ºp ¯ t ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß y >Ò°...
TRANSCRIPT
![Page 1: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/1.jpg)
多角形から折る凸多面体2013/7/29 淡路夢舞台国際会議場愛媛大学教育学部 平田 浩一
1
自己紹介
愛媛大学 教育学部 数学教育講座
研究
幾何学(位相幾何、離散幾何)、情報教育、eラーニング
折り紙、和算
2
プレゼン資料
http://www.ed.ehime-u.ac.jp/~hirata
検索「愛媛大学 平田研究室」
3
問題「多角形から折る多面体」
多角形 P が与えられている。この P を展開図に持つ凸多面体 M をすべて求めよ。
P
M M1 2
4
![Page 2: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/2.jpg)
発端1996年
Anna Lubiw & Joseph O’Rourke
“When Can a Polygon Fold to a Polytope”
1998年
Joseph O’Rourke (日本で講演)
Folding and Unfolding in Computational Geometry
5
立方体の展開図
立方体の展開図から折り目を消す
6
他の立体ができる
四面体 五面体 八面体
7
動画
By Eric Demaine8
![Page 3: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/3.jpg)
参考文献
平田浩一
Demaine-O'Rourke の折りたたみアルゴリズム
数学セミナー、2009年、1月号
9
参考文献
Erik Demaine & Joseph O’RourkeGeometric Folding Algorithms, Linkages, Origami, PolyhedraCambridge University Press, 2007
上原隆平 訳幾何学的な折りアルゴリズム、リンケージ、折り紙、多面体近代科学社、2009
25章「多角形から折る多面体」
10
展開図について
辺(稜)を切る
連結
重ならない
本当に展開図つくれるの ?
11
展開図について
面の内部を切ってよい
連結
重ならない
12
![Page 4: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/4.jpg)
アイデア「どこに折り目を入れるか?」ではなく、「どの辺とどの辺を貼り合わせるか?」を考え、コンピュータで計算。
v
v
v
v
vv
vv
v
v v
v
v
v 1
2
34
56
78
910
1211
13
0
e e
e
e
ee
e
ee
e
e
e e
e 1
2
34
56
7
89
10
12
11
130
13
計算結果 17通り1 ( { 0 , 1 } { 2 , 3 } { 4 , 1 3 } { 5 , 6 } { 7 , 1 2 } { 8 , 1 1 } { 9 , 1 0 } )2 ( { 0 , 1 } { 2 , 3 } { 4 , 1 3 } { 5 , 1 0 } { 6 , 9 } { 7 , 8 } { 1 1 , 1 2 } )3 ( { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 4 , 7 } { 5 , 6 } { 8 , 9 } { 1 0 , 1 3 } { 1 1 , 1 2 } )4 ( { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 4 , 9 } { 5 , 8 } { 6 , 7 } { 1 0 , 1 3 } { 1 1 , 1 2 } )5 ( { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 4 , 1 3 } { 5 , 6 } { 7 , 1 2 } { 8 , 1 1 } { 9 , 1 0 } )6 ( { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 4 , 1 3 } { 5 , 1 0 } { 6 , 9 } { 7 , 8 } { 1 1 , 1 2 } )7 ( { 0 , 5 } { 1 , 4 } { 2 , 3 } { 6 , 1 3 } { 7 , 1 0 } { 8 , 9 } { 1 1 , 1 2 } )8 ( { 0 , 5 } { 1 , 4 } { 2 , 3 } { 6 , 1 3 } { 7 , 1 2 } { 8 , 1 1 } { 9 , 1 0 } )9 ( { 0 , 7 } { 1 , 4 } { 2 , 3 } { 5 , 6 } { 8 , 9 } { 1 0 , 1 3 } { 1 1 , 1 2 } )1 0 ( { 0 , 9 } { 1 , 8 } { 2 , 3 } { 4 , 7 } { 5 , 6 } { 1 0 , 1 3 } { 1 1 , 1 2 } )1 1 ( { 0 , 9 } { 1 , 8 } { 2 , 7 } { 3 , 6 } { 4 , 5 } { 1 0 , 1 3 } { 1 1 , 1 2 } )1 2 ( { 0 , 1 1 } { 1 , 4 } { 2 , 3 } { 5 , 6 } { 7 , 1 0 } { 8 , 9 } { 1 2 , 1 3 } )1 3 ( { 0 , 1 1 } { 1 , 4 } { 2 , 3 } { 5 , 1 0 } { 6 , 9 } { 7 , 8 } { 1 2 , 1 3 } )1 4 ( { 0 , 1 1 } { 1 , 1 0 } { 2 , 3 } { 4 , 9 } { 5 , 8 } { 6 , 7 } { 1 2 , 1 3 } )1 5 ( { 0 , 1 1 } { 1 , 1 0 } { 2 , 7 } { 3 , 6 } { 4 , 5 } { 8 , 9 } { 1 2 , 1 3 } )1 6 ( { 0 , 1 3 } { 1 , 1 0 } { 2 , 3 } { 4 , 9 } { 5 , 8 } { 6 , 7 } { 1 1 , 1 2 } )1 7 ( { 0 , 1 3 } { 1 , 1 0 } { 2 , 7 } { 3 , 6 } { 4 , 5 } { 8 , 9 } { 1 1 , 1 2 } )
e e
e
e
ee
e
ee
e
e
e e
e 1
2
34
56
7
89
10
12
11
130
14
辺辺貼り合わせの条件
(C1) すべての辺は同じ長さの他の1辺と貼り合う
(C2) 1つの頂点に集まる角の和は360°以下
(C3) でき上がる立体は球面と位相同形 e e
e
e
ee
e
ee
e
e
e e
e 1
2
34
56
7
89
10
12
11
130
15
アレクサンドロフの定理
条件 (C1), (C2), (C3) を満たす貼り合わせからは、ただ一つの凸多面体が決まる。
ただし、体積が 0 の平面に退化した凸多面体の場合もある。
16
![Page 5: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/5.jpg)
計算結果 17通り1 ( { 0 , 1 } { 2 , 3 } { 4 , 1 3 } { 5 , 6 } { 7 , 1 2 } { 8 , 1 1 } { 9 , 1 0 } )2 ( { 0 , 1 } { 2 , 3 } { 4 , 1 3 } { 5 , 1 0 } { 6 , 9 } { 7 , 8 } { 1 1 , 1 2 } )3 ( { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 4 , 7 } { 5 , 6 } { 8 , 9 } { 1 0 , 1 3 } { 1 1 , 1 2 } )4 ( { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 4 , 9 } { 5 , 8 } { 6 , 7 } { 1 0 , 1 3 } { 1 1 , 1 2 } )5 ( { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 4 , 1 3 } { 5 , 6 } { 7 , 1 2 } { 8 , 1 1 } { 9 , 1 0 } )6 ( { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 4 , 1 3 } { 5 , 1 0 } { 6 , 9 } { 7 , 8 } { 1 1 , 1 2 } )7 ( { 0 , 5 } { 1 , 4 } { 2 , 3 } { 6 , 1 3 } { 7 , 1 0 } { 8 , 9 } { 1 1 , 1 2 } )8 ( { 0 , 5 } { 1 , 4 } { 2 , 3 } { 6 , 1 3 } { 7 , 1 2 } { 8 , 1 1 } { 9 , 1 0 } )9 ( { 0 , 7 } { 1 , 4 } { 2 , 3 } { 5 , 6 } { 8 , 9 } { 1 0 , 1 3 } { 1 1 , 1 2 } )1 0 ( { 0 , 9 } { 1 , 8 } { 2 , 3 } { 4 , 7 } { 5 , 6 } { 1 0 , 1 3 } { 1 1 , 1 2 } )1 1 ( { 0 , 9 } { 1 , 8 } { 2 , 7 } { 3 , 6 } { 4 , 5 } { 1 0 , 1 3 } { 1 1 , 1 2 } )1 2 ( { 0 , 1 1 } { 1 , 4 } { 2 , 3 } { 5 , 6 } { 7 , 1 0 } { 8 , 9 } { 1 2 , 1 3 } )1 3 ( { 0 , 1 1 } { 1 , 4 } { 2 , 3 } { 5 , 1 0 } { 6 , 9 } { 7 , 8 } { 1 2 , 1 3 } )1 4 ( { 0 , 1 1 } { 1 , 1 0 } { 2 , 3 } { 4 , 9 } { 5 , 8 } { 6 , 7 } { 1 2 , 1 3 } )1 5 ( { 0 , 1 1 } { 1 , 1 0 } { 2 , 7 } { 3 , 6 } { 4 , 5 } { 8 , 9 } { 1 2 , 1 3 } )1 6 ( { 0 , 1 3 } { 1 , 1 0 } { 2 , 3 } { 4 , 9 } { 5 , 8 } { 6 , 7 } { 1 1 , 1 2 } )1 7 ( { 0 , 1 3 } { 1 , 1 0 } { 2 , 7 } { 3 , 6 } { 4 , 5 } { 8 , 9 } { 1 1 , 1 2 } )
17
凸多面体17個
??? 立方体がない ???
