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INPE-14401-TDI/1127
ESTUDO DOS ERROS SISTEMÁTICOS INERENTES A UM SENSOR DE ESTRELAS DE CABEÇA FIXA, QUANTO À
LOCALIZAÇÃO RELATIVA DE ESTRELAS
Bráulio Fonseca Carneiro de Albuquerque
Dissertação de Mestrado do Curso de Pós-Graduação em Engenharia e Tecnologia Espaciais/Mecânica Espacial e Controle, orientada pelos Drs. Marcelo Lopes de Oliveira e Souza e Mário Luiz Selingardi, aprovada em 29 de março de 2005.
INPE São José dos Campos
2007
629.7.062.2 Albuquerque, B. F. C. Estudo dos erros sistemáticos inerentes a um sensor de estrelas de cabeça fixa, quanto à localização relativa de estrelas / Bráulio Fonseca Carneiro de Albuquerque. - São José dos Campos: INPE, 2005. 194p. ; – (INPE-14401-TDI/1127) 1. Sensor de estrelas. 2. Sensores ópticos de medida. 3. Atitude. 4. Resolução angular. 5. Erros de instrumento. 6. Erros sistemáticos. 7. Erros aleatórios. 8. Aberrações. 9. Centríode da imagem. 10. Precisão sub-pixel. I. Título.
“Each piece, or part, of the whole of Nature is always merely approximation to the complete truth, or the complete truth so far as we know it. In fact, everything we know is only some kind of approximation, because we know that we do not know all the laws as yet. Therefore, things must be learned only to be unlearned again or, more likely, to be
corrected”.
RICHARD P. FEYNMAN
A meus pais, LYGIA e JOSÉ ANTÔNIO,
a meu irmão BRUNO e a minha companheira BETH.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente, agradeço a Deus que me concedeu capacidade de raciocínio, além de força nos momentos de incerteza, nesta etapa da minha vida. À minha eterna companheira e amiga Elizabeth Goltz, pelo seu apoio, compreensão, amor, carinho e paciência nos momentos difíceis e ajuda na revisão do texto. Ao Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE), pela oportunidade de estudos e utilização de suas instalações. Aos professores da DMC/INPE pelo conhecimento compartilhado, assim como aos da graduação por todo conhecimento prévio concedido. Ao Prof. Dr. Marcelo Lopes de Oliveira e Souza, pela orientação e apoio na realização deste trabalho. Ao Dr. Mário Luiz Selingardi, pela orientação e liberação parcial das minhas atividades na Divisão de Eletrônica Espacial (DEA) e apoio no desenvolvimento deste trabalho . Ao Msc. José Dias de Matos, pela idealização e apoio na realização deste trabalho. Também não poderia deixar de agradecer as horas de conversa e discussão que tivemos a respeito deste trabalho. Aos meus amigos e companheiros de mestrado Alex, Carmen, Edmundo, Leandro Baroni, Leandro Cardoso, Vivian e Viviane. Em especial ao amigo Yasser, pelas tardes dominicais de estudo compartilhadas e ajuda com o MATLAB. A meus pais que sempre acreditaram e confiaram em mim, me motivando e dando todo
o apoio necessário para a realização de meus sonhos, sempre mostrando a importância
dos estudos.
RESUMO
Sensores de estrelas são sensores de atitude usados em veículos espaciais capazes de fornecer sua atitude com precisão da ordem de segundos de arco. A atitude é determinada quando as coordenadas das estrelas, medidas pelo sensor em seu sistema de coordenadas, são comparadas com as direções conhecidas de estrelas obtidas em um catálogo de estrelas. Porém, como em todo instrumento de medida, essas estão sujeitas a erros sistemáticos e aleatórios os quais limitam a precisão do sensor. Neste trabalho propõe-se uma metodologia de estudo, através de simulação em computador, dos erros sistemáticos inerentes de um sensor de estrelas de cabeça fixa, quanto à determinação da posição relativa das estrelas. Esses erros são influenciados pelas aberrações ópticas presentes na imagem formada pela objetiva do sensor; pela amostragem do sinal no plano focal causada pelos “pixels” e pela natureza do procedimento usado no cálculo da posição do centróide da estrela. Além disso, técnicas de correção desses erros sistemáticos são propostas a fim de reduzi- los. As metodologias propostas mostraram-se muito eficientes no sistema em que foram testadas. A metodologia apresentada para o estudo dos erros sistemáticos da posição relativa das estrelas, possibilita caracterizar a precisão de apontamento do sensor, enquanto as metodologias de correção destes erros se mostraram muito eficientes no sistema testado, reduzindo os erros sistemáticos no pior caso avaliado, em 87,14%. Até onde o autor tem conhecimento, os métodos de estudo e correção dos erros sistemáticos de interpolação da forma apresentada aqui, representam uma contribuição original para a área. Com isso espera-se ter contribuído com o projeto do sensor de estrelas em andamento no Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE).
STUDY OF SYSTEMATIC ERRORS INHERENT TO FIXED-HEAD STAR TRACKERS WITH RESPECT TO THE RELATIVE POSITION OF STARS
ABSTRACT
Star trackers are attitude sensors used in spacecrafts capable of providing accurate attitude in arc-seconds range. The attitude information is provided when the star coordinates, measured by the sensor in its frame, are compared with known star directions obtained from a star catalog. Nevertheless, as in all measurement instruments, the measures are likely to be affected by systematic and random errors, which limit the sensor accuracy. In this work it is proposed a methodology of study, by computer simulation, of systematic errors inherent to fixed-head star trackers, with respect to the relative position of stars. These errors are influenced by the optical aberrations present in the image formed by the sensor objective lens; by the sample in the focal plane originated from the pixels and by the procedure used for stars centroid computation. Besides, correction techniques for these systematic errors are proposed in order to reduce them. The methodologies proposed here showed efficiency in the system where they were tested. The methodology presented to the study of stars’ relative position systematic errors, allows characterize the sensor pointing accuracy, whereas the corrective methodologies for this systematic errors showed efficiency in the tested system, reducing in 87,14% the systematic errors in the worst case evaluated. As far as the author is aware of, the methods of study and correction of systematic errors, in the way presented herein, represent an innovative contribution to the area. In this way, we hope to have contributed to the star tracker project currently being developed at “Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais”(INPE).
SUMÁRIO
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LISTA DE FIGURAS
LISTA DE TABELAS
LISTA DE SÍMBOLOS
LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS
CAPÍTULO 1- INTRODUÇÃO .................................................................................. 31 1.1 – Motivação .............................................................................................................. 32 1.2 – Objetivo do Trabalho ............................................................................................. 34 1.3 – Visão Geral da Metodologia e Considerações Usadas .......................................... 35 1.4 – Organização do Trabalho ....................................................................................... 36
CAPÍTULO 2- CONCEITOS BÁSICOS E REVISÃO DA LITERATURA SOBRE ABERRAÇÕES ÓPTICAS E SEUS EFEITOS NA FORMAÇÃO DA IMAGEM DE UM PONTO OBJETO .............. 39
2.1 – Conceitos Básicos Sobre Sensores de Estrelas ...................................................... 39 2.1.1 – Definição de Sensor de Estrelas (ou Sensor Estelar) .......................................... 39 2.1.2 – Tipos de Sensores de Estrelas ............................................................................. 39 2.1.3 – Tipos de Detectores Usados em Sensores de Estrelas ........................................ 41 2.1.4 – Visão Geral do Funcionamento do Sensor que Está Sendo Desenvolvido
Pelo INPE .......................................................................................................... 43 2.2 – Imperfeições de Um Sistema Óptico ..................................................................... 45 2.3 – Definições e Sistema de Coordenadas ................................................................... 47 2.4 – Aberrações Ópticas ................................................................................................ 50 2.5 – Efeitos das Ab errações na Imagem de Um Ponto Objeto ...................................... 52 2.6 – Efeitos no Formato da Imagem de Um Ponto Objeto Devido à Mudança na
Posição do Plano Focal ......................................................................................... 62 2.7 – Um Exemplo .......................................................................................................... 63
CAPÍTULO 3- FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E DESENVOLVIMENTO PRÁTICO ........................................................................................... 67
3.1 – Definição do Problema .......................................................................................... 67 3.1.1 – Imperfeições do Sistema Óptico ......................................................................... 68 3.1.2 – Amostragem do Plano Focal............................................................................... 69 3.1.3 – Procedimento Usado no Cálculo da Posição da Estrela ..................................... 69 3.2 – O Sistema Eletro Óptico Usado para Desenvolvimento da Metodo logia .............. 71 3.2.1 – O Sistema Óptico ................................................................................................ 71 3.2.1.1 – Características e Requisitos para o Sistema Óptico do Sensor ........................ 71 3.2.1.2 – A Escolha do Sistema Óptico para o Desenvolvimento do Trabalho .............. 75 3.2.1.3 – A Banda Espectral do Sensor .......................................................................... 76 3.2.2 – O Detector........................................................................................................... 84 3.3 – Estudo dos Erros Sistemáticos ............................................................................... 86
3.3.1 – Rotina Desenvolvida no ZEMAX, para Estudo dos ESI .................................... 86 3.3.2 – Rotina Desenvolvida no MATLAB para Estudo dos ESI .................................. 91 3.3.3 – Aplicação das Rotinas para o Estudo dos Erros ESI .......................................... 92 3.3.4 – Rotina Desenvolvida no ZEMAX, para Estudo dos ESD .................................. 95 3.3.5 – Rotina Desenvolvida no MATLAB, para Estudo dos ESD................................ 96 3.3.6 – Aplicação das Rotinas para o Estudo dos ESD. ................................................. 96 3.4 – Modelamento e Correção dos ESI e dos ESD ....................................................... 97 3.4.1 – Modelamento dos ESI ......................................................................................... 98 3.4.1.1 – Rotina Desenvolvida em MATLAB para Cálculo dos Coeficientes da
Série de Fourier .............................................................................................. 100 3.4.1.2 – Modelamento da Variação dos Coeficientes ao Longo do CDV................... 102 3.4.2 – Modelamento dos ESD ..................................................................................... 104
CAPÍTULO 4- TESTES E RESULTADOS ............................................................. 109 4.1 – Teste do Método de Correção dos Erros Sistemáticos de Interpolação para
Diferentes Temperaturas de Estrelas ................................................................... 110 4.2 – Testes dos Métodos de Correção para Diferentes Temperaturas Ambientais do
Sistema ................................................................................................................ 114 4.3 – Teste dos Métodos de Correção na Presença de Ruído ....................................... 118 4.4 – Teste do Método de Correção dos Erros Sistemáticos de Interpolação em um
Detector com “Fill Factor” Menor que 100% ..................................................... 127
CAPÍTULO 5- CONCLUSÕES ................................................................................ 137 5.1 – Conclusões Gerais e Retrospectiva aos Capítulos ............................................... 137 5.2 – Conclusões e Avaliação dos Resultados dos Métodos Propostos de Estudo e
Correção dos Erros Sistemáticos......................................................................... 139 5.3 – Sugestões de Melhorias e Propostas para Trabalhos Futuros .............................. 140
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................... 145
APÊNDICE A- UMA VISÃO GERAL DO ZEMAX: UM PROGRAMA DE MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS ÓPTICOS .... 149
A.1 – Introdução ........................................................................................................... 149 A.2 – Visão Geral do ZEMAX ..................................................................................... 149 A.3 – Política da Licença do Programa ........................................................................ 151 A.4 – Características Gerais ......................................................................................... 151 A.5 – Banco de Dados de Vidros .................................................................................. 154 A.6 – Análises............................................................................................................... 158 A.7 – Linguagem de Programação do ZEMAX e Ferramentas de Extensibilidade ..... 160 A.8 – Ferramentas de Otimização do ZEMAX ............................................................ 162 A.9 – Multi- Configuração ............................................................................................ 164 A.10 – Ferramenta de Análise de Tolerância do ZEMA X ........................................... 167
APÊNDICE B- ROTINAS ZPL DESENVOLVIDAS DURANTE O TRABALHO ..................................................................................... 171
B.1 – Rotina Usada para Gera Imagens Simuladas das Estrelas nos Estudo dos ESI .. 171 B.2 – Rotina para Extrair Dados do Sistema Óptico Usados como dados de Entrada
nos Estudo dos ESD ............................................................................................ 173
B.3 – Rotina para Gera Imagens Simuladas das Estrelas Usadas no Teste do Método de Correção dos ESI .............................................................................. 173
