osnove matematike za inženjerstvo – dio ii 2016/2017. 3
TRANSCRIPT
Aleksandar Karač
zgrada Rektorata, kancelarija 31
tel: 44 44 20
[email protected]; [email protected]
www.ptf.unze.baOdsjek proizvodni biznis Nastavni materijali OMzI (http://www.am.unze.ba/omzi/)
OSNOVE MATEMATIKE ZA INŽENJERSTVO
DIO II
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 1
Izvođenje nastave• predavanja: 2 časa sedmično
• vježbe (auditorne) : 2 časa sedmično
Obaveze studenata• redovno prisustvo na predavanjima i vježbama (ponesite digitron/kalkulator!!!)
• urađena zadaća – PREDATA U ZADANOM ROKU!!!
Uvod u DIO II....
Cilj predmeta • upoznati studente prve godine studija sa jednostavnošću matematike i njenom sposobnošću dajasno opiše inženjerske probleme
• pomoći promijeni percepcije da je matematika isključivo apstraktna i istaknuti njen značaj zainženjerstvo
• pomoći studentima da razviju vještine rješavanja problema primijenom matematike uinženjerstvu
• razviti vještine rješavanja problema na rigorozan, racionalan i jasan način• pomoći studentima da sami procijene i sami popune praznine u prethodnom matematičkom
obrazovanjuKompetencije(Ishodi učenja)
Po uspješnom završetku kursa studenti će biti u stanju da:• pokažu svijest o važnosti matematike u širokom rasponu tema, posebno uključujući mehaniku i
računarsko inženjerstvo• pokažu sposobnost korištenja matematičke terminologije kao dijela analize i rješavanja
tehničkih problema• pokažu sposobnosti da izaberu i primijene ispravan matematički metod na jednostavnim
problemima mehanike i inženjerskih aplikacija
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 2
Sadržaj/program kursa – dio II
(1) Funkcije 2 sedmice
(2) Diferenciranje 1 sedmica
(3) Integriranje 1 sedmica
TEST – 15.12.2017. u 9.30
Uvod u DIO II....
ZADAĆA:
Zadata: 10. novembar 2017.Rok za predaju: 22. decembar 2017. (petak)
KonsultacijeRadnim danom (osim srijede) od 12.00-14.00
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 33
LITERATURA
dodatna
osnovna • Predavanja, vježbe (sve dostupno na web stranici)
• Michael Batty (2011) Essential Engineering Mathematics, ISBN: 978-87-7681-735-0, http://bookboon.com/en/essential-engineering-mathematics-ebook
• Bird J., Basic Engineering Mathematics, Routledge, 7th edition, 2014.
• Bird J., Engineering Mathematics, Routledge, 7th edition, 2014.
• Bird J., Higher Engineering Mathematics, Routledge, 7th edition, 2014.
• Bird J., Understanding Engineering Mathematics, Routledge, 7th edition, 2014.
• Dave Benson: Music: A Mathematical Offering (2008) ISBN: 978-05-2161-999-8 http://homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/html/music.pdf
• Anthony Croft, Robert Davison, Martin Hargreaves (2001) Essential Engineering Mathematics, 0-13-026858-5• Azem Dautović, Huse Fatkić, Narcis Behlilović: Zbirka zadataka za pripremnu nastavu iz matematike,
Elektrotehnički fakultet u Sarajevu, 2011. godina• B.P. Demidovič: Zadaci i riješeni primjeri iz više matematike s primjenom na tehničke nauke,. Tehnička knjiga,
Zagreb, 1980.
Uvod u DIO II....
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 4
Kompetencije nakon ovog dijela:
• Prepoznati standardne krive i njihove jednačine: pravac, kvadratna, kubna, trigonometrijska, logaritamska, eksponencijalna funkcija, krug, elipsa, hiperbola
• Izvršiti jednostavne grafičke transformacije
• Definisati kontinuitet funkcija
• Definisati parnost funkcija
• Definisati inverznu funkciju
• Skicirati grafike jednostavnih funkcija
II-1 Funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 5
Definicija funkcije II-1 Funkcije
Funkcija je relacija između skupa ulaznih podataka i skupa dozvoljenih izlaznih podataka, pri čemu svaki ulaznipodatak ima tačno jedan izlazni podatak.
