p81-var
DESCRIPTION
var modelTRANSCRIPT
VAR model
Predavanje 8
1
Sistem linearnih jednadžbi
Do sada – analiza samo jedne jednadžbe
y je endogena i stohastička
x su endogene i ne-stohastičke
uzročnost slijedi od x prema y (x “uzrokuje” y)
x su određene izvan modela
2
uXy
uxy ttt
Strukturni i reducirani oblik modela
Ovo nije uvijek “dobar” prikaz stvarnosti
Često je primjerenije definirati sistem simultanih jednadžbi → “strukturni model”
(1)
cijene (P) i količine (Q) su endogene, obje “određene” simultano
S i T su egzogenih faktori
3
vTPQ
uSPQ
S
D
Strukturni i reducirani oblik modela
Model ponude i potražnje (1):
4
ponudefunkcija
potraznjefunkcija
vTPQ
uSPQ
S
D
Strukturni i reducirani oblik modela
Klasifikacija varijabli:
endogene – određene modelom
egzogene – određene “izvan” modela
5
Strukturni i reducirani oblik modela
“strukturni oblik modela”
Opisuje strukturu ekonomskog sistema
6
vTPQ
uSPQ
S
D
Strukturni i reducirani oblik modela
Željeli bismo znati vrijednosti parametara (grčka slova), posebno koeficijente uz
varijablu cijene u svakoj jednadžbi ( i
7
vTPQ
uSPQ
S
D
Strukturni i reducirani oblik modela
Pretpostavimo da svaku jednadžbu procjenjujemo OLS- metodom
Pretpostavljamo da je P egzogena iako je ona u stvari endogena
Kako bi to vidjeli, preformulirajmo jednadžbe u njihov “reducirani oblik”
8
vTPQ
uSPQ
S
D
Strukturni i reducirani oblik modela
Izjednačimo Q:
Izjednačimo P:
9
vTPuSP
vTQuSQ
vTPQ
uSPQ
S
D
Strukturni i reducirani oblik modela
Izjednačimo Q:
Izjednačimo P:
Sređivanjem, dobivamo “reducirani oblik”
10
vTPuSP
vTQuSQ
vuSTQ
uvSTP
Strukturni i reducirani oblik modela
Sada se egzogene varijable nalaze samo na desnoj strani jednadžbi (RHS)
Uočimo da je P stohastička varijabla
Ovisi o greškama relacija i u
11
uvSTP
Strukturni i reducirani oblik modela
“reducirani oblik modela”
odnosno:
parametri reduciranog modela
12
vuSTQ
uvSTP
2654
1321
STQ
STP
Strukturni i reducirani oblik modela
Pristranost simultanih jednadžbi (1)
Procjena i OLS metodom?
Pretpostavka OLS je da su regresori (varijable s desne strane) nezavisni s greškama relacije
U (1) P nije nezavisna (iako S i T jesu)
OLS su pristrane i ne-konzistentne, zaključivanje pogrešno
13
vTPQ
uSPQ
S
D
Strukturni i reducirani oblik modela
Reducirani sistem
Procjena parametara
Parametri reduciranog modela procjenjuju se OLS metodom
OLS procjene su konzistentne
No oni nas ne interesiraju
Zamimaju nas i i ostali parametri strukturnog
modela
14
2654
1321
STQ
STP
Strukturni i reducirani oblik modela
Kako iz parametara reduciranog modela dobiti parametre strukturnog modela?
Je li to uvijek moguće?
Jedinstvenost?
Problem identifikacije?
Kako dobiti konzistentne procjene parametara?
15
Strukturni i reducirani oblik modela
Procjenjivanje parametara sistema
Indirektna metoda najmanjih kvadrata (ILS)
Dvoetapna metoda najmanjih kvadrata, 2SLS (Two Stage Least Squares)
Metoda instrumentalnih varijabli, IV
16
Vektorski AutoRegresijski model, VAR
Strukturno modeliranje
zahtjeva poznavanje velikog broja informacija o endogenosti i egzogenosti varijabli
postavlja striktne uvjete za identifikaciju sistema ako se žele dobiti parametri strukturnog modela
17
Vektorski AutoRegresijski model, VAR
VAR metodologija “smatra” da teorija često ne omogućava takvu podjelu i sve varijable tretiraju se kao endogene.
Tako se “zaobilazi” izračunavanje strukturnih koeficijenata
18
VAR model
Osnovni VAR model s dvije varijable i jednim pomakom (lagom) varijabli:
uit su nezavisne jednako distribuirane
E(uit)=0, i=1,2;
E(u1t u2t)=0.
19
tttt
tttt
uyyy
uyyy
212221121202
112121111101
VAR model
Varijable s desne strane su sve egzogene s pomacima (OLS dobra)
Sve varijable s desne strane mogu se pojaviti i na lijevoj strani
Model se lako “proširuje”, ali velik broj parametara za procijeniti, 3 jednadžbe, 3 laga = 30 parametara
20
tttt
tttt
uyyy
uyyy
212221121202
112121111101
VAR model
Prednosti
Jednostavnost pristupa (ne temelji se na teoriji??)
