otimização prof. benedito c. silva irn unifei adaptado de: walter collischonn / iph ufrgs
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Otimização
Prof. Benedito C. Silva
IRN UNIFEIAdaptado de: Walter Collischonn / IPH UFRGS
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Simulação e OtimizaçãoSimulação é o processo de representar matematicamente um
sistema, e realizar experimentações para prever seu comportamento quando sujeito a determinadas condições.
Ex: Modelos chuva-vazão, modelo de reservatórios, modelos de redes hidráulicas, modelos de redes de fluxo...
Otimização é a determinação das condições que resultam no melhor desempenho do sistema. Normalmente envolve a execução de diversas simulações.
Exemplos de algoritmos: programação linear, não-linear, dinâmica, técnicas de inteligência artificial...
Em ambos os caso podem ser necessários mais de um modelo para representar o sistema.
Muitas vezes o modelo de otimização está inserido no modelo de simulação.
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3
Construção de Modelos MatemáticosConstrução de Modelos Matemáticos
Sistema Real
Definição e Descrição do Problema
Modelo Matemático
Solução do Modelo
Implementação da Solução
Simplificação
Decisão Teórica x Política
Revisão
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4
Elementos de um modelo matemático de otimização
DECISÕES
Identificar quais decisões efetivamente resolvem o problema.
O que não conhecemos no problema?
RESTRIÇÕES
Identificar quais as restrições que limitam as decisões a tomar
OBJETIVOS
Definir objetivos capazes de indicar que uma decisão é preferível a outras
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Ex.: Ajuste de modelo hidrologico
Encontrar o valor dos parâmetros de um modelo matemático que resultem em uma boa concordância entre dados observados e calculados.
Gupta et al.
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Otimização Encontrar o mínimo ou o máximo de uma função
0
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0 10 20 30
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Cálculo analítico
Encontrar pontos da função em que a derivada é zero. Vantagens: pode ser rápido, é mais elegante) Desvantagens: problemas de recursos hídricos apresentam
funções de picos múltiplos, funções descontínuas, ausência da forma analítica da função, por exemplo
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 10 20 30
2x.cx.ba)x(F
0dx
dF
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Otimização de Sistemas de Recursos Hídricos
Superfícies de resposta complexas Pontos extremos mal definidos Regiões planas Muitos ótimos locais Ótimo global apenas pouco melhor do que os
ótimos locais
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Técnicas de otimização
Cálculo analítico Técnicas numéricas
Busca aleatória Busca direta Mistos
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Técnicas numéricas - Busca Aleatória
Vantagens: funções descontínuas; picos múltiplos
Desvantagens: demorado; não existe garantia de atingir o ponto ótimo global
0
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120
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0 10 20 30
“Ótimo”
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Técnicas numéricas - Busca direta
Estratégia de caminhar “morro acima”
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
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5
Máximo globalMáximo local
Função objetivo: F(x1,x2)
x1
x2
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Início: ponto coordenadas (parâmetros) aleatórias
X1=valor aleatório entre a e b
X2=valor aleatório entre c e d
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
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2
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5
Determina direção de busca: exemplo x2=x2+0,3; x1=x1
Função objetivo melhorou? Não, então tenta no outro sentido.
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
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5
F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
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F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
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1
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5
F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
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2
2.5
3
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4.5
5
F.O melhorou? Não, então volta para o ponto anterior...
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F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
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2
2.5
3
3.5
4
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5
...e muda a direção de busca.
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
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2
2.5
3
3.5
4
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5
E assim segue até encontrar um ponto em que não existedireção de busca que melhore o valor da FO
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
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1.5
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2.5
3
3.5
4
4.5
5
Rosenbrock: Método um pouco mais eficiente
Direção de busca é a que potencialmente dará maior incremento da FO
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
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3
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5
Limitação da busca direta: Ótimos locais
Região que atrai soluçãopara o ótimolocal
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Tentativa de contornar problema: Busca direta com inicialização múltipla
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Várias tentativas; espera se que o ótimo global seja a melhorsolução testada.
Problema: Ineficiente e ineficaz quando a FO tem muitos ótimos locais
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Modelos de Otimização
Programação linear (Simplex) Programação não-linear Programação dinâmica Algoritmos genéticos Caminhos de formiga …
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Algoritmos Genéticos
Definição da faixa de validade dos parâmetros geração aleatória de pontos (conjuntos de
parâmetros) avaliação das funções objetivo para cada
ponto reprodução, evolução
conjuntos com melhores F.O. têm maior chance de contribuir na reprodução
Inspiração na natureza
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•Conceitos de população, reprodução e gerações
•Filhos são semelhantes aos pais
•Os pais mais “adaptados” tem maior probabilidade de gerar filhos
•Os filhos não são completamente iguais aos pais
Algumas regras gerais dos algoritmos genéticos
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Pais mais adaptados têm maior probabilidade de gerar filhos
(sobrevivência do mais apto = seleção natural)
Na natureza: indivíduos mais adaptados têm maior probabilidade de sobreviver até chegar à fase reprodutiva e de participar do processo de reprodução.
No algoritmo: pontos com maior FO têm maior probabilidade de serem escolhidos para participar dos complexos.
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
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3
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4
4.5
5
Passo 1
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
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1.5
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Passo 2
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
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Passo 3
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
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Passo 4
![Page 32: Otimização Prof. Benedito C. Silva IRN UNIFEI Adaptado de: Walter Collischonn / IPH UFRGS](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062512/552fc12e497959413d8d33d2/html5/thumbnails/32.jpg)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
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Passo 6
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0.5
1
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Passo 7
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Passo 8
![Page 36: Otimização Prof. Benedito C. Silva IRN UNIFEI Adaptado de: Walter Collischonn / IPH UFRGS](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062512/552fc12e497959413d8d33d2/html5/thumbnails/36.jpg)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
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4.5
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Passo 9
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
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2
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3.5
4
4.5
5
Passo 10
![Page 38: Otimização Prof. Benedito C. Silva IRN UNIFEI Adaptado de: Walter Collischonn / IPH UFRGS](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062512/552fc12e497959413d8d33d2/html5/thumbnails/38.jpg)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
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Passo 20
![Page 39: Otimização Prof. Benedito C. Silva IRN UNIFEI Adaptado de: Walter Collischonn / IPH UFRGS](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062512/552fc12e497959413d8d33d2/html5/thumbnails/39.jpg)
Otimização multi-objetivo
Considerar mais de uma FO. Calibração de modelos hidrológicos
distribuídos Otimização de sistemas de reservatórios de
usos múltiplos (controle de cheias x regularização de vazão)
Vazão e evapotranspiração
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Novos métodos evolutivos
Colônia de formigas Enxame de abelhas ...