outline funkcija derivacije - menso88.commenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/difraf.pdf ·...

OutlineFunkcija

Limes funkcijeDerivacije

Derivacija elementarnih funkcijaDiferencijal

Taylorova formulaRast i pad funkcije

Ekstremi funkcije jedne varijableKonveksna funkcija

Koeficijent elasticnostiFunkcija troskova proizvodnje

Diferencijalni racun

EF Zagreb

October 28, 2008

EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






FunkcijaLimes funkcijeDerivacije

Uvod i motivacijaDerivacija elementarnih funkcijaDiferencijalTaylorova formulaRast i pad funkcijeEkstremi funkcije jedne varijableKonveksna funkcija

Tocka infleksijeKoeficijent elasticnostiFunkcija troskova proizvodnje


OutlineFunkcija






Realna funkcija jedne realne varijable

Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakomelementu x ∈ X po postupku f pridruzimo jedan element y ∈ R,onda kazemo da je definirana ili zadana funkcija f sa skupa X u R.Funkcije oznacavamo slovima f , g , h,F ,G , ... i pisemo

f : X −→ R

da bi oznacili da postupkom f skup X preslikavamo u skup R.Jos pisemo

y = f (x) ili x 7−→ y = f (x)EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






Skup X zovemo podrucje definicije ili domena funkcije f ioznacavamo ga jos s D(f ).Kazemo da je y = f (x) slika od x pri preslikavanju f a x jeoriginal od y = f (x).Element x ∈ X zovemo nezavisna varijabla ili argument, a yzavisna varijabla. Skup

f (X ) = {f (x) : x ∈ X}

svih slika elemenata x zove se slika skupa X pri preslikavanju f ioznacava se jos R(f ). Vrijedi

R(f ) ⊆ R.

Funkcije mogu biti dane formulom, tabelarno i graficki.EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






Funkcije zadane formulom

Promatramo funkcije zadane analiticki- formulom ili postupkomracunanja. Ovdje podrucje definicije odredit cemo na slijedecinacin: X = D(f ) su svi realni brojevi za koje se nakon naznacenihoperacija dobiva realan broj. Takvo podrucje definicije zovemoprirodno podrucje definicije.

Primjer: Odredite podrucje definicije

1. f (x) = x2 − 7x + 4

2. g(x) = 1x−8

3. h(x) =√

1− x .

OdgovoriEF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






1. D(f ) = R2. D(g) = R \ {8}3. D(h) = (−∞, 1]

Funkcija moze biti zadana s vise formula, na primjer

|x | =

{x , x ≥ 0−x , x < 0


OutlineFunkcija






Graf funkcije

Graf funkcije je skup

G = {(x , y) : y = f (x), x ∈ D(x)} ⊆ R2

Graf realne funkcije jedne varijable je krivulja u ravnini. No, nijesvaka krivulja u ravnini graf funkcije.Graf funkcije y = ax + b za parametre a, b ∈ R je pravac u ravnini.Graf funkcije y = ax2 + bx + c za parametre a, b, c ∈ R, a 6= 0 jeparabola u ravnini.Graf funkcije y = ax+b

cx+d za parametre a, b, c , d ∈ R, c 6= 0 i a 6= 0ili b 6= 0 je hiperbola u ravnini.Funkcija f je parna, ako je


OutlineFunkcija






x ∈ D(f ) =⇒ −x ∈ D(f ) i f (x) = f (−x), ∀x ∈ D(f ).Funkcija f je neparna, ako jex ∈ D(f ) =⇒ −x ∈ D(f ) i f (x) = −f (−x),∀x ∈ D(f ).


OutlineFunkcija






Monotone funkcije

Funkcija je monotona na X ako raste ili pada na X .Funkcija f raste na X ako

(x1, x2 ∈ X , x1 > x2) =⇒ (f (x1) ≥ f (x2)).

Funkcija f pada na X ako

(x1, x2 ∈ X , x1 > x2) =⇒ (f (x1) ≤ f (x2)).


OutlineFunkcija






Funkcija potraznje

Funkcija potraznje q za nekom robom ovisi o cijeni te robe p1, ocijenama nekih drugih roba (konkurentnih ili komplementarnih)p2, ..., pn, o dohotku potrosaca k i trenutku t razmatranja.Funkcija potraznje u uzem smislu ovisi samo o cijeni te robe, tjq = q(p). Podrucje definicije je

D(q) = {p : p ≥ 0, q(p) ≥ 0}.


OutlineFunkcija






Primjeri funkcije potraznje, za a, b > 0.

1. q = a−pb

2. q = 1ap+b

3. q = a−p2

b

4. q =√

a−pb

5. q = ap2 + c

6. q = ae−bp


OutlineFunkcija






Granicna vrijednost funkcije ili limes funkcije

Neka je funkcija f definirana na otvorenom intervalu (a, b) osimeventualno u x0 ∈ (a, b). Postavlja se pitanje koja bi bila prirodnavrijednost funkcije f u x0. Pogledajmo primjer slijedece funkcije,

f (x) =x2 − 1

x − 1.

Ova funkcija je definirana za sve realne brojeve, osim za x0 = 1,paje mozemo zapisati

f (x) = x + 1, x ∈ R \ {1}.

Graf ove funkcije su sve tocke pravca osim tocke (1, 2),

G = {(x , x + 1) : x ∈ R \ {1}}.EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






Vidimo da jex ≈ 1 =⇒ f (x) = x + 1 ≈ 2

te sto je x blizi vrijednosti 1, f (x) je blizi vrijednosti 2, tj.

x → 1, f (x)→ 2.

Kazemo da je 2 granicna vrijednost ili limes funkcije kada se xpriblizava (tezi) 1 i pisemo

limx→1

x2 − 1

x − 1= 2.


OutlineFunkcija






Definicija: Neka je funkcija f definirana na otvorenomintervalu (a, b) osim eventualno u x0 ∈ (a, b). Granicnavrijednost ili limes funkcije f u x0 je L i pisemo

limx→x0

f (x) = L

ako za ∀ε > 0, ∃δ > 0 takav da

x ∈ (a, b) \ {x0}, |x − x0| < δ =⇒ |f (x)− L| < ε.

A.L.Cauchy (1821), B.Bolzano(1817)Primjetimo da δ = δ(ε) i

|x − x0| < δ =⇒ x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)

|f (x)− L| < ε =⇒ f (x) ∈ (L− ε, L + ε).


OutlineFunkcija






U nasem primjeru to znaci

|f (x)− L| = |x + 1− 2| = |x − 1| < ε

pa je δ = ε. Ako uzmemo ε = 0.01 onda imamo

x ∈ (1− 0.01, 1 + 0.01) =⇒ f (x) = x + 1 ∈ (2− 0.01, 2 + 0.01)

Za vjezbu: Ako je

f (x) =2x2 − x

x

odredite limes funkcije kada x → 0 po definiciji.


OutlineFunkcija






Postupak za limes razlomljene racionalne funkcije

Ako je f razlomljena racionalna funkcija

f (x) =Pn(x)

Qm(x)

gdje je Pn polinom stupnja n, Qm polinom stupnja m i x0 nultockaoba polinoma dobivamo neodredjeni izraz

f (x0) =0

0.

