prikazujemo silnicama magnetskog polja

veličinu sa kojom obuhvaćamo sve magnetske silnice u nekom prostoru nazivamo magnetski tok Φ

više zavoja jače magnetsko polje

unutar svitka u sredini polje je homogeno a

izvan svitka polje je nehomogeno

Svitak predstavlja kružno namotani veći ili manji broj

vodljive električne žice u zraku ili oko nekog

magnetskog materijala

Sl115 Magnetsko polje zavoja i svitka protjecanog

električnom strujom

na sl115 prikazan je svitak sa jednim zavojem i svitak

protjecan strujom u zraku sa većim brojem zavoja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 14 -

S

S B

α Φ

Gustoća magnetskog toka B - homogeno magnetsko polje

Na sl1118 prikazano je magnetsko polje sa silnicama magnetskog toka Φ

u prostoru silnica magnetskog toka Φ nacrtana je ploha površine S pod kutem α na smjer silnica

toka Φ

na slici je ucrtan i vektor gustoće magnetskog toka B koji je konstantan u svakoj točki polja po

iznosu orijentaciji i smjeru

SB

SB 0

vektor B predstavlja dakle gustoću silnica magnetskog toka Φ

po površini S

konstB

za slučaj da silnice magnetskog toka nisu okomite na plohu

površine S tada vrijedi

SB

SB

i vektora produkt skalarni

cos

SB0

ako se predpostavi da je ploha površine S okomita na silnice

magnetskog polja tada slijedi izraz koji povezuje veličine Φ i B

u slijedećem obliku

Tm

sV

m

Wb

SB

][

][

][

][22

(Tesla)

prema izrazu (111) može se sada definirati i jedinica za mjerenje gustoće magnetskog polja B

(111)

cos SB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 15 -

Gustoća magnetskog toka B - nehomogeno magnetsko polje

U nehomogenom magnetskom polju vektor B nema u svakoj točki plohe S istu vrijednost

na sl1119 prikazano je nehomogeno magnetsko polje kroz plohu S a

posebno je u točki A prikazan diferencijal površine dS sa jediničnim vektorom dS i

vektorom B kao tangentom u odabranoj točki A

SSS

dSBSdBd cos

ukupni tok je zbroj svih diferancijala dΦ te vrijedi

dS

dS

α

S

B

A

Φ

n

Sl719 Prikaz nehomogenog magnetskog polja

ako se još definira da je normalna komponenta vektora B na dS tada se za

tok Φ može pisati

cos BBn

za takvo magnetsko polje potrebno je postaviti

diferencijalnu jednadžbu te se za odnos toka Φ i

gustoće toka B može pisati slijedeći izraz

SdBd

dS - infinitezimalno mali element površine

dΦ - diferencijal toka

(114)

konstB

S

dSB cos S

n dSB (115)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 16 -

Jakost magnetskog polja -H (magnetska uzbuda)

Jakost magnetskog polja H je veličina koja je direktno

vezana sa protokom struje I

na slici je prikazana silnica magnetskog polja H∙l kao

posljedica struje I

Definicija jakost magnetskog polja H je veličina koja pokazuje mjeru magnetskog intenziteta

prostora uslijed protjecanja određene struje ImiddotN koja predstavlja magnetomotornu silu

za odnos struje i magnetskog polja vrijedi lHNI l

NIH

NI lHVm

R

l

H∙l

I

I

Pravilo prstiju

desne ruke

magnetomotorna sila magnetski napon

može se utvrditi da je zbog magnetomotorne sile ImiddotN prostor magnetski uzbuđen a mjera te

uzbude u pojedinim točkama prostora je veličina H

][

][

m

A

l

IH

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 17 -

Za definiranje odnosa između magnetske uzbude H

i vektora gustoće magnetskog polja B koristi se

torusni svitak sl1121

l

SNI 0

silnicezatvoreneduljinal

specijalnim mjerenjem induciranog napona u

pomoćnom zavoju utvrđeno je da za magnetski

tok torusnog svitka vrijedi

l

NI

S

0 dijeljenjem sa S slijedi Sl1121 Prikaz torusnog svitka

0

l

NIBB

S

uz relaciju

HB

0

skalar

vektoriHiB

0

H

slijedi izraz

Torusni svitak- odnos vektora H i B

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

(118)

(119)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 18 -

H1H2 H3

H4dl1

dl2 dl3

dl4

I

Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice

nehomogenog magnetskog polja

Zakon protjecanja (1)

B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj

duljini silnice

zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog

polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl

magnetska uzbuda konstantna (H=konst)

ldHdVm

dVm - magnetski napon

za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od

struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl

Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona

elektromagnetkog polja

a izraz za ukupni magnetski napon za

zatvorenu silnicu l je l

m ldHV

izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju

obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a

prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu

l

l IldH

strujno protjecanje

Definicija zatvoreni linijski integral

magnetske uzbude H po bilo kojoj

zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj

sumi struja koje linija l obuhvaća

u

l

i

n

i

IldHNIalg

lHNI

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 19 -

zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve

točke na silnici radijusa r H=konst

Magnetsko polje ravnog vodiča (1)

Traži se magnetska uzbuda H i magnetska

gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog

strujom I na udaljenosti r od osi vodiča

r

l

I

H

dlA

Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog

ravnog vodiča protjecanog strujom

1cos 0

ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici

slijedi prema zakonu protjecanja

IldHl

l

i uz H=konst u svim točkama

kružne magnetske silnice slijedi IdlH

l

IrH 2

ako za silnicu l radijusa r vrijedi

tada slijedi

te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje

izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom

rl 2

m

A

r

IH

2

HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T

r

IB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 110 -

struja I je ukupna struja kroz cijeli

presjek vodiča )( 2R

struja malo i predstavlja struju

koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi

2

2

2 rR

IrJi

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)

Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124

r

r

R

i

HI

Sl1124 Magnetsko polje unutar

vodiča protjecanog strujom I

2R

IJ

gustoća struje J za istosmjernu

struju je konstantna po cijelom

presjeku vodiča

(1116)

2

2

R

rIi (1117)

te je konačni izraz za veličinu

magnetskog polja unutar vodiča

mAr

R

IH

2 2

(1118)

r

IHB

2104 7

0

a za gustoću magnetsku polja B vrijedi

][ 102 7T

r

IB

(1120)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 111 -

Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog

strujom I

r

H (B)

r

IH

2

2 2

rR

IH

R

IH

2

r R r

R

IB 7102

Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)

prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko

polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog

polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 112 -

Biot - Savartov zakon

Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj

silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora

na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana

strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH

r

α

0dl

I

Magnetsko polje u točki A

prostora kao posljedica struje I

nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može

se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan

strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan

doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H

Biot-Savartov zakon

za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H

mogu se pisati izrazi

I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča

r - udaljenost dl od točke A

α - kut između dl i spojnice r -OA

dlr

IH

l

sin

4 2

2

sin

4

1

r

dlIdH

ovim zakonom i principom superpozicije može se

izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog

vodiča

smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog

produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r

r

rld

r

IHd A

24

0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 113 -

RRr

RIdl

r

I

r

dlIB

2

2

0

2

0

2

2

0

4

2sin

4

sin

4

sin

2

0 sin

2 r

RIB

slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku

indukciju B

222 xRr

rRsin

ako imamo N zavoja i

ako prema slici vrijedi 23

)(2 22

2

0

XR

RNIB

za točku M (X=0) u središtu

kružnog zavoja slijedi R

NIB

2

00

I

dl

dl

R

r

x x

y

dBdBy

dBx

M

prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B

24 r

dlIdH

2

0

4 r

dlIdB

ydB

sin

4sincos

2

0

r

dlIdBdBdBx

komponente u smjeru y se poništavaju

za komponente u smjeru osi x vrijedi

Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 114 -

2

0 sin

2 r

RIB

222 xRr

rRsin

uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu

kružnog zavoja i (X=0)

Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I

r

A

HI

I

H

l

prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija

2

sin

4 r

dlIdH

R

NIB

2

00

bull I∙dl - element struje kružnog zavoja

r - udaljenost elemenata dl od središta

bull kut između r i dl je 90 te vrijedi

slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet

polja H u središtu kružnog zavoja

r

r

Idl

r

IH

l

244 22

1sin

r

IH

2

uz N zavoja vrijedi za

jakost mag polja

r

NIH

2

a za gustoću

magnetskog toka u

vakuumu i u središtu A

kružnog zavoja slijedi r

NIB

2

0

a to je upravo granični slučaj iz

prethodnog primjera za vrijednost X=0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 115 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- sila na električne naboje u magnetskom polju

- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju

- magnetski krug

- serijski i pralelni spoj induktiviteta

- induktivitet zračnog voda i kabela

Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 5: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 14 -

S

S B

α Φ

Gustoća magnetskog toka B - homogeno magnetsko polje

Na sl1118 prikazano je magnetsko polje sa silnicama magnetskog toka Φ

u prostoru silnica magnetskog toka Φ nacrtana je ploha površine S pod kutem α na smjer silnica

toka Φ

na slici je ucrtan i vektor gustoće magnetskog toka B koji je konstantan u svakoj točki polja po

iznosu orijentaciji i smjeru

SB

SB 0

vektor B predstavlja dakle gustoću silnica magnetskog toka Φ

po površini S

konstB

za slučaj da silnice magnetskog toka nisu okomite na plohu

površine S tada vrijedi

SB

SB

i vektora produkt skalarni

cos

SB0

ako se predpostavi da je ploha površine S okomita na silnice

magnetskog polja tada slijedi izraz koji povezuje veličine Φ i B

u slijedećem obliku

Tm

sV

m

Wb

SB

][

][

][

][22

(Tesla)

prema izrazu (111) može se sada definirati i jedinica za mjerenje gustoće magnetskog polja B

(111)

cos SB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 15 -

Gustoća magnetskog toka B - nehomogeno magnetsko polje

U nehomogenom magnetskom polju vektor B nema u svakoj točki plohe S istu vrijednost

na sl1119 prikazano je nehomogeno magnetsko polje kroz plohu S a

posebno je u točki A prikazan diferencijal površine dS sa jediničnim vektorom dS i

vektorom B kao tangentom u odabranoj točki A

SSS

dSBSdBd cos

ukupni tok je zbroj svih diferancijala dΦ te vrijedi

dS

dS

α

S

B

A

Φ

n

Sl719 Prikaz nehomogenog magnetskog polja

ako se još definira da je normalna komponenta vektora B na dS tada se za

tok Φ može pisati

cos BBn

za takvo magnetsko polje potrebno je postaviti

diferencijalnu jednadžbu te se za odnos toka Φ i

gustoće toka B može pisati slijedeći izraz

SdBd

dS - infinitezimalno mali element površine

dΦ - diferencijal toka

(114)

konstB

S

dSB cos S

n dSB (115)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 16 -

Jakost magnetskog polja -H (magnetska uzbuda)

Jakost magnetskog polja H je veličina koja je direktno

vezana sa protokom struje I

na slici je prikazana silnica magnetskog polja H∙l kao

posljedica struje I

Definicija jakost magnetskog polja H je veličina koja pokazuje mjeru magnetskog intenziteta

prostora uslijed protjecanja određene struje ImiddotN koja predstavlja magnetomotornu silu

za odnos struje i magnetskog polja vrijedi lHNI l

NIH

NI lHVm

R

l

H∙l

I

I

Pravilo prstiju

desne ruke

magnetomotorna sila magnetski napon

može se utvrditi da je zbog magnetomotorne sile ImiddotN prostor magnetski uzbuđen a mjera te

uzbude u pojedinim točkama prostora je veličina H

][

][

m

A

l

IH

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 17 -

Za definiranje odnosa između magnetske uzbude H

i vektora gustoće magnetskog polja B koristi se

torusni svitak sl1121

l

SNI 0

silnicezatvoreneduljinal

specijalnim mjerenjem induciranog napona u

pomoćnom zavoju utvrđeno je da za magnetski

tok torusnog svitka vrijedi

l

NI

S

0 dijeljenjem sa S slijedi Sl1121 Prikaz torusnog svitka

0

l

NIBB

S

uz relaciju

HB

0

skalar

vektoriHiB

0

H

slijedi izraz

Torusni svitak- odnos vektora H i B

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

(118)

(119)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 18 -

H1H2 H3

H4dl1

dl2 dl3

dl4

I

Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice

nehomogenog magnetskog polja

Zakon protjecanja (1)

B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj

duljini silnice

zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog

polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl

magnetska uzbuda konstantna (H=konst)

ldHdVm

dVm - magnetski napon

za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od

struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl

Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona

elektromagnetkog polja

a izraz za ukupni magnetski napon za

zatvorenu silnicu l je l

m ldHV

izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju

obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a

prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu

l

l IldH

strujno protjecanje

Definicija zatvoreni linijski integral

magnetske uzbude H po bilo kojoj

zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj

sumi struja koje linija l obuhvaća

u

l

i

n

i

IldHNIalg

lHNI

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 19 -

zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve

točke na silnici radijusa r H=konst

Magnetsko polje ravnog vodiča (1)

