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Laboratorio de Mecánica y Ondas A. Cros, A. Cantarero y C. Ferrer Modificado por E. Ros, J.A. Font y J.A. Muñoz

Práctica 4. Galileo y el péndulo 20

Galileo y el Péndulo Galileo era profesor de filosofía natural en la universidad de Pisa. Observaba con gran interés la naturaleza y los fenómenos físicos que le rodeaban, e intentaba buscarles una explicación. En aquella época (1564-1642), la iglesia marcaba gran parte de la vida social y Galileo, como uno más de su tiempo, asistía asiduamente a los oficios religiosos que se celebraban en la catedral de Pisa. Para iluminar la catedral durante los oficios nocturnos se utilizaban grandes lámparas de velas que pendían mediante cadenas del techo abovedado de la catedral. Las lámparas colgaban todas a la misma distancia del techo, para iluminar mejor el Cristo y las figuras de los Santos. Galileo había asistido ya muchas veces a los oficios religiosos, y, aunque había admirado en varias ocasiones el hermoso trabajo de orfebrería de las lámparas, no fue hasta una tarde tormentosa de invierno cuando reparó en que las lámparas se movían de una forma muy peculiar. Ya había observado este tipo de movimiento en muchas ocasiones anteriores: en los botes del aguador, cuando llevaba el agua a su casa, en las cortinas de su habitación, cuando hacía corriente, o en los adornos que colgaban del techo de algunas viviendas lujosas. Pero hasta esa noche no había tenido tiempo de pararse a meditar sobre el fenómeno. Ese día en especial, el fuerte viento de la tormenta hacía oscilar vigorosamente las lámparas. Las que se encontraban cerca de la puerta describían grandes arcos, mientras que las lámparas próximas al altar se movían sólo un poco. -“Claro”- pensó. – “Cerca de la puerta, donde la tormenta arrecia, el viento es más fuerte”-. Pero había algo que le turbaba. Le parecía que, en su vaivén, ¡todas las lámparas tardaban el mismo tiempo en realizar una oscilación! -“No es posible”- pensó. “Si el arco que describen es mayor, el tiempo que tardan en recorrerlo, deberá también ser mayor”. Galileo estaba decidido a comprobar si su observación era cierta, pero tenía un pequeño problema. El reloj de sol que había en la plaza del ayuntamiento no era muy preciso, y no le valía para cronometrar el tiempo que tardaban las lámparas en oscilar (además era de noche, claro). –“Ni siquiera tengo aquí un reloj de arena o de agua”.



Pero un buen científico como Galileo no se deja frenar por semejantes contratiempos en su afán por explicar los fenómenos. -“Utilizaré las pulsaciones de mi corazón como reloj”. Se fijó en la lámpara más cercana e intentó contar cuántas pulsaciones tardaba en describir una oscilación completa (ida y vuelta). “7 pulsaciones”. Volvió a intentarlo de nuevo, por si se había equivocado. “8 pulsaciones”, “6 pulsaciones”. “¡Caramba, cada vez me sale una cosa! Eso es que mi reloj no es lo suficientemente bueno. Voy a contar diez oscilaciones, y después dividiré el número de pulsaciones entre 10 para obtener el valor medio de todas.” Galileo se pasó todo el oficio contando y contando. No era una tarea fácil contar pulsaciones y oscilaciones al mismo tiempo, pero al acabar la misa ya había llegado a una conclusión clara:-“No sé cómo podrá ser esto, pero está claro que todas tardan lo mismo en oscilar, igual les da desplazarse mucho que poco”. Con esta idea en la mente, llegó a su casa y preparó una serie de experimentos para investigar el movimiento que llamó pendular (es decir, de cosas que cuelgan o penden de un hilo). Aplicando las enseñanzas de Aristóteles, pensó que si colgaba un cuerpo más pesado, las oscilaciones serían más rápidas. -“Me construiré dos péndulos iguales, pero uno con una bola de oro y otro con una bola de madera”. “Increíble, los dos tardan el mismo tiempo en oscilar! ¡Si resulta que Aristóteles estaba equivocado! Si consiguiera dominar este fenómeno, podría construirme un reloj mejor que el que tengo ahora. Probaré con cuerdas de distinta longitud.” Efectivamente, con este último experimento Galileo obtuvo la clave para dominar el tiempo. Pero todavía le esperaba otra sorpresa. -“Veamos, está claro que cuando utilizo un hilo largo, el péndulo tarda mucho en ir y venir, y cuando lo voy acortando la oscilación cada vez se hace más rápida. Pero si fabrico un péndulo el doble de largo que otro, no tarda el doble en oscilar, sino sólo una vez y media más (Galileo no tenía calculadora), y tengo que hacerlo cuatro veces más largo para que tarde el doble. Los experimentos de Galileo y las conclusiones a las que llegó tras ellos (el denominado isocronismo) constituyen la base de los relojes de péndulo, que el propio Galileo proyectó (arriba, dibujo de un discípulo suyo) y que sustituirían a los relojes de sol y de arena en los años venideros. Galileo actuó siguiendo lo que ahora entendemos como método científico, es decir, combinando la experimentación con la matemática para realizar predicciones cuantitativas que se tradujeran en avances tecnológicos.