Racunamo

limx→x0

f (x) = limx→x0

Pn(x)

Qm(x)= lim

x→x0

Pn(x) : (x − x0)

Qm(x) : (x − x0)EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






i dobivamo ponovo polinome u brojniku i nazivniku sa stupnjem zajedan manjem nego sto su bili.Primjer:

limx→2

x2 − 5x + 6

x − 2= lim

x→2(x − 3) = −1.


OutlineFunkcija






Jednostrani limes

Mozemo promatrati limes funkcije ako x pada prema x0, priblizavase vrijednosti x0 s desna, tj.

limx→x0+

= L.

Pretpostavljamo da je funkcija f definirana na otvorenom intervalu(x0, b). Limes funkcije f s desna u x0 je L ako za ∀ε > 0,∃δ > 0takav da iz

x > x0, |x − x0| < δ =⇒ |f (x)− L| < ε.


OutlineFunkcija






Limes funkcije ako x raste prema x0, priblizava se vrijednosti x0 slijeva, tj.

limx→x0−

= G .

Ako je L = G onda jelim

x→x0

= L.

Primjer:

limx→0+

1

x=∞

limx→0−

1

x= −∞


OutlineFunkcija






Racun s limesima

Ako je

limx→x0

f (x) = L, limx→x0

g(x) = K

onda vrijedi

limx→x0

(f (x) + g(x)) = limx→x0

f (x) + limx→x0

g(x) = L + K .

limx→x0

(f (x)g(x)) = limx→x0

f (x) · limx→x0

g(x) = LK .


OutlineFunkcija






Ako je K 6= 0, g(x) 6= 0 za x blizu x0 onda vrijedi

limx→x0

f (x)

g(x)=

limx→x0

f (x)

limx→x0

g(x)=

L

K.


OutlineFunkcija






limx→x0

(f (x))m = ( limx→x0

f (x))m = Lm

limx→x0

(logb f (x)) = logb limx→x0

f (x) = logb L

Limes funkcije ako x neograniceno raste

Definicija : Neka je funkcija f definirana na otvorenom intervalu(a,∞). Limes funkcije f ako x neograniceno raste je L i pisemo

limx→∞

f (x) = LEF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






ako za ∀ε > 0,∃M > 0 takav da iz

x > M =⇒ |f (x)− L| < ε.

Primjer:lim

x→∞e−x = 0

Vazniji limesi

limx→∞

(1 +

1

x

)x

= e

limx→0

sin x

x= 1


OutlineFunkcija






Neprekidna funkcija

Funkcijaf : (a, b)→ R

je neprekidna u x0 ∈ (a, b) ako je

limx→x0

f (x) = f (x0).


OutlineFunkcija






Derivacija

Uvod i motivacija

Neka je (a, b) ⊂ R otvoreni interval i f i g realne funkcijedefinirane na otvorenom intervalu (a, b), tj.

f , g : (a, b)→ R.

Definiramo funkciju

h = f − g

s

h(x) = f (x)− g(x), ∀x ∈ (a, b)EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






i zovemo je razlika ili diferencija funkcija f i g .U diferencijalnom racunu izucavamo moze li se funkcija faproksimirati polinomom n−tog stupnja oko tocke x = x0 ∈ (a, b).Polinom

g(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0

biramo tako da jef (x0) = g(x0) (1)

f (x) ≈ g(x)za svako x dovoljno blizux0 (2)

ili

h(x) = f (x)− g(x) ≈ 0 ”malo” za svako x dovoljno blizu x0.(3)


OutlineFunkcija






Ako su ispunjeni uvjeti (1) i (2) kazemo da je funkcija f lokalnoaproksimirana oko x0 funkcijom g .Prvo cemo promatrati aproksimaciju funkcije f oko x0 polinomomprvog stupnja, g(x) = a1x + a0 = kx + l , odnosno lokalnulinearnu aproksimaciju.Matematicki pojam koji to omogucuje naziva se derivacija funkcijea postupak trazenja derivacije zove se diferenciranje.Dakle, potrebno je odrediti funkciju g(x) = kx + l za koju vrijedi

f (x0) = g(x0) = kx0 + l

i

f (x) ≈ g(x) = kx + l za x ≈ x0.EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






Vidimo iz

f (x)− f (x0) ≈ g(x)− g(x0) = k(x − x0), x ≈ x0

proizlazif (x)− f (x0)

x − x0≈ k, x ≈ x0.


OutlineFunkcija






Izraz

K =f (x)− f (x0)

x − x0

naziva se kvocjent diferencija. Pogledajmo sada sliku 1.


OutlineFunkcija






Primjetimo da je kvocjent diferencija

K =f (x)− f (x0)

x − x0

koeficijent smjera sekante krivulje {(x , f (x)) : x ∈ (a, b)}. Sekantaje pravac koji prolazi tockama P(x0, f (x0)) i T (x , f (x)). Kada setocka T priblizava tocki P, odnosno kada

x → x0

promatramo

limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0.


OutlineFunkcija






Ako ova granicna vrijednost postoji i jednaka je realnom broju k ,onda kazemo da funkcija f u tocki x0 ima derivaciju ili da je fdiferencijabilna u x0.Broj

k = limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0(4)

je koeficijent smjera pravca.Pravac prolazi kroz tocku P(x0, f (x0)) i s poznatim koeficijentomsmjera k danim s (4) jednoznacno je odredjen.Nazivamo ga tangenta krivulje {(x , f (x)) : x ∈ (a, b)}. Broj koznacavamo

f ′(x0) ili Df (x0) ilidf (x0)

dxili

d

dxf (x0)


OutlineFunkcija






i nazivamo ga derivacija funkcije f u tocki x0.


OutlineFunkcija






Primjer: Neka je f (x) = x2 i x0 = 1. Odredimo tangentu parabole{(x , x2) : x ∈ R} u tocki P(1, f (1)) = (1, 1). Koeficijent smjeradane parabole u tocki (1, 1) je

k = limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0= lim

x→1

f (x)− f (1)

x − 1=

= limx→1

x2 − 1

x − 1= lim

x→1(x + 1) = 2.

Tangenta parabole f (x) = x2 u tocki P(1, 1) je pravac zadanjednadzbom y = 2x − 1, odnosno g(x) = 2x − 1 je polinom prvogstupnja za koji vrijedi

x2 ≈ 2x − 1 za x ≈ 1.EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






Provjerimo za neke vrijednosti varijable x u okolini x = 1

x 0.9 0.99 0.999 1.001 1.01 1.1

x2 0.81 0.9801 0.998 1.002 1.02 1.21

2x − 1 0.8 0.98 0.998 1.002 1.02 1.2


OutlineFunkcija






Ako funkcija f u x0 ima derivaciju f ′(x0), onda za polinom

g(x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)

prvog stupnja kazemo da je tangencijalan funkciji f u tocki x0, apravac

y − f (x0) = f ′(x0)(x − x0)

je tangenta na krivulju G = {(x , f (x)) : x ∈ I} u tocki (x0, f (x0)).