Traži se magnetska uzbuda H i magnetska

gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog

strujom I na udaljenosti r od osi vodiča

r

l

I

H

dlA

Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog

ravnog vodiča protjecanog strujom

1cos 0

ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici

slijedi prema zakonu protjecanja

IldHl

l

i uz H=konst u svim točkama

kružne magnetske silnice slijedi IdlH

l

IrH 2

ako za silnicu l radijusa r vrijedi

tada slijedi

te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje

izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom

rl 2

m

A

r

IH

2

HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T

r

IB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 110 -

struja I je ukupna struja kroz cijeli

presjek vodiča )( 2R

struja malo i predstavlja struju

koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi

2

2

2 rR

IrJi

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)

Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124

r

r

R

i

HI

Sl1124 Magnetsko polje unutar

vodiča protjecanog strujom I

2R

IJ

gustoća struje J za istosmjernu

struju je konstantna po cijelom

presjeku vodiča

(1116)

2

2

R

rIi (1117)

te je konačni izraz za veličinu

magnetskog polja unutar vodiča

mAr

R

IH

2 2

(1118)

r

IHB

2104 7

0

a za gustoću magnetsku polja B vrijedi

][ 102 7T

r

IB

(1120)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 111 -

Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog

strujom I

r

H (B)

r

IH

2

2 2

rR

IH

R

IH

2

r R r

R

IB 7102

Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)

prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko

polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog

polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 112 -

Biot - Savartov zakon

Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj

silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora

na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana

strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH

r

α

0dl

I

Magnetsko polje u točki A

prostora kao posljedica struje I

nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može

se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan

strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan

doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H

Biot-Savartov zakon

za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H

mogu se pisati izrazi

I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča

r - udaljenost dl od točke A

α - kut između dl i spojnice r -OA

dlr

IH

l

sin

4 2

2

sin

4

1

r

dlIdH

ovim zakonom i principom superpozicije može se

izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog

vodiča

smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog

produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r

r

rld

r

IHd A

24

0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 113 -

RRr

RIdl

r

I

r

dlIB

2

2

0

2

0

2

2

0

4

2sin

4

sin

4

sin

2

0 sin

2 r

RIB

slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku

indukciju B

222 xRr

rRsin

ako imamo N zavoja i

ako prema slici vrijedi 23

)(2 22

2

0

XR

RNIB

za točku M (X=0) u središtu

kružnog zavoja slijedi R

NIB

2

00

I

dl

dl

R

r

x x

y

dBdBy

dBx

M

prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B

24 r

dlIdH

2

0

4 r

dlIdB

ydB

sin

4sincos

2

0

r

dlIdBdBdBx

komponente u smjeru y se poništavaju

za komponente u smjeru osi x vrijedi

Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 114 -

2

0 sin

2 r

RIB

222 xRr

rRsin

uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu

kružnog zavoja i (X=0)

Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I

r

A

HI

I

H

l

prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija

2

sin

4 r

dlIdH

R

NIB

2

00

bull I∙dl - element struje kružnog zavoja

r - udaljenost elemenata dl od središta

bull kut između r i dl je 90 te vrijedi

slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet

polja H u središtu kružnog zavoja

r

r

Idl

r

IH

l

244 22

1sin

r

IH

2

uz N zavoja vrijedi za

jakost mag polja

r

NIH

2

a za gustoću

magnetskog toka u

vakuumu i u središtu A

kružnog zavoja slijedi r

NIB

2

0

a to je upravo granični slučaj iz

prethodnog primjera za vrijednost X=0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 115 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- sila na električne naboje u magnetskom polju

- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju

- magnetski krug

- serijski i pralelni spoj induktiviteta

- induktivitet zračnog voda i kabela

Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 6: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 15 -

Gustoća magnetskog toka B - nehomogeno magnetsko polje

U nehomogenom magnetskom polju vektor B nema u svakoj točki plohe S istu vrijednost

na sl1119 prikazano je nehomogeno magnetsko polje kroz plohu S a

posebno je u točki A prikazan diferencijal površine dS sa jediničnim vektorom dS i

vektorom B kao tangentom u odabranoj točki A

SSS

dSBSdBd cos

ukupni tok je zbroj svih diferancijala dΦ te vrijedi

dS

dS

α

S

B

A

Φ

n

Sl719 Prikaz nehomogenog magnetskog polja

ako se još definira da je normalna komponenta vektora B na dS tada se za

tok Φ može pisati

cos BBn

za takvo magnetsko polje potrebno je postaviti

diferencijalnu jednadžbu te se za odnos toka Φ i

gustoće toka B može pisati slijedeći izraz

SdBd

dS - infinitezimalno mali element površine

dΦ - diferencijal toka

(114)

konstB

S

dSB cos S

n dSB (115)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 16 -

Jakost magnetskog polja -H (magnetska uzbuda)

Jakost magnetskog polja H je veličina koja je direktno

vezana sa protokom struje I

na slici je prikazana silnica magnetskog polja H∙l kao

posljedica struje I

Definicija jakost magnetskog polja H je veličina koja pokazuje mjeru magnetskog intenziteta

prostora uslijed protjecanja određene struje ImiddotN koja predstavlja magnetomotornu silu

za odnos struje i magnetskog polja vrijedi lHNI l

NIH

NI lHVm

R

l

H∙l

I

I

Pravilo prstiju

desne ruke

magnetomotorna sila magnetski napon

može se utvrditi da je zbog magnetomotorne sile ImiddotN prostor magnetski uzbuđen a mjera te

uzbude u pojedinim točkama prostora je veličina H

][

][

m

A

l

IH

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 17 -

Za definiranje odnosa između magnetske uzbude H

i vektora gustoće magnetskog polja B koristi se

torusni svitak sl1121

l

SNI 0

silnicezatvoreneduljinal

specijalnim mjerenjem induciranog napona u

pomoćnom zavoju utvrđeno je da za magnetski

tok torusnog svitka vrijedi

l

NI

S

0 dijeljenjem sa S slijedi Sl1121 Prikaz torusnog svitka

0

l

NIBB

S

uz relaciju

HB

0

skalar

vektoriHiB

0

H

slijedi izraz

Torusni svitak- odnos vektora H i B

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

(118)

(119)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 18 -

H1H2 H3

H4dl1

dl2 dl3

dl4

I

Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice

nehomogenog magnetskog polja

Zakon protjecanja (1)

B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj

duljini silnice

zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog

polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl

magnetska uzbuda konstantna (H=konst)

ldHdVm

dVm - magnetski napon

za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od

struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl

Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona

elektromagnetkog polja

a izraz za ukupni magnetski napon za

zatvorenu silnicu l je l

m ldHV

izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju

obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a

prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu

l

l IldH

strujno protjecanje

Definicija zatvoreni linijski integral

magnetske uzbude H po bilo kojoj

zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj

sumi struja koje linija l obuhvaća

u

l

i

n

i

IldHNIalg

lHNI

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 19 -

zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve

točke na silnici radijusa r H=konst

Magnetsko polje ravnog vodiča (1)

Traži se magnetska uzbuda H i magnetska

gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog

strujom I na udaljenosti r od osi vodiča

r

l

I

H

dlA

Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog

ravnog vodiča protjecanog strujom

1cos 0

ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici

slijedi prema zakonu protjecanja

IldHl

l

i uz H=konst u svim točkama

kružne magnetske silnice slijedi IdlH

l

IrH 2

ako za silnicu l radijusa r vrijedi

tada slijedi

te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje

izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom

rl 2

m

A

r

IH

2

HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T

r

IB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 110 -

struja I je ukupna struja kroz cijeli

presjek vodiča )( 2R

struja malo i predstavlja struju

koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi

2

2

2 rR

IrJi

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)

Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124

r

r

R

i

HI

Sl1124 Magnetsko polje unutar

vodiča protjecanog strujom I

2R

IJ

gustoća struje J za istosmjernu

struju je konstantna po cijelom

presjeku vodiča

(1116)

2

2

R

rIi (1117)

te je konačni izraz za veličinu

magnetskog polja unutar vodiča

mAr

R

IH

2 2

(1118)

r

IHB

2104 7

0

a za gustoću magnetsku polja B vrijedi

][ 102 7T

r

IB

(1120)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 111 -

Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog

strujom I

r

H (B)

r

IH

2

2 2

rR

IH

R

IH

2

r R r

R

IB 7102

Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)

prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko

polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog

polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 112 -

Biot - Savartov zakon

Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj

silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora

na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana

strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH

r

α

0dl

I

Magnetsko polje u točki A

prostora kao posljedica struje I

nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može

se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan

strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan

doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H

Biot-Savartov zakon

za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H

mogu se pisati izrazi

I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča

r - udaljenost dl od točke A

α - kut između dl i spojnice r -OA

dlr

IH

l

sin

4 2

2

sin

4

1

r

dlIdH

ovim zakonom i principom superpozicije može se

izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog

vodiča

smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog

produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r

r

rld

r

IHd A

24

0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 113 -

RRr

RIdl

r

I

r

dlIB

2

2

0

2

0

2

2

0

4

2sin

4

sin

4

sin

2

0 sin

2 r

RIB

slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku

indukciju B

222 xRr

rRsin

ako imamo N zavoja i

ako prema slici vrijedi 23

)(2 22

2

0

XR

RNIB

za točku M (X=0) u središtu

kružnog zavoja slijedi R

NIB

2

00

I

dl

dl

R

r

x x

y

dBdBy

dBx

M

prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B

24 r

dlIdH

2

0

4 r

dlIdB

ydB

sin

4sincos

2

0

r

dlIdBdBdBx

komponente u smjeru y se poništavaju

za komponente u smjeru osi x vrijedi

Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 114 -

2

0 sin

2 r

RIB

222 xRr

rRsin

uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu

kružnog zavoja i (X=0)

Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I

r

A

HI

I

H

l

prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija

2

sin

4 r

dlIdH

R

NIB

2

00

bull I∙dl - element struje kružnog zavoja

r - udaljenost elemenata dl od središta

bull kut između r i dl je 90 te vrijedi

slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet

polja H u središtu kružnog zavoja

r

r

Idl

r

IH

l

244 22

1sin

r

IH

2

uz N zavoja vrijedi za

jakost mag polja

r

NIH

2

a za gustoću

magnetskog toka u

vakuumu i u središtu A

kružnog zavoja slijedi r

NIB

2

0

a to je upravo granični slučaj iz

prethodnog primjera za vrijednost X=0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 115 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- sila na električne naboje u magnetskom polju

- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju

- magnetski krug

- serijski i pralelni spoj induktiviteta

- induktivitet zračnog voda i kabela

Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 7: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 16 -

Jakost magnetskog polja -H (magnetska uzbuda)

Jakost magnetskog polja H je veličina koja je direktno

vezana sa protokom struje I

na slici je prikazana silnica magnetskog polja H∙l kao

posljedica struje I

Definicija jakost magnetskog polja H je veličina koja pokazuje mjeru magnetskog intenziteta

prostora uslijed protjecanja određene struje ImiddotN koja predstavlja magnetomotornu silu

za odnos struje i magnetskog polja vrijedi lHNI l

NIH

NI lHVm

R

l

H∙l

I

I

Pravilo prstiju

desne ruke

magnetomotorna sila magnetski napon

može se utvrditi da je zbog magnetomotorne sile ImiddotN prostor magnetski uzbuđen a mjera te

uzbude u pojedinim točkama prostora je veličina H

][

][

m

A

l

IH

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 17 -

Za definiranje odnosa između magnetske uzbude H

i vektora gustoće magnetskog polja B koristi se

torusni svitak sl1121

l

SNI 0

silnicezatvoreneduljinal

specijalnim mjerenjem induciranog napona u

pomoćnom zavoju utvrđeno je da za magnetski

tok torusnog svitka vrijedi

l

NI

S

0 dijeljenjem sa S slijedi Sl1121 Prikaz torusnog svitka

0

l

NIBB

S

uz relaciju

HB

0

skalar

vektoriHiB

0

H

slijedi izraz

Torusni svitak- odnos vektora H i B

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

(118)

(119)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 18 -

H1H2 H3

H4dl1

dl2 dl3

dl4

I

Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice

nehomogenog magnetskog polja

Zakon protjecanja (1)