B.4 – Rotina para Gera Imagens Simuladas das Estrelas Usada nos Testes dos Métodos de Correção dos ESI e ESD Simultaneamente..................................... 175
APÊNDICE C- ROTINAS DO MATLAB DESENVOLVIDAS DURANTE O TRABALHO ..................................................................................... 177
C.1 – Rotina Usada para Estudo dos ESI ..................................................................... 177 C.2 – Rotina Usada para Estudo dos ESD.................................................................... 179 C.3 – Rotina para o Cálculo dos Coeficientes da Série de Fourier Usada no
Modelamento dos ESI ......................................................................................... 180 C.4 – Rotina Empregada para Gerar os Dados Usados na Avaliação do Método de
Correção dos ESI / ESI+ESD.............................................................................. 181 C.5 – Rotina Aplicada para Testar o Método de Correção dos ESI ............................. 183 C.6 – Rotina Empregada para Gerar os Dados Usados na Avaliação do Método de
Correção dos ESI / ESI+ESD na Presença do Ruído .......................................... 184 C.7 – Rotina Empregada para Testar o Método de Correção dos ESI Juntamente
com ESD ............................................................................................................. 187 C.8 – Rotina Usada nos Estudos dos ESI para Fill Factor de 60% .............................. 188 C.9 – Rotina Aplicada para Gerar os Dados Usados na Avaliação do Método de
Correção dos ESI / ESI+ESD para Fill Factor de 60% ....................................... 190 C.10 – Rotina Aplicada para Gerar os Dados Usados na Avaliação do Método de
Correção dos ESI / ESI+ESD para Fill Factor de 60% na Presença do Ruído . 192
LISTA DE FIGURAS
1.1- Desenho esquemático do plano focal do sensor (detector). .................................... 36 2.2- Esquema da estrutura do funcionamento do sensor. ............................................... 44 2.3- Duas formas de se representar a energia da imagem no plano focal referente a
um ponto objeto, (a) é chamada de FEP e a segunda de “Spot Diagram”. ............. 46 2.4- Posições do obturador, da pupila de entrada e da pupila de saída de um sistema
óptico. ..................................................................................................................... 48 2.5- Esquema de um sistema óptico ............................................................................... 49 2.6- Formato do “spot” que as Equações 2.3 e 2.4 dão origem. ..................................... 53 2.7- A Figura mostra a influência do Coma de terceira ordem na formação da
imagem de um ponto objeto. ................................................................................... 54 2.8- A Figura mostra a influência do Astigmatismo de terceira ordem na formação
da imagem de um ponto objeto. .............................................................................. 55 2.9- Os dois tipos de distorção de terceira ordem que podem ocorrer em imagens
geradas por um sistema óptico.(b) ocorre quando o coeficiente A5 é positivo, e (c) quando é negativo. ............................................................................................. 56
2.10- A Figura mostra a influência do Coma Circular de quinta ordem na formação da imagem de um ponto objeto para dois valores distintos de “C1”. .................... 57
2.11- A Figura mostra a influência do aberração “Astralete” na formação da imagem de um ponto objeto para combinações distintos de “B4” e “D1”............. 59
2.12- A Figura mostra a influência do aberração “Astralete” na formação da imagem de um ponto objeto para combinações distintos de “B4”,“D1” e “D2”. ... 60
2.13- A Figura mostra a influência do Coma Elíptico de quinta ordem na formação da imagem de um ponto objeto. ............................................................................ 61
2.14- “Spots” formados por um sistema óptico, para diferentes regiões do CDV, (a) no eixo óptico, (b) a 5° e (c) a 10°. ....................................................................... 64
3.1- Relação entre a pupila de saída e ponto imagem usado para determinar a lei do cos4.......................................................................................................................... 73
3.2 - “Lay-out”, gerado a partir do ZEMAX, de um projeto óptico telecêntrico. Este é o projeto da objetiva do sensor Imageador WFI abordo do satélite CBERS 1-2. ............................................................................................................ 74
3.3- “Lay-out”, gerado a partir do ZEMAX, do projeto óptico de patente americana 2,836,102. .............................................................................................. 75
3.4- Projeto óptico obtido através da otimização do projeto inicial de patente norte americana 2,836,102, usado para as simulações neste trabalho. ............................ 76
3.5- Transmitância normalizada da composição dos filtros KG1 e GG400 em função do comprimento de onda λ em µm. ............................................................ 78
3.6- Transmitância média normalizada da objetiva em função do comprimento de onda λ para diferentes regiões do CDV da objetiva. .............................................. 79
3.7- Responsividade normalizada do detector em função do comprimento de onda. ... 80 3.8- Emitância espectral do corpo negro normalizada a temperatura de 7500° K no
intervalo de comprimento de onda de 0,3µm a 1,1µm. .......................................... 82
3.9- Gráfico normalizado da multiplicação entre os valores da transmitância normalizada do filtro, da responsividade normalizada do detector e da emitância espectral normalizada do corpo negro.................................................... 83
3.10- Tamanho das imagens simuladas em relação aos pixel do detector, para diferentes regiões do CDV, (a) no eixo óptico, (b) a 5° e (c) a 10° em relação ao eixo óptico. ....................................................................................................... 85
3.11- Forma recipolar da distribuição dos raios na pupila de entrada de um sistema óptico. Neste caso definiu-se um total de 10 círculos concêntricos...................... 87
3.12-Os ângulos α e β no sistema adotado. .................................................................... 88 3.13- Gráfico dos ESI ao longo do eixo X’ para várias regiões do CDV do primeiro
quadrante. Cada cor de linha representa uma posição fixa em relação ao eixo Y’........................................................................................................................... 93
3.14- Vista aproximada da Figura 3.13 para a região de X’ próximo de zero. Através desta, pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”. ................................. 94
3.15- Aproximação da Figura 3.13 para a região de X’ próximo a metade do CDV do primeiro quadrante. Através desta, pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”. .................................................................................................................. 94
3.16- Aproximação da Figura 3.13 para a região de X’ próximo do final do CDV do primeiro quadrante. Através desta, pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”. .................................................................................................................. 95
3.17- Gráfico de H’ versus ESD, que é justamente a distorção em função da altura da imagem. As unidades do gráfico estão em “pixel” (1”pixel”=10µm).............. 97
3.18– Gráfico do números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o seu valor 3σ residual que se obtém aplicando tais coeficientes. ......................... 104
3.19- Na parte superior está a distorção em função de H’ e curvas dadas por polinômios ajustados para tentar descrever o fenômeno. Na parte inferior está um gráfico do ESD residual em função de H’ para cada polinômio ajustado. ... 105
3.20- Gráfico do grau do polinômio usado para corrigir os ESD versus o valor 3σ do erro residual que se obtém.............................................................................. 107
4.1- Histograma de temperatura das estrelas com largura de 500°K na faixa de magnitude visual de zero a cinco. ......................................................................... 111
4.2- Gráfico da influência de cada comprimento de onda no sistema para diferentes temperaturas de estrelas. ....................................................................................... 111
4.3- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o seu valor 3σ residual para três temperaturas diferentes de estrelas. .......................................... 113
4.4- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor de 3σ do erro residual para estrelas de 7500°K , quando o sistema se encontra em três temperaturas diferentes (15°, 20° e 25°C). .................................................... 116
4.5- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor de 3σ do erro residual para estrelas de 3000°K , quando o sistema se encontra em três temperaturas diferentes (15°, 20° e 25°C). .................................................... 116
4.6- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor de 3σ do erro residual para estrelas de 20000°K , quando o sistema se encontra em três temperaturas diferentes (15°, 20° e 25°C). .................................................... 117
4.7- Gráfico do grau do polinômio usado para corrigir os ESD versus o valor 3σ do erro residual obtido, para três diferentes temperaturas ambientais do sistema(15°, 20° e 25°C).. .................................................................................... 118
4.8- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor de 3σ do erro residual obtido para uma estrela de 7500°K de magnitude visual 3,8 com o sistema a 20°C na presença de ruídos. ....................................................... 125
4.9- Números de coeficientes usados para correção dos ESI, versus o valor 3σ obtido do erro residual na presença de ruídos para uma estrela de 3000°K de magnitude visual 3,8 com o sistema a 25°C. Os erros sistemáticos de distorção são corrigidos por um polinômio de quinto grau em todos os casos. ................... 126
4.10- Arranjo da arquitetura do “pixel” do detector usada nas simulações quando se considera um “fill factor” menor que 100%........................................................ 127
4.11- ESI ao longo do eixo X’ para várias regiões do CDV do primeiro quadrante. Cada cor de linha representa uma posição fixa em relação ao eixo Y’............... 128
4.12- Vista aproximada da Figura 4.11 para a região de X’ próximo de zero. Através desta pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”. ................................ 129
4.13- Vista aproximada da Figura 4.11 para a região de X’ próximo à metade do CDV do primeiro quadrante. Através desta pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”. ........................................................................................................ 129
4.14- Vista aproximada da Figura 4.11 para a região de X’ próximo do final do CDV do primeiro quadrante. Através desta pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”. ........................................................................................................ 130
4.15- Números de coeficientes usados para correção dos erros sistemáticos de interpolação versus o valor 3σ do erro residual para três temperaturas diferentes de estrelas. .......................................................................................... 131
4.16- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor 3σ do erro residual na presença de ruídos para estrelas de 7500°K e 3000°K de magnitude visual 3,8. Para aquela o sistema se encontra a 20°C, enquanto que para esta o sistema se encontra a 25°C. Seu ESD é corrigido por um polinômio de quinto grau. ................................................................................... 133
A.1- Janela principal do ZEMAX e uma de suas janelas secundárias chamada de “Lens Data Editor”. .............................................................................................. 152
A.2- Janela dos catálogos dos vidros e as informações referentes ao vidro selecionado, que neste caso é o BK7 do catálogo Schott. .................................... 155
A.3- Janela usada para inserir os valores dos índices de refração para cada comprimento de onda definido, a fim de que o ZEMAX calcule os valores dos coeficientes da equação de dispersão escolhida ................................................... 156
A.4- Janela onde se inserem os valores da transmitância interna do vidro. A primeira coluna é a dos comprimentos de onda, a segunda é a da transmitância e a terceira é a da espessura de referência. ........................................................... 157
A.5- MFE usada para criar a função de mérito............................................................. 164 A.6- MCE do ZEMAX usada para modelar sistemas com várias configurações......... 166 A.7- Janela que se abre quando se dá um duplo clique em qualquer célula no MCE.. 167
LISTA DE TABELAS
3.1- Pesos da influência no sistema de cada uma das bandas para um objeto com temperatura de 7500°K........................................................................................... 84
4.1- “Pesos” da influência no sistema de cada uma das bandas para diferentes temperaturas de estrelas. Pesos abaixo de 1% foram omitidos da Tabela e não foram usados no ZEMAX..................................................................................... 112
A.1- Lista parcial das ferramentas de análise disponíveis no ZEMAX. ...................... 158 (Tabela A.1 – conclusão)...................................................................................... 159
LISTA DE SÍMBOLOS
a - Área de um pixel
A - Área da pupila de entrada da objetiva do sensor
A1, A2...A5 - Coeficientes das aberrações de terceira ordem
arctan - Função arco-tangente
)','(' ccnx yxa - Enésimo coeficiente par da série de Fourier da função )','(' ccx yxf
)','(' ccny yxa - Enésimo coeficiente par da série de Fourier da função )','(' ccy yxf
B1, B2...B9 - Coeficientes das aberrações de quinta ordem
B-V - Índice de cor Johnson
)','(' ccnx yxb - Enésimo coeficiente ímpar da série de Fourier da função )','(' ccx yxf
)','(' ccny yxb - Enésimo coeficiente ímpar da série de Fourier da função )','(' ccy yxf
c - Velocidade da luz no vácuo