Na primjer, funkcija je relacija koja svaki realni broj x povezuje s njegovim kvadratom x2.
Izlazna vrijednost funkcije f koja se odnosi na ulaznu vrijednost x (argument) označava se sa f(x) (f od x)
Ako je f(x)=x2, onda je f(2)=22=4.
Grafici i funkcije
Za poznatu jednačinu, za određeni opseg vrijednosti, moguće je izračunati koordinate, pa se jednačina može prikazati(opisno) u obliku grafika. Ponekad je korisno prikazati sve karakteristike neke jednačine, pa se u tom slučaju moženacrtati skica koja opisuje jednačinu, a tačan grafik je manje važan (skiciranje krive).
Ako, na primjer, y zavisi od x, kaže se da je y funkcija od x, a ova zavisnost se piše y=f(x). x predstavlja nezavisnupromjenljivu, a y zavisno promjenljivu.
U nauci i tehnici, odgovarajuće vrijednosti dobivaju se na osnovu testova i eksperimenata.
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 6
Grafici i funkcije
Grafik je slikovita reprezentacija informacija koja pokazuje kakose jedna veličina mijenja u odnosu na drugu veličinu.
Uobičajen način prikazivanja je pomoću Kartezijevog(pravouglog) koordinatnog sistema (slika desno).
Tačke na grafiku nazivaju se koordinate. Na primjer, tačka A imakoordinate (3, 2), tačka B koordinate (-4,3), ...
Horizontalna udaljenost tačke od vertikalne ose je abscisa, avertikalna udaljenost od horizontalne ose je ordinata.
II-1 Funkcije
Grafici i dijagrami omogućuju jednostavan i moćan pristup mnogim inženjerskim problemima: periodične funkcijeopisuju oscilacije, talase i ostale fenomene koji pokazuju periodičnost, mnoge osnovne funkcije (linearne, kvadratne,eksponencijalne, ...) i znanja o njima su neophodne kako bi se odredilo kako ih upotrijebiti za generiranje mnogokomplikovanijih oblika (kvadratni, nazubljeni, ...), razumijevanje kontinuiteta/diskontinuiteta funkcija, parnosti,inverznih funkcija, ..., u mnogome pomažu u svemu tome (kaže se da je to sve dio ‘jezika inženjerstva’).
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 7
Pravac
3 2
Nagib (gradijent) pravca je odnos promjene vrijednosti y i promjene vrijednosti x između bilo koje dvije tačke na pravcu
nagib
= 2
Pozitivan nagib (2):s povećanjem x povećava se y;funkcija raste
Presjek s y-osom je vrijednost y za x=0.
2 · 0 1 1
Presjek s x-osom (nula funkcije) je vrijednost x za y=0.
0 2 · 1 →12
12
1 1
Kanonski oblik jednačine pravca
2 1
II-1 Funkcije
Na primjer,
Standardne funkcije (krive)
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 8
Pravac
Opšta jednačina pravca
b
nagib
= 3
Negativan nagib (-3):s povećanjem x smanjuje se y;funkcija opada
Presjek s y-osom
3 · 0 2 2
Presjek s x-osom (nula funkcije)
0 3 · 3 →23
23
2 1
Kanonski oblik jednačine pravca
3 2
Koeficijent (pravca) a predstavlja nagib (gradijent) pravca, a koeficijent b predstavlja presjek s y-osom.
Oblast definisanosti y=ax+b: za x(- ∞, ∞)
Standardne funkcije (krive)
/ 1
II-1 Funkcije
Na primjer,
Kanonski oblik jednačine pravca
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 9
Pravac – praktični primjeri
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Primjer II-1.1 Skiciraj grafik y=4x+3 u opsegu x∊[-3,4] i nađi vrijednost y za x=2.2 i vrijednost x za y=-3, te nađi gradijent (nagib) i presjecišta s x i y osom.
