p. vannucci - uvsq institut jean le rond d’alembert – umr7190 université paris 6 - cnrs...

P. Vannucci - UVSQ

Institut Jean le Rond d’Alembert – UMR7190

Université Paris 6 - CNRS

Sém

inai

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EN

SM

A –

Po

itie

rs,

18 n

ove

mb

re 2

010

Optimiser l’anisotropie: une approche globale pour les stratifiés

2

Introduction 1

Les matériaux anisotropes, et notamment les stratifiés en composite, sont une excellente solution à un grand nombre de problèmes, spécialement pour les structures légères.

Cependant, ils donnent un certain nombre de problèmes compliqués aux concepteurs.

3

Introduction 2

Nous avons développé une série de recherches, avec le but de réconsidérer d’une manière radicale les problèmes qui concernent la conception de structures anisotropes:◦ la représentation de l’anisotropie

◦ la formulation de stratégies de conception sous la forme de problèmes d’optimization globale (y compris les symétries élastiques)

◦ la création d’algorithmes adaptés à la recherche de stratifiés optimaux

Point commun de ces recherches: la méthode polaire.

Ce séminaire concerne une partie de

ces recherches

y

xq

x3=z

x1

x2

4

Plan de l’exposé

Partie 1: un peu de théorie◦ La méthode polaire, c’est quoi?

◦ Bases de la méthode polaire

◦ Des cas exotiques

◦ Méthode polaire et stratifiés

Partie 2: conception optimale des stratifiés◦ Optimiser les stratifiés: une approche polaire

◦ L’outil numérique: BIANCA

◦ Exemples

Partie 3: perspectives◦ Stratifiés couplés

◦ Anisotropie distribuée et résistance

◦ Problèmes étranges

5

La méthode polaire, c’est quoi?

Au fond, la méthode polaire est une stratégie mathématique pour trouver un ensemble complet d’invariants tensoriels independants d’un tenseur 2D.

Ces invariants peuvent aider à comprendre l’anisotropie d’une manière différente et peuvent, souvent mais pas toujours, être très utiles dans des problèmes de conception.

La méthode polaire a ses bases dans une technique

classique en physique mathématique: une transformation de variable complexe (voilà pourquoi ça ne marche qu’en 2D).1

ère

Part

ie

6

Bases de la méthode polaire 1

L’anisotropie est la dépendance d’une quantité de la direction; ceci entraine plusieurs difficultés, surtout en conception.

L’idéal ça serait, peut être, la chose suivante: ◦ disposer d’une représentation intrinsèque de l’anisotropie, à savoir

n’utilisant que des invariants tensoriels et d’un nombre suffisant de paramètres de direction pour fixer un réferentiel

◦ en plus, les invariants devraient être choisis de telle sorte qu’ils representent une quelque propriété physique;

◦ si possible, ces propriétés devraient être liées au type d’anisotropie du matériau.

C’est ce qu’il a été fait en 1979 par G. Verchery avec la méthode polaire. 1

ère

Part

ie

7


La transformation de Verchery ◦ Pour un vecteur plan x= (x1, x2) les composantes contravariantes sont

données par la relation

◦ Des manipulations algébriques standard donnent la transformation pour un tenseur d’ordre n quelconque:

◦ Toutes les matrices mn sont unitaires, orthogonales, bi-symétriques; en plus,

◦ Ces propriétés ont d’importantes conséquences algébriques pour la recherche des invariants (en particulier, les matrices de rotation et de symétrie miroir sont diagonales et anti-diagonales).

,1xmX cont .11

11

21

1

ii

iim

€

Tcont =mnTCart

€

mn−1 = mn

1ère

Part

ie

8


Les tenseurs du type de l’élasticité

◦ Remarque: etc.

Rotation de répère d’un angle q:

.

144241

2002

100201

104201

2002

144241

41

2222

1222

1212

1122

1112

1111

2222

1222

1212

1122

1112

1111

T

T

T

T

T

T

ii

ii

ii

ii

T

T

T

T

T

T

€

T 2221 = T 1112

1ère

Part

ie

€

′ X cont =R1Xcont avecR1 =

r 00 r

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥où r =e−iθ .