Jednostavnost procjenjivanja, OLS- metoda
''dobre'' statističke karakteristike procjena
''dobre'' prognoze
Najveći nedostatak
Ne temelji se na teorijskim (ekonomskim) pretpostavkama, sve varijable tretiraju se jednako
21
Problemi s VARom
Koje varijable?
Ovdje (implicitno) uključujemo teoriju
Odabir varijabli pri definiranju (reduciranog) VAR sistema?
Jesu li neke egzogene i ne trebaju biti na lijevoj strani?
22
Problemi s VARom
Koliko pomaka (lagova)?
Informacijski kriteriji (IC)
Želimo minimalnu sumu kvadrata rezidualnih odstupanja bez dodavanja “previše” parametara (parsimonija)
IC različito “kažnjavaju” dodavanje parametara (varijabli) u model
23
Problemi s VARom
Informacijski kriteriji – najčešći
Schwarz-Bayes-ov (SC) je “stroži” od
Hannan-Quinn (HQC) ... “stroži” od
Akaike (AIC) ... “stroži” od
Korigirani R2
SC će dati “točan” model u slučaju beskonačnog broja podataka (tj; konzistentan je)
AIC nije konzistentan (dopušta preveliki broj varijabli u modelu) ali efikasniji
Ne postoji jedinstvena “najbolja” metoda
24
Problemi s VARom
sistem je u reduciranom obliku, pa procijenjeni parametri nisu interesantni
Kako je struktura modela kompleksna, koeficijente je teško interpretirati
Umjesto toga, primjenjuju se tri metode testiranja hipoteza (ispitivanje teoretskih pretpostavki) Granger- ova uzročnost
Analiza funkcije impulsnog odziva (IRF)
Dekompozicija varijance
25
Primjer 1:
VAR model s dvije varijable
Promjena u kanadskim državnim obveznicama (Canadian T-bill rate) - DBILL
Promjena tečaja (CAND – USD) - ER
2 pomaka (lag-a)
Kvartalni podaci
26
Primjer 1:
Procijenjene 2 jednadžbe
27
tttttt
tttttt
uDERDERDBILLDBILLCDER
uDERDERDBILLDBILLCDBILL
22241232221211
12141132121111
Primjer 1: procjena I jednadžbe
28
VAR/System - Estimation by Least Squares
Dependent Variable DBILL
Centered R**2 0.119539 R Bar **2 0.086929
Variable Coeff T-Stat Signif
******************************************************
1. DBILL{1} 0.27782539 2.78864 0.00625686
2. DBILL{2} -0.19024240 -1.84375 0.06796123
3. DEX{1} 3.23709307 0.40568 0.68578071
4. DER{2} 10.39730282 1.33562 0.18448231
5. Constant 0.10100216 1.03698 0.30206315
Primjer 1: procjena II jednadžbe
29
Dependent Variable DER
Centered R**2 0.176776 R Bar **2 0.146287
Variable Coeff T-Stat Signif
*****************************************************
1. DBILL{1} 0.003482243 2.72142 0.00757917
2. DBILL{2} 0.000164100 0.12383 0.90168170
3. DER{1} 0.389468317 3.80028 0.00023948
4. DER{2} 0.019394666 0.19398 0.84655507
5. Constant -0.000792912 -0.63384 0.52752592
VAR analiza
Uzročnost
promjene u jednoj varijabli uzrokuju promjene u drugoj varijabli
Grangerova uzročnost
mogućnost jedne varijable da predvidi dinamiku druge varijable.
30
Grangerova uzročnost
....”je li pojava X uzrokuje pojavu Y???” Problem se svodi na ispitivanje: koliki se dio dinamike varijable Y u tekućem
periodu može objasniti dinamikom same varijable u prethodnim periodima i
da li će se dinamika pojave Y bolje objasniti ako se u analizu dodaju prethodne vrijednosti varijable X
31
Grangerova uzročnost
Naime, kažemo da X uzrokuje Y ako varijabla X poboljšava predikciju varijable Y.
Sa statističkog stanovišta gornja tvrdnja je ekvivalentna statističkoj značajnosti lagiranih vrijednosti varijable X u jednadžbi dinamike varijable Y.
