documentp5
TRANSCRIPT
Linearno
programiranje
Prof. dr. sc. Kristina Šorić
Zagrebačka škola ekonomije i
managementa (ZŠEM)
Zagreb, 1.7.2013. 1
Sadržaj
Sustav linearnih nejednadžbi –
modeliranje
Grafičko rješavanje sustava linearnih
nejednadžbi
Linearno programiranje
Grafička metoda za rješavanje problema
linearnog programiranja
2
Sustav linearnih
nejednadžbi -
modeliranje
3
4
Primjer. Turistička agencija planira unajmiti
veće i manje autobuse za jedan izlet. Svaki veći
autobus može prevesti 40 putnika i treba 3
vodiča. Svaki manji autobus može prevesti 8
putnika i treba 1 vodiča. Agencija organizira izlet
za najmanje 400 osoba i ima 36 vodiča.
Opišite algebarski (kao sustav linearnih
nejednadžbi) skup svih mogućih kombinacija
broja unajmljenih velikih i malih autobusa koje
zadovoljavaju ograničenja
na broj putnika i broj vodiča
za planirani izlet.
5
Agencija organizira
izlet za...
... najmanje 400
putnika, a ...
... raspolaže s 36
vodiča
6
U tu svrhu agencija
unajmljuje ...
... veće i ... ... manje autobuse
7
Agencija
Broj većih Broj manjih
autobusa autobusa
Koliko? Koliko?
Odluka!
8
Kako donijeti odluku?
U skladu s ograničenjima:
minimalan broj putnika na izletu je 400
maksimalan broj vodiča na izletu je 36
9
Zadani parametri problema:
Veći autobus: broj putnika: 40
potreban broj vodiča: 3
Manji autobus: broj putnika: 8
potreban broj vodiča: 1
10
Varijable odlučivanja (o čemu odlučujemo?):
- broj većih autobusa
- broj manjih autobusa
1x
2x
0,21
Nxx
Prvo ograničenje: minimalan broj putnika
na izletu je 400
Ukupan broj putnika na izletu = broj
putnika u većim autobusima + broj putnika
u manjim autobusima
11
Svaki autobus je za agenciju trošak, pa će
u autobuse smještavati maksimalan broj
putnika (dakle, 40)
12
Broj putnika u većim autobusima = 40*
broj većih autobusa
Broj putnika u većim autobusima = 40*
13
1x
40
40
40
Broj putnika u manjim autobusima = 8*
broj manjih autobusa
Broj putnika u manjim autobusima = 8*
14
2x
8
88
Ukupan broj putnika na izletu = broj
putnika u većim autobusima + broj putnika
u manjim autobusima
Dakle, ukupan broj putnika na izletu je
maksimalno jednak
Taj broj mora iznositi minimalno 400:
15
21 840 xx
40084021 xx
Drugo ograničenje: agencija raspolaže s
36 vodiča
Ukupan broj vodiča = broj vodiča iz većih
autobusa + broj vodiča iz manjih autobusa
16
Broj vodiča u većim autobusima = 3* broj
većih autobusa
Broj vodiča u većim autobusima = 3*
17
1x
3
3
3
Broj vodiča u manjim autobusima = 1* broj
manjih autobusa = broj manjih autobusa
Broj putnika u manjim autobusima =
18
2x
1
11
Ukupan broj vodiča = broj vodiča u većim
autobusima + broj vodiča u manjim
autobusima
Dakle, ukupan broj vodiča je jednak
Taj broj može iznositi maksimalno 36:
19
213 xx
36321 xx
20
Sustav linearnih nejednadžbi
- broj većih autobusa
- broj manjih autobusa
1x
2x
0,21
Nxx
40084021 xx
36321 xx
21
Napomena: mi ćemo pretpostavljati da su
varijable odlučivanja veće ili jednake nuli
40084021 xx
36321 xx
0, 21 xx
22
Pitanje 1.: Može li agencija unajmiti 7
većih i 15 manjih autobusa?
Matematički, provjeravamo je li rješenje
moguće rješenje. U tu svrhu provjeravamo
jesu li zadovoljena sva ograničenja!