9


Tenseurs du 4ème ordre:

€

′ T cont =R4Tcont →

€

′ T 1111

′ T 1112

′ T 1121

′ T 1122

′ T 1211

′ T 1212

′ T 1221

′ T 1222

′ T 2111

′ T 2112

′ T 2121

′ T 2122

′ T 2211

′ T 2212

′ T 2221

′ T 2222

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

=

r 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 r2

0 r2

0 10 r2

0 10 10 r2

0 r2

0 10 10 r2

0 10 r2

0 r2

0 r 4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

T 1111

T 1112

T 1121

T 1122

T 1211

T 1212

T 1221

T 1222

T 2111

T 2112

T 2121

T 2122

T 2211

T 2212

T 2221

T 2222

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

1ère

Part

ie

10

Invariants◦ Grâce à la dernière relation, les invariants par rotation sont aisement

calculés:

linéaire quadratique cubique

◦Relation de syzygie:

◦ Ces relations donnent un ensemble un ensemble complet de 5 invariants indépendants.


€

L1 =T 1122

L2 =T 1212

€

Q1 =T 1111T 2222

Q2 =T 1222T 1112

€

C1 i C2 T 1111 T 1222( )2

€

C12 +C2

2 =T 1111T 2222 T 1222T 1112( )2=Q1Q2

2

1ère

Part

ie

11


Expression cartésienne des invariants

€

L1 =14

Txxxx−2Txxyy+ 4Txyxy+Tyyyy( ),

L2 =14

Txxxx+ 2Txxyy+Tyyyy( ),

Q1 =116

Txxxx+Tyyyy−2Txxyy−4Txyxy( )2+ Txxxy−Txyyy( )

2,

Q2 =116

Txxxx−Tyyyy( )2+14

Txxxy+Txyyyy( )2,

C1 =164

Txxxx+Tyyyy−2Txxyy−4Txyxy( ) Txxxx−Tyyyy( )2−4 Txxxy+Txyyy( )

2 ⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥+

+14

Txxxy2 −Txyyy

2( ) Txxxx−Tyyyy( ),

C2 =116

Txxxy−Txyyy( ) Txxxx−Tyyyy( )2−4 Txxxy+Txyyy( )

2 ⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

⎧ ⎨ ⎩

−

−Txxxy+Txyyy( ) Txxxx−Tyyyy( ) Txxxx+Tyyyy−2Txxyy−4Txyxy( )} .

1ère

Part

ie

12


Les composantes polaires:

€

T 1111 =−2R0 e4iΦ 0 ,

T 1112 =−2i R1 e2iΦ1 ,

T 1122 =2T0 ,

T 1212 =2T1,

€

L1 =2T0 ,L2 =2T1,

Q1 =4R02 ,

Q2 =4R12 ,

C1 + i C2 =8R0 R12 e4i(Φ 0 −Φ1 ).

€

8T0 = Txxxx −2Txxyy +4Txyxy +Tyyyy,8T1 = Txxxx +2Txxyy +Tyyyy,8R0 e

4 iΦ0 = Txxxx −2Txxyy −4Txyxy +Tyyyy +4i(Txxxy−Txyyy) ,8R1 e

2 iΦ1 = Txxxx −Tyyyy +2i(Txxxy+Txyyy) ,

1ère

Part

ie

13

Inversement

T0, T1, R0, R1 et la différence angulaire F0-F1 sont 5 invariants indépendants; le choix d’un angle polaire fixe le referentiel (normalement, F1 =0).


€

Txxxx = T0 +2T1 +R0 cos4Φ0 +4R1 cos2Φ1,Txxxy = R0 sin4Φ0 +2R1 sin2Φ1,Txxyy = −T0 +2T1 −R0 cos4Φ0,Txyxy = T0 −R0 cos4Φ0,Txyyy = −R0 sin4Φ0 +2R1 sin2Φ1,Tyyyy = T0 +2T1 +R0 cos4Φ0 −4R1 cos2Φ1.

1ère

Part

ie

14


€

′ Txxxx = T0 +2T1 +R0 cos4(Φ0 −θ ) +4R1 cos2(Φ1 −θ ),

′ Txxxy = R0 sin4(Φ0 −θ ) +2R1 sin2(Φ1 −θ ),

′ Txxyy = −T0 +2T1 −R0 cos4(Φ0 −θ ),

′ Txyxy = T0 −R0 cos4(Φ0 −θ ),

′ Txyyy = −R0 sin4(Φ0 −θ ) +2R1 sin2(Φ1 −θ ),

′ Tyyyy = T0 +2T1 +R0 cos4(Φ0 −θ ) −4R1 cos2(Φ1 −θ ).

Rotation du répère:

partie isotrope partie anisotrope

Cette particularité propre à la méthode polaire de séparer la partie isotrope de celle anisotrope se révèle être très utile en conception des stratifiés à couches identiques.