C1, C2, C3 - Coeficientes das aberrações que são função dos coeficientes de terceira ordem (A’s) e de d’
cos - Função co-seno
d’ - Distância ao longo do eixo Z entre a pupila de saída e o plano focal paraxial
E - Emitância de um corpo
Ee - Erro da posição relativa de uma única estrela em um dos eixos do sensor
Es - Erro de apontamento do sensor em um eixo
f - Distância focal efetiva de um sistema óptico
)','(' ccx yxf - Função correção dos ESI ao longo de X’
)','(' ccy yxf - Função correção dos ESI ao longo de Y’
h - Constante de Planck
H’ - Distância da posição de interseção do raio principal no plano focal, referente a um ponto objeto, em relação ao eixo óptico. Também chamado de altura real da imagem
H’p - Distância da posição de interseção do raio paraxial no plano focal, referente a um ponto objeto, em relação ao eixo óptico. Também chamado de altura paraxial da imagem
I(x’,y’) - Função intensidade da imagem no plano focal (X’,Y’) referente à uma estrela
Iij - Função intensidade da imagem integrada no intervalo de um pixel do detector
K - Fator de conversão elétrons/volts
M - Irradiância de uma estrela fora da atmosfera terrestre
mv - Magnitude visual de uma estrela
Ne - Número de estrelas usadas na determinação da atitude
Pa - Ponto no plano imagem fora do eixo óptico
Po - Ponto no plano imagem no eixo óptico
R - Responsividade de um detector
r0,θ - Coordenadas cilíndricas da pupila de entrada do sistema óptico
Rdet -
Ruído de leitura do detector, incluindo o ruído do sinal de escuro, não uniformidade do sinal de escuro, ruído Johnson, etc
Ru - Ruído
S - Sinal
sen - Função seno
T - Temperatura de um corpo negro
tan - Função tangente
ti - Tempo de integração
VF - Sinal de fundo da sub matriz de interpolação
Vij - Sinal total do pixel ij na sub-matriz de interpolação
oV -
Sinal total em volts gerado por uma estrela no detector
X,Y - Eixos do plano-cartesiano do ponto objeto
X’,Y’ - Eixos do plano-cartesiano do plano focal do sistema óptico do sensor
x’c, y’c - Coordenadas do centróide da imagem de uma estrela no plano focal
x’ceric Coordenada da estrela no eixo X’ com o ESI corrigido
x0’,y0’ - Coordenadas paraxial de uma estrela ou ponto objeto no plano focal
Xe,Ye - Eixos do plano-cartesiano da pupila de entrada do sistema óptico
xpr’, ypr’ - Coordenadas da interseção no plano focal do raio principal referente a um ponto objeto
xr’,y’r - Coordenadas da interseção no plano focal de um raio proveniente de um ponto objeto
Xs,Ys - Eixos do plano-cartesiano da pupila de saída do sistema óptico
y’ceric Coordenada da estrela no eixo Y’ com o ESI corrigido
Z - Eixo óptico
'cxσ - Desvios da posição interpolada na coordenada xc’ causada pelo ruído (1σ)
'cxσ - Desvios da posição interpolada na coordenada yc’ causada pelo ruído (1σ)
2 Vijσ - Variância do ruído total presente em cada pixel de um detector APS ou CCD
υ - Valor da não uniformidade de resposta dos pixels de um detector (1σ)
2eσ - Valor eficaz do ruído da eletrônica de processamento do sinal
2qσ
- Ruído de quantização da conversão do sinal analógico para digital
π - Número Pi
ε - Distância ao longo do eixo Z entre a posição do plano focal paraxial e o plano focal
λ - Comprimento de onda
α - Ângulo entre o eixo óptico (Z) e a projeção no plano XeZ da reta que liga um ponto objeto pertencente ao CDV da objetiva e o centro da pupila de entrada do sistema
φ - Ângulo sólido formado pela pupila de saída e um ponto (Pa) no plano focal localizado no eixo óptico
ϕ - Ângulo, do lado da imagem, formado entre o eixo ótico e um raio principal proveniente de um ponto objeto localizado em qualquer posição do CDV da objetiva η - Eficiência quântica do detector em um certo comprimento de onda
β - Ângulo entre o eixo óptico (Z) e a projeção no plano YeZ da reta que liga um ponto objeto pertencente ao CDV da objetiva e o centro da pupila de entrada do sistema
φ’ - Ângulo sólido formado pela pupila de saída e um ponto (Po) no plano focal localizado fora do eixo óptico
τF - Transmitância do filtro
τo - Transmitância da objetiva
αp - Intervalo angular (CDV) de um pixel no plano XeZ
βp - Intervalo angular (CDV) de um pixel no plano YeZ
LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS
A/D - Conversor Analógico Digital
APS - Active Pixel Sensor
CCD - Charged Coupled Devices
CDV - Campo de Visada
CMOS - Complementary Metal Oxide semiconductor
CPU - Central Processing Unit
DDE - Dynamic Data Exchange
DEA - Divisão de Eletrônica Aeroespacial
DMC - Divisão de Mecânica Orbital e Controle
ESD - Erro Sistemático de Distorção
ESI - Erro Sistemático de interpolação
FFT - Fast Fourier Transform
GPS - Global Positioning System
IMA - Image
INPE - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais
JPL - Jet Propulsion Laboratory
LDE - Lens Data Editor
MASCO - Máscara Codificada
MCCX - Matriz dos Centróides Calculados em X
MCCY - Matriz dos Centróides calculados em Y
MCE - Multi-Configuration Editor
MCTX - Matriz dos Centróides Teóricos em X
MCTY - Matriz dos Centróides Teóricos em Y
MDV - Matriz Detector Virtual
MF - Merit Function
MFE - Merit Function Editor
MPIR - Matriz da Posição de Interseção dos Raios
OBJ - Object
PLD - Programmable Logic Devices
PSF - Point Spread Function
PTV - Peak to Valley
RMS - Root Mean Square
STO - Stop Aperture
TCE - Thermal Coefficient Expansion
TDE - Tolerance Data Editor
UV - Ultra Violeta
ZPL - ZEMAX Program Language
31
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
Desde muito tempo o homem tem a necessidade de se localizar. Sabe-se que algumas
das primeiras técnicas de localização, guiagem e navegação desenvolvidas utilizaram os
astros. Essas técnicas vieram se aprimorando com o passar dos anos, principalmente
com a invenção do cronômetro, e foram de vital importância para as Grandes
Navegações. Mesmo depois de mais de quinhentos anos do início destas, o homem
muitas vezes utiliza os mesmos princípios usados naquela época. Tais técnicas de
localização são hoje usadas, além de na navegação marítima, para a navegação espacial,
determinando não somente a posição, mais também a atitude do veículo espacial.
Entre os sensores de atitude usados na área espacial, temos: os sensores terrestres (ou
sensores de horizonte), os sensores solares e os sensores de estrelas. Esses últimos são
os mais precisos e apresentam interesse especial para este trabalho. Eles tomam como
referência externa as estrelas distantes, cuja direção em relação à Terra é tida constante
(referencial inercial definido por Isaac Newton). Sensores deste tipo são equipamentos
sofisticados que atuam na determinação precisa da atitude de um veículo espacial. Por
isso, tais sensores integram o subsistema de controle de atitude de veículos espaciais
como o Telescópio Hubble (telescópio espacial), o Ônibus Espacial e a mais variada
gama de satélites artificiais.
Os satélites artificiais são projetados para tarefas específicas. A missão de cada satélite
pode ser, em geral, classificada em três grandes áreas: 1) as científicas, que são
destinadas a medir parâmetros ionosféricos, da magnetosfera, do meio interplanetário, a
registrar a atividade solar em termos de partículas (vento solar, raios cósmicos solares
etc.) e ondas eletromagnéticas (raios gama, raios X, UV etc.) e à observação de corpos
estelares; 2) as destinadas a aplicações, tais como: sensoriamento remoto, comunicações
em geral, meteorologia, GPS para a navegação etc; 3) as tecnológicas, destinadas ao
estudo de materiais modificados na ausência de gravidade, à validação de novos
32
equipamentos e tecnologias (Caetano et al., 2000). Em todas essas áreas, especialmente
nas duas primeiras, é de extrema importância a orientação dos detectores e sensores do
satélite, e como conseqüência, a orientação do corpo do satélite, que às vezes requer
uma precisão de apontamento da ordem de segundos de arco. Quando se necessita de
uma precisão dessa ordem no conhecimento da atitude de ve ículos espaciais,
geralmente, são usados como sensores de atitude os sensores estelares (também
chamados de sensores de estrelas) que podem ter a sua precisão da ordem de 0,001° (ou
3,6 arco-segundos) (Rufino e Accardo, 2003). Além disso, os sensores mais modernos
deste tipo oferecem ainda outras vantagens, como: baixo consumo de energia, ausência
de partes móveis (o que aumenta a sua confiabilidade e vida útil), versatilidade
(podendo assumir diferentes modos de operação possibilitando um único tipo de sensor
a ser empregado em diferentes missões ou em diferentes fases da mesma missão),
tamanho e peso bem reduzidos, estabilidade, isentos de irregularidades nas medidas
(como aquelas presentes no campo magnético da Terra que influenciam os
magnetômetros e as derivas (“drifts”) que são inerentes aos giroscópios) entre outros
(Mejía, Villela e Braga, 2000; Rufino e Accardo, 2003; Salomon et al., 1996). Tais
características tornam este tipo de sensor de atitude indispensável nos atuais e futuros
satélites, que têm a tendência de se tornarem cada vez menores, mais baratos,
autônomos (de modo que nenhum ou pouquíssimo controle de solo seja necessário), e
cujas missões seguem metas mais definidas (Birnbaum, 1996; Salomon et al., 1996).
1.1 – Motivação
Tendo em vista o rumo da tecnologia em sensores de atitude, a Divisão de Eletrônica
Aeroespacial (DEA) do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) vem
realizando estudos para o desenvolvimento de um protótipo de sensor estelar desde
1997, e tem como objetivo final chegar a um sensor autônomo de atitude que possa ser
usado em missões espaciais.
Até o presente momento, muitos estudos e desenvolvimentos já foram realizados a
respeito das partes eletrônicas do sensor, que já possui dois protótipos de laboratório,
cada um com uma tecnologia diferente. O mais antigo foi desenvolvido com detector
33
tipo “Charged Coupled Devices” (CCD) e com eletrônica digital discreta. Este voou
como experimento (não fazendo parte da malha de controle) no balão que leva o
telescópio de Máscara Codificada (MASCO) do INPE. O mais recente dos protótipos
está sendo desenvolvido com uma outra tecnologia, com detector do tipo “Active Pixel
Sensor” (APS), que é o mais moderno detector usado neste tipo de sensor, e com a
eletrônica usando “Programmable Logic Devices” (PLDs) o que reduz drasticamente o
seu tamanho, peso e consumo.
Outro assunto que vem sendo bastante estudado e desenvolvido no INPE diz respeito a
técnicas e algoritmos de identificação de estrelas, os quais tiveram início com os
esforços de Mejía (1997), que desenvolveu um sensor de estrelas utilizando uma câmera
CCD comercial acoplada a uma objetiva do tipo telefoto que, segundo ele, é capaz de
determinar as coordenadas celestes de apontamento com um erro menor que 0,5 minuto
de arco. Tal sensor foi desenvolvido para fazer parte do sistema de determinação de
atitude do telescópio MASCO do INPE. Carvalho (2001) também proporcionou ao
INPE muitos avanços nesta área com o desenvolvimento de um ambiente de simulação
e testes denominado “Star Identification Algorithm Test Software” (SIATS) com o
objetivo de facilitar a comparação entre algoritmos que implementam técnicas de
identificação de estrelas. Continuidade a respeito do assunto vem sendo dada na DEA,
onde, entre outras coisas, foram desenvolvidos: um ambiente de testes e simulação para
algoritmos a serem usados em um sensor de estrelas autônomo (Fialho, 2003); bem
como “softwares” de reconhecimento de padrões de estrelas, que já possui versões para
testes do sensor em terra.
Estudos a respeito da correção de erros na determinação da atitude de um veículo
espacial, causados devido a problemas de alinhamento e distorções do plano focal de
sensores ópticos de atitude provocados após o lançamento, também já foram estudados
por membros do INPE (Shuster e Lopes, 1994). Entretanto, um tema de extrema
importância, mas ainda pouco explorado pelo grupo responsável pelo desenvolvimento
desse sensor no INPE, é a precisão do instrumento que sofre influência de fontes de erro
inerentes ao sensor. Estudos preliminares a respeito deste assunto já foram realizados
por Matos (1997), porém, na fase que o projeto se encontra é necessário aprofundá- los a
34
fim de se adquirir conhecimento e realizar desenvolvimentos para que se possa
caracterizar o sensor quanto a sua precisão, e até mesmo desenvolver ou aplicar técnicas
que possam melhorá-la.
Como esse sensor pode fazer parte do subsistema de controle de veículos espaciais em
missões futuras do INPE, os estudos feitos para o sensor de estrelas são também de
grande interesse da Divisão de Mecânica Espacial e Controle (DMC) do mesmo
instituto, que é responsável por esse subsistema.
1.2 – Objetivo do Trabalho
O trabalho aqui exposto tem como objetivo apresentar uma metodologia
desenvolvida para os estudos dos erros sistemáticos da posição relativa de estrelas
no sensor de interesse. Isto porque o conhecimento dos erros presentes em um sensor
estelar de atitude na determinação da posição relativa de uma estrela é de extrema
importância para que se possa caracterizar a sua precisão. Principalmente para sensores
autônomos, as precisões devem ser bem conhecidas para que se possa inseri- las como
dados de entrada na implementação do algoritmo de identificação de padrões, de modo
que este algoritmo possa usá- las como tolerância quando tentar casar ou equiparar os
dados extraídos de sua imagem, com os dados contidos em seu catálogo de estrelas.
Quando não se conhecem as precisões do sensor e se superestima os seus valores no
algoritmo de identificação, pode ocorrer que ele não consiga identificar ou reconhecer
nenhuma imagem. Por outro lado, se esta for subestimada, o algoritmo de identificação
de padrões pode cometer erros confundindo duas regiões parecidas do céu, além disso,
não se está usando toda a capacidade da precisão do sensor.
A metodologia foi desenvolvida através de simulação em computador, porém,
diferentemente de muitas outras apresentadas na literatura (Cox J., 1981; Goss, 1975;
Hancock et al., 2001; Matos, 1997; Rufino e Accardo, 2003; Stone, 1989), aqui não se
utiliza uma distribuição idealizada tipo gaussiana em duas dimensões ou um modelo
teórico para simular a distribuição de energia da imagem de uma estrela no plano focal,
mas sim se consideram os efeitos que as aberrações do sistema óptico introduzem na
mesma. Este trabalho não é o primeiro a fazer essa consideração, porém, talvez seja o
35
único que explica e dá condições suficientes para que o leitor possa reproduzir a
metodologia. Outro efeito pouco abordado pelos trabalhos do assunto, e que também foi
considerado aqui, é a variação dessa distribuição de energia ao longo do Campo de
Visada (CDV) que ocorre em um sistema óptico.