OutlineFunkcija






Ako je f ′(x0) 6= 0, normala na krivulju G = {(x , f (x)) : x ∈ I} utocki (x0, f (x0)) je pravac

y − f (x0) = − 1f ′(x0) (x − x0)


OutlineFunkcija






Odredite jednadzbu tangente i normale na krivuljuG = {(x , f (x)) : x ∈ R} , ako je f (x) = x3 i x = 1Prvo cemo odrediti koeficijent smjera k tangente

k = limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0= lim

x→1

f (x)− f (1)

x − 1=

= limx→1

x3 − 1

x − 1= lim

x→1(x2 + x + 1) = 3.

Kako je P(1, 1) i k = 3, tangenta je pravac zadan jednadzbom

y = 3x − 2.

Normala je

y = −1

3x +

4

3.


OutlineFunkcija






Primjer: Odredite jednadzbu tangente i normale na krivuljuG = {(x , f (x)) : x ∈ R+} ako je f (x) =

√x i x = 1.

Prvo cemo odrediti koeficijent smjera k tangente

k = limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0= lim

x→1

f (x)− f (1)

x − 1=

= limx→1

√x − 1

x − 1== lim

x→1

x − 1

(x − 1)(√

x + 1)=

1

2.

Jednadzba tangente je

y =1

2x +

1

2,

a normaley = −2x + 3.


OutlineFunkcija






Neke funkcije nemaju derivaciju u svim tockama u kojima sudefinirane, pa i ako su u njima neprekidne. Sada cemo promotritijednu takvu funkciju, na primjer neka je

f (x) = |x | =

{x , x ≥ 0−x , x < 0

u x = 0. Pogledajmo granicnu vrijednost s desna

limx→0+

f (x)− f (0)

x − 0= lim

x→0+

|x |x

= limx→0+

x

x= 1.

S druge strane granicna vrijednost s lijeva je

limx→0−

f (x)− f (0)

x − 0= lim

x→0−

|x |x

= limx→0−

−x

x= −1.


OutlineFunkcija






Kako je 1 6= −1, granicna vrijednost funkcije

F (x) =|x |x

kada x → 0 ne postoji, pa funkcija f (x) = |x | nema derivaciju zax = 0.


OutlineFunkcija






Teorem: Ako je funkcija

f : (a, b)→ R

diferencijabilna u tocki x0 ∈ (a, b) onda je ona neprekidna u x0.Dokaz: Kako je

limx→x0

(f (x)− f (x0)) =

= limx→x0

(f (x)− f (x0))x − x0

x − x0=

= limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0lim

x→x0

(x − x0) =

= f ′(x0) · 0 = 0.EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






Posljedica ovog teorema je:Ako funkcija ima derivaciju u svakoj tocki x ∈ (a, b) = I onda je xneprekidna na tom intervalu.


OutlineFunkcija






Derivacija elementarnih funkcija

Ako funkcija f , f : (a, b)→ R, ima derivaciju za svako x0 ∈ (a, b)definiramo novu funkciju

x 7→ f ′(x)

i f ′ zovemo derivacija funkcije f na (a, b).Ako funkcija f ′ ima derivaciju u tocki x0 ∈ (a, b), oznacavamo jef ′′(x0) i kazemo da je f ′′(x0) druga derivacija funkcije f u x0.Analogno uvodimo f ′′′ trecu, f IV cetvrtu, . . .,f (n) n-tu derivacijufunkcije f .


OutlineFunkcija






Sada cemo odrediti funkciju f ′ za neke jednostavne funkcije i stogauvodimo novi zapis derivacije funkcije f u tocki x ,

f ′(x) = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x.

Oznacimo li promjenu funkcije f s ∆y = f (x + ∆x)− f (x) imamo

f ′(x) = lim∆x→0

∆y

∆x.


OutlineFunkcija






Derivacija potencijeAko je f (x) = x , onda

f ′(x) = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x= lim

∆x→0

x + ∆x − x

∆x=

= lim∆x→0

∆x

∆x= lim

∆x→01 = 1

Dakle,(x)′ = 1.


OutlineFunkcija






Ako je f (x) = x2 , onda

f ′(x) = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x= lim

∆x→0

(x + ∆x)2 − x2

∆x=

= lim∆x→0

2x∆x + (∆x)2

∆x=

= lim∆x→0

(2x + ∆x)∆x

∆x= lim

∆x→0(2x + ∆x) = 2x .

Dakle,(x2)′ = 2x .


OutlineFunkcija






Ako je f (x) = xn, n ∈ N, onda

f ′(x) = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x= lim

∆x→0

(x + ∆x)n − xn

∆x=

= lim∆x→0

(x + ∆x − x)((x + ∆x)n−1 + (x + ∆x)n−2x + · · ·+ xn−1)

∆x=

= lim∆x→0

∆x((x + ∆x)n−1 + (x + ∆x)n−2x + · · ·+ xn−1)

∆x=

= lim∆x→0

((x+∆x)n−1+(x+∆x)n−2x+· · ·+(x+∆x)xn−2+xn−1) = nxn−1.

Dakle,(xn)′ = nxn−1.


OutlineFunkcija






Ako je f (x) =√

x , onda

f ′(x) = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x=

= lim∆x→0

√x + ∆x −

√x

∆x=

= lim∆x→0

√x + ∆x −

√x

∆x·√

x + ∆x +√

x√x + ∆x +

√x

=

= lim∆x→0

x + ∆x − x

∆x(√

x + ∆x +√

x)=

= lim∆x→0

∆x

∆x(√

x + ∆x +√

x)=


OutlineFunkcija






= lim∆x→0

1√x + ∆x +

√x

=1

2√

x=

1

2x−

12 .

Dakle,

(√

x)′ = 12x−

12 .

Moze se pokazati da opcenito vrijedi

(xp)′ = pxp−1.


OutlineFunkcija






Derivacija zbroja funkcijaAko je

f = u + v

tj.f (x) = u(x) + v(x), ∀x ∈ (a, b)

i u, v funkcije koje na intervalu I imaju poznatu derivaciju u′ i v ′,onda je

f ′(x) = (u(x) + v(x))′ = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x=

lim∆x→0

u(x + ∆x) + v(x + ∆x)− u(x)− v(x)

∆x=


OutlineFunkcija






= lim∆x→0

u(x + ∆x)− u(x)

∆x+ lim

∆x→0

v(x + ∆x)− v(x)

∆x=

= u′(x) + v ′(x).

Dakle(u + v)′ = u′ + v ′.


OutlineFunkcija






Derivacija produkta funkcije i konstanteAko je f = Cu tj.

f (x) = Cu(x), ∀x ∈ (a, b),

onda je(Cu)′ = Cu′.

Naime

f ′(x) = (Cu(x))′ = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x=

= lim∆x→0

Cu(x + ∆x)− Cu(x)

∆x=


OutlineFunkcija






= C lim∆x→0

u(x + ∆x)− u(x)

∆x= Cu′(x).


OutlineFunkcija






Derivacija polinomaAko je

Pn(x) =n∑

i=0

aixi = anx

n + · · ·+ a1x + a0

onda jeP ′n(x) = nanx

n−1 + · · ·+ a1

tj.P ′n(x) =

∑ni=1 iaix

i−1.

Takodjer vrijedi

Pn(x) =n∑

i=0

P(i)n

i !(0)x i = Pn(0) + P ′n(0)x + · · ·+ P

(n)n (0)

n!xn


OutlineFunkcija






sto je razvoj polinoma oko nule. Naime, lako vidimo da je

a0 = Pn(0)a1 = P ′n(0)

...

i !ai = P(i)n (0)

...

n!an = P(n)n (0)

Mozemo razviti polinom oko x0 (sto cemo pokazati kasnije) paimamo

Pn(x) =n∑

i=0

P(i)n (x0)

i !(x − x0)i .


