Odsek za računarsku tehniku i računarske komunikacije 2020

Osnovi algoritama i struktura DSP 1

Spektralna analiza signala i sistemaPeriodični signali i Furijeovi redovi

Aperiodični signali i Furijeova transformacijaSpektar sistema

Linearni invarijantni sistemi

• Osobine trigonometrijskih funkcija

• Periodični signali

• Fourijeovi redovi

• Spektar periodičnih signala

2

3

Osobine trigonometrijskih funkcija

Osnovni oblici: sin(x) i cos(x) / periodičan signal sa periodom 2p

transformacije:

parametri:perioda: T [s] / trajanje osnovnog signala koji se periodično ponavlja

učestanost: f [Hz = 1/s] / broj perioda u sekundi / kružna učestanost w = 2pf

amplituda: A [V ili A]

faza: j / perioda 2p

)sin()cos(

)sin()sin()cos()cos()cos(

)sin()2/cos()cos()2/sin(1)(cos)(sin 22

xjxe

xxxxxx

jx

pp

ftjjftjj eeA

eeA

ftAftAftA pjpjpjpjjp 22

22)2sin()sin()2cos()cos()2cos(

4

Spektar trigonometrijskih funkcija

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

T

2A

amplituda

vreme

f

A

A/2A/2

amplituda

amplituda

fizički

opseg

frekvencija

matematički

opseg

vremenski domen

signal

frekvencijski domen

spektar

frekvencijaf-f

5

Parametri:

Perioda: T

Učestanost (frekvencija): f = 1/T

Osobine:

Srednja vrednost (DC):

Opseg:

Snaga:

Variansa (AC):

T

Tt

t

2s

0

0

dt)t(sT

1P

)t(sminS)t(smaxSt

mt

M

Tt

ta

0

0

dt)t(sT

1S

Tt

t

2a

2v

0

0

dt)S)t(s(T

1S

SM

Sm

Periodični signali: s( t + T ) = s(t)

6

Periodični signali - Fourijeovi redovi

sin(2p kf t) i cos(2p kf t)

elementarni periodični signali

f=1/T osnovna učestanost

s(t + T) = s(t)

periodični signal

T perioda

k

kk

2k

2kk00

1kkk0

1kkk0

a

barctanφbaAaA

φtkfπ2cosAA)t(s

tkfπ2sinbtkfπ2cosaa)t(sFourijeov red

kf : učestanosti harmonika (sinusni signali čije su učestanosti celobrojni

umnošci osnovne učestanosti)

{ak, bk} ili {Ak, jk} : koeficijenti Fourier-ovog reda (težinski faktori harmonika)

7

Periodični signali - Fourijeovi redovi

,....2,1ke2

ACe

2

AC

0φAC

kk φjkk

φjkk

000

kkkkkk

00

kkkkkk

00

φsinAbφcosAa

Aa

,.....2,1kCargCargφC2C2A

AC

dte)t(sT

1C

eC)t(s

tkfπj2Tt

tk

k

tkfπj2k

0

0

8

vremenski domen: signal frekvencijski domen: spektar

|Ck| : amplitudni spektar

arg{Ck} : fazni spektar

tfrekvencija

frekvencija

Parseval-ova teorema :

2T

0 kk

2 Cdt)t(sT

1P

Učešće k-tog harmonika

u ukupnoj snazi signala

dBP

C2log10a

2k

k

Periodični signali - spektar

osobine:

parnost amplitudnog spektra:

neparnost faznog spektra:

spektar parnog signala:

spektar neparnog signala:

kk CC

kk CC argarg

realCtsts k )()(

imagCtsts k )()(

9

1

2 2cos2111

)(1

)()(kk

tkfj

k k

k tkfT

eT

TktT

CTktts p p

Periodični signali - primeri

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-1

-0.5

0

0.5

1

-100 -50 0 50 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-1

-0.5

0

0.5

1

-100 -50 0 50 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-1

-0.5

0

0.5

1

-100 -50 0 50 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

• Aperiodični signali - Furijeova transformacija

• Osobine Furijeove transformacije

• Spektar aperiodičnih signala

• Relacija neodređenosti vremensko-frekvencijskogdomena

10

11

Aperiodični signali - Fourijeova transformacija

:T Periodični

signali

Aperiodični

signali

dte)t(sT

1C

eC)t(s

tkfπj2Tt

tk

k

tkfπj2k

0

0

dte)t(s)f(S

dfe)f(S)t(s

tfπj2

tfπj2

)f(φje)f(A)f(S

f

)f(φ

π2

1)f(τ

)f(φ)f(φ

)f(S)f(S

grupno

kašnjenje

12

0tfπj20 e)f(S)tt(s

pomeraj u vremenu

modulacioni zakon

j2

)ff(S)ff(Stfπ2sin)t(s

)ff(Se)t(s

2

)ff(S)ff(Stfπ2cos)t(s

000

0tfπj2

000

0

diferencijali i integrali

fj

fSdttsfSfj

t

ts

pp

2

)()()(2

)(

)()()()()()()()( 21212121 tstsdfSSfSfSdtss

konvolucija

2122121 )()()(/)()()()( fStstsfSfSdtss

korelacija

fkSkck

tsc

skaliranje

Osobine Furijeove transformacije

13

Spektar aperiodičnih signala

t f

s(t)S(f)

Df

j(f)