B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj

duljini silnice

zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog

polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl

magnetska uzbuda konstantna (H=konst)

ldHdVm

dVm - magnetski napon

za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od

struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl

Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona

elektromagnetkog polja

a izraz za ukupni magnetski napon za

zatvorenu silnicu l je l

m ldHV

izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju

obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a

prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu

l

l IldH

strujno protjecanje

Definicija zatvoreni linijski integral

magnetske uzbude H po bilo kojoj

zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj

sumi struja koje linija l obuhvaća

u

l

i

n

i

IldHNIalg

lHNI

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 19 -

zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve

točke na silnici radijusa r H=konst

Magnetsko polje ravnog vodiča (1)

Traži se magnetska uzbuda H i magnetska

gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog

strujom I na udaljenosti r od osi vodiča

r

l

I

H

dlA

Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog

ravnog vodiča protjecanog strujom

1cos 0

ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici

slijedi prema zakonu protjecanja

IldHl

l

i uz H=konst u svim točkama

kružne magnetske silnice slijedi IdlH

l

IrH 2

ako za silnicu l radijusa r vrijedi

tada slijedi

te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje

izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom

rl 2

m

A

r

IH

2

HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T

r

IB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 110 -

struja I je ukupna struja kroz cijeli

presjek vodiča )( 2R

struja malo i predstavlja struju

koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi

2

2

2 rR

IrJi

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)

Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124

r

r

R

i

HI

Sl1124 Magnetsko polje unutar

vodiča protjecanog strujom I

2R

IJ

gustoća struje J za istosmjernu

struju je konstantna po cijelom

presjeku vodiča

(1116)

2

2

R

rIi (1117)

te je konačni izraz za veličinu

magnetskog polja unutar vodiča

mAr

R

IH

2 2

(1118)

r

IHB

2104 7

0

a za gustoću magnetsku polja B vrijedi

][ 102 7T

r

IB

(1120)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 111 -

Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog

strujom I

r

H (B)

r

IH

2

2 2

rR

IH

R

IH

2

r R r

R

IB 7102

Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)

prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko

polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog

polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 112 -

Biot - Savartov zakon

Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj

silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora

na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana

strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH

r

α

0dl

I

Magnetsko polje u točki A

prostora kao posljedica struje I

nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može

se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan

strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan

doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H

Biot-Savartov zakon

za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H

mogu se pisati izrazi

I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča

r - udaljenost dl od točke A

α - kut između dl i spojnice r -OA

dlr

IH

l

sin

4 2

2

sin

4

1

r

dlIdH

ovim zakonom i principom superpozicije može se

izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog

vodiča

smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog

produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r

r

rld

r

IHd A

24

0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 113 -

RRr

RIdl

r

I

r

dlIB

2

2

0

2

0

2

2

0

4

2sin

4

sin

4

sin

2

0 sin

2 r

RIB

slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku

indukciju B

222 xRr

rRsin

ako imamo N zavoja i

ako prema slici vrijedi 23

)(2 22

2

0

XR

RNIB

za točku M (X=0) u središtu

kružnog zavoja slijedi R

NIB

2

00

I

dl

dl

R

r

x x

y

dBdBy

dBx

M

prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B

24 r

dlIdH

2

0

4 r

dlIdB

ydB

sin

4sincos

2

0

r

dlIdBdBdBx

komponente u smjeru y se poništavaju

za komponente u smjeru osi x vrijedi

Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 114 -

2

0 sin

2 r

RIB

222 xRr

rRsin

uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu

kružnog zavoja i (X=0)

Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I

r

A

HI

I

H

l

prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija

2

sin

4 r

dlIdH

R

NIB

2

00

bull I∙dl - element struje kružnog zavoja

r - udaljenost elemenata dl od središta

bull kut između r i dl je 90 te vrijedi

slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet

polja H u središtu kružnog zavoja

r

r

Idl

r

IH

l

244 22

1sin

r

IH

2

uz N zavoja vrijedi za

jakost mag polja

r

NIH

2

a za gustoću

magnetskog toka u

vakuumu i u središtu A

kružnog zavoja slijedi r

NIB

2

0

a to je upravo granični slučaj iz

prethodnog primjera za vrijednost X=0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 115 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- sila na električne naboje u magnetskom polju

- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju

- magnetski krug

- serijski i pralelni spoj induktiviteta

- induktivitet zračnog voda i kabela

Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 8: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 17 -

Za definiranje odnosa između magnetske uzbude H

i vektora gustoće magnetskog polja B koristi se

torusni svitak sl1121

l

SNI 0

silnicezatvoreneduljinal

specijalnim mjerenjem induciranog napona u

pomoćnom zavoju utvrđeno je da za magnetski

tok torusnog svitka vrijedi

l

NI

S

0 dijeljenjem sa S slijedi Sl1121 Prikaz torusnog svitka

0

l

NIBB

S

uz relaciju

HB

0

skalar

vektoriHiB

0

H

slijedi izraz

Torusni svitak- odnos vektora H i B

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

(118)

(119)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 18 -

H1H2 H3

H4dl1

dl2 dl3

dl4

I

Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice

nehomogenog magnetskog polja

Zakon protjecanja (1)

B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj

duljini silnice

zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog

polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl

magnetska uzbuda konstantna (H=konst)

ldHdVm

dVm - magnetski napon

za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od

struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl

Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona

elektromagnetkog polja

a izraz za ukupni magnetski napon za

zatvorenu silnicu l je l

m ldHV

izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju

obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a

prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu

l

l IldH

strujno protjecanje

Definicija zatvoreni linijski integral

magnetske uzbude H po bilo kojoj

zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj

sumi struja koje linija l obuhvaća

u

l

i

n

i

IldHNIalg

lHNI

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 19 -

zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve

točke na silnici radijusa r H=konst

Magnetsko polje ravnog vodiča (1)

Traži se magnetska uzbuda H i magnetska

gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog

strujom I na udaljenosti r od osi vodiča

r

l

I

H

dlA

Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog

ravnog vodiča protjecanog strujom

1cos 0

ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici

slijedi prema zakonu protjecanja

IldHl

l

i uz H=konst u svim točkama

kružne magnetske silnice slijedi IdlH

l

IrH 2

ako za silnicu l radijusa r vrijedi

tada slijedi

te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje

izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom

rl 2

m

A

r

IH

2

HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T

r

IB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 110 -

struja I je ukupna struja kroz cijeli

presjek vodiča )( 2R

struja malo i predstavlja struju

koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi

2

2

2 rR

IrJi

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)

Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124

r

r

R

i

HI

Sl1124 Magnetsko polje unutar

vodiča protjecanog strujom I

2R

IJ

gustoća struje J za istosmjernu

struju je konstantna po cijelom

presjeku vodiča

(1116)

2

2

R

rIi (1117)

te je konačni izraz za veličinu

magnetskog polja unutar vodiča

mAr

R

IH

2 2

(1118)

r

IHB

2104 7

0

a za gustoću magnetsku polja B vrijedi

][ 102 7T

r

IB

(1120)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 111 -

Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog

strujom I

r

H (B)

r

IH

2

2 2

rR

IH

R

IH

2

r R r

R

IB 7102

Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)

prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko

polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog

polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 112 -

Biot - Savartov zakon

Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj

silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora

na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana

strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH

r

α

0dl

I

Magnetsko polje u točki A

prostora kao posljedica struje I

nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može

se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan

strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan

doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H

Biot-Savartov zakon

za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H

mogu se pisati izrazi

I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča

r - udaljenost dl od točke A

α - kut između dl i spojnice r -OA

dlr

IH

l

sin

4 2

2

sin

4

1

r

dlIdH

ovim zakonom i principom superpozicije može se

izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog

vodiča

smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog

produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r

r

rld

r

IHd A

24

0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 113 -

RRr

RIdl

r

I

r

dlIB

2

2

0

2

0

2

2

0

4

2sin

4

sin

4

sin

2

0 sin

2 r

RIB

slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku

indukciju B

222 xRr

rRsin

ako imamo N zavoja i

ako prema slici vrijedi 23

)(2 22

2

0

XR

RNIB

za točku M (X=0) u središtu

kružnog zavoja slijedi R

NIB

2

00

I

dl

dl

R

r

x x

y

dBdBy

dBx

M

prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B

24 r

dlIdH

2

0

4 r

dlIdB

ydB

sin

4sincos

2

0

r

dlIdBdBdBx

komponente u smjeru y se poništavaju

za komponente u smjeru osi x vrijedi

Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 114 -

2

0 sin

2 r

RIB

222 xRr

rRsin

uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu

kružnog zavoja i (X=0)

Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I

r

A

HI

I

H

l

prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija

2

sin

4 r

dlIdH

R

NIB

2

00

bull I∙dl - element struje kružnog zavoja

r - udaljenost elemenata dl od središta

bull kut između r i dl je 90 te vrijedi

slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet

polja H u središtu kružnog zavoja

r

r

Idl

r

IH

l

244 22

1sin

r

IH

2

uz N zavoja vrijedi za

jakost mag polja

r

NIH

2

a za gustoću

magnetskog toka u

vakuumu i u središtu A

kružnog zavoja slijedi r

NIB

2

0

a to je upravo granični slučaj iz

prethodnog primjera za vrijednost X=0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 115 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- sila na električne naboje u magnetskom polju

- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju

- magnetski krug

- serijski i pralelni spoj induktiviteta

- induktivitet zračnog voda i kabela

Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 9: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 18 -

H1H2 H3

H4dl1

dl2 dl3

dl4

I

Sl1122 Svitak protjecan strujom i silnice

nehomogenog magnetskog polja

Zakon protjecanja (1)

B i H se mijenjaju od točke do točke po cijeloj

duljini silnice

zbog promjenjljivih veličina B i H i nehomogenog

polja slijedi da je na infinitezimalnoj duljini dl

magnetska uzbuda konstantna (H=konst)

ldHdVm

dVm - magnetski napon

za zatvorenu silnicu sav magnetski napon V dobiven je od

struje u svim zavojima tj od svih amperzavoja te vrijedi ][ AzNIldHl

Zakon protjecanja je jedan od osnovnih zakona

elektromagnetkog polja

a izraz za ukupni magnetski napon za

zatvorenu silnicu l je l

m ldHV

izraz Iu=I ∙N je ukupan broj ampera kroz plohu koju

obuhvaća zatvorena linija l i naziva se strujno protjecanje a

prikazana jednadžba naziva se ZAKON PROTJECANJA i ][ Azu

l

l IldH

strujno protjecanje

Definicija zatvoreni linijski integral

magnetske uzbude H po bilo kojoj

zatvorenoj konturi l jednak je algebarskoj

sumi struja koje linija l obuhvaća

u

l

i

n

i

IldHNIalg

lHNI

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 19 -

zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve

točke na silnici radijusa r H=konst

Magnetsko polje ravnog vodiča (1)

Traži se magnetska uzbuda H i magnetska

gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog

strujom I na udaljenosti r od osi vodiča

r

l

I

H

dlA

Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog

ravnog vodiča protjecanog strujom

1cos 0

ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici

slijedi prema zakonu protjecanja

IldHl

l

i uz H=konst u svim točkama

kružne magnetske silnice slijedi IdlH

l

IrH 2

ako za silnicu l radijusa r vrijedi

tada slijedi

te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje

izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom

rl 2

m

A

r

IH

2

HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T

r

IB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 110 -

struja I je ukupna struja kroz cijeli

presjek vodiča )( 2R

struja malo i predstavlja struju

koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi

2

2

2 rR

IrJi

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)

Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124

r

r

R

i

HI

Sl1124 Magnetsko polje unutar

vodiča protjecanog strujom I

2R

IJ

gustoća struje J za istosmjernu

struju je konstantna po cijelom

presjeku vodiča

(1116)

2

2

R

rIi (1117)

te je konačni izraz za veličinu

magnetskog polja unutar vodiča

mAr

R

IH

2 2

(1118)

r

IHB

2104 7

0

a za gustoću magnetsku polja B vrijedi

][ 102 7T

r

IB

(1120)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 111 -

Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog

strujom I

r

H (B)

r

IH

2

2 2

rR

IH

R

IH

2

r R r

R

IB 7102

Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)

prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko

polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog

polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 112 -

Biot - Savartov zakon

Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj

silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora

na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana

strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH

r

α

0dl

I

Magnetsko polje u točki A

prostora kao posljedica struje I

nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može

se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan

strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan

doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H

Biot-Savartov zakon

za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H

mogu se pisati izrazi

I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča

r - udaljenost dl od točke A

α - kut između dl i spojnice r -OA

dlr

IH

l

sin

4 2

2

sin

4

1

r

dlIdH

ovim zakonom i principom superpozicije može se

izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog

vodiča

smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog

produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r

r

rld

r

IHd A

24

0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 113 -

RRr

RIdl

r

I

r

dlIB

2

2

0

2

0

2

2

0

4

2sin

4

sin

4

sin

2

0 sin

2 r

RIB

slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku

indukciju B

222 xRr

rRsin

ako imamo N zavoja i

ako prema slici vrijedi 23

)(2 22

2

0

XR

RNIB

za točku M (X=0) u središtu

kružnog zavoja slijedi R

NIB

2

00

I

dl

dl

R

r

x x

y

dBdBy

dBx

M

prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B

24 r

dlIdH

2

0

4 r

dlIdB

ydB

sin

4sincos

2

0

r

dlIdBdBdBx

komponente u smjeru y se poništavaju

za komponente u smjeru osi x vrijedi

Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 114 -

2

0 sin

2 r

RIB

222 xRr

rRsin

uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu

kružnog zavoja i (X=0)

Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I

r

A

HI

I

H

l

prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija

2

sin

4 r

dlIdH

R

NIB

2

00

bull I∙dl - element struje kružnog zavoja

r - udaljenost elemenata dl od središta

bull kut između r i dl je 90 te vrijedi

slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet

polja H u središtu kružnog zavoja

r

r

Idl

r

IH

l

244 22

1sin

r

IH

2

uz N zavoja vrijedi za

jakost mag polja

r

NIH

2

a za gustoću

magnetskog toka u

vakuumu i u središtu A

kružnog zavoja slijedi r

NIB

2

0

a to je upravo granični slučaj iz

prethodnog primjera za vrijednost X=0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 115 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- sila na električne naboje u magnetskom polju

- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju

- magnetski krug

- serijski i pralelni spoj induktiviteta

- induktivitet zračnog voda i kabela

Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 10: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 19 -

zbog aksijalne simetrije vrijediti će za sve

točke na silnici radijusa r H=konst

Magnetsko polje ravnog vodiča (1)

Traži se magnetska uzbuda H i magnetska

gustoća B dugog ravnog vodiča protjecanog

strujom I na udaljenosti r od osi vodiča

r

l

I

H

dlA

Sl1123 Magnetsko polje izvan dugog

ravnog vodiča protjecanog strujom

1cos 0

ako vrijedi Iu=I i ako je prema slici

slijedi prema zakonu protjecanja

IldHl

l

i uz H=konst u svim točkama

kružne magnetske silnice slijedi IdlH

l

IrH 2

ako za silnicu l radijusa r vrijedi

tada slijedi

te dobijemo konačni oblik izraza za magnetsko polje

izvan dugog ravnog vodiča protjecanog strujom

rl 2

m

A

r

IH

2

HB 0 za gustoću magnetsku polja B vrijedi ][ 102 7T

r

IB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 110 -

struja I je ukupna struja kroz cijeli

presjek vodiča )( 2R

struja malo i predstavlja struju

koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi

2

2

2 rR

IrJi

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)

Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124

r

r

R

i

HI

Sl1124 Magnetsko polje unutar

vodiča protjecanog strujom I

2R

IJ

gustoća struje J za istosmjernu

struju je konstantna po cijelom

presjeku vodiča

(1116)

2

2

R

rIi (1117)

te je konačni izraz za veličinu

magnetskog polja unutar vodiča

mAr

R

IH

2 2

(1118)

r

IHB

2104 7

0

a za gustoću magnetsku polja B vrijedi

][ 102 7T

r

IB

(1120)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 111 -

Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog

strujom I

r

H (B)

r

IH

2

2 2

rR

IH

R

IH

2

r R r

R

IB 7102

Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)

prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko

polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog

polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 112 -

Biot - Savartov zakon

Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj

silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora

na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana

strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH

r

α

0dl

I

Magnetsko polje u točki A

prostora kao posljedica struje I

nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može

se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan

strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan

doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H

Biot-Savartov zakon

za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H

mogu se pisati izrazi

I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča

r - udaljenost dl od točke A

α - kut između dl i spojnice r -OA

dlr

IH

l

sin

4 2

2

sin

4

1

r

dlIdH

ovim zakonom i principom superpozicije može se

izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog

vodiča

smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog

produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r

r

rld

r

IHd A

24

0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 113 -

RRr

RIdl

r

I

r

dlIB

2

2

0

2

0

2

2

0

4

2sin

4

sin

4

sin

2

0 sin

2 r

RIB

slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku

indukciju B

222 xRr

rRsin

ako imamo N zavoja i

ako prema slici vrijedi 23

)(2 22

2

0

XR

RNIB

za točku M (X=0) u središtu

kružnog zavoja slijedi R

NIB

2

00

I

dl

dl

R

r

x x

y

dBdBy

dBx

M

prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B

24 r

dlIdH

2

0

4 r

dlIdB

ydB

sin

4sincos

2

0

r

dlIdBdBdBx

komponente u smjeru y se poništavaju

za komponente u smjeru osi x vrijedi

Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 114 -

2

0 sin

2 r

RIB

222 xRr

rRsin

uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu

kružnog zavoja i (X=0)

Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I

r

A

HI

I

H

l

prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija

2

sin

4 r

dlIdH

R

NIB

2

00

bull I∙dl - element struje kružnog zavoja

r - udaljenost elemenata dl od središta

bull kut između r i dl je 90 te vrijedi

slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet

polja H u središtu kružnog zavoja

r

r

Idl

r

IH

l

244 22

1sin

r

IH

2

uz N zavoja vrijedi za

jakost mag polja

r

NIH

2

a za gustoću

magnetskog toka u

vakuumu i u središtu A

kružnog zavoja slijedi r

NIB

2

0

a to je upravo granični slučaj iz

prethodnog primjera za vrijednost X=0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 115 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- sila na električne naboje u magnetskom polju

- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju

- magnetski krug

- serijski i pralelni spoj induktiviteta

- induktivitet zračnog voda i kabela

Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 11: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 110 -

struja I je ukupna struja kroz cijeli

presjek vodiča )( 2R

struja malo i predstavlja struju

koja je obuhvaćena radijusom r te vrijedi

2

2

2 rR

IrJi

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (1)

Traži se H i B u unutrašnjosti samog vodiča polumjera R prema slici 1124

r

r

R

i

HI

Sl1124 Magnetsko polje unutar

vodiča protjecanog strujom I

2R

IJ

gustoća struje J za istosmjernu

struju je konstantna po cijelom

presjeku vodiča

(1116)

2

2

R

rIi (1117)

te je konačni izraz za veličinu

magnetskog polja unutar vodiča

mAr

R

IH

2 2

(1118)

r

IHB

2104 7

0

a za gustoću magnetsku polja B vrijedi

][ 102 7T

r

IB

(1120)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 111 -

Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog

strujom I

r

H (B)

r

IH

2

2 2

rR

IH

R

IH

2

r R r

R

IB 7102

Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)

prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko

polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog

polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 112 -

Biot - Savartov zakon

Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj

silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora

na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana

strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH

r

α

0dl

I

Magnetsko polje u točki A

prostora kao posljedica struje I

nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može

se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan

strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan

doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H

Biot-Savartov zakon

za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H

mogu se pisati izrazi

I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča

r - udaljenost dl od točke A

α - kut između dl i spojnice r -OA

dlr

IH

l

sin

4 2

2

sin

4

1

r

dlIdH

ovim zakonom i principom superpozicije može se

izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog

vodiča

smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog

produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r

r

rld

r

IHd A

24

0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 113 -

RRr

RIdl

r

I

r

dlIB

2

2

0

2

0

2

2

0

4

2sin

4

sin

4

sin

2

0 sin

2 r

RIB

slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku

indukciju B

222 xRr

rRsin

ako imamo N zavoja i

ako prema slici vrijedi 23

)(2 22

2

0

XR

RNIB

za točku M (X=0) u središtu

kružnog zavoja slijedi R

NIB

2

00

I

dl

dl

R

r

x x

y

dBdBy

dBx

M

prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B

24 r

dlIdH

2

0

4 r

dlIdB

ydB

sin

4sincos

2

0

r

dlIdBdBdBx

komponente u smjeru y se poništavaju

za komponente u smjeru osi x vrijedi

Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 114 -

2

0 sin

2 r

RIB

222 xRr

rRsin

uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu

kružnog zavoja i (X=0)

Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I

r

A

HI

I

H

l

prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija

2

sin

4 r

dlIdH

R

NIB

2

00

bull I∙dl - element struje kružnog zavoja

r - udaljenost elemenata dl od središta

bull kut između r i dl je 90 te vrijedi

slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet

polja H u središtu kružnog zavoja

r

r

Idl

r

IH

l

244 22

1sin

r

IH

2

uz N zavoja vrijedi za

jakost mag polja

r

NIH

2

a za gustoću

magnetskog toka u

vakuumu i u središtu A

kružnog zavoja slijedi r

NIB

2

0

a to je upravo granični slučaj iz

prethodnog primjera za vrijednost X=0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 115 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- sila na električne naboje u magnetskom polju

- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju

- magnetski krug

- serijski i pralelni spoj induktiviteta

- induktivitet zračnog voda i kabela

Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 12: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 111 -

Slijedi grafički prikaz kako se jakost magnetskog polja mijenja unutar i izvan vodiča protjecanog

strujom I

r

H (B)

r

IH

2

2 2

rR

IH

R

IH

2

r R r

R

IB 7102

Sl1125 Grafički prikaz magnetske uzbude u vodiču i izvan vodiča

Magnetsko polje unutar vodiča protjecanog strujom I (3)

prema izvedenim matematičkim relacijama i prema grafičkom prikazu može se zaključiti magnetsko

polje unutar vodiča linearno raste od središta prema obodu vodiča a izvan vodiča jakost magnetskog

polja eksponencijalno pada sa udaljenošću od vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 112 -

Biot - Savartov zakon

Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj

silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora

na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana

strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH

r

α

0dl

I

Magnetsko polje u točki A

prostora kao posljedica struje I

nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može

se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan

strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan

doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H

Biot-Savartov zakon

za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H

mogu se pisati izrazi

I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča

r - udaljenost dl od točke A

α - kut između dl i spojnice r -OA

dlr

IH

l

sin

4 2

2

sin

4

1

r

dlIdH

ovim zakonom i principom superpozicije može se

izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog

vodiča

smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog

produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r

r

rld

r

IHd A

24

0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 113 -

RRr

RIdl

r

I

r

dlIB

2

2

0

2

0

2

2

0

4

2sin

4

sin

4

sin

2

0 sin

2 r

RIB

slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku

indukciju B

222 xRr

rRsin

ako imamo N zavoja i

ako prema slici vrijedi 23

)(2 22

2

0

XR

RNIB

za točku M (X=0) u središtu

kružnog zavoja slijedi R

NIB

2

00

I

dl

dl

R

r

x x

y

dBdBy

dBx

M

prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B

24 r

dlIdH

2

0

4 r

dlIdB

ydB

sin

4sincos

2

0

r

dlIdBdBdBx

komponente u smjeru y se poništavaju

za komponente u smjeru osi x vrijedi

Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 114 -

2

0 sin

2 r

RIB

222 xRr

rRsin

uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu

kružnog zavoja i (X=0)

Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I

r

A

HI

I

H

l

prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija

2

sin

4 r

dlIdH

R

NIB

2

00

bull I∙dl - element struje kružnog zavoja

r - udaljenost elemenata dl od središta

bull kut između r i dl je 90 te vrijedi

slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet

polja H u središtu kružnog zavoja

r

r

Idl

r

IH

l

244 22

1sin

r

IH

2

uz N zavoja vrijedi za

jakost mag polja

r

NIH

2

a za gustoću

magnetskog toka u

vakuumu i u središtu A

kružnog zavoja slijedi r

NIB

2

0

a to je upravo granični slučaj iz

prethodnog primjera za vrijednost X=0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 115 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- sila na električne naboje u magnetskom polju

- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju

- magnetski krug

- serijski i pralelni spoj induktiviteta

- induktivitet zračnog voda i kabela

Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 13: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 112 -

