7/25/2019 P 3_GESERAN

1/9

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Bangun ruang dan bangun datar tidak bisa dipisahkan dalam kehidupan

manusia sehari-hari. Bangun ruang dapat kita gambarkan pada benda disekitar

dalam kehidupan sehari seperti rumah. Rumah jika kita gambarkan akan

membentuk bangun ruang yang terdiri dari limas dan balok, begitu pula bangun

datar. Bangun data dapat kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari seperti papan

flavon meja belajar, dan lain sebagainya. Bangun ruang dan bangun datar

kebanyakan merupakan benda mati yang terbentuk dari titik tak terhingga yang

saling behimpitan sehingga membentuk line (garis). Benda mati jika diberikan

gaya akan mengalami pergeseran (translasi). Oleh sebab ini penulis akan

membahas mengenai pergeseran dari suatu titik, sehingga pembaca dapat

mengetahui manfaat pergeseran (translasi) dalam matematika sehingga dapat

diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.

1.2 Rumusan masalah

. !pa yang dimaksud dengan geseran, dan geseran sebagai transformasi"

#. Buktikanlah sifat kolineasi pada geseran secara analitik dan isometri "

$. buktikanlah hasil kali geseran secara analitik"

1.3 Tujuan

. %enjelaskan pengertian geseran, dan menjelaskan geseran sebagai

transformasi

#. %enemukan rumus geseran secara analitik, menyelesaikan soaltransformasi geseran secara analitik

$. %embuktikan sifat kolineasi pada geseran secara analitik maupun

murni

4. %embuktikan sifat isometri pada geseran secara analitik maupun murni

&. %embuktikan dalil hasil kali geseran secara analitik, dan

menyelesaikan masalah hasil kali geseran secara analitik.

7/25/2019 P 3_GESERAN

2/9

BAB II

PEMBAHAAN

2.1. Pengert!an "eseran #an Rumus "eseran

'eseran (translasi) adalah suatu transformasi yang

memindahkan semua titik pada bidang dengan jarak yang sama dan

arah yang sama. ergeseran sebagai transformasi merupakan

perpindahan titik-titik pada bidang dengan jarak tertentu yang diakilioleh ruas garis berarah (vector) AB atau dengan suatu pasangan

bilangan misal

b

a

*ranslasi *+

b

a memetakan titik + ( ),yx ke titik +

( )byax ++ , yang dinotasikan dengan

( ) ( )byaxPyxPb

aT

++

= ,,-

ontoh

#

7/25/2019 P 3_GESERAN

3/9

Bayangan titik ( )&,$=P oleh translasi

$

#adalah//.

0aab

( ) ( )&$),#($&,$-$

#++

= PPT 0adi bayangan titik ($,&) oleh

translasi

=

$

#T adalah (,1)

*ranslasi pada fungsi lainnya misalnya lingkaran dan kurva merupakan

traslasi pada garis, translasi pada garis akan dijelaskan sebagai berikut

'aris ( )abolehCByAx =++ 2 maka akan menghasilkan bayangan garis

( ) ( ) 2=++ CbyBaxA . ontohBayangan persamaan lingkaran 3#4 y#+#& oleh translasi ( )$

=T 5 !dalah

%etode yang digunakan yaitu metode supertrik (cari laannya)

+ ( ) ( ) #&$## =++ yx

#&67# ## =++++= yyxx2&7### =++= yxyx

2.2 Mem$ukt!kan !%at&s!%at '(l!neas! #an Is(metr! se)ara Anal!t!k

Te(rema 1*

Andaikan gdan hdua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B

maka 8AA + 8BB dengan A" = MhMg(A dan B" = MhMg(B

Bukt!*!ita pilih sebuah sistem koordinat dengan misalnya tsebagai

sumbu ydan sebuah garis tegak lurus pada gsebagai sumbu 3.

$

A

(x,y

)

4

A'(x,y)n

gh

7/25/2019 P 3_GESERAN

4/9

!ndaikan ( )#aaA = dan ( )#bbB= . 9alau tengah-tengah ruas

garis BA: maka harus di buktikan ( ) :BA#" = . !ndaikan persamaan

h adalah ( )2= kkx . !pabila ( )yxP ,= dan ( ))(PMP h= maka PP

memotong h di sebuah titik ( )yk$ , dengan ; sebagai titik tengah PP . 0adi

( ) ( )yxkPMP h ,# == sedangkan ( ) ( )yxPMg ,= .