Primjer II-1.2 Skiciraj sljedeće grafike u rasponu x∊[-4,4] : y=x; y=x+2; y=x-3, te nađi njihove gradijente (nagib) i presjecišta s x i y osom.
Primjer II-1.3 Nađi gradijete sljedećih pravaca: y=5x-1, 2x+3y=3, pravac koji prolazi kroz tačke (-2,5) i (3,4), pravac koji prolazi kroz tačke (-2,-3) i (-1,3).
Primjer II-1.4 Ovisnost temperature u stepenima Celzijusa (°C) i stepenima Farenhajta (°F) data je u Tabeli dole.
a) Prikaži datu ovisnost grafički
b) Očitaj vrijednost temperature 55°C u °F
c) Očitaj vrijednost temperature 170°F u °C
d) Izvedi jednačinu koja daje vezu °C i °F
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 10
Pravac – praktični primjeri
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Primjer II-1.5 Prilikom testiranja sijalice, dobivene su vijednosti otpora R u omima () i napona U u voltima (V). Dobivene vrijednosti su aproksimirane linearnom funkcijom s podacima datim u Tabeli.
a) Prikaži datu ovisnost grafički (otpor kao y-osu)
b) Odredi gradijent
c) Odredi presjek s R-osom
d) Kolika bi vrijednost otpora bila za 110 V
e) Izvedi jednačinu pravca
Primjer II-1.6 Brzina tijela v ovisi o vremenu t. Mjereni rezultati dati su u Tabeli.
a) Prikaži datu ovisnost grafički (vrijeme kao x-osu)
b) Odredi gradijent (ubrzanje)
c) Odredi brzinu nakon 10 s
d) Odredi vrijeme pri 20 m/s
e) Izvedi jednačinu pravca
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 11
Kvadratna funkcija
Opšta jednačina kvadratne funkcije (parabola)
+
a > 0 (ekstrem: minimum) a < 0 (ekstrem: maksimum) b = 0 – kriva simetrična u odnosu na y-osu
b/a > 0 – pomjeranje (ekstrema) ulijevo za b/2a b/a < 0 – pomjeranje (ekstrema) udesno za b/2a
Oblast definisanosti : za x(- ∞, ∞)
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 12
Kvadratna funkcija
Nule kvadratne funkcije (korijeni kvadratne jednačine)
+ 0
,4
2
Mogu biti (2 rješenja jednačine):
dva različita realna dva ista (višestruka) realna dva konjugovano-kompleksna
4 >0 4 0 4 0
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 13
Kvadratna funkcija – praktični primjeri
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Primjer II-1.7 Za funkcije f(x)=4x2+4x-15 i y=-5x2+9x+7.2
a) Nacrtaj grafike
b) Nađi nule
c) Nađi koordinate i prirodu ekstrema
Primjer II-1.8 Za funkciju f(x)=10x2-13x-30 primijenjujući interval x∊[-2,3]
a) Nacrtaj grafik
b) Nađi nule
c) Nađi koordinate i prirodu ekstrema
d) Nađi vrijednost y za x=1.3
e) Nađi vrijednost x za y=10
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 14
Kubna funkcija
Opšta jednačina kubne funkcije
+
a > 0 a < 0
Oblast definisanosti + : za x(- ∞, ∞)
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
3 0 3 0 3 0
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 15
Nule kubne funkcije
+ 0
Mogu biti (3 rješenja jednačine):
tri različita realnatri realna od čegadva ista (višestruka) tri ista (višestruka) realna
jedno realno i dvakonjugovano kompleksna
II-1 Funkcije
Kubna funkcija
Standardne funkcije (krive)
Δ 18 4 4 27
Δ 0 Δ 0 Δ 03 03 0
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 16
Nule kubne funkcije
Postoji postupak tačnog rješavanja opšte jednačine 3. reda
https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function
ali i 4. reda!!!
Za polinome u opštem obliku reda većeg od 4 ne postoji analitičko rješenje, nego se koriste iterativni postupci rješavanja (numeričke metode).