Biot - Savartov zakon

Biot-Savartov zakon objedinjuje u jednoj jednadžbi veličinu jakosti struje I u strujnoj

silnici bilo kojeg oblika i magnetsku uzbudu H u bilo kojoj točki prostora

na slici je prikazana strujna silnica proizvoljnog oblika protjecana

strujom I te se promatra magnetska uzbuda u točki A prostora AdH

r

α

0dl

I

Magnetsko polje u točki A

prostora kao posljedica struje I

nastajanje magnetske uzbude H i magnetske gustoće B može

se shvatiti tako kao da svaki element dl vodiča koji je protjecan

strujom I dakle I∙dl stvara u promatranoj točki polja A jedan

doprinos uzbude dH za ukupnu uzbudu H

Biot-Savartov zakon

za diferencijal magnetske uzbude dH i rezultantnu uzbudu H

mogu se pisati izrazi

I - jakost struje u vodiču dl - element vodiča

r - udaljenost dl od točke A

α - kut između dl i spojnice r -OA

dlr

IH

l

sin

4 2

2

sin

4

1

r

dlIdH

ovim zakonom i principom superpozicije može se

izračunati magnetsko polje bilo kako oblikovanog

vodiča

smjer vektora dH je prema pravilu vektorskog

produkta okomit na ravninu koju čine I∙dl i r

r

rld

r

IHd A

24

0r- slijedi vektorski oblik Biot-Savartovog zakona

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 113 -

RRr

RIdl

r

I

r

dlIB

2

2

0

2

0

2

2

0

4

2sin

4

sin

4

sin

2

0 sin

2 r

RIB

slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku

indukciju B

222 xRr

rRsin

ako imamo N zavoja i

ako prema slici vrijedi 23

)(2 22

2

0

XR

RNIB

za točku M (X=0) u središtu

kružnog zavoja slijedi R

NIB

2

00

I

dl

dl

R

r

x x

y

dBdBy

dBx

M

prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B

24 r

dlIdH

2

0

4 r

dlIdB

ydB

sin

4sincos

2

0

r

dlIdBdBdBx

komponente u smjeru y se poništavaju

za komponente u smjeru osi x vrijedi

Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 114 -

2

0 sin

2 r

RIB

222 xRr

rRsin

uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu

kružnog zavoja i (X=0)

Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I

r

A

HI

I

H

l

prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija

2

sin

4 r

dlIdH

R

NIB

2

00

bull I∙dl - element struje kružnog zavoja

r - udaljenost elemenata dl od središta

bull kut između r i dl je 90 te vrijedi

slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet

polja H u središtu kružnog zavoja

r

r

Idl

r

IH

l

244 22

1sin

r

IH

2

uz N zavoja vrijedi za

jakost mag polja

r

NIH

2

a za gustoću

magnetskog toka u

vakuumu i u središtu A

kružnog zavoja slijedi r

NIB

2

0

a to je upravo granični slučaj iz

prethodnog primjera za vrijednost X=0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 115 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- sila na električne naboje u magnetskom polju

- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju

- magnetski krug

- serijski i pralelni spoj induktiviteta

- induktivitet zračnog voda i kabela

Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 14: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 113 -

RRr

RIdl

r

I

r

dlIB

2

2

0

2

0

2

2

0

4

2sin

4

sin

4

sin

2

0 sin

2 r

RIB

slijedi kratki proračun i konačni izraz za magnetsku

indukciju B

222 xRr

rRsin

ako imamo N zavoja i

ako prema slici vrijedi 23

)(2 22

2

0

XR

RNIB

za točku M (X=0) u središtu

kružnog zavoja slijedi R

NIB

2

00

I

dl

dl

R

r

x x

y

dBdBy

dBx

M

prema Biot - Sav zakonu slijede relacije za H i B

24 r

dlIdH

2

0

4 r

dlIdB

ydB

sin

4sincos

2

0

r

dlIdBdBdBx

komponente u smjeru y se poništavaju

za komponente u smjeru osi x vrijedi

Primjer 1 Traži se gustoća B u točki M na osi x kružnog zavoja protjecanog strujom

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 114 -

2

0 sin

2 r

RIB

222 xRr

rRsin

uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu

kružnog zavoja i (X=0)

Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I

r

A

HI

I

H

l

prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija

2

sin

4 r

dlIdH

R

NIB

2

00

bull I∙dl - element struje kružnog zavoja

r - udaljenost elemenata dl od središta

bull kut između r i dl je 90 te vrijedi

slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet

polja H u središtu kružnog zavoja

r

r

Idl

r

IH

l

244 22

1sin

r

IH

2

uz N zavoja vrijedi za

jakost mag polja

r

NIH

2

a za gustoću

magnetskog toka u

vakuumu i u središtu A

kružnog zavoja slijedi r

NIB

2

0

a to je upravo granični slučaj iz

prethodnog primjera za vrijednost X=0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 115 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- sila na električne naboje u magnetskom polju

- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju

- magnetski krug

- serijski i pralelni spoj induktiviteta

- induktivitet zračnog voda i kabela

Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 15: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 114 -

2

0 sin

2 r

RIB

222 xRr

rRsin

uz N zavoja i ako je slijedza točku M u središtu

kružnog zavoja i (X=0)

Primjer 2 Traži se jakost polja u središtu A kružnog zavoja koji je protjecan strujom I

r

A

HI

I

H

l

prema Biot - Savartovom zakonu vrijedi relacija

2

sin

4 r

dlIdH

R

NIB

2

00

bull I∙dl - element struje kružnog zavoja

r - udaljenost elemenata dl od središta

bull kut između r i dl je 90 te vrijedi

slijedi kratki izračun i izraz za jakost magnet

polja H u središtu kružnog zavoja

r

r

Idl

r

IH

l

244 22

1sin

r

IH

2

uz N zavoja vrijedi za

jakost mag polja

r

NIH

2

a za gustoću

magnetskog toka u

vakuumu i u središtu A

kružnog zavoja slijedi r

NIB

2

0

a to je upravo granični slučaj iz

prethodnog primjera za vrijednost X=0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 115 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- sila na električne naboje u magnetskom polju

- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju

- magnetski krug

- serijski i pralelni spoj induktiviteta

- induktivitet zračnog voda i kabela

Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 16: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 115 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- sila na električne naboje u magnetskom polju

- sila na vodič protjecan strujom I u magnetskom polju

- magnetski krug

- serijski i pralelni spoj induktiviteta

- induktivitet zračnog voda i kabela

Tema 12 - SILA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 17: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 116 -

Qt

lBl

t

QBF

u provedenom postupku predpostavilo se da je pozitivni smjer struje smjer gibanja ldquo+rdquo naboja

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (1)

Kada se razmatra sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju u stvari se

promatra sila koja djeluje na električne naboje koji se gibaju uzduž vodiča a vodič se

promatrao kao kruto tijelo

kada vektori B i v zatvaraju kut α=90deg za silu na vodič protjecan strujom I i koji se nalazi

u magnetskom polju vrijedi poznata relacija lIBF

ako znamo da za struju I vrijedi I=Qt tada

slijedi za silu (Lorentzova sila) koja djeluje na

naboj Q i koji se kreće u magnetskom polju

B

F

v

+Q

Sl121 Sila na pozitivni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

B

F

v

-Q

Sl122 Sila na negativni naboj koji se

kreće u magnetskom polju

v

QvBF (121)

smjer sile F određuje se prema pravilu lijevog dlana

ako su silnice magnetskog polja usmjerene na dlan i

ako ispruženi prsti pokazuju smjer brzine kretanja

pozitivnog naboja v tada ispruženi palac pokazuje

smjer sile F

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 18: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 117 -

o90 1 slučaj - vodič je okomit na magnetske silnice

Homogeno magnetsko polje (1)

Promatramo homogeno magnetsko polje u kojem su sila F i vektor B konstantni u

svakoj točki polja i u kojem se nalazi vodič duljine l i protjecan strujom I

l - duljina vodiča u homogenom polju

I - struja

B - gustoća silnica magnetskog polja

][ NlIBF (125)

I

lF

BSl124 Sila na vodič protjecan strujom I

u magnetskom polju indukcije B

ako vektori v i B zatvaraju kut 0degltαlt90deg tada se naboj kreće u poprečnom magnetskom polju

te vrijedi jednadžba za silu u trigonometrijskom i vektorskom obliku

sin QvBF )( BvQF

(122) (123)

(124)

Sile magnetskog polja na električni naboj Q u gibanju (2)

lIBtIt

lBQvBF

v

Q

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 19: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 118 -

Homogeno magnetsko polje (2)

smjer sile F određuje se upravo prema pravilu

lijevog dlana

- ako su silnice magnetskog polja usmjerene na

dlan i ako ispruženi prsti pokazuju smjer struje

tada ispruženi palac pokazuje smjer sile F

DLAN - polje B

PRSTI - struja I

PALAC - sila F B

F

I (l)

Sl125 Vektori B l F i pravilo lijevog dlana

DEFINICIJA na vodič duljine l koji je protjecan

strujom I i koji se nalazi u magnetskom polju

B djeluje sila F po pravilu lijevog dlana

2 slučaj - vodič nije okomit na

silnice magnetskog polja B

o90

B

F

I (l)

α

Vektori B i l nisu pod

pravim kutem

slijede izrazi za silu na vodič protjecan

strujom I koji se nalazi u magnet polju

gustoće B

][ sinBF NlI ][ NBlIF

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 20: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 119 -

Nehomogeno magnetsko polje

Promatramo sada magnetsko polje u kojem sila F i magnetska indukcija B nisu

konstantni u svakoj točki polja

u takvom polju promatramo vodič duljine l protjecan strujom I

s obzirom da se radi sa promijenjivim

veličinama potrebno je u ovom slučaju

analizirati silu sa diferencijalnim veličinama

na sl128 prikazane su silnice za nehomogeno magnetsko polje a uz to i vodič

duljine l nije okomit na silnice

sin dlIBFd

za prikazani slučaj potrebno je izraze za

silu ((126) i (127)) prikazati u

diferencijalnom oblik te slijedi jednadžba

α

dF B

A

dl

Sl128 Sila na vodič u nehomogenom

magnetskom polju

za ukupnu silu F vrijedi

l

dlIBF sin

BldIFd

a izraz za diferencijal sile u vektorskom

obliku je slijedeći (129)

I

l

dlIBF sin a za ukupnu silu F vrijedi konačno

relacija i u integralnom obliku (1210)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 21: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 120 -

Sile između dva paralelna vodiča (1)

Promatrati će se primjeri sile F između dva paralelna

vodiča primjer 1 - struje u vodičima teku u istom smjeru

1121 lIBF za promatrani slučaj sile na vodič 1 pod

utjecajem magnet polja vodiča 2 vrijedi

B2 - indukcija vodiča 1 na mjestu vodiča 2 l1 - duljina vodiča 1

zaključak-ako su struje u vodičima u istom smjeru

sila je privlačna i djeluje kao tlak na vodiče

I1 I2

F1

B2

Ar

H l

Sl129 Sila F na vodiče protjecane strujom

u istom smjeru

promatra se sila F1 koju stvara magnetsko polje B2 (od

struje I2) na vodič protjecan strujom I1 duljine l1

I1 I2

r

F2

B1

A

H l

Sl1210 Sila F na vodiče protjecane

strujom u različitim smjerovima

primjer 2 - struje u vodičima teku u različitim smjerovima

promatra se sila F2 koju stvara magnet polje B1 (od struje I1)

na vodič protjecan strujom I2 duljine l2

izraz za silu F2 na vodič 2 pod utjecajem

magnetskog polja B1 vodiča 1 je

2212 lIBF B1 - indukcija vodiča 2 na mjestu vodiča 1

l2 - duljina vodiča 2

zaključak- ako su struje u vodičima u različitim smjerovima

tada je sila odbojna i djeluje kao vlačna sila

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 22: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 121 -

Sile između dva paralelna vodiča (3)

a u izraz za silu F2 uvrsti izraz za magnetsku indukciju B1

r

IB

2

11

ako se sada u izraz za silu F1 uvrsti poznati izraz za

magnetsku indukciju B2

r

IB

2

22

221

2l

r

IIF

i uz uvjet da su duljine vodiča jednake l1=l2=l dobije se izraz za

silu između dva paralelna vodiča

r

II

l

F

2

21 ako se sila F izrazi po jedinici dužine vodiča slijedi

Nm

J

m

sAVmA

m

sVF

2

sada se može definirati i fizikalna

jedinica za silu prema izrazu Njutn

ako se sada koristi izraz za silu između dva paralelna

vodiča po duljini vodiča (l=1m) te ako se pojava promatra

u vakuumu (μ0=4∙π∙10-7) slijedi relacija za silu r

IIF 217102

slijede definicije za 1 Amper i 1 Tesla

Definicija 1A električna struja ima jakost 1A ako prolazi kroz vrlo dugi vodič i djeluje na

isti takav vodič na udaljenosti od 1m i po duljini 1m sa silom od 2 10-7 N u vakuumu

prema relaciji F=B∙I∙l

može se napisati

I

F

lI

FB

T

m)(A

N

Definicija 1T magnetska indukcija

je brojčano jednaka 1 T ako na

vodič dužine 1 m pri struji od 1 A

djeluje sila od 1 N

a uz I=1A i l=1m

slijedi

i definicija za 1T je FB

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 23: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 122 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - vanjski induktivitet (1)

Primjer Induktivitet vrlo dugog dvožičnog dalekovoda

R ndash radijus kružnih vodiča

d ndash razmak vodiča (vodiči su paralelni)

xdx - dio razmaka između vodiča

dS - diferencijal površine izmađu vodiča

μasympμ0 - vodiči su od neferomagnetskih materijala

l gtgt d - (l ndash duljina vodiča)

N=1 te je ψ=Φ (ψ ndash ulančani tok)

