7/25/2019 P 6_ROTASI

1/27

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Transformasi telah dikenal sejak lama, dimulai dari zaman yunani, para ahli

aljabar muslim abad ke -9 sampai ke -15 dan dilanjutkan matematikawan eropa abad

ke-18 sampai dua decade pertama abad ke-19. Transformasi eometri merupakan

suati funsi yan menaitkan antar setiap titik di bidan denan suatu aturan tertentu.

!enaitan ini dapat dipandan secara aljabar maupun eometri. "ebaai contoh, jika

titik #$,y% dicerminkan terhadap sumbu $, maka diperoleh titik #$,-y%. secara aljabartransformasi ini dapat ditulis T#$,y% & #$,-y% atau dalam bentuk matriks

T(xy)=(1 00 1)(xy)=(xy ) .

'asalah ini dapat diperluas untuk menentukan peta dari suatu konfiurasi

eometri yan berbentuk daerah tertentu oleh suatu transformasi.Transformasi

eometri meliputi translasi #pereseran%, rotasi #perputaran%, refleksi #pencerminan%,

dan dilatasi #pembesaran%. (amun dalam makalah ini kami menkhususkan pada

materi rotasi #perputaran%.

1.2 RumusanMasalah

a. )pa definisi dari rotasi #putaran%*b. +aaimana rumus dari rotasi #putaran%*

c. +aaimana sifat-sifat dari rotasi #putaran%*

d. +aaimana hasil kali dari rotasi #putaran%*

1.3 Tujuan Masalah

a. ntuk menetahui definisi dari rotasi.

1

7/25/2019 P 6_ROTASI

2/27

7/25/2019 P 6_ROTASI

3/27

otasi #perputaran% adalah suatu transformasi yan memasankan titik ke

himpunan titk lainnya denan cara memutar, atau denan kata lain rotasi adalah

peristiwa memindahkan suatu objek #ambar% melalui aris lenkun denan pusat

pada titik tertentu denan sudut putar yan tertentu denan searah atau berlawanan

arah jarum jam yan menyebabkan kedudukan ambar berubah.

!ada transformasi rotasi terlihat bahwa titik atau banun bayanan konruen

denan banun semula, maka rotasi memiliki sifat transformasi isometri seperti

translasi dan refleksi. !ada transformasi isometri, jarak merupakan besaran yan tidak

berubah #inerian%.

otasi #perputaran% ditentukan oleh/

1. Titik pusat rotasi0. +esar sudut rotasi

. )rah rotasi

)pabila arah perputaran searah denan arah jarum jam, maka

dipandan

sebaai sududt yan neatif. "ebaliknya apabila arah perputaran berlawanan denan

arah jarum jam maka

dipandan sebaai sududt yan positif.

2asil kali transformasi yan terdiri atas dua refleksi adalah suatu setenah

putaran denan pusat titik poton sumbu-sumbu refleksi apabila sumbu-sumbu ini

teak lurus.

)pabila sumbu-sumbu refleksi itu sejajar maka hasil kali dua refleksi menhasilkan

suatu eseran #translasi%. 3alam pasal ini akan kita bicarakan hasil kali dua refleksiyan sumbu-sumbunya tidak teak lurus dan tidak pula sejajar. ntuk ini akan

didefinisikan sudut yan berarah.

De#en!s!/ sebuah sudut berarah adalah suatu sudut, yan salah satu kakinya

ditentukan sebaai kaki awal dan kaki yan lain sebaai kaki akhir.

3

7/25/2019 P 6_ROTASI

4/27

2.2 R"tas! Ber$utar %! T!t!k & '()(*

4ambar otasi di titik #6,6%

3ari ambar di atas diketahui bahwa/

! & !7& r

3ari

cos=x

r

x=r cos

sin=y

r

y=r sin

'aka dari/88POX

sincos8

sinsincoscos8

%sinsincos#cos8

%cos#8

yxx

rrx

rx

rx

===

+=

cossin

cossincossin

%cossincos#sin

%sin#

yxy

rry

ry

ry

+=+=+=

+=

4

7/25/2019 P 6_ROTASI

5/27

r

x8%cos# =+

r

y8%sin# =+

%cos#8 +=rx

%sin#8 +=y

3enan memperhatikan uraian tersebut, dapat dikatakan bahwa rotasi berpusat di

#6,6% sebesar

akan memetakan titik !#$,y% ke titik !7#$7,y7% denan/

umus 'atriks

( ) ( ) ( )

cossin

sincos

,, ,6

yxy

yxxdengan

yxAyxA R

+==

=

y

x

y

x

cossin

sincos

8

8

ontoh "oal/

Tentukan bayanan titik !#-8,:% dirotasikan ;56terhadap titik pusat #6,6% jika/

a. +erlawanan arah denan jarum jamb. "earah denan jarum jam

!enyelesaian/

a. x'=x cos y sin a

& 8cos4506 sin 450

&

8

(

1

2

2

)6

(

1

2

2

)& 4232

& 7 2

5

7/25/2019 P 6_ROTASI

6/27

& 8sin 450+6 cos450

& 8( 12 2)+6 (122)