Ipak, pomoću Teoreme (testa) o racionalnim nulama polinoma, moguće je naći racionalna rješenja (koja se mogu predstaviti u obliku razlomka) ukoliko ona postoje. Moguća rješenja su svi pozitivni i negativni razlomci, kod kojih je brojnik djelilac slobodnog člana, a nazivnik djelilac koeficijenta uz najveći stepen. Na primjer:
II-1 Funkcije
Kubna funkcija
Standardne funkcije (krive)
+ 0
3 5 5 2 0 Moguća rješenja: tj. 1,21,3
1, 1, 2, 2,13 ,
13 ,23 ,
23
6 2 5 10 0 Moguća rješenja: tj. 1,2,5,101,2,3,6
1, 1, 2, 2, 5, 5,10, 10,12 ,
12 ,13 ,
13
16 ,
16 ,23 ,
23 ,52 ,
52 ,53 ,
53 ,56 ,
56 , …
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 17
Logaritamska funkcija
→ loglog → log
Pojam logaritma (log)
3 81 → 4 log 814 je stepen ili eksponent3 je baza
4 je logaritam od 81 po bazi 3
log · log log
log log log
log · log
log 1 0
log 1
log 0 ∞
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Važnije vrijednosti i pravila
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 18
Opšta jednačina logaritamske funkcije
log Logaritam od x po bazi a
log Logaritam od x po bazi 10
ln Logaritam od x po bazi e (=2.7182818...) – prirodni logaritam
Oblast definisanosti y=log(x): za x(0, ∞)
II-1 Funkcije
Logaritamska funkcija
Standardne funkcije (krive)
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 19
Opšta jednačina eksponencijalne funkcije
Oblast definisanosti y=ex: za x(-∞, ∞)
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Eksponencijalna funkcija
Zakoni rasta i propadanja
Javljaju se u obliku y=Ae-kx ili y=A(1-e-kx), gdje su A i kkonstante u raznim područjima inženjerstva i nauke:
i) Linearna ekspanzija
ii) Promjena električnog otpora s temperaturom
iii) Zatezanje lanaca
iv) Njutnov zakon hlađenja
v) Biološki rast
vi) Atomosferski pritisak
vii) Pražnjenje kondenzatora
viii) Radioaktivno propadanje
ix) Porast struje u kondenzatorskom krugu
x) ........
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 20
Eksponencijalna funkcija – praktični primjeri
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Primjer II-1.9 Otpor R električnog kondenzatora na temperaturi [°C] dat je izrazom R=R0e, gdje je konstanta, a R0=5000 . Odredi (na 4 značajne cifre), kada je R=6000 i =1500°C. Također, nađi temperaturu kada je otpor R=5400 .
Primjer II-1.10 Temperatura 2[°C] kalema, koji se zagrijava električnom strujom, u vremenu t data je izrazom 2=1(1-et/), gdje je 1 temperatura za t=0, a je konstanta. Izračunati:
a) temperaturu kada je 2=50°C, t=30s, a =60s
b) vrijeme t, kada temperatura 2 ima vrijednost polovine 1.
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 21
Trigonometrijske funkcije
sin
cos
sincos tg
Opšte jednačine trigonometrijskih funkcija
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 22
Crtanje sinusne i kosinusne funkcije
II-1 Funkcije
Trigonometrijske funkcije
Standardne funkcije (krive)
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 23
II-1 Funkcije
Trigonometrijske funkcije
Standardne funkcije (krive)
Sinusna funkcija oblika Asin(t ± )
Vektor OR slobodno rotira oko tačke O u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu (tzv. fazni vektor): za vrijeme t on se okrene za ugao t (u radijanima) i vrijedi ST=TOsint.
Ako vektor OR načini jedan obrtaj (2 radijana) u T sekundi, onda je ugaona brzina:
T se naziva period.Broj punih obrtaja u sekundi je frekvencija:
2 rads →
2
1 1s Hz 2
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 24
II-1 Funkcije
Trigonometrijske funkcije
Standardne funkcije (krive)
Sinusna funkcija oblika Asin(t ± )
A – maksimalna vrijednost sinusnog talasa – amplituda
– ugaona brzina (=2/f) u radijanima u sekundi [rad/s]
T – period (=2/) u sekundama [s]
f – frekvencija (=/2) u hercima [Hz]
– fazni ugao u radijanima [rad] – ako je znak +, funkcija je ispred, a ako je – onda kasni za funkcijom oblika sint
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 25
Trigonometrijske funkcije – praktični primjeri
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Primjer II-1.11 Jačina naizmjenične struje data je izrazom t=30sin(100t+0.27) u amperima [A]. Nađi amplitudu, period, frekvenciju i fazni ugao (u stepenima).
