pa & pg - exercícios resolvidos
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Curso Matemática Para Concursos II – Módulo III
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br ,quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitaçãoou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para quesejam resolvidos tais problemas.
1
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II
Módulo III
Neste Módulo apresentaremos um dos principais assuntos
tratados em concursos públicos e um dos mais temíveis por partedos alunos: “Progressão Aritmética e Progressão Geométrica”.
Pesquisei sobre a História das Progressões e encontrei um
link que você deve ler antes de começar nossa aula:
http://www.unopec.com.br/revistaintellectus/_Arquivos/Jan_Jul_04/PDF/Artigo_Valeria.pdf
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2
Progressões Aritméticas (P.A.)
É uma sucessão de termos em que a diferença de cada termo e seu
precedente, a partir do segundo, é sempre constante. Essa diferença é
chamada razão da progressão aritmética.
Na seqüência genérica (a1,a
2,a
3...a
1n−,a
n), temos:
a2-a
1 = a
3-a
2 = ... = a n -a 1n− = r = razão da P. A.
Exemplo:
(3, 8, 13, 18) é uma P.A., onde a1 = 3 e r = 5
A P.A. é finita ou limitada, se tiver número finito de termos.A P.A. é infinita ou ilimitada, se tiver número infinito de termos.
Classificação:
Quanto ao valor da razão, uma P.A., pode ser:
- Crescente, se 0r 〉
Exemplo: (1, 3, 5, 7, 9) = r = 2
-Decrescente, se 0r 〈
Exemplo: (6, 4, 2, 0) = r = -2
- Estacionária ou constante, se 0r =
Exemplo: (5, 5, 5, 5) = 0r =
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Fórmula do termo geral
an = a
1 + ( 1n − ) ⋅ r
Exemplos:
1) Calcular o 10 0 termo da P.A. (1, 3, 5, ...)
Solução:
a1 = 1
r = 2
n = 10
a10
= ?
Esclarecimentos:
a1 = primeiro termo que aparece na P.A. neste caso é o número 1.
r = razão. Numa P.A. descobre-se a razão subtraindo o segundo termo
do primeiro ou o terceiro termo do segundo e assim em diante. Neste caso
3 – 1 = 2 ou 5 – 3 = 2, então r = 2.
n = seria o “lugar” onde está o termo. Neste caso pede-se o 10 0 termo,
quer dizer que o termo procurado está no 10 0 lugar.
a10
= é o termo procurado. Ainda não sei????
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4
a n = a 1 + ( 1n − ) ⋅ r
a10
= 1 + (10-1) ⋅ 2
a10
= 1 + 9 ⋅ 2
a10
= 19
Resposta: O 10 0 termo é o número 19.
2) Numa P.A., o 1 0 termo vale 2 e o 6 0 termo vale 17. Calcular a razão.
Solução:
a1 = 2
a6 = 17
r = ?
n = 6
a n = a 1 + ( 1n − ) ⋅ r
a6 = a
1 + ( 1n − ) ⋅ r
17 = 2 + (6 - 1) ⋅ r
17 = 2 + 4 ⋅ r
-5 r = 2 - 17
r =15
5
r = 3
Resposta: A razão é 3.
Esclarecimentos: Mas de onde eu tirei n = 6?
O problema está me dizendo que o 1 0 termo vale 2, isto é, a1 = 2 e o 6 0
termo vale 17, isto é, a6
= 17 → 6 0 lugar está o número 17, então, n = 6.
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Poderíamos, também completar a P.A.:
- Sabemos que o 1 0 termo é 2 e que o 6 0 termo (último termo) é 17,
então:
P.A. = (2, ..., 17)
Achamos a razão que é 3 → r = 3, então:
P.A. = (2, 5, 8, 11, 14, 17)
2 + 3 = 5
5 + 3 = 8
8 + 3 = 11
11 + 3 = 14
14 + 3 = 17
Propriedades (P.A.)