32
Grangerova uzročnost
Korelacija između tekućih vrijednosti jedne varijable i lagova druge varijable
Grangerova uzročnost sugerira uzročnost
Uzročnost u (nepoznatom) strukturnom modelu koji je “osnova” reduciranog VAR modela, rezultira Grangerovom uzročnošću u VAR-u
33
Grangerova uzročnost
H0#1: lag-ovi od y1 ne objašnjavaju trenutnu
vrijednost od y2
β21 = β22 = 0
H0#2: lag-ovi od y2 ne objašnjavaju trenutnu
vrijednost od y1
β13 = β14 = 0
Testiraj restrikcije koristeći t ili F-test
34
tttttt
tttttt
uyyyyy
uyyyyy
22224122321221121202
12214121321121111101
Grangerova uzročnost
Pretpostavimo da se H0#1 odbacuje i da se H0#2 ne odbacuje
odbacivanje H0#1 znači da y1 uzrokuje y2 u “Grangerovom smislu”
ne odbacivanje H0#2 znači da y2 ne uzrokuje y1 u “Grangerovom smislu”
35
Primjer 1:
VAR model s dvije varijable
Promjena u kanadskim državnim obveznicama (Canadian T-bill rate)
Promjena tečaja (CAND – USD)
2 pomaka (lag-a)
Kvartalni podaci
36
Primjer 1:
37
VAR/System - Estimation by Least Squares
Dependent Variable DBILL
Centered R**2 0.119539 R Bar **2 0.086929
Variable Coeff T-Stat Signif
******************************************************
1. DBILL{1} 0.27782539 2.78864 0.00625686
2. DBILL{2} -0.19024240 -1.84375 0.06796123
3. DER{1} 3.23709307 0.40568 0.68578071
4. DER{2} 10.39730282 1.33562 0.18448231
5. Constant 0.10100216 1.03698 0.30206315
Primjer 1:
38
Dependent Variable DER
Centered R**2 0.176776 R Bar **2 0.146287
Variable Coeff T-Stat Signif
*****************************************************
1. DBILL{1} 0.003482243 2.72142 0.00757917
2. DBILL{2} 0.000164100 0.12383 0.90168170
3. DER{1} 0.389468317 3.80028 0.00023948
4. DER{2} 0.019394666 0.19398 0.84655507
5. Constant -0.000792912 -0.63384 0.52752592
Primjer 1:
39
F-Tests, Dependent Variable DBILL
Variable F-Statistic Signif
DBILL 4.3617 0.0150781
DER 1.4936 0.2291677
F-Tests, Dependent Variable DER
Variable F-Statistic Signif
DBILL 4.2962 0.0160217
DER 9.3313 0.0001828
Funkcija impulsnog odziva, IRF (Impulse Response Function)
analiza “reakcije” (odgovora) svake zavisne varijable u VAR-u na “šok” u svakoj varijabli model šok u y1 (u1) u trenutku t utječe jedino na y1 u t
ali direktno utječe i na y1 i y2 u t+1 preko prvih lagova
direktno utječe na y1 i y2 u t+2 preko drugih lagova
indirektno utječe na y1 u t+2 preko t+1 utjecaja na y2
i tako dalje…
40
tttttt
tttttt
uyyyyy
uyyyyy
22224122321221121202
12214121321121111101
Funkcija impulsnog odziva, IRF
To podrazumijeva da je u1 > 0 dok je u2=0
u realnosti, u1 i u2 su korelirane
pa je uobičajeno da se “red” varijabli određuje na bazi teorije
Npr. kretanja u y1 prethode kretanjima u y2
i izračunavaju se ortogonalizirane vrijednosti IRF
One ovise o poretku varijabli,
oprez! ........potrebno eksperimentiranje ako nije očito iz teorije
41
Funkcija impulsnog odziva, IRF
42
Plot of Responses To Exchange Rate
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0T Bill Rate
Exchange Rate
Funkcija impulsnog odziva, IRF
43
Plot of Responses To T Bill Rate
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0T Bill Rate
Exchange Rate
Dekompozicija varijance, DVC
IRF prikazuje efekt jediničnog povećanja, ''šoka'' jedne endogene varijable na ostale varijable VAR modela.
Istu informaciju, ali prezentiranu na drugačiji način, daje i dekompozicija varijance.
44
Dekompozicija varijance, DVC
Dekompozicija varijance predočuje
particiju varijance (kovarijance) prognostičke pogreške varijable
na dijelove pridružene svim varijablama sistema (uključujući i samu varijablu).
45
Dekompozicija varijance, DVC
Na temelju dobivenih rezultata moguće je analizirati:
utjecaj pojedinačnih ''šokova'' u varijablama modela na ostale varijable,
relativni udio svake od varijabli modela u ''objašnjavanju'' varijacije određene varijable u narednim periodima.
46
Dekompozicija varijance, DVC
Dekompozicije varijance raščlanjuje proporciju varijabliteta svake varijable na:
dio varijabiliteta koji je posljedica šoka u samoj varijabli i
na dio koji je posljedica šokova u ostalim varijablama modela.
47
Dekompozicija varijance, DVC
Naime, ako se vrijednosti varijable mogu ''optimalno'' prognozirati na bazi lagova same varijable tada će
varijanca prognostičke pogreške varijable biti ''objašnjena'' prognostičkim pogreškama same varijable, a
ne i utjecajem prognostičkih pogrešaka ostalih varijabli, (Sims, 1982).
48
VAR model - općenito
Opći oblik VAR modela s n-varijabli i duljinom pomaka k
49
ttktktt eDZAZAZ 11
nt
t
t
t
Z
Z
Z
Z2
1
n
2
1
VAR model - općenito
A1,...,Ak su (nxn) matrice koeficijenata
Dt je vektor ne-stohastičkih egzogenih varijabli s matricom koeficijenata .
dummy varijable, sezonske komponente.....
k je duljina pomaka
et je vektor inovacija
50
ttktktt eDZAZAZ 11
VAR model - općenito
pretpostavke
51
nt
t
t
t
e
e
e
e2
10teE
st
steeE st
0