OutlineFunkcija






Derivacija produktaPretpostavimo da je funkcija f produkt dviju funkcija u i v , f = uvtj.

f (x) = u(x)v(x), ∀x ∈ (a, b)

kojima su poznate derivacije u′ i v ′ pa je

(uv)′ = u′v + uv ′.

Naime∆f = ∆y = f (x + ∆x)− f (x) =

= u(x + ∆x)v(x + ∆x)− u(x)v(x) =

= (u(x + ∆x)− u(x))v(x + ∆x) + u(x)(v(x + ∆x)− v(x))


OutlineFunkcija






Prelazimo sada na slijedece

f ′(x) = (u(x)v(x))′ = lim∆x→0

∆y

∆x=

= lim∆x→0

u(x + ∆x)− u(x)

∆xlim

∆x→0v(x + ∆x)+

+u(x) lim∆x→0

v(x + ∆x)− v(x)

∆x=

= u′(x)v(x) + u(x)v ′(x).


OutlineFunkcija






Derivacija kvocijenta funkcijaAko je

f =u

v

tj.

f (x) =u(x)

v(x), ∀x ∈ (a, b),

onda je (u

v

)′=

u′v − uv ′

v2.


OutlineFunkcija






Derivacija logaritamske funkcijeAko je f (x) = logb x , onda

f ′(x) = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x=

= lim∆x→0

logb(x + ∆x)− logb x

∆x=

= lim∆x→0

1

∆xlogb

x + ∆x

x=

logb lim∆x→0

(1 +

∆x

x

) 1∆x

= logb e1x =

1

xlogb e.


OutlineFunkcija






Dakle,

(logb x)′ = logb e1x =

1

xlogb e.

Specijalno, ako je b = e, onda

(ln x)′ =1

x.


OutlineFunkcija






Derivacija slozene funkcije

Neka je funkcija f slozena funkcija, f (x) = v(u(x)), te funkcije u iv funkcije kojima su poznate derivacije u′ i v ′.Dakle

f (x) = v(u(x)) = v(u), u = u(x).

Ako se varijabla x promijeni za ∆x , onda ce se funkcija u = u(x)promijeniti za

∆u = u(x + ∆x)− u(x).

Promjena ∆u izaziva promjenu funkcije v = v(u)

∆v = v(u + ∆u)− v(u).


OutlineFunkcija






Izracunajmo sada derivaciju f ′.

f ′(x) = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x=

= lim∆x→0

v(u(x + ∆x))− v(u(x))

∆x=

= lim∆x→0

v(u(x) + ∆u))− v(u(x))

∆x· ∆u

∆u=

= lim∆x→0

v(u + ∆u)− v(u)

∆u· ∆u

∆x

Kako je u neprekidna funkcija, kada ∆x → 0 takodjer ∆u → 0.


OutlineFunkcija






Zato

lim∆x→0

v(u + ∆u)− v(u)

∆u· ∆u

∆x=

= lim∆u→0

v(u + ∆u)− v(u)

∆u· lim

∆x→0

∆u

∆x=

=dv

du· du

dx= v ′(u(x)) · u′(x).


OutlineFunkcija






Dakle,

((v(u(x))′ =dv

du· du

dx= v ′(u) · u′(x).

Ako je f (x) = (u(x))n = un, onda je

f ′(x) = v ′(u)u′(x) = nun−1u′(x).

Primjer: Ako je f (x) = (x2 + 1)4, onda je

f ′(x) = (v(u))′ = (u4)′ = 4u3·u′(x) = 4(x2+1)3·2x = 8x(x2+1)3.

Primjer: Ako je f (x) = 2(x2 − x + 1)−2, onda je

f ′(x) = (v(u))′ = (u−2)′ = −4u−3 · u′(x) =EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






= −4(x2 − x + 1)−3 · (2x − 1) = −42x − 1

(x2 − x + 1)3.


OutlineFunkcija






Sada mozemo razviti polinom oko x0. Naime, ako je

Pn(x) = bn(x − x0)n + · · ·+ b1(x − x0) + b0

onda

b0 = Pn(x0)b1 = P ′n(x0)

...

i !bi = P(i)n (x0)

...

n!bn = P(n)n (x0)


OutlineFunkcija






pa je

Pn(x) =n∑

i=0

P(i)n (x0)

i !(x − x0)i .


OutlineFunkcija






Derivacija inverzne funkcijeFunkcija g je inverzna funkciji f ako je

g(f (x)) = x , ∀x ∈ D(f ).

Sada jeg ′(f (x))f ′(x) = 1

ili

g ′(y) =1

f ′(x)

odnosno

f ′(x) =dy

dx, g ′(y) =

dx

dy.


OutlineFunkcija






Derivacija eksponencijalne funkcijeAko je f (x) = bx , onda je njoj inverzna funkcija g(x) = logb x , paimamo

f ′(x) =d

dxbx =

1ddy logb y

=1

1y logb e

=y

logb e=

=bx

logb e= bx ln b.

Dakle,

(bx)′ =bx

logb e= bx ln b.

Specijalno, ako je b = e, onda je

(ex)′ = ex .EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






Derivacija trigonometrijskih funkcija

(sin x)′ = lim∆x→0

sin(x + ∆x)− sin x

∆x=

= lim∆x→0

2 cos 2x+∆x2 sin ∆x

2

∆x=

= lim∆x→0

cos(x +∆x

2) lim

∆x→0

2 sin ∆x2

∆x= cos x .

Dakle(sin x)′ = cos x .


OutlineFunkcija






(cos x)′ = lim∆x→0

cos(x + ∆x)− cos x

∆x=

= lim∆x→0

−2 sin 2x+∆x2 sin ∆x

2

∆x=

= − lim∆x→0

sin(x +∆x

2) lim

∆x→0

2 sin ∆x2

∆x= − sin x .

Dakle(cos x)′ = − sin x .


OutlineFunkcija






(tgx)′ =

(sin x

cos x

)′=

=cos x cos x + sin x sin x

cos2 x=

1

cos2.

(ctgx)′ =(cos x

sin x

)′=

=− sin x sin x − cos x cos x

sin2 x= − 1

sin2.


OutlineFunkcija






Derivacija ciklometrijskih funkcijaZa funkciju y = arcsin x , x ∈< −1, 1 > inverzna je funkcijax = sin y , y ∈< −π

2 ,π2 > ciju derivaciju znamo. Stoga je

d

dxarcsin x =

1ddy sin y

=1

cos y=

1√1− sin2 y

=

=1√

1− x2


OutlineFunkcija






Za funkciju y = arccos x , x ∈< −1, 1 > inverzna je funkcijax = cos y , y ∈< 0, π > ciju derivaciju znamo. Stoga je

d

dxarccos x =

1ddy cos y

= − 1

sin y= − 1√

1− cos2 y=

= − 1√1− x2


OutlineFunkcija






Za funkciju y = arctgx , x ∈< −∞,∞ > inverzna je funkcijax = tgy , y ∈< −π

2 ,π2 > ciju derivaciju znamo. Stoga je

d

dxarctgx =

1ddy tgy

=11

cos2 y

= cos2 y =

=1

1 + tg2y=

1

1 + x2.


