outils de base de la mécanique des fluides
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Outils de base de la Mécanique des fluides
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Outils de base de la Mécanique des fluides
• Les fluides vus comme des milieux continus
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Outils de base de la Mécanique des fluides
• Les fluides vus comme des milieux continus
• Lois de conservation
Conservation de la masse
Conservation de la quantité de mouvement et loi de Newton
Les contraintes dans un fluide
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Outils de base de la Mécanique des fluides
• Les fluides vus comme des milieux continus
• L’équation de Navier-Stokes
• Lois de conservation
Conservation de la masse
Conservation de la quantité de mouvement et loi de Newton
Les contraintes dans un fluide
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Outils de base de la Mécanique des fluides
• Les fluides vus comme des milieux continus
• Nombre de Reynolds et similitude
• L’équation de Navier-Stokes
• Lois de conservation
Conservation de la masse
Conservation de la quantité de mouvement et loi de Newton
Les contraintes dans un fluide
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Outils de base de la Mécanique des fluides
• Les fluides vus comme des milieux continus
• Approximation des fluides parfaits
Equation d’Euler
Loi de Bernoulli
• Nombre de Reynolds et similitude
• L’équation de Navier-Stokes
• Lois de conservation
Conservation de la masse
Conservation de la quantité de mouvement et loi de Newton
Les contraintes dans un fluide
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Les fluides comme milieux continus
Les caractéristiques microscopiques déterminent les propriétés macroscopiques : masse volumique, compressibilité, viscosité, diffusion de la chaleur, …
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Les fluides comme milieux continus
Les caractéristiques microscopiques déterminent les propriétés macroscopiques : masse volumique, compressibilité, viscosité, diffusion de la chaleur, …
On raisonne sur des éléments de volume
- assez petits pour décrire finement les champs de vitesse et de pression
- grands devant les échelles moléculaires
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Les fluides comme milieux continus
Les caractéristiques microscopiques déterminent les propriétés macroscopiques : masse volumique, compressibilité, viscosité, diffusion de la chaleur, …
On raisonne sur des éléments de volume
- assez petits pour décrire finement les champs de vitesse et de pression
- grands devant les échelles moléculaires
La transition micro/macro est autour du nanomètre.
Exception : Gaz raréfiés (régime de Knudsen)
<latexit sha1_base64="/7HBdC7nzWXQ9A7oOmecxtOc2RU=">AAAB7XicbVA9SwNBEJ2LXzF+RS1tFoNgFe5E0cIiaGMZwXxAcoS9zVyyZu/22N0TwpH/YGOhiK3/x85/4ya5QhMfDDzem2FmXpAIro3rfjuFldW19Y3iZmlre2d3r7x/0NQyVQwbTAqp2gHVKHiMDcONwHaikEaBwFYwup36rSdUmsv4wYwT9CM6iHnIGTVWag6vuyhEr1xxq+4MZJl4OalAjnqv/NXtS5ZGGBsmqNYdz02Mn1FlOBM4KXVTjQllIzrAjqUxjVD72ezaCTmxSp+EUtmKDZmpvycyGmk9jgLbGVEz1IveVPzP66QmvPIzHiepwZjNF4WpIEaS6eukzxUyI8aWUKa4vZWwIVWUGRtQyYbgLb68TJpnVe+i6t6fV2o3eRxFOIJjOAUPLqEGd1CHBjB4hGd4hTdHOi/Ou/Mxby04+cwh/IHz+QNUJY73</latexit>
h < `
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Description des écoulements
v(r0, t0,t)
r0, t0
Description lagrangienne
Trajectoire des particules de fluide
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Description des écoulements
v(r0, t0,t)
r0, t0
u(r,t0)
u(r0,t0)
u(r,t)
u(r0,t)
Description lagrangienne
Description eulerienne
Trajectoire des particules de fluide
Lignes de courant à t0
Lignes de courant à t
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Conservation de la masse dans un écoulement
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Conservation de la masse dans un écoulement
