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FACULDADE IETEC
Larissa Faria
OTIMIZAÇÃO DO CÁLCULO DE CARGA METÁLICA E DA
PROGRAMAÇÃO DO PROCESSO DE FUSÃO PARA FUNDIÇÕES DE
PEQUENO PORTE
Belo Horizonte
2018
Larissa Faria
OTIMIZAÇÃO DO CÁLCULO DE CARGA METÁLICA E DA
PROGRAMAÇÃO DO PROCESSO DE FUSÃO PARA FUNDIÇÕES DE
PEQUENO PORTE
Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado da Faculdade Ietec, como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Engenharia e Gestão de Processos e Sistemas. Área de concentração: Engenharia e Gestão de Processos e Sistemas Linha de pesquisa: Gestão de Processos, Sistemas e Projetos Orientadora: Prof.ª Dr.ª Aline Pereira Leite Nunes Co-orientadora: Prof.ª Dr.ª Gisele Tessari Faculdade Ietec.
Belo Horizonte
Faculdade Ietec
2018
Faria, Larissa.
F224o Otimização do cálculo de carga metálica e da programação do processo de fusão para fundições de pequeno porte / Larissa Faria. - Belo Horizonte, 2018.
106 f., enc.
Orientadora: Aline Pereira Leite Nunes.
Co-orientadora: Gisele Tessari.
Dissertação (mestrado) – Faculdade Ietec.
Bibliografia: f. 76-79
1. Fundição. 2. Otimização. 3. Programação de produção. 4. Pesquisa operacional. 5. Modelo matemático. I. Nunes, Aline Pereira Leite. II. Faculdade Ietec. Mestrado em Engenharia e Gestão de Processos e Sistemas. III. Título.
CDU: 621.74
Dedicatória
Dedico este trabalho aos meus pais Robson e Patrícia, e à minha irmã Carol.
AGRADECIMENTOS
À Deus pelo dom da vida, pela saúde, e pelas oportunidades por Ele concedidas para
que eu pudesse chegar até aqui.
Aos meus pais e irmã por não me deixarem desistir, sempre me dando forças para
continuar, e enfrentando as barreiras da vida, por estarem comigo em cada uma das
minhas escolhas.
Às empresas que me abriram as portas para estudos, que auxiliaram também com
informações e ensinamentos, e me cederam espaço para experimentos.
Aos professores, tanto da instituição, como os antigos e novos, professores amigos,
que me cederam desde material, à tempo, apoio e conhecimento, e me ajudaram a
desenvolver tanto conteúdo quanto conhecimento. Aqui em especial aos professores
que se tornaram amigos, Ignácio Rubio Scola e Christiano Corradi. Gratidão eterna e
enorme respeito a vocês.
Aos fiéis amigos e familiares, agradeço por entenderem minhas ausências, pelo apoio
de sempre e pelas palavras de incentivo nos momentos difíceis.
“Eu não acredito em originalidade. Você pega inspiração em qualquer coisa que te
mova, e você vai encontrar a sua voz nessas coisas. ”
Tim Walker
RESUMO
A indústria de fundição de metais ferrosos, no geral, se depara com vários desafios
frente à competitividade mundial, e, neste âmbito, é necessário que a mesma busque
medidas que visem a redução de custos de seus processos internos. Por meio da
elaboração de modelos matemáticos ligados à otimização de processos produtivos,
este trabalho buscou auxiliar as empresas nas tomadas de decisão de nível tático-
operacional, e consequentemente, na redução de custos de produção relativos ao
processo de fusão em fundições de pequeno porte. Através deste estudo, dois
modelos foram desenvolvidos, buscando primeiramente a previsão do custo mínimo
de produção de uma liga, durante o carregamento do forno, efetuando, portanto, o
cálculo de carga metálica ótimo, e no segundo momento uma otimização da
programação das fusões, visando a minimização da função custo através da
minimização das penalidades envolvidas no processo, para melhor atendimento da
carteira de pedidos. Estas penalidades são referentes à atrasos e antecipações de
fusões, bem como penalidade por preparação do forno. Os modelos foram
desenvolvidos baseando-se em uma empresa modelo de pequeno porte, e
constituem, respectivamente, um modelo de programação linear, resolvido pelo
Solver, suplemento do Microsoft Excel, e um modelo de programação linear inteira
mista, resolvido através de programação em MatLab. Os modelos propostos se
mostraram satisfatórios e eficientes em relação aos objetivos propostos e às práticas
observadas na empresa, proporcionando redução de custos de produção de até 6,5%
na fabricação de ligas nos itens analisados, bem como confiabilidade e previsão de
situações cotidianas envolvendo o tema.
Palavras-chave: Fundição. Otimização. Programação de produção. Pesquisa
Operacional. Modelo Matemático.
ABSTRACT
The ferrous metal smelting industry faces a number of challenges based on global
competitiveness and in this context it is necessary to seek measures to reduce the
costs of its internal processes. Through the elaboration of mathematical models related
to the optimization of productive processes, this work sought to support the companies
in the decision making of the tactical-operational level and consequently in the
reduction of production costs related to the process of fusion in small foundries. In this
study, two models were developed, first to estimate the minimum cost of producing an
alloy during furnace loading, thus calculating the optimal metal load and, secondly,
optimizing the scheduling of the fusions, aiming to minimize the cost function by
minimizing the penalties involved in the process, to better serve the order book. These
penalties refer to delays and anticipations of mergers, as well as penalties for furnace
preparation. The models were developed based on a small model company and
constitute, respectively, a linear programming model, solved by Solver, Microsoft Excel
supplement and a mixed integer linear programming model, solved through
programming in MatLab. The proposed models were satisfactory and efficient in
relation to the proposed objectives and practices observed in the company, reducing
production costs up to 6.5% in the manufacture of alloys in the analyzed items, as well
as reliability and prediction of everyday situations involving the theme.
Keywords: Casting. Optimization. Production schedule. Operational Research.
Mathematical Model.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Processo simplificado de fundição ........................................................... 18
Figura 2 – Esquema de moldação ............................................................................. 19
Figura 3 – Esquema de forno elétrico à indução ....................................................... 20
Figura 4 - Fluxograma de processo de fundição ....................................................... 29
Figura 5 - Fluxograma do forno ................................................................................. 31
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 - Comparação de custo de fabricação de ligas (%) ................................... 55
Gráfico 2 - Comparação tempo de processamento para cálculo de carga (min)....... 56
Gráfico 3 – Número de tentativas para atingir os parâmetros da norma ................... 56
Gráfico 4 - Custo de fabricação para 5 pedidos de ASTM A532 IID R$/kg ............... 58
Gráfico 5 - Custo de fabricação para 5 pedidos de GG-25 (R$/kg) ........................... 58
Gráfico 6 - Custo de fabricação para 5 pedidos de SAE 1045 (R$/kg) ..................... 59
Gráfico 7 - Custo de fabricação para 5 pedidos de ASTM A297 Gr.HK (R$/kg) ....... 59
Gráfico 8 – Comparação de valores dos 20 pedidos analisados............................... 60
Gráfico 9 – Comparação de resultados - Testes 1 e 2 .............................................. 64
Gráfico 10 – Teste 3 - Sensibilidade - Demanda 1 .................................................... 65
Gráfico 11 – Teste 3 - Sensibilidade - Demanda 2 .................................................... 66
Gráfico 12 – Teste 3 - Sensibilidade - Demanda 3 .................................................... 68
Gráfico 13 – Teste 4 - Sensibilidade – Item único ..................................................... 70
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Equações e índices ................................................................................. 41
Quadro 2 – Composições químicas para ligas .......................................................... 42
Quadro 3 – Composições químicas para sucatas e adições ..................................... 43
Quadro 4 – Disponibilidade e rendimento de sucatas e adições ............................... 44
Quadro 5 – Equações e índices ................................................................................ 48
Quadro 6 - Equações e Índices (continuação) .......................................................... 49
Quadro 7 – Parâmetros limitantes do processo de fusão .......................................... 50
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Ligas fundidas em 30 dias ....................................................................... 43
Tabela 2 – Comparação de custo de fabricação de ligas (R$/kg) ............................. 55
Tabela 3 – Custo de fabricação para 5 pedidos de ASTM A532 IID R$/kg ............... 57
Tabela 4 – Custo de fabricação para 5 pedidos de GG-25 (R$/kg) ........................... 57
Tabela 5 – Custo de fabricação para 5 pedidos de SAE 1045 (R$/kg) ..................... 57
Tabela 6 – Custo de fabricação para 5 pedidos de ASTM A297 Gr HK (R$/kg) ....... 57
Tabela 7 – Valores de penalidades ........................................................................... 61
Tabela 8 – Dados de entrada para validação do modelo .......................................... 61
Tabela 9 – Demandas analisadas para validação do modelo ................................... 62
Tabela 10 – Resultados demandas analisadas para validação do modelo ............... 62
Tabela 11 – Resultados de 6 condições de penalidade para item único ................... 70
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
B&B Branch and Bound CEO Chief Executive Officer (Diretor Executivo) LP Linear Programming (Programação Linear) MILP Mixed-Interger Linear Programming Algorithms (Algoritmos de
Programação Linear Inteira Mista) PCP Programação e Controle de Produção
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................... 13
2 OBJETIVOS ............................................................................................... 16
2.1 Objetivo geral ............................................................................................. 16
2.2 Objetivos específicos .................................................................................. 16
3 REFERENCIAL TEÓRICO ......................................................................... 17
3.1 Processo de fundição ................................................................................. 17
3.2 Cálculo de carga metálica .......................................................................... 20
3.3 Programação de fusão ............................................................................... 25
3.4 Processo de fundição da empresa modelo ................................................ 28
3.5 Otimização e fundamentação teórica ......................................................... 33
3.5.1 Programação Linear (PL) ........................................................................... 36
3.5.2 Programação Linear Inteira Mista (MILP) ................................................... 36
3.5.3 Branch and bound ...................................................................................... 37
4 METODOLOGIA ........................................................................................ 40
4.1 Metodologia e modelo matemático para cálculo de carga metálica (ou
carregamento do forno) ............................................................................................. 40
4.1.1 Dados para modelo para carregamento: .................................................... 42
4.1.2 Construção do modelo matemático de carregamento: ............................... 45
4.2 Metodologia e modelo matemático para programação de fusão ................ 46
4.2.1 Dados para o modelo para programação: .................................................. 50
4.2.2 Construção do modelo de programação .................................................... 51
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................................. 54
5.1 Modelo cálculo de carga metálica .............................................................. 54
5.2 Modelo de programação de fusão .............................................................. 60
6 CONCLUSÕES .......................................................................................... 73
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 74
APÊNDICE A – Programação em Matlab ............................................................... 78
ANEXO A – Ficha técnica de processo ................................................................. 86
ANEXO B – Imagens do processo produtivo ........................................................ 88
ANEXO C – Layout modelo implementado cálculo de carga .............................. 92
ANEXO D – Resultados de testes de programação de fusão – Teste 1 ............. 93
ANEXO E – Dados de entrada para análise de estresse do modelo - Teste 2 ... 96
ANEXO F – Resultados de testes de programação de fusão – Teste 2 .............. 97
ANEXO G – Resultados de testes de programação de fusão – Teste 3.1 ........ 100
ANEXO H – Resultados de testes de programação de fusão – Teste 3.2......... 101
ANEXO I – Resultados de testes de programação de fusão – Teste 3.3 .......... 102
ANEXO J – Resultados de testes de programação de fusão – Teste 4 ............ 103
13
1 INTRODUÇÃO
As empresas atuantes no ramo de fundição, bem como a indústria de manufatura, têm
sofrido interferências cada vez mais significativas de outros mercados. Isto tem
estimulado a busca por processos de produção mais eficientes, motivada
principalmente pela competitividade crescente. Este tema há tempos vem sendo
abordado, como no estudo realizado por Monticelli (1994). Neste, o autor relata a
competitividade e discute a evolução dos investimentos no setor de fundição no país.
Segundo ele, a situação nacional é preocupante, tendo em conta que a nível mundial
o setor de fundição havia sido marcado por um processo de intensificação das
inovações em processos e produtos, além da automação, o que resulta em aumento
de produtividade. Estas transformações fazem com que seja necessária a contínua
revisão dos custos de produção, para que seja possível a “sobrevivência” no mercado.
No âmbito nacional, a maioria das fundições são empresas de micro, pequeno e médio
porte (ABIFA, 2015), onde são mais escassos os recursos e processos voltados para
a otimização. Em adição, tais empresas acabam por não utilizar métodos simulatórios
de produção, como exemplo modelos matemáticos, que por sua vez trabalhariam a
função custo de produção. Como consequência, estas empresas se tornam menos
resistentes a crises econômicas, bem como susceptíveis à entrada de fornecedores
estrangeiros no mercado nacional.
Em relação ao setor de fundição, tendo como premissa o fator redução de custos, dois
pontos são cruciais para serem abordados e modelados. O primeiro é em relação à
preparação da liga a ser fundida, onde as matérias-primas a serem adicionadas
devem apresentar uma relação de elementos químicos em proporções adequadas
para que se obtenha produtos com especificações de acordo com a determinação do
cliente. Este processo de quantificação e seleção da matéria-prima é chamado cálculo
de carga metálica, ou, carregamento do forno. Soares (2000) aborda que, para se
determinar um carregamento adequado à produção de uma dada especificação, é
preciso se conhecer desde a faixa de teores admissíveis para o metal em questão,
como as matérias primas (disponibilidade, custo e análise química). Soares (2000)
ainda menciona que os programas para cálculo de carga que consideram a
14
minimização dos custos e/ou a melhor utilização dos estoques vêm sendo bastante
utilizados pelas empresas.
O segundo ponto se refere à programação das cargas a serem fundidas para
atendimento da carteira de pedidos. Conforme Shingo (1996), a sobrevivência das
empresas, e consequentemente suas competitividades, dependem da redução de
custos, o que requer a redução de perdas e manutenção desta condição de forma
constante. É previsível que o planejamento mal executado destas cargas acarreta em
custos de produção exacerbados, envolvendo custos extras por atrasos, urgências,
adiantamento de produção, alteração de material a ser fundido, entre outros, indo em
direção à afirmação de Shingo (1996) em relação à redução de custos. Uma das
consequências diretas desta condição de planejamento insatisfatório é a geração de
tempo extra para a fusão, levando a um desgaste excessivo do forno. Para Fernandes
e Leite (2002), um dos principais fatores que influenciam a produtividade industrial do
setor é o planejamento de produção, que deve ser capaz de responder rapidamente
às constantes mudanças nas condições de mercado. Os investimentos, no que tange
planejamento de produção, nos últimos anos, vêm aumentando na indústria de
fundição, conforme afirmado pelos autores.
Em relação ao cálculo de carga metálica, Lino (2017) cita os softwares THERMOCALC
e CEQCSI em seu trabalho para avaliação do efeito do carbono, silício e enxofre no
desempenho da fundição. Já o software MAGMA, foi apresentado em julho de 2017 à
ABIFA com melhorias em sua performance. Ele trabalha a simulação completa de
otimizações para os processos internos de fundição, que permite avaliar as variáveis
dos processos e projetos, apresentando combinações ótimas para priorizar a
qualidade do fundido, a produtividade e a otimização dos processos com redução dos
custos (ABIFA, 2017). Além destes podem ser utilizados softwares como o Solver
CPLEX e suas extensões, tratados por Araújo (2003), em seu estudo de modelos e
métodos para o planejamento da produção em fundições de pequeno, médio e grande
porte. Gjelaj (2013) utiliza o MATLAB como ferramenta para otimizar a seleção de
ferramentas de corte, mostrando que reduzir os recursos humanos durante o processo
reduz tanto os custos de produção quanto economiza tempo e alcança maior
eficiência.
15
A proposta deste estudo se baseia na utilização de modelos matemáticos para
carregamento do forno, bem como o planejamento e programação da produção
aplicados no setor de fundição, tendo como base os estudos realizados por Kohman
(2015) e por Araújo (2003). Como estas pesquisas deram ênfase para empresas de
grande porte, a proposta do presente trabalho foi a avaliação do emprego de software
financeiramente acessível para cálculo do ponto ótimo de carregamento do forno e do
planejamento e programação da produção para empresas de pequeno porte. Assim,
uma redução de custos nestas empresas poderá ser alcançada, podendo levá-las a
se tornarem mais competitivas e menos sensíveis a oscilações econômicas.