Bu=B1+B2

B1 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 1

B2 ndash gustoća magnetskog polja vodiča 2

Bu ndash ukupna gustoća magnetskog polja

Bva -dio magnetskih silnica u zraku

između vodiča

B

Buv -magnetske silnice unutar vodiča

I

B dS = ldx

l

I

x dx d

Bu

B2 B1

R

0

O1 O2

Sl1219 Skica dvožičnog voda i pripadne

raspodjele magnetske indukcije B

1 2

ukupna vanjska magnetska indukcija

dobije se superponiranjem magnet toka

lijevog i desnog vodiča na slici te prema

zakonu protjecanja vrijedi

xdx

IBuv

11

2

0

)(22

00

xd

I

x

IBuv

za ukupni magnetski tok Φ

kroz površinu ds=lmiddotdx slijedi dx

xdx

lIdxlBd u

11

2

0

R

RdlIu

ln0

R

dlIu ln0

uz uvjet dgtgtR koji je kod dugačkih vodova ispunjen slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 24: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 123 -

Induktivitet dvožičnog dalekovoda -

R

dl

ILV ln0

izraz za vanjski induktivitet

dvožičnog dalekovoda je

i uz 7

0 104 R

dlLV ln104 7

Induktivitet dvožičnog dalekovoda - unutarnji induktivitet

Idr

dr

dS

l

R

r

Prikaz magnetskog toka Φ u

unutarnjem presjeku vodiča

Promatra se magnetsko polje unutar presjeka vodiča

gustoća struje J po presjeku

vodiča je konstantna ][ 22 m

A

R

IJ

unutar vodiča za

rltR vrijedi za struju

polumjera r 2

22

R

rIπrJIr

2

2

R

rII r

u izraz za mag

uzbudu Hr unutar

vodiča πr

IH r

r

2

uvrsti izraz za

struju Ir slijedi

rR

rIH r

2

12

2 πR

rIH r

22

ako je μasympμ0 slijedi za magnetsku indukciju B

rR

IB -

r 2

7102

ako se još proračuna i

ulančani tok Ψ=Φ N kao lI

2

10 7

za ukupni unutarnji induktiv Lun

za oba vodiča uz 2 middotψ slijedi ][ 10 7HlLun

i konačno za zbroj unutarnjeg i vanjskog

induktiviteta Lu dalekovoda vrijedi relacija H

R

dlLLL unv 101ln4 7

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 25: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 124 -

magnetske silnice u izolacijskom prostoru su koncentrične

kružnice

r

IH

21

r

I

r

IB

7

01 1022

Induktivitet koaksijalnog kabela (1)

r1

r2 dr

dr r0

dS = lmiddotdr

r1 r2 - radijusi šupljeg cilindričnog vodiča

r0 - radijus punog vodiča

Prikaz karakterističnih veličina

presjeka kabela

uzbuda ovisi samo o struji unutarnjeg vodiča te

su ovdje prilike iste kao da je unutarnji vodič sam

Na slici je prikazan cilindrični puni vodič radijusa r0 i

oko njega je koncentrično postavljen šuplji cilindrični

vodič radijusa r1 i r2

kroz svaki vodič prolazi struja I i to kroz unutarnji vodič

u jednom smjeru a kroz vanjski u drugom smjeru

na radijus r definiramo jakost magnetskog polja H1

i gustoću magnetskog polja B1

ako se površina ds definira kao

tada za magnetski tok Φ vrijedi

drlds r

drIld 7

1 1020

17

1 ln102r

rIl

ako se još uz ulančani tok Ψ=Φ N koristi i izraz

L=ΦI slijedi za induktivitet L1 0

17

1 ln102r

rL L1 - po jedinici duljine

ako se još doda induktivitet

magnet toka unutar vodiča slijedi i izraz za

ukupni induktivitet Lu

po jedinici duljine

kabela mHLu

2

110 7

m

Hr

rLLL uu 10

2

1ln2 7

0

1

1

induktivitet od mag toka unutar vodiča induktivitet izvan vodiča

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 26: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 125 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- magnetska provodnost μ

- vakuum paramagnetski dijamagnetski i feromagnetski materijali

- krivulja magnetiziranja i magnetska histereza

- zakon loma magnetskih silnica

Tema 13 - MATERIJA U MAGNETSKOM POLJU

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 27: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 126 -

apsolutna magnetska vodljivost (permeabilitet indukcijska konstanta) relativna magnetska

vodljivost

vodljivost vakuuma

Magnetska provodljivost μ

][ 0 AmVs

r (131)

ponašanje materije u magnetskom polju ovisi o karakteristikama magnetske vodljivosti μ

AmVs 104 7

0

(132) 1r

(133)

magnetska susceptibilnost

veličine μ i μ0 imaju istu mjernu veličinu u [VsAm] a μr je bezdimenzionalan broj

Za odnos vektora B i vektora H vrijedi relacija HB

vakuum (μv) - 00 1 rv

dijamagnetski materijali (μd )

- (srebro bakar živa)

1 rd0d

veličina magnetske susceptibilnosti κ pokazuje samo dodatni iznos magnetiziranja materijala

paramagnetski materijali (μp)

- (aluminij platina)

1 rp0p konstrp

feromagnetski materijali (μf) - (željezo kobalt)

1 rf konstrf 0p

konstrd

za vakum je veličina μr = 1 a za ostale mag materijale može biti veća ili manja od jedan tj 1gtμrgt1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 28: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 127 -

Vrste materijala - Vakuum 01 0 rv

Za vakuum je magnet vodljivost konstantna označava se

sa μ0 a relat magnet vodjivost je μr0=1

odnos gustoće magnetskog polja

B i magnetske uzbude H je

konstantan HB rv 00

ako se promatra zavisnost veličina

B i H u vakuumu dobije se linearna

karakteristika prikazana na sl2

Zavisnost vodljivosti μ u

vakuumu o veličini H(B)

B

H

HB 0B-H karakteristika

Sl2 Zavisnost gustoće mag polja B

o magnetskoj uzbudi H u vakuumu Paramagnetski materijali

To su slabo izraženi magnetski

materijali za koje vrijedi

promijena unutarnje magnet uzbude magnetiziranja materijala Hm direktno

prati promijenu vanjske magnet uzbude H a postoji i KONSTANTNA

proporcionalnost između H i Hm

1

konstrp

rp

HH pm

κ - magnetska susceptibilnost

HHB rpp

rp

00 1 HB rp 0

0 konstrpp

ukupna gustoća magnetskog polja B jednaka je

zbroju gustoće magnetskog polja B0 u zraku i

udjela unutarnje gustoće magnetskog polja Bm mBBB 0

μp i μ0 se neznatno razlikuju

0 p

=1

gt1

0 konstH

B

H

B

)(BH

1rp HB p

HB 0

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 29: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 128 -

Vrsta materijala - Dijamagnetski materijali

1

konstrd

rd

To su suprotno izraženi magnetski materijali a relativna dielektrična provodljivost manja je od 1

bull za magnetsku provodljivost dijamagnetskog materijala vrijede relacije

0 rdd1rdi

vektori Hu i H su suprotnog

smjera a za odnos B i H vrijedi HB d

bull takav materijal ima svojstvo odbijanja magnetskih silnica vanjskog polja a unutarnja

magnetska uzbuda Hu djeluje suprotno od vanjske magnetske uzbude

lt1

za paramagnetske materijale vrijedi

za vakuum vrijedi

za dijamagnetske materijale vrijedi

)(BH

0

0 p

0 d

Sl134 Zavisnost magnetske provodljivosti μ (BH) za vakuum te paramagnetske i dijamagnetske materijale

dijagrami zavisnosti BH karakteritike za navedene

materijale nacrtane su prema relaciji

H

B

100 rH

B

p 10

)1(0 d

01 prp )1(0 pH

B

01 0 rv 0H

B

01 drd )1(0 pH

B

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 30: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 129 -

Kratki fizikalni opis feromagnetskih materijala

Vrsta materijala - Feromagnetski materijali (1)

H

Hm

Hu

vanjska uzbuda

l

NIH

unutarnja uzbuda

Hm=f (materijala)

elementarna strujna petlja je

rezultat feromagnetskih

materijala

Sl135 Skica magnetskih uzbuda u

feromagnetskom materijalu

u magnet materijalu djeluju dvije uzbude i to vanjska uzbuda H kao u

vakuumu i magnet uzbuda unutarnjeg magnetiziranja Hm te slijedi

B0 - indukcija pri uzbudi H u vakuumu

Bm - doprinos ukupnoj indukciji od strane

unutarnje uzbude H

Hm - dodatna uzbuda stvorena od unutarnjih

elementarnih struja nije konstantna i naziva

se magnetiziranje ili intenzitet magnetiziranja

magnetska polarizacija Bm

mHH 0

mm HμB 0

mHHB 00

HB 00 uz uvjet da je i

κf - mag susceptibilnost feromtvari

slijedi HHHB f )1()( 00

μrf

i konačno HB rf 0

faktor s kojim se modelira utjecaj magnetiziranja

elementarnih strujnih petlji unutar materijala

vanjska uzbuda

konstfe

Relativ magnet provodnost sastoji se od konst člana μr0=1 za vakuum i promijenljivog člana κfgtgt1 koji daje utjecaj feromag materijala

1

konstrf

rf

HH fm

mBBB 0

frf 1

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 31: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 130 -

B-H karakteristika predstavlja zavisnost magnet indukcije B o jakosti magnet polja l

NIH

kada magnet materijal prvi puta magnetiziramo dobijemo tzv krivulju prvog magnetiziranja

koja je prikazana na slici

Krivulja prvog magnetiziranja (1) B-H karakteristika

konstH

Hm kod feromagnetskog materijala veza između vanjske magnet uzbude

H i unutarnje uzbude magnetiziranja materijala Hm nije linearna

0

B0=μ0middotH

Bm=μ0middotHu

B

H

B

I

II

III

- krivulja magnet indukcije

kao doprinos vanjske

uzbude u vakuumu

- krivulja magnet indukcije

kao rezultat djelovanja

unutarnjeg magnet polja

materijala

- rezultantna krivulja

magnet indukcije

feromagnet materijala

imamo tri karakteristična područja krivulje

1) područje I - izrazito naglog porasta B

2) prijelomna točka krivulje II - KOLJENO krivulje

3) područje zasićenja III - B raste samo zbog člana H0

kada se jakost magnetskog polja H mijenja između (+Hm) i (-Hm) (npr frekvencija mreže 50 Hz) gustoća

magnet polja B mijenja se po jednoj karakterističnoj krivulji koja se u nastavku obrađuje

kod krivulje prvog magnetiziranja feromagnet materijala prema slici magnet uzbuda H=ImiddotNl

povećavala se od 0 do neke maksimalne vrijednosti Hm

u praksi se feromagnetski materijali često nalaze i u prostoru izmjenične magnetske uzbude i tada dolazi do

magnetiziranja i razmagnetiziranja materijala

B = f(H) μfe ne konst

B = μ0 ∙ μrf ∙ H

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 32: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 131 -

ta krivulja naziva se PETLJA HISTEREZE a cijela pojava MAGNETSKA HISTEREZA

nastaje krivulja (M-R-C-M-R-C-M) koja se mijenja od +Bm

preko +Br i B=0 do -Bm te natrag preko -Bm B=0 do +Bm

Magnetska histereza

Hm H

Bm

B

-Hm

-Bm

R

Br

C

Hc

R

C

M

M

Hm Bm - max indukcija i max magnetska uzbuda

Br - remanentni tok (zaostalo magnetsko polje u

materijalu uz H=0)

Hc - koercitivnost (jakost magnet polja potrebna da se

poništi zaostali magnetizam u materijalu)

Prikaz krivulje magnetske histereze

Magnetska vodljivost μrf za feromagnetske materijale

za feromagnet materijale magnet

provodljivost nije konstantna μrfnekonst

a B-H funkcija dana je na slici1

HHB rf 0

za odnos B i H i za veličinu μrf

vrijede relacije

H

Brf

0

0 H

B

ΔH

ΔH

ΔB

ΔB

ΔBi

ΔHi

α

Hm H

micro

microm

microimicro0

0Sl2 Prikaz karakteristike μrf=f(H)

Sl1 Krivulja B=f(H) za

feromagnet materijal

μ0 je konstanta i μrf se može definirati kao strmina

tangente u pojedinoj točki krivulje na sl1 te slijedi

tgHk

Brf

μi je početna permeabilnost - μm je maximalna permeabilnost

za željezo približno vrijedi μi=200 μm=5000

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 33: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 132 -

da se smanje vrtložne struje magnet materijal koji treba imati što manji otpor zato se jezgra transformatora izrađuje od

specijalnih međusobno izoliranih tankih limovakako bi se što više smanjila mogućnost protoka vrtložnih struja

Gubici vrtložnih struja Wv

Gubici histereze i vrtložnih struja (3)