1ère

Part

ie

15

Composantes de T-1:

Remarque:

€

t0 =2T0T1 −R1

2

Δ,

t1 =T0

2 −R02

2Δ,

r0 e4iϕ 0 =2

R12e4iΦ1 −T1R0e

4iΦ 0

Δ,

r1 e2iϕ 1 =−R1e

2iΦ1T0 −R0e

4 (i Φ 0 −Φ1 )

Δ,

avec Δ =8T1(T02 −R0

2 ) −16R12 [T0 −R0 4(cos Φ0 −Φ1)].


€

R1 =0 ⇔ r1 =0, R0 =0 ⇔ r0 =01ère

Part

ie

16


€

Φ0 −Φ1 =Kπ4, K ∈N

€

R1 =0

€

R0 =0

Caractérisation invariante des symétries élastiques

◦ Orthotropie ordinaire :

(Vong & Verchery, 1986)

◦ Orthotropie R1 :

(Verchery 1979)

◦ Orhtotropie R0 :

(Vannucci, 2002)

1ère

Part

ie

17


Orthotropie ordinaire◦ Si l’on fixe F1=0, les composantes cartésiennes du tenseur de

l’élasticité des matériaux orthotropes ordinaires sont:

◦ K et le rapport d’anisotropie determinent la qualité de l’orthotropie ordinaire.

€

′ Txxxx = T0 +2T1 +(−1)KR0 cos4θ +4R1 cos2θ,′ Txxxy = −(−1)KR0 sin4θ −2R1 sin2θ,′ Txxyy = −T0 +2T1 −(−1)KR0 cos4θ,′ Txyxy = T0 −(−1)KR0 cos4θ,′ Txyyy = (−1)KR0 sin4θ −2R1 sin2θ,′ Tyyyy = T0 +2T1 +(−1)KR0 cos4θ −4R1 cos2θ.

€

ρ =R0

R1

1ère

Part

ie

18

Variation angulaire de Txxxx(q): 3 cas

◦ Le type d’orthotropie influence fortement l’optimum d’un problème donné (Vannucci, IJMS, 2010).

Bornes sur les modules polaires

élastiques pour le cas orthotrope:


18

r<1, K=0;1 >r 1, K=0>r 1, K=1

( ) .1

1arccos21

ρ K

WW

.2

)1(

,

1

21

00

00

T

RRT

RT

K

T1

R1

K= 1

K= 0

1ère

Part

ie

19


Quelques exemples de matériaux anisotropes

1ère

Part

ie

20

Orthotropie R0 : un étrange cas (ou deux?)

◦ Si R0 =0,

◦ Les composantes cartésiennes sont isotropes ou varient comme celles d’un tenseur du 2nd ordre.

◦ Les conditions cartésiennes pour l’orthotropie R0 sont

Des cas exotiques 1

€

Txxxx = T0 +2T1 +4R1 cos2θ,Txxxy = 2R1 sin2θ,Txxyy = −T0 +2T1

Txyxy = T0

Txyyy = 2R1 sin2θ,Tyyyy = T0 +2T1 −4R1 cos2θ.

€

Txxxx+Tyyyy =2Txxyy+4Txyxy,

Txxxy =Txyyy.

1ère

Part

ie

21

Des cas exotiques 2

Les composantes de S=T-1:

Aucune des composantes de S n’est zéro, ni isotrope ou comme celle d’un tenseur du 2nd ordre.

€

t0 =T0T1 −R1

2

4T0 (T0T1 −2R12 ),

t1 =T0

16(T0T1 −2R12 ),

r0 =R1

2

4T0 (T0T1 −2R12 )

=r12

t1,

r1 =R1

8(T0T1 −2R12 ),

ϕ0 =Φ1,

ϕ1 =Φ1 +π2.

€

Sxxxx = t0 +2t1 +r12

t1cos4θ −4r1 cos2θ ,

Sxxxy = −r12

t1sin4θ +2r1 sin2θ ,

Sxxyy = −t0 +2t1 −r12

t1cos4θ ,

Sxyxy = t0 −r12

t1cos4θ ,

Sxyyy =r12

t1sin4θ +2r1 sin2θ ,

Syyyy = t0 +2t1 +r12

t1cos4θ +4r1 cos2θ ,

1ère

Part

ie

22

Des cas exotiques 3

La relation entre T et S est parfaitement symétrique: ainsi, il existe aussi une autre classe de matériaux orthotropes, le matériaux r0-orthotropes, qui ont r0=0 (Vannucci, JoE, 2002).