Si Galileo hubiera tenido un cronómetro lo suficientemente preciso, siguiendo el método científico se hubiera dado cuenta de que el péndulo no es un sistema isócrono, sino que su período varía, aunque muy poco, al cambiar la amplitud inicial. Fue Christian Huygens, alrededor de 1650, el que analizó esta propiedad. Suponemos que en el laboratorio de primero ya te has familiarizado con las características más básicas del péndulo simple. En este laboratorio irás un paso más allá y estudiarás la dependencia de su período con la amplitud. Objetivos: resolver el problema general de un péndulo para un ángulo cualquiera. Hallar el valor de la aceleración de la gravedad y el factor de calidad de un péndulo. Hallar la equivalencia entre un péndulo físico y un péndulo simple. Determinar experimentalmente el momento de inercia de un péndulo físico, analizando su movimiento para distintos valores de g. Material utilizado: Péndulo simple compuesto por hilo inextensible y un cilindro de aluminio de 68.36 g. Cronómetro de precisión. Péndulo físico de ángulo variable. Porta ángulos. Dos pesas.

1. Introducción 1.1 Expresión general del período de un péndulo. La ecuación diferencial del movimiento del péndulo simple de longitud l es:

(1)

donde .

Cuando la amplitud del movimiento es pequeña el seno del ángulo puede aproximarse por el valor del ángulo en radianes, , y la ecuación diferencial (1) adquiere la forma:

, (2)

que es la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple. El período viene dado en este caso por:

(3)

La solución exacta de la ecuación diferencial (1) nos lleva a una integral elíptica de primera clase. La expresión para el período es entonces:

(4)

donde siendo �0 el ángulo inicial. Si �0 no es muy grande, podemos

desarrollar en serie la raíz de la integral:



(5)

Llevando este desarrollo en serie a la integral (4) obtenemos:

(6)

con lo cual, si el ángulo inicial no es muy grande, podemos aproximar el período por:

(7)

1.2. El factor de calidad Q El factor de calidad de un sistema oscilante nos indica la bondad del sistema oscilante, es decir, si el sistema está muy amortiguado (en este caso sería un mal sistema oscilante, dejaría de oscilar muy rápidamente) o es débilmente amortiguado (el sistema sería un buen sistema resonante y estaría oscilando mucho tiempo antes de detenerse). El factor de calidad Q se define como:

En principio, todos los sistemas oscilantes tienen un factor de calidad finito, lo que indica que pierden energía (en general por rozamiento con el aire, fricción en el punto de apoyo, etc.). El factor de calidad para un sistema débilmente amortiguado adquiere la expresión sencilla: (8) donde � es el tiempo de relajación (tiempo característico del sistema en el que la amplitud de oscilación disminuye en un factor e). Veamos cómo puede obtenerse � si aproximamos el movimiento del péndulo por el de un un oscilador débilmente amortiguado, es decir, despreciando la dependencia del período con el ángulo inicial. La elongación cambiará con el tiempo según la expresión:

(12) donde A0cos�0 representa la elongación inicial del péndulo. Su velocidad la hallaríamos derivando respecto al tiempo esta ecuación. Si suponemos que la amortiguación es débil (�>>T), podremos despreciar términos del orden de T/�, en cuyo caso la velocidad será:

. (13) En la práctica se medirá el factor de calidad a partir del estudio de la variación de la velocidad con el tiempo [Ecuación (13)].