1 0 ) Em toda a P.A., um termo qualquer, excetuando-se os extremos, é
média aritmética entre o seu antecedente e o seu conseqüente.
(1, 3, 5, 7, 9) =5 9
72
+= 3 5
42
a aa
+=
(a1, a
2, a
3, a
4, a
5)
3 75
2
+= 2 4
32
a aa
+=
1 53
2
+= 1 3
22
a aa
+=
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2 0 ) Em toda a P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos
extremos é igual à soma dos extremos:
3 0 ) Em toda P.A. de um número ímpar, o termo central ou termo médio é
a média aritmética dos extremos.
Exercícios
1) Calcular x , sabendo-se que (2, x , 8) são 3 termos consecutivos de
P.A.
Solução:
Aplicando 1 a propriedade:
2 85
2
+=
Resposta
Podemos provar:
(2, 5, 8)
5 - 2 = 3
8 - 5 = 3 r = 3
-
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2) Qual é o valor de x , dados os números ( x + 1, 10, x + 15) em P.A.?
Solução:
P.A.: ( x + 1, 10, x + 15)
Aplicando a 3 a propriedade
1 15 10
2 1
x x+ + +=
2 16 20
2 20 16
2 4
4
2
x
x
x
x
+ =
= −
=
=
3) Encontre o valor de a−
, sabendo-se que 2 a, a + 10, a + 18 formam
progressão aritmética nesta ordem.
Solução:
PA = (2 a, a + 10, a + 18)
2 1810
2
2 18 2( 10)
3 18 2 20
3 2 20 18
a aa
a a a
a a
a a
+ += +
+ + = +
+ = +
− = −
Resposta
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Soma dos termos
1( )
2
na aS n+
= ⋅
Exercícios
1) Determine o valor da soma dos vinte primeiros termos da sucessão
(10, 13, 16, 19,...)
Solução:
a1 = 10
r = 3
a n = ?
nS = ?
n = 20
a n = a 1 + ( 1n − ) ⋅ r
a20
= 10 + (20 - 1) ⋅ 3
a20
= 10 + 19 ⋅ 3
a20
= 67
1( )
2
nn
a a nS
+ ⋅=
S20
=10 67
202
+⋅
S20
= 770
-
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10
Resposta: O valor de S20
= 770.
2) Um produtor colheu em 10 dias sua produção de maçãs. No primeiro
dia colheu 11 dúzias; no segundo dia 12 dúzias e assim por diante.
Qual foi o total da produção colhida?
Solução:
Progressão aritmética
10
10
1
10
?
?
r
n
a
S
=
=
=
=
1
10
10
10
1
10
10
10
( 1).
11 (10 1).1
11 920
, (11,12,...,20)
( ).
2
11 20.10
2
155
Re .
n
n
a a n r
a
aa
Entao
a aS n
S
S dúzias
sposta
= + −
= + −
= +
=
+=
+ =
=
Prova real:
Temos uma PA = r = 1 e10
a =20
PA = (11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20)
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Fórmula usada para dois termos quaisquer
( )n k a a n k r = + − ⋅
Exemplo: Numa PA de razão 3, cujo 8
0
termo vale 10, o valor do 15
0
termo é:
an= a
k + ( n k − ) ⋅ r
a15
= a8 + (15 - 8) ⋅ 3
a15
= 10 + (15 - 8) ⋅ 3
a15
= 10 + 7 ⋅ 3 a15
=210 Resposta
-
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Progressão Geométrica (PG)
É uma sucessão de termos não-nulos em que o quociente de cada termo
e seu precedente, a partir do segundo, é sempre constante. Esse
quociente é chamado razão da progressão geométrica.
Na seqüência (a1, a
2, a
3, .... a
1n−, a n ), temos
32
1 2 1
n
n
a aa
q a a a−
= = = ⋅ ⋅⋅ =
q = razão da P.G.