Ceci montre que l’anisotropie est plus une question de comportement que de matériaux: le même matériaux peut avoir différents comportements en rigidité et en souplesse.

Toutefois, le nombre de constantes indépendantes est le même, 3 dans les deux cas.

1ère

Part

ie

23

Un étrange matériau (Vannucci, JoE, 2010).◦ Pour un matériau r0-orthotrope

Cet étrange matériau est peut être le plus repandu de tous: le papier! (Horio & Onogi, 1951; Campbell 1961; Ostoja-Starzewski & Stahl, 2000).

Des cas exotiques 4

€

G12 (θ) =1

4S1212 (θ)=

14t0

, . .i e G12 est constant

E1(θ) =1

t0 +2t1 +4r1 cos2θ, 2varie comme une quantité dund ordre

ν12 (θ) =−S1122 (θ)S1111 (θ)

=t0 −2t1

t0 +2t1 +4r1 cos2θ, varie commeE1

η1,12 (θ) =η2,12 (θ) =S2212 (θ)S1212 (θ)

=2r1 sin2θ

t0.

1ère

Part

ie

24

Des cas exotiques 5

Anisotropie de corps complexes (Vannucci & Verchery, IJSS, 2010).

◦ L’influence des symétries tensorielles sur les symétries matérielles peut être étudié en analysant les invariants polaires de corps complexes.

◦ Un exemple: T a seulement les symétries majeures

€

Txxxx =T0 +T1 +T2 +R0 cos4Φ0 +2R1 cos2Φ1 +2R2 cos2Φ2,Txxxy =−T3 +R0 sin4Φ0 +2R2 sin2Φ2 ,

Txxyx =T3 +R0 sin4Φ0 +2R1 sin2Φ1,

Txxyy =−T0 +T1 +T2 −R0 cos4Φ0,

Txyxy =T0 +T1 −T2 −R0 cos4Φ0 +2R1 cos2Φ1 −2R2 cos2Φ2,

Txyyx =T0 −T1 +T2 −R0 cos4Φ0 ,

Txyyy =−T3 −R0 sin4Φ0 +2R1 sin2Φ1,

Tyxyx =T0 +T1 −T2 −R0 cos4Φ0 −2R1 cos2Φ1 +2R2 cos2Φ2,

Tyxyy =T3 −R0 sin4Φ0 +2R2 sin2Φ2,

Tyyyy =T0 +T1 +T2 +R0 cos4Φ0 −2R1 cos2Φ1 −2R2 cos2Φ2.

1ère

Part

ie

25

Des cas exotiques 6

Il y a 9 invariants polaires: T0, T1, T2, T3, R0, R1, R2, F0-F1, F1-F2.

On dénombre 7 conditions suffisantes d’orthotropie, qui déterminent 1 orthotropie ordinaire et 6 orthotropies spéciales.

€

T0 =18

Txxxx−2Txxyy+Txyxy+2Txyyx+Tyxyx+Tyyyy( ),

T1 =18

Txxxx+2Txxyy+Txyxy−2Txyyx+Tyxyx+Tyyyy( ),

T2 =18

Txxxx+2Txxyy−Txyxy+2Txyyx−Tyxyx+Tyyyy( ),

T3 =14

−Txxxy+Txxyx−Txyyy+Tyxyy( ),

R0 e4iΦ 0 =18

Txxxx−2Txxyy−Txyxy−2Txyyx−Tyxyx+Tyyyy+[ 2i Txxxy+Txxyx−Txyyy−Tyxyy( )],

R1 e2iΦ1 =

18

Txxxx+Txyxy−Tyxyx−Tyyyy+[ 2i Txxyx+Txyyy( )],

R2 e2iΦ 2 =18

Txxxx−Txyxy+Tyxyx−Tyyyy+[ 2i Txxxy+Tyxyy( )].

1ère

Part

ie

26

Méthode polaire et stratifiés 1

La Classical Laminated Plates Theory (CLPT) donne la loi de comportement pour un stratifié mince:

,

χ

ε

DB

BA

M

N

1ère

Part

ie

27


Tenseurs normalisés:

Un stratifié est découplé si B=O et quasi-homogène si, en plus, aussi le tenseur d’homogénéité est nul:

C=A*-D*=O.

Avec le formalisme polaire, pour un stratifié de n plis identiques, on obtient:

./12*,/2*,/* 32 hhh DDBBAA

.