& 42+32

& 2

!#-8,:%[0,450 ]

!7(72 ,2)

b. x'=x cos y sin a

&

45( 0)6sin(450)

8cos

& 8(122)6(

12 2)

& 42+32

& 2

&

4545( 0)

sin( 0)+6cos8

&8(12 2)+6(

1

22)

6

7/25/2019 P 6_ROTASI

7/27

& 4 2+32

& < 2

!#-8,:%[0,450 ]

!7(2 , 72 )

otasi untuk sudut-sudut istimewa dalam sumbu koordinat dapat dilihat pada

ambar dibawah ini/

2.3 R"tas! Ber$utar %! T!t!k P 'a)+*

7

7/25/2019 P 6_ROTASI

8/27

4ambar otasi di titik ! #a,b%

3ari ambar di atas diketahui /

)! & )!7 & r

3ari )=!

#$ > a% & r cos

# y > b % & r sin

'aka dari )=7! /

x' a r cosacosr sinasin

x'=a+(xa )cos a (yb ) sin

b=r sin (+ )

sin

sin cos+cosy 'b=r

y 'b=r sin cos+r cos sin

8

7/25/2019 P 6_ROTASI

9/27

y'=b+(xa ) sin +(yb ) cos

3enan memperhatikan uraian diatas dapat dikatakan bahwa rotasi berpusat di ! #a,b%

sebesar

akan memetakan titik ! #$,y% ketitik !7 #$7,y7% denan /

umus 'atriks

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

cossin8

sincos8

8,88, ,

byaxby

byaxaxdengan

yxAyxA PR

+=

=

+

=

b

a

by

ax

y

x

cossin

sincos

8

8

I,AT-I,AT

3ua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lai denan sudut putar dsama

denan jumlah kedua sudut putar semula.!ada suatu rotasi, setiap banun tidak

berubah bentuknya .

atatan/

!ada transformasi pereseran #translasi%, pencerminan #refleksi% dan perputaran

#rotasi%, tampak bahwa bentuk bayanan sama dan sebanun #konruen% denan

bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.

ontoh soal/

Tentukan bayanan parabola y=x2+1 bila dirotasikan sebesar 90

0

berlawanan

arah jarum jam denan titik pusat rotasi #0,-1%*

!enyelesaian /

9

7/25/2019 P 6_ROTASI

10/27

)mbil sembaran titik P(x', y

') pada parabola, sehina y '=x '2+1 .

otasikan titik ! sebesar 900

berlawanan arah jarum jam denan titik pusat rotasi

(a , b )=(2,1), sehina diperoleh bayanan titik P(x

', y

') , denan

[x 'y ']=[cos90 sin 90sin 9 0 cos 90][xayb ]+[ab]

[0 11 0][

x2y+1 ]+[

21]

[y1x2]+[ 21]

[y+1x3]

3iperoleh persamaan /

x'=y+1 atau y=1x '

y'=x3 atau x=y'+3

"ubtitusikan pada parabolay=x2+1

, diperoleh

1x '=(y '+3 )2+1

1x '=y '2+6y '+9+1

10

7/25/2019 P 6_ROTASI

11/27

1x '=y '2+6y '+9+1atau x'=y '26y '9

?adi bayanan dari parabola y=x2+1 akibat rotasi 90

0

bepusat di #0, -1%

adalah

x'=y '26y '8

ntuk melambankan bahwa suatu sudut misalnya

)+ adalah suatu

sudut berarah denan sinar BA

sebaai kaki awal dan sinar BC

sebaai kaki

akhir, kita tulis

)+.

@amban

)+ adalah untuk sudut berarah denan kaki awal BA

dan kaki

akhir BC

ntukmelambankan besarnya sebuah sudut berarah kita tentukan hal-

hal berikut/

m#

)+% & m#

)+% orientasi apabila anda #+)% adalah positif.

m# )+% & -m# )+% apabila orientasi anda #+)% adalah neatif.

11

7/25/2019 P 6_ROTASI

12/27

4ambar 11.;

!ada ambar 11.; anda dapat melihat bahwa/

1. sudut dari s ke t / m#

)!+% &

7/25/2019 P 6_ROTASI

13/27

+ukti /

asus 1. )ndaikan ! dan D terletak pada aris s #ambar 11.5%

4ambar 11.5a 4ambar 11.5.b

4ambar 11.5.c

'aka 't's #)% & ). sebut peta ini ) . ?adi ) & ). oleh karena ' t's sebuah

isometri, maka ! , D dan ) & ) terletak pada satu aris yan melalui ) . "ehina

m#

!)!% & m#

D)D %.