Primjer II-1.12 Oscilirajući mehanizam ima maksimalno pomjeranje od 2.5 m i frekvenciju od 60 Hz. U vremenu t=0, pomjeranja je 90 cm. Izrazi pomjeranje u opštem obliku Asin(t ± ).
Primjer II-1.13 Trenutna vrijednost napona u naizmjeničnom strujnom krugu u bilo kojem vremenu t data je izrazom u= 340sin(50 t – 0.541) u voltima[V]. Odredi:
a) amplitudu, period, frekvenciju, fazni ugao (u stepenima)
b) vrijednost napona za t=0
c) vrijednost napona za t=10ms
d) vrijeme kada napon dostigne vrijednost 200V
e) vrijeme kada napon dostigne maksimalnu vrijednost
Skiciraj grafik funkcije.
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 26
Krug
Opšta jednačina kruga
Jednačina kruga s centrom u (a,b) i poluprečnika R.
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Prošireni oblik jednačine kruga
2 2 0
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 27
Krug – praktični primjeri
II-1 FunkcijeStandardne funkcije (krive)
Primjer II-1.14 Odredi poluprečnik i koordinate kruga datog jednačinom x2+y2+8x-2y+8=0.
Primjer II-1.15 Skiciraj grafik sljedeće jednačine: x2+y2-4x+6y-3=0
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 28
Opšta jednačina elipse
1 Dužina AB (2a) je velika osa (a je velika poluosa), a dužina CD (2b) mala osa (b je mala poluosa).
II-1 Funkcije
Elipsa
Standardne funkcije (krive)
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 29
Opšta jednačina hiperbole
1 Dužina AB jednaka je 2a.
Pravougaona hiperbola
→
II-1 Funkcije
Hiperbola
Standardne funkcije (krive)
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 30
Jednostavne transformacije
Na osnovu grafika y=f(x) moguće je izvesti grafike funkcija koje su transformacije grafila y=f(x), kao na primjer:
y=a·f(x); y=f(x) + a; y=f(x+a); y=f(a · x); y(x)=−f(x); y=f(− x)
y=a·f(x) – ‘rastezanje’ grafika y=f(x) paralelno osi y za faktor a.
y= – f(x) – refleksija grafika y=f(x) u odnosu na osu x.
II-1 Funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 31
Jednostavne transformacije
y=f(x+a) – translacija grafika y=f(x) za –a paralelno x osi.
y=f(x) + a – translacija grafika y=f(x) za a paralelno y osi.
II-1 Funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 32
Jednostavne transformacije
y=f(a · x) – ‘rastezanje’ grafika y=f(x) paralelno osi x za faktor 1/a
y=f(– x) – refleksija grafika y=f(x) u odnosu na osu y.
II-1 Funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 33
Jednostavne transformacijeII-1 Funkcije
Praktični primjeri
Primjer II-1.16 Skiciraj grafike y=(x-4)2 i f(x)=x3-8
Primjer II-1.17 Skiciraj grafike y=5-(x+2)2 i f(x)=1+3sin2x
Primjer II-1.18 Skiciraj grafik y = x - x2
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 34
Periodičnost
Neprekidnost funkcija
Za funkciju se kaže da je periodična ako vrijedi f(x)=f(x+T) za sve vrijednosti x, gdje je T neki pozitivan broj. T je vrijeme između uzastopnih ponavljanja i naziva se period.
Na primjer:
sin sin 21, za 01, za0
Neke karakteristike funkcija
Ukoliko grafik funkcije nema nagle skokove ili prekide za funkciju se kaže da je neprekidna ili kontinuirana (na primjer, funkcije sinus i kosinus). Ukoliko skokovi ili prekidi postoje (na primjer, grafik gore desno ili tangens funkcija) funkcija je prekidna (diskontinuirana).