O estudo e o entendimento aprofundados do comportamento desses erros ainda
possibilitam utilizar ou criar métodos para reduzi- los, melhorando assim a performance
do sensor. Com isso, além de apresentar a metodologia para o estudo dos erros
sistemáticos de posição relativa da estrela, o presente trabalho ainda tem como
objetivo apresentar um método proposto desenvolvido para a sua redução. Outros
trabalhos também propõem correções para erros desse tipo, porém, alguns deles
(Birnbaum, 1996; Rufino e Accardo, 2003) não esclarecem como elas são feitas, e
outros (Alexander e Ng, 1991; Salomon e Glavich, 1980) apresentam métodos que não
são eficazes para o sensor de interesse. Aqui se testará apresentar o método de forma
que se tenha capacidade de reproduzi- lo e aplicá-lo. Também são apresentados com
detalhes alguns testes realizados em diferentes situações que devem ser feitos para
verificar a performance e eficiência desse método quando se tiver a intenção de aplicá-
lo.
Até o presente momento, o autor não tem conhecimento de trabalhos que empregam as
técnicas de estudo e correção dos erros sistemáticos de interpolação apresentada aqui, o
que pode representar uma contribuição original para a área.
1.3 – Visão Geral da Metodologia e Considerações Usadas
Os estudos foram realizados através de simulação em computador, usando, para tanto,
dois programas: ZEMAX e MATLAB. O primeiro trata-se de um programa de
simulação de sistemas ópticos, responsável por simular a formação da imagem no plano
focal de uma estrela em diferentes regiões do CDV do sensor. Já o MATLAB foi usado
para fazer o papel do detector formado por “pixels” e da CPU do sensor. Portanto, é
responsável por ler o sinal de cada “pixel” referente à imagem e informar a posição da
estrela na matriz do detector. Também se usou o MATLAB como ferramenta para traçar
gráficos, fazer alguns cálculos, etc.
36
As estrelas são modeladas como pontos objetos localizados no infinito. Elas podem ser
representadas desta forma, pois os seus raios angulares aparentes são da ordem de
3x10-7 graus (Fracassini et al., 1988 citado por Rufino e Accorde, 2003). A radiação
proveniente delas é modelada na forma de raios.
O desenvolvimento da metodologia para os estudos dos erros sistemáticos de posição
relativa das estrelas, bem como as metodologias desenvolvidas para sua correção, são
feitas através de um estudo de caso para um sistema particular, tornando mais fácil tanto
o desenvolvimento quanto a apresentação dessas metodologias no trabalho. Apesar
disso, não há restrições teóricas para aplicá-las em qualquer sistema eletro-óptico do
mesmo tipo (composto de uma objetiva e um detector formado por “pixels”). Contudo,
nada se pode garantir quanto à eficiência do método de correção para tal sistema, que
pode ser tanto melhor como pior em relação ao sistema aqui apresentado.
Os estudos dos erros são feitos apenas no primeiro quadrante do plano focal, ao longo
somente do eixo X’ (Figura 1.1 ), dado que o sistema óptico adotado para os estudos é
teoricamente simétrico, assim como a maioria dos sistemas ópticos de formação de
imagem.
FIGURA 1.1- Desenho esquemático do plano focal do sensor (detector).
1.4 – Organização do Trabalho
Dando continuidade, o Capítulo 2 aborda assuntos introdutórios a respeito do trabalho
desenvolvido como: a definição do que é um sensor de estrelas, os diferentes tipos de
Plano focal formado por “pixels”
X’
Y’
37
sensores de estrelas, os tipos de detectores usados em sensores de estrelas, a visão geral
do funcionamento do sensor desenvolvido pelo INPE, algumas definições a respeito de
sistemas ópticos, e o sistema de coordenadas usado para o desenvolvimento do trabalho.
Além disso, grande parte do Capítulo é dedicada à apresentação da teoria das aberrações
ópticas e seus efeitos na imagem de um ponto objeto, onde se pretende expor o que são
aberrações ópticas, como são classificadas, o efeito de cada uma delas na distribuição de
energia no plano focal referente a um ponto objeto (ou estrela) e como elas aparecem na
prática. Esse Capítulo é importante para se entender uma das principais fontes de erro
na localização relativa de estrelas que ocorre em um sensor estelar (Seção 3.1.1), porém
ignorada pela maioria dos trabalhos que tratam do assunto.
No Capítulo 3, define-se o problema, apresenta-se com detalhes o procedimento e as
ferramentas usadas para estudar os erros sistemáticos de interesse, em seguida, também
se expõe a idéia que se teve para modelar e corrigir esses erros, associada ao
embasamento teórico utilizado. Esse Capítulo ainda traz alguns resultados preliminares
das técnicas de correção propostas.
Alguns testes que devem ser feitos ao se aplicar as técnicas de correção, de modo a
verificar a sua performance em diferentes situações em que o sensor pode se encontrar,
são exibidas no Capítulo 4. Para cada teste, apresenta-se com detalhes a forma como foi
simulado e os seus resultados.
No último Capítulo (Conclusões), um apanhado geral do primeiro ao quarto Capítulo é
realizado com o objetivo de se colher todas as conclusões gerais que se chegou, as
dificuldades encontradas e as lições que se aprendeu com o desenvolvimento dos
estudos contidos aqui. Em seguida, apresentam-se as conclusões específicas referentes
ao objetivo do trabalho. Além disso, são também propostas melhorias para este trabalho,
juntamente com propostas para trabalhos futuros referentes a assuntos relacionados aos
estudos aqui realizados.
Um dos apêndices que vale a pena comentar é o apêndice A. Neste apresenta-se o
ZEMAX, o programa de simulação de sistemas ópticos usado para simular a imagem de
estrelas no plano focal do sensor neste trabalho. Tal programa foi o mais importante
38
instrumento de simulação utilizado aqui. O ZEMAX possui várias ferramentas
importantes; contudo, os sub- itens desse Capítulo abordam apenas algumas,
principalmente as que foram utilizadas na execução do trabalho e/ou mencionadas
durante o texto, fazendo assim com que o leitor possa entender por completo o trabalho
aqui apresentado.
39
CAPÍTULO 2
CONCEITOS BÁSICOS E REVISÃO DA LITERATURA SOBRE
ABERRAÇÕES ÓPTICAS E SEUS EFEITOS NA FORMAÇÃO DA IMAGEM
DE UM PONTO OBJETO
2.1 – Conceitos Básicos Sobre Sensores de Estrelas
2.1.1 – Definição de Sensor de Estrelas (ou Sensor Estelar)
Sensores estelares são sensores de atitude que medem as coordenadas de estrelas num
sistema fixo ao veículo espacial e fornecem a atitude quando essas coordenadas
observadas são comparadas com a direção conhecida de estrelas, obtidas de um catálogo
de estrelas (Wertz, 1997).
2.1.2 – Tipos de Sensores de Estrelas
Dispositivos sensores e rastreadores de estrelas podem ser divididos em três grandes
classes (Wertz, 1997):
De Varredura (“star scanners”): usados em satélites estabilizados por rotação,
utilizando-a para efetuar as funções de busca por estrelas na esfera celeste. Estes
sensores possuem entre a objetiva e o detector uma máscara opaca com uma fenda
geralmente em forma de “V” (Figura 2.1) por onde a radiação provenientes das estrelas
pode passar. Quando a radiação de uma estrela passa por uma das “pernas” da fenda em
“V”, o detector é sensibilizado. As coordenadas da estrela em relação ao eixo de
coordenadas da espaçonave são calculadas por meio do tempo de passagem da estrela
pela “perna” vertical da fenda (azimute), e do intervalo de tempo entre a passagem pela
“perna” vertical e a “perna” inclinada da fenda (declinação). Estes sensores têm uma
precisão típica da ordem de 0,5-30 minutos de arco (Wertz, 1997);
40
FIGURA 2.1- Máscara opaca com a fenda em V, localizada entre a objetiva e o detector nos sensores de estrelas de varredura.
Fonte: adaptada de Wertz (1997).
Rastreadores de estrelas com estruturas móveis (“gimbaled star trackers”): usados
em satélites estabilizados em três eixos, que precisam (ou precisavam) operar em
diferentes atitudes. São providos geralmente de uma câmera com um Campo de Visada
(CDV) bem limitado, montada em um pivô móvel (“gimbal”) cuja base é fixada na
estrutura do satélite. Estes sensores geralmente buscam e rastreiam uma única estrela
bem conhecida (e.g., Polaris, Canopus) através da ação mecânica da estrutura móvel
onde a câmera está montada, tentando sempre manter essa estrela no centro do CDV
dessa câmera. A atitude do satélite então é calculada a partir da leitura dos sensores
angulares montados na estrutura móvel (“gimbal”). A precisão dos sensores desse tipo é
da ordem de 1 - 60 segundos de arco, excluindo os erros de alinhamento entre o sensor e
o satélite (Wertz, 1997);
Rastreadores de estrela de cabeça fixa (“fixed head star trackers”): usados também
em satélites estabilizados em três eixos, sendo o tipo mais moderno dos três
apresentados. Consistem em câmeras fixadas rigidamente na estrutura do satélite não
contendo partes móveis, e com um CDV grande o suficiente para imagear uma região
da esfera celeste com uma alta probabilidade de que esta contenha um número mínimo
de estrelas no intervalo de magnitude que o sensor pode operar. As estrelas que se
encontram no seu CDV são eletronicamente buscadas e rastreadas simultaneamente. A
posição relativa e a magnitude de cada uma delas servem de dados de entrada para um
algoritmo de identificação de padrões, capaz de fornecer a direção de apontamento do
“Perna” inclinada da fenda (declinação) máscara
Eixo do sensor
“Perna” vertical da fenda (azimute)
41
eixo do sensor como saída. Sensores deste tipo podem ter precisões da ordem de 0,001°,
ou ainda melhores.
2.1.3 – Tipos de Detectores Usados em Sensores de Estrelas
Sensores de estrelas são usados para o controle de atitude em veículos espaciais desde a
década de 60. Até meados dos anos 70, eles tinham como detectores válvulas
fotomultiplicadoras, tubo dissectores de imagens (“image dissectors”), “phototubes” e
“vidicons”. Tais detectores tornavam os sensores longe de serem ideais, pois consomem
muita energia, funcionam em alta voltagem, são fisicamente grandes e frágeis por
possuírem invólucro de vidro, são muito suscetíveis a campos magnéticos e à variação
de temperatura, entre outras desvantagens. Contudo, era o que se tinha disponível na
época (Birnbaum, 1996). Ainda na década de 70 foram inventados os detectores
chamados de Charged Coupled Devices (CCD), por suas inúmeras vantagens em
relação aos outros detectores, como: baixo consumo de energia, tamanho reduzido, uso
de baixa voltagem para seu funcionamento, insensibilidade a campos magnéticos, alta
eficiência quântica, relação sinal-ruído intrinsecamente alta, construção robusta,
linearidade fotométrica, entre outras, estes migraram rapidamente para o uso na área
espacial. Em meados dos anos 70, o “Jet Propulsion Laboratory” (JPL) já estava
desenvolvendo sensores de estrela e dispositivos ópticos de navegação espacial,
utilizando os CCDs. As suas características possibilitaram a construção de sensores
menores capazes de medir e rastrear objetos astronômicos com mais precisão
(Birnbaum, 1996). Os CCDs são ainda hoje os detectores de imagem mais usados na
área espacial com várias aplicações.
CCDs são detectores de silício formados por pequenos elementos fotossensíveis
chamados de “picture elements” (“pixels”) que convertem a irradiância luminosa
incidente neles, durante um certo tempo de exposição, em cargas elétricas. Para cada
“pixel” as cargas elétricas são armazenadas em um capacitor (poço de potencial), que,
após o término do tempo de exposição, também chamado de tempo de integração, são
transferidas seqüencialmente ao longo dos capacitores dos “pixels” vizinhos da mesma
linha até o estágio de saída. Cada pacote de carga que foi armazenada e transferida pelos
42
capacitores é convertido no estágio de saída, em um sinal de voltagem proporcional a
esta carga. Desta maneira a voltagem de saída pode ser lida seqüencialmente,
possibilitando por meio destes dados a formação de uma imagem. O CCD pode ser
considerado como uma “caixa preta” que transforma a distribuição de irradiância
incidente nele em uma distribuição de voltagem amostrada no espaço e no tempo
(Thomson Comp...,[198-?]).
Outro tipo de detector desenvolvido recentemente, mas que vem ganhado espaço e se
mostrando muito promissor para aplicações espaciais, é o chamado “Active Pixel
Sensor” (APS) desenvolvido com base na tecnologia CMOS. Os APSs possuem a sua
estrutura muito parecida com a dos CCDs, sendo também detectores de silício formados
por “pixels”, porém neles as cargas não são transferidas, e a saída pode não ser um sinal
de voltagem, mas sim um sinal digital. Apresentam, além disso, outras vantagens em
relação aos CCDs como: mais resistência à radiação; seu uso simplifica notavelmente a
eletrônica e como conseqüência o tamanho e peso total do sensor; consomem menos
energia e não requerem alimentação em diferentes voltagens; possuem uma proteção
“anti-blooming*” incorporada; imunidade a efeitos “smear**”; permitem a leitura apenas
de pequenos sub-conjuntos de “pixels” não havendo necessidade da leitura do detector
como um todo para rastrear apenas algumas estrelas; permitem diferentes tempos de
integração para cada “pixel” graças ao circuito de “reset” individual presente em cada
um deles, entre outros (Hancock et al., 2001; Salomon et al., 1996). Por outro lado,
apresentam também algumas desvantagens em relação aos CCDs: eficiência quântica
menor, ruído de leitura maior, “fill factor” menor, além de não terem os 34 anos de
sucesso em aplicações espaciais que os CCDs possuem (Salomon et al., 1996).