,)( )(1

,,

for 3 , for 2 , for 1

1

DBA

QDBA

m

p

pkmk

mkkk zz

m

1ère

Part

ie

28


;

,

,

,:* tensor

22121

44040

11

00

11

00

p

pkiii

p

pkiii

k

k

een

ReR

een

ReR

TT

TT

ΦΦ

ΦΦ

A

; ˆ

, ˆ

,0ˆ

,0ˆ:* tensor

2221ˆ2

1

4420ˆ4

0

1

0

11

00

p

pki

kii

p

pki

kii

k

k

eben

ReR

eben

ReR

T

T

ΦΦ

ΦΦ

B

1ère

Part

ie

29


. ~

, ~

,~

,~:* tensor

2231

~21

4430

~40

11

00

11

00

p

pki

kii

p

pki

kii

k

k

eden

ReR

eden

ReR

TT

TT

ΦΦ

ΦΦ

D

; 1

, 1

,0

,0: tensor

2213

21

4403

40

1

0

11

00

p

pki

kii

p

pki

kii

k

k

eceRn

eR

eceRn

eR

T

T

ΦΦ

ΦΦ

C

1ère

Part

ie

30


2 remarques fondamentales pour la conception des stratifiés à plis identiques:◦ seulement la partie anisotrope entre dans le processus de conception;

ainsi, il n’y a que deux équations polaires pour chaque tenseur.

◦ la partie matérielle et géométrique peuvent être séparées: par exemple:

€

R0 e4iΦ 0 =R0 e4iΦ 0

1n

e4i k

k=−p

p∑ ,

R1 e2iΦ 1 =R1 e

2iΦ11n

e2i k

k=−p

p∑ .

Partie géométrique: paramètres de stratification, x0, x1…..

Partie matérielle: paramètres polaires

Domaine d’existence des paramètres de stratification:

€

−1≤ξ1 ≤12ξ1

2 −1≤ξ0 ≤1

1ère

Part

ie

31

Optimiser les stratifiés: une approche polaire 1

Objectif de la recherche: utiliser le formalisme polaire pour formaliser une procédure d’optimisation sans aucune hypothèse simplificatrice (true global optimization, Vannucci, IJSMO, 2006)

Trois motifs:◦ recherche des vrais minima globaux (si une hypothèse simplificatrice est

faite, il est en général impossible de trouver un minimum global);

◦ ouvrir la voie vers de nouvelles stratégies de conception des stratifiés, capables, en principe, d’obtenir de nouveaux, plus intéressants stratifiés (plus légers? plus rigides? plus résistants?);

◦ certains problèmes nouveaux, très compliqués, ne peuvent pas être abordés dans un cadre simplifié, traditionnel.

Le point clé est: en conception des stratifiés, les propriétés mécaniques générales doivent être considérées comme partie du processus de conception: les anisotropies du stratifié doivent être conçues. 2

èm

e

Part

ie

32


Stratégie générale: construire une fonction convenable et générale, dans l’espace des paramètres polaires du stratifié, qui dans certains cas sera l’objectif, dans d’autres une contrainte au problème de minimum:

€

I (Pk ) =P⋅HP =HijPiPj , i, j =1,...,18, H =HT,

,~,~,~12

,~12

,~12

,~12

,ˆ,ˆ,ˆ2

,ˆ2

,ˆ2

,ˆ2

,,,,,,

11801731

1630

1531

1430

13

11201121

1020

921

820

7

16051

40

31

20

1

ΦΦ

ΦΦ

ΦΦ

PPMh

RP

Mh

RP

Mh

TP

Mh

TP

PPMh

RP

Mh

RP

Mh

TP

Mh

TP

PPMh

RP

Mh

RP

Mh

TP

Mh

TP

.421

121

20

21

20 n

i iiii RRTTn

M2èm

e

Part

ie

33

Trois différents types de problèmes de conception

◦ 1. conception des propriétés élastiques: minimiser I pour une matrice H donnée:

◦ 2. même problème, mais avec des contraintes:

◦ 3. minimiser un objectif donné avec des propriétés élastiques spécifiées et avec certaines contraintes imposées:


€

minPk

I [Pk (x)]

€

minPk

I [Pk (x)]

avec gj [Pk (x)] ≤0, j =1,...,nc

min f(x)

et I[Pk(x)]=0

2èm

e

Part

ie

€

avec gj [Pk (x)] ≤0, j =1,...,nc

34


Le choix des symétries élastiques détermine les composantes de la matrice H.

Toutes les combinaisons possibles de propriétés de A, B et D peuvent être prises en compte (et aussi pour d’autres champs, e.g. thermoélasticité, piézoélectricité).