II-1 Funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 35
ParnostNeke karakteristike funkcija
Za funkciju se kaže da je parna ako vrijedi f(x)=f(-x) za sve vrijednosti x. Grafici parnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na osu y (slika u ogledalu).
Za funkciju se kaže da je neparna ako vrijedi f(-x)=-f(x) za sve vrijednosti x. Grafici neparnih funkcija su uvijek simetrični u odnosu na koordinatni početak.
Većina funkcija, ipak, nije ni parna ni neparna (logaritamska, ...)
II-1 Funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 36
Inverzne funkcije
Neke karakteristike funkcija
Ako je y funkcija od x, grafik x-y može poslužiti da se nađe vrijednost x, ako je poznata vrijednost y. Drugim riječima, grafik x-y pokazuje da je x funkcija u odnosu na y. Za takve dvije funkcije se kaže da su inverzne. Inverzna funkcija se označava sa y=f-1(x).
Inverzna funkcija se dobiva kada se x predstavi u ovisnosti od y, a onda im se zamijene mjesta
Na primjer:
2 1 → 1
2 → 212
2 1 → 212
Inverzna funkcija je refleksija funkcije u odnosu na pravac y=x.
II-1 Funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 37
Inverzne trigonometrijske funkcije
Neke karakteristike funkcija
sin → sin arcsin
cos → cos arccos
tg → tg arctg
S obzirom da su inverzne trigonometrijske fukcije periodične, prilikom izračunavanja ugla (u radijanima) traži se najmanja vrijednost, i to za funkcije sinus i kosinus u intervalu 0<y<, a za funkciju tangens u intervalu –/2<y<
II-1 Funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 38
Neke karakteristike funkcija
II-1 Funkcije
Praktični primjeri
Primjer II-1.19 Odredi inverzne funkcije za
a) f(x)=x+1
b) f(x)=5x+1
c) f(x)=1/x+2
Skiciraj funkcije i njihove inverzne funkcije.
Primjer II-1.20 Izračunaj vrijednosti sljedećih funkcija: arcsin(-1), arccos(0.5), arctg(0.5), arcctg(2), arcsin(1/3)+arccos(4/5)+arctg(8/9).
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 39
II-2 Diferenciranje
Kompetencije nakon ovog dijela:
• Opisati gradijent krive i njegovu graničnu vrijednost
• Diferencirati standardne funkcije
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 40
II-2 Diferenciranje
Gradijent krive
Uvod Postoje mnoge praktične situacije koje inženjeri trebaju analizirati, a koje uključuju veličine koje se mijenjaju: naponi u opterećenim gredama, temperatura industrijskih hemikalija, brzina promjene brzine nekog vozila, struja u električnom krugu, moment uvijanja na turbinskoj lopatici, ... Diferenciranje je matematička tehnika kojom se analizira način promjene funkcija i korisna je u tim slučajevima.
Ako se nacrta tangenta u tački P krive, gradijent (nagib) tangente predstavlja gradijent krive u tački P.
Gradijent krive u tački P jednak je gradijentu tangente PQ.
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 41
Gradijent krive
Gradijent tetive AB dat je izrazom
nagib
Primjer: f(x)=x2
Gradijent tetive AB 4
Gradijent tetive AC 3
Gradijent tetive AD..
2.5
Gradijent tetive AE (E(1,1,f(1,1)))..
2.1
Gradijent tetive AF (E(1,01,f(1,01)))..
2.01
Približavanje graničnoj vrijednosti gradijenta u tački A (=2).
II-2 DiferenciranjeUvod
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 42
Diferenciranje - definicija Neka su tačke A i B vrlo blizu jedna drugoj, odnosno vrijednosti x(delta x) i y (delta y) predstavljaju male udaljenosti u x i y pravcu, respektivno.