13

7/25/2019 P 6_ROTASI

14/27

)pabila !

s, dank arena besarnya sudut-sudut tidak berubah terhadap isometric,

maka m# !)D% & m# ! )D %.

leh karena komposit dua refleksi aris adalah sebuah isometric lansun maka

orientasi anda #

)!D% sama denan orientasi anda #

)! D %.

asus 2. )pabila kedudukan ! seperti dalam ambar 11.5.b maka m#

!)! % &

m#

!)D% A m#

D)! %. "edankan m#

D)D % & m#

D)! % A m#

! )D %. "ehina m#

!)! % & m#

D)D %.

asus 3. 3enan cara yan serupa untuk kedudukan ! seperti pada ambar 11.5.c ,

dapat pula dibuktikan bahwa m#

!)! % & m#

D)D %.

?adi untuk setiap titik !

) kita peroleh/

m#

!)! % & m#

D)D %

+eitu pula untuk titik B/

m#

B)B % & m#

D)D %

sehina,

m#

B)B % & m#

!)! %

?adi oleh transformasi 't's setiap titik terputar denan sudut berarah yan sama

menelilini titik yan sama.

14

7/25/2019 P 6_ROTASI

15/27

De#!n!s!/ )ndaikan ) sebuah titik dan sebuah bilanan yan memenuhi -186 E

E A186. "ebuah rotasi menelilini ) adalah sebuah pedanan RA / F F

yan ditentukan sebaai berikut/

1. RA #)% & )

0. ?ika !

) makaRA #!% & ! sehina m#

!)! % &

dan )! &

)!

Te"rema 11.2/ ?ika s dan t dua aris yan tidak teak lurus danyan berpotonan di

) dan jika sudut antara aris s ke aris t adalah1

2 ,

makaRA=MtMs

+ukti/

15

7/25/2019 P 6_ROTASI

16/27

4ambar 11. putaran menelilini titik yan sama adalah

tertutup terhadap komposisi.

?ika rotasiR[0 , a] dilanjutkan denan rotasi

R[ 0 , b] ekuialen denan rotasi

R[0 , a+b ]

22

7/25/2019 P 6_ROTASI

23/27

Misalkan titik !#$,y% dirotasikan

R[0 , ]

&

nm

lk

lalu dirotasikan

R[0 , ]

&

sr

qp

'aka bayanannya ditentukan denan umus/

=

y

x

nm

lk

sr

qp

y

x

8

8

3.2 aran

ntuk penembanan lebih lanjut tentan rotasi dalam transformasi eometri,

saran yan kami sampaikan adalah perlunya pemahaman yan lebih mendalam dalam

menentukan hasil kali dan menyelesaikan permasalahan yan berkaitan denan rotasi

maka materi sanat dibutuhkan baik refrensi dari buku maupun internet. 3an semoa

makalah ini dapat sedikit menambah penetahuan bai pembaca.

Lat!han "al0

1. Tentukan bayanan titik !#-;,% dirotasikan 966terhadap titik pusat #6,6% jika/

a. +erlawanan arah denan jarum jam

23

7/25/2019 P 6_ROTASI

24/27

b. "earah denan jarum jam

0. Tentukan bayanan parabola y=8x2+2 bila dirotasikan sebesar 180

0

berlawanan arah jarum jam denan titik pusat rotasi #;,-0%*

aa+an Lat!han "al

1. !enyelesaian/

a. x'=x cos y sin a

24

7/25/2019 P 6_ROTASI

25/27

& 4 cos 9003 sin 900

& 4 (0 )3 (1 )

&03

& 3

& 4 sin 900+3 cos 900

& 4 (1 )+6 (0 )

& 4+0

&4

!#-;,%[0,900 ]

!7(3,4 )

b. x'=x cos y sin a

&

90( 0)3sin(900)

4cos

& 4 (0 )3 (1 )

& 0+3

& 3

25

7/25/2019 P 6_ROTASI

26/27

&

9090

( 0)sin( 0)+3cos4

& 4 (1 )+3 (0 )

& 4+0

& ;

!#-;,%[0,900 ]

!7(3 , 4 )

0. !enyelesaian /

)mbil sembaran titik P(x', y

') pada parabola, sehina y '=8x '2+2 .

otasikan titik ! sebesar 1800

berlawanan arah jarum jam denan titik pusat rotasi

(a , b )=(4,2) , sehina diperoleh bayanan titik P(x', y

') , denan

[x 'y ']=[cos180 sin180sin 180 cos180][xayb]+[ab]

[1 00 1][x4y+2 ]+[ 42]

[ x 4y2]+[ 42]

[x+8y4]26

7/25/2019 P 6_ROTASI

27/27

3iperoleh persamaan /

x '=y4 atau y=4x '

y'=x+8 ataux=y '+8

"ubtitusikan pada parabola 8x2+2 , diperoleh

4x '=(y '+8 )2+2

4x '=y '216y '+66 atau x '=y '216y '+70

?adi bayanan dari parabola y=8x2+1 akibat rotasi 90

0

bepusat di #;,0%

adalah

x'=y '216y '+70