A-A A-B A-D

A-A A-B A-D

B-A B-B B-D

D-A D-B D-D

A-A A-B A-D

A-A A-B A-D

B-A B-B B-D

D-A D-B D-D

1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

C=O

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

- 1 1

2

R1A=0

B=O

1 1 1 1

2èm

e

Part

ie

35

L’outil numérique: BIANCA 1

Aspects numériques:◦ Le défaut de cette approche est qu’il faut disposer de techniques

numériques très performantes pour la recherche des minima globaux.

◦ En vue du type d’objectif/contraintes (fonctions très non linéaires, multimodales), les métaheuristiques sont plus indiquées des méthodes classiques de descente.

◦ Pour des problèmes très compliqués, les métaheuristiques classiques utilisées dans ce domaine, n’étaient pas une garantie de succès (trop simplifiées, parfois rustiques).

◦ Nous avons développé 2 codes pour ces types de problèmes:

BIANCA: un algorithme génétique avec traitement de contraintes d’égalité et d’inégalité, basé sur un représentation très détaillée de l’information et capable de croiser aussi les espèces; il peut résoudre les trois types de problèmes.

ALE-PSO: un code par essaim particulaire avec contrôle des coefficients aléatoires, avec traitement des contraintes d’inégalité; plus rapide de BIANCA, il peut résoudre le deux premiers types de problèmes. 2

èm

e

Part

ie

36

BIANCA est un AG qui cherche à simuler le plus possible la structure du génotype et le réglage biologique que celui-ci a sur le fonctionnement des êtres vivants.

La structure de la représentation génétique et de ses transformations permet de gérer le fonctionnement d’êtres complexes et leur évolution par adaptation darwinienne.

Il suffit de penser que dans chaque cellule humaine il y a environ 2 m d’ADN, qui stocke à l’échelle moléculaire une énorme quantité d’informations et qui est capable de les faire évoluer, pour un total d’environ 25 milliards de km d’ADN pour chaque humain adulte.


èm

e

Part

ie

37


BIANCA a été construit en s’inspirant de ça: gérer la complexité.

L’architecture de BIANCA est celle typique d’un AG classique:

2èm

e

Part

ie

Opérateur d'adaptation: calcul

de la fitness des individus

Opérateur de sélection

aléatoire guidée des individus

Opérateur de croisement:

cross-over aléatoire des individus

Opérateur de

mutation

aléatoire des individus

Nouvelle

population

Critère d'arrêt

Résultats:

meilleure individu, adaptation moyenne de

la population

Entrée:

population de n individus

non

oui

38


Toutefois, on a ajouté des particularités: BIANCA est:◦ multi-chromosome, et multi-gène

◦ multi-population

◦ codage binaire virtuel

◦ opérations génétiques booléennes sur chaque gène

◦ peut faire l’élitisme aussi en présence de contraintes

◦ traite les contraintes par une nouvelle méthode (pénalisation automatique dynamique)

◦ croise et fait évoluer aussi les espèces, indépendamment des individus

◦ traite les problèmes multi-objectif

◦ peut être interfacé avec tout autre logiciel de calcul (notamment ABAQUS, ANSYS, NASTRAN, MATLAB etc.)

2èm

e

Part

ie

39


La complexité est gérée dans BIANCA directement à partir de la représentation de l’information: un individu, solution possible au problème donné, est représenté par un vecteur

being(npop, nind, nchrom, ngene)

◦ npop: nombre de populations parallèles

◦ nind: nombre d’individus dans une population

◦ nchrom: nombre de chromosomes dans chaque individu

◦ ngene: nombre de gènes dans chaque chromosome

being 1

beings

2èm

e

Part

ie

40

Le cas des stratifiés:◦ Chaque stratifié est un individu

◦ Il est représenté par un vecteur being

◦ Son génotype a un nombre de chromosome n: chaque chromosome représente une couche

◦ Chaque chromosome est composé d’un nombre de gènes égal au nombre de paramètres significatifs pour le problème (e.g. orientation, épaisseur, propriétés mécaniques etc.).

n

k

4

3

2

1

n layersn

k

4

3

2

1

n layers

chr. 1

chr. 2

chr. 3

chr. 4

chr. k

chr. n

gen

ome

wit

h n

chro

mos

omes

chro

mos

ome k

gene of the material

gene of the orientation

6 genes of components

10010

10111

10010100

Remarque: stratifiés avec n différent appartiennent à différentes espèces


èm

e

Part

ie

41

Exemples 1

Exemple de problème de type 1 ◦ 12-plis, carbone-époxyde T300/5208; R1=0 en membrane et flexion,

B=O et réponse piézoélectrique isotrope (actionneurs: PZT4).