Gradijent tetive AB
Kako se x približava nuli, tako se y/x približava graničnoj vrijednosti, odnosno gradijent tetive AB se približava gradijentu tangente u A.
lim→
lim→
(Prvi) izvod funkcije y=f(x) lim→
lim→
′ lim→
lim→
Postupak pronalaženja izvoda funkcije naziva se diferenciranje.
II-2 Diferenciranje
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 43
Geometrijsko značenje prvog izvoda
II-2 Diferenciranje
Prema prethodnim izlaganjima,
gradijent tangente u nekoj tački (P) predstavlja vrijednost prvog izvoda u toj tački!!!!
Ukoliko je vrijednost prvog izvoda u nekoj tački, odnosno gradijent tangente u toj tački, veći od nule, funkcija raste!
Ukoliko je vrijednost prvog izvoda u nekoj tački, odnosno gradijent tangente u toj tački, manja od nule, funkcija opada!
Ukoliko je vrijednost prvog izvoda u nekoj tački, odnosno gradijent tangente u toj tački, jednaka nuli, funkcija niti raste niti opada (ekstrem ili prevojna tačka)!
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 44
Izvodi osnovnih funkcija
Funkcija Izvod
sin cos
cos sin
ln1
Ukoliko se nakon diferenciranja, izvrši diferenciranje prvog izvoda (sukcesivno diferenciranje), dobiva se izvod drugog reda
(de 2 y po de x na kvadrat)
itd ....
II-2 Diferenciranje
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 45
Brzina promjene neke veličine
Ukoliko neka veličina y zavisi i mijenja se u odnosu na veličinu x, brzina promjene y u odnosu na x je
data izrazom
Na primjer, brzina promjene pritiska p s visinom h je , brzina promjene struje i u vremenu je ,
brzina promjene temperature T duž provodnika , itd.
II-2 Diferenciranje
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 46
II-2 DiferenciranjePraktični primjeri
Primjer II-1.21 Nacrtaj krivu f(x)=4x2-1 za vrijednosti x[-1, 4]. Na grafiku označi tačke J i K s koordinatama (3, f(3)) i (1, f(1)), respektivno, i nađi gradijent tetive JK. Pomjerajući se prema K nađi gradijent tangente u K.
Primjer II-1.22 Nađi izvode sljedećih funkcija (po x): y=4x7, y=3/x2, y=5, 41
Primjer II-1.23 Nađi izvode sljedećih funkcija (po t): y=4sin 3t, f(x)=2sin 2t – 5cos 4t.
Primjer II-1.24 Jačina naizmjenične struje data je izrazom i=5sin 100t, gdje je t vrijeme u sekundama. Odredi brzinu promjene struje kada je t=0.01. Da li u toj tački jačina struje raste ili opada? Skiciraj na grafiku!!!
Primjer II-1.25 Nađi gradijent krive za x=1. Da li funkcija u toj tački raste ili opada?
32 sin 4
2ln
Primjer II-1.26 Njutnov zakon hlađenja je dat izrazom =0e kt. Odredi brzinu promjene temperature nakon 50 s, ako je 0=°C i k=-0.02. Da li se temperatura povećava ili smanjuje?
Primjer II-1.27 Atmosferski pritisak p se mijenja s visinom h prema izrazu p=p0e h/c, gdje je p0 pritisak na zemlji, a c je konstanta. Odredi promjenu pritiska na visini 1550 m, ako je p0=100 kPa, a c=6.2x104 m.
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 47
II-3 Integriranje
Kompetencije nakon ovog dijela:
• Razumjeti proces integracije kao inverzni proces diferenciranja
• Određivanje integrala standardnih funkcija
• Izračunavanje određenog integrala
• Izračunavanje površine ispod krive
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 48
II-3 Integriranje
Proces integriranja
Uvod
Slično diferenciranju, integriranje je neizostavna tehnika u radu inženjera, istraživača i naučnika. Tipični primjeri primjene integrala su određivanja i izračunavanja površina, srednjih vrijednosti, zapremine rotirajućih tijela, težišta, momenata inercije, diferencijalnih jednačina, Fourierove analize, itd. Ovo poglavlje je posvećeno određivanju površina ispod krivih.