Desde o surgimento da Pesquisa Operacional, trabalhos em planejamento e
programação de produção, apresentam abordagens utilizando resoluções de
problemas diários buscando geração de economia para as indústrias. Dentre as
técnicas, são citadas a programação linear (PL) com uso de Simplex, e programação
linear inteira mista (MILP) com aplicação de técnica de branch and bound, entre
outras, conforme cita Barboza (2005).
Anterior à Barboza (2005), já afirmavam Bonnele e Feldman (1999, apud. Barboza,
2005) que a utilização de técnicas de otimização para a programação da produção
era a abordagem que vinha atraindo atenção crescente das companhias, apesar de
estas ainda basearem a programação da produção na utilização de planilhas de
produção.
A adequação e adaptabilidade dos modelos matemáticos do presente estudo às
problemáticas diárias apresentadas pelas empresas (como por exemplo a variação do
custo de aquisição de matéria prima e a dificuldade de se trabalhar a programação
das fusões quando do problema de carga mínima para fusão não atingida), reforça e
justifica a importância e a contribuição destes modelos, proporcionando um resultado
mais fiel à realidade das empresas, contribuindo tanto academicamente, quanto como
incentivo à utilização de modelos de otimização de produção para fundições de
pequeno porte.
16
2 OBJETIVOS
2.1 Objetivo geral
O objetivo principal deste trabalho consiste no estudo de modelos matemáticos
capazes de otimizar os processos produtivos diretamente relacionados à fusão dos
metais (cálculo de carga e programação de fusão) em fundições de pequeno porte,
com a finalidade de melhoria dos processos e redução dos custos de produção.
2.2 Objetivos específicos
Para que o objetivo geral possa ser atendido, propõe-se:
a) trabalhar modelos matemáticos para otimizar o cálculo de carga metálica da
empresa e a programação das fusões, de forma a atender a carteira de
pedidos, buscando um planejamento ótimo para as cargas e reduzindo atrasos,
adiantamentos e alternâncias de ligas a serem fundidas;
b) validar os modelos e identificar possíveis melhorias na programação de
produção e ganhos financeiros obtidos por meio dos modelos, comparando
seus resultados com dados fornecidos por uma empresa modelo;
c) auxiliar as empresas nas tomadas de decisão através dos resultados dos
modelos aplicados.
17
3 REFERENCIAL TEÓRICO
3.1 Processo de fundição
A fundição, consiste basicamente no derramamento, ou vazamento, de metal fundido,
numa cavidade em um molde feito de areia de fundição. Após o vazamento, o metal
é deixado para esfriar e solidificar; posteriormente o molde de areia é rompido para
remoção da peça, que segue para as etapas de limpeza e inspeção de qualidade
(HANS e VELDE, 2011). Conforme Butt (2011), o processo de fundição é usado para
formar metais nas formas e tamanhos desejados, o que envolve o derramamento de
metal quente a partir de uma concha em um molde.
Assim, dentre os tipos de fundição, as mesmas podem ser classificadas conforme
seus processos, que se diferenciam de acordo diversos parâmetros técnicos. Estes
podem variar entre o tipo de molde e o processo de confecção do mesmo, o tipo de
modelo, o tipo de força ou pressão aplicada para preenchimento do molde com o metal
líquido, o tipo de processo de fabricação em si (se em série ou não), entre outros. O
estudo em questão analisa a fundição realizada por gravidade e sobre moldes de
areia, confeccionados por moldação manual, com modelos de madeira, e produtos
não seriados.
O processo de fundição mais rápido, econômico e convencional é o de moldagem em
areia. Essa areia é utilizada principalmente somada a ligantes como a bentonita (argila
umedecida), caracterizando-a como areia verde. Entretanto, outros ligantes também
podem ser utilizados, em função de exigências tecnológicas, como por exemplo, os
ligantes tóxicos: resinas furânicas, fenólicas ou uretânicas (Cilla e Morelli, 2012).
Além da questão econômica, a utilização de areia implica na sua reutilização, que por
vez toca ao quesito de sustentabilidade. Neste ponto, comenta Da Silva et al. (2012),
que em função dos problemas ambientais associados a geração de resíduos, essa
questão tomou tal relevância que, para muitas empresas, passou a ser tratada como
estratégia empresarial, seja através do uso adequado dos recursos naturais, seja
através da redução do impacto de suas atividades no meio ambiente. Segundo ele,
independentemente do rumo escolhido para se sanarem deficiências ou problemas
18
ambientais, essas empresas têm procurado alcançar o desenvolvimento sustentável
e, ao mesmo tempo, têm focado o aumento da lucratividade de seus negócios.
Hans e Velde (2011) relatam que a fundição em areia contempla vários processos,
incluindo a fabricação do modelo, preparação da areia, fabricação dos moldes,
fabricação do núcleo (se necessário), fundição propriamente dita do metal,
vazamento, resfriamento, solidificação, remoção do molde, limpeza e inspeção.
Conforme descrição do processo por Araújo (2003), o fluxo do processo de fundição
simplificado é demonstrado na Figura 1.
Figura 1 – Processo simplificado de fundição
Fonte: adaptado de Araújo (2003) e Hans e Velde (2011)
Os moldes (de areia) são formados por duas partes, a superior, e a inferior, que são
confeccionados dentro de caixas de moldação (feitas de metal). Para formar a
cavidade do molde, a areia é colocada nas caixas de moldação (inferior e superior), e
em seguida, é compactada em torno de um padrão, chamado de modelo, fiel à
geometria externa da peça a ser fundida. Caso a peça tenha superfícies internas, é
necessário a confecção de um núcleo (conhecido informalmente por macho) de areia
compactada, e este deve ser incluído no molde. O macho corresponde à um modelo
das superfícies internas da peça. Desta forma, ele é inserido na cavidade do molde,
antes do vazamento do metal líquido. O metal fundido, será vazado através de um
19
canal de alimentação, e, por sua vez, ocupará o espaço entre o molde e o macho
(núcleo), solidificando-se e formando as superfícies externas e internas conforme a
peça demandada. Tanto o molde como o macho, após a solidificação do metal, são
destruídos para a retirada da peça. Portanto, para cada nova fusão, são necessários
novos moldes e machos (HANS e VELDE, 2011).
Através da Figura 2 é possível visualizar o processo de moldação de areia descrito e
compreender a cavidade do molde que dará origem à peça fundida.
Figura 2 – Esquema de moldação
Fonte: adaptado de HANS e VELDE (2011).
Para que o metal possa se tornar líquido, para que este seja vazado nos moldes de
areia, as matérias-primas (sucatas de metais, adições, ligas, etc) são aquecidas em
temperaturas extremas em fornos. Para o estudo, serão tratados os fornos elétricos à
indução.
O forno elétrico a indução utiliza correntes elétricas para derreter o metal. Essas
correntes são alternadas através de bobinas elétricas que contornam o cadinho que
contém o metal, aquecendo-o até a temperatura necessária para sua fusão. Essa
temperatura é pré-determinada de acordo com matéria-prima em uso. O forno é
equipado com um transformador e um conversor de frequência, que regulam a tensão
e a frequência de operação, necessários para o seu funcionamento. Durante o
funcionamento do forno as bobinas elétricas precisam ser resfriadas para que não
superaqueçam e se danifiquem. Para isso, o forno conta com um sistema próprio de
arrefecimento do sistema elétrico. Esses fornos possuem ainda um sistema hidráulico
20
de basculamento e um sistema de exaustão de gases produzidos na fusão dos metais
(CERVEIRA et al., 2015). Este esquema é representado na Figura 3.
Figura 3 – Esquema de forno elétrico à indução
3.2 Cálculo de carga metálica
A evolução da civilização humana em termos de industrialização foi especialmente
caracterizada pela fabricação de metais, principalmente o aço. Ao longo dos anos, a
taxa de crescimento da fabricação de aços se viu abalada pelos preços admitidos pela
indústria de petróleo, o que acarretou consequentemente em um novo mercado, em
meados dos anos 90: o mercado de sucatas, que foi encorajado inicialmente pelo fator
de livre comércio (CIUTACUA, 2014).
Ciutacua (2014) questiona em seu estudo a desindustrialização em função do
comércio de sucatas, que é negociado concomitantemente à exportação e importação
de aços fabricados. Alguns países apresentaram redução no nível de exportação de
aços domésticos, enquanto simultaneamente aumentaram a exportação das sucatas
de aço no ano de 2010. Estas, vêm sendo crescentemente usadas nas fundições.
Além do preço mais baixo, outros fatores como a recuperação de carbono no banho
metálico, por exemplo, levam à redução do uso de ferro gusa. O emprego de sucatas
21
na composição de carga e a redução do uso de ferro-gusa, são motivados
principalmente pela alta competitividade no setor de fundição, obrigando as empresas
a otimizarem seus custos de produção (SANTOS, 2014).
Os esforços para otimizar os custos de fabricação de ligas de fundição levam à
introdução de novas soluções de TI para determinar a carga, isto é, para calcular as
proporções de materiais de carga individuais. O cálculo de carga ao menor custo
possível levando em consideração uma variedade de materiais de carga torna-se uma
tarefa imprescindível (ZIÓŁKOWSKI, 2013)
Antecedente à programação de fusões, é necessário entender e analisar
primeiramente o problema de otimização linear referente à formação das ligas, ou
seja, qual o melhor arranjo (menor custo) de se combinar diferentes matérias-primas
para atingir a composição química desejada para cada uma das ligas.
O cálculo de carga metálica, também chamado por carregamento do forno,
determinará os percentuais de cada uma das matérias-primas que deverá ser
adicionada ao forno para formação da carga que se fundirá a fim de se obter a liga
desejada, levando, consequentemente, às determinações de valor mínimo e máximo
para cada elemento químico, conforme normas de materiais ou solicitação/designação
do cliente.
Para tal cálculo é necessário ter conhecimento sobre a composição química desejada
(de saída), as composições químicas das matérias primas (de entrada), os tipos e
seus rendimentos durante a fusão.
Deve-se, portanto, calcular a contribuição de cada carga para cada elemento. Tem-se
que cada uma das matérias-primas de entrada apresenta uma composição química
diferente, dentre as sucatas, lingotes, ou elementos de liga. A exemplo pode-se ter
uma chama laminada de um aço carbono comum (sucateada) com teor de carbono a
0,18% e uma sucata de ferro fundido que contribuirá com sua composição química
apresentando um teor de carbono à 3,30%. Esses valores deverão ser somados a
cada contribuição, e deve-se também considerar as perdas por fusão (rendimento
metálico), trabalhando, portanto, com somas e subtrações. Cada matéria-prima
22
apresenta um rendimento metálico diferente, e, portanto, durante esse cálculo, deve-
se fazer tal compensação.
Findado o somatório, os valores devem ser comparados com os valores desejados,
trabalhando o desvio obtido, refazendo as etapas de acréscimo de material de entrada
e cálculo de contribuições até que a composição química obtida esteja adequada com
a desejada para a liga em questão. O problema a ser resolvido, que trabalha a com
cargas combinadas atingindo as faixas estipuladas, e com o menor custo é conhecido
como Problema da Mistura (BAZARAA, 1990), e será resolvido pelo método Simplex.
É seguro dizer que, em relação à evolução dos controles de processo, as simulações
numéricas se tornaram uma ferramenta importante na indústria e na pesquisa. Além
disso, os experimentos em escala industrial com derretimentos metálicos quentes (T
≥ 700 ° C) são extremamente difíceis de realizar e podem tornar-se caros demais,
fazendo com que se tornem ainda mais preciosas as simulações e cálculos de
previsão de resultados (CRAMER, 2004).
O cálculo para o carregamento do forno, antecipa as condições de saída do metal que
será vazado nos moldes. Desde que a entrada de matérias-primas seja controlada,
serão necessários apenas pequenos ajustes já no forno, após análise laboratorial,
para obtenção da composição química desejada, como concorda Cramer (2004)
quando relata que hoje é possível modelar processos metalúrgicos em uma variedade
de parâmetros muito próximos da realidade, pois a validação de códigos numéricos
por esses modelos de metal líquido fornece uma base profunda para uma
extrapolação para o problema de escala real.
Em relação ao controle dos parâmetros do processo, Nath (2006) descreve que, no
atual cenário de mercado competitivo, o controle adequado destes parâmetros
durante o processamento de metal líquido é essencial, pois os produtores estão se
esforçando para que os processos internos resultem em uma qualidade rigorosa e
consistente, bem como que os custos de produção sejam reduzidos. Desta forma, o
forno é uma unidade chave para atingir os objetivos mencionados. Ainda, conforme o
autor, modelos que envolvam as problemáticas térmicas e químicas devem ser
23
desenvolvidos para melhorias dos processos, otimizando a entrada de energia e o
custo das adições de liga (NATH, 2006).
O controle da composição do fundido é obtido pelo controle adequado da adição.
Contudo, na prática, na ausência de qualquer modelo de processo, tais adições são
guiadas por uma regra de proporções desenvolvida através da experiência
operacional dos trabalhadores e do histórico da empresa. No entanto, para um
controle mais preciso e econômico, um sistema de controle de processo baseado em
modelos matemáticos é essencial (NATH, 2006).
Assim como o controle das adições para obtenção de materiais conforme as normas,
citado por Nath (2006), estando os elementos contidos nas faixas de mínimo e
máximo, Popovich et al. (2015), adiciona ainda que, especialmente no campo da
criação de novos materiais, mais seguros ecologicamente e mais lucrativos
economicamente, este controle está extremamente relacionado com as perspectivas
da engenharia.
Além da importância de controle de adições relativa à qualidade e confiabilidade dos
parâmetros do processo, é necessário ressaltar o peso econômico que esse controle
de entradas representa. A aplicação de métodos e modelos matemáticos para
determinar a carga ideal de materiais pode ajudar a minimizar os custos da produção
de liga de fundição (ZIÓŁKOWSKI, 2013).
Ziólkowski (2013) defende que em seus trabalhos que em função da variedade de
aspectos que devem ser considerados, o cálculo de carga para fornos de fundição,
que considerem as proporções de materiais de carga específicos é uma tarefa
complicada. Por esse motivo, o problema é tratado como problema de otimização,
onde o principal critério é a quantidade ideal de materiais de carga, relacionados aos
menores custos.
Um dos problemas práticos relacionados ao cálculo de carga preciso, é em função de
que os materiais de entrada podem apresentar composições químicas muito variadas,
chamando atenção, desta forma, para a necessidade e ao mesmo tempo a dificuldade
de se controlar tal parâmetro, que consequentemente leva aos ajustes posteriores de
24
composição durante a fase de fusão. Como relacionado por Ziólkowski (2013), esta
dificuldade é devido às imprecisões de composição química. As proporções de
elementos químicos particulares na liga fundida podem desviar-se do valor desejado
apesar de aplicar procedimentos de cálculo ótimos. Os materiais de carga
comercialmente disponíveis, como vários tipos de sucata e ferro, vêm em forma de
pedaços simples e possuem uma composição química que geralmente não é
determinada com precisão. Mesmo assim, eles são amplamente utilizados em plantas
de fundição por causa de seu baixo preço (ZIÓŁKOWSKI, 2013).
Para encontrar a carga inicial de matérias-primas, é necessário que a função objetivo
do modelo matemático busque o valor para o qual a função objetivo atinja o mínimo
sob as restrições dadas, através de uma programação linear, e que a função objetivo,
as equações e desigualdades que compõem o sistema de restrições sejam expressas
como funções lineares (ZIÓŁKOWSKI, 2013).
Em relação à utilização de sucatas como um todo, em substituição aos materiais
originais, Chaves (2012) em seus estudos já pressupunha duas abordagens em
relação aos benefícios líquidos sociais da reciclagem. Na primeira abordagem, a
hipóteses é de que o preço da sucata reflete os ganhos líquidos de reduções de custo
de produção, derivado do reaproveitamento. Já na segunda hipótese, ela mede o
verdadeiro custo de oportunidade, calculando-se com base nos custos evitados com
energia, matéria-prima e água, deduzidos dos custos de reprocessamento,
proporcionados pelo reaproveitamento. Portanto, imerso neste contexto, pode-se
inferir que a utilização das sucatas é um meio financeiro oportuno e extremamente
presente nas indústrias no geral, e fortemente abraçado pelas empresas de fundição.
A sucata ferrosa, no geral, é considerada uma commodity que pode ter seu mercado
com características de memória longa, onde as negociações futuras são direcionadas
pelos preços do passado, como Kohmann (2015) relata em seus estudos. O mercado
de sucatas ferrosas é um dos maiores e mais antigos existentes, e colabora com a
economia mundial, ditando valores para outros produtos. Como o preço da sucata
ferrosa no mercado é estabelecido, via de regra, de acordo com a oferta e a demanda
em um cenário mundial, envolvendo grades potências mundiais, estes valores
acabam por afetar o preço dos produtos substitutos, e até mesmo as negociações de
25
preços anuais de minérios de ferro, conforme estudos de Aylen e Albertson (2006).
