Otimização de uma CalhaProf. Lúcio Fassarella

Maio/2014

Problema

Problema: Uma longa folha de metal galvanizado de largura w polegadas deve ser dobrada

para fazer uma calha trapezoidal simétrica com seção transversal na forma “\_/”. Determine a

forma da seção transversal da calha (comprimento da base e ângulo entre as laterais e a linha

horizontal) para a qual a seção transversal da calha tem área máxima. Para fazer uma calha,

você acha melhor que a seção transversal tenha a forma ótima obtida ou que ela seja semicircu-

lar?

[Adaptação de: J. Stewart: Cálculo Vol.II. Pioneira Thompson Learning: São Paulo, 2004: p.964.]

Resolução

Variáveis e funções

- “x” = comprimento da base da seção reta da calha, sendo 0 < x < w;

- “Θ” = ângulo entre a lateral da seção reta da calha e a linha horizontal, sendo 0 < Θ < Π;

- “A(x,Θ)” = área da seção reta da calha, sento A(x,Θ) = x(w-x)sin(Θ)/2+((w-x)^2)sin(Θ)cos(Θ)/4.

Estratégia analítica

i) Para cada Θ fixado, determinar o correspondente x(Θ) que torna a área A máxima e exprimir essa

área como função de Θ apenas: B(Θ)=A(x(Θ),Θ);

ii) Determinar o valor de Θ que torna a nova função A(Θ) máxima.

Função área (com duas variáveis, x e Θ)

In[1]:= A@x_, Θ_D = x * Hw - xL * Sin@ΘD � 2 + HHw - xL^2L * Sin@ΘD * Cos@ΘD � 4

Out[1]=

1

2

Hw - xL x Sin@ΘD +

1

4

Hw - xL2Cos@ΘD Sin@ΘD

Plotagem de A[x,Θ] para w=1

In[16]:= Plot3D@x * H1 - xL * Sin@ΘD � 2 + HH1 - xL^2L * Sin@ΘD * Cos@ΘD � 4,

8x, 0, 1<, 8Θ, 0, Π<, AxesLabel ® AutomaticD

Out[16]=

0.0

0.5

1.0

x

0

1

2

3Θ

-0.1

0.0

0.1

Na sequência, desenvolvemos a estratégia para resolver o problema (cuja solução pode ser esti-

mada pela análise do gráfico da função A[x,Θ]...)

Ponto crítico de A[x,Θ] em relação a x:

In[2]:= Solve@¶x HA@x, ΘDL � 0, xD

Out[2]= ::x ®

-w + w Cos@ΘD-2 + Cos@ΘD

>>

Comprimento ótimo do fundo da calha para Θ dado:

In[3]:= X@Θ_D =

-w + w Cos@ΘD-2 + Cos@ΘD

Out[3]=

-w + w Cos@ΘD-2 + Cos@ΘD

Área em função de Θ:

In[4]:= B1@Θ_D = A@X@ΘD, ΘD

Out[4]=

H-w + w Cos@ΘDL Jw --w+w Cos@ΘD-2+Cos@ΘD N Sin@ΘD

2 H-2 + Cos@ΘDL+

1

4

Cos@ΘD w -

-w + w Cos@ΘD-2 + Cos@ΘD

2

Sin@ΘD

In[5]:= SimplifyBH-w + w Cos@ΘDL Jw -

-w+w Cos@ΘD-2+Cos@ΘD N Sin@ΘD

2 H-2 + Cos@ΘDL+

1

4

Cos@ΘD w -

-w + w Cos@ΘD-2 + Cos@ΘD

2

Sin@ΘDF

Out[5]=

w2 Sin@ΘD8 - 4 Cos@ΘD

In[6]:= B2@Θ_D =

w2 Sin@ΘD8 - 4 Cos@ΘD

Out[6]=

w2 Sin@ΘD8 - 4 Cos@ΘD

Ponto crítico de B2 em relação a Θ:

In[7]:= Solve@¶Θ HB2@ΘDL == 0, ΘD

Out[7]= ::Θ ® ConditionalExpressionB-

Π

3

+ 2 Π C@1D, C@1D Î IntegersF>,

:Θ ® ConditionalExpressionBΠ

3

+ 2 Π C@1D, C@1D Î IntegersF>>

X@Π � 3D

w

3

Área da seção transversal ótima:

In[9]:= A@w � 3, Π � 3D

Out[9]=

w2

4 3

Área da seção transversal semicircular:

In[10]:= Ac = H1 � 2L * Π * Hw � ΠL^2

Out[10]=

w2

2 Π

2 problema-otimizacao_calha.nb

Comparação:

In[11]:= N@A@w � 3, Π � 3D - AcD

Out[11]= -0.0148174 w2

Resposta

A calha trapezoidal ótima tem fundo com comprimento x = w/3 e laterais com ângulo Θ = Π/3 em

relação a linha horizontal.

Agora, a calha semicircular tem seção reta com área maior do que a área da seção reta da calha

trapezoidal ótima; considerando somente esse aspecto, é, portanto, melhor escolher a calha com

seção reta semicircular.

problema-otimizacao_calha.nb 3