Ω
ndSS = ∂Ω
u
u
n
n�u.n
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Volume entrant par unité de surface par unité de temps
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Conservation de la masse dans un écoulement
Ω
ndSS = ∂Ω
u
u
n
n
�Z
@⌦⇢u.n dS +Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�u.n<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Volume entrant par unité de surface par unité de temps
![Page 15: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/15.jpg)
Conservation de la masse dans un écoulement
Ω
ndSS = ∂Ω
u
u
Z
⌦
@⇢
@tdV =
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
n
n
�Z
@⌦⇢u.n dS +Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�u.n<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Volume entrant par unité de surface par unité de temps
![Page 16: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/16.jpg)
Z
⌦
@⇢
@tdV =
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�Z
@⌦⇢u.n dS +Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
![Page 17: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/17.jpg)
Z
⌦
@⇢
@tdV =
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�Z
@⌦⇢u.n dS +Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Z
⌦
@⇢
@tdV +
Z
⌦r.(⇢u)dV = Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
r. ⌘<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
divergence
![Page 18: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/18.jpg)
Z
⌦
@⇢
@tdV =
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�Z
@⌦⇢u.n dS +Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Z
⌦
@⇢
@tdV +
Z
⌦r.(⇢u)dV = Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
@⇢
@t+ ⇢r.u+ u.r⇢ = 0
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
En l’absence de source de masser. ⌘
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
divergence
gradiant<latexit sha1_base64="5z2iFyo9csDsWOJJwK4wPDs17DQ=">AAAB9HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0WPRi8cKthaaUDbbSbt0s0l3N4VS+ju8eFDEqz/Gm//GbZuDtj4YeLw3w8y8MBVcG9f9dgpr6xubW8Xt0s7u3v5B+fCoqZNMMWywRCSqFVKNgktsGG4EtlKFNA4FPoWDu5n/NEKleSIfzTjFIKY9ySPOqLFS4EsaCkp8HGZ81ClX3Ko7B1klXk4qkKPeKX/53YRlMUrDBNW67bmpCSZUGc4ETkt+pjGlbEB72LZU0hh1MJkfPSVnVumSKFG2pCFz9ffEhMZaj+PQdsbU9PWyNxP/89qZiW6CCZdpZlCyxaIoE8QkZJYA6XKFzIixJZQpbm8lrE8VZcbmVLIheMsvr5LmRdW7qroPl5XabR5HEU7gFM7Bg2uowT3UoQEMhvAMr/DmjJwX5935WLQWnHzmGP7A+fwBnnmSAA==</latexit>r ⌘
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Z
⌦
@⇢
@tdV =
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�Z
@⌦⇢u.n dS +Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Z
⌦
@⇢
@tdV +
Z
⌦r.(⇢u)dV = Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
@⇢
@t+ ⇢r.u+ u.r⇢ = 0
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
En l’absence de source de masse
Si le fluide est « incompressible », masse volumique constante
r.u = 0<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
r. ⌘<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
divergence
gradiant<latexit sha1_base64="5z2iFyo9csDsWOJJwK4wPDs17DQ=">AAAB9HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0WPRi8cKthaaUDbbSbt0s0l3N4VS+ju8eFDEqz/Gm//GbZuDtj4YeLw3w8y8MBVcG9f9dgpr6xubW8Xt0s7u3v5B+fCoqZNMMWywRCSqFVKNgktsGG4EtlKFNA4FPoWDu5n/NEKleSIfzTjFIKY9ySPOqLFS4EsaCkp8HGZ81ClX3Ko7B1klXk4qkKPeKX/53YRlMUrDBNW67bmpCSZUGc4ETkt+pjGlbEB72LZU0hh1MJkfPSVnVumSKFG2pCFz9ffEhMZaj+PQdsbU9PWyNxP/89qZiW6CCZdpZlCyxaIoE8QkZJYA6XKFzIixJZQpbm8lrE8VZcbmVLIheMsvr5LmRdW7qroPl5XabR5HEU7gFM7Bg2uowT3UoQEMhvAMr/DmjJwX5935WLQWnHzmGP7A+fwBnnmSAA==</latexit>r ⌘
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Fluide comme “incompressible” ?
![Page 21: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/21.jpg)
Fluide comme “incompressible” ?
�⇢
⇢=
1
⇢
@⇢
@p�p
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
![Page 22: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/22.jpg)
Fluide comme “incompressible” ?