Essas características tendem a melhorar com o passar do tempo, pois, como os APSs são
detectores relativamente novos, muitos estudos para o seu melhoramento tecnológico
* Booming é o efeito que ocorre quando as cargas de um pixel “transbordam” para os pixels adjacentes. Isso se dá quando a quantidade de cargas geradas nele é maior que a quantidade de carga que seu poço de potencial pode armazenar. ** Smear é um sinal indesejado que aparece na imagem como ima listra horizontal (de cima para baixo) que tem origem na parte mais brilhante da imagem. As razões para este fenômeno dependem do tipo do detector, mas está relacionado diretamente com o processo de transferência das cargas no detector (veja mais informações em: http://pco.orange8.ch/download/?url=/data/smear_e.pdf).
43
vêm sendo realizados. Todavia, para algumas aplicações, os APSs demonstram
eficiência, e suas características já são boas o suficiente.
2.1.4 – Visão Geral do Funcionamento do Sensor que Está Sendo Desenvolvido
Pelo INPE
O último tipo dos sensores apresentados na Seção 2.1.2 é o sensor estelar do tipo que
o INPE vem desenvolvendo, portanto, o de maior interesse para este trabalho. Sensores
estelares de cabeça fixa são geralmente menores e mais leves que os rastreadores com
estruturas móveis e não possuem partes móveis. Os dispositivos de detecção de imagem
usados por estes sensores podem ser de tipos variados, entretanto os mais usados
ultimamente são os sensores de varredura eletrônica: quer sejam os CCDs, quer sejam
os APSs. Para o estudo em questão, eles se comportam de forma idêntica, pois possuem
a mesma geometria (são formados por “pixels”) e os ruídos envolvidos nos dois são da
mesma espécie.
Pode-se explicar o princípio de funcionamento do sensor como se segue:
1) O sistema óptico do sensor é responsável por projetar a radiação das estrelas
que estão em seu campo de visada na matriz do detector formado por um
arranjo de “N” por “M” elementos fotossensíveis, chamados de “pixels”, que
são varridos digitalmente em um certo intervalo de tempo chamado de tempo
de integração.
2) A energia luminosa que incide em cada “pixel” é transformada em sinal
elétrico que então é convertido para digital através de um conversor
analógico-digital.
3) Os dados adquiridos são posteriormente analisados digitalmente. Se o sinal do
“pixel” for maior que um limiar pré-definido, calculado com base no ruído e
sinal de fundo, então se considera detectada a presença de sinal de uma estrela
nesse “pixel” e os dados de intensidade e da localização do “pixel” na matriz
são armazenados.
44
4) Se nessa leitura não ocorrerem “pixels” saturados ou se houver menos do que
uma certa quantidade mínima de “pixels” com sinal superior ao limiar, então o
tempo de integração é aumentado até que a quantidade mínima seja alcançada
ou o sinal de algum “pixel” se aproxime da saturação.
5) Quando um dos dois casos ocorrer, a busca por estrelas é interrompida e os
“pixels” armazenados são agrupados como sendo da mesma estrela se forem
adjacentes. Esse é o chamado modo de busca do sensor.
6) Depois da aquisição, são definidas até cinco sub-matrizes de “n” por “m”
elementos (n<N e m<M) centradas em cada um dos “pixels” de maior sinal
onde se supôs detectada a presença de uma estrela, e dá-se início ao modo de
rastreio do sensor.
7) Os dados do sinal de cada “p ixel” dessas sub-matrizes são renovados a uma
taxa da ordem de milisegundos, e são usados para calcular a magnitude e a
posição relativa da estrela na matriz do detector. O centro de cada sub-matriz
é então deslocado para o “pixel” de maior sinal da mesma. Este processo se
repete até que a estrela saia do campo de visada do sensor.
8) Os dados da posição relativa e magnitude de cada estrela podem ser enviados
para um algoritmo de reconhecimento de padrões que irá, por meio de uma
técnica de reconhecimento de padrões e um catálogo de estrelas, tentar
identificar a orientação de apontamento do eixo do sensor (Matos, 2003).
9) Um esquema em fluxograma da estrutura do funcionamento do sensor é
mostrado na Figura 2.2. Este esquema pode ser levemente diferente
dependendo do tipo de detector usado. Quando se usa detector do tipo APS,
que possui sinal de saída digital, esse vai direto para o processador não
passando pelo Amplificador e nem pelo A/D.
45
FIGURA 2.2- Esquema da estrutura do funcionamento do sensor.
2.2 – Imperfeições de Um Sistema Óptico
Segundo Cox, A. (1964), um sistema óptico perfeito é aquele que satisfaz as seguintes
condições:
1) Cada ponto do objeto corresponde a um e somente um ponto da imagem.
Similarmente, cada ponto da imagem corresponde a um e somente um ponto do
objeto.
2) Cada grupo de pontos do objeto pertencentes a um plano corresponde a um
grupo de pontos da imagem pertencentes a um plano. Similarmente, cada grupo
de pontos da imagem pertencentes a um plano corresponde a um grupo de
pontos do objeto também pertencentes a um plano.
CDV
Radiação das estrelas
Objetiva
Plano focal (detector)
Amplificador
A/D
Processador
Sinal analógico
Magnitudes e coordenadas das estrelas
no plano focal
Algoritmo de identificação de
padrão
Coordenadas de apontamento do eixo do sensor
46
Sistemas ópticos perfeitos são ideais, impossíveis de serem construídos. Isso ocorre
devido a dois fenômenos: a difração e as aberrações ópt icas. A difração é um
fenômeno natural que ocorre com todos os tipos de onda e pode ser definida como o
desvio ou dispersão de onda que encontra um objeto (uma barreira ou abertura) no seu
caminho (Halliday, Resnick, e Krane, 1996). Desta forma, a imagem referente a um
ponto objeto já não seria um ponto, mas sim um disco circular cercado por vários anéis
secundários progressivamente mais tênues. As aberrações ópticas ocorrem de fato em
todos os sistemas de formação de imagem e podem ser definidas como um defeito ou
erro na posição de interceptação de um raio no plano imagem referente a uma
coordenada específica de referência, ou ainda como sendo a diferença de caminho
óptico medido em relação a uma esfera de referência na pupila de saída (Shannon,
1980).
Com isso, a imagem no plano focal referente a um ponto objeto infinitesimal formado
por um sistema óptico, não será um ponto, mas sim uma distribuição de irradiância
luminosa ou borrão de tamanho finito, onde sua densidade de energia é dada pela
Função Intensidade da Imagem I(x’,y’) (Cox, A., 1964). Que pode ser representada
das duas formas que mostra a Figura 2.3.
FIGURA 2.3- Duas formas de se representar a energia da imagem no plano focal referente a um ponto objeto, (a) é chamada de FEP e a segunda de “Spot Diagram”.
A Figura 2.3a é a representação em três dimensões, onde são geralmente considerados
os efeitos da difração e das aberrações ópticas, recebendo o nome de Função
Espalhamento Pontual (FEP) ou “Point Spread Function” (PSF).
Já a Figura 2.3b mostra a representação da Função Intensidade da Imagem em duas
dimensões, onde só são levados em conta os efeitos da Óptica Geométrica, ou seja, a
a b
47
influência das aberrações, esta Figura é formada de vários pontos, onde a densidade de
pontos da mesma cor é diretamente proporcional a densidade de energia no
comprimento de onda que a cor representa. Esta representação recebe o nome de “Spot
Diagram” ou Diagrama da Distribuição de Energia (Figura 2.3b).
No trabalho em questão, considera-se apenas a influência que as aberrações exercem
sobre a distribuição de energia na imagem de um ponto objeto, desprezando a influência
da difração. Esta aproximação é válida, pois sistemas ópticos de interesse deste trabalho
possuem um F/# pequeno (F/# é definido como a razão entre a distância focal do
sistema e o diâmetro da pupila de entrada). Isso se dá para que a irradiância da estrela
que chega ao detector seja capaz de sensibilizá- lo em um tempo de integração
relativamente curto. Sistemas ópticos com F/# pequeno que possuem focais e CDVs não
tão pequenas, como as que serão usadas no sensor de estrelas do INPE (respectivamente
da ordem de 25mm e ±10°), são geralmente limitados por aberração, não sendo
necessário então levar em consideração a Óptica Física ou Óptica de Fourier, e sim
apenas a Óptica Geométrica, tratando a luz como raios que são desviados segundo a lei
de Snell quando passam através de um sistema óptico.
Neste Capítulo, logo a seguir, se apresentará analiticamente o aparecimento das
aberrações, seus tipos e os efeitos que causam na distribuição de energia da imagem de
uma estrela no plano focal, estudando desta forma, as causas de alguns erros
sistemáticos da posição relativa de estrelas presentes nos sensores estelares do tipo
estudado neste trabalho.
2.3 – Definições e Sistema de Coordenadas
Para se continuar com a apresentação da teoria, faz-se necessária a apresentação de
algumas definições, e do sistema de coordenadas usado nos estudos. Algumas
definições em Óptica são bem básicas, porém necessárias para o entendimento da teoria
de sistemas ópticos.
Um elemento muito importante em um sistema óptico é o limitador da energia luminosa
que entra no sistema, chamado de obturador (“Stop Aperture”). O obturador pode
48
estar localizado em qualquer lugar dentro do sistema óptico, e não necessariamente
precisa ser uma peça mecânica e muito menos ser ajustável. Por exemplo: em um
telescópio refletor o limitante da entrada de energia é dado pelo tamanho do espelho
principal, ou seja, o obturador (“Stop Aperture”) desse telescópio é o próprio espelho. Já
na Figura 2.4 pode-se ver um obturador (“Stop Aperture”) que está dentro do sistema e
não é nenhum dos elementos ópticos (lentes ou espelhos) do mesmo.
Outra definição importante e usada neste trabalho é referente às pupilas de entrada e
de saída de um sistema óptico. Pupila de entrada pode ser definida como a imagem do
obturador (“Stop Aperture”) formada pelas lentes que o antecedem (Figura 2.4 ). Pupila
de saída pode ser definida como a imagem do obturador (“Stop Aperture”) formada
pelas lentes que o precedem (Figura 2.4 ). Repare na Figura que a localização da pupila
de entrada no eixo “Z” não necessariamente deve estar antes da pupila de saída.
FIGURA 2.4- Posições do obturador, da pupila de entrada e da pupila de saída de um
sistema óptico.
Um parâmetro muito usado em sistemas ópticos é a razão entre a distância focal do
sistema e o diâmetro da pupila de entrada chamada de F/#. Este se refere à quantidade
de energia que entra no sistema óptico. Algumas vezes esse valor pode ser diferente
para diferentes regiões do CDV do sistema. Quando o tamanho da pupila de entrada se
tornar menor quanto maior for o ângulo do CDV em relação ao eixo óptico, ou seja, o
F/# crescer, diz-se que o sistema sofre de “Vignetting”. O fenômeno provoca uma
modificação no formato da pupila de entrada, referente ao formato que ela tem para
49
objetos no eixo óptico. Para sistemas ópticos com simetria circular que não possuem
obscuração, a pupila de entrada, para objetos no eixo óptico, tem um formato circular.
Existe um raio usado como referência para diversos cálculos feitos em análises de um
sistema óptico. Trata-se do raio principal. Alguns autores (Cox, A., 1964; O’Shea,
1985; Smith, 1966) definem-no como o raio proveniente de um ponto objeto localizado
no CDV do sistema que passa pelo centro do obturador. Quando no sistema não há
aberração e nem “Vignetting”, o raio principal além de passar pelo centro do obturador
passa pelo centro da pupila de entrada e pelo centro da pupila de saída (Focus Sof...,
2002). Todavia, como sempre existem aberrações no sistema, o raio principal ou vai ser
o que passa pelo centro da pupila de entrada ou o que passa pelo centro do obturador, e
quase nunca pelos dois ao mesmo tempo. Por conveniência, adotou-se o raio principal
como aquele que passa pelo centro da pupila de entrada, pois, como será mostrado mais
adiante, ele não sofre desvio por nenhum outro tipo de aberração, a não ser pela
distorção. Com isso, as coordenadas desse raio no plano focal (xpr’, ypr’) servirão como
referência para se calcular os erros sistemáticos de interpolação.
Na Figura 2.5, pode-se ver a representação de um sistema óptico onde são mostradas
algumas das definições apresentadas nos parágrafos acima, juntamente com o sistema
de coordenadas envolvidas na apresentação da teoria bem como no desenvolvimento do
trabalho.