18
辺辺-アルゴリズム(1)
vo
v1
v2 v3
v4
eo
e1 e2e3
90°
90° 180° 270°
90°
e13
v13 v12
e12180° 270°
v
v
v
v
vv
vv
v
v v
v
v
v 1
2
34
56
78
910
1211
13
0
頂点 v[i] は角度を持ち、辺 e[i] は長さを持つ
19
辺辺-アルゴリズム(2)
辺 e0 が貼り合う相手 ei を決める
条件
(i) e[0] == e[i]
(ii) v[1] + v[i] ≦ 360°
(iii) v[0] + v[i+1] ≦ 360°
P Pv
vv
v e
e
0 1 12 0
i ii+1
20
![Page 6: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/6.jpg)
辺辺-アルゴリズム(3)
2つの部分問題に分割
v[1] = v[1] + v[i]
v[i+1] = v[0] + v[i+1]
部分問題を再帰的に処理する
P P12
i+1v v1
21
17通りですべてか
2分割 3分割
22
分割と貼り合わせ
辺分割 貼り合わせ
1分割 17通り
2分割 85通り
3分割 17通り
4分割 85通り
5分割 17通り
6分割 85通り
23
中点が重要
偶数分割は中点を含む
奇数分割では中点が含まれない
24
![Page 7: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/7.jpg)
展開図85通り
25
展開図の作り方
アルゴリズムからは「貼り合わせ」は求められても、
折り目は求まらない。
折り目は手作業で調べる。
26
用意するもの
ハサミ、ナイフ
セロハンテープ
フェルトペン
竹串
27
多角形の図面を準備
28
![Page 8: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/8.jpg)
ハサミで切り抜く
29
テープで貼り合わせる
30
貼り合わせるときの注意
貼る順番には指定がない。貼りやすい順に貼る。
この段階では紙に「折り目」を入れない。
徐々に多面体らしくなる。
31
頂点を探す
頂点は、その周りの「角の和 < 360°」
「角の和 = 360°」の点は、頂点ではない。
32
![Page 9: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/9.jpg)
辺を探す
辺は頂点と頂点とを結ぶ「線分」。
辺は、折れ曲がらない。
辺は、枝分かれしない。
33
竹串で折り目をつける
頂点の横のすき間から竹串を入れる。
「辺」となる部分に竹串を渡す。
竹串の上から紙を押さえ、折り目をつける。
34
凸多面体が完成
35
展開図を作る
フェルトペンで、辺に線を引く。
36
![Page 10: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/10.jpg)
展開図が完成
テープを貼ったところを、切り離す
展開図ができる
37
図面に折り線
図面に折り線を書き入れ、
再度、凸多面体を作り確認
38
例 : 鋭角三角形
39
例 : 鈍角三角形
40
![Page 11: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/11.jpg)
2000年
O’Rourke 研究室
平田研究室
それぞれ、85通りの展開図を作る
ただし、2つは食い違う
41
面は四角形か ?
少しだけ歪んでいるとき、
空間座標を正確に計算して確認
42
85通りの展開図が完成
43
23種の凸多面体
立方体(1)、二面体(2)
四面体(7)
五面体(3)
六面体(6)
八面体(4)
44
![Page 12: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/12.jpg)
【公開】辺辺-プログラム
http://fic5.ed.ehime-u.ac.jp/cgi-bin/WebObjects/LubiwORourke
例【L字形】
90, 1, 180, 1, 90, 1, 90, 1, 270, 1, 90, 1, 90, 1, 180, 1
45
凸多面体が作れない図形
図のような切り込みを入れるだけで
凸多面体は作れなくなるA
B
C
D
E
46
85通りですべてか ?