Exemplo:
(1, 2, 4, 8, 16) é uma P.G. onde a1
= 1 e q = 2
A P.G. é finita ou limitada, se tiver um número finito de termos.
A P.G. é infinita ou ilimitada, se tiver um número infinito de termos.
Classificação da P.G.
Quanto ao valor da razão:
- Crescente
a) se10a 〉 e 1q〉
Exemplo: (1, 2, 4, 8, 16)
-
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b) se10a 〈 e 0 1q〈 〈
Exemplo: (-8, -4, -2, -1)
- Decrescente:
a) se10a 〉 e 1a q〈 〈
Exemplo: (20, 10, 5)
b) se1
0a 〈 e 1q〉
Exemplo: (-1, -2, -4, -8)
- Oscilante, quando 0q〈
Exemplo: (-2, -6, -18, -54)
- Estacionária, quando 1q =
Exemplo: (2, 2, 2, 2, 2)
Fórmula do termo geral
11
na a qn −
= ⋅
Exemplo: Calcular o 1 0 termo da P.G. cujo 6 0 termo vale 1 e a razão 2.
Solução:
a1= ? a
6= a
1⋅
1nq −
a6= 1 1 = a
1⋅ 2 6 1−
q = 2 1 = 2 5 ⋅ a1
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15
n = 6 2 5 a1= 1
32a1
=1
a1=
1
32 Resposta
Fórmula para dois termos quaisquer
n k
n k a a q
−= ⋅
Exemplo: Numa P.G. de razão 3, cujo 5 0 termo vale 8, o valor do 9 0 termo
é:
Solução:
q = 3 a 9 = a k ⋅ n k
q −
a k = a 5 = 8 a 9 = 8 ⋅ 3
9 5−
k = 5 a9= 8 ⋅ 3 4
a9= ? a
9= 648 Resposta
n = 9
Propriedades
1) Em toda PG, qualquer termo em módulo excetuando-se os extremos, é
média geométrica entre o seu antecedente e o seu conseqüente.
(3, 6, 12, 24, ...) = 6 = 3 12⋅
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16
(a1, a
2, a
3, a
4, ...) = a
2=
1 3a a⋅
2) Em toda PG limitada, o produto de dois termos eqüidistantes dos
extremos é igual ao produto dos extremos.
(1, 2, 4, 8, 16, 32) = 2 ⋅ 16=1.32
(a1, a
2, a
3, a
4, a
5, a
6) =
2 5a a⋅ =
1 6a a⋅
3) Em uma PG de número ímpar de termos, o termo central em módulo émédia geométrica entre os extremos.
(1, 2, 4, 8, 16) = 4 = 1 16⋅
(a1, a
2, a
3, a
4, a
5) = a
3=
1 5a a⋅
Interpolação
Interpolar ou inserir k meios geométricos entre os termos a1 e a n
significa determinar k termos que devem formar uma PG onde a1 e a n
sejam extremos. Podemos observar que a quantidade de termos é
2n k = + e que nos falta apenas a razão da PG. Essa razão é dada por:
anq = k+1a1
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17
Exercícios
1) O 3 0 e o 5 0 termo de uma progressão geométrica crescente valem 1 e
9, respectivamente. Calcule o 4 0 termo:
PG = (a1, a
2, a
3, a
4, a
5)
( , ,1, ,9)1 2 4
PG a a a=
1 9 9 3⋅ = =
a4= 3 1 a propriedade
2) Calcule x , se x , 2 x + e 6 x + estão em progressão geométrica, nesta
ordem:
Solução:
PG = ( x , 2 x + , 6 x + )
( 6) 2 x x x⋅ + = +
( Ι )2
6 x x+ = 2 22 2 2 x x+ ⋅ ⋅ + ( ΙΙ )
2 4 x =
4
2 x =
Resposta
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18
A PG ficaria, 2 x =
PG = (2, 2+2, 2+6)
PG = (2, 4, 8)
Observação:
Ι ) Para excluir a raiz quadrada do lado esquerdo da igualdade, elevou-se
ao quadrado os dois lados da igualdade.