0adi ( ) ( ) ( ){ } ( )yxkyxMPMMPMM ghgh ,#, === , 0adi pula

( ) (#: xAMMA gh +==

( ) (#: xBMMB gh ==

Oleh karena titik tengah BA: maka

( )

+

++=

#

#

#

#

a

babak"

sebarang, maka harus dibuktikan ( )'&AB + ( )'&C%

?

7/25/2019 P 3_GESERAN

5/9

!ndaikan ( )'&AB + ' dan ( )'&C% + #'

0adi '' + AB dan #'' + C%

9arena AB +C% maka '' + #'' berarti ' + #' sehingga AB& +

C%&

Te(rema 3*

Andaikan g dan h dua garis yang sejajar danC%sebuah garis

berarah

tegak lurus pada C dan C g dan % h apabila AB = )C% maka AB& =

ghMM .

Bukti !ndaikan sebuah titik sebarang, jika ( )P&P AB= dan

)(8 PMMPgh

=

maka harus dibuktikan baha +

8

%enurut ketentuan geseran, ABPP =8 oleh karena C%AB #= , maka

C%PP #8= berhubungan

( ) ( )CMmakaCgCCMMC hgh == :,,:

jadi = adalah titik tengah :CC sehingga :CC + C%# . Oleh karena

&

7/25/2019 P 3_GESERAN

6/9

itu

:CC+ 8PP (teorema ). %aka 88PP + C%# + 88PP ini berarti

baha 8PP= jadi ( ) ( )PMMP& ghAB = karena sembarang, maka

ghAB MM& =

Te(rema + *

0ika AB& sebuah geseran maka ( ) BAAB && =

Bukti Oleh karena himpunan isometri-isometri merupakan grup bagian dari

grup transformasi-transformasi. %aka setiap geseran memiliki balikan

( ) AB&

=ari uraian diatas kita peroleh berturut-turut yaitu

hgghAB MMMM& ==

7/25/2019 P 3_GESERAN

7/9

%aka C% ruas garis berarah dari k ke n. Oleh karena C%AB #= maka AB&

+ knMM sedangkan gnMM#d = dan ng* MM# = . 0adi

kggnkggn MMMMMMMM## == atau kngn MM+MM## == dengandemikian maka C%AB ##& =

Pembuktian 2

Aasil kali dua translasi adalah sebuah translasi.

,atatan *!pabila BAC% = maka +&&&& BAABC%AB == . =isini adalahtransformasi identitas. 0adi kalau BAC% = maka kalau dianggap sebagai

translasi. *eorema diatas tetap berlaku.

Pembuktian 3

0ika ,A& sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik 2 (2,2) dan ! (a,b)

dan * transformasi yang didefinisikan untuk semua titik ( )yxp , sebagai

( ) ( )byaxPT ++= , maka ,A&T=

Bukt! *Cntuk ( )yxP ,= , ( ) ( )byaxPT ++= , andaikan ,A&T= ( )P maka

,APP = sehingga ( ) ( )byaxbyaxp ++=++ ,2,2 karena

( ) ( )byaxPT ++= , untuk setiap ( )yxP ,= maka ( ) ( )P&PPT ,A== 8 jadi,

,A&T=

ontoh soal

. 0ika ( ),#=A dan ( )?,$=B *entukan

D

k

7/25/2019 P 3_GESERAN

8/9

a. ( )P&AB 0ika ( )

yxP ,=

b. *itik = sehingga( ) ( )$,=%&AB

0aab a.( ) ( )yxP&AB ,=

+ ( ) ( ){ }yx +++ ?,#$

+( )yx ++ &,

+ ( )yxP ,=

b. 9arena ( ) ( )$,=%&AB maka ( )$,=% . 9arena ( ) ( )yxP&AB ++= &,

jika ( )yxP ,=

7/25/2019 P 3_GESERAN

9/9

BAB III

PENUTUP

3.1 !m-ulan

*ranslasi *+

b

amemetakan titik ( )yxP ke titik

( )byaxP ++= ,8 yang dinotasikan dengan*+ ( )yxP ( )byaxP ++= ,8

3.2 aran

. Bagi pengajar makalah ini diharapkan bisa menjadi reperensi atau

pelengkap materi tentang aplikasi kemagnetan.

#. Bagi mahasisa, makalah ini diharapkan bisa membantu untuk

memperluas pengetahuan.

6