Além disso, a sucata sofre influência de custo de transporte e energia de
processamento, fazendo com que seu preço seja definido no cenário em que a
demanda por material gera o próprio canal de suprimento, surgindo portanto,
conforme Kohmann (2015), mercados de reciclagem.
3.3 Programação de fusão
O planejamento e o próprio gerenciamento das etapas de produção dentro de uma
empresa, são responsáveis por direcionar todas as atividades do processo produtivo
após a efetivação da venda, englobando, portanto, as atividades de suprimentos de
matérias-primas, até a expedição dos produtos, processo este denominado
Planejamento e Controle da Produção, comumente chamado por PCP. Um sistema
de PCP poderá ser dividido em três níveis hierárquicos, sendo eles, o estratégico, o
tático e o operacional (ANTHONY, 1965).
Para Araújo (2003), o planejamento estratégico está relacionado com o nível mais alto
de tomada de decisões, definindo as metas globais da empresa. O tático é
responsável pela utilização eficiente dos recursos disponíveis, cumprindo o
determinado pelo estratégico, alocando corretamente os recursos para satisfazer a
demanda. Já o planejamento operacional trata das decisões do dia-a-dia, executando
os planos definidos anteriormente, através da programação detalhada da produção,
sequenciando os pedidos nos centros de trabalhos, controlando estoques,
programando compras de componentes e matérias primas, controle de qualidade e
programando distribuição.
Desta forma, assim como no estudo realizado por Araújo (2003), a programação a
qual se trata o presente trabalho está relacionada a decisões de nível tático-
operacional, onde será determinado o quanto produzir num horizonte de planejamento
finito.
Este modelo consiste basicamente na programação das fusões e vazamentos, que
quando realizada, é responsável por direcionar processos relacionados. Neste ponto,
26
concorda Yadollahpour et al. (2016), em seu trabalho, onde afirma que o planejamento
da produção e a programação no processo de fabricação de aço consiste em tomar
decisões sobre três questões importantes: cumprimento das ordens de cobranças
(pedidos em carteira ou solicitações para estoque); organização e disposição dos
moldes e a própria fabricação dos moldes, que demanda de uma segunda
programação (YADOLLAHPOUR, 2016).
Neste estudo é relatado que o planejamento e programação de operações de fundição
em areia, em fundições de metais, é uma tarefa muito difícil, uma vez que existem
muitas restrições, incluindo uma variedade de requisitos de processo, restrições de
capacidade e disponibilidade de recursos e materiais. Ainda conforme o estudo, é
apontado que o principal desafio é construir um cronograma de produção que seja
viável para a fusão, o coração da fundição, dado que esta programação normalmente
é usada para derivar os planos de produção para os outros departamentos,
envolvendo a coordenação da capacidade das máquinas de fabricação de moldes (ou
funcionários quando manual), da capacidade de derretimento e vazamento e da
disponibilidade dos núcleos e das caixas de moldação. O problema é especificar qual
e quantos produtos devem ser lançados a cada dia, o tamanho do lote e a sequência
em que os produtos devem ser lançados (HANS et al., 2011).
Problemas como este são exemplos vividos pela indústria siderúrgica, que se depara
com vários problemas relacionados com o controle de planejamento e fluxo de
produção, ou aqueles relacionados às questões de tomada de decisão que são, em
geral, problemas de otimização (Dutta e Fourer 2001; Tang et al., 2001, apud SBIHI
et al., 2014).
Para solucionar problemas de programação, visando otimização, Sbihi (2014)
comenta que as técnicas mais utilizadas são a programação matemática, sistemas
experientes, satisfação ou simulação de restrições e, mais recentemente, inteligência
artificial.
Contudo, chama a atenção Luca (2012) para a utilização de tecnologias neste
segmento. Para ele, para toda tecnologia, há uma série de técnicas que levam a bons
resultados, e deve-se levar em consideração que o processo de vazamento de peças
27
metálicas é um processo altamente complexo, e em função disto, o processo se torna
mais difícil de modelar e analisar, requerendo atentar-se à todas as restrições de cada
processo.
Além disso, uma boa programação, que objetive otimização, zela também por redução
de custos paralelos, como por exemplo o custo referente ao próprio uso do forno, e o
custo referente ao operador responsável pela programação.
Hans et al. (2011) defende que uma ótima programação reduz custos relativos ao uso
do forno, pois a fundição usa um forno onde a carga, geralmente de ferro/aço, é
derretida pelo calor gerado a partir de um arco elétrico, e os fornos de arco elétrico
são conhecidos por seu alto consumo de energia. Além disso se a programação de
fusão for bem realizada e distribuída ao longo dos dias, o derretimento pode ser
concentrado e o forno só precisará manter o ferro fundido à temperatura de vazamento
correta, reduzindo o esforço e consequentemente os gastos. Como consequência
positiva, o autor ainda cita que os trabalhadores também têm uma carga de trabalho
mais equilibrada.
Em relação ao custo referente à mão de obra, uma programação ótima, realizada
através da utilização e auxílio de modelos matemáticos, prevê qualidade em relação
aos horários programados para cada fusão, bem como reduz o tempo total para
programação e os esforços do próprio programador. Para Hans et al. (2011) o esforço
de planejamento é significativamente reduzido. Em seu estudo, os tempos medidos
para a realização da tarefa foram significativamente menores. O método manual
requeria cerca de 2-3 dias, enquanto que uma sessão de planejamento típica com um
protótipo de sistema de suporte a decisões não levava mais de meia hora.
Seguindo o raciocínio compreendido por Hans et al. (2011), embora o problema do
dimensionamento e programação dos lotes serem complexos devido a presença de
diversas restrições específicas do processo, o modelo pode ser trabalhado de forma
a possibilitar transferências de informações/mudanças (configurações) de um período
para o outro, analisando-se os produtos e demandas.
28
Para esta modelagem, o mesmo procederá analisando subproblemas, onde as ordens
de reabastecimento precisam ser divididas durante os dias úteis (programáveis) e um
subproblema de agendamento, onde os lotes de produção por dia, bem como os dias
úteis, precisam ser sequenciados. Para resolução do mesmo, portanto, é necessário
recorrer a uma abordagem relativamente bruta, como a programação linear inteira
mista (MILP) para trabalhar este subproblema (HANS et al., 2011).
Como modelo base inicial, para verificação das restrições e parâmetros matemáticos,
será utilizado o estudado por Araújo (2003), contudo, para uma fundição de pequeno
porte, seguindo parâmetros similares para as condições de trabalhos. Será
considerado o processo de moldação e moldagem manual em areia, forno de indução
magnética e vazamento por gravidade.
A programação da fusão, portanto, deverá analisar diversos pontos, a fim de ser
realizada de forma que cumpra com o que foi planejado/demandado através das
ordens de fabricação. Deverão ser observados para tal, os tipos de ligas, tipos de
itens, períodos (quantidade de vezes que o forno é preenchido ao longo de um dia,
conhecido também por corrida), os valores para a capacidade do forno por período, o
número máximo de corridas no dia, o peso bruto do item, a demanda de peça nas
datas, o conjunto de itens que usam determinada liga, uma penalidade por atraso de
fusão do item, uma penalidade por antecipação de fusão, e outra penalidade por
preparação do forno (troca de liga).
3.4 Processo de fundição da empresa modelo
Para a empresa em questão, onde será aplicada a parte experimental, o processo
pode ser reduzido e simplificado conforme o fluxograma exibido na Figura 4.
Todo o fluxo de atividades e informações, que definirá as condições e parâmetros para
os processos de produção, se inicia com o fechamento de um pedido de compra do
cliente. Através dele, uma equipe do setor de engenharia/projetos, estabelece alguns
parâmetros de produção para que as etapas subsequentes sejam norteadas e
definidas, como por exemplo o tipo de modelo – dada a quantidade e complexidade
29
do modelo. As peças que deverão ser fundidas, têm suas análises feitas, para
verificação de quantidade, tipo de material a ser fundido, peso unitário, data de
entrega, entre outros, que darão direcionamento aos processos a partir do arranjo
destas informações, através de uma programação.
Figura 4 - Fluxograma de processo de fundição
A área de Projeto (1), é responsável por dirigir informação de fabricação para a fábrica,
distribuindo estas diretamente para a Modelagem (2), Forno (4) e Usinagem (8)
(quando for o caso). Estas informações são referentes à forma de se produzir e
características produtivas de cada um dos produtos. Para tal, é elaborada uma Ficha
Técnica (Anexo A) para cada um dos itens, com o passo a passo da produção.
A Modelagem (2), recebe as informações da área anterior, e fabrica um modelo de
madeira, podendo este ser solto ou emplacado (Anexo B), variando em função da
geometria, complexidade, tamanho, e quantidade de peças a serem fabricadas. O
modelo de madeira, após confeccionado, conforme especificações dadas pelo
Projeto, segue para a etapa seguinte, Moldação e Macharia (3). Nesta etapa, moldes
de areia de fundição serão confeccionados, de forma manual, ou seja, sem utilização
de maquinário (Anexo B), utilizando-se do modelo fornecido como padrão. A
quantidade de moldes será dada em função da quantidade de peças a serem fundidas.
30
É necessário, uma figura para cada item a ser confeccionado. Contudo, de acordo
com melhor layout e geometria de peças, é possível alocar mais de uma figura em um
mesmo molde (Anexo B).
A área de Forno (4), é responsável pela recepção de matérias-primas relacionadas à
fabricação da liga a ser fundida. Para tanto, o Projeto (1) fornece informações para
que a etapa ocorra. Estas informações são relativas, por exemplo, ao peso unitário
das peças, tipo de material (liga), peso das peças com canal (peso total de cada peça,
considerando a quantidade de metal excedente que preenche os canais para
formação da peça, e que são descartados após a solidificação, porém devem ser
somados para fusão de metal, para que não haja falta de material), se e qual o
tratamento térmico, ligas equivalentes em normas, entre outros.
Para a etapa Forno (4), está contida a área de Laboratório, onde as análises de
composições químicas são realizadas (Anexo B). O Forno (4), forno à indução (Anexo
B), recebe como entrada as matérias-primas, como sucatas e ferros-ligas, sendo
responsável, portanto, pela saída de material líquido pronto para vazamento, podendo
ser o aço, ou o ferro.
Na sequência, a Área de Vazamento (5), recebe, portanto, das áreas anteriores (3 e
4) os moldes de areia e o metal líquido a ser vazado, já em temperatura adequada
para vazão, de acordo com o material fundido. A fusão se dá por gravidade. Os moldes
são pesados (vedados) com “lastros” (Anexo B) para evitar sua abertura durante o
vazamento, em função da pressão gerada no processo e dos gases que se formam
no interior dos moldes. O metal líquido, por sua vez, preenche os espaços vazios dos
moldes através dos canais de alimentação (Anexo B), perde energia térmica e se
solidifica na geometria das peças.
A Solidificação (6) pode ocorrer por resfriamento natural, que é o mais comum, como
também, em alguns casos, através de resfriamento forçado por ventiladores
industrias, ou por banho de imersão em água em uma piscina própria para tal. A
definição do tipo de solidificação é feita de acordo com o material e as características
necessárias que este deve atingir, como por exemplo a dureza do mesmo. A retirada
da peça do molde de areia, é feita também de modo manual, rompendo a areia entorno
31
da peça já solidificada (Anexo B). Após a retirada da peça, a mesma passa para a
etapa de Rebarbação (7), que é responsável pela retirada dos canais e demais
rebarbas, que são os materiais ‘extras’, como arestas e quinas que se solidificaram
(Anexo B).
A necessidade e o tipo de Tratamento Térmico (7) são definidos de acordo com o
material e segundo a microestrutura que se quer formar em cada uma das peças. Este
tratamento térmico (Anexo B), como o próprio nome diz, é realizado em um forno
próprio para tal, que eleva a temperatura interna do mesmo, e com isso aquece as
peças em curvas de temperatura versus tempos variados, para cada resultado a ser
alcançado. Por fim, as peças podem ou não seguir para a Usinagem (8), que vai da
definição do cliente, bem como a utilização/função da peça. A usinagem (Anexo B)
promove a retirada de material da peça por cisalhamento, com o objetivo de
acabamento de superfícies ou realização de furos e roscas, por exemplo. Além disso,
através da usinagem pode se conseguir medidas extremamente precisas para as
peças.
Neste trabalho, as áreas estudadas abrangerão, portanto, a área do Forno, que
geralmente é um gargalo tanto para a empresa modelo, como para outras de mesmo
porte. Tanto o cálculo de carga metálica (ou carregamento do forno), como a
programação das fusões, implicam exatamente nesta área. Em acordo com o estudo
de Kohmann (2015), a empresa aqui em estudo, também opera com duas etapas
principais no forno, que são as de Carregamento e Otimização, como exibido na
Figura 5.
Figura 5 - Fluxograma do forno
Fonte: Kohmann, 2015, p.31.
32
Kohmann (2015), em seu estudo, distingue as etapas do carregamento e da
otimização. Na etapa de Carregamento será realizada a seleção das sucatas para
composição do aço/ferro e fornecimento de energia para sua fusão, selecionando as
sucatas de forma a aproximar a composição química do banho à composição final
desejada. Assim, diminui-se os custos com sua posterior correção. Já na Otimização,
será avaliada a composição química do aço não corrigido, e os devidos acréscimos
de cada elemento que deverão ser feitos com adições para levar o aço até as
especificações do produto. Desta forma, o presente trabalho visa atuar na etapa de
carregamento, reduzindo correções posteriores na fase de Otimização.
As sucatas já separadas fisicamente conforme o material a ser fundido, em suas
quantidades ideais, são introduzidas aos poucos no forno, de acordo com a velocidade
em que as mesmas vão sendo transformadas em metal líquido. Quando a carga
presente no forno se apresenta toda em estado líquido, é realizado o
acompanhamento da temperatura, que deverá atingir um nível diferente para cada
material. Para avaliação da composição química, é retirada uma pequena amostra,
que é então solidificada, e levada ao laboratório para análise através de um
espectrômetro.
Para o cálculo de otimização da carga, onde se deve corrigir o material para as
especificações de composição química da liga desejada durante o banho (período de
tempo em que o metal, já em estado líquido, permanece no forno até a temperatura
de vazamento), é comum que seja utilizada neste momento a experiência do operador
do forno, fato que pode ser verificado através do estudo de Kohmann (2015), e que
também foi observado na empresa modelo. Nos dois casos, os cálculos eram feitos
baseados na experiência do operador, utilizando-se uma interpolação lagrangeana de
primeiro grau (vulgarmente conhecida como regra-de-três). Desta forma é calculada
a quantia de cada adição a ser introduzida no banho, buscando-se corrigir sua
composição para dentro da faixa de especificação da liga que está sendo produzida,
ou seja, dentro do valor máximo e mínimo aceito pela norma. Então, posterior às
adições, busca-se a temperatura de vazamento, que é superior à de fusão, como
forma de compensar a perda de temperatura durante o vazamento. É retirada uma
nova amostra da composição do banho para conferência da composição. Finalmente,
o metal líquido do forno é vazado para os moldes de areia.
33
3.5 Otimização e fundamentação teórica
No que diz respeito ao agendamento de problemas com tempos de configuração ou
inclusão de custos, conforme um estudo realizado por Allahverdi (2008), o primeiro
documento abrangendo o tema surgiu no ano de 1999. Contudo, ainda segundo o
autor, tem havido crescente interesse em agendar problemas com tempos de setup
(custos), com uma média de adição de 40 trabalhos por ano adicionados à literatura.
Referente aos métodos de solução, os mais comuns, analisados neste estudo do autor
são algoritmos de ligação direta, fórmulas de programação matemática, algoritmos de
programação dinâmica, alguns poucos de colônia de formigas. Segundo ele, o
desempenho dessas heurísticas, depende de diferentes parâmetros e dos operadores
utilizados, bem como das características e do tamanho das instâncias do problema.
Em alguns casos, tem-se o uso de métodos de busca local, enquanto em outros casos,
o de meta-heurística híbrida mostra melhores resultados, o que indica que diferentes
métodos têm seus pontos fortes e fracos (ALLAHVERDI, 2008).