)15,7(
23
Prvo ograničenje:
Zadovoljeno!
Drugo ograničenje:
Zadovoljeno!
40015874040084021
xx
400400
36157336321
xx
3636
24
Dakle, unajmi li agencija 7 većih i 15
manjih autobusa, broj putnika će biti 400.
40015874040084021
xx
400400
Minimalno zahtijevani
broj putnikaStvaran broj putnika
25
Nadalje, unajmi li agencija 7 većih i 15
manjih autobusa, iskorištenost vodiča će
biti maksimalna, 36.
Raspoloživi broj vodičaStvaran broj vodiča
36157336321
xx
3636
26
Pitanje 2.: Može li agencija unajmiti samo
12 većih autobusa?
Matematički, provjeravamo je li rješenje
moguće rješenje. U tu svrhu provjeravamo
jesu li zadovoljena sva ograničenja!
)0,12(
27
Prvo ograničenje:
Zadovoljeno!
Drugo ograničenje:
Zadovoljeno!
40008124040084021
xx
400480
36012336321
xx
3636
28
Pitanje 3.: Može li agencija unajmiti samo
10 većih autobusa?
Matematički, provjeravamo je li rješenje
moguće rješenje. U tu svrhu provjeravamo
jesu li zadovoljena sva ograničenja!
)0,10(
29
Prvo ograničenje:
Zadovoljeno!
Drugo ograničenje:
Zadovoljeno!
40008104040084021
xx
400400
36010336321
xx
3630
30
Pitanje 4.: Uz pretpostavku da najam
većeg autobusa košta $1200, a najam
manjeg autobusa $450, izračunajte
ukupne troškove najma za sve tri
navedene kombinacije.
Rješenje. Ukupan trošak najma je jednak:
21 4501200 xx
Ukupan trošak najma:
Ukupan trošak najma:
31
)15,7(
1515015450712004501200 21 xx
)0,12(
1440004501212004501200 21 xx
Ukupan trošak najma:
Trošak je najmanji uz kombinaciju većih i
manjih autobusa
32
)0,10(
1200004501012004501200 21 xx
)0,10(
33
Pitanje 5.: U već konstruirani model
dodajte ograničenje na budžet agencije od
$14000.
140004501200 21 xx
36321 xx
40084021 xx
0, 21 xx
Primjer. Poduzeće ABC vrijednosnice planira investicije
u obveznice i dionice. Na početku će sljedeće godine
raspolagati s 3 milijuna kn koje može investirati u
instrumente OP1 i OP2.
Očekivani godišnji prinosi na te instrumente su, redom,
0.06 i 0.09.
Nijedno ulaganje ne smije prijeći gornju granicu od 2
milijuna kn. Menadžment želi ukupan prinos od najmanje
8% raspoloživog iznosa.
Opišite algebarski (kao sustav linearnih nejednadžbi)
skup svih mogućih kombinacija ulaganja za investitora.
34
Rješenje.
x – ulaganje u OP1 (u milijunima kuna)
y – ulaganje u OP2 (u milijunima kuna)
Na početku će sljedeće godine raspolagati
s 3 milijuna kn koje može investirati u
instrumente OP1 i OP2:
35
3 yx
Nijedno ulaganje ne smije prijeći gornju
granicu od 2 milijuna kn:
36
2x
2y
Očekivani godišnji prinosi na te
instrumente su, redom, 0.06 i 0.09.
Menadžment želi ukupan prinos od
najmanje 8% raspoloživog iznosa.
37
Prinos od OP1 Prinos od OP2
Prinos od raspoloživog
iznosa 3
308.009.006.0 yx
Pomnožimo iznose na desnoj strani:
Pomnožimo obje strane nejednadžbe sa
100 (Napomena: izgleda “ljepše”):
38
24.009.006.0 yx
2496 yx
Budući da su x i y iznosi u kunama, mora
vrijediti uvjet nenegativnosti:
Sustav linearnih nejednadžbi čije je
rješenje skup svih mogućih kombinacija
ulaganja je:
39
0, yx
Sustav:
40
3 yx
2x
2y
0x
0y
Opisali smo skup
svih uređenih
parova ulaganja,
(x,y), koji
zadovoljavaju uvjete
postavljene od
strane
menadžmenta!