ΙΙ ) No lado direito da igualdade foi aplicado produtos notáveis (“o
quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo
mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo, mais o segundo termo ao
quadrado”).
3) Interpole 3 meios geométricos entre 3 e 243, sendo a P.G. oscilante:
Solução:
PG oscilante quando 0q〈
Podemos aplicar diretamente a fórmula para acharmos a razão ( q ).
k = meios geométricos
2n k = +
1
1
nk
aq
a+=
-
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19
3k = 4243
3q =
2n k = + 4 81q =
n = 3 + 2
5n =
a1= 3
a5= 243
= 43
Sabemos que a razão é 3, então:
PG = (3, 9, 27, 81, 243)
3 ⋅ 3 = 99 ⋅ 3 = 27
27 ⋅ 3 = 81
81 ⋅ 3 = 243
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20
Soma dos termos da PG finita
A soma dos termos de uma PG finita é dada por:
1
1
n
n
a q aS
q
−=
− ou 1
( 1)
1
n
n
a qS
q
−=
−
Exemplo:
Calcular a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 2, ...)
Solução:
10S = ? 1
( 1)
1
n
n
a qS
q
−=
−
a10
= ?10
S =( )101 2 12 1
⋅ −
−
n = 1010
S = 1023 Resposta
a1= 1
q = 2
Soma de PG decrescente e ilimitada
Uma PG é decrescente e ilimitada se / / 1q 〈 e n →∝ .
Numa PG decrescente e ilimitada, quando n →∝ , o último termo tende a
zero.
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21
1
1
aS
q∝
=−
Exemplo:
1) A soma dos infinitos termos da PG1 1
1, , ,...2 4
é:
1
1
aS
q∝
=
−
1 1
1 2 112 2
S ∝
= =
−−
1
1
2
S ∝
=
a1= 1
21
1S
∝ = ⋅
1
1
21 2q = = 2S ∝ = Resposta
Produtos dos termos da PG
O produto dos termos da PG (a1, a
2, ..., a
n) é:
( 1)
21
n n
nP n a q
−
= ⋅
Ou
1( )
n
nP n a a= ⋅
-
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22
Caso a P.G. tenha termos negativos, o sinal do produto é dado pelo
número de termos negativos:
a) se houver um número par de termos negativos, o produto é positivo.
b) Se houver um número ímpar de termos negativos, o produto é
negativo.
Exemplo:
Calcular o produto dos 8 primeiros termos da PG (1, 2, 4, ...).
a1= 1
nq = 2
n = 8
( 1)
21
n n
n
P n a q
−
= ⋅ 8 (8 1)
8 21 2P n−
= ⋅
8(7)
28 1 2P = ⋅
56
28 1 2P = ⋅
288 1 2P = ⋅
288 2P =
-
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23
Profissão
Três sujeitos discutiam quem tinha a profissão mais antiga.
- Não que eu queira contar vantagem- disse o marceneiro -, mas os meus
antepassados construíram a Arca de Noé.
- Isso não é nada!- respondeu o jardineiro.- Foram os meus antepassados
que plantaram o Jardim do Éden.
- Tudo bem- disse o eletricista -, mas quando Deus disse “ Haja luz” ,
quem vocês acham que tinha puxado toda a fiação ????
Fonte: http://piadas.piadas.com.br
Exercícios
1) Determine a razão da PG conhecendo dois de seus termos:
a) a1= 6 a
6= 192
n k
n k a a q −= ⋅
a n = a 6 = 192
n = 6
-
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24
a k = a 1= 66 1
192 6 q −= ⋅
k = 1
5
192 6q=
q = ? 56 192q =
5 192
6q =
2q = Resposta
= 52
2) Determine o número de termos da PG (1, 2, ..., 256).