2. Desarrollo Experimental. Primera parte 2.1. Dependencia del período con la amplitud Estudiar en primer lugar el funcionamiento del cronómetro de precisión. Utilizarlo primero para medir el período del péndulo (modo Simple Pend. 2) con el máximo número de decimales posible y una única memoria. Para la medida del factor de calidad se utilizará el modo Gate y 16 memorias. Realizar medidas del período comenzando desde ángulos grandes (pues se trata de analizar el período para aplitud grande) (desde 30º) y disminuyendo progresivamente de dos en dos grados hasta llegar a 14º. Realizar las medidas tanto para ángulos positivos como negativos. Tomar tres medidas de cada ángulo con el fin de calcular el porcentaje de dispersión y el error asociado a las medidas. Para corregir el

error de cero, tomar como valor del período el promedio , donde T+ se

corresponde con un ángulo inicial �0 y T- con - �0. Medir la longitud l del péndulo con la cinta métrica y el pie de rey (desde el punto de apoyo hasta su centro de gravedad). Representar gráficamente el período en función de sen2(�0/2) y deducir, mediante un ajuste por mínimos cuadrados, el valor de la aceleración de la gravedad [Ecuación (7)], tanto mediante la pendiente como mediante la ordenada en el origen. Comparar ambos valores entre sí y con el que aparece en una tabla de un Manual de Física y comentar la causa de las posibles desviaciones respecto del valor de la tabla. ¿Cómo varía el período del péndulo si se dobla su longitud? ¿y si se dobla su masa? Si un reloj de péndulo de la tierra se llevara a la luna, ¿adelantaría o atrasaría? 2.2 Determinación de Q Para determinar el factor de calidad Q del péndulo estudiaremos la variación de su velocidad con el tiempo en un punto determinado de la trayectoria cercano al punto de elongación mínima (velocidad máxima). Fijar una amplitud inicial (por ejemplo 20º). Seleccionar el modo GATE del cronómetro 6 cifras decimales y 16 memorias. Soltar el péndulo desde los 20º y esperar a que el cronómetro termine las 16 medidas. Cada una de estas medidas marca el tiempo que ha tardado el péndulo en atravesar la fotocélula. Una vez medido el diámetro del cilindro, estos datos nos permitirán determinar la velocidad del cronómetro en el punto más bajo de su trayectoria. Si soltamos el péndulo desde 20º, el tiempo transcurrido desde el inicio del movimiento hasta que cruce la primera vez el detector será t0. Como podemos elegir el origen de tiempos cuando queramos, tomaremos t0=0. A esta medida de tiempo (0 segundos) le corresponde el primer valor de la velocidad (v0). Al cabo de medio período, el tiempo transcurrido desde el inicio del movimiento será t = T/2, y su velocidad instantánea v1. Después de n períodos, t = nT/2 y la velocidad instantánea correspondiente será vn. De esta forma obtenemos una tabla de tiempo frente a velocidad. Por otra parte, en cada una de nuestras medidas el valor absoluto de la función seno de la Ecuación (13) toma un valor constante:



por lo que no cambia de una medida a otra. La ecuación para el módulo de la velocidad toma entonces la forma:

(14)

Hallando el logaritmo neperiano de los dos miembros de esta ecuación y representando ln v en función de t podremos determinar � mediante un ajuste por mínimos cuadrados, lo que nos permitirá calcular Q mediante la Ecuación (8). Como valor de �, tomar el correspondiente a 20º. NOTA: no confundir el tiempo medido, que nos da la velocidad de paso del péndulo, con el tiempo transcurrido, t, obtenido a partir del período (t=nT/2), y que aparece en el exponente de la ecuación (14). ¿Cuánto vale �? ¿Qué significado físico tiene este valor? ¿Este péndulo será un buen o un mal sistema oscilante? ¿Qué factores contribuyen en mayor medida a la pérdida de energía del sistema? En la deducción de la ecuación (13) se han despreciado términos del orden T/� . ¿Cuál sería la nueva fase si no se desprecian dichos términos? Péndulo físico con g variable ¡Con el péndulo en el espacio! En la primera parte de la práctica hemos visto que el período de oscilación de un péndulo depende del valor de la gravedad. ¿Cómo podemos cambiar el valor de g para estudiar esta dependencia? Sube con nosotros al cohete y ¡vamos a la luna! Claro que en la luna sólo obtendríamos un valor experimental del período en función de g. Para obtener un número razonable de puntos que complete una tabla experimental tendremos que recorrernos todos los planetas del sistema solar, y aún así ¡sólo obtendríamos nueve datos! Aquí hay un ejemplo de los 11 cuerpos del sistema solar con densidad mayor que 3 g/cm3. ¿Sabrías calcular el valor de g en la superficie de estos cuerpos? (http://seds.lpl.arizona.edu/nineplanets/nineplanets/datamax.html#largest) Radio Masa Name (km) (kg) Dens --------- ------- ------- ---- Earth 6378 5.97e24 5.52 Mercury 2439 3.30e23 5.42 Venus 6052 4.87e24 5.26 Adrastea 10 1.91e16 4.5 Mars 3398 6.42e23 3.94 Io 1815 8.93e22 3.53



Moon 1738 7.35e22 3.34 Elara 38 7.77e17 3.3 Sinope 18 7.77e16 3.1 Lysithea 18 7.77e16 3.1 Europa 1569 4.80e22 3.01

Por suerte, se nos ha ocurrido una solución menos aventurera. Para cambiar el valor de g utilizaremos un péndulo físico en el que podemos variar la inclinación del plano de oscilación respecto a la vertical.