Gubici vrtložnih struja u feromagnet materijalu

nastaju zbog promijenjivog magnet toka u kojem

se nalazi magnet materijal koji i dobar vodič

električne struje vrtložne električne strujnice koje

stvaraju toplinske gubitke za vrijedi relacija

)( 2 tRIfWv

struja vrtložnih električnih silnica

otpor feromagnet materijala

vrijeme promatranja pojave

iN

S B i

Skica vrtložnih električnih strujnica u magnet materijalu

Magnetsko polje u feromagnet jezgrama mijenja se npr uz f=50 Hz sa 50 promijena petlje histereze u sekundi i kao posljedica promijena magnet uzbude H troši se neka energija a za određivanje te gubitaka histereze postoji empirijska formula

Wrsquoh - gubitak histereze po jedinici volumena magnet materijala u jednom ciklusu (1Hz)

Bm - maksimalna vrijednost gustoće magnetskog toka [T]

η - koeficijent koji ovisi o vrsti magnetskog materijala (uvrđuje se eksperimentalno)

61 JBW mh (džula)

η asymp 130 - za transformat lim η asymp 3700 - za lijevano željezo

za ukupne gubitke Whu za cijeli volumen materijala je nVWW hhu V - volumen materijala

n - broj ciklusa promijene magnet toka

][ 61JnVBW mhu a nakon uvrštavanja W vrijedi konačno za gubitke histereze

može se konačno zaključiti da gubici histereze ovise o vrsti i volumenu materijala te o

intenzitetu i brzini promijena magnetskog polja

Gubici histereze

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 34: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 133 -

Zakon loma magnetskih silnica (1)

U praksi je često potrebno analizirati pojave na

prijelazu silnica magnet polja između različitih

magnet materijala

potrebno je definirati zakon loma B-silnica i H-

silnica na prijelazu između magnet materijala sa

različitim magnet provodljivostima μ

na slici je prikazan lom silnica vektora B i silnica

vektora H

21 nn BB sav tok Φ koji ulazi u plohu S

mora iz nje i izlaziti te za B-linije

vrijedi za ortogonalne članove

za zatvorenu petlju a b c d može se primjeniti zakon protjecan te je

ul IdlH

021 lHlH tt21 tt HH

μ1α1

B1 Bn1

B2Bn2

α2

μ2

a b

d c

α1

H1

Ht1

H2

Ht2

α2

n n

S

Prikaz loma silnica B i H između dva magnet materijala

slijedi da su tangencijalni članovi vektora H jednaki

222

111

cos

cos

BB

BB

n

n

222

111

sin

sin

HH

HH

t

t

kako su razmjeri ortogonalnih članova vektora B i tangencijalnih članova vektora H u pojedinim

materijalima jednaki slijedi izračun i zakon loma magnetskih silnica

prema slici se mogu pisati izrazi

μ1 μ2

2

2

1

1

tgtg

22

22

11

11

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

H

B

H

B

H

B

H

B

t

n

t

n

2

1

2

1

tg

tg

tangensi kutova loma silnica magnetskog polja na prijelazu magnetskih materijala

odnose se upravo proporcionalno magnetkoj provodljivosti materijala

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 35: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 134 -

u takvom magnetskom krugu promatraju se odnosi magnetskih veličina ΦBH

struje I i konstrukcijskih elemenata kruga l SV

U prvom koraku će se KVANTITATIVNO definirani magnetski tok Φ i ostale

elektromagnetske veličine koje su potrebne za proračune magnetskog kruga

prema sl1313 formira se TORUSNI svitak uz pretpostavke

silnice se zatvaraju unutar svitka

tok Φ je homogen unutar svitka i

dr ltlt l

ugradi se POMOĆNI svitak u kojem se mjeri inducirani napon prema poznatom izrazu

promjenjivi magnetski tok Φpro dobije se prekidanjem struje I u glavnom svitku

dt

dNe

Općenito

Magnetski krug (1)

Magnetski krug je određeni model kojim opisujemo i proračunavamo

ponašanje elektromagnetskih pojava

magnetski krug se sastoji od

magnetomotorne sile I∙N realizirane s određenim brojem zavoja

određenog broja magnetskih materijala različitih vodljivosti μ

Torusni svitak

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 36: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 135 -

Magnetski krug (2)

][ Hl

SNI

pokazuje se da je tok Φ indirektno

proporcionalan duljini silnica l a direktno

proporcionalan s veličinama I N S i micro

S

l

N

μ

B Φ H

μ0

I

dt

dNe

Sl1313 Magnetski krug na primjeru

torusnog svitka

sređivanjem izraza za magnetski tok Φ slijedi

mR

s

l

NI

1

Rm

Θ

otpor magnetskog kruga VsA

magnetomotorna sila ][ AzmRNI

S

lRm

1

specijalnim mjerenjem induciranog napona u pomoćnom zavoju utvrđeno je da za

magnetski tok torusnog svitka vrijedi

(1338)

mm RR

NI

silnicezatvoreneduljinal

slijedi relacija zakona protjecanja

mRlHNI

magnetski napon Vm Θ

(1339)

(1340)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 37: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 136 -

a) tok Φ poznat traži se (mms) Θ = magnetomotorna sila

Metodologija proračuna magnetskog kruga prikazati

će se na primjeru jezgre jednofaznog transformatora

I slučaj

NI

Proračun magnetskog kruga (1)

Očitavanja veličine B

uz poznatu veličinu H

sa krivulje

magnetiziranja

S

I

μΦ

N

l

=Rm(e)EMagnetski krug na primjeru

transformatorske jezgre

SB

prvo se izračuna magnetska indukcija B

N

lHI

veličina H treba se očitati s dijagrama B=f(H) na slici

B

HH

B

0

a za mms Θ i struju I vrijedi

b) mms Θ=ImiddotN je poznata traži se magnetski tok Φ =

II slučaj

Očitavanja veličine B sa

krivulje magnetiziranja

B

HH

B

0

veličina magnet indukcije B očita se s

dijagrama B=f(H) na slici

l

NIH

prvi korak je izračun se magnetske uzbude H

SB i konačno vrijedi za magnetski tok Φ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 38: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 137 -

Složeni magnetski krug

S3

S3

S2

S1

S2

I

μ1

μ2 μ3

μ0

Φ

Nl4

Sl1215 Složeni magnetski krug sa više

serijski vezanih magnetskih otpora

Na slici je prikazan jedan složeniji magnetski krug sa više u seriju vezanih magnetskih otpora uz

krivulje magnetiziranja za korištene magnetske materijale

1

2

3

B [T]

H [Am]H2 H1H3

B3

B2

B1

Sl1316 Krivulje magnetiziranja materijala

40332211 lHlHlHlHNI

prema postupku I Prvo bi se očitale vrijednosti za H1 H2 i H3 sa sl1216

dlHNI

nakon toga bi se prema zakonu protjecanja izračunali amperzavoji I∙N i magnetomotorna sila Θ

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 39: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 138 -

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

- elektromagnetska indukcija

- elektromagnetska samoindukcija

- elektromagnetska međuindukcija

-magnetska energija svitka

Tema 14 - ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Materijali za studente - (akgod 20112012)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 40: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 139 -

V(-e)

N

S

Magnet

Ispitni

svitak

Elektromagnetska indukcija (1)

Opisano je da protok električne struje uvijek prati nastanak

magnet polja prema pravilu desnog vijka i zakona protjecanja tQ

I ldH

N

S

i

v

i

vB

V

Ispitni

zavoj

Vodič

u nastavku će se objasniti pojava pri kojoj se pojavljuje inducirani napon e na krajevima vodiča koji

se nalazi u promjenljivom magnetskom polju Φpro

Promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem

magneta u odnosu

na svitak

promjenljivi magnetski

tok Φpro stvara se

pomicanjem vodića

u magnet polju

definicija Elektromagnetska indukcija je pojava koja kaže da se na krajevima zavojnice ili bilo

kojeg vodiča koji se nalazi u promjenjivom magnetskom toku Φpro inducira električni napon e

prema definiciji slijedi

i matematički izraz ][ Vdt

d

dt

dNe

dt

d

N

dNd

ulančani tok

broj zavoja svitka

promijena magnetskog toka u

vremenu

važno je još naglasiti da je promijena napona izazvana utjecajem iz nekog vanjskog uzroka dt

d

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 41: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 140 -

Elektromagnetska samoindukcija (1)

Elektromagnetska samoindukcija je u biti istovjetna pojava kao i elektromagnetska indukcija a

razlika je jedino u tome KAKO se stvara promjenljivo magnetsko polje Φpro

u pojavi elektromagnetske samoindukcije promjenljivo magnet polje Φpro

stvara sama struja svita u kojem promatramo stvaranje induc napona e

napon izvora ui protjera kroz svitak izmjeničnu

struju i koja stvara promjenljivi magnetski tok Φpro

u promjenljivom magnetskom toku Φpro nalazi se

svitak i u njemu se inducira napon e koji drži

ravnotežu naponu izvora ui

~u

Φproi

e

N

izvorni i ispitni

svitak

ui = e

Svitak priključen na izvor izmjeničnog

napona ui i pojava samoindukcje

definicija elektromagnetske samoindukcije

Elektromagnetska samoindukcija je pojava pri kojoj promjenjivi

magnet tok Φpro stvara sama struja i svitka te se uslijed tako

stvorenog promijenjivog magnettoka Φpro inducira napon e

na krajevima svitka

dt

dNe

prema zakonu elektromagnet

indukcije vrijedi koristeći poznate pretvorbe slijedi izračun

diR

Nd

m

mR

NI ][

2

Vdt

di

R

Ne

m

L

s

lRm

1 magnetski

otpor svitka

a veličina N2Rm predstavlja koeficijent

samoindukcije L prema izrazu ][

1

22

H

s

l

N

R

NL

m

[H] henri

napon samoindukcije e

(143)

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 42: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 141 -

IINL

slijedi drugi oblik izraza

za induktivitet L (145)

definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu struje od 1A u 1s inducira

u svitku napon 1V

di

dteL

dt

diLe

A

sVHs

A

sV

di

dteL

Elektromagnetska samoindukcija (2)

L u izrazu (143) za konstantu L je

navedena mjerna jedinica Henri

te slijedi definicija jedinice 1H

s obzirom na koeficijent samoindukcije L može sa uz određene matematičke supstitucije dobiti i drugi

oblik izraza za koeficijent L te slijedi kratki računski postupak

mm R

NN

R

NL

2

ako se prema izrazu

(143) piše mm R

N

IR

NI

i ako za tok Φ

vrijedi

N∙Φ=Ψ - ulančani tok

i na kraju se dobije konačni izraz za

inducirani napon samoindukcije e (144)

][ Vdt

diLe

izrazi za elektromagnetsku

indukciju i samoindukciju

dt

dNe

dt

diLe (141) (144)

elektromagnetska indukcija elektromagnetska samoindukcija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 43: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 142 -

Lenzovo pravilo (1)

LENZOVO PRAVILO definirati se na slijedeći način

smjer induciranog napona e je takav da po tom naponu realizirana struja i stvara dodatni magnetski

tok dΦd koji se svojim djelovanjem suprostavlja promjeni osnovnog magnetskog toka dΦg koji je

uzrok nastanka napona e

e - mjerenja pokazuju da je inducirani

napon povezan sa promjenom glavnog

toka Φg (dΦg) sa pravilom lijevog

vijka

i - struja koju bi potjerao napon e stvara

prema pravilu desnog vijka dodatno

magnetsko polje dΦd

dΦd - pojava novog toka dΦd vezana

induciranim naponom e pravilom

desnog vijka

e

dΦd

dΦg

Φg

(i)

edΦd

dΦg

Φg

(i)

1Utjecaj porasta magnetskog

toka za dΦ na inducirani napon e

2Utjecaj smanjenja magnetskog toka

za dΦ na smjer induciranog napona e

Lenzovog pravilo nam objašnjava - u izrazima za elektromagnetsku indukciju i samoindukciju

na sl1 je glavni tok Φg povećan za dΦg i kao posljedica promijene tog toka inducirao se napon

e smjera prema pravilu lijevog vijka

inducirani napon e svojom strujom i stvara svoj dodatni tok dΦd prema pravilu desnog vijka

vidimo da je dodatni tok dΦd koji je posljedica napona e suprotnog smjera od uzročne

promijene glavnog toka dΦg i upravo to je tumačenje predznaka - u izrazima elektromag

indukcije i samoindukcije

mjerna jedinica za

konstantu L je 1 Henri definicija 1H svitak ima induktivitet 1 henri ako se uz promjenu

struje od 1A u 1s inducira u svitku napon 1V

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 44: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 143 -

Napon pomicanja (1)