◦ Meilleure solution trouvée par l’A.G. BIANCA:

[0/90/44.98/-41.80/-74.53/40.47/0/-71.92/34.36/-45/-1.86/85.08]

2èm

e

Part

ie

42

Exemples 2

Exemple de problème de type 1 ◦ 12-plis, carbone-époxyde T300/5208; isotrope en membrane, K=0

orthotrope en flexion, B=O; réponse thermoélastique isotrope en membrane; une direction de courbure thermique nulle par gradient de température.

◦ Meilleure solution trouvée par l’A.G. BIANCA:

[0/-29.9/44.3/-61.8/89.3/61.8/31.5/-89.1/33.4/-71.7/-11.6/-28.1]

2èm

e

Part

ie

43

Exemples 3

Exemple de problème de type 2 ◦ 12-plis, carbone-époxyde T300/5208; orthotrope en membrane, B=O,

avec orientations d{0°,15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90° etc}

et Emmax≥100 GPa (0.55 E1);

Emmin≥40 GPa (3.88 E2);

◦ Meilleure solution trouvée par l’A.G. BIANCA:[0°/30°/–15°/15°/90°/–75°/0°/45°/–75°/0°/–15°/15°].

2èm

e

Part

ie

44

Examples 4

Exemple de problème de type 3 :◦ 16-plis, carbone-époxyde T300/5208, B=O, A et D orthotropes

(K=1)avec axes coïncident, angles discrétisés à 1°.

◦ Problème:

a/b=1.5Nx=Ny=1 N/mm

2èm

e

Part

ie

45

Examples 5

Résultats:◦ Meilleure solution trouvée par BIANCA

[-24/39/-47/37/32/-47/-6/-47/55/59/18/-38/-38/19/-40/42]qui donne:

◦ lopt= 6.86 x 106

◦ ExA= 60.6 GPa

◦ EyA= 31.1 GPa

◦ I(P(x))= 8.8 x 10-5

2èm

e

Part

ie

46

Examples 6

Exemple de problème de type 3 :◦ Même stratifié de l’exemple précédent, maintenant soumis à Nx= 105

N/mm, Ny=0.

◦ Problème:

avec

◦ Approche multiéchelle à l’optimisation en résistance d’un stratifié: minimisation de la déformation du stratifié et contrôle au niveau du pli de l’état de contrainte (ici, par le critère de Hoffmann).

Critère de Park sur les déformations du stratifié

2èm

e

Part

ie

47

Examples 7

Résultats:◦ Meilleure solution trouvée par BIANCA

[0/-6/-84/-5/42/4/-1/5/-72/-22/65/-84/5/-14/5/4]qui donne:

◦ Rindex= 2 x 107

◦ EyA= 49.5 GPa

◦ I(P(x))= 7.74 x 10-5

2èm

e

Part

ie

48

Examples 8

Un cas multi-objectif: stratifié 10-plis, B=O, A et D orthotropes (K=1) avec axes coïncident, angles discrétisés à 1°; objectifs:

[14/-2/-25/-7/-1/-3/17/1/15/-15]w11=33.21 HzEx

A=159 GPa

2èm

e

Part

ie

49

Un problème avec croisement des espèces: la conception de stratifiés ayant le moindre nombre de plis pour obtenir des propriétés données.

Le nombre de couches n est introduit comme un coefficient de pénalisation: si la fonction à minimiser est f (e.g. la forme

quadratique I(Pk)) le problème est transformé en:

Exemple: trouver le stratifié avec le moindre nombre de couches dans l’intervalle [9, 16], ayant B=O, A isotrope et D orthotrope, avec discrétisation des plis à 1° et les épaisseurs des plis variables continument dans [0.1 mm, 0.2 mm].

Examples 92

èm

e

Part

ie

50

Objectif:

Best individual

Average

2èm

e

Part

ie

Examples 10

51

Exemples 11

Un exemple hors stratifiés: optimisation du poids d’un caisson alaire

Matériau: Al-7075-T6 (E= 72 GPa, n=0.33). Variables: vecteur des dimensions géométriques (x) et

nombre des raidisseurs, n, dans [19-27]. Chaque raidisseur est représenté par un chromosome. Calcul fait par interfaçage BIANCA - ANSYS.