Já em outro estudo realizado por Harjunkoski et al (2014), o artigo faz um
levantamento de demais estudos realizados com o tema de otimização relativos à
planejamento de curto prazo, e apresenta os métodos de solução mais comuns
discutidos nos últimos anos. Entre eles, o primeiro e mais utilizado é o método MILP,
seguido dos métodos MINLP, programação de restrições, métodos heurísticos e
metaheurísticos, agendamento baseado em regras, abordagens baseadas em
decomposição, meta-heurística, busca exaustiva guiada pela heurística pela análise
de alcançabilidade de autômatos cronometrados, métodos híbridos e reagendamento
(HARJUNKOSKI et al., 2014).
Problemas de escalonamento de curto prazo, como é o caso do presente estudo,
segundo E. Kondili et al (1993) geralmente são formulados como um programa linear
inteiro misto (MILP), baseados em uma representação de tempo discreta.
Formulações em MILPs podem envolver grande número de variáveis binárias, e a
função objetivo pode ser a maximização de uma função lucro envolvendo o valor dos
produtos e o custo de matérias-primas, utilidades e armazenamento de material, ou
mesmo a minimização da função direta de custo (E. KONDILI et al., 1993).
34
Kondili et al (1993), trabalharam um problema que foi formulado matematicamente
como um modelo MILP, cuja solução fornece a alocação ótima de equipamentos para
tarefas. Além das restrições básicas inerentes a qualquer problema de programação,
muitos outros tipos de restrições operacionais são incorporados ao modelo. Ainda, os
autores relatam que devido à linearidade da formulação, as soluções obtidas podem
ser garantidas como ótimas. Eles não são, no entanto, necessariamente únicos, pois
como consequência da flexibilidade inerente das plantas em lote, a maioria dos
problemas de programação tem muitas soluções com o mesmo valor da função
objetivo (KONDILI et al, 1993).
Para Osanloo e Rahmanpour (2017), o planejamento de curto prazo é tratado como
um problema de otimização de portfólio. Os autores citam outros pesquisadores que
realizaram estudos de planejamento de curto prazo em minas a céu aberto, como
Smith (1998), que apresentou um modelo de Programação Linear Inteira Mista (MILP)
referente à um planejamento anual da mina.
Seguindo o raciocínio, ainda conforme Osanloo e Rahmanpour (2017), os planos de
produção a curto prazo são a base para os horários operacionais de produção de
minas. Eles se concentram em tornar os planos de minas a longo prazo
operacionalmente viáveis, onde o objetivo do modelo é maximizar o retorno esperado
do portfólio sob restrições que limitam sua variação. No entanto, os planos de curto
prazo visam seguir as estratégias do plano de longo prazo e minimizar os custos
operacionais o máximo possível (OSANLOO e RAHMANPOUR, 2017).
Em um estudo realizado por Harjunkoski et al (2014), os autores relatam sobre a
dificuldade de implantação de modelos e ferramentas de otimização, em função de
um contexto histórico, onde, tradicionalmente, o planejamento da produção
(planejamento de curto prazo) é realizado manualmente por indivíduos treinados
usando caneta e papel, cartões de planejamento (por exemplo Kanban) ou planilhas.
Nota-se que a realidade mostrada pelos autores, em 2014, ainda é verídica nos
tempos atuais. Contudo, ainda segundo os autores, o agendamento manual tornou-
se extremamente desafiador, em função da complexidade e flexibilidade exigida, de
forma a garantir uma produção lucrativa. Desta forma, as empresas se viram
35
obrigadas a investir em soluções de otimização, buscando economias significativas
por meio de uma melhor utilização da capacidade (HARJUNKOSKI et al., 2014).
Assim como Osanloo e Rahmanpour (2017), Harjunkoski et al (2014) apresenta
modelos de programação linear inteira mista (MILP), a menos que a mistura, os custos
de estoque dependentes do tempo ou os modos periódicos de operação precisem ser
considerados, o que transforma o modelo em um modelo não linear (MINLP).
Chama atenção, ainda no mesmo artigo, observações importantes referentes ao
resultado dos estudos, onde os autores alegam que “as ferramentas de otimização de
hoje podem efetivamente suportar a produção em nível de fábrica. No entanto, ainda
há um claro potencial para melhorias, especialmente na transferência de resultados
acadêmicos para a indústria. Por exemplo, usabilidade, interface e integração são
alguns aspectos discutidos no artigo” (HARJUNKOSKI et al, 2014).
Desta forma, fica claro e evidente a crescente necessidade de investimento em
práticas realizáveis dentro da indústria e incentivo à investimentos referentes à
otimização de processos e subprocessos industriais. Alguns dos principais desafios
são a complexidade computacional e o custo de implementação, levando-se ainda em
consideração a necessidade e importância de se selecionar o método correto de
modelagem e solução como sendo fundamental para o adequado resultado.
Existe ainda uma ressalva, não somente aos custos de implementação, mas para os
desafios relacionados à parte humana, onde, a quantidade de especialistas em
otimização geralmente é limitada. Segundo Harjunkoski et al (2014), como os projetos
de implementação são amplos e a tecnologia de informação desempenha um papel
importante, existe uma dúvida relativa à combinação ideal de conhecimento para
engenheiros de processo, especialistas em PO (Pesquisa Operacional) e
programadores.
36
3.5.1 Programação Linear (PL)
A Programação Linear, para Barboza (2005) é uma das ténicas de Pesquisa
Operacional mais importantes e mais utilizadas, em função da sumplicidade do
modelo envolvido. Além disso, a diponibilidade de uma técnica de solução
programável em computadores com momo Simplex, facilitam a aplicação. Enquanto
a técnica permite modelar importantes e complexos problemas de decisão, o Simplex
apresenta capacidade de produzir solulções rapidamente.
Zions (1974, apud. BARBOZA, 2005) descreve o método Simplex como um problema
de PL composto por:
1) Uma função linear formada com variáveis de decisão, chamada de Função
objetivo, cujo valor deve ser otimizado;
2) Relações de interdependência entre as variáveis de decisão, que se expressam
por um conjunto de equações ou inequações lineares, chamadas de restrições
do modelo;
3) Variáveis de decisão, que devem ser positivas ou nulas.
Ou seja: A programação linear baseia-se em encontrar um vetor x que minimize uma
função linear fTx, sujeitos a restrições lineares:
minx f Tx
3.5.2 Programação Linear Inteira Mista (MILP)
Segundo Moro (2000, apud. BARBOZA, 2005), muitos dos problemas de
programação de produção (scheduling) podem ser trabalhados como programação
linear inteira mista, pois os modelos matemáticos de otimização correspondentes
envolvem variáveis contínuas e discretas que devem satisfazer um conjunto de
restrições lineares de igualdade e desigualdade.
37
Em função de sua natureza combinatorial, a resolução para problemas de otimização
linear inteira mista, entendida como obtenção de uma solução ótima, pode ser difícil.
Explica Barboza (2005) que, num primeiro contato com este tipo de problema, a
abordagem seria a de resolver o problema para todas as combinações de variáveis
inteiras utilizando a programação linear (PL) e extrair a solução com o menor valor da
função objetivo (nos casos de problemas de minimização, como o presente estudo).
Contudo, a autora chama atenção que o número de combinações cresce
exponencialmente com o número de variáveis binárias, inferindo que,
consequentemente, problemas práticos onde se tem um grande número de variáveis
inteiras, essa abordagem se terne inviável.
Desta forma, uma outra alternativa seria relaxar as restrições de integralidade e tratar
as variáveis inteiras como contínuas. Contudo, ressalva-se que não se tem garantia
de que, resolvendo o problema com essa relaxação, encontre-se uma solução com
valores inteiros para as variáveis discretas. O arredondamento, segundo Barboza
(2005), para valores mais próximos também não leva, em geral, ao resultado correto.
3.5.3 Branch and bound
Os modelos desenvolvidos foram resolvidos com uso de dois aplicativos
computacionais. O primeiro (modelo de programação Linear) por meio do Simplex,
disponível em Microsoft Excel, e o segundo (modelo de programação linear inteira
mista) por meio do algoritmo Branch and Bound, por meio da função intlingprog do
aplicativo computacional MATLAB 2017.
Confirma Barboza (2005) que, os aplicativos que resolvem problemas de PL utilizam
o método Simplex e/ou método de busca por ponto interior. Já para problemas de
MILP, a maior parte dos aplicativos, utiliza o método Branch and Bound.
Este algoritmo (B&B) resolve relaxações de LP (programação linear) com intervalos
restritos de possíveis valores das variáveis inteiras. Ele tenta gerar uma sequência de
38
limites atualizados no valor da função objetiva ideal. Alguns cortes adicionais são
aplicados para restringir a região viável de soluções e relaxamentos da programação
linear (LP), para que as soluções sejam o mais próximo possível de números inteiros.
Os cortes utilizados estão inclusos no grupo de cortes básicos de geração, e para o
programa, estes foram controlados para aplicação de cortes de Gomory (método
utilizado para programação linear que busca iterativamente refinar um conjunto viável
ou função objetivo por meio de inequações lineares). Além do corte, são
implementadas heurísticas para encontrar soluções viáveis, obtendo um limite
superior, que não será abordado no momento, por não ser o objetivo do mesmo.
O método branch and bound (B&B), é um método que executa a busca por uma
solução de uma MILP através da conversão de uma sequência de subproblemas.
Estes subproblemas resultam em uma sequência de limites superiores e inferiores na
solução fTx. O primeiro limite superior é qualquer solução viável, e o primeiro limite
inferior (lower bound) é a solução para o problema relaxado, que é o valor custo
interessante para o objetivo do modelo aqui estudado. A solução relaxada de um LP,
é em função de, em uma MILP, existem restrições referentes inteiros, e por esse
motivo, na exploração dos nós da raificação, os subproblemas restringir uma variável
para que ela seja menor que ou igual a um inteiro J, ou maior que ou igual a J + 1.
Desta forma, a entrada em xLP (xLP é a solução para um problema relaxado),
correspondente a um inteiro, especificado na intcon, não é um número inteiro. J é
considerado o “piso” da variável (arredondado para baixo) e J + 1, como o “teto”
(arredondado para cima). Os resultados dos subproblemas têm soluções que são
maiores ou iguais a fTxLP, porque eles têm mais restrições. Portanto, este
procedimento potencialmente aumenta o limite inferior e relação à uma simples LP.
Para Pinto (2000, apud. BARBOZA, 2005), em função da memória das máquinas e o
elevado tempo computacional, existe uma limitação para a maioria dos aplicativos
comerciais. Contudo, alternativas são utilizadas para contornar esse problema. Pinto
(2000), enumera alguns componentes indispensáveis de um aplicativo para resolver
problemas de MILP:
1) Rotina do método Simplex: resolve a modelagem de PL e gera limites inferiores;
2) Pré-processamento: o modelo é analisado de forma a fixar ou eliminar variáveis
desnecessárias, gerar limites, reformular restrições, eliminar restrições
redundantes (etapa que pode reduzir a dimensão do problema);
39
3) Planos de corte: restrições adicionadas ao modelo para eliminar soluções dos
modelos de PL, mas não do problema inteiro, objetivando reduzir o espaço de
busca;
4) Heurísticas: utilizadas para gerar soluções viáveis satisfatórias. Heurísticas
primais geram soluções inteiras, reduzindo o limite superior. Heurísticas duais
podem gerar soluções viáveis do dual do problema linear relaxado (limites
inferiores) mais rapidamente que o Simplex;
5) Separação: enumeração sistemática de soluções, obtida fixando-se as
variáveis ou adicionando restrições de modo que a região viável seja
subdividida em regiões disjuntas;
6) Branching: determina qual região deverá ser escolhida para a busca;
7) Interface: padrão de códigos de otimização que representa o modelo na forma
matricial, de forma que propiciem aos usuários fácil entendimento com relação
ao uso do aplicativo. A maioria dos aplicativos possui ao menos uma linguagem
algébrica de entrada do modelo e um gerador de matrizes.
Deve-se levar em consideração que os aplicativos computacionais comerciais
voltados à solução de problemas de PL e MILP, em geral, resolvem os problemas de
PL em tempo computacional aceitável, porém, o aumento das variáveis inteiras em
problemas de MILP, geralmente resulta em aumento de tempo computacional para
sua resolução, em função da utilização da técnica de branch and bound, como
descreve Barboza (2005). O aumento do tempo computacional, pode resultar em
inviabilidade do uso do aplicativo, em função de muitas vezes, por aplicações práticas
do gestor, decisões devam ser tomadas de forma imediata a partir dos resultados do
problema (BARBOZA, 2005).
40
4 METODOLOGIA
4.1 Metodologia e modelo matemático para cálculo de carga metálica (ou
carregamento do forno)
A elaboração deste modelo matemático, referente ao cálculo de carga, foi realizada
com base em parâmetros químicos e deverá ser capaz de prever a quantidade
necessária de cada uma das matérias-primas para a composição do material “liga” a
ser formado no final da fusão. Este consiste em um modelo de otimização linear,
resolvido pelo método simplex, no suplemento Solver, do Microsoft Excel.
Por sua vez, o objetivo do modelo é a previsão do custo mínimo de produção de uma
liga, levando-se em consideração as restrições da empresa. O modelo calcula,
portanto, a quantidade de cada um dos materiais referentes à matéria-prima, em
quilos, e em percentual em relação à carga total do forno. Além disso, mostra se os
elementos para composição da liga estão dentro da faixa permitida. Por fim, exibe o
valor de custo para cada quilograma de material fundido.
Para este modelo matemático, deseja-se minimizar a função objetivo ‘F’, que
representa o custo para fabricação da liga desejada. Considerou-se que a principal
entrada seja de sucata, em função de custo de aquisição, se comparado às ligas
virgens (ligas formadas através de elementos puros sem utilização de sucata).
Portanto será tratado neste estudo, como representação, a entrada de sucata somada
às adições, sendo estas o restante dos elementos para composição da liga.
Neste modelo matemático, as equações foram identificadas com o índice “a”,
conforme segue no Quadro 1:
41
Quadro 1 - Equações e índices
Equações Índices
F = ∑ 𝑠𝑗𝑟𝑗𝑐𝑗𝑗 + ∑ 𝑎𝑘𝑟𝑘𝑐𝑘𝑘
(1a) 𝐹 função objetivo
𝑖 elemento químico;
𝑗 sucata;
𝑘 adição;
𝑠𝑗 carga de sucata;
𝑎𝑘 carga de adição;
𝑐𝑗 custo da sucata;
𝑑𝑘 custo da adição;
𝑤𝑖,𝑗 composição química da sucata j do i-ésimo elemento;
𝑣𝑖,𝑘 composição química da adição k do i-ésimo elemento;
𝑟𝑗 rendimento metálico da sucata;
𝑟𝑘 rendimento metálico da adição;
𝐼𝑚𝑎𝑥 valor máximo para o elemento conforme norma;
𝐼𝑚𝑖𝑚 valor mínimo para o elemento conforme norma;
𝑘𝑓 carga do forno;
𝑞𝑗 carga disponível de sucata;
𝑞𝑘 carga disponível de adição;
𝑘𝑓 carga total do forno.
∑ 𝒔𝒋𝑤𝒊,𝒋𝒋 + ∑ 𝑎𝑘𝑣𝑖,𝑘𝑘 = [𝒊] 𝑘𝑓
(2a)
∑ 𝒔𝒋
𝒋
+ ∑ 𝒂𝒌
𝒌
= 𝟏
(3a)
∑ 𝑠𝑗𝑘𝑓𝑗 + ∑ 𝑎𝑘𝑘𝑓𝑘 = 𝑘𝑓
(4a)
𝐼𝑚𝑖𝑚 ≤ ∑ 𝒔𝒋𝑤𝒊,𝒋𝑟𝒋
𝒋
+ ∑ 𝑎𝑘𝑣𝑖,𝑘𝑟𝒌
𝑘
≥ 𝐼𝑚𝑎𝑥
(5a)
𝒔𝒋 ≤ 𝑞𝒋
(6a)
𝒂𝒌 ≤ 𝑞𝒌 (7a)
42
4.1.1 Dados para modelo para carregamento:
Foram coletados os seguintes parâmetros para elaboração do modelo: ligas mais
fundidas (comuns por repetitividade), composições químicas destas ligas (conforme
empresa modelo), faixas de valores mínimo e máximo para cada elemento em cada
liga, tipos de matérias-primas, composição química das matérias-primas, rendimentos
metálicos das matérias-primas (conforme já utilizado na empresa, após cálculo de
rendimento e prática diária), e custo de aquisição das mesmas.
Para resolução do modelo de cálculo de carga (carregamento do forno), foram
utilizadas as ligas listadas no Quadro 2, e suas composições conforme parâmetros de
mínimo e máximo para cada elemento, utilizadas na empresa, conforme plataforma
KeytoMetals.