FIGURA 2.5- Esquema de um sistema óptico.
Raio Principal
d’
Pupila de
entrada
r0
θ
Lentes
Eixo óptico(Z)
H’
Plano focal Ponto objeto
X’
Y’ Ye
Xe
Ys
Xs
Y
X
Pupila de saída
50
A pupila de entrada está contida no plano Xe e Ye, onde θ e r0 são suas coordenadas
polares, Tais que: θsen0rxe = e θcos0rye = . A pupila de saída está contida no plano
formado pelos eixos Ys e Xs , enquanto o plano focal está contido no plano formado
pelos eixos X’ e Y’. Já o ponto objeto está no plano formado pelos eixos Y e X. Os
planos do objeto, da pupila de entrada, da pupila de saída, e do plano focal, são
paralelos entre si e conseqüentemente todos são perpendiculares ao eixo Z, chamado de
eixo óptico.
O raio principal é representado na Figura pelo raio contínuo que sai do objeto e passa
pelo centro da pupila de entrada, ou seja, no ponto (xe=0,ye=0). H’ é a “altura” desse
raio no plano focal , onde H’ é dado pela relação 22 ''' prpr yxH += , e d’ é a distância
entre a pupila de saída e o plano focal paraxial do sistema.
2.4 – Aberrações Ópticas
Cox, A. (1964) demonstra, baseado no Princípio de Fermat e usando o Cálculo
Diferencial, que, se de um ponto objeto localizado na posição (X=0,Y=y) no plano XY,
com sua imagem paraxial no ponto (0,y0) no plano X’Y’, sai um raio monocromático
que passa pelo ponto (r0,θ) na pupila de entrada, esse intercepta o plano imagem
paraxial X’Y’ na posição xr’, e yr’ dados respectivamente pelas seguintes equações:
θθ
θθθθ
θθθθ
sen2sen
sencossen2sen
sensen2sensen'
04
062
03
05
230
204
30
203
4002
5010
203
2002
301
ryBryB
ryBryBryB
rBryAryArAxr
+
+++
++++=
(2.1)
( )[ ]5
0904
082
03
03
75752
03
0
30
202
230
204
30
203
4001
4002
501
3050
204
2002
3010
cos
)2(2cos
coscos)cos1(
cos2cos23
cos
cos)2cos2(cos'
yBryBryC
BBBBry
ryCryB
ryBryCryBrB
yAryAryArAyyr
++
++++
+++
++−
++
+++++=−
θ
θ
θθθ
θθθ
θθθ
(2.2)
51
A’s e B’s são respectivamente os coeficientes das aberrações ópticas de terceira e quinta
ordem referentes a um determinado comprimento de onda. “C1”, “C2” e “C3” são
funções dos A’s e de d’.
Analisando as Equações 2.1 e 2.2, observa-se que a imagem de um ponto objeto não
será um ponto. Por meio das equações pode-se obter o Diagrama da distribuição de
energia (“Spot Diagram”) no plano focal paraxial em um determinado comprimento de
onda referente a um ponto objeto. O formato dessa distribuição depende das aberrações
presentes no sistema para tal comprimento de onda. Neste Capítulo, estuda-se a
influência de cada uma dessas aberrações separadamente, quanto ao formato da
distribuição de energia no plano focal referente a um ponto objeto em um único
comprimento de onda.
As aberrações monocromáticas podem ser classificadas e nomeadas da seguinte forma
(Cox, A., 1964):
1) Termos em “r03” Aberração Esférica de terceira ordem
2) Termos em “y0r02” Coma de terceira ordem
3) Termos em “y02r0” Astigmatismo de terceira ordem
4) Termos em “y03” Distorção de terceira ordem
5) Termos em “r05” Aberração Esférica de quinta ordem
6) Termos em “y0r04” Coma Circular de quinta ordem
7) Termos em “y02 r0
3” Aberração “Astralete” de quinta ordem
8) Termos em “y03r0
2” Coma Elíptico de quinta ordem
9) Termos em “y04r0” Astigmatismo de quinta ordem
10) Termos em y05 Distorção de quinta ordem
52
Existem outras equações que também procuram descrever o Diagrama da distribuição
de energia (“Spot Diagram”) no plano imagem. Algumas dessas são polinômios em xe e
ye (Smith, 1966; Stavroudis e Feder, 1954) cujos coeficientes não sugerem relação com
as aberrações presentes no sistema. Contudo, existem outras equações (Herzberger,
1957) cujos coeficientes são relacionados com aberrações classificadas e nomeados de
uma outra forma, diferente das apresentadas aqui.
2.5 – Efeitos das Aberrações na Imagem de Um Ponto Objeto
Nesta Seção, será estudado o efeito de cada uma das aberrações na formação da imagem
de um ponto objeto. As análises serão feitas com base nas Equações 2.1 e 2.2. Em cada
situação, serão levados em consideração apenas os termos de uma determinada
aberração, que foram classificadas e nomeadas na Seção anterior. As análises são
meramente ilustrativas sendo feitas apenas para um comprimento de onda: os valores
dos coeficientes das aberrações podem não representar quantidades físicas reais de um
sistema óptico, apesar de que qualquer valor para esses coeficientes serem teoricamente
possíveis. As análises também consideraram a ausência de “vignetting” e que o plano
focal é colocado na posição paraxial do sistema, pois a mudança da posição do plano
focal, pode mudar o formato da sua distribuição de energia, como veremos na Seção
2.6. Contundo, pode-se ter uma boa noção de como cada aberração influencia na
formação da imagem de um ponto objeto.
1) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “r03”
θsen' 301rAxr = (2.3)
θcos' 3010 rAyyr =− (2.4)
Através das equações, pode-se perceber que raios provenientes de um ponto objeto
entrando em círculos concêntricos com semidiâmetros “r0” na pupila de entrada
formarão círculos concêntricos no plano imagem de semidiâmetros iguais a “A1r03” ao
redor do ponto (0,y0). Com isso, na imagem, ao invés de um ponto há um disco de luz
cujo tamanho, para um determinado sistema óptico, é inversamente proporcional ao F/#.
53
Isso se dá pela dependência de r0 nas Equações 2.3 e 2.4. Por outro lado, como não
depende de “y0”, o tamanho do disco de luz na imagem devido a esta aberração será o
mesmo para todo CDV da objetiva. A aberração recebe o nome de Esférica de terceira
ordem. A Figura 2.6 mostra um “spot” que sofre apenas a influência de tal aberração,
para traça- la usou-se os valores A1=1, e cinco valores diferentes de r0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5
e 1. Para cada um deles, θ variou de 0 a 2π .
FIGURA 2.6-Formato do “spot” que as Equações 2.3 e 2.4 dão origem.
2) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “y0r02”
θ2sen' 2002 ryAxr = (2.5)
)2cos2(' 2020 θ+=− ryAyyr (2.6)
Quando raios provenientes de um ponto objeto descrevem círculos concêntricos na
pupila de entrada, através das Equações 2.5 e 2.6 pode-se ver que no plano imagem se
formarão círculos de semidiâmetros “A2r02y0” ao redor do ponto (0, y0+A2r0
2y0). Como
o centro do círculo varia com r0, então haverá círculos não concêntricos no plano focal,
inscritos dentro de duas retas tangentes que formam um ângulo de 60° entre si. Ao
observar a Figura 2.7, pode-se ter idéia de como será o formato da distribuição de
energia luminosa no plano focal proveniente de um ponto objeto devido a esta
aberração. Também pode-se ver, por meio das Equações 2.5 e 2.6, que o tamanho desse
“spot”, para um determinado sistema óptico, varia com seu o F/# e também ao longo do
CDV, pois essas equações são dependentes tanto de “r0” como de “y0”. Tal aberração
54
recebe o nome de Coma de terceira ordem. Pode-se ver a origem do nome por meio da
Figura 2.7 que tem o formato de um cometa. A Figura foi gerada a partir das Equações
2.5 e 2.6 para A2=1, e cinco valores diferentes de r0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 e 1, onde para
cada um deles variou-se θ de 0 a 2π .
FIGURA 2.7- A Figura mostra a influência do Coma de terceira ordem na formação da imagem de um ponto objeto.
3) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “y02
r0”
θsen' 02
03 ryAxr = (2.7)
θcos' 02
040 ryAyyr =− (2.8)
Se raios provenientes de um ponto objeto entram em círculos concêntricos pela pupila
de entrada, segundo as Equações 2.7 e 2.8, elipses concêntricas com semi-eixos iguais a
“A3r0y02” e “A4r0y0
2” se formarão no plano imagem (Figura 2.8). Como se pode
perceber através destas equações, tal aberração é dependente de “r0” e de “y0”. Então,
para um dado sistema óptico, maior será o tamanho do “spot” devido a esta aberração,
quanto menor for o F/#, e ainda, quanto maior for a distância do ponto objeto em
relação ao eixo óptico. A aberração é chamada de Astigmatismo de terceira ordem. Ao
observar a Figura 2.8 pode-se ter idéia da influência desta aberração na imagem de um
ponto objeto. Para se traçar a Figura usou-se as Equações 2.7 e 2.8 com A3=1, A4=0,5 e
60°
55
cinco valores diferentes de r0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 e 1, onde para cada um deles se variou θ
de 0 a 2π .
FIGURA 2.8- A Figura mostra a influência do Astigmatismo de terceira ordem na
formação da imagem de um ponto objeto.
4) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “y03”
Referentes a esses termos têm-se:
0' =rx (2.9)
3050' yAyyr =− (2.10)
Observa-se, das Equações 2.9 e 2.10, que raios provenientes do ponto objeto, passando
em qualquer posição na pupila de entrada, irão convergir para um único ponto, que pode
apresentar um deslocamento em relação ao ponto ideal (0,y0). Tal aberração, chamada
de Distorção de terceira ordem, não influencia no formato da distribuição de energia no
plano focal de um ponto objeto, mas apenas muda a sua posição. Essa mudança é
função da distância que o objeto se encontra do eixo óptico como pode ser visto na
Equação 2.10, por sua dependência em y0.
Se o coeficiente “A5” for positivo, a distorção é do tipo almofada (“pincushion”), a
imagem ficará com a aparência como mostrada na Figura 2.9b. Por outro lado, se o
coeficiente for negativo a distorção é do tipo barril, revelando o efeito na imagem
mostrado na Figura 2.9c.
56
FIGURA 2.9- Os dois tipos de distorção de terceira ordem que podem ocorrer em imagens geradas por um sistema óptico.(b) ocorre quando o coeficiente A5 é positivo, e (c) quando é negativo.
5) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “r05”
θsen' 501rBxr = (2.11)
θcos' 5010 rByyr =− (2.12)
Tal aberração, chamada de Esférica de quinta ordem, não tem nada de muito novo. O
que foi discutido e dito para a aberração Esférica de terceira ordem é também válido
para esta, inclusive o seu efeito na imagem de um ponto objeto é muito parecido com a
mostrada na Figura 2.6.
Uma forma de reduzir as aberrações esféricas de um sistema é ajustar os seus
parâmetros, de modo a se ficar com os coeficientes “A1” e “B1” com sinais contrários.
Disso resulta o seu cancelamento parcial.
6) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “y0r4”
Para esses termos, das Equações 2.1 e 2.2 se obtêm:
θ2sen' 4002 ryBxr = (2.13)
Objeto Almofada(pincushion)
Barril (barrel)Objeto Almofada(pincushion)
Barril (barrel)(a) (b) (c)
57
4001
40020 2cos
23
' ryCryByyr −
+=− θ (2.14)
A aberração chamada de Coma Circular de quinta ordem é muito parecida com a Coma
de terceira ordem.
Para raios provenientes do ponto objeto que descrevem círculos concêntricos na pupila
de entrada, há no plano imagem, pelas Equações 2.13 e 2.14, círculos de semidiâmetros
“B2y0r04” ao redor do ponto (0, (3/2)B2y0r0
4 – C1y0r04). Como o centro do círculo varia
com r0, o que se tem no plano focal são círculos não concêntricos inscritos dentro de
duas retas tangentes, cujo ângulo entre elas depende do coeficiente “C1”, o qual é
função dos coeficientes das aberrações de terceira ordem. A única novidade que esta
aberração traz é que o formato da imagem do ponto objeto influenciado por ela,
dependente, por sua vez, de coeficientes de outras aberrações de terceira ordem. Na
Figura 2.10, pode-se observar a influência desta aberração na imagem de um ponto
objeto para dois valores distintos de “C1”. Para se traçar as Figura usou-se os valores
B2=1, C1=0 em (a) e C1=-0,5 em (b) e cinco valores diferentes de r0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 e
1, onde para cada um deles variou-se θ de 0 a 2π .
FIGURA 2.10- A Figura mostra a influência do Coma Circular de quinta ordem na formação da imagem de um ponto objeto para dois valores dis tintos de “C1”.
7) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “y02r3”
θθθ sencossen' 230
204
30
203 ryBryBxr += (2.15)
(a) (b)
58
θ
θθθ
cos
cos)cos1(cos'3
02
02
230
204
30
2030
ryC
ryBryByyr
+
++=− (2.16)
Esse tipo de aberração é o único realmente novo trazido pelas aberrações de quinta
ordem. Por este motivo e também por ser complexa, merece uma atenção especial e será
analisada em duas partes.