OutlineFunkcija






DiferencijalNagib tangente u tocki P = (x0, f (x0)) krivuljeG = {(x , f (x)) : x ∈ (a, b)} funkcije f : (a, b)→ R je

k = f ′(x0)

i jednadzba tangenteje

y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0).

Tangenta u tocki P aproksimira krivulju u okolini tocke P, to boljesto je tocka T = (x , f (x)) blize tocki P, odnosno linearna funkcijag(x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) aproksimira funkciju f u okolini odx0, dakle

f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + r(x)EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






gdje je r(x) greska aproksimacije i


OutlineFunkcija






limx→x0

r(x)

x − x0= 0.

Stavimo li uobicajene oznake

∆y = f (x)− f (x0), ∆x = x − x0

imamo∆y = f ′(x0)∆x + r(x).

Staviti cemo∆x = dx

i izrazdy = f ′(x0)dx


OutlineFunkcija






zovemo diferencijal funkcije f u x0. Ekvivalentno, dy je prirasttangente (tangenta je kroz P = (x0, f (x0)) grafa G ) u tockiT = (x , f (x)).


OutlineFunkcija






Primjer: Koristeci se aproksimacijom oko x0 = 9, izracunajte√

10i√

8.Funkciju f (x) =

√x aproksimiramo linearnom funkcijom oko

x0 = 9 i dobivamo

f (x) = f (9) + f ′(9)(x − 9) + r(x)

ili

f (x) = 3 +1

6(x − 9) + r(x)

odnosno

√10 = 3 +

1

6(10− 9) + r(10) = 3, 16666 . . .+ r(x)


OutlineFunkcija






Kako je √10 = 3, 16227766...

mozemo izracunati i gresku aproksimacije.Analogno

√8 = 3 +

1

6(8− 9) + r(8) = 2, 83333 . . .+ r(x)

i zbog √8 = 2, 828427125...

vidimo kolika je tocnost dobivenog racuna.


OutlineFunkcija






Diferencijal funkcije y = f (x) u x je

dy = f ′(x)dx

ilidy = y ′dx

te vrijedi∆y ≈ dy .


OutlineFunkcija






Taylorova formula

Teorem o srednjoj vrijednosti: Neka je f neprekidna funkcija na[a, b] i derivabilna na otvorenom intervalu (a, b).Tada postoji barem jedan c ∈ (a, b) takav da vrijedi

f ′(c) =f (b)− f (a)

b − a.

Lagrange (1736-1813) je pokazao da postoji tocka (c , f (c)),c ∈ (a, b) krivulje G = {(x , f (x)) : x ∈ D(f )} u kojoj je tangentaparalelna sekanti kroz tocke (a, f (a)) i (b, f (b)) ili ekvivalentno,postoji 0 < ϑ < 1 takav da je

f (b)− f (a) = f ′(a + ϑ(b − a))(b − a)EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






Pisemo li a = x0 i b = x , dobivamo

f (x) = f (x0) + f ′(x0 + ϑ(x − x0))(x − x0).

Posljedice teorema o srednjoj vrijednosti;1. Neka je f ′(x) = 0, ∀x ∈ [a, b]. Onda je

f (x) = const.

2. Neka je f ′1(x) = f ′2(x), ∀x ∈ [a, b]. Onda je

f2(x) = f1(x) + const.

3. Cauchyjeva formulaEF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






Neka su f1, f2 neprekidne funkcije na intervalu [a, b] i postojederivacije f ′1 , f

′2 na otvorenom intervalu < a, b >, te f ′1(x) 6= 0 za

svakox ∈< a, b >. Onda postoji c ∈< a, b > takav da vrijedi

f2(b)− f2(a)

f1(b)− f1(a)=

f ′2(c)

f ′1(c).


OutlineFunkcija






4. L’Hospitalovo praviloNeka su f1, f2 neprekidne funkcije na intervalu [a, b] , f1(x0) = 0,f2(x0) = 0 za neko x0 ∈ (a, b), postoje derivacije f ′1(x), f ′2(x) 6= 0za svako x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Onda je

limx→x0

f1(x)

f2(x)= lim

x→x0

f ′1(x)

f ′2(x).


OutlineFunkcija






Primjer: Izracunat cemo

limx→1

x4 + x3 + x2 + x − 4

x4 + 3x3 + 2x2 + x − 7.

Kako jef1(1)

f2(1)=

0

0

imamo

limx→1

x4 + x3 + x2 + x − 4

x4 + 3x3 + 2x2 + x − 7= lim

x→1

4x3 + 3x2 + 2x + 1

4x3 + 9x2 + 4x + 1=

=10

18


OutlineFunkcija






L’Hospital-ovo pravilo vrijedi i ako je

f1(x0)

f2(x0)=∞∞.

Izracunajmolimx→0

x ln x


OutlineFunkcija






Prosirenje teorema o srednjoj vrijednosti je:Teorem: Ako je f : [a, b]→ R neprekidna na [a, b] i postojiderivacija f ′ funkcije f za svako x ∈ [a, b] i druga derivacija f ′′

funkcije f za svako x ∈< a, b >, onda postoji ϑ ∈< 0, 1 > takavda vrijedi

f (b) = f (a) + f ′(a)(b − a) + f ′′(a + ϑ(b − a))(b − a)2

2.


OutlineFunkcija






Dokaz: Konstruiramo pomocnu funkciju

ϕ(x) = f (b)− f (x)− (b − x)f ′(x)− (b − x)2

2!· C

za koju je ϕ(b) = 0. konstantu C cemo odrediti iz pretpostavke daje ϕ(a) = 0 i dobivamo

C = 2f (b)− f (a)− (b − a)f ′(a)

(b − a)2.

No kako je ϕ(a) = ϕ(b) = 0 po Rollovom teoremu ili po teoremu osrednjoj vrijednosti postoji c ∈< a, b > takav da je ϕ′(c) = 0. Nosada je

C = f ′′(c)EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






i time je teorem dokazan.


OutlineFunkcija






Pisemo li a = x0 i b = x , dobivamo

f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + f ′′(x0 + ϑ(x − x0))(x − x0)2

2.

Primjetimo da smo ovim dobili kako se aproksimira derivabilnafunkcija polinomom prvog reda i kako izgleda greska ako funkcijaima drugu derivaciju. Stoga cemo oznaciti gresku aproksimacije s

R2(x − x0) = f ′′(x0 + ϑ(x − x0))(x − x0)2

2.


OutlineFunkcija






Ako funkcija ima dovoljan broj derivacija u okolini tocke x0, ondacemo funkciju f aproksimirati polinomom Pn n-tog stupnja kojiima svojstvo

f (x0) = Pn(x0)f ′(x0) = P ′n(x0)

...

f (n)(x0) = P(n)n (x0)

i

f (x) ≈ Pn(x)EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






za x blizu x0. Kako je

Pn(x) =n∑

k=0

P(k)n (x0)

(x − x0)k

k!

imamo Taylorovu formulu

f (x) =n∑

k=0

f (k)(x0)(x − x0)k

k!+ Rn+1(x − x0)

gdje je

Rn+1(x − x0) = f (n+1)(x0 + ϑ(x − x0))(x − x0)n+1

(n + 1)!