�⇢
⇢=
1
⇢
@⇢
@p�p
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�⇢
⇢=
1
⇢c2�p
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
: vitesse du son<latexit sha1_base64="IAXJ5b2I81udfgHAcvJ7DyY45fo=">AAAB6HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0ZMUvHhswX5AG8pmO2nXbjZhdyOU0F/gxYMiXv1J3vw3btsctPXBwOO9GWbmBYng2rjut1NYW9/Y3Cpul3Z29/YPyodHLR2nimGTxSJWnYBqFFxi03AjsJMopFEgsB2M72Z++wmV5rF8MJME/YgOJQ85o8ZKDdYvV9yqOwdZJV5OKpCj3i9/9QYxSyOUhgmqdddzE+NnVBnOBE5LvVRjQtmYDrFrqaQRaj+bHzolZ1YZkDBWtqQhc/X3REYjrSdRYDsjakZ62ZuJ/3nd1IQ3fsZlkhqUbLEoTAUxMZl9TQZcITNiYgllittbCRtRRZmx2ZRsCN7yy6ukdVH1rqpu47JSu83jKMIJnMI5eHANNbiHOjSBAcIzvMKb8+i8OO/Ox6K14OQzx/AHzucPxoOM5w==</latexit>c
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Fluide comme “incompressible” ?
�⇢
⇢=
1
⇢
@⇢
@p�p
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�⇢
⇢=
1
⇢c2�p
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
En écoulement dominé par l’inertie du fluide: �p ⇠ ⇢u2<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�⇢
⇢⇠ u2
c2= M2
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
: Nombre de Mach
: vitesse du son<latexit sha1_base64="IAXJ5b2I81udfgHAcvJ7DyY45fo=">AAAB6HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0ZMUvHhswX5AG8pmO2nXbjZhdyOU0F/gxYMiXv1J3vw3btsctPXBwOO9GWbmBYng2rjut1NYW9/Y3Cpul3Z29/YPyodHLR2nimGTxSJWnYBqFFxi03AjsJMopFEgsB2M72Z++wmV5rF8MJME/YgOJQ85o8ZKDdYvV9yqOwdZJV5OKpCj3i9/9QYxSyOUhgmqdddzE+NnVBnOBE5LvVRjQtmYDrFrqaQRaj+bHzolZ1YZkDBWtqQhc/X3REYjrSdRYDsjakZ62ZuJ/3nd1IQ3fsZlkhqUbLEoTAUxMZl9TQZcITNiYgllittbCRtRRZmx2ZRsCN7yy6ukdVH1rqpu47JSu83jKMIJnMI5eHANNbiHOjSBAcIzvMKb8+i8OO/Ox6K14OQzx/AHzucPxoOM5w==</latexit>c
<latexit sha1_base64="qiSGP287cgZFWaq8XXo6g1RMCMk=">AAAB6HicdVDJSgNBEK2JW4xb1KOXxiB4CjOi6EkCXrwICZgFkiH0dGqSNj09Q3ePEIZ8gRcPinj1k7z5N3YWIW4PCh7vVVFVL0gE18Z1P5zc0vLK6lp+vbCxubW9U9zda+g4VQzrLBaxagVUo+AS64Ybga1EIY0Cgc1geDXxm/eoNI/lrRkl6Ee0L3nIGTVWqt10iyWv7E5B3F/kyyrBHNVu8b3Ti1kaoTRMUK3bnpsYP6PKcCZwXOikGhPKhrSPbUsljVD72fTQMTmySo+EsbIlDZmqixMZjbQeRYHtjKgZ6J/eRPzLa6cmvPAzLpPUoGSzRWEqiInJ5GvS4wqZESNLKFPc3krYgCrKjM2msBjC/6RxUvbOym7ttFS5nMeRhwM4hGPw4BwqcA1VqAMDhAd4gmfnznl0XpzXWWvOmc/swzc4b5+mq4zS</latexit>
M
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Fluide comme “incompressible” ?