Solução:
a1= 1 a n = 256
q = 2 n = ?
1
1
n
na a q −= ⋅
1256 1 2
n−= ⋅
12 256
n−=
1 8n − =
9n =
Resposta: a PG tem nove termos.
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3) Interpole 6 meios geométricos entre 1 e 128.
Solução:
a1= 1 1
1
n
na a q −
= ⋅
q = ? 18 1
na a q −= ⋅
a8= 128 8 1128 1 q −= ⋅
n = 8 7 128q =
7 72
2
q
q
=
=
Então 2q = , é só multiplicarmos:
1 ⋅ 2 = 2 16 ⋅ 2 = 32
2 ⋅ 2 = 4 32 ⋅ 2 = 64
4 ⋅ 2 = 8 64 ⋅ 2 = 128 que é o último termo o a8.
8 ⋅ 2 = 16
4) Obtenha a soma dos 6 primeiros termos da PG (7, 14, ...)
Solução:
-
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6 1
6
6
6
1
1
2 17
2 1
64 17
2 1
nq
S aq
S
S
−= ⋅
−
−= ⋅
−
− = ⋅
−
6
6
7 63
441
S
S
= ⋅
=
Resposta: A soma dos 6 primeiros termos da PG é 441.
5) Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescentes de
modo que a 1 a prestação é de 1000 unidades monetárias e cada uma
das seguintes é o dobro da anterior. Qual é o preço do automóvel?
Solução:
PG = (1000, 2000, 4000, 8000, 16000, 32000, 64000)
a1, a
2, a
3, a
4, a
5, a
6, a
7
a1= 1 000
a7= 64000
q = 2
n = 7
7
7
2 11000
2 1S
−= ⋅
−
7
7
1000 127
127000
S
S
= ⋅
=
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Resposta: O automóvel custou R$127000
Observação: bastaria somar:
1000 + 2000 + 4000 + 8000 + 16000 + 32000 + 64000 = 127000.
6) (FUV - 83 – Modificado) Calculando um dos ângulos de um triângulo
retângulo, sabendo que os mesmos estão em P.G. obtemos:
a) ( ) 02 1 90− ⋅
b) ( ) 03 1 45− ⋅
( ) 0) 5 1 45c−
− ⋅
d) ( ) 07 90− ⋅
e) ( )02 2 45+ ⋅
Observação: usar PG de 3 termos ( )2, , x xq xq .
No triângulo retângulo o maior ângulo mede 90 0 ( x = 90 0 1q〈 ).
Fazer a soma dos termos acima igual a 180 0 (soma dos ângulos internos
num triângulo).
Solução: usando a PG de 3 termos ( )2, , x xq xq faremos x = 90 0 , então as
medidas serão (90 0 , 90 0 q , 90 0 2q ), onde 0 1q〈 〈 , pois o maior Ângulo no
triângulo retângulo mede 90 0 .
Então: 90 0 + 90 0 q + 90 0 2q = 180 0
-
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Aplicar Bháskara
290 90 90 180q q+ + =
21 0q q+ − =
24
2
b b acq
a
− ± −=
( )1 1 4 1 1
2q
− ± − ⋅ ⋅ −=
1 5
2q
− ±=
1 5
2q
Ι − +=
1 52
qΙΙ − −
= (não convém)
Logo, substituindo (90 0 , 90 0 q , 90 0 2q )
( ) ( )( )0 0 090 ,45 1 5 , 45 3 5− + − os ângulos do triângulo medirão estes
valores.
