Capítulo quince: Algo sobre núcleos atómicos.

72) Energía de enlace por nucleón.

El objeto de nuestras últimas pesquisas ha sido el comportamiento orbital. Por eso

no es extraño que miremos ahora el núcleo atómico que algunos modelos suponen

conjuntos de nucleones moviéndose en órbitas regulares alrededor de un centro en

común.

Para que las partículas se muevan en cualquier medio requieren energía. Esa

energía se refleja en la expresión:

2

2

2

02

1

**

C

v

CmCm

Es decir, para que un partícula de masa en reposo m0, se mueva a la velocidad v,

necesita una energía mc2-m0c2. Esa energía le permite “reptar” entre sus

compañeros de núcleo.

Como desconocemos el mecanismo verdadero que rige este comportamiento, y solo

sospechamos que debe asemejarse al movimiento en superconductores o en

superfluidos, asumimos que es del tipo de los movimientos orbitales gravitacionales

y eléctricos que ya estudiamos. Estos movimientos se modelan por ecuaciones

como las siguientes:

22*2

3

523

2*

2

*7**

Ng

g

MGR

22

2/5

2/33

2*

*7

2**

Ng

g

MGv

Para el caso gravitacional, y

2

2

2272

**

**10**Re Ne

Cm

CeZ

e

*Ne

Cve

para el caso eléctrico.

Aceptando el modelo de Bohr podemos escribir la energía de enlace de un nucleón

con una expresión similar a la que expresa la energía de enlace de un electrón al

núcleo:

2*2

gevm

EeenlaceE

Donde faltaría discernir tanto la masa como la velocidad. Para esta última asumimos

que es una combinación de las tipos gravitacional y eléctrico.

Escogemos:

a

e

a

gge vvv

1

*

La energía de enlace quedaría:

a

e

a

g vvm

Ee

1*2*2

**2

Donde “a” es un exponente que debemos determinar. De modo que obtenemos,

reemplazando las expresiones de las velocidades:

3/22**2

3/*103/*2

6/*63/*23/*21*2

2*

*7**2

2****1*21*2

Nga

aa

aaaa

aa

Ne

MGcmEe

Lo ideal sería lograr representar el efecto diferencial de protones y neutrones en la

energía de enlace; pero, por el momento, solo llegamos a una relación de la energía

con el número total de partículas en el núcleo:

neutronesdenumeroprotonesdenumeroA

Para simplificar la expresión ensayamos para varios valores de las masas m y M y

para el parámetro “a”, llegando a la conclusión que una forma plausible de la

ecuación era:

A

ZAY

XAteConsEe

*

2**tan

Con cuatro valores experimentales calculamos tanto el valor constante como las

incógnitas x, y, y z, obteniendo:

2500

13

6/12

2****4**

A

A

AcelectrónmEe

Para números másicos, A, pequeños, se obtienen discrepancias significativas con

las energías de enlace verdaderas. Esto se debe a que no tomamos en cuenta el

efecto diferencial de protones y neutrones. Sin embargo, nuestro propósito por el

momento es obtener un comportamiento global de esta energía de enlace. En

numerales posteriores desarrollaremos nuestra usual contrastación con los

resultados experimentales.

73) Radio nuclear y densidad nuclear.

De acuerdo al modelo tipo Bohr que estamos siguiendo, la energía de enlace

corresponde a un nucleón moviéndose bajo una fuerza central.