Lagrangeov oblik ostatka.EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






Ako funkcija f ima derivaciju f (n) za svako n ∈ N i

limn→∞

|Rn+1| = 0

imamo Taylorov red ili razvoj funkcije f oko x0

f (x) =∞∑

k=0

f (k)(x0)(x − x0)k

k!.


OutlineFunkcija






Primjer: Ako je f (x) = ex , onda je f (n)(x) = ex za svako n ∈ R.Ako ovu funkciju razvijamo oko x0 = 0 imamo

f (x) =n∑

k=0

f (k)(0)xk

k!+ Rn+1(0)

odnosno

ex =n∑

k=0

xk

k!+ Rn+1(0) = 1 + x +

x2

2+

x3

3!+

x4

4!+ · · ·

i

Rn+1(0) = f (n+1)(ϑx)xn+1

(n + 1)!= e(ϑx) xn+1

(n + 1)!.


OutlineFunkcija






Kako je

limn→∞

|Rn+1| = limn→∞

|e(ϑx) xn+1

(n + 1)!| = e(ϑx) lim

n→∞

xn+1

(n + 1)!= 0

Imamo Taylorov razvoj funkcije ex oko nule.Pogledajmo sada kako cemo izracunati e0.1.Imamo

e0.1 ≈ 1 +1

10+

1

200+

1

240000+

1

12000000+

1

720000000

Za n = 0 imamo e0.1 ≈ 1 i R1 = 0.1e0.1ϑ.Za n = 1 imamo e0.1 ≈ 1.1 i R2 = 0.12

2 e0.1ϑ.

Za n = 2 imamo e0.1 ≈ 1.105 i R3 = 0.13

6 e0.1ϑ.EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






Za n = 3 imamo e0.1 ≈ 1.1051666... i R4 = 0.14

24 e0.1ϑ.Za n = 4 imamo e0.1 ≈ 1.105170833...Za n = 5 imamo e0.1 ≈ 1.105170917...Za n = 6 imamo e0.1 ≈ 1.105170918...Mozemo takodjer izracunati e razvojem oko nule pa je x = 1 iimamo

e ≈ 1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+ +

1

4!+ · · ·+ +

1

10!= 2.71828176.


OutlineFunkcija






Rast i pad funkcijeFunkcija f raste u tocki x0 ako postoji okolinaO(δ) = (x0 − δ, x0 + δ), δ > 0, tocke x0 takva da vrijedi

f (x) < f (x0), ∀x ∈ (x0 − δ, x0)

f (x0) < f (x), ∀x ∈ (x0, x0 + δ).

Takodjer kazemo da funkcija f prolazi kroz tocku x0 rastuci.Funkcija f pada u tocki x0 ako postoji okolina (x0 − δ, x0 + δ)tocke x0 takva da vrijedi

f (x) > f (x0), ∀x ∈ (x0 − δ, x0)

f (x0) > f (x), ∀x ∈ (x0, x0 + δ).


OutlineFunkcija






Teorem: Ako je f ′(x0) > 0, onda funkcija f raste u x0. Ako jef ′(x0) < 0, onda funkcija f pada x0.Dokaz:Ako je f ′(x0) > 0, onda za x dovoljno blizu x0 vrijedi

f (x)− f (x0)

x − x0> 0.

Ako jex > x0 ⇒ f (x) > f (x0).

Ako jex < x0 ⇒ f (x) < f (x0).


OutlineFunkcija






Primjer: Imamo funkciju

f (x) = x3 − 3x2

Kako prolazi ova funkcija kroz

x1 = −1, x2 = 1, x3 = 4.

Kako jef ′(x) = 3x2 − 6x

i f ′(−1) = 9 > 0 kroz x1 = −1 prolazi rastuci,f ′(1) = −3 < 0 kroz x2 = 1 prolazi padajucif ′(4) = 24 > 0 kroz x3 = 4 prolazi rastuci.


OutlineFunkcija






Teorem: Ako je f ′(x) > 0, ∀x ∈ (a, b), onda funkcija f raste na(a, b). Ako je f ′(x) < 0, ∀x ∈ (a, b), onda funkcija f pada na(a, b).Dokaz izvodimo pomocu teorema o srednjoj vrijednosti. Ako jex1, x2 ∈ (a, b) postoji x ∈ (x1, x2), takav da je

f ′(x) =f (x2)− f (x1)

x1 − x2.

Ako je f ′(x) > 0 onda je za x2 > x1 f (x2) > f (x1).Ako je f ′(x) ≥ 0 i f ′(x) = 0 na konacnom skupu tocaka, ondafunkcija f raste na intervalu (a, b).


OutlineFunkcija






Primjeri:1.Za f (x) = x2, f ′(x) = 2x > 0 ,∀x > 0.Za f (x) = x2, f ′(x) = 2x < 0, ∀x < 0.2. Za f (x) = −x2, f ′(x) = −2x > 0, ∀x < 0.Za f (x) = −x2, f ′(x) = −2x < 0, ∀x > 0.3. Za f (x) = x3, f ′(x) = 3x2 > 0, ∀x 6= 0.4. Za f (x) = x − 1

x , f ′(x) = 1 + 1x2 > 0, funkcija raste

∀x ∈ (−∞, 0),∀x ∈ (0,∞).5. Za f (x) = ex , f ′(x) = ex > 0, ∀x ∈ R.


OutlineFunkcija






Ekstremi funkcije jedne varijableNeprekidna funkcija f dostize svoju najvecu i najmanju vrijednostna zatvorenom intervalu [a, b], tj. postoji x∗, x ∈ [a, b] takvi da je

f (x∗) ≥ f (x), ∀x ∈ [a, b],

f (x) ≤ f (x), ∀x ∈ [a, b].

Kazemo da je x∗ globalni maksimum funkcije f na intervalu[a, b], a x globalni minimum funkcije f na intervalu [a, b]. Jednoime za globalni maksimum i globalni minimum je globalniekstrem.


OutlineFunkcija






Definicija: x∗ ∈ [a, b] je lokalni maksimum funkcije f ako postojiδ > 0 takav da je

f (x∗) ≥ f (x), ∀x ∈ (x∗ − δ, x∗ + δ) ∩ [a, b].

x ∈ [a, b] je lokalni minimum funkcije f ako postoji δ > 0 takavda je

f (x) ≤ f (x), ∀x ∈ (x − δ, x + δ) ∩ [a, b].

Jedno ime za lokalni maksimum i lokalni minimum je lokalniekstrem.


OutlineFunkcija






Teorem: Neka je x∗ ∈ (a, b) lokalni ekstrem funkcije f i postojif ′(x∗) . Onda je f ′(x∗) = 0.Dokaz: Ako je x∗ lokalni maksimum, onda postoji okolina(x∗ − δ, x∗ + δ) oko tocke x∗ takva da za svakox ∈ (x∗ − δ, x∗ + δ) = O(δ) vrijedi

f (x∗) ≥ f (x).

Mi biramo x ∈ (x∗ − δ, x∗ + δ). Ako je x < x∗, tj. x ∈ (x∗ − δ, x∗),onda je

f (x)− f (x∗)

x − x∗≥ 0

pa je


OutlineFunkcija






limx→x∗−

f (x)− f (x∗)

x − x∗≥ 0.