3. Introducción. El péndulo físico El péndulo físico utilizado en esta parte de la práctica consiste en una varilla larga con una pesa móvil. La varilla puede girar alrededor de un eje que está sujeto de forma que se pueda variar su orientación, cambiando el plano de oscilación del péndulo. El período de oscilación del sistema puede determinarse utilizando una fotocélula unida a un cronómetro de precisión. Para obtener la ecuación de movimiento del péndulo podemos comenzar escribiendo el momento M de las fuerzas aplicadas en función del momento de inercia del péndulo, I, y de su aceleración angular:

donde � es el ángulo de giro de la varilla. Una de las fuerzas aplicadas al sistema será la fuerza de la gravedad, que podemos suponer aplicada al centro de gravedad del péndulo y cuyo momento respecto al centro de giro, cuando éste se encuentra vertical, puede expresarse como:

(15) donde m es la masa total del péndulo y h la distancia desde el punto de suspensión hasta el centro de gravedad. Además de la gravedad, sobre el péndulo actúan las fuerzas de rozamiento, que en esta parte de la práctica vamos a despreciar. La ecuación del movimiento del péndulo físico será entonces:

(16)

Si consideramos oscilaciones de pequeña amplitud, podremos hacer la aproximación para ángulos pequeños . Obtenemos la ecuación de movimiento de un péndulo simple, con frecuencia propia:

(17)

La ecuación diferencial será:

.



En esta práctica, el sistema de montaje del péndulo permite variar el ángulo que el plano de oscilación forma con la vertical. Este ángulo se mide con el porta-ángulos. Si es distinto de cero, la fuerza que hace oscilar el sistema corresponde a la componente de la gravedad a lo largo del péndulo:

(18) La modificación introducida en la ecuación de movimiento por un cambio en el ángulo

puede interpretarse mediante la introducción de un valor efectivo de la aceleración de la gravedad g:

(19) Con esta definición y teniendo en cuenta la expresión (17) tenemos finalmente para la frecuencia propia del sistema:

(20) De esta forma podemos estudiar el movimiento del péndulo para distintos valores de gef.

4. Desarrollo experimental. Segunda parte

1. Medir en la balanza la masa de la pesa. Dado que la varilla es hueca y su peso es mucho menor que el de la pesa, lo despreciaremos en el análisis de la práctica. 2. Situar la pesa cerca del extremo inferior de la varilla y medir su posición respecto al eje de oscilación. El centro de gravedad del sistema coincidirá aproximadamente con el centro de la pesa (h). 4. Poner la varilla vertical ( = 0). 5. Conectar el cronómetro de precisión de forma que pueda medir el período del péndulo. Para ello, apretar la tecla roja una vez (TIME) y presionar después varias veces la tecla azul hasta que en la pantalla aparezca la opción PEND. A continuación, presionar START. Habrá que volver a presionar START cada vez que realicemos una medida. Situar la fotocélula de forma que el péndulo la interrumpa en su movimiento. 6. Desplazar el péndulo ligeramente de su posición de equilibrio (nunca más de 15º) para medir el período. 7. Repetir la medida del período, para distintos ángulos, abarcando desde = 0 hasta

= 60º, tomando medidas cada 5º. Calcular en cada caso el valor de gef. Con los datos obtenidos hacer una gráfica que permita determinar, a partir de la ecuación (20), el momento de inercia I del sistema mediante un ajuste por mínimos cuadrados. Calcula teóricamente el valor del momento de inercia a partir de la masa de la pesa y su posición (despreciando la masa de la varilla). Compara los dos valores obtenidos de I y discute el resultado.

Bibliografía

J. B. Marion, Dinámica clásica de partículas y sistemas, Ed. Reverte, 1975. C. Kittel, N. D. Knight, M. A. Ruderman, Mecánica. Berkeley Physics Course, Vol. I, Ed. Reverté, 1973.

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