Quadro 2 – Composições químicas para ligas
Para análise dos resultados do modelo de cálculo de carga metálica, foram verificadas
informações relativas à carteira de pedidos, bem como os cálculos referentes às
corridas fundidas num horizonte de 30 dias. Estas informações foram listadas de forma
crescente por data, e então verificada repetitividade das ligas, para que pudessem ser
selecionadas as ligas mais comuns no período avaliado. Desta forma, deu-se origem
à Tabela 1, com a seleção das ligas fundidas no período. Desta tabela, foram
selecionadas as 4 primeiras ligas para análise de resultados com a utilização do
modelo.
43
Tabela 1 – Ligas fundidas em 30 dias
Ligas Relevância (%)
ASTM A532 IID 49,72
GG-25 19,24
SAE 1045 11,87
ASTM A297 Gr. HK 9,67
ASTM A532 IIIA 5,04
GGG-70 3,17
18CW 1,28
Total 100
Em relação às sucatas e adições disponíveis, foram consideradas para o modelo as
opções de matéria-prima conforme Quadro 3.
Quadro 3 – Composições químicas para sucatas e adições
Nota: os percentuais residuais não foram considerados no quadro acima.
Ainda para as sucatas e adições, a disponibilidade, o rendimento e os custos de
aquisição foram levantados e expressados no Quadro 4. A disponibilidade de matéria-
44
prima foi tratada como uma restrição para o modelo. O rendimento foi considerado
conforme valores praticados pela empresa, levando-se em consideração a
composição química utilizada neste estudo. Os custos de aquisição das matérias-
primas, bem como os custos de reutilização de retornos da fundição, foram listados e
associados no modelo, sendo estes valores a média da variação no período de 30
dias.
Quadro 4 – Disponibilidade e rendimento de sucatas e adições
Outras limitações do processo, que serão tratadas como restrição no modelo, são
referentes à capacidade do forno, que variam conforme a liga, e deverão ser
especificadas para cada situação.
45
4.1.2 Construção do modelo matemático de carregamento:
O modelo de programação linear foi resolvido pelo Simplex, através do suplemento
Solver, do Microsoft Excel, que, por sua vez, tem a função de otimizar os resultados,
maximizando ou minimizando os mesmos.
A função objetivo a qual se deseja minimizar, foi constituída pela soma da
multiplicação entre as cargas das j-ésimas sucatas e das k-ésimas adições, com seus
respectivos custos 𝑐𝑗 e 𝑑𝑘. Sabe-se que cada matéria-prima apresenta um rendimento
metálico diferente. Desta forma, a equação representa a soma do conjunto das
sucatas e do conjunto das adições, que devem ser multiplicados pelos seus
respectivos rendimentos 𝑟𝑗 e 𝑟𝑘. Leva-se em consideração também o custo de sucata
e adição, definindo a equação 1a como a função objetivo do modelo.
Sabendo que a carga das sucatas e das adições possuem composições químicas
específicas, variando o teor de cada elemento químico, obtém-se a equação 2a, em
que é levado em consideração o balanço de massa. Desta forma, a soma das sucatas
e adições com suas respectivas composições químicas do i-ésimo elemento, 𝑤𝑖,𝑗 e
𝑣𝑖,𝑗, devem ser iguais à massa desejada do i-ésimo elemento. Essa massa desejada
é constituída, portanto, da carga de um elemento i durante a fase de banho,
representado por [i], e a carga do banho metálico total do forno, representada por 𝐾𝑓.
Além disso, o somatório das cargas de sucatas e adições deverá ser igual à um (ou
cem por cento), para que não exceda a carga do forno, demonstrado na equação 3a.
Tem-se que a carga de cada matéria-prima indicada pelo Solver seja multiplicada pela
carga do forno 𝑘𝑓, para que se obtenha o valor percentual transformado em
quilogramas, facilitando a coleta física destas matérias-primas no processo de fusão.
Como mostrado na equação 4a, o somatório das quantidades indicadas pelo Solver
deverá ser igual a 𝑘𝑓.
Para conhecer o valor (teor) de cada elemento da liga a ser fundida, é multiplicado a
carga da matéria-prima, pelo valor do elemento contido nessa matéria-prima, e ainda
pelo seu respectivo rendimento. Este valor, deverá ser maior ou igual ao limite inferior
46
do elemento para a liga, e menor ou igual ao limite superior para o elemento na liga,
dando origem à inequação 5a.
Ainda, para que o modelo possa analisar as quantidades de carga disponíveis, sendo
estas sucatas ou adições, tratadas como restrições ao modelo, as variáveis 𝒔𝒋 e 𝒂𝒌
deverão ser menores ou iguais às disponibilidades de sucata 𝑞𝑗 e de adição 𝑞𝑘,
originando as inequações 6a e 7a.
4.2 Metodologia e modelo matemático para programação de fusão
O segundo modelo trabalhará, portanto, a organização ou arranjo propriamente dito
das ligas a serem fundidas para atendimento à carteira de pedidos. Este é um modelo
que atenderá principalmente o setor de PCP (Programação e Controle de Produção)
da empresa, para que o mesmo possa organizar melhor as tarefas, trabalhando com
o menor custo de produção a cada processo. Assim, como preparação do molde,
outros sub processos como fusão, tratamento, rebarbação, entre outros, são
planejados a partir do momento em que se disponibiliza para a fábrica uma rotina de
tarefas em função dos pedidos a serem atendidos. Este modelo auxiliará
incisivamente nas tomadas de decisões do dia-a-dia, com foco na resolução de
problemas táticos operacionais, determinando o quanto produzir, num horizonte de
planejamento finito. Este consiste em um modelo de otimização inteira linear mista,
resolvida pela função intlinprog, pela técnica de branch and bound, do aplicativo
MatLab.
Será analisado um dos modelos matemáticos elaborados por Araújo (2003) referente
às fundições de pequeno porte. Através dele foram feitas adaptações para a realidade
da empresa modelo em estudo, utilizando-se o software MatLab versão 2017
(R2017a). O objetivo, tanto de Araújo (2003) como do presente estudo é a
minimização dos custos através da minimização da incidência de penalidades. Para
as adaptações no modelo foram verificadas as condições de trabalho e as variáveis
dos processos de uma fundição de pequeno porte, através do levantamento de dados
e históricos de produção na empresa modelo. Após análise dos parâmetros
47
quantitativos do processo de fusão da empresa, referentes aos números limitadores
no processo produtivo e que são levados em consideração para elaboração da
programação de fusão, foram observadas as dificuldades e pontos de melhorias. A
partir daí, foram estabelecidos dados relevantes para a proposição das restrições.
Contudo, diferentemente do modelo de Araújo (2003) que exclui os itens que não
somam uma carga mínima para fusão, neste presente estudo, tais itens serão
considerados, e verificadas as menores penalidades em função de atraso ou de
geração de estoque.
O objetivo do modelo é a minimização das penalidades envolvidas no processo, para
melhor atendimento da carteira de pedidos. Estas penalidades são referentes à
atrasos e antecipações de fusões (que geram estoques), bem como penalidade por
troca de liga a cada corrida (chamada de preparação do forno), priorizando-se desta
forma, a fusão de uma sequência de itens da mesma liga.
O resultado deste modelo determinará, portanto, quais os pedidos serão atendidos,
em quais dias, e em quais quantidades de itens. Além disso, ele deverá informar os
desvios das três penalidades em relação às suas respectivas metas (de se atender
todos os pedidos no prazo, não realizando atrasos, adiantamentos, e variando pouco
a troca de ligas a serem fundidas). Por fim, as três penalidades serão somadas,
perfazendo um valor único, que deverá ser o ponto do objetivo principal do modelo,
sendo este de minimizá-lo.
Neste modelo matemático, as equações foram identificadas com o índice “b”,
conforme seguem Quadros 5 e 6:
48
Quadro 5 – Equações e índices
Equações Índices
𝐹 = ∑ ∑(
𝑇
𝑡=1
𝑁
𝑖=1
𝐻𝑚𝑖,𝑡𝐼𝑚𝑖,𝑡 + 𝐻𝑀𝑖,𝑡𝐼𝑀𝑖,𝑡) + ∑ ∑(
𝑇
𝑡=1
𝐾
𝑘=1
𝑆𝑘𝑍𝑡𝑘)
(1b)
𝐹 função objetivo;
𝑖 tipo de item;
𝑡 período de tempo (corrida/carga do forno);
𝑘 tipo de liga;
𝐶𝑎𝑝 capacidade máxima do forno (variável conforme liga);
𝐶𝑎𝑝𝑚𝑖𝑛 capacidade mínima do forno (independente da liga);
𝐿 número de cargas do forno por dia;
𝑟𝑜 peso unitário do item i;
𝑑 demanda;
𝑆 indicação de liga (sendo 1 para liga do item, 0 para demais
ligas);
𝑆(𝑘) conjunto de itens i que utilizam a liga k;
𝐻𝑚 penalidade por atraso (valor);
𝐻𝑀 penalidade por adiantamento;
𝑠 penalidade por troca de liga (preparação do forno);
𝐼𝑚0 condição inicial – peças já em atraso em períodos anteriores;
𝐼𝑀0 condição inicial – peças já adiantadas em períodos
anteriores;
𝐼𝑀𝑖,𝑡−1 − 𝐼𝑚𝑖,𝑡−1 + 𝑋𝑖,𝑡 − 𝐼𝑀𝑖,𝑡 + 𝐼𝑚𝑖,𝑡 = 𝑑𝑖,𝑡
𝑖 = 1, … , 𝑁 𝑡 = 1, … , 𝑇 (2b)
𝑋𝑖,𝑡 ≥ 0 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎
𝑖 = 1, … , 𝑁 𝑡 = 1, … , 𝑇
(3b)
𝐼𝑀𝑖,𝑡 𝑒 𝐼𝑚𝑖,𝑡 ≥ 0
𝑖 = 1, … , 𝑁 𝑡 = 1, … , 𝑇
(4b)
𝐶𝑎𝑝𝑚𝑖𝑛𝑡𝑘 ≥ ∑ 𝑟𝑜. 𝑋𝑖𝑡
𝑖∈𝑆(𝑘)
≤ 𝐶𝑎𝑝𝑡𝑘
𝑘 = 1, … , 𝐾 𝑡 = 1, … , 𝑇
(5b)
𝑍𝑡𝑘 ≥ 𝑌𝑡
𝑘 − 𝑌𝑡−1𝑘
𝑘 = 1, … , 𝐾 𝑡 = 1, … , 𝑇
(6b)
49
Quadro 6 - Equações e Índices (continuação)
Equações Índices
∑ 𝑌𝑡𝑘
𝐾
𝑘=1
≤ 1
𝑡 = 1, … , 𝑇
(7b)
𝑌0 condição inicial – indicação se o forno já se encontrava com
alguma liga anterior ao período em análise;
𝑁 número de itens;
𝑇 número períodos;
𝐾 número de ligas;
𝑋 programação de itens i no período t;
𝐼𝑚 itens i atrasados no período t;
𝐼𝑀 itens i adiantados no período t;
𝑌 indica 1 se o forno é preparado para fundir a liga k no período
t, e 0 caso contrário;
𝑍 incidência de custo sobre a penalidade de troca de liga (1,0);
𝑌𝑡𝑘 ∈ {0,1} (𝑌0
𝑘 = 0)
𝑘 = 1, … , 𝐾 𝑡 = 1, … , 𝑇
(8b)
𝑍𝑡𝑘 ≥ 0
𝑘 = 1, … , 𝐾 𝑡 = 1, … , 𝑇 (9b)
50
4.2.1 Dados para o modelo para programação:
Para a programação no software do modelo de programação das cargas de fusão,
foram coletadas algumas informações (Quadro 7) na empresa modelo que são
restrições do processo. Para simulação da carteira de pedidos, foram utilizados
valores fictícios para variadas demandas e avaliação de funcionamento do modelo.
A quantidade de ligas fundidas na empresa, variando entre ferro e aço, é considerada
indefinida em função da similaridade de normas, e o fato de que pequenas alterações
solicitadas pelos clientes, tornam àquela uma nova liga específica. Contudo,
desconsiderando alterações solicitadas pelos clientes, a empresa apresenta uma
gama de aproximadamente 45 possibilidades de ligas que podem ser fundidas na
empresa, respeitando as condições da mesma.
Quadro 7 – Parâmetros limitantes do processo de fusão
Parâmetro Quantificação
Capacidade máx. do forno para aço 1000 kg/corrida
Capacidade máx. do forno para ferro 1100 kg/corrida
Carga mín. do forno para fusão 600 kg (independente se aço ou ferro)
Média de corridas por dia 4
Horizonte de programação de curto prazo 2 dias
Variação média de peso das peças
(com canal)
10 a 900 kg (predominância de peças mais
leves)
A programação das corridas, contemplando os pedidos em carteira, é realizada para
um horizonte de 2 dias. Ou seja, no dia atual, o programador irá planejar a carga para
os dois dias seguintes. Isso ocorre para a programação de curto prazo, pois em função
de vendas, e possíveis solicitações de urgências por parte do cliente, ou reposições
de peças que deverão ser retrabalhadas, a programação pode ser alterada se
necessário.
51
A empresa opera somente com um turno em horário comercial. Contudo, alguns
funcionários tem um horário especial de trabalho anteriores a este horário para que
sejam feitas algumas preparações para funcionamento do forno, como por exemplo
limpeza da área de vazamento, acionamento do forno para aquecimento, entre outros.
O forno é acionado para uma média de 4 corridas em alguns casos extremos, e de
acordo com quantidade e tipo de peças são trabalhadas 5 corridas.
Importante salientar que para o modelo, considerou-se que a moldação esteja apta
para atender a programação da fusão para a data indicada, ou seja, para a data
programada da fusão, a moldação já estará com os moldes prontos para serem
utilizados.
4.2.2 Construção do modelo de programação
Para o desenvolvimento deste modelo matemático, da mesma forma que o primeiro
modelo, deseja-se minimizar a função objetivo ‘F’, que, neste caso representa o custo
referente às penalidades sofridas e função de adiantamento e atraso na produção, e
alternância entre ligas diferentes entre os períodos subsequentes. Para cada uma das
penalidades abordadas são considerados pesos diferentes, podendo ser alterados
conforme a realidade e necessidade de priorização da empresa, dado o momento
vivido pela mesma.
Para este modelo, será, portanto, analisado o modelo de Araújo (2003), adaptado, e
programado através do MatLab, após definição das equações matemáticas. O modelo
em questão será considerado um MILP, modelo de programação linear inteira mista.
Para a função objetivo (1b), tem-se que a primeira parte diz respeito às penalidades
referentes aos atrasos e antecipações, e na segunda parte, tendo-se definidas
(através das demais equações) as restrições, envolvendo o quesito de trocas de ligas,
completa-se a função objetivo com tal penalidade referente à preparação do forno.
A segunda equação é justamente em função da demanda solicitada e a produção a
ser realizada de acordo com a programação. É entendido que o modelo deve prezar
52
pela igualdade entre os termos, buscando tornar a quantidade programada igual a
demanda, respeitando as demais restrições que serão apresentadas a seguir. Para
igualar os dois lados, como citado, é necessário se observar as condições iniciais, ou
seja, voltar o olhar para períodos anteriores ao que se está sendo analisando.
Contudo, ainda, é avaliado o caso de haver algum item atrasado ou adiantado vindo
de outros períodos, tratado como condição inicial (IM0 e Im0), podendo por exemplo
se iniciar uma programação de produção sem nenhum item atrasado, e todos as
condições zeradas, ou não. Tais condições (atraso ou adiantamento) são somadas ao
tempo t0 em atrasos ou adiantamentos. Desta forma, tem-se a equação 2b. São
somadas então as quantidades de itens estocados no período anterior, a quantidade
de itens programados para o período atual e a quantidade de itens atrasados no
período atual. Ao resultado é subtraída a quantidade de itens atrasados no período
anterior e a quantidade de itens adiantados no período atual. Por fim, esse cálculo
deve ser igual à demanda.
Em seguida, analisa-se pontos em relação às condições do sistema. Entende-se que
a programação final (Xit) deve ser composta por números inteiros, pois, obviamente
não serão programados itens incompletos. A outra condição é que as quantidades de
itens atrasados ou adiantados devem ser tratadas como não negativos. Estas
condições formulam as inequações 3b e 4b.