Considerando apenas os primeiros termos das Equações 2.15 e 2.16, se obtém:
θsen' 30
203 ryBxr = (2.15a)
θcos' 30
2030 ryByyr =− (2.16a)
Estas equações são muito parecidas com as 2.3 e 2.4 da aberração Esférica de terceira
ordem. A única diferença é que possuem um fator “y02”. Contudo, esse não muda o
formato da imagem de um ponto objeto, que continuará sendo um disco como na Figura
2.6. A dependência em “y0” faz com que o semi-diâmetro do disco e a sua distribuição
de energia, varie com a distância da imagem ao eixo óptico.
Quando “B4” for igual a zero, e a aberração aparecer sozinha, o nome “Astralete” perde
o sentido e então ela é chamada de Esférica Oblíqua de quinta ordem.
Para os termos restantes das Equações 2.15 e 2.16 :
θθ sencos' 230
204 ryBxr = (2.15b)
θθθ coscos)cos1(' 30
202
230
2040 ryCryByyr ++=− (2.16b)
Estas equações são mais complexas de se analisar do que as anteriores, pois agora há
mais de um coeficiente que influenciará no formato da imagem de um ponto objeto.
Para facilitar a análise, primeiramente se simplificou a forma de sua escrita. Deste
modo, decorrem as Equações 2.15b e 2.16b.
59
θθ sencos' 230
204 ryBxr = (2.15b)
θθ cos)cos1(' 123
02
040 DryByyr ++=− (2.16b)
onde:
4
21 B
CD =
A forma com que a energia luminosa proveniente de um ponto objeto se distribui no
plano imagem depende destas duas quantidades “B4” e “D1”. Na Figura 2.11, vêem-se
algumas das possíveis formas, com que raios provenientes do ponto objeto entrando em
um único círculo na pupila de entrada podem se distribuir no plano imagem. Cada uma
destas formas foi adquirida por meio das Equações 2.15b e 2.16b para r0=1 e os valores
de θ variando de 0 a 2π . Os valores dos coeficientes “B4” e “D1” usados, são mostrados
na própria Figura.
FIGURA 2.11- A Figura mostra a influência do aberração “Astralete” na formação da imagem de um ponto objeto para combinações distintos de “B4” e “D1”.
Agora pode-se analisar mais facilmente as Equações 2.15 e 2.16 por completo. Fazendo
o mesmo tipo de simplificação utilizada anteriormente, obtêm-se:
θθθ sencossen' 230
204
30
203 ryBryBxr +=
θθ cos)cos1(' 2123
02
040 DDryByyr +++=−
onde:
B4=1 D1=0
B4=1 D1=-1,5
B4=1 D1=-2
B4=1 D1=-2,3
B4=1 D1=-3
60
4
32 B
BD =
A forma com que a energia luminosa proveniente de um ponto objeto, segundo estas
equações, se distribui no plano imagem, depende de três coeficientes, são eles: “B4”,
“C1” e “C2”. Para a análise dessas equações, utilizou-se a mesma forma usada para as
Equações 2.15b e 2.16b. Os resultados dessas análises se encontram na Figura 2.12,
onde se pode ver as diferentes formas com que os raios provenientes de um ponto
objeto entrando em um único círculo pela pupila de entrada do sistema óptico podem se
arranjar no plano imagem.
FIGURA 2.12- A Figura mostra a influência do aberração “Astralete” na formação da imagem de um ponto objeto para combinações distintos de “B4”,“D1” e “D2”.
B4=1 D1=0 D2=0
B4=1 D1=0 D2=-0,5
B4=1 D1=0 D2=-1
B4=1 D1=0 D2=-1,5
B4=1 D1=0 D2=-2
B4=1 D1=-1 D2=-0,5
B4=1 D1=-1,5 D2=-0,5
B4=1 D1=2 D2=-1,5
B4=1 D1=-1 D2=-1,5
B4=1 D1=-2 D2=-2
B4=1 D1=-3 D2=1
B4=1 D1=-3 D2=1
61
8) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “y03r0
2”
θ2sen' 20
305 ryBxr = (2.17)
( )[ ]2
03
03
75752
03
00 )2(2cos'
ryC
BBBBryyyr
+
+++=− θ (2.18)
Segundo estas equações, raios provenientes de um ponto objeto entrando em círculos
concêntricos na pupila de entrada formam no plano imagem paraxial elipses centradas
no ponto (0, y0+y03r0
2(2B5+B7+C3)), cujo semi eixo é dado por “B5y03r0
2” e
“(B5+B7)y03r0
2”. Como o centro das elipses no plano imagem depende de “r0”, então as
elipses não são concêntricas, e se arranjam na forma mostrada na Figura 2.13, esta foi
gerada usando-se as Equações 2.17 e 2.18 tomando B5=1, B7=1, C3=1, e cinco valores
diferentes de r0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 e 1, onde para cada um deles variou-se θ de 0 a 2π . O
ângulo entre as retas tangentes às elipses é função de “B7/B5”, e “C3”. Tal aberração é
chamada de Coma Elíptico de quinta ordem.
Pela dependência das Equações 2.17 e 2.18 em “r0” e “y0”, maior será o tamanho do
“spot” para um dado sistema óptico, quanto menor for o seu F/# e quanto mais distante
do eixo o ponto objeto se encontrar.
FIGURA 2.13- A Figura mostra a influência do Coma Elíptico de quinta ordem na formação da imagem de um ponto objeto.
62
9) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “y04r0”
θsen' 04
06 ryBxr = (2.19)
θcos' 04
080 ryByyr =− (2.20)
Esta aberração é chamada de Astigmatismo de quinta ordem. O seu efeito na formação
da imagem de um ponto objeto não tem praticamente nada de diferente em relação ao
Astigmatismo de terceira ordem. A única diferença é que o tamanho do “spot” varia
com a quarta potência da distância do ponto objeto ao eixo óptico, enquanto a de
terceira ordem varia com o quadrado dessa distância.
10) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em
“y04r0”
Para esses termos, das Equações 2.1 e 2.2 , obtêm-se:
0' =rx (2.21)
5090' yByy r =− (2.22)
Esta aberração, chamada de Distorção de quinta ordem, tem praticamente o mesmo
efeito na formação da imagem de um ponto objeto, que a causada pela Distorção de
terceira ordem. A única diferença é que o desvio sofrido pelo ponto imagem, que é o
único efeito desta aberração, é proporcional à quinta potência da distância que o ponto
se encontra em relação ao eixo óptico, enquanto a de terceira ordem é proporcional ao
cubo desta quantidade.
2.6 – Efeitos no Formato da Imagem de Um Ponto Objeto Devido à Mudança na
Posição do Plano Focal
Na Seção anterior, mostrou-se os efeitos causados na formação da imagem de um ponto
objeto devido aos diferentes tipos de aberrações. As análises foram feitas para um plano
imagem localizado no foco paraxial do sistema. Muitas vezes, falando-se em qualidade
63
de imagem, a posição do foco paraxial não é o melhor lugar para se colocar o plano
focal de um sistema óptico, mas sim em uma região vizinha próxima, à esquerda ou à
direita desse plano. Contudo, se temos um plano imagem que não está localizado na
posição do foco paraxial, não é necessário redefinir as Equações 2.1 e 2.2, para que se
tenha o formato da distribuição de energia no plano imagem referente a um ponto
objeto. Cox, A. (1964) demonstra que se o plano imagem está a uma distância “ε” do
plano imagem paraxial, sendo “ε<<d”, então a mudança sofrida na posição de cada raio
no plano imagem, referente a sua posição no plano focal paraxial pode ser dado por:
''
' rr xd
xε
=∆ (2.23)
''
' rr yd
yε
=∆ (2.24)
Com estas equações, se os coeficientes das aberrações no plano focal paraxial de um
sistema óptico, para um determinado comprimento de onda são conhecidos, então é
possível saber a distribuição da energia proveniente de um ponto objeto nesse
comprimento de onda, para qualquer posição vizinha ao plano focal paraxial que o
plano imagem se encontre.
2.7 – Um Exemplo
Apesar de se ter estudado os efeitos das aberrações de forma separada e apenas para um
único comprimento de onda, em um sistema óptico real há uma influência composta de
quase todas as aberrações. Além disso, não existe apenas um, porém um intervalo de
comprimentos de onda que passam pelo sistema. Em conseqüência, os coeficientes das
Equações 2.1 e 2.2 podem ser diferentes para cada comprimento de onda, em especial
nos sistemas ópticos parcialmente ou totalmente refrativos, ou seja, possuidores de
lentes. Isso ocorre porque, no vidro, cada comprimento de onda apresenta um índice de
refração diferente. Desta forma, é como se tivéssemos para cada comprimento de onda
um sistema levemente diferente. Resultando no final o seguinte: para cada comprimento
de onda proveniente do mesmo ponto objeto, há uma distribuição de energia diferente
64
no plano imagem. Portanto a distribuição total da energia da imagem do ponto objeto
consiste em uma composição das distribuições de cada comprimento de onda do
intervalo.
Logo abaixo, na Figura 2.14, pode-se observar um exemplo de como o formato do
“spot” aparece para um sistema óptico para diferentes regiões do CDV, (a) mostra o
“spot” para um ponto objeto localizado no eixo óptico da objetiva, (b) e (c) mostram
respectivamente a os “spots” para pontos objetos deslocados a 5° e a 10° em relação ao
eixo ótico, ao lado de cada uma delas são mostrados os valores y0. As diferentes cores,
azul, verde e vermelho, representam diferentes comprimento de onda que são
respectivamente iguais a: 0,4861µm; 0,5876µm; 0,6563µm. Esta Figura foi adquirida
por meio de uma das ferramentas do ZEMAX para o sistema óptico usado para o
desenvolvimento dos estudos deste trabalho que será apresentado na Seção 3.2.1 do
Capítulo 3.
FIGURA 2.14- “Spots” formados por um sistema óptico, para diferentes regiões do CDV, (a) no eixo óptico, (b) a 5° e (c) a 10°.
50µm
(a)
(b)
(c)
y0=0,0mm
y0=2,2mm
y0=4,4mm
65
No decurso dos estudos teóricos realizados, e do exemplo dado nesta última Seção a
respeito da influência das aberrações ópticas na formação da imagem de um ponto
objeto, pode-se perceber que a distribuição de energia referente à imagem de uma
estrela (a qual pode ser representada por um ponto no infinito) pode assumir formas
bem diferentes de uma distribuição gaussiana, e ainda mudar ao longo do CDV da
objetiva do sensor. O que leva a perceber a importância de se considerar esses efeitos
nos estudos dos erros referentes à posição relativa de estrelas que ocorre em um sensor
estelar, efeitos estes ignorados em muitos trabalhos que abordam o assunto, como já
mencionado anteriormente.
66
67
CAPÍTULO 3
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E DESENVOLVIMENTO PRÁTICO
Neste Capítulo se apresentará a formulação do problema e discutir-se-á os
procedimentos e ferramentas usadas para o desenvolvimento do trabalho. Talvez seja o
mais importante dos Capítulos, pois é onde se apresentam o problema e as metodologias
desenvolvidas para os estudos e correções dos Erros Sistemáticos de Interpolação (ESI)
e dos Erros Sistemáticos de Distorção (ESD). Isso é feito de forma detalhada, dando
assim as informações necessárias ao leitor de modo que possa aplicá- las para qualquer
sistema do mesmo tipo.
O Capítulo foi dividido em sub-títulos que abordam a definição do problema, o sistema
eletro-óptico usado para o desenvolvimento da metodologia, os estudos dos erros
sistemáticos, o modelamento destes erros e os métodos que foram desenvolvidos para
sua correção.
3.1 – Definição do Problema
Tendo a visão geral do funcionamento do sensor apresentada na Seção 2.1.4, pode-se
identificar algumas fontes de erro inerentes ao sensor, podendo ser divididas em duas
categorias: as aleatórias e as sistemáticas. As aleatórias são as que podem ser
modeladas por uma função probabilística, enquanto as sistemáticas são as que podem
ser modeladas por uma função determinística. Entre as fontes dos erros aleatórios
temos: ruído da eletrônica de processamento do sinal, ruído de quantização da
conversão A/D, não uniformidade da resposta dos “pixels” do detector, ruído quântico,
etc. Já entre as fontes dos erros sistemáticos, temos: imperfeições no sistema óptico
(distorção da imagem como um todo, aberrações ópticas e difração), amostragem do
plano focal (“pixels”), devido à natureza do procedimento usado no cálculo da posição
do centróide da estrela e no cálculo da magnitude da mesma, desalinhamento da
objetiva em relação ao detector, etc.
68
Neste trabalho o foco principal será dado a algumas fontes de erro sistemático, os quais
influenciam na determinação da posição relativa das estrelas. São elas: imperfeições no
sistema óptico, amostragem do plano focal e a natureza do procedimento usado no
cálculo da posição do centróide da estrela. Logo a seguir, cada uma destas fontes de erro
de interesse serão apresentadas e explicadas.