�⇢
⇢=
1
⇢
@⇢
@p�p
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�⇢
⇢=
1
⇢c2�p
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
En écoulement dominé par l’inertie du fluide: �p ⇠ ⇢u2<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�⇢
⇢⇠ u2
c2= M2
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
: Nombre de Mach
: vitesse du son
Fluide quasi incompressibleM ⌧ 1<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
<latexit sha1_base64="IAXJ5b2I81udfgHAcvJ7DyY45fo=">AAAB6HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0ZMUvHhswX5AG8pmO2nXbjZhdyOU0F/gxYMiXv1J3vw3btsctPXBwOO9GWbmBYng2rjut1NYW9/Y3Cpul3Z29/YPyodHLR2nimGTxSJWnYBqFFxi03AjsJMopFEgsB2M72Z++wmV5rF8MJME/YgOJQ85o8ZKDdYvV9yqOwdZJV5OKpCj3i9/9QYxSyOUhgmqdddzE+NnVBnOBE5LvVRjQtmYDrFrqaQRaj+bHzolZ1YZkDBWtqQhc/X3REYjrSdRYDsjakZ62ZuJ/3nd1IQ3fsZlkhqUbLEoTAUxMZl9TQZcITNiYgllittbCRtRRZmx2ZRsCN7yy6ukdVH1rqpu47JSu83jKMIJnMI5eHANNbiHOjSBAcIzvMKb8+i8OO/Ox6K14OQzx/AHzucPxoOM5w==</latexit>c
<latexit sha1_base64="qiSGP287cgZFWaq8XXo6g1RMCMk=">AAAB6HicdVDJSgNBEK2JW4xb1KOXxiB4CjOi6EkCXrwICZgFkiH0dGqSNj09Q3ePEIZ8gRcPinj1k7z5N3YWIW4PCh7vVVFVL0gE18Z1P5zc0vLK6lp+vbCxubW9U9zda+g4VQzrLBaxagVUo+AS64Ybga1EIY0Cgc1geDXxm/eoNI/lrRkl6Ee0L3nIGTVWqt10iyWv7E5B3F/kyyrBHNVu8b3Ti1kaoTRMUK3bnpsYP6PKcCZwXOikGhPKhrSPbUsljVD72fTQMTmySo+EsbIlDZmqixMZjbQeRYHtjKgZ6J/eRPzLa6cmvPAzLpPUoGSzRWEqiInJ5GvS4wqZESNLKFPc3krYgCrKjM2msBjC/6RxUvbOym7ttFS5nMeRhwM4hGPw4BwqcA1VqAMDhAd4gmfnznl0XpzXWWvOmc/swzc4b5+mq4zS</latexit>
M
![Page 25: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/25.jpg)
M ⇠ 1<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
M > 1<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Ondes de chocou
![Page 26: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/26.jpg)
ndS
Ω
S = ∂Ω
n
u
u
n
Conservation de la quantité de mouvement
Z
⌦
@⇢u
@tdV =
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Z
⌦⇢f dV
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
+
Z
@⌦�.n dS
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�Z
@⌦⇢u u.n dS
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
scalairevecteur
![Page 27: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/27.jpg)
Z
⌦
@⇢u
@tdV = �
Z
@⌦⇢u u.n dS +
Z
⌦⇢f dV +
Z
@⌦�.n dS
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Z
⌦
@⇢u
@tdV +
Z
⌦r.⇢uu dV =
Z
⌦⇢f dV +
Z
⌦r.� dV
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Théorème de la divergence:
Conservation de la quantité de mouvement
: Flux de quantité de mouvement,<latexit sha1_base64="8AJo72ZtQEcBA0U2dutJ5sIFyn4=">AAAB+XicbVDLSsNAFL2pr1pfUZduBovgqiSi6LLoxmUF+4AmlMl00g6dTMI8CiX0T9y4UMStf+LOv3HSZqHVAwOHc+7lnjlRxpnSnvflVNbWNza3qtu1nd29/QP38KijUiMJbZOUp7IXYUU5E7Stmea0l0mKk4jTbjS5K/zulErFUvGoZxkNEzwSLGYEaysNXDeQ4xQFCdbjKM6NmQ/cutfwFkB/iV+SOpRoDdzPYJgSk1ChCcdK9X0v02GOpWaE03ktMIpmmEzwiPYtFTihKswXyefozCpDFKfSPqHRQv25keNEqVkS2ckiolr1CvE/r290fBPmTGRGU0GWh2LDkU5RUQMaMkmJ5jNLMJHMZkVkjCUm2pZVsyX4q1/+SzoXDf+q4T1c1pu3ZR1VOIFTOAcfrqEJ99CCNhCYwhO8wKuTO8/Om/O+HK045c4x/ILz8Q3LlJPE</latexit>⇢uu
⇢uiuj<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
tenseur de composantesproduit tensoriel
@
@xj(⇢uiuj) = ui
@⇢uj
@xj+ ⇢uj
@ui
@xj<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Sa divergence :(somme sur j)
![Page 28: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/28.jpg)
Conservation de la quantité de mouvement
⇢@u
@t+ u
✓@⇢
@t+r.⇢u
◆+ ⇢u.ru = ⇢f +r.�
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
⇢@u
@t+ u
@⇢
@t+ ur.⇢u+ ⇢u.ru = ⇢f +r.�
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Pour un volume élémentaire de fluide :
⇢
✓@u
@t+ u.ru
◆= ⇢f +r.�
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
ma = F<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
= 0Conservation de la masse
![Page 29: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/29.jpg)
Accélération d’un élément de fluide
⇢
✓@u
@t+ u.ru
◆= ⇢f +r.�
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