Alternativa c é a correta
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7) (FUV - 83 – Modificado) Três números distintos formam uma P.A.
crescente, cuja soma é três. Seus quadrados, mantendo a respectiva
ordem, formam uma PG. Qual é a razão da P.A.?
a) 1 b) 2 c−
) 2 d) 3 e)2
2
Usar a PA de três termos
x-r,x,x+ra ,a ,a1 2 3
Pelo enunciado (a 21
; a 22; a 2
3) é PG, então:
2 2
3 2
2 2
2 1
a a
a a=
Se a PA é crescente, então 0r 〉
A razão se calcula, por exemplos,2 1
r a a= −
Solução:
Usando a PA de três termos ( ), , x r x x r − + teremos:
3 x r x x r − + + + =
(enunciado)Onde 1 x =
Logo, PA fica ( )1 ,1,1r r − + mas ( ) ( )( )2 21 ,1, 1r r − + é PG conforme
enunciado então,( )
( )( ) ( )
2
2 2
2
111 1 1
11
r r r
r
+= → + ⋅ − =
−
-
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( )2
1 1r − =
( )2
2 2 21 2 1 1− ⋅ ⋅ + =r r
2 41 2 1r r − + =
2 42 0r r − + =
( )2 2r -2+r = 0
coloca em evidência 2r
2
I
r = 0
r = 0
22 0r − + =
22r =
2r ΙΙ
= ±
Alternativa c é a correta
8) (Colégio Bandeirantes; Z., A.A .) Em uma progressão aritmética de termos
positivos, os três primeiros termos são 1 a− , a− , 11 a− . O quarto
termo desta P.A. é:
a) 2 b−
) 3 c) 4 d) 5 e) 6
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Dados três termos consecutivos de uma PA, o termo do meio é igual à
média aritmética dos outros dois, ou seja, se ( ), ,a b c é PA, então
2
a cb
+= .
Solução:
Como ( )1 , , 11a a a− − − é uma PA, temos:
( )1 11
2
a aa
− + −− =
2 1 11a a a− = − + −
( ) ( )2 2
2 1 1 11a a a− − ⋅ − ⋅ + = −
22 1 11a a a+ + = −
22 1 11 0a a a+ + + − =
23 10 0a a+ − =
24
2
b b ac
a
− ± −
( )3 9 4 1 100
2
− ± − ⋅ ⋅ −=
3 7 02
− ± =
2aΙ
= 5aΙΙ = −
-
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Substituindo:
2aΙ
=
( ) ( )1 , , 11 1 2, 2, 11 2a a a− − − = − − −
( )1, 2,3= − −
2
b d c
+=
23
2
d − +=
2 6d − + =
6 2d = +
8d = falso
5aΙΙ
= −
( ) ( )1 5, 5, 11 5 6,5,4+ + + = a b c d?
2
b d c
+=
54
2
d +=
5 8d + =
8 5d
= −
3d = verdadeira
Alternativa b é a correta.
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9) (Colégio Bandeirantes; Z., A . A .) Para todo n−
natural não nulo, sejam as
seqüências.
(3, 5, 7, 9, ..., a n , ...)
(3, 6, 9, 12, ..., bn, ...)
1 2 3( , , ,..., ,...)nC C C C
Com n n nC a b= + . Nessas condições, 20C é igual a:
a) 25 b) 37 c−
) 101 d) 119 e) 149
Observação: a primeira seqüência dada é uma PA de razão 2 e a
segunda seqüência dada é uma P.A. de razão 3. O termo geral de uma
PA é1
( 1)na a n r = + − ⋅
Solução:
A seqüência (3, 5, 7, 9, ... a n , ..) é uma PA de razão 2, então:
1( 1)na a n r = + − ⋅
3 ( 1) 2na n= + − ⋅
A seqüência (3, 6, 9, 12, ... b n , ...) é uma PA de razão 3, então:
1( 1)nb b n r = + − ⋅
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3 ( 1) 3nb n= + − ⋅
Comon n nC a b= +
20 20 20C a b= +
( ) ( )20 3 20 1 2 3 20 1 3C = + − ⋅ + + − ⋅
20101C =
Letra c é a correta.