2496 yx
Pitanje 1.: je li moguće za poduzeće
ulagati u svaki instrument maksimalan
iznos?
Matematički, moramo provjeriti pripada li
uređeni par (2,2) skupu rješenja sustava
linearnih nejednadžbi!
Umjesto x uvrstimo 2 i umjesto y uvrstimo
2, pa provjerimo jesu li zadovoljene sve
nejednakosti!41
Uvrstimo li koordinate uređenog para (2,2)
u prvu nejednadžbu, dobivamo:
42
3 yx
322
34 Uvjet nije
zadovoljen!
Da bi uređeni par (2,2) pripadao skupu
rješenja sustava linearnih nejednadžbi,
onda svi uvjeti moraju biti zadovoljeni.
Pronašli smo jedan uvjet koji nije
zadovoljen, ostale ne moramo promatrati,
te zaključujemo da za poduzeće nije
moguće ulagati maksimalne iznose u oba
instrumenta
43
Pitanje 2.: je li za poduzeće moguće u
OP1 uložiti 1 milijun kn, a u OP2, 2
milijuna kn?
Matematički, moramo provjeriti pripada li
uređeni par (1,2) skupu rješenja sustava
linearnih nejednadžbi!
Umjesto x uvrstimo 1 i umjesto y uvrstimo
2, pa provjerimo jesu li zadovoljene sve
nejednakosti!44
Uvrstimo li koordinate uređenog para (1,2)
u prvu nejednadžbu, dobivamo:
45
3 yx
321
33Uvjet je
zadovoljen!
Uvrstimo li koordinate uređenog para (1,2)
u drugu nejednadžbu, dobivamo:
46
2x
21 Uvjet je
zadovoljen!
Uvrstimo li koordinate uređenog para (1,2)
u treću nejednadžbu, dobivamo:
47
2y
22 Uvjet je
zadovoljen!
Uvrstimo li koordinate uređenog para (1,2)
u četvrtu nejednadžbu, dobivamo:
48
Uvjet je
zadovoljen!
242916
24186
2424
2496 yx
Uvjeti nenegativnosti su zadovoljeni jer je:
pa možemo reći da uređeni par (1,2)
pripada skupu rješenja sustava linearnih
nejednadžbi, tj., predstavlja moguća
ulaganja za poduzeće.
49
01
02
Pitanje 3.: koji se ukupan prinos ostvaruje
za kombinaciju ulaganja (1,2)?
Ukupan prinos je jednak:
tj., 0.24 milijuna kuna:
50
yx 09.006.0
24.018.006.0209.0106.0
Grafičko rješavanje
sustava linearnih
nejednadžbi
51
Primjer. Grafički riješite nejednadžbu
Rješenje je skup svih uređenih parova
(x,y) koji zadovoljavaju promatranu
nejednadžbu.
Da bismo taj skup grafički prikazali,
najprije nacrtamo pravac
52
4 yx
4 yx
Na pravcu leže uređeni parovi (x,y) za koje vrijedi jednakost. Nas
zanimaju i uređeni parovi za koje vrijedi nejednakost “<“.53
4 yx
Gdje se oni nalaze? S “donje” strane pravca ili s “gornje” strane?
54
4 yx
U tu svrhu izaberemo jednu točku (uređeni
par) koja ne pripada pravcu i provjerimo
zadovoljava li uvjet
Ako ga zadovoljava, onda i svaka točka
(uređeni par) koja pripada toj poluravnini
zadovoljava taj uvjet
Ako ga ne zadovoljava, onda je skup
rješenja nejednadžbe poluravnina kojoj
izabrana točka ne pripada55
4 yx
Izaberimo npr. točku (0,0) i uvrstimo u nejednadžbu!
Umjesto x pišemo 0, umjesto y pišemo 0. Dobijemo:
Uvjet je zadovoljen, pa zaključujemo da je rješenje
nejednadžbe poluravnina kojoj pripada točka (0,0)
56
4 yx
400
40
57
4 yx
Primjer. Grafički riješite sustav linearnih
nejednadžbi:
Rješenje. Pronađemo skup rješenja prve
nejednadžbe, pa druge, pa na kraju
presjek ta dva skupa rješenja.