ma = F<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
a =@u
@t+ u.ru
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
instationnarité accélération convective
![Page 30: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/30.jpg)
un écoulement stationnaire où u.ru 6= 0<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
![Page 31: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/31.jpg)
Écriture de l’accélération convective
Variation spatiale de ux projetée sur la vitesse (ux, uy, uz)
Pour la composante i : uj@ui
@xj=
X
j=1,3
uj@ui
@xj<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Pour la composante x : ux@ux
@x+ uy
@ux
@y+ uz
@ux
@z<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
![Page 32: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/32.jpg)
Les contraintes dans un fluide
Dans un fluide à l’équilibre, sans écoulement macroscopique
n La résultante des interactions entre atomes ou molécules est une pression isotrope
� =
0
@�p 0 00 �p 00 0 �p
1
A
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�ij = �p �ij<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
r.� = �rp =
0
B@� @p
@x
� @p@y
�@p@z
1
CA
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
![Page 33: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/33.jpg)
⇢
✓@u
@t+ u.ru
◆= ⇢f +r.�
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Dans un fluide à l’équilibre, sans écoulement macroscopique
0 = ⇢g �rp<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
p = p0 � ⇢gz<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
![Page 34: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/34.jpg)
Dans un fluide hors d’équilibre thermodynamique, avec écoulement macroscopique
Fluides newtoniens Fluides non newtoniens
Eau, huile, glycérol, gaz…Solutions de polymères, polymères
fondus, suspensions concentrées, pâtes, mousses, cristaux liquides …Contraintes :
fonctions linéaires du gradient de vitesse
Fluide isotrope
![Page 35: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/35.jpg)
Les contraintes dans un fluide newtonien
Contraintes : fonctions linéaires de la partie symétrique du gradient de vitesse
partie symétrique du gradient de vitesse : déformation d’un élément de fluide
partie antisymétrique du gradient de vitesse : rotation en bloc d’un élément de fluide
Comportement mécanique du fluide caractérisé par une seule quantité :
sa viscosité dynamique <latexit sha1_base64="wYfvviWs6I5R/5dBG2ywaku+C7M=">AAAB63icbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0WPRi8cK9gPaUDbbTbt0swm7E6GE/gUvHhTx6h/y5r9x0+agrQ8GHu/NMDMvSKQw6LrfTmltfWNzq7xd2dnd2z+oHh61TZxqxlsslrHuBtRwKRRvoUDJu4nmNAok7wSTu9zvPHFtRKwecZpwP6IjJULBKOZSnyMdVGtu3Z2DrBKvIDUo0BxUv/rDmKURV8gkNabnuQn6GdUomOSzSj81PKFsQke8Z6miETd+Nr91Rs6sMiRhrG0pJHP190RGI2OmUWA7I4pjs+zl4n9eL8Xwxs+ESlLkii0WhakkGJP8cTIUmjOUU0so08LeStiYasrQxlOxIXjLL6+S9kXdu6q7D5e1xm0RRxlO4BTOwYNraMA9NKEFDMbwDK/w5kTOi/PufCxaS04xcwx/4Hz+AAo0jjw=</latexit>⌘
![Page 36: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/36.jpg)
Les contraintes dans un fluide newtonien
� =
0
BBB@
�p+ 2⌘ @ux@x ⌘
⇣@ux@y + @uy
@x
⌘⌘�@ux@z + @uz
@x
�
⌘⇣
@ux@y + @uy
@x
⌘�p+ 2⌘ @uy
@y ⌘⇣
@uy
@z + @uz@y
⌘
⌘�@ux@z + @uz
@x
�⌘⇣
@uy
@z + @uz@y
⌘�p+ 2⌘ @uz
@z
1
CCCA
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�ij = �p �ij + 2 ⌘ eij<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
e =1
2(ru+ruT )
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
r.� = �rp+ ⌘�u<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
![Page 37: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/37.jpg)
�xz = ⌘@ux
@z<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
h
x
z
U
Ordres de grandeur de viscosités :
eau : 10-3 Pa.s (1 mPoiseuille) glycérine : 1,3 Pa.s
air : 1,8 10-5 Pa.s hélium : 3,3 10-6 Pa.s (4 K)
Contrainte de cisaillement visqueux
Contrainte : dimension
d’une pression
Viscosité dynamique :
pression X tempsPa.s en S.I.