Ako je x > x∗, onda je

f (x)− f (x∗)

x − x∗≤ 0

limx→x∗+

f (x)− f (x∗)

x − x∗≤ 0.

Dakle imamo f ′(x∗) = 0.


OutlineFunkcija






Teorem: Ako je funkcije f definirana na intervalu [a, b] if ∈ C 2(a, b) postoje prva i druga derivacija za neko x∗, x ∈ (a, b)takve da je(i)

f ′(x∗) = 0, f ′′(x∗) < 0,

onda je x∗ lokalni maksimum(ii)

f ′(x) = 0, f ′′(x) > 0,

onda je x lokalni minimum.


OutlineFunkcija






Dokaz:Dokazati cemo drugu tvrdnju teorema. Prva se dokazuje analogno.Ako je f ′′(x0) > 0 zbog neprekidnosti funkcije f ′′ postoje i drugevrijednosti varijable iz neke dovoljno male okoline oko x0 osimvrijednosti x0 u kojima je druga derivacija pozitivna. Zato prikoristenju prosirenog teorema o srednjoj vrijednosti

f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + f ′′(x0 + ϑ(x − x0))(x − x0)2

2.

biramo x takav da za dobiveni ϑ je f ′′(x0 + ϑ(x − x0)) ≥ 0. Ako jex = x0 i f ′(x) = 0 imamo f (x) ≥ f (x) za svako x dovoljno blizu xpa je u x dostignut lokalni minimum.Komentirajmo prvu tvrdnju teorema (i) Ako je f ′′(x∗) < 0, onda je


OutlineFunkcija






za svako x dovoljno blizu x0

f ′(x)− f ′(x∗)

x − x∗=

f ′(x)

x − x∗< 0

zbog f ′(x∗) = 0. Za

x < x0 ⇒ f ′(x) > 0

pa funkcija f do tocke x∗ raste.Za

x > x∗ ⇒ f ′(x) < 0

pa funkcija f od tocke x∗ pada. Dakle, x∗ je lokalni maksimum.Analogno komentiramo (ii).


OutlineFunkcija






Takodjer mozemo lagano pokazati slijedece: ako je f ′(x) = 0 if ′′(x) > 0 onda postoji okolina oko tocke x u kojoj je funkcija fkonveksna.


OutlineFunkcija






Konveksna funkcijaDefinicija: Funkcija

f : [a, b]→ R

je konveksna ako za svako x1, x2 ∈ [a, b], x1 6= x2 i α ∈ [0, 1] vrijedi

f ((1− α)x1 + αx2) ≤ (1− α)f (x1) + αf (x2).

Teorem: Ako je funkcija konveksna na [a, b] onda je neprekidnana (a, b).Derivabilna funkcija je konveksna ako i samo ako tangenta u bilokojoj tocki grafa funkcije lezi na grafu ili ispod njega.


OutlineFunkcija






Teorem: Ako funkcija f ima derivaciju na (a, b), ona je konveksnana intervalu (a, b) ako i samo ako

f (x) ≥ f (x0) + f ′(x0)(x − x0), ∀x , x0 ∈< a, b > .

Dokaz: Neka je funkcija f konveksna na intervalu (a, b), tj. zasvako x1, x2 ∈ (a, b) i α ∈ (0, 1) vrijedi

f ((1− α)x1 + αx2) ≤ (1− α)f (x1) + αf (x2).

(x1, f (x1) i Oznacimo s x0 = (1− α)x1 + αx2), gdje je α ∈ (0, 1).Mozemo onda lako vidjeti da je

x0 − x1 = α(x2 − x1).EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






Sada imamo

f (x0)− f (x1) ≤ α(f (x2)− f (x1)).

Uz x1 6= x2 pretpostavimo da je x1 < x2 a zbog konstrukcije x0 je

x1 < x0 < x2.

To znaci da je

f (x0)− f (x1)

x0 − x1≤ f (x2)− f (x1)

x2 − x1.

Ako sada pustimo da x1 → x0 s lijeve strane dobivamo derivacijufunkcije f u x0. S desne strane je neprekidna funkcija i dobivamo

f ′(x0) ≤ f (x2)− f (x0)

x2 − x0EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






odnosnof (x2) ≥ f (x0) + f ′(x0)(x2 − x0).

if (x2) ≥ f (x0) + f ′(x0)(x2 − x0), ∀x2, x0 ∈< a, b > .

Prvu nejednakost mnozimo s (1− α), drugu s α, pa ih potomzbrojimo i dobivamo

(1−α)f (x1)+αf (x2) ≥ f (x0)+f ′(x0)((1−α)(x1−x0)+α(x2−x0)) =

,= f (x0).


OutlineFunkcija






Ako funkcija f ima prvu derivaciju na (a, b) i ona je neprekidnafunkcija, te drugu derivaciju na (a, b) i ona je neprekidna na (a, b),kazemo da je ona klase C 2 na (a, b) i pisemo f ∈ C 2(a, b).Teorem: Neka je f ∈ C 2(a, b). Onda je f konveksna ako i samoako

f ′′(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b).

Takodjer funkcija f ∈ C 2(a, b) je konkavna na (a, b) ako i samoako je f ′′(x) ≤ 0 za svako x ∈ (a, b).


OutlineFunkcija






Tocka infleksije

Kazemo da je x0 tocka infleksije funkcije f ako u njoj iz konveksnogprelazi u konkavni ili konkavnog u konveksni oblik. Ako je funkcijaf ∈ C 2(a, b) ona u tocki x0 ima tocku infleksije ako drugaderivacija u x0 mijenja predznak. Na primjer ako je lijevo od x0

konveksna, tj. f ′′(x) > 0 za x < x0, a desno od x0 konkavna, tj. tj.f ′′(x) < 0 za x > x0, onda ona ima tocku infleksije u x0. No zbogneprekidnosti druge derivacije f ′′ funkcije f mora biti f ′′(x0) = 0.


OutlineFunkcija






Teorem: Ako je f ∈ C 2(a, b), x0 ∈ (a, b), f ′′(x0) = 0 i postojif ′′′(x0) 6= 0, onda je u x0 tocka infleksije.Dokaz: Ako je f ′′(x0) = 0 i

f ′′(x) < 0, x < x0

tef ′′(x) > 0, x > x0

onda jef ′′(x)

x − x0> 0

pa if ′′′(x0) > 0.


OutlineFunkcija






Teorem: Ako funkcija f ima sve derivacije u x0 koje su nampotrebne tj. f ∈ Cn(a, b) i ako je

f ′(x0) = f ′′(x0) = . . . = f (n−1)(x0) = 0

if (n)(x0) 6= 0

onda je za(i) n paran broj i f (n)(x0) > 0 u x0 strogi lokalni minimum(ii) n paran broj i f (n)(x0) < 0 u x0 strogi lokalni maksimum(iii) n neparan broj u x0 tocka infleksije.


OutlineFunkcija






Komentar: Funkciju aproksimiramo u okolini tocke x0 polinomomn − 1 stupnja i kako su otpali mnogi clavovi dobivamo za x blizux0 i ϑ ∈ (0, 1)

f (x) = f (x0) + f (n)(x0 + ϑ(x − x0))(x − x0)n

n!.