58
2 yx
0 yx
59
Skup rješenja
sustava
nejednadžbi!
Linearno
programiranje
60
Primjer. Poduzeće ABC vrijednosnice planira investicije
u obveznice i dionice. Na početku će sljedeće godine
raspolagati s 3 milijuna kn koje može investirati u
instrumente OP1 i OP2.
Očekivani godišnji prinosi na te instrumente su, redom,
0.06 i 0.09.
Nijedno ulaganje ne smije prijeći gornju granicu od 2
milijuna kn. Menadžment želi maksimizirati ukupan
prinos. Formulirajte model LP-a.
61
Rješenje.
x – ulaganje u OP1 (u milijunima kuna)
y – ulaganje u OP2 (u milijunima kuna)
62
3 yx
2x
2y
0x
0y
Ukupan prinos je:
Ranije je menadžment postavio uvjet da
prinos bude minimalno 8%, a sad ne
postavlja uvjet nego ga želi maksimizirati!
Izraz je funkcija cilja, a
njegova maksimizacija je cilj!
63
yx 09.006.0
yx 09.006.0
Model linearnog programiranja:
64
3 yx
2x
2y
0x
0y
)09.006.0max( yx Funkcija
cilja
Ograničenja
x,y – varijable
odlučivanja
65
Varijable
odlučivanja
Ograničenja
Funkcija cilja (cilj)
Optimizacija
Maksimizirati korisnost uz zadana
ograničenja
Minimizirati troškove uz zadana
ograničenja
66
Optimizacija - proizvodnja
Korisnost = dobit
Ograničenja na kapacitete strojeva
Ograničenja na kapacitete skladišta
Ograničenja na kapacitete distribucije
Ograničenja na tržišnu potražnju
67
Optimizacija - financije
Korisnost = povrat od ulaganja u različite financijske instrumente
Ograničenje na budžet
Ograničenja na minimalna i maksimalna ulaganja u pojedini instrument
Ograničenja na upravljanje rizikom
68
Optimizacija - proizvodnja
Troškovi = financijski troškovi korištenja
različitih resursa (strojevi, rad,
repromaterijal, transport, itd. )
Ograničenje na potražnju za proizvodom
Ograničenje na budžet
69
Područja primjene
Proizvodnja
Transport i distribucija
Lanci opskrbe
Marketing
Turizam
Telekomunikacije
Financijsko ulaganje i planiranje
Raspored zaposlenika
itd70
Postupak postavljanja i rješavanja
problema optimizacije
Uočavanje problema
Prikupljanje podataka
Formuliranje matematičkog modela
Metoda rješavanja
Dobivanje optimalnog rješenja
Interpretacija rješenja
Analiza osjetljivosti
71
Formuliranje matematičkog
modela
Varijable odlučivanja
Funkcija cilja
Ograničenja skup mogućih rješenja
72
Varijable odlučivanja
Količina određenog proizvoda (kg, litre, komadi)
Uložena financijska sredstva (kune, dolari, euri)
Broj zaposlenika
Broj promidžbenih poruka
0-1 varijable koje opisuju odluku DA-NE
73
Linearno programiranje – funkcija cilja i
ograničenja su linearna
Skup svih vektora koji
zadovoljavaju sva ograničenja zove se
skup mogućih rješenja problema
linearnog (cjelobrojnog) programiranja
74
),(21
xx
Grafička metoda za
rješavanje problema
linearnog programiranja
75
Primjer. Grafički riješite problem LP-a
76
4 yx
3x
0, yx
)2max( yx
Postupak:
Nacrtamo skup mogućih rješenja kao skup
svih uređenih parova (vektora, točaka) koji
zadovoljavaju sustav linearnih nejednadžbi
Teorem: kod ograničenog skupa mogućih
rješenja, optimalno rješenje problema
linearnog programiranja dostiže se u
jednom od vrhova (ekstremnih točaka)
skupa mogućih rješenja77
78
4 yx
O(0,0)
A(0,4)
B(3,1)
C(3,0)
Skup mogućih rješenja je poliedar s
vrhovima (0,0), (0,4), (3,1) i (3,0).