3.1.1 – Imperfeições do Sistema Óptico
Como mostrado no Capítulo 2, sistemas ópticos perfeitos não existem. Com isso, a
imagem de um ponto objeto infinitesimal não será um ponto, mas sim uma distribuição
de irradiância luminosa ou borrão no plano focal representada pela função intensidade
da imagem I(x’,y’). Seu formato e tamanho são dependentes da difração e das
aberrações ópticas presentes no sistema. Portanto, as coordenadas de uma estrela no
plano imagem (X’ Y’) de um sistema óptico podem ser calculadas através do ponto de
equilíbrio da função I(x’,y’), referente à imagem da estrela, chamadas de centróide da
imagem (x’c e y’c), e dado por (Rufino e Accardo, 2003):
∫ ∫∫ ∫=
'')','(
'')','(''
dydxyxI
dydxyxIxx c (3.1)
∫ ∫∫ ∫=
'')','(
'')','(''
dydxyxI
dydxyxIyy c (3.2)
Porém, essas equações não fornecem a posição exata da estrela. Isso ocorre devido a
aberrações (e.g. coma, astigmatismo) que causam na imagem de um ponto objeto
deformações não simétricas (Cox, A., 1964; Rufino e Accardo, 2003; Salomon e
Glavich, 1980).
Além disso, ainda existe o efeito da distorção óptica, que apesar de também ser uma
aberração, não influencia no formato e distribuição de energia da imagem de um ponto
objeto, mas sim desloca sua posição, fazendo com que três pontos objetos contidos em
uma mesma reta, sejam projetados no plano focal em três pontos onde não é mais
possível se obter uma reta onde todos estejam contidos. Com isso, por mais que as
69
Equações 3.1 e 3.2 fornecessem um resultado livre de erros, ainda se poderia ter um erro
na posição relativa causada pela distorção óptica.
3.1.2 – Amostragem do Plano Focal
Como mostrado em seções anteriores, sensores estelares de interesse deste trabalho
possuem detectores formados por “pixels” que amostram a imagem. Portanto, a função
intensidade da imagem I(x’,y’) no plano focal referente a um ponto objeto é amostrada
no espaço pelo tamanho do “pixel”. O valor do sinal de cada “pixel” é proporcional à
integral de I(x’,y’) na área sensível. Desta forma, as Equações 3.1 e 3.2 se reduzem a:
∑∑
∑∑
= =
=== n
i
m
jij
m
jij
n
ic
I
Iix
1 1
11' (3.3)
∑∑
∑∑
= =
=== n
i
m
jij
m
jij
n
ic
I
Ijy
1 1
11' (3.4)
Essas equações são aplicadas em uma sub-matriz de “n” por “m” “pixel”, onde i e j são
respectivamente o número da coluna e da linha de um “pixel” que está contido nessa
sub-matriz, e Iij é a integral de I(x’,y’) na área do “pixel” sensível à luz.
Na transformação das Equações 3.1 e 3.2 para as Equações 3.3 e 3.4 introduz-se uma
aproximação que resulta em um erro na determinação das coordenadas da estrela.
3.1.3 – Procedimento Usado no Cálculo da Posição da Estrela
As Equações 3.3 e 3.4, resultantes das Equações 3.1 e 3.2 devido à discretização do
plano focal, nos fornece um procedimento para o cálculo da posição da estrela na matriz
do plano focal chamado de “Centróide Simples”. Esse é o mais simples, mais usado e o
mais intuitivo, tendo em vista a sua procedência, dos métodos usados para o cálculo da
posição relativa da estrela na matriz do detector. Porém, esse não é o único método.
70
Existem vários métodos que já foram propostos para tal intuito, procurando reduzir os
erros causados pela discretização do plano focal. Contudo, em Stone (1989), onde são
comparados cinco diferentes procedimentos (ou algoritmos) usados para o cálculo da
posição relativa da estrela, pode-se observar que outros algoritmos apresentam apenas
leves melhorias na estimativa da posição da estrela no plano focal formado por “pixels”,
quando comparados com o centróide simples. No trabalho de Cox, J. (1981) comparou-
se o centróide simples com outros dois algoritmos. A sua pesquisa conclui que, em
termos de simplicidade de cálculo e de performance, o centróide simples foi classificado
como o melhor.
Por esses motivos, neste trabalho utiliza-se o algoritmo centróide simples da forma
apresentada nas Equações 3.5 e 3.6, as quais são aplicadas em uma sub-matriz de três
por três “pixels”.
( )
F
n
i
m
j
ij
n
i
m
j
Fij
c
nmVV
VVi
x−
−
=
∑ ∑
∑ ∑
= =
==
1 1
11
' (3.5)
( )
F
n
i
m
j
ij
m
j
m
j
Fij
c
nmVV
VVj
y−
−
=
∑∑
∑ ∑
= =
==
1 1
11
' (3.6)
Onde, Vij é o sinal total do fotoelemento (i,j), e VF é o sinal de fundo.
No caso do sensor de estrela que está sendo desenvolvido pelo INPE, o sinal de fundo é
adotado como sendo a média dos dez “pixels” de menor sinal que se encontram em uma
sub-matriz 5x5 centrada no mesmo “pixel” que a sub-matriz 3x3 usada no cálculo da
posição relativa da estrela.
A sub-matriz nas quais essas equações são aplicadas podem ser definidas com vários
tamanhos (e.g 3x3, 5x5, 7x7, 9x9, etc), inclusive, existem alguns trabalhos que estudam
o efeito da variação do tamanho dessa sub-matriz no erro do cálculo da posição relativa
71
da estrela. Optou-se por usar uma matriz de 3x3 “pixels” baseando-se no trabalho de
Matos (1997).
A diferença em relação às Equações 3.3 e 3.4 é que essas apresentam uma subtração do
sinal de fundo. Isto ocorre porque o sinal total de cada “pixel” (Vij) não é apenas dado
pela função intensidade da imagem I(x’,y’). Juntamente com esta há também sinais
provenientes da iluminação de fundo do céu, da iluminação indireta do Sol, da Terra, ou
de objetos que podem chegar no sistema óptico do sensor, e ainda do sinal de escuro do
detector.
3.2 – O Sistema Eletro Óptico Usado para Desenvolvimento da Metodologia
Embora este trabalho enfoque uma metodologia que em tese vale para qualquer sensor
estelar possuidor de uma objetiva que projeta a imagem das estrelas sobre um detector
formado por “pixels”, preferiu-se, a fim de tornar a exposição mais didática e
possibilitar a apresentação dos resultados da aplicação da metodologia, utilizar um
sistema específico, fazendo assim um estudo de caso.
3.2.1 – O Sistema Óptico
Como não se tinha o projeto de nenhum sistema óptico usado em sensores de estrela de
interesse deste trabalho, o que se fez foi reunir algumas características que sua objetiva
deve possuir, e a partir delas buscar um projeto que as satisfaça. Algumas dessas
características foram retiradas da objetiva comercial que está sendo usada no protótipo
desenvolvido pelo INPE, enquanto outras que não se tem acesso, como por exemplo, as
de resolução, foram tiradas de estudos de trabalhos anteriores, ou foram feitos pequenos
estudos à parte para se chegar a uma conclusão.
3.2.1.1 – Características e Requisitos para o Sistema Óptico do Sensor
As características tiradas da objetiva do protótipo desenvolvido pelo INPE foram: a
distância focal (25mm) e o F/# (1.4).
72
As características de resolução de um sensor de estrelas do tipo estudado aqui foram
tiradas de Matos (1997). Em seu trabalho, entre outras coisas, são feitos estudos a fim
de se chegar ao tamanho da distribuição da imagem da estrela para que se tenha o menor
ESI. Usando o formato da distribuição como Gaussiano, o que constitui uma
idealização, Matos (1997) simulou a interpolação com diferentes tamanhos de estrelas
em três posições dentro do “pixel” ao longo de um eixo, constatando que a distribuição
que produz os menores erros de interpolação acontece quando, centralizada em um
“pixel”, contiver em torno de 60% de sua energia dentro dele.
Outra característica importante é a do campo de visada da objetiva. No decurso dos
estudos realizados pelo grupo de Eletro-Óptica, responsável pelas pesquisas e
desenvolvimentos do sensor estelar no INPE, chegou-se à conclusão de que um valor
razoável para um sensor autônomo seria em torno de ± 10° em relação aos planos XeZ e
YeZ, ficando assim com um CDV de um prisma ou pirâmide com base quadrada de 20°
por 20°. Como o CDV de sistemas ópticos é geralmente um cone de base circular,
devido à forma e à simetria das lentes, deve-se ter um cone circular em que o cone
quadrado possa ser inscrito. Com isso, obtém-se o resultado de que a objetiva deve ter
um CDV de ±14° em relação ao eixo óptico (eixo Z).
Como o sensor é autônomo, uma das informações relevantes quando se procura
reconhecer a região do céu observada é, ao lado da posição relativa das estrelas, a
magnitude de cada uma delas. Por sua vez, tal magnitude é calculada a partir do sinal
gerado no detector. Erros no seu cálculo podem ocorrer, onde a não uniformidade de
iluminação é um dos fatores causadores desses erros. Além disso, como o sensor
trabalha com irradiâncias muito baixas, a não uniformidade de luminosidade pode ser
grande o suficiente de modo que uma estrela, quando posicionada na borda do CDV,
não seja detectada, e quando posicionada no centro do CDV, seja detectada com um
sinal razoável em relação ao ruído.
Existem alguns fatores que podem mudar a luminosidade ao longo do CDV, os
principais são: o fator do cos4, e o “vignetting”.
73
O fator do cos4 é o fenômeno pelo qual a iluminação de um ponto imagem fora do eixo
óptico é geralmente menor do que um ponto imagem no eixo óptico, mesmo para
sistemas sem “vignetting” (Figura 3.1).
FIGURA 3.1-Relação entre a pupila de saída e ponto imagem usado para determinar a lei do cos4.
Fonte: Adaptada de Smith (1966).
Isto se dá por dois motivos (Smith, 1966):
A iluminação de um ponto imagem é proporcional ao ângulo sólido que a pupila
de saída forma a partir do ponto em questão. Da Figura 3.1, para pequenos valores
de φ, é possível chegar às relações: φ’=φcos2(ϕ) e PaO = OPo cos(ϕ). Com isso, o
ângulo sólido, formado pelo ponto “Po” e a pupila de saída, é reduzido por um
fator de cos3 em relação ao formado pela pupila de saída e o ponto “Pa”.
O segundo motivo ocorre porque, em “Po”, a energia é difundida em um elemento
de área proporcionalmente maior do que o elemento de área em “Pa”, visto que o
cone atinge “Po” no plano focal com um ângulo ϕ em relação à normal. Com isso,
a influência de mais um termo em co-seno é acrescentada, chegando-se à seguinte
relação (Smith 1966):
)P em iluminação)((cos)P em iluminação( a4
o ϕ= (3.7)
O
ϕ
φ P
P
Pupila de saída
Plano focal
74
É importante reparar que o ângulo ϕ não é o ângulo do CDV, ou seja, o ângulo do lado
do objeto, e sim o ângulo do lado da imagem, que pode ser tanto maior ou menor do que
o ângulo do lado do objeto. Existem até sistemas onde o ângulo ϕ é igual ou muito
próximo de zero para qualquer região do campo de visada que ele esteja relacionado.
Esses recebem o nome de telecêntrico (Figura 3.2). Projetos deste tipo, que não sofram
de “vignetting”, têm a iluminação no plano focal praticamente constante.
Seria ótimo ter um sistema óptico telecêntrico para o sensor de estrelas, porém isso
poderia complicar muito o projeto dessa objetiva. Por conseguinte, um valor razoável
para ϕ foi estabelecido como sendo menor que 14° (que é o valor correspondente à
metade do ângulo do CDV).
FIGURA 3.2 - “Lay-out”, gerado a partir do ZEMAX, de um projeto óptico telecêntrico.
Este é o projeto da objetiva do sensor Imageador WFI abordo do satélite CBERS 1-2.
“Vignetting” é o fenômeno que ocorre quando o tamanho da pupila de entrada do
sistema é menor para ângulos do CDV diferente de zero (Figura 3.3). Como o tamanho
da pupila de entrada é proporcional à quantidade de energia que entra no sistema, o que
se tem quando há a presença de “vignetting” é uma não uniformidade de iluminação no
plano focal.
Como esse fenômeno pode reduzir drasticamente essa uniformidade, e sua ausência não
implica em um projeto complicado, chegou-se à conclusão de que o projeto não deve ter
a presença deste fenômeno. A Figura 3.3 mostra um projeto que pode servir como
exemplo de um sistema óptico com “vignetting” onde é possível reparar que no ponto
imagem que está sobre o eixo óptico, chegam muito mais “raios” do que os que estão
mais afastado do eixo.
75
FIGURA 3.3- “Lay-out”, gerado a partir do ZEMAX, do projeto óptico de patente
americana 2,836,102.
3.2.1.2 – A Escolha do Sistema Óptico para o Desenvolvimento do Trabalho
Com as características do sistema óptico definidas, o passo seguinte foi buscar um