2

tan

R

teConsF

La constante de fuerza debe estar relacionada con el número de nucleones totales

A:

22

*tan

R

AK

R

teConsF

n

Expresión donde K y N se deben evaluar con la energía de enlace:

R

AKeE

n*

Tendríamos:

**4**

2***

*2

2500

13

6/1

celectrónm

AAK

enlaceE

AKR

A

An

n

Una contrastación con los radios nucleares experimentales favorece enormemente a

una expresión como la siguiente:

3

800*4

1

3/1

2***

A

A

AelectrónR

R

Lo que nos dice que la fuerza central es de naturaleza más complicada que la

asumida hasta el momento. Precisamente, aceptando la expresión para la radio,

abalada por la experimentación, tenemos:

800*4

1

3

6/2

2500

13

6/12

2*

**

2****4**

A

A

A

A

AeR

Acem

R

eEcentralF

20000

*17

*4

53

2/12/72

2***2**

A

A

AcemR

eEcentralF

Por último, calculemos la densidad de materia nuclear:

3

800*4

1

3

3/1

3

2*

****4

*15267.1836**3

**4

**3

A

AAeR

Aem

núcleoR

Aprotónm

A

A

eR

em *4

3

800

*3

2/3

8

2***4

*15267.1836**3

De esta última expresión vemos que la densidad de la materia nuclear no es

precisamente una constante, como asumen muchos modelos nucleares.

74) Valores numéricos y gráficos.

Recordando que A representa el número de nucleones veamos como quedan las

expresiones de las cantidades nucleares que vimos en el numeral anterior:

2500

13

6/112

2**10*39744625.3

A

A

AJuliosennuclear

enlaceEnergía

800*4

1

3/115

2**10*06389669.1

A

A

Ametrosen

nuclearRadio

20000

*17

*4

53

2/1

2**398639.3193

A

A

ANewtonsen

nuclearFuerza

A

A

metrosKgsen

Densidad *4

3

800

*3

17

32

*10*31597085.3/

Con estos valores procedimos a la comparación con los resultados experimentales

obtenidos de tantas fuentes que las omitimos como es nuestra costumbre. Pero

todos esos valores corresponden a valores publicados en internet fácilmente

localizables por los interesados. De algunos isótopos encontramos las energías de

ligadura mas no encontramos los radios nucleares. Optamos por no omitir ninguno

llenando los espacios vacíos ya sea con informaciones de medidas dispersas o

referencias de terceras, o interpolando libremente, y, en el caso de los radios,

utilizando la conocidísima fórmula 3/1* ARoR . En este último caso lo que

deseábamos era comparar nuestros resultados con este modelo tan socorrido; por

esto la escala de la gráfica está acomodada arbitrariamente.

Como ejemplos numéricos tomemos el caso de A 1gual a 50 y veamos como

quedan los resultados.

JuliosJuliosennuclear

enlaceEnergía

Juliosennuclear

enlaceEnergía

12

2500

50

50

13

6/112

10*415575907.1

2*50*10*39744625.3

metrosmetrosen

nuclearRadio

metrosen

nuclearRadio

15

800

50

50*4

1

3/115

10*743615935.3

2*50*10*06389669.1

NewtonsNewtonsen

nuclearFuerza

Newtonsen

nuclearFuerza

1306391.378

2*50*398639.3193

20000

50*17

50*4

53

2/1

En el numeral 18 en el comentario sobre las cuatro interacciones habíamos llegado

a una expresión para la fuerza en general entre dos masas separadas una distancia

R y con una temperatura T:

De la cual podemos separar lo conocido de lo no conocido:

Reemplazando los valores del radio nuclear R y de la fuerza nuclear F, obtenemos:

Como la masa de los entes que interactúan en el núcleo es, aproximadamente, la

del neutrón y la del protón, tendremos:

Temperatura que corresponde a la temperatura de la fuerza fuerte. Por lo tanto, es

fácil convenir con los físicos actuales que el núcleo se mantiene coherente debido a

la fuerza fuerte entre sus componentes.

En la gráfica siguiente mostramos el comportamiento de las cantidades estudiadas

contra las experimentales, el eje x se tomó como A, el número de nucleones totales.

Que este modelo empírico nos sirve solo como recordatorio de lo poco conocido que

es el mismo núcleo atómico, y dejaremos para posterior estudio un acercamiento

mas razonado.