Maksimalna vrijednost funkcije cilja se
dostiže u jednom od vrhova!
Uvrstimo koordinate vrhova u funkciju cilja
i uočimo u kojoj od njih se dostiže
maksimum!
79
Optimalno rješenje je (0,4), a optimalna
(maksimalna) vrijednost funkcije cilja je 8.80
00202)0,0( yxO
84202)4,0( yxA
51232)1,3( yxB
30232)0,3( yxC
Postupak koji smo opisali nije grafička
metoda, ali daje rješenje.
Grafička metoda crta pravce
za različite vrijednosti od k i promatra u
kojem se smjeru vrijednost funkcije cilja (k)
povećava
81
kyx 2
82
22 yx
A(0,4)
42 yx
82 yx
Pomicanjem
pravca prema
gore, vrijednost
funkcije cilja se
povećava. Pri
tom moramo
paziti da
ostanemo u
skupu mogućih
rješenja. Zadnja
točka koju smo
dotaknuli je A, pa
je ona optimalno
rješenje.
Pravac pomičemo “prema
gore” u smjeru vektora normale čije su
koordinate jednake koeficijentima u funkciji
cilja (1,2)
Zadnja točka (vrh) koju dotaknemo prije
nego što izađemo iz skupa mogućih
rješenja je optimalno rješenje
Pravac zovemo izoprofitnom
linijom
83
kyx 2
kyx 2
84
Vektor (1,2)
Optimalno
rješenje je
(0,4)
02 yx
Napomene
U slučaju minimizacije, pravac (kojeg sad
zovemo izotroškovnom linijom) pomičemo u
smjeru suprotnom od smjera vektora normale
Problem linearnog programiranja može imati
beskonačno mnogo rješenja (spojnica dva vrha),
a može se dogoditi i da problem nema rješenja
(skup mogućih rješenja je prazan)
85
Primjer. Riješite grafički problem
investiranja
87
3 yx
2x
2y
0x
0y
)09.006.0max( yx
Rješenje. Skup mogućih rješenja je
poliedar s vrhovima O(0,0), A(0,2), B(1,2),
C(2,1), D(2,0)
Maksimalan prinos se ostvaruje u točki
B(1,2) i iznosi 0.24 milijuna kuna.
88
Primjer. Riješite grafički problem LP:
89
)2max( yx
42 yx
42 yx
0, yx
Rješenje. Skup mogućih rješenja je
poliedar s vrhovima O(0,0), A(0,2),
B(4/3,4/3) i C(2,0).
Optimalno rješenje je spojnica vrhova
A(0,2) i B(4/3,4/3).
Maksimalna vrijednost funkcije je 4.
90
Napomena. Problem LP u kojem
je cilj maksimizacija funkcije
ograničenja su u obliku “ “
varijable odlučivanja su nenegativne
desne strane ograničenja nenegativne
zove se standardni problem
maksimuma.
91
92
Primjer. Riješite problem organizacije izleta
s ciljem minimiziranja ukupnih troškova
najma autobusa.
40084021 xx
36321 xx
0, 21 xx
)4501200min( 21 xx
Rješenje. Skup mogućih rješenja je
poliedar s vrhovima A(7,15), B(12,0),
C(10,0).
Minimalan trošak se ostvaruje u točki
C(10,0) i iznosi $12000.
93
94
Primjer. Riješite problem LP:
421 xx
221 xx
0, 21 xx
)min( 21 xx
Rješenje. Problem nema rješenja jer je
skup mogućih rješenja prazan.
Ograničenja su proturječna (u konfliktu).
95
96
Primjer. Riješite problem LP:
221 xx
32 x
0, 21 xx
)max( 21 xx
Rješenje. Skup mogućih rješenja je
neograničen. Maksimum funkcije se
dostiže u beskonačnosti, pa problem
nema rješenja.
U slučaju , rješenje je
spojnica vrhova (0,2) i (2,0).
97
)min( 21 xx