Sendo o forno o principal equipamento de uma fundição, que pode ser um gargalo no
processo produtivo, o modelo matemático deve considerar principalmente uma
restrição básica à toda e qualquer fundição, que diz respeito à capacidade máxima do
forno por período, relacionada à carga nele disposta para fusão. Para o caso, serão
consideradas capacidades diferentes de acordo com a liga k. Além disso, deve-se
considerar também que exista uma carga mínima para funcionamento do forno, em
função de custos de produção. A carga mínima foi considerada a mesma,
independente da liga. Desta forma, obtém-se a inequação 5b. Para tal é definido
previamente um grupo de itens que pertençam ao conjunto de itens i que utilizam a
liga k, pois cada item utiliza somente um tipo de liga, determinado como S(k).
53
Definindo que exista o conjunto de itens com determinada liga, parte-se para as
demais inequações condicionais, que demonstram restrições ao qual o modelo está
submetido, sendo formuladas as 6b, 7b, 8b e 9b.
A inequação 6b diz respeito a mudanças de liga. É forçado ao sistema que priorize a
não mudança, pois a função objetivo busca minimização. Desta forma, comparando-
se o período atual, com o período anterior (em Y), que são valores 1 ou 0 (garantida
através da Ineq8b, que determina que sejam números pertencentes ao conjunto {0,1},
tornando-os binários), tem-se que, se o resultado mostrar que houve troca de ligas
(resultado diferente de 0) entre os dois períodos analisados, tem-se incidência de
custo em Z.
Na inequação seguinte, 7b, tem-se a restrição de que apenas uma liga pode ser
produzida em cada carga do forno, ou seja, somente uma liga por período. Salienta-
se que períodos ociosos (onde nenhuma peça é fundida) são representados como
sendo a mesma liga do período anterior, para que não seja cobrado custo de
preparação. A variação de ligas em um mesmo período, é evitada a partir do momento
em que se obrigada pela inequação que a soma das preparações de uma liga k em
um dado período t, seja sempre menor ou igual a 1. Enquanto isso a 8b é responsável
por apontar para o modelo quando a liga k é acionada, variando entre 0 e 1, para
utilização posterior no custo. Já a inequação 9b, implica que o valor de Z seja maior
ou igual a 0, e por consequência de inequações anteriores, torna, consequentemente
seu resultado em um número binário. A programação em MatLab pode ser visualizada
em Apêndice A.
54
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO
5.1 Modelo cálculo de carga metálica
O modelo matemático conforme descrito na metodologia, foi implementado no
suplemento Solver do Microsoft Excel, no modo Simplex (programação linear) e deu
origem à uma ferramenta de cálculo de custo de fabricação por quilo para cada uma
das ligas. Através desta ferramenta, o usuário pode manipular os números de acordo
com a realidade do momento da empresa, ou seja, os custos de aquisição e as
composições das matérias-primas podem ser atualizadas, bem como gerir sobre a
quantidade de matéria-prima disponível. Além disso, é possível ainda comparar
facilmente valores de fabricação seguindo a decisão conforme a otimização do Solver,
e o cálculo manual conforme experiência do usuário. No Anexo C, é possível visualizar
a disposição das informações, bem como o layout da ferramenta criada.
Para realizar uma comparação, e a partir desta avaliar a eficácia do modelo, através
da ferramenta disponibilizada, foram refeitos os cálculos de carga para diferentes
ligas, conforme a disponibilidade de matéria-prima para a época do cálculo. A
comparação foi realizada utilizando-se dos percentuais conforme a empresa já estava
habituada a trabalhar, e com o modelo de cálculo conforme proposto neste estudo.
Importante salientar que foram mantidos os mesmos parâmetros de composição
química das matérias-primas e das normas de cada liga, bem como os custos de
aquisição, para os dois cálculos comparados. Para o cálculo no modelo apresentado,
somente é necessário selecionar a liga desejada, conferir matérias-primas disponíveis
e certificar-se que os custos de aquisição estejam atualizados conforme setor de
suprimentos. Estando conformes, somente é necessário solicitar que o Solver calcule
o ponto ótimo. Para o caso do cálculo realizado anteriormente pela empresa, os
percentuais foram adicionados manualmente, e a soma realizada e comparada na
ferramenta.
O primeiro resultado, relativo ao custo de fabricação das ligas, é demonstrado na
Tabela 2 e comparado através do Gráfico 1 a diferença percentual do valor obtido
através do modelo, em relação ao valor obtido pelos cálculos comuns da empresa.
55
Tabela 2 – Comparação de custo de fabricação de ligas (R$/kg)
Ligas Empresa Modelo
ASTM A532 IID 2,96 2,35
GG-25 0,97 0,76
SAE 1045 1,27 0,86
ASTM A297 Gr. HK 27,72 25,37
Gráfico 1 - Comparação de custo de fabricação de ligas (%)
Além de observar a relação da diminuição do custo direto de fabricação, foi
contabilizado o tempo que o usuário levava para realizar o cálculo até atingir os
parâmetros da norma. O usuário refez cálculo das quatro ligas em análise utilizando
a forma padrão da empresa, e em seguida através do modelo proposto. Para o
modelo, o tempo foi de 1 minuto, independente da liga. Somente era necessário
conferir a disponibilidade de matéria-prima, e a data de atualização de custos de
aquisição. Para o cálculo antigo, da maneira usual da empresa, em que o usuário
utiliza da sua própria experiência, adquirida ao longo da carreira e das práticas na
empresa, este, deve ficar simulando combinações de cargas de matérias primas, e
desta forma, nem sempre atinge o custo ótimo para a situação. Notou-se que as ligas
mais simples apresentavam um padrão, uma rotina para as matérias-primas
utilizadas. Desta forma, o tempo de processamento para o cálculo se dava de forma
mais ágil, entretanto, não demonstrava devida importância para a relação de custo
destas combinações. As demais ligas, por ter conhecimento de serem ligas mais
caras, observou-se maior atenção no cálculo de carregamento, buscando-se de fato
minimizar os custos, como demonstrado no Gráfico 2.
100% 100% 100% 100%
79% 78%68%
92%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
ASTM A532 IID GG-25 SAE 1045 ASTM A217 Gr. HK
Comparação Custo de Liga %
Empresa Modelo
56
Gráfico 2 - Comparação tempo de processamento para cálculo de carga (min)
Simultaneamente à avaliação do tempo consumido para o cálculo de carregamento,
foram contadas as tentativas de combinações até se chegar no cálculo ideal segundo
o usuário. Para o modelo, como esperado, foi considerada apenas 1 tentativa, pois o
mesmo apresenta sempre o ponto ótimo para a situação. Já para o cálculo manual
foram contabilizadas as tentativas conforme Gráfico 3.
Gráfico 3 – Número de tentativas para atingir os parâmetros da norma
Após análise de forma geral, levando-se em consideração as 4 ligas, foi realizada
análise para cada uma das ligas, relacionando o custo de fabricação dos últimos 5
pedidos, comparando-se com os valores obtidos através do modelo. Os resultados
são apresentados nas Tabelas 3, 4, 5 e 6 e Gráficos 4, 5, 6 e 7.
00:0700:04 00:04
00:13
00:28
00:01 00:01 00:01 00:0100:04
00:00
00:07
00:14
00:21
00:28
00:36
ASTM A532 IID GG-25 SAE 1045 ASTM A217 Gr.HK
Total
Tempo de Processamento Cálculo de Carga
Empresa Modelo
7
3 4
10
24
1 1 1 14
0
5
10
15
20
25
30
ASTM A532 IID GG-25 SAE 1045 ASTM A217 Gr. HK Total
Número de tentativas para atingir os parâmetros da Norma
Empresa Modelo
57
Tabela 3 – Custo de fabricação para 5 pedidos de ASTM A532 IID R$/kg
Custo (R$/kg)
Pedidos Qtd. Peças (und) Peso Unt. (kg) Empresa Modelo
Pedido 1 10 65 R$ 3,10 R$ 3,10
Pedido 2 25 85 R$ 2,84 R$ 2,75
Pedido 3 7 89 R$ 2,75 R$ 2,57
Pedido 4 3 175 R$ 3,20 R$ 3,08
Pedido 5 6 750 R$ 2,95 R$ 2,75
Total R$ 24.718,25 R$ 23.451,86
Economia (R$ / %) R$ 1.266,39 5,1 %
Tabela 4 – Custo de fabricação para 5 pedidos de GG-25 (R$/kg)
Custo (R$/kg)
Pedidos Qtd. Peças (und) Peso Unt. (kg) Empresa Modelo
Pedido 1 5 15 R$ 1,10 R$ 0,92
Pedido 2 125 35 R$ 0,85 R$ 0,65
Pedido 3 10 27 R$ 0,99 R$ 0,79
Pedido 4 25 75 R$ 0,90 R$ 0,75
Pedido 5 5 15 R$ 0,97 R$ 0,85
Total R$ 5.828,80 R$ 4.596,05
Economia (R$ / %) R$ 1.232,75 21,1%
Tabela 5 – Custo de fabricação para 5 pedidos de SAE 1045 (R$/kg)
Custo (R$/kg)
Pedidos Qtd. Peças (und) Peso Unt. (kg) Empresa Modelo
Pedido 1 5 157 R$ 1,41 R$ 1,10
Pedido 2 10 324 R$ 1,38 R$ 0,90
Pedido 3 32 29 R$ 1,10 R$ 0,89
Pedido 4 142 35 R$ 1,27 R$ 0,95
Pedido 5 3 750 R$ 1,05 R$ 0,97
Total R$ 15.273,25 R$ 11.509,42
Economia (R$ / %) R$ 3.763,83 24,6%
Tabela 6 – Custo de fabricação para 5 pedidos de ASTM A297 Gr HK (R$/kg)
Custo (R$/kg)
Pedidos Qtd. Peças (und) Peso Unt. (kg) Empresa Modelo
Pedido 1 4 350 R$ 29,71 R$ 28,45
Pedido 2 5 249 R$ 27,43 R$ 24,93
Pedido 3 2 598 R$ 28,54 R$ 27,93
Pedido 4 7 145 R$ 27,75 R$ 25,47
Pedido 5 4 350 R$ 30,86 R$ 30,39
Total R$181.248,44 R$172.670,18
Economia (R$ / %) R$ 8.578,26 4,7%
58
Gráfico 4 - Custo de fabricação para 5 pedidos de ASTM A532 IID R$/kg
Gráfico 5 - Custo de fabricação para 5 pedidos de GG-25 (R$/kg)
R$
-
R$
6.0
35
,00
R$
1.7
13
,25
R$
1.6
80
,00
R$
13
.27
5,0
0
R$
2.0
15
,00
R$
5.8
43
,75
R$
1.6
01
,11
R$
1.6
17
,00
R$
12
.37
5,0
0
R$-
R$2.000,00
R$4.000,00
R$6.000,00
R$8.000,00
R$10.000,00
R$12.000,00
R$14.000,00
Pedido 1 Pedido 2 Pedido 3 Pedido 4 Pedido 5
Comparação de valores últimos 5 pedidos(ASTM A532 IID)
Empresa Modelo
R$
82
,50
R$
3.7
18
,75
R$
26
7,3
0
R$
1.6
87
,50
R$
72
,75
R$
69
,00
R$
2.8
43
,75
R$
21
3,3
0
R$
1.4
06
,25
R$
63
,75
R$-
R$500,00
R$1.000,00
R$1.500,00
R$2.000,00
R$2.500,00
R$3.000,00
R$3.500,00
R$4.000,00
Pedido 1 Pedido 2 Pedido 3 Pedido 4 Pedido 5
Comparação de valores últimos 5 pedidos(GG-25)
Empresa Modelo
59
Gráfico 6 - Custo de fabricação para 5 pedidos de SAE 1045 (R$/kg)
Gráfico 7 - Custo de fabricação para 5 pedidos de ASTM A297 Gr.HK (R$/kg)
Por fim, segue Gráfico 8, representando um comparativo total para os vinte pedidos
analisados e, consequentemente, a possível redução de custo que teria sido possível
nestes pedidos, que representa um valor total de R$14.841,23, perfazendo uma
economia total possível de 6,5%.
R$
1.1
06
,85
R$
4.4
71
,20
R$
1.0
20
,80
R$
6.3
11
,90
R$
2.3
62
,50
R$
86
3,5
0 R
$2
.91
6,0
0
R$
82
5,9
2
R$
4.7
21
,50
R$
2.1
82
,50
R$-
R$1.000,00
R$2.000,00
R$3.000,00
R$4.000,00
R$5.000,00
R$6.000,00
R$7.000,00
Pedido 1 Pedido 2 Pedido 3 Pedido 4 Pedido 5
Comparação de valores últimos 5 pedidos(SAE 1045)
Empresa Modelo
R$
41
.59
4,0
0
R$
34
.15
0,3
5
R$
34
.13
3,8
4
R$
28
.16
6,2
5
R$
43
.20
4,0
0
R$
39
.83
0,0
0
R$
31
.03
7,8
5
R$
33
.40
4,2
8
R$
25
.85
2,0
5 R$
42
.54
6,0
0
R$-
R$5.000,00
R$10.000,00
R$15.000,00
R$20.000,00
R$25.000,00
R$30.000,00
R$35.000,00
R$40.000,00
R$45.000,00
R$50.000,00
Pedido 1 Pedido 2 Pedido 3 Pedido 4 Pedido 5
Comparação de valores últimos 5 pedidos(ASTM A297 Gr. HK)
Empresa Modelo
60
Gráfico 8 – Comparação de valores dos 20 pedidos analisados
5.2 Modelo de programação de fusão
Para verificar o desempenho do método implementado e sua eficiência, dados da
carteira de pedidos da empresa modelo foram utilizados. As penalidades por atraso,
adiantamento e preparação do forno (troca de liga entre períodos consecutivos) foram
estabelecidas conforme a prioridade da empresa modelo, contudo, estão preparadas
para serem alteradas a qualquer instante. A priorização dada pela empresa foi
estabelecida sendo o atraso como o mais importante, e o adiantamento e preparação
tendo o mesmo peso. Ainda, a penalidade por atraso é variável e gradativa entre os
períodos do dia, forçando o modelo a evitar atraso de um dia para outro. Desta forma
as penalidades se mantiveram, para as situações analisadas conforme matrizes as
apresentadas na Tabela 7.
Para as primeiras simulações (Teste 1), à nível de validação do modelo, serão fixados
alguns dados de entrada conforme a Tabela 8, que, contudo, podem ser variáveis de
acordo com a necessidade, condições instaladas, e carteira de pedidos da empresa.
R$
24
.71
8,2
5
R$
5.8
28
,80
R$
15
.27
3,2
5
R$
18
1.2
48
,44
R$
23
.45
1,8
6
R$
4.5
96
,05
R$
11
.50
9,4
2
R$
17
2.6
70
,18
R$- R$20.000,00 R$40.000,00 R$60.000,00 R$80.000,00
R$100.000,00 R$120.000,00 R$140.000,00 R$160.000,00 R$180.000,00 R$200.000,00
Pedidos ASTM A532IID
Pedidos GG-25 Pedidos SAE 1045 Pedidos ASTM A297Gr. HK
Comparação de valores entre pedidos
Empresa Modelo
61
Tabela 7 – Valores de penalidades
% Hm = Penalidade por atraso (gradual - dia)
Dia 1 Dia 2
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
i1 0,15 0,35 0,55 0,75 0,15 0,35 0,55 0,75
i2 0,15 0,35 0,55 0,75 0,15 0,35 0,55 0,75
i3 0,15 0,35 0,55 0,75 0,15 0,35 0,55 0,75
i4 0,15 0,35 0,55 0,75 0,15 0,35 0,55 0,75
% HM = Penalidade por antecipação
Dia 1 Dia 2
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
i1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
i2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
i3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
i4 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
% s = Penalidade por troca de liga (em função da liga)
k1 k2 k3 k4
i1 0,25 0,25 0,25 0,25
i2 0,25 0,25 0,25 0,25
i3 0,25 0,25 0,25 0,25
i4 0,25 0,25 0,25 0,25
Tabela 8 – Dados de entrada para validação do modelo
Cap (Capacidade máxima do forno por período em função da liga)
k1 k2 k3 k4
1100 1000 1000 800
Capmin (Capacidade mínima do forno por período em função da liga)
k1 k2 k3 k4
600 600 600 400
dias L (cargas diárias) T (períodos totais)
2 4 8
ro (peso unitário do item)
i1 i2 i3 i4
35 20 55 250
Para verificação de eficiência do modelo, foram consideradas variações de demanda
e cada item fabricado com uma liga diferente (k1, k2, k3 e k4). As condições iniciais
(Im0, IM0 e Y0) foram zeradas. As demandas observadas constam distribuídas na
Tabela 9.