Gradient de vitesse : dimension de
l’inverse d’un temps
![Page 38: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/38.jpg)
Dans un fluide newtonien, avec écoulement macroscopique
r.� = �rp+ ⌘�u<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
viscosité cinématique <latexit sha1_base64="NB6s5S7LHakv/gxR+MHvRj5KJLM=">AAAB9HicbVBNSwMxEM3Wr1q/qh69BIvgqe6Koheh6MVjBfsB3aVk09k2NJusSbZQlv4OLx4U8eqP8ea/MW33oK0PBh7vzTAzL0w408Z1v53Cyura+kZxs7S1vbO7V94/aGqZKgoNKrlU7ZBo4ExAwzDDoZ0oIHHIoRUO76Z+awRKMykezTiBICZ9wSJGibFS4Iv0xgdDznw1kN1yxa26M+Bl4uWkgnLUu+UvvydpGoMwlBOtO56bmCAjyjDKYVLyUw0JoUPSh46lgsSgg2x29ASfWKWHI6lsCYNn6u+JjMRaj+PQdsbEDPSiNxX/8zqpia6DjIkkNSDofFGUcmwkniaAe0wBNXxsCaGK2VsxHRBFqLE5lWwI3uLLy6R5XvUuq+7DRaV2m8dRREfoGJ0iD12hGrpHddRAFD2hZ/SK3pyR8+K8Ox/z1oKTzxyiP3A+fwB3G5Hm</latexit>
⌫ = ⌘/⇢
<latexit sha1_base64="/3qqAl8tnxgy2z0BQLmFsosSM3o=">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</latexit>
⇢
✓@u
@t+ (u.r)u
◆= ⇢f +r.�
Équation de Navier-Stokes<latexit sha1_base64="8kIgQy9aGO5qYjfZ/Qf7oBqR74w=">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</latexit>
⇢@u
@t+ ⇢(u.r)u = �rp+ ⌘�u+ ⇢f
<latexit sha1_base64="V2/H6pRSyfQ/l4aQQbT9NOsZksY=">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</latexit>
@u
@t+ (u.r)u = �1
⇢rp+ ⌫�u+ f
![Page 39: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/39.jpg)
@ux@t + ux
@ux@x + uy
@ux@y + uz
@ux@z = � 1
⇢@p@x + ⌫
⇣@2ux@x2 + @2ux
@y2 + @2ux@z2
⌘+ fx
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
@uy
@t + ux@uy
@x + uy@uy
@y + uz@uy
@z = � 1⇢@p@y + ⌫
⇣@2uy
@x2 + @2uy
@y2 + @2uy
@z2
⌘+ fy
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
@uz@t + ux
@uz@x + uy
@uz@y + uz
@uz@z = � 1
⇢@p@z + ⌫
⇣@2uz@x2 + @2uz
@y2 + @2uz@z2
⌘+ fz
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
L’équation de Navier-Stokes dans toute sa splendeur (horreur ?)
Comment la simplifier ?
![Page 40: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/40.jpg)
Une analyse dimensionnelle de l’équation de Navier-Stokes
u ⇠ U<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
r ⇠ 1/L<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
� ⇠ 1/L2<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Échelle de longueur pertinente qui caractérise la variation spatiale de vitesse
⇢ u.ru ⇠ ⇢ U2
L<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Terme inertiel
⌘ �u ⇠ ⌘ UL2
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Terme visqueux
⇢u.ru
⌘�u⇠ ⇢UL
⌘=
UL
⌫<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
<latexit sha1_base64="8kIgQy9aGO5qYjfZ/Qf7oBqR74w=">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</latexit>
⇢@u
@t+ ⇢(u.r)u = �rp+ ⌘�u+ ⇢f
Nombre de Reynolds
![Page 41: Outils de base de la Mécanique des fluides](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062401/62aaa2e56c972904027f6eea/html5/thumbnails/41.jpg)
Deux dynamiques différentes selon le nombre de Reynolds
Re ⌧ 1<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Écoulement dominé par la viscosité
Re � 1<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Écoulement dominé par l’inertie