)()(

)()(

)()( *

ff

ff

fSfS

jj

simetrija

Parsevalova teorema:222 )()()()()(;)0()()( fSfRdtsstrrdffSdttsE

14

Spektar aperiodičnih signala - primeri

0tfπj20 e)f(Δttδ1)f(Δ)t(δ

000000 ffδffδj2

1tfπ2sinffδffδ

2

1tfπ2cos

Tfπ

Tfπsin)f(H

else02

Tt

2

T1

)t(h

delta impuls

kosinus i sinus

pravougaoni impuls

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T f.T

15

0

)(1

)(1

)()(

2222

22

22

constft

fffttt

dffSfE

fdttstE

t

dtfSdttsE

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

Relacija neodređenosti vremensko-frekvencijskog domena

p

p

p

p

p

4

1

22

1

2)(

2)(

22

2

4/1

4/1

ft

ft

efS

ets

f

t

Gaborov princip neodređenosti

16

Relacija neodređenosti vremensko-frekvencijskog domena

• Spektar sistema

• Frekvencijski opsezi signala i sistema

17

18

h(t)

H(f)

x(t) y(t)

Spektar sistema – prenosna funkcija

Y(f)X(f)

19

Elementarni primeri

T

x(t) y(t) = x(t-T)

Kolo za kašnjenje

Tfπj2e)f(H)Tt(δ)t(h

Idealni sistem

Tfπj2ec)f(H

)Tt(δc)t(h

)Tt(xc)t(y

f

A(f)=|H(f)|

f

j(f)=arg{H(f)}

20

Elementarni primeri

Idealni nisko-frekventni filter

21

L C

Rx(t) y(t)

2

0

tα

tα

tα

00

0

Q41αβ

Q

fπα

2

1Qe

β

)tβsin()tβcos(α2

2

1Qetα1α2

2

1Qe

β

)tβsinh()tβcosh(α2

)t(h

R

Lfπ2Q

LCπ2

1f

f

f

f

fQj1

1)f(H

Cfπj2

1Lfπj2R

R)f(H

RLC kolo

Impulsni

odziv h(t)

Amplitudni

spektar |H(f)|

Fazni spektar

arg{H(f)}

t (s)

f (Hz)

f (Hz)

22

Frekvencijski opsezi signala i sistema

muzika

video

podaci

govor

100 101 102 103 104 105 106 107Hz

AM radio

FM

rad

io

Mo

biln

i

Mo

biln

i

ISM

ISM

TV Sat TV

standardni kablovi optički kablovi

10-1 100 101 102 103 104 105 106MHz

23

Vremenski domen – konvolucija:

Frekvencijski domen – proizvod:

Prenosna karakteristika sistema:

Amplitudna karakteristika:

Fazna karakteristika:

Grupno kašnjenje:

)()()()(;)()()( thtyttxdtxhty

dtethfHfXfHfY ftj

p2)()(;)()()(

)(

)()(

fX

fYfH

)()(;)()( fAfAfHfA

)()(;)(arg)( fffHf jjj

)()(;)(

2

1)( ff

f

ff

j

p

Linearni invariantni sistemi - prenosna funkcija

24

Treba zapamtiti:

• Analiza signala uključuje analizu u vremenskom domenu (signali) i analizu u

frekvencijskom domenu (spektri)

• Spektar signala je razlaganje jednog vremenski zavisnog signala na elementarne,

periodične funkcije funkcije različitih učestanosti

• Spektar periodičnog signala je definisan koeficijentima kompleksnog Furijeovog

reda. Njihovi moduli (apsolutne vrednosti) definišu amplitudni spektar a njihovi

argumenti definišu fazni spektar. Spektri periodičnih signala su linijski, sastoje se

samo od umnožaka osnovne učestanosti (harmonici)

• Spektar aperiodičnih signala definisan je Furijeovom transformacijom, kompleksnom

funkcijom učestanosti. Njen modul definiše spektralnu gustinu amplituda (amplitudni

spektar) a argument spektralnu gustinu faza (fazni spektar). Spektar aperiodičnih

signala je kontinualna funkcija učestanosti – elementarni periodični signali svih

učestanosti mogu učestvovati u formiranju analiziranog signala.

• Furijeovi redovi i Furijeova transformacija se definišu za negativne i pozitivne

učestanosti ali fizičko značenje imaju samo pozitivne učestanosti. I Furijeovi redovi i

Furijeova transformacija imaju osobine simetrije bazirane na činjenici da su

koeficijenti reda, kao i transformacija, za negativne učestanosti jednaki konjugovanim

vrednostima za pozitivne učestanosti. Zato je amplitudni spektar parna a fazni spektar

neparna funkcija učestanosti.

25

Treba zapamtiti:

• U dualnoj predstavi signal-spektar (vremenski-frekvencijski domen) važi princip

neodređenosti: što je signal u vremenskom domenu kraći to je njegov spektar u

frekvencijskom domenu širi i obrnuto.

• Linearni, vremenski nepromenjivi sistem je opisan impulsnim odzivom, izlazni

signal sistema kada je na ulazu Dirakov impuls.

• Prenosna karakteristika sistema je Furijeova transformacija impulsnog odziva.

Njen moduo se naziva amplitudna karakteristika i govri o amplitudnim

promenama koje unosi sistem na različitim učestanostima. Argument prenosne

karakteristike se naziva fazna karakteristika i govori o faznim promenama koje

unosi sistem. Izvod fazne karakteristike se naziva karakteristika grupnog kašnjenja

i govori kolika kašnjenja unosi sistem na raznim učestanostima. Amplitudna

karakteristika je parna a fazna karakteristika neparna funkcija učestanosti.

Karakteristika grupnog kašnjenja je parna funkcija učestanosti.

• Izlazni signal sistema u vremenu je konvolucija ulaznog signala i impulsnog

odziva.

• Spektar izlaznog sistema u frekvencijskom domenu je proizvod spektra ulaznog

signala i prenosne karakteristike.

• Upotrebljiv frekvencijski opseg od nekoliko Hz do stotinak GHz je ograničen

prirodni resurs.