62
Tabela 9 – Demandas analisadas para validação do modelo
Demanda 1
Dia 1 Dia 2
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
i1 60 0 0 0 0 0 0 0
i2 0 0 0 0 40 40 0 0
i3 0 0 0 0 0 0 0 14
i4 0 1 0 0 0 0 0
Demanda 2
Dia 1 Dia 2
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
i1 0 0 0 0 0 0 20 0
i2 50 0 0 0 0 0 0 0
i3 0 0 5 0 0 0 0 0
i4 0 1 0 0 0 0 0 0
Demanda 3
Dia 1 Dia 2
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
i1 15 0 0 0 0 0 0 3
i2 0 0 0 0 0 0 0 0
i3 0 35 0 0 0 0 45 0
i4 6 0 0 0 0 0 0 0
O problema traduzido no modelo matemático estudado, foi resolvido através de uma
programação linear inteira mista (MILP), através da função intliprog. Esta função é um
algoritmo que, para este caso em estudo (além de outros problemas), busca encontrar
soluções de número inteiro possíveis utilizando heurísticas, através da técnica de
Branch and Bound para pesquisar sistematicamente a solução ideal, como explanado
em fundamentação.
Para verificação de eficácia do modelo, compilou-se os resultados para as três
demandas programadas através da Tabela 10.
Tabela 10 – Resultados demandas analisadas para validação do modelo
Demanda 1 Demanda 2 Demanda 3
Solução ótima encontrada sim sim sim
Lower Bound (Limite inferior) 5,876409 3,19375 27,528947
Nós explorados B&B 5 87 60
Tempo (s) 0,08 0,03 0,03
Quantidade estocada (und) 1 7 2
Quantidade estocada (kg) 250 580 110
63
A solução ótima foi encontrada para os três casos, exibindo o resultado da
programação (X). A condição de parada estabelecida retornou um número inteiro
parando o algoritmo, com valores de 1 ou 2, significando que a solução foi um ponto
inteiro viável encontrado (2), ou que a função convergiu para a solução. Os dados
completos da programação (X, Im, IM, Y, z, Td e Tp) deste (Teste 1) se encontram no
Anexo D.
Para uma segunda verificação do modelo (Teste 2), estressou-se o mesmo, a fim de
aproximá-lo das rotinas com alta demanda na empresa modelo, para verificar sua
eficiência em relação à programação em casos extremos. O número de itens (N) foi
aumentado para trinta, alterados seus pesos unitários (ro), ligas (k), as condições
iniciais (Im0, IM0 e Y0) e, consequentemente, a demanda (d). Tais dados de entrada
se encontram no Anexo E.
Como, para o caso, a variação da demanda, das ligas, das condições iniciais, pesos
unitários e capacidades são diversas, notou-se um significativo aumento no número
de nós analisados através do método B&B.
Apesar de terem sido aplicados mais cortes de geração para restrição da solução
ótima, o modelo não apresentou heurística, e encontrou uma solução ótima. Foram
comparados alguns números relativos ao Teste 1 e ao Teste 2, conforme Gráfico 9.
64
Gráfico 9 – Comparação de resultados - Testes 1 e 2
Nota-se que, além da eficiência em se resolver um problema mais complexo, com
considerável quantidade de itens a mais, bem como mais 1 dia de programação, o
modelo buscou uma programação equilibrada, visto que, mesmo aumentando-se
muito a quantidade de itens, a relação de itens adiantados, ou seja, que geraram
estoque, foram baixas para o segundo teste.
Assim como no primeiro teste, a solução ótima foi encontrada a partir da condição de
parada retornando um número inteiro parando o algoritmo. Os dados completos da
programação (X, Im, IM, Y, z, Td e Tp) deste (Teste 2) se encontram no Anexo F.
Como último teste (Teste 3), foi verificada a sensibilidade do modelo em relação às
situações cotidianas da empresa, principalmente no que se diz respeito à carga
mínima, envolvendo, consequentemente estoques e/ou atrasos. Para este teste,
retornaram-se os dados de entrada conforme a Tabela 8 anteriormente trabalhada no
Teste 1, referentes à apenas 4 itens (não sendo necessariamente colocados os quatro
na demanda) para facilitar visualização das consequências da programação, e
analisar a sensibilidade do mesmo. Para esta análise de sensibilidade foram testados
cenários de demandas diversos, e de acordo com os resultados de programação para
a primeira condição, ajustes foram realizados para verificação de um novo resultado.
4
5,876409
5
250
4
3,19375
87
580
4
27,528947
60
110
30
57,646411
816
43
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
Número de itens - N
Lower Bound (Limite inferior)
Nós explorados B&B
Quantidade estocada (kg)
Comparação de resultados (Testes 1 e 2)
Teste 2 Teste 1 - Demanda 3 Teste 1 - Demanda 2 Teste 1 - Demanda 1
65
A primeira situação analisada foi em relação à falta de carga para preenchimento da
capacidade mínima, observando-se 2 itens de mesma liga. As condições avaliadas
foram, respectivamente: 1) Penalidades conforme Tabela 7; 2) Penalidade HM
(adiantamento) elevada de 0,25 para 0,5; 3) Penalidade HM (adiantamento) elevada
de 0,25 para 0,5. Para as 3 condições a demanda permaneceu a mesma, e a liga dos
itens também permaneceu sendo a mesma (k1):
d=[13,0,0,0,0,0,0,0; %i1 0,0,2,0,0,0,0,0]; %i2
Os resultados, comparativos entre as 3 condições foram compilados no Gráfico 10, e
a programação completa em Anexo G.
Gráfico 10 – Teste 3 - Sensibilidade - Demanda 1
A primeira condição se apresentou como mais favorável, visto do valor custo
apresentado, em função de uma menor penalidade para adiantamento, já que a
programação foi realizada antecipando a fabricação do item 2, e ainda produzindo um
estoque de 3 peças para o item 1 (independente da condição analisada).
Uma segunda situação, ainda observando situações onde a carga mínima não foi
atingida, foi analisado em separado somente o item (item 2). As condições avaliadas
foram, respectivamente: 1) Penalidades conforme Tabela 7; 2) Penalidade HM
(adiantamento) e Hm (atraso) foram igualadas em 0,25; 3) Penalidade HM
3,120767
11
3
3,365748
13
3
4,126174
11
3
0 2 4 6 8 10 12 14
Lower Bound (Limite inferior)
Nós explorados B&B
Quantidade estocada (und)
Teste 3 - Sensibilidade - Demanda 1
Condição 3 Condição 2 Condição 1
66
(adiantamento) elevada de 0,25 para 0,75 e Hm (atraso) se manteve em 0,25; 4)
Alterada a liga do item avaliado (item 2) para a liga 2, para evitar que se coincida com
a liga do item 1. Para as 4 condições a demanda permaneceu a mesma:
d=[0,10,10,0,0,0,0,0]; %i2
Os resultados, comparativos entre as 4 condições foram compilados no Gráfico 11, e
a programação completa em Anexo H.
Gráfico 11 – Teste 3 - Sensibilidade - Demanda 2
Para a segunda demanda, foi analisada 1 quarta condição, em função dos resultados
obtidos nas condições precedentes a esta. Ocorre que, para as três primeiras
condições estabelecidas, independente da variação de custo de penalidade relativa à
antecipação ou atraso, o modelo permanecia programando fusão para a quantidade
solicitados na demanda para o item 1, porém, como não atingiram a carga mínima
para a liga k1 no período, foi programado também, mesmo sem estar na demanda, 6
unidades do item 1, que constava ser da mesma liga, e sua fabricação mais barata
que o próprio item 2. Desta forma, para avaliar o comportamento do item 1, sem que
a programação buscasse por demais itens diferentes, alterou-se a liga do item 2 para
k2, forçando-o a ser exclusivo da liga, e desta forma, trabalhar unicamente com este
item. Para esta última condição, o modelo apresentou uma programação de atraso
4,850000
15
6
3,416667
11
6
6,201923
21
6
6,208333
9
10
0 5 10 15 20 25
Lower Bound (Limite inferior)
Nós explorados B&B
Quantidade estocada (und)
Teste 3 - Sensibilidade - Demanda 2
Condição 4 Condição 3 Condição 2 Condição 1
67
em um período de 10 unidades, e adiantamento de mais 10 unidades do próprio item
2, carregando este custo (estoque) para os períodos subsequentes, e totalizando 30
unidades.
A terceira situação de demanda analisada, levou em consideração 4 itens diferentes
em demanda, que perfaçam a carga mínima necessária, porém, as penalidades de
atraso e antecipação alteradas, simulando contextos em que a empresa necessite
priorizar algum item no processo para atender alguma urgência de cliente, por
exemplo. Cada item apresentava uma liga diferente, e para as 4 condições a demanda
permaneceu a mesma:
% d(i,t) d=[0,0,0,40,0,0,20,0; %i1 0,30,0,0,0,65,0,0; %i2 0,16,16,0,0,0,0,0; %i3 1, 0, 0, 0, 0, 0,0,1]; %i4
As condições analisadas foram, na sequência: 1) Penalidades conforme Tabela 7; 2)
Alterado valor de penalidade dos itens. Para os itens 1 e 3, inseriu-se uma penalidade
gradual crescente (0.15, 0.35, 0.55, 0.75) no valor de adiantamento, e para os itens 2
e 4, reduziu-se a penalidade de atraso para o valor fixo de 0,15; 3) Manteve-se os
valores de penalidade conforme a condição anterior, aumentando para um número
grande (5) apenas a penalidade de atraso para o item 4; 4) Nesta última condição as
penalidades foram retornadas para o padrão da Tabela 7, exceto a penalidade
específica para troca de liga para a k1, que foi aumentada para o valor 2. Além disso,
inseriu-se uma condição inicial de 20 peças já em atraso de períodos anteriores para
o item 1, e o forno já estar abastecido, do período anterior com a liga 2. Os resultados,
comparativos entre as 4 condições foram compilados no Gráfico 12, e a programação
completa em Anexo I.
68
Gráfico 12 – Teste 3 - Sensibilidade - Demanda 3
Em comparação de 4 situações estratégicas diferentes para a mesma demanda,
percebe-se que o modelo é sensível às alterações individuais de penalidades,
demonstrando resultados relativamente próximos em alguns parâmetros, mas
completamente divergentes em outros.
A evolução do quadro de custo, dada a condição 1 até a condição 4, é dada pela
reação da própria programação (X), que apresenta alguns itens estáticos, sendo
alocados sempre para o mesmo período, bem como algumas mudanças na
quantidade de unidades, que farão diferença para a solução ótimo buscando o menor
custo.
O item 1 da demanda, se manteve estável na programação ao longo das três
condições apresentadas, variando apenas quando a situação dispõe para o mesmo,
a necessidade de complementar as cargas com mais unidades que a demanda
requerida, em função de uma condição inicial de peças já atrasadas. Importante
ressaltar que o modelo priorizou, em função de minimização de custo, a fabricação
das peças em atraso para o primeiro período disponível, mesmo não sendo favorável
o custo de se fundir na liga 1.
22,109604
10
46
15,448382
12
44
19,307992
30
31
49,691008
31
24
0 10 20 30 40 50 60
Lower Bound (Limite inferior)
Quantidade geração atrasada (und)
Quantidade geração estoque (und)
Teste 3 - Sensibilidade - Demanda 3
Condição 4 Condição 3 Condição 2 Condição 1
69
Para o item 2, interessante ressaltar que o modelo prevê a distribuição da demanda
em três períodos, ao longo das três primeiras condições. Ocorre que, para a última
condição, onde se tem um custo maior de troca de liga, a carga é agrupada em apenas
dois períodos, pois o terceiro período antes ocupado, agora dá lugar para fusão do
item 3.
O item 3, é o que mais apresenta variação da programação final entre os períodos,
em função das variações dispostas entre as quatro condições, mostrando estar mais
suscetível às variações de penalidades, em função do seu peso unitário (ro) e
consequente carga mínima (Capmin).
Para o item 4, atrasar 1 unidade se mostrou mais viável em três das quatro condições,
mantendo-se como o menor custo este atraso, até que uma penalidade alta de atraso,
que justifique a antecipação da fabricação seja inserida. O modelo, para este caso,
carregou a informação e o custo de atraso de 1 unidade ao longo dos dias, até que
alcançou o valor da carga mínima (no período onde a demanda solicita mais 1 unidade
do item). Na condição 3, o custo de atraso era relativamente mais alto que o de
antecipação, fazendo com que, o modelo carregasse o custo de antecipação ao longo
dos períodos, até que a demanda solicite ‘utilizar’ a unidade até em então estocada
de períodos anteriores.
Por fim, foi isolado um único item i3 da Tabela 8, para que se pudesse visualizar de
forma mais clara o comportamento do modelo em relação à uma variação gradual nas
penalidades. A demanda foi montada propositalmente com 9 unidades em t2 e 9
unidades em t8, para que isoladas, não perfizessem a carga mínima, necessitando
somar um custo de adiantamento por produção de estoque, e também para que, caso
o custo se tornasse viável de acordo com as penalidades, as duas cargas juntas não
extrapolassem a carga máxima para um período. Desta forma montou-se o vetor de
demanda:
d=[0,9,0,0,0,0,0,9]; %i3
Os demais dados referentes ao item foram mantidos conforme a mesma Tabela 8.
70
Para análise gradual de sensibilidade aos custos de penalidade (adiantamento e
atraso), foram consideradas as seguintes situações, respectivamente: 1) Condições
de penalidades padrão conforme Tabela 7; 2) Alterada a penalidade de antecipação
do item 3 para valores graduais, exatamente iguais os valores de atraso; 3) Penalidade
por atraso fixada em 0.15, exceto para o último período que foi considerada com o
valor de 5; 4) Penalidade de antecipação totalmente fixada em 0.15; 5) Penalidade de
antecipação totalmente fixada em 0.05; 6) Penalidade de antecipação totalmente
fixada em 0. Através destas condições, os resultados são apresentados na Tabela 11:
Tabela 11 – Resultados de 6 condições de penalidade para item único
Lower Bound Nós examinados Estoque Não produzidos
Condição 1 1,93636 17 4 0
Condição 2 3,10000 19 4 0
Condição 3 2,37273 35 2 7
Condição 4 1,57273 17 4 0
Condição 5 1,12222 7 4 0
Condição 6 0,25000 2 0 0
Estes resultados, comparativos entre as 6 condições foram compilados no Gráfico 13,
e a programação completa em Anexo J.
Gráfico 13 – Teste 4 - Sensibilidade – Item único
Conforme foram sendo inseridas as condições em que se acreditava ter controle da
programação, ou seja, reduzindo a penalidade estratégica de adiantamento ou
1,93636 3,10000 2,37273 1,57273 1,12222 0,25000
17
19
35
17
7
2
4 4
2
4
4
000
7
0 0 00
5
10
15
20
25
30
35
40
Condição 1 Condição 2 Condição 3 Condição 4 Condição 5 Condição 6
Teste 4 - Sensibilidade - Item único
Lower Bound ($) Nós examinados (und)
Estoque (und) Não produzidos (und)
71
trabalhando os valores da penalidade de atraso, foi observado uma tendência de
redução no custo (Lower Bound). Essa tendência acompanhou a redução gradativa
do custo de adiantamento para cada unidade produzida anterior ao período solicitado
em demanda. A solução se torna ideal, ou seja, sem nenhuma fabricação de peça
para estoque, quando o custo de adiantamento é igualado à zero, pois as peças
podem ser somadas e produzidas em um único período. Esta situação, na prática,
pode exemplificar a ocorrência de itens que tem uma alta rotatividade de vendas, e
que são garantia de ficarem pouco tempo nas dependências da empresa.
Outro fator importante que foi observado, é em relação à estrutura analisada pelo
método B&B. Quanto mais baixa a penalidade, e quando se fixavam os valores ao
longo dos períodos, o problema se tornava mais simples, e os subproblemas (os nós)
eram reduzidos, como demonstrado no Gráfico 13.
Por fim, é importante citar que, como o modelo propõe a busca por minimização do
custo referente às penalidades, para a condição 3 analisada, deixaram de ser
programados 7 itens. Isso se dá em razão dos custos de atraso serem menores que
os custos para se adiantar itens e completar a carga mínima, deixando dessa forma,
itens em atraso para a próxima programação.
Uma análise final, relativa à todas as condições de demandas e variações de
penalidades e condições, em relação à sensibilidade, percebe-se que os ajustes de
penalidades retratam a realidade da empresa, permitindo manipular os resultados da
própria programação de acordo com as necessidades para cada item ou situação. O
modelo se mostrou, então, flexível às necessidades da empresa, sempre exibindo
resultados que busquem o menor custo.