Problème:

€

minx,n

W

avecλcr ≥λ0 =1.6 /kN mm

2èm

e

Part

ie

52

Exemples 12

Résultats:◦ 25 raidisseurs

◦ charge critique finale: l0

◦ poids final: 13.97 kg

◦ épargne en poids par rapport

à la solution de référence: 15%

2èm

e

Part

ie

53

Exemples 13

Diagrammes de convergence

Average Best individual

2èm

e

Part

ie

54

Futures directions de récherche

L’élément essentiel est le fait qu’on a montré que la conception des stratifiés peut être libérée de toute contrainte, ce qui ouvre de nouvelles perspectives.

Il faut intégrer dans le processus de conception d’autres exigences et phénomènes: résistance, endommagement, contraintes technologiques etc.

Différentes recherches sont actuellement en cours; notamment, sur:◦ anisotropie distribuée et résistance

◦ stratifiés couplés

◦ phénomènes étranges

3èm

e

Part

ie

55

Anisotropie distribuée et résistance 1

Objectif: éteindre les travaux de Vincenti et Desmorat en intégrant des critères de résistance à l’optimisation distribuée de l’anisotropie (conception locale optimale des champs d’anisotropie).

Cette recherche est motivée par les techniques actuelles de fibre placement par des machines à contrôle numérique.

Objectif général: concevoir les meilleures champs d’anisotropie par rapport à un critère donné, englobant la résistance.

Approche de type free-material (optimisation en 2 phases)

3èm

e

Part

ie

Fibre placement

Structure Ω + loading

Algorithm for structural optimization (phase 1)• equivalent homogeneous material• principal orthotropy direction• anisotropic stiffness parameters

Design of the optimal laminate (phase 2)• constitutive parameters of the laminate (material and

orientations in each layer) satisfying the results of structural optimization

Optimal laminate for the prescribed loading


èm

e

Part

ie

56

57


Un exemple quasi aéronautique (Desmorat, Vincenti, Léné, Julien, Jibawi, 2010)

3èm

e

Part

ie

58


La prise en compte de la tenue de la structure dans un processus de calcul de ce type pose des problèmes supplémentaires:◦ cohérence de modèle structural entre la 1ère et la 2ème phase;

◦ formulation variationnelle adéquate;

◦ choix du critère de résistance/tenue.

Travail théorique préalable (en cours): interprétation polaire des critères de résistance pour les matériaux anisotropes:◦ interprétation physique des résultats théoriques;

◦ leur utilisation dans le cadre d’un processus de conception.

3èm

e

Part

ie

59

Stratifiés couplés 1

Les couplages sont des phénomènes normalement éliminés par les concepteurs, mais ils peuvent s’avérer intéressants dans beaucoup de cas.

Les couplages d’intérêts ici sont les couplages de type traction-cisaillement, flexion-torsion, membrane-flexion, les couplage thermo-élastiques et piézoélectriques.

Applications possibles: structures multistables, stratifiés thermiquement stables, pales d’éoliennes, aubes de turbines etc.

Le point est que la procédure générale vue peut prendre en compte toute exigence de conception, sans limitations.

3èm

e

Part

ie

60

Stratifiés couplés 2

Travaux en collaboration avec C. York, du Department of Aerospace Engineering of the University of Glasgow.

Le travaux portent sur:◦ optimisation de pales d’éoliennes à contrôle passif par couplage

mécanique;

◦ analyse théorique des couplages.

◦ Exemple: analyse de la structure des tenseurs de souplesse des stratifiés en présence de couplage (B≠O).

◦ Il y a 1188 situations possibles pour les stratifiés à couches identiques, 3564 pour ceux à couches différentes;

◦ Un premier résultat concerne la condition pour obtenir b=bT: si les tenseurs de rigidité sont orthotropes, cette condition est

3èm

e

Part

ie

€

(−1)KA R0A −(−1)KD R0

D

R1A −R1

D =(−1)KBR0

B

R1B

61

Problèmes étranges

Au cours des recherches nous avons mis en évidence des phénomènes étranges:◦ interaction géométrie-anisotropie: comment la géométrie filtre

l’anisotropie;

◦ stratifiés étranges: stratifiés qui ont des propriétés non communes;

◦ stabilité et sensibilité de la solution par rapport à la formulation d’un problème d’optimum: influence de l’anisotropie.

Au delà des applications possibles, il est intéressant de s’occuper de ce genre de problèmes car ils peuvent aider à mieux comprendre l’anisotropie sous ses multiples facettes.

3èm

e

Part

ie

62

Merci pour votre attention.

p. vannucci - uvsq institut jean le rond d’alembert – umr7190 université paris 6 - cnrs...

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