Integriranje je proces obrnut procesu diferenciranja. Kod diferenciranja, ako je f(x)=2x2, onda je f’(x)=4x. Na taj način, integral od 4x je 2x2, odnosno integriranje je proces u kojem se od f’(x) dobiva f(x).
Integriranje je proces sabiranja ili dodavanja dijelova, a simbolički se označava izduženim S, koje se piše sa ⨛, a čita se „integral od”.
U procesu diferenciranja, izvod dy/dx označava da se diferenciranje obavlja u odnosu na x (dx). Slično, integraciona promjenljiva se označava dodavanjem slova d nakon funkcije koju treba integrirati.
4 znači, integral od 4x u odnosu na x
2 znači, integral od 2t u odnosu na t
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 49
Proces integriranja
Izvod od je 4x, ali vrijedi i
izvod od je 4x (izvod konstante je 0)
Stoga može biti i i
U ovom slučaju radi se o neodređenim integralima te se prilikom integriranja rezultatu dodaje i konstanta c. Dakle,
4 2
2
2 5
4 2 2 5
a konstanta c se naziva (proizvoljna) konstanta integracije.
II-3 Integriranje
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 50
Integrali osnovnih funkcija
Funkcija Integral
1
sin
cos
1
cos
sin
ln
osim za n=-1 (vidi dole)
II-3 Integriranje
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 51
Integrali osnovnih funkcija – praktični primjeri
II-3 Integriranje
Primjer II-1.28 Nađi integrale sljedećih funkcija (po x): y=4x7, y=3/x2, y=5,
Primjer II-1.29 Nađi integrale sljedećih funkcija (po t): y=4sin 3t, f(t)=2sin 2t – 5cos 4t, 41
32 sin 4
2ln
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 52
Određeni integrali
Ukoliko integrali u svojim rješenjima sadrže konstantu c, radi se o neodređenim integralima, s obzirom da nije moguće odrediti tačnu vrijednost bez dodatnih informacija.
Određeni integrali su oni kod kojih su primijenjene granice integracije.
Ako napišemo izraz , vrijednost b se naziva gornja granica, a vrijednost a donja granica, pa se
operacija primjenjivanja granica definiše sa
Vrijednost integrala funkcije x2 u granicama od 1 do 3 (vrijednost x se mijenja od 1 do 3) se piše i računa na sljedeći način:
333
13 8
23
II-3 Integriranje
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 53
Određeni integrali – praktični primjeri
II-3 Integriranje
Primjer II-1.30 Izračunaj:
a)
b)
c)
d)
1 2
4 cos 3
34
4
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 54
Površina ispod krive
Površina ispod krive može se izračunati korištenjem integracije, odnosno izračunavanjem određenog integrala.
šrafiranapovršina
Primjeri primjene:
a) grafik brzina-vrijeme – dobivanje pređenog puta,
b) grafik sila-pomjeranje – dobivanje utrošenog rada,
c) grafik napon-jačina struje – dobivanje snage,
d) ....
II-3 Integriranje
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 55
Površina ispod krive
Ukoliko je potrebno naći površinu kao na slici dole, gdje kriva ima i negativne vrijednosti, neophodno je za taj dio staviti negativan znak ispred integrala
šrafiranapovršina
II-3 Integriranje
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 56
Površina ispod krive – praktični primjeri
II-3 Integriranje
Primjer II-1.31 Nađi površinu koja je omeđena krivom y=2x+3, x-osom i ordinatama x=1 i x=4.
Primjer II-1.32 Brzina v [m/s] nekog tijela u vremenu t [s] data je izrazom v=2t2+5. Nađi pređeni put tijela u vremenu od 0 do 4 s.
Primjer II-1.33 Skiciraj grafik funkcije između x=-3 i x=2 i nađi površinu koju kriva zaklapa s osom x.
2 5 6
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 57
Ispitni zadaci
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 58
Ispitni zadaci
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 59
Ispitni zadaci
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 60
Ispitni zadaci
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 61
Ispitni zadaci
Osnove matematike za inženjerstvo – dio II 2017/2018. 62
Ispitni zadaci