Clan f (n)(x0 + ϑ(x − x0)) (x−x0)n

n! odredjuje ponasanje funkcije uokolini od x0, njegov predznak i potencija n. Kako smo uzeli samoone vrijednosti varijable x blizu x0 za koje je n-ta derivacija istogpredznaka kao i f (n)(x0) imamo slijedece :(i) (x − x0)n > 0 za svako x 6= x0 pa je f (x) > f (x0)(ii) −(x − x0)n < 0 za svako x 6= x0 pa je f (x) < f (x0)(iii)recimo da je f (n) > 0 onda je (x − x0)n > 0 za svako x > x0 pa


OutlineFunkcija






je f (x) > f (x0) desno od x0 i tu je funkcija konveksna. Lijevo odx0 funkcija je konkavna i za x < x0 je f (x) < f (x0). Kroz tocku x0

funkcija prolazi rastuci.Analogno ako je n neparan broj i f (n)(x0) < 0 onda funkcija f kroztocku x0 prolazi padajuci i lijevo od te tocke je konkavana a desnokonveksna.


OutlineFunkcija






Koeficijent elasticnosti

Pretpostavimo da imamo dvije medjusobno zavisne ekonomskevelicine, na primjer potraznju za nekom robom i cijenu te robe.Elasticnost je sposobnost ekonomske velicine da reagira, vise ilimanje intenzivno, na promjenu neke druge ekonomske velicine okojoj zavisi. Recimo, ako je q = q(p), p je cijena robe a q kolicinapotraznje koja ovisi o cijeni.Sto je relativna promjena funkcije prema relativnoj promjenivarijable veca, to je funkcija elasticnija. Ovo je opisao Marshal1885 godine u studiju potraznje.Koeficijent elasticnosti je mjera elasticnosti ekonomske velicine yu odnosu na promjenu od x , ili preciznije koeficijent elasticnosti je


OutlineFunkcija






omjer relativne promjene od y i x i pisemo


OutlineFunkcija






Ey ,x ≈∆yy

∆xx

za ∆x dovoljno malo. Ako je ∆xx = 1%, onda je

Ey ,x ≈∆y

y· 100.

Definiramo koeficijent elasticnosti u tocki x

Ey ,x = lim∆x→x0

∆yy

∆xx

=x

y

dy

dx=

x

yy ′.


OutlineFunkcija






Takodjer

Eq,p =d(log q)

d(log p).


OutlineFunkcija






Elasticnost zbrojaAko je

y = u + v

tj.y(x) = u(x) + v(x)

onda je

Ey ,x =x

u(x) + v(x)(u′(x) + v ′(x)).


OutlineFunkcija






Elasticnost produktaAko je

y = u · v

tj.y(x) = u(x) · v(x)

onda je

Ey ,x =x

u(x)v(x)· (u′(x)v(x) + u(x)v ′(x)) = Eu,x + Ev ,x .


OutlineFunkcija






Elasticnost kvocijentaAko je

y =u

v

tj.

y(x) =u(x)

v(x)

onda je

Ey ,x =xv(x)

u(x)· u′(x)v(x)− u(x)v ′(x)

v2(x)= Eu,x − Ev ,x .


OutlineFunkcija






Ako je y(x) = axn onda je

Ey ,x = n.


OutlineFunkcija






Ako je

|Ey ,x | > 1

kazemo da je y elasticna u x .Ako je

|Ey ,x | < 1

kazemo da je y neelasticna u x .Ako je

Ey ,x = 0

kazemo da je y savrseno neelasticna u x .Ako je

Ey ,x =∞EF Zagreb Diferencijalni racun

OutlineFunkcija






kazemo da je y perfektno elasticna u x .Takodjer vrijedi

Ey ,xEx ,y = 1.


OutlineFunkcija






Primjer: Poznata je funkcija potraznje q neke robe u ovisnosti ocijeni te robe p

q(p) =

√32− p2

117, 5.

Odredite koeficijent elasticnosti potraznje prema promjeni cijene narazini p = 2NJ i interpretirajte rezultat. Odredite podrucjeelasticnosti te funkcije. Kako je

Eq,p = − p2

32− p2

to je

Eq,2 = −1

7.


OutlineFunkcija






Ako cijena s vrijednosti p = 2 raste za 1% i dodje na vrijednostp = 2, 02 kolicina potraznje ce priblizno pasti za 1

7 % = 0, 24%. Nadanoj razini cijene potraznja je neelasticna. Sada cemo odreditipodrucje elasticnosti. Kao prvo ova funkcija je definirana za p ≥ 0i q(p) ≥ 0 tj.

D(q) = [0,√

32].

No

|Eq,p| =p2

32− p2> 1

za p > 4, pa je

Pel = {p ∈ D(q) : |Eq,p| > 1} =< 4,√

32].


OutlineFunkcija






Funkcija troskova proizvodnje

Ako je Q ≥ 0 razina (kolicina) proizvodnje neke robe, njenitroskovi proizvodnje ovise o razini Q,

T = T (Q).

Funkcija troskova je rastuca funkcija, pa je T ′ ≥ 0.Funkcija granicnih (marginalnih) troskova je

T ′ = T ′(Q) = t(Q).


OutlineFunkcija






Ako je razina prizvodnje Q > 0, onda je funkcija prosjecnihtroskova

A(Q) =T

Q=

T

Q(Q).

Za razinu priozvodnje Q = 0, T (0) su fiksni troskovi. Imamo

ukupni troskovi= varijabilni troskovi + fiksni troskovi


OutlineFunkcija






Primjer: Poznata je funkcija ukupnih troskova

T (Q) = Q3 − 12Q2 + 60Q.

Ova funkcija je rastuca, jer je T ′ = 3Q2 − 24Q + 60 > 0 i imatocku infleksije za Q = 4,T (4) = 112.Funkcija granicnih troskova je T ′ = 3Q2 − 24Q + 60 i ova funkcijadostize najmanju vrijednost za Q = 4,T ′(4) = 12.Funkcija prosjecnih troskova je

T

Q= Q2 − 12Q + 60

i ona dostize najmanju vrijednost za Q = 6, TQ (6) = 24.


OutlineFunkcija






Primjetimo da na razini proizvodnje Q = 6 funkcije prosjecnih igranicnih troskova su jednake. Naime

(T

Q)′ =

1

Q(T ′ − T

Q) =⇒ T ′ =

T

Q.

Koeficijent elasticnosti funkcije prosjecnih troskova je

ETQ,Q = ET ,Q − 1.


OutlineFunkcija






Interpretacija : Na razini proizvodnje Q = 6

ETQ,Q(6) = 0 = ET ,Q − 1 =⇒ T ′ =

T

Q.

Ako na razini Q = 6 proizvodnja raste za 1% tj. naraste naQ = 6.06 prosjecni troskovi priblizno se ne mijenjaju, a ukupnitroskovi priblizno rastu za 1%. Takodjer

ET ,Q =T ′

A=

T ′

TQ

pa

ET ,Q = 1⇐⇒ T ′ =T

Q.


outline funkcija derivacije - menso88.commenso88.weebly.com/uploads/1/7/5/8/17586891/difraf.pdf ·...

Documents