Nota: Importante ressaltar que o modelo proposto visa o menor custo relativo à
programação das fusões, ou seja, o melhor arranjo temporal para as fusões dos itens
em demanda. Contudo, outros custos diretos e indiretos, de fabricação, devem ser
analisados e pontuados. Exemplos que devem ser interpretados pelo programador
que não são considerados pelo modelo: setor de moldação não consegue atender a
necessidade de prazo para a programação gerada; matéria-prima para fusão em falta,
valor de imagem da empresa perante clientes; valores de fretes de entrega em função
72
de dias da semana, entre outros. Tais exemplos ilustram casos em que, para um
menor custo final de fabricação, possa implicar a necessidade de interferência na
programação/solução ótima do modelo.
O modelo matemático, assim como demais ferramentas de otimização de produção,
auxilia o usuário e a empresa nas tomadas de decisão tático-operacional do dia-a-dia,
contudo, é responsabilidade do programador a avaliação de um conjunto de custos e
condições favoráveis ou desfavoráveis para a fabricação conforme a programação
dada pelo modelo.
Além dos benefícios da confiabilidade demonstrada através destes resultados, o
modelo se mostrou dinâmico e flexível para diversas situações cotidianas da empresa
modelo, bem como empresas de fundição de pequeno porte. Através da utilização do
modelo, as empresas podem além de reduzir custos referentes à programação,
podem, além disso trabalhar estrategicamente em cada um dos itens, ou pedidos de
carteira, avaliando a situação e condição da empresa no dado momento vivido pela
mesma. Simulações, mais próximas da realidade da empresa, auxiliam e preveem
tomadas de decisões futuras, no que diz respeito desde a aquisição de matéria prima,
programação de cargas para resposta ao cliente em relação ao prazo de entrega,
verificação de custos excessivos de estoque, apontamento de índices de atraso, além
de várias outras ramificações benéficas que podem ser pontuadas e melhoradas a
partir do uso do modelo.
73
6 CONCLUSÕES
Os resultados obtidos através de simulações com dados da empresa modelo,
mostraram que, tanto o modelo matemático de cálculo de carga metálica, quanto o de
programação de fusão são flexíveis às demandas e necessidades da empresa, assim
como são eficientes quanto à solução ótima de minimização perante os exemplos
práticos analisados. O tempo computacional para resolução de ambos foi satisfatório,
propiciando interação do gestor, e tomadas de decisão instantâneas, em função dos
resultados obtidos. Percebeu-se que o primeiro modelo, nos cálculos testes, chegou
a apresentar uma economia de 6,5% em relação ao custo anterior para uma análise
de vinte pedidos, evidenciando a eficácia de atendimento à carteira de pedidos,
seguindo as condições estabelecidas pelas normas de cada liga com um custo mínimo
de produção. Além da redução de custo, demonstra confiabilidade quanto ao
cumprimento dos limites de cada elemento estabelecidos por normas.
O segundo modelo mostrou atender a demanda de itens de forma eficaz, além de ser
sensível às variações de penalidades, se adequando às condições e prioridades da
empresa para cada item, liga, ou condição específica. Este se mostrou adaptativo à
vários cenários analisados que se aproximam de rotinas produtivas da empresa. Além
de cumprir o objetivo de buscar uma programação para as fusões com o menor custo
possível, através de seu uso, percebeu-se que manipulações de penalidade podem
gerar resultados interessantes para a empresa quanto às estratégias de entrega dos
itens. Foram avaliadas condições das mais simples às condições mais complexas,
estressando o modelo, para que o mesmo fosse validado em diversas situações. A
visualização clara dos itens em programação, em busca do atendimento à demanda
requerida, bem como os itens que serão adiantados, atrasados e em quais períodos
vão ocorrer, além do acionamento do forno, e mudanças de tipo de liga, permitem ao
usuário interferir nas condições do sistema e fazer previsões quanto às rotinas de
produção, auxiliando as tomadas de decisão através de resultados matemáticos.
Interessante ressaltar que o modelo preenche uma lacuna do campo prático das
empresas, por exemplo com relação à programação de itens quando não se possui
uma carga mínima para fusão, de forma que o modelo preveja, conforme custos
individuais da empresa para estoque e atrasos, o menor custo de programação em
função das necessidades de cada empresa, permitindo uma programação completa.
74
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78
APÊNDICE A – Programação em Matlab
A primeira ação a ser realizada é o tratamento dos dados de entrada. Para tal são
definidos valores simulados, estabelecendo uma carteira fictícia para teste. Todo o
programa foi iniciado com a criação de uma função determinando todas as saídas e
entradas relacionadas, sem a qual o programa não será capaz de funcionar:
[dX,dIm,dIM,dY,dZ,x,fval,exitflag,output]=progfund(Cap,Capmin,L,ro,d,S,Hm,HM,s,Im0,IM0,Y0,N,K)
Antes de iniciar a programação, ou construção das matrizes referentes às equações,
realizou-se uma etapa de conferência das dimensões das matrizes de entrada, para
que estas, estejam condizentes e não apresentem erros no desenvolver do programa.
Para tanto, definiu-se um T=2*L, ou seja, dois dias de programação, multiplicado pela
quantidade de cargas diárias.
%================================= %================================= %Program Beginning %================================= %================================= %Verificar dimensões T=2*L; %T total dias x cargas if not(prod(size(Capmin)==[K,1])) error('Capmin dimensions') end if not(prod(size(Cap)==[K,1])) error('Cap dimensions') end if not(prod(size(ro)==[N,1])) error('ro dimensions') end if not(prod(size(d)==[N,T])) error('d dimensions') end if not(prod(size(S)==[N,K])) error('S dimensions') end if not(prod(size(Hm)==[N,T])) error('Hm dimensions') end
79
if not(prod(size(HM)==[N,T])) error('HM dimensions') end if not(prod(size(s)==[K,1])) error('s dimensions') end if not(prod(size(Im0)==[1,N])) error('Im0 dimensions') end if not(prod(size(IM0)==[1,N])) error('IM0 dimensions') end if not(prod(size(Y0)==[1,K])) error('Y0 dimensions') end for k=1:K %Somente 1 liga por item (soma=1) if not(sum(S(k,:))==1) error('Wrong S') end for i=1:N %Somente valor 1 ou 0 if not(S(i,k)==0 || S(i,k)==1) error('S not 1 or 0') end end end if not(sum(Y0)==0 || sum(Y0)==1) %Somente 1 liga no forno (soma=1) error('Wrong Y0') end for k=1:K if not(Y0(k)==0 || Y0(k)==1) %Somente valor 1 ou 0 error('S not 1 or 0') end end % %==============================================
Concluída a conferência de dimensões, bem como a permissibilidade de valores
restritos para algumas matrizes, evitando-se o erro, iniciou-se, portanto, a construção
das matrizes das equações e inequações referentes ao modelo matemático. A
primeira a ser trabalhada foi a equação objetivo (ou função custo), 1b.
Nesta etapa foram construídas as matrizes, ordenadas as posições em que os dados
devem se encontrar conforme a estrutura necessária para a função utilizada no
MatLab.
80
%1b %Matriz com salto em Xit e Yit (função objetivo/custo) f=zeros(3*N*T+2*T*K,1); kk=N*T; %Pulando Xit for t=1:T for i=1:N kk=kk+1; f(kk)=Hm(i,t); end end for t=1:T for i=1:N kk=kk+1; f(kk)=HM(i,t); end end kk=kk+T*K; %Pulando Ykt for t=1:T for k=1:K kk=kk+1; f(kk)=s(k); end end %==============================================
A equação 1b foi dividida em duas partes. A primeira, referente à restrição de
demanda, foi trabalhada para que os itens programados sejam iguais aos
demandados. A equação, aqui tratada, tem todos os seus termos, com matrizes de
mesmo tamanho, construídas conforme segue.
%1b1 (Restrição de demanda, onde produção=demanda) Aeq1b1=zeros(T*N,3*N*T+2*T*K); Beq1b1=zeros(T*N,1); kk=0; for t=1:T for i=1:N kk=kk+1; Aeq1b1(kk,(t-1)*N+i)=1; %Xit Aeq1b1(kk,T*N+(t-1)*N+i)=1; %Imit Aeq1b1(kk,2*T*N+(t-1)*N+i)=-1;%-IMit if t==1 Beq1b1(kk)=-IM0(i)+Im0(i)+d(i,t); %Initial Condition Im(0) and sIM(0) else Aeq1b1(kk,T*N+(t-2)*N+i)=-1; %-Imi(t-1) Aeq1b1(kk,2*T*N+(t-2)*N+i)=1; %IMi(t-1) Beq1b1(kk)=d(i,t); %dit end end
81
end %==============================================
Na sequência, a matriz construída foi referente à equação de restrição sobre fundir
somente uma liga a cada período, 7b.
%7b (Fundir apenas 1 liga por período) Ain7b=zeros(T,3*N*T+2*T*K); Bin7b=zeros(T,1); kk=0; for t=1:T kk=kk+1; for k=1:K Ain7b(kk,3*T*N+(t-1)*K+k)=1; %Sum(Yt) end Bin7b(kk)=1; end %==============================================
Da mesma forma, foi construída a matriz para a inequação 6b referente a variação de
liga para cada item.
%6b (Mudança de liga, variação 1 e 0) Ain6b=zeros(T*K,3*N*T+2*T*K); Bin6b=zeros(T*K,1); kk=0; for t=1:T for k=1:K kk=kk+1; if t==1 Ain6b(kk,3*T*N+(t-1)*K+k)=1; %Y(k,t) Ain6b(kk,3*T*N+T*K+(t-1)*K+k)=-1; %-Z(k,t) Bin6b(kk)=Y0(kk); %Y(k,0) else Ain6b(kk,3*T*N+(t-1)*K+k)=1; %Y(k,t) Ain6b(kk,3*T*N+(t-2)*K+k)=-1; %-Y(k,t-1) Ain6b(kk,3*T*N+T*K+(t-1)*K+k)=-1; %-Z(k,t) end end end %==============================================
Duas matrizes foram construídas para referenciar a 5b, que diz sobre a capacidade.
Uma matriz para a capacidade máxima, e outra para estipular a capacidade mínima.
82
%5b (Capacidade máxima - em função da liga) Ain5b=zeros(T*K,3*N*T+2*T*K); Bin5b=zeros(T*K,1); kk=0; for t=1:T for k=1:K kk=kk+1; for i=1:N Ain5b(kk,(t-1)*N+i)=S(i,k)*ro(i); %Xit in S(k) end Ain5b(kk,3*T*N+(t-1)*K+k)=-Cap(k); %Cap upgrade for Cap(k) end end %============================================== %5ba Capmin*Y-ro(i)*Xit<=0 (Capacidade mínima - em função da liga) Ain5ba=zeros(T*K,3*N*T+2*T*K); Bin5ba=zeros(T*K,1); kk=0; for t=1:T for k=1:K kk=kk+1; for i=1:N Ain5ba(kk,(t-1)*N+i)=-S(i,k)*ro(i); %Xit in S(k) end Ain5ba(kk,3*T*N+(t-1)*K+k)=Capmin(k); %Cap upgrade for Cap(i) end end %==============================================
Findando a construção das matrizes citadas, foram estabelecidos os inteiros através
do componente intcon, requerido na estrutura MILP.
% Definição de inteiros intcon=[1:T*N,3*T*N+1:3*T*N+T*K]; %Xit e Y inteiros % intcon=[]; %Linear problem %==============================================
A seguir foi realizada a interação entre as equações e suas respectivas equivalentes,
bem como as inequações com suas equivalentes, bem como também foram definidos
os mínimos e máximos (Lower and Upper bounds), conforme as inequações 8b, 9b,
3b e 4b.
%Juntar todas as Aeq Beq (unir matrizes em vetor de matrizes) Aeq=Aeq1b; Beq=Beq1b;
83
%Juntar todas as Ain Bin Ain=[Ain7b;Ain6b;Ain5b;Ain5ba]; Bin=[Bin7b;Bin6b;Bin5b;Bin5ba]; %============================================== %Mínimos e máximos (Definição 0 e 1) % Lower and Upper bounds 8b, 9b,3b e 4b (3.6,3.7,3.8 e 3.9) lb=[zeros(T*N,1);zeros(T*N,1);zeros(T*N,1);zeros(T*K,1);zeros(T*K,1)]; up=[Inf*ones(T*N,1);Inf*ones(T*N,1);Inf*ones(T*N,1);ones(T*K,1);Inf*ones(T*K,1)]; %==============================================
Finalmente é dado ao programa a ação de solução do problema, resolvendo-o através
da função intilinprog, e solicitadas algumas saídas (display), conforme o objetivo do
trabalho, exibindo-as em formato novamente de matrizes com as respostas da
programação das cargas para a fundição.
%RESOLVER PROBLEMA MINIMIZAÇÃO (INTEIROS MISTOS) % Solve using intlinprog [x,fval,exitflag,output] = intlinprog(f,intcon,Ain,Bin,Aeq,Beq,lb,up); if exitflag==2 || exitflag==1 %Display Variables dX=zeros(N,T); dIm=zeros(N,T); dIM=zeros(N,T); dY=zeros(K,T); dZ=zeros(K,T); for t=1:T for i=1:N dX(i,t)=round(x((t-1)*N+i),8); dIm(i,t)=round(x(T*N+(t-1)*N+i),8); dIM(i,t)=round(x(2*T*N+(t-1)*N+i),8); end for k=1:K dY(k,t)=round(x(3*T*N+(t-1)*K+k),8); dZ(k,t)=round(x(3*T*N+(t-1)*K+T*K+k),8); end end disp('============================================================') disp('X=') disp(dX) disp('============================================================') disp('Im=') disp(dIm)
84
disp('============================================================') disp('IM=') disp(dIM) disp('============================================================') disp('Y=') disp(dY) disp('============================================================') disp('Z=') disp(dZ) disp('============================================================') else error('No feasible solution') end
Para visualização das matrizes de entrada, segue exemplo com dados fictícios
utilizados para construção dos formatos de entrada:
%================================= %Dados Cap=[300;300;300;300]; % Cap = capacidade máxima (por liga); Capmin=[150;150;200;200]; % Capmin = capacidade mínima(por liga); L=4; % L = cargas/períodos por dia; ro=[10;10;15;11]; % ro = peso unitário por item; % d(i,t) d=[0,65,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,65,0,0,0,0,0]; % (i,k)Uma liga por coluna (valores 1 ou 0) S=[1,0,0,0; 0,1,0,0; 0,0,1,0; 0,0,0,1]; % Hm = Penalidade por atraso (gradual - dia) Hm=[0.15,0.35,0.55,0.75,0.15,0.35,0.55,0.75; 0.15,0.35,0.55,0.75,0.15,0.35,0.55,0.75; 0.15,0.35,0.55,0.75,0.15,0.35,0.55,0.75; 0.15,0.35,0.55,0.75,0.15,0.35,0.55,0.75];
85
% HM = Penalidade por antecipação HM=[0.25,0.25,0.25,0.25,0.25,0.25,0.25,0.25; 0.25,0.25,0.25,0.25,0.25,0.25,0.25,0.25; 0.25,0.25,0.25,0.25,0.25,0.25,0.25,0.25; 0.25,0.25,0.25,0.25,0.25,0.25,0.25,0.25]; % s = Penalidade por troca de liga (por liga) s=[0.25;0.25;0.25;0.3]; %================================= % Condições Inicias Im0=[20,0,30,0]*0; % Im0 = Peças já em atraso (por item) IM0=[0,5,0,0]*0; % IM0 = Peças já em estoque(por item) Y0=[0,0,0,0]; % Y0 = Forno já com alguma liga anterior %================================= %Dimensões N=4; K=4; [dX,dIm,dIM,dY,dZ,x,fval,exitflag,output]=progfund(Cap,Capmin,L,ro,d,S,Hm,HM,s,Im0,IM0,Y0,N,K); for i=1:N Td(i)=sum(d(i,:)); %Total demanda Tp(i)=sum(dX(i,:)); %Total produção end
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ANEXO A – Ficha técnica de processo
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ANEXO B – Imagens do processo produtivo
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ANEXO C – Layout modelo implementado cálculo de carga
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ANEXO D – Resultados de testes de programação de fusão – Teste 1
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ANEXO E – Dados de entrada para análise de estresse do modelo - Teste 2
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ANEXO F – Resultados de testes de programação de fusão – Teste 2
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99
100
ANEXO G – Resultados de testes de programação de fusão – Teste 3.1
101
ANEXO H – Resultados de testes de programação de fusão – Teste 3.2
102
ANEXO I – Resultados de testes de programação de fusão – Teste 3.3
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ANEXO J – Resultados de testes de programação de fusão – Teste 4
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