「辺辺」以外の貼り合わせの可能性
辺辺-貼り合わせ
eo
ei
eo
一般-貼り合わせ
eo
ei
(無理数)
47
正方形の辺辺-貼り合わせ辺分割 貼り合わせ1分割 2通り2分割 9通り3分割 14通り4分割 43通り5分割 26通り6分割 81通り7分割 38通り8分割 123通り9分割 50通り10分割 169通り
貼り合わせは無限 ?
48
![Page 13: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/13.jpg)
凸多角形、周の二等分
凸多角形 P の周の長さを2点 x, y で二等分
x, y で折り曲げて、周を貼り(縫い)合わせる
貼り合わせの条件 (1), (2), (3) を満たす
x の位置は任意
無限個の凸多面体
v
xP
y0 v1
v2
v3v4
v1
v2v3v4y
v0x
回転ベルト
49
正方形、周の二等分正方形の周全体が回転ベルト
a a
b
2b
2a
a a
2a
0<a<1/6 1/6<a<1/2x x
yydemo: square-4
50
正方形、円筒形
正方形から円筒形を作る円筒形には2つの回転ベルトがある
y
x
x
y
demo: square-2
51
正方形
他の回転ベルト
demo: square-3demo: square-5 demo: square-1
52
![Page 14: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/14.jpg)
一般の貼り合わせ一般-貼り合わせ回転ベルトを探し出す
53
一般-アルゴリズム(1)
部分問題が180°より大きい角を含む場合そこから処理を開始する
vivi
vj
ei ei
ei-1ei-1
54
一般-アルゴリズム(2)
部分問題が180°より大きい角を含まない場合
(1) 全体が回転ベルト
(2) 3頂点以上が重なるよう貼り合わせる
(3) 2頂点以上が重なり、かつ、ある辺の途中の点 x が重なる
vkvi vj
x ekvi vj
vkvi vj
x ekvi vj
v1
v2v3v4y
v0x
55
一般-アルゴリズム(3)
(3) 2頂点以上が重なり、かつ、ある辺の途中の点 x が重なるとき
点 x を含む部分問題は、回転ベルトである。
vkvi vj
x ekvi vj
56
![Page 15: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/15.jpg)
一般-アルゴリズム(4)
長さの異なる辺の貼り合わせ
(1) 左揃え
(2) 右揃え
(3) その他
短
長
回転ベルトとして処理される
57
一般-アルゴリズム(5)
長さの異なる辺の貼り合わせ
P P
v
v
v
v e
e
i+1 12 i
j
i
jj+1
短
長
58
一般-アルゴリズム(6)
自分自身との貼り合わせ
(辺を半分に折る)
辺
v
v eii
i+1
その他の折り方は回転ベルトとして処理される
59
【公開】一般-プログラム
http://fic5.ed.ehime-u.ac.jp/cgi-bin/WebObjects/Polytope2
例【L字形】
90, 2, 90, 1, 90, 1, 270, 1, 90, 1, 90, 2
60
![Page 16: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/16.jpg)
【公開】一般-プログラム
85通りですべてか ?
90, 1, 90, 2, 270, 1, 90, 1, 90, 1, 270, 1, 90, 1, 90, 1, 270, 1, 90, 1, 90, 1, 270, 2
回転ベルトは無い
61
定理 (HIRATA)
多角形 P の一般-貼り合わせが、回転ベルトを一切含まないかつ、P の辺の長さがすべて整数であれば、すべての辺を「長さ1/2」に分割すれば、辺辺-貼り合わせのみで、すべての貼り合わせを見つけることができる。
P
62
未解決問題
折り目、凸多面体、を決定するアルゴリズム
回転ベルトを持たない多角形の特徴づけ
2つの正多面体を折る多角形は存在するか
63
正四面体と立方体 ?
正四面体
直方体(立方体ではない)
64
![Page 17: ºp ¯ T ¤ Ø .hirata/folding/130729-hirata.pdf · 2013-07-29 · ß Y >Ò° Demaine-O'Rourke w hh ç°æ¶Ü:¶·ÛÆ z 2009 åz 1Dø 9 ß Y Erik Demaine & Joseph OÕRourke Geometric](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050118/5f4e7a05b6f9633f2c3bd099/html5/thumbnails/17.jpg)
THE END
65