Prikazano je homogeno magnetsko polje u kojem se nalazi vodič

duljine l koji se kreće u magnet polju in koji sa svojim

priključnim kabelima obuhvaća dio magnetskog toka Φ

][ VlvBe

za PRAVILO INDUCIRANJA NAPONA POMICANJA vrijedi

ako električni vodič pomićemo brzinom v u magnet polju

indukcije B na krajevima vodiča inducira se napon e

cossin lvBe

ako vodič nije u okomitom položaju ne pomiće se okomito

brzinom v na silnice magnetskog polja B vrijedi

N

S

v

I

l

e

u nehomogenom magnet polju vrijedi u homogenom magnet polju vrijedi

cossin dlvBde

ldBvde

)(

α

βl∙c

osβ v∙sinα

B

l

v

v

lVektorski dijagram B v l

l

ldBve

)( a za ukupni napon vrjedi

v

B

ds

dS

e

l

pomicanja vodiča duljine l u magnet polju indukcije B

kako se vodič pomiče mijenja se i veličina

magnet toka Φ koji vodič obuhvaća te vrijedi dt

de

l ndash dužina vodiča

ds ndash diferencijal puta

dS ndashdiferenc površine

vndash brzina

B ndash magnet indukcija

vidi se da umnožak predstavlja

diferenacijal površine dS i slijedi

Prikaz podudarnost zakona elektromagnetske indukcije i napona pomicanja

lds

lvBe

površina

Bldt

ds

dt

BdS

dt

de

put

v - brzina

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 45: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 144 -

opis fizikalne slike

prikazana dva svitka povezana su jezgrom od magnet materijala

svitak 1 je priključen na izvor izmjeničnog napona e1 i kroz njega

teče struja i1 a N1 je broj zavoja svitka

kao treća osnovna pojava induciranja napona e u vodiču

koji se nalazi u promijenjivom magnetskom toku Φpro je

pojava ELEKTROMAGNETSKE MEĐUINDUKCIJE

Elektromagnetska međuindukcija (1)

~ e1

V e2

i2

i1

N1

N2

Φ1

Međuinduktivitet dvaju svitaka

izmjenična struja i1 stvara promijenjivi magnetski tok Φ1 u

kojem se nalazi i svitak 2

svitak 2 je pasivan ispitni svitak koji mjeri napon elektromag

međuindukcije e2

definicija elektromagnetske međuindukcije Međuinduktivitet dvaju svitaka je veličina koja pokazuje

koliki se napon e2 inducira u svitku 2 ako se u svitku 1 odvija promjena struje u vremenu di1dt

matematička formulacija problema

mR

Ni 111 prema poznatoj relacij 1

11 di

R

Nd

m

mR

NI slijedi

a prema zakonu elektromagnetske indukcije

slijedi relacija za inducirani napon e2 u svitku 2 dt

di

R

NNdi

R

N

dt

N

dt

dNe

mm

1 211

12122

dΦ1

M12

mR

NNMM 21

2112

dt

diMe 1

122 dt

diMe 2

211

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 46: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 145 -

Mjerna jedinica za koeficijent

međuindukcije M može se definirati kako

slijedi

sA

sV

di

dteM

definicija 1 H - međuinduktivitet 1 henri imaju dva svitka ako se u jednom svitku struja mijenja

jednolično za 1A1s a u drugom svitku inducira napon 1V

Potrebno je još definirati i međusobne odnose M i L1 L2

Elektromagnetska međuindukcija (2)

Henri

2

11

mR

NL

2

22

mR

NL pokazano je već prije

da za L1 i L2 vrijedi i

2

21

2

2

2

2

121

mm R

NN

R

NNLLa L1∙L2 je

M2

HLLM 21 konačni je izraz za odnos M i L1 L2 dan

relacijom

1

1212

1

12212

i

MM

i

MM

Φ12 - zajednički magnet tok svitka 1 i 2

Φ1 - magnetski tok svitka 1

Φr - rasipni tok

kod realnih svitaka mora se još

uzeti u obzir moguće rasipanje

magnetskog polja Φ1 121 r

HLLkM 21

međuinduktivitet uz rasipanje

razlika između glavnog magnetskog toka Φ1 i

zajedničkog magnetskog toka Φ12 uzima se u

obzir sa konstantom magnetske veze k

21 LL

Mk

k=1 ndash za idealne prilike

klt1 ndash za realne prilike

a za faktor magnetske veze k

vrijedi relacija

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 47: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 146 -

ako pozitivne struje svitaka (1 i 2) uspostave magnetski tok u istom smjeru tada je međuindukcija ldquo+rdquo

ako pozitivne struje svitaka (1 i 3) potjeraju magnetski tok u suprotnom smjeru tad je međuindukcija ldquo-rdquo

ako su elektromotorne sile e istog smjera tada je međuindukcija +

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

U praktičnim proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka jer o tome ovisi ukupni induktivitet svitaka

uz to potrebno je definirati i način označavanja smjera magnetskog toka Φ pojedinih svitaka

na sl1411 prikazan je način određivanja smjera toka Φ prema pravilu desnog vijka i način određivanja predznaka koeficijenta međuindukcije M

i

i

i

e

e

e

3

2

1

Φ

Φ

Φ

M=(+)

M=(-)

Sl1411 Prikaz međuindukcije za tokove Φ

različitih smjerova

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 48: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 147 -

Slučaj 1 sukladno spojeni svici - magnetska polja se nadopunjavaju

Međuinduktivitet svitaka protjecanih istom strujom i (1)

na sl12a) prikazan je slučaj kada struja ulazi u oba svitka u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se nadopunjavaju

na sl12b) prikazan je način označavanja svitka sa točkom ispred ili iza svitka

pri sukladnom spajanja svitaka međuinduktiviteti se zbrajaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

konst

a)

b)

Sl1412 Prikaz sukladno spojenih

svitaka u strujnom krugu

MMM

MMLLLu

2112

211221

MLLLu 221

U proračunima električnih strujnih krugova potrebno je voditi računa o načinu namatanja i spajanja svitaka i uz to je potrebno definirati i način označavanja smjera magnet toka Φ pojedinih svitaka

Slučaj 2 suprotno spojeni svici - magnet polja se suprostavljaju

na sl13a) prikazan je slučaj kada struja u oba svitka ne ulazi u istom smjeru namatanja i tokovi Φ1 i Φ2 se suprostavljaju

na sl13b) prikazano je označavanje svitaka kada struja u oba svitka ne ulazi na mjestu oznake bull svitka i međuinduktiviteti svitaka se oduzimaju

i i i

L1 L2

Φ1

M

Φ2

M

L1 L2I I

Prikaz suprotno spojenih svitaka u strujnom krugu

konst

a)

b)

MMM

MMLLLu

2112

211221 MLLLu 221

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 49: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 148 -

S -površina koju prekrije provodnik duljine l na putu s

sin slIBsFA

Rad vodiča pri gibanju u magnet polju i magnet energija svitka

uz transformacije i slijedi

za rad A pri gibanju vodiča u magnetskom polju

sin BBn SIBA n SBn

][JIA

Vodič se u magnet polju kreće pod djelovanjem sile F na putu s a za izvršeni rad A vrijedi

Magnetska energija svitka

U strujnom krugu sa priključenim svitkon uključi

se sklopka S i prati se prijelazna pojava do

uspostave ravnoteže u električnom strujnom

krugu i energija koja se akumulira u svitku

+E

iL

RL

e

s

e ndash inducirani napon samoindukcije

i ndash trenutna vrijednost struje

iep u svakom trenutku prijelazne pojave vrijedi

za trenutnu snagu p i energiju dW

dtiedW

diferencijal energije u vremenu dt

L ndash induktivitet svitka

R ndash radni otpor svitka

e ndash elektromotorna sila

proračun 1 - slijedi proračun akumulirane energije svitka pomoću koeficijenta samoind L

diiLdtidt

diLdW

dt

diLe uz slijedi za energiju diiLdW

II

iLdiiLW0

2

02

1

ukupna magenergija svitka dobije

se integriranjem od i=0 do i=I ][2

2

1JILWm

uz relaciju da je

IL

LIWm

2

2

1

2

1

C

QUQUCWel

222

22

slijedi

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 50: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 149 -

lHiN dBSd

Magnetska energija svitka (2)

proračun 2 - proračun magnet energije svitka pomoću karakterističnih veličina mag polja (Φ B μ)

diNdtidt

dNdtiedWm

dt

dNe

uz izraz slijedi

diNdWm

dBSlHdWm

V - volumen

mB

m dBHVW0

ukupna energija svitka dobije se integriranjem

magnet indukcije B od 0 do Bm te je

V

WW m

m

BH

mB

m dBB

W0

a za magnetsku energiju po

jedinici volumena slijedi dalje

][2

2

JB

W m

a nakon integriranja i korištenja

izraza slijedi za Wm

][22

2

JHHB

Wm

HB

i

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 51: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 150 -

jer je I1 konstantno

Magnetska energija sustava svitka (1)

Opisati će se primjeru dva svitka prema slici

prvi korak struja i1 raste u svitku 1 od 0 do I1 a svitak 2 je otvoren

2

2

111

ILWL

za magnetsku energiju WL1

svitka 1 sada slijedi

L

1

L2

M

I

1 I

2

Dva svitka protjecana strujom I1 i I2

1222 IMiL drugi korak struja i2 povećava se postepeno

od 0 do I2 a struja svitka 1 je konstantno I1

tada uz Mgt0 za ulančani tok drugog svitka Ψ2

uz konstantne i promjenjljive veličine vrijedi

0222 diLd

2

0

222

I

L idW i integriranjem ulančanog toka

od 0 do I2 konačno vrijedi 2

2

222

ILWL

ulančani tok drugog svitka vrijedi

treći korak porast struje i2 izazvat će i

promjenu ulančanog toka prvog svitka

Ψ1 te se i zbog toga povećava magnet

energija međuinduktiviteta WM

21 IIMWM

21

2

22

2

11

22IIM

ILILWuk

a za ukupnu energiju Wuk sustava svitaka sada slijedi

2111 IMIL 1222 IMIL 22112211

2

1

22

II

IIWukWuk i

uz supstitucije

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 52: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 151 -

Serijski spoj induktiviteta

Na slici je prikazan primjer serijskog spajanja induktiviteta a traži se UKUPNI INDUKTIVITET

prema slici slijede početni električni uvjeti

321 iiii

struja kroz sve serijski spojene svitke je jednaka

naponi svitaka se zbrajaju i jednaki su naponu izvora

321 eeeei

L1 L2

i

L3

e1 e2 e3

~ei

Prikaz serijskog spoja induktiviteta

dt

diLe

ako se koriste poznate relacije elektromagnetske samoindukcije te uz jednadžbe početnih uvjeta slijedi

dt

diLLLeeee 321321

L

n

i

iLL i konačno slijedi izraz za ukupni induktivitet serijski spojenih induktiviteta

Ukupni induktivitet serijski spojenih svitaka jednak je zbroju induktiviteta pojedinih svitaka

za odnos induciranih napona e1 e2 e3 i veličina induktiviteta L1 L2 L3 za promatrani strujni krug slijedi

kako vrijedi slijede izrazi koji definiraju odnose induktiviteta L i napona

321 iiii

dt

di

dt

di

dt

di 321

2121 LLee

3131 LLee

3232 LLee

inducirani naponi e serijski vezanih svitaka odnose se upravo proporcionalno veličini induktiviteta svitaka L

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 53: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 152 -

Paralelni spoj induktiviteta (1)

prikaz primjer paralelnog spoja induktiviteta u izmjeničnom strujnom krugu

početni električni uvjeti promatranog strujnog kruga

321 LLLi eeee

naponi pojedinih svitaka i napon izvora su jednaki

struje svitaka se zbrajaju

321 iiii

Prikaz paralelnog spoja induktiviteta

i

i1

i2

i3

~ei

L2

L3

L1

eL

ako se koristi relacija za elektromagnetsku samoindukciju

dt

diLe

dt

diL

dt

diL

dt

diL

dt

diL 3

32

21

1

te ako je L

dtedi

i koristeći relacije početnih uvjeta slijedi

te uz početne uvjete

321 didididi

3

3

2

2

1

1L

dte

L

dte

L

dte

L

dte

i nakon sređivanja dobijemo

n

i iLL 1

11

321

1111

LLLL

Recipročna vrijednost ukupnog

induktiviteta jednaka je sumi

recipročnih vrijednosti induktiviteta

paralelno spojenih svitaka

Veličine struja paralelno spojenih svitaka odnose se obrnuto

proporcijonalno vrijednostima pojedinih induktiviteta

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA

Page 54: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 - Samo materijali i materijali · PDF file-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -- 1.0 - OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 . TEMA 11-14 . ELEKTROMAGNETSKA POLJA - uvodna razmatranja

-ELEKTROMAGNETSKA POLJA -

- 153 -

KRAJ

TEMA 11-14

ELEKTROMAGNETSKA POLJA