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Ottica geometrica e Ottica geometrica e geometria simpletticageometria simplettica
Daniele Musso
Relatore: Prof. Enrico Massa
Genova 22/9/2005
• Gli aspetti salienti dell’ottica lineare e dell’ottica geometrica rivisitati utilizzando tecniche e strumenti matematici propri della geometria simplettica.
• Ottica lineare descritta con il metodo delle matrici.
William Rowan Hamilton
• Formulazione Hamiltoniana basata sul principio variazionale di Fermat.
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Ottica lineare e ottica Ottica lineare e ottica gaussianagaussiana
• Introduzione dell’asse ottico.
• Oggetti ottici rappresentati matematicamente da superfici ottiche.
L’ottica lineare è una teoria classica il cui ambito di applicazione è definito dalle seguenti ipotesi:
• Trascurabilità del carattere ondulatorio della radiazione elettromagnetica
• Indici di rifrazione costanti
• Ipotesi di linearità
Ulteriore ipotesi per l’ottica gaussiana:
• Ipotesi di simmetria cilindrica
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in cui è detto momento.
• Rappresentazione della relazione fra gli “stati” di un raggio a due quote diverse mediante una trasformazione lineare simplettica della coppia di parametri e .
np
Definizione del formalismoDefinizione del formalismo
q p
• Caratterizzazione dello “stato” di un raggio mediante i due parametri e variabili in .
q pz
zp
q
1
1
2
2
p
q
dc
ba
p
q
• è simpletticaM 1det M
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Sistemi ottici elementariSistemi ottici elementari
Condizione iniziale a :
• Percorso in assenza di superfici ottiche
1zz Condizione finale a :2zz
11, pq
22 , pq
Pongo 12 zzt
Essendo l’indice di rifrazione costante, il raggio si propaga in maniera rettilinea, risulta pertanto:
1
1
1112
12
pnt
qtqq
pp
Ponendo , la matrice di trasferimento dal punto
al punto assume la forma
1nt
T 1z
2z
10
1 T
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• Superficie rifrangente
Equazione della linea di separazione: qfzz Per l’ipotesi di simmetria cilindrica rispetto all’asse ottico, è pari e . qf 00 f
A meno di termini di ordine superiore al secondo avremo
2
21kqzz
Con riferimento alla figura, sotto l’ipotesi di linearità, si ottiene
22tankq
Considerando i triangoli rappresentati in figura
11 2
;
22 2
Confrontando e raccogliendo i risultati ottenuti si ricava
kq 11 kq 22
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Si considera la legge di Snell linearizzata:
221 nn 1
Utilizzando le relazioni
kq 11 kq 22
si ottiene
kqnnkqnn 222111 vale a dire
Pqkqnnpp 1212
avendo definito il potere della superficie rifrangente
knnP 12
La matrice di trasferimento dal punto al punto sarà pertanto
1z 2z
1
01
P
112
12
pPqp
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• Il comportamento del generico sistema ottico è determinato dagli effetti del sistema stesso sull’evoluzione dei raggi luminosi fra e ,
• Nello spazio delle variabili e , tale evoluzione è descritta da una trasformazione appartenente al gruppo
.
• Il gruppo è a sua volta generato dalle trasformazioni di tipo “elementare”
,2Sl
,2Sl
p1z 2z 21 zz
q
10
1 x
1
01
y
•
dipende solo da e non dalla direzione del raggio
stesso; i punti e sono detti coniugati.
Anche i piani sono detti coniugati poiché formati da punti coniugati a due a due.
•
dipende solo da e non dal punto di incidenza.
0b
2q 1q 11,qz 22 ,qz
21 , zzzz
0c
2p 1p
Casi NotevoliCasi Notevoli
1
1
2
2
p
q
dc
ba
p
q
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Lente sottile
Per lente sottile si intende la successione di due diottri posti a distanza trascurabile l’uno dall’altro.
Il problema associato alla lente sottile risulta dalla composizione di due problemi di singola superficie rifrangente.
1
01
1
01
1
01
1
011
2121 fPPPP
con21
1
PPf
nfzzzz 12
La matrice associata al sistema in esame è
0
0
10
1
1
0
10
1
1
01
10
1111 f
ff
f
ff
f
f
pertanto 12 fpq 12
1qf
p
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Fuochi della lente sottile
• Si considera ancora una lente sottile posta in un mezzo rifrangente uniforme la cui matrice associata è
1
1
10
1
1
01
10
111
11
1 yff
xyxfyxfy
f
x
dc
ba
Si scelgono e in modo chex y
01 xyxfybyxf111
viene detto fattore d’ingrandimento
I piani sono coniugati e vale la seguente relazione
21 , zzzz
12 aqq
yx
yxxxfa
1111 1
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Formulazione Hamiltoniana dell’ottica Formulazione Hamiltoniana dell’ottica gaussianagaussiana
1
1
2
2
p
q
dc
ba
p
q
se 0b
122
121
1
1
qdqb
p
aqqb
p
Introduciamo la funzione iconale
Kqqqd
qa
bqqW
21
22
2121 22
1,
1
1
2
2
112221
p
q
dc
ba
p
q
KqpqpW
2
2
1
1
qW
p
qW
p
oppure
L’eq. (1.1) possono essere riscritte in termini delle derivate parziali di W
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la funzione iconale è additiva.
231213 WWW
321 zzz jjiijiij pqpqqqW ,,:,
2
122
1
121
qW
p
qW
p
3
233
2
232
q
Wp
q
Wp
2
23
2
12
q
W
q
W
3312233121123113 ,,,,, qqqqWqqqqWqqW
da cui segue che
Esprimendo in funzione di si ha 2q 31, qq
che soddisfa le seguenti relazioni
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Scegliendo la funzione iconale coincide con il cammino ottico
asseLK W
i
iilnL
• Propagazione rettilinea
2
122
2
122
122
2
1
2
11 qq
d
nnd
d
qqndqqdnL
con 12 zzd
10
1n
dMatrice associata:
Kqqqqd
nqqW 21
2
2
2
121 22
,
La funzione iconale vale pertanto
identica al cammino ottico per asseLndK
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• Superficie ottica
11
22
zzd
zzd
2
2
2
22
1
1
12212211
2
2
22
22
2
1
22
11
21
21
21
21
21
qqdn
qqdn
qnnkdndn
qqkqdnqqkqdnL
kqnnpppnd
qqpnd
qq 211222
221
1
11 ,,
11222211
2211122211
2
12
1
2
1
2
1
qpqpdndn
qqpqqpqppdndnL
2
21kqzz Superficie ottica:
Il cammino ottico è:
Utilizzando le relazioni
si ha
2211 dndnK Identica alla funzione pur di porreW
KqpqpW 11222
1
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Legge di Snell e principio di Fermat
11
22
zzd
zzd
2
2
2
22
1
1
12212211 2
121
21
qqdn
qqdn
qnnkdndnL
022
21
1
121 qq
d
nqq
d
nqnnk
dq
dL
Cammino ottico:
Condizione di stazionarietà del cammino ottico:
1221 ppnnkq
22
221
1
11 , p
n
dqqp
n
dqq
Utilizzando le relazioni
si ottiene la legge di Snell:
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Willebrord Snell
(1580 – 1626) Claudio Tolomeo
(~ 87 – 150 A.D.)
Pierre Fermat
(1601 – 1665)
William Rowan Hamilton
(1805 – 1865)
Carl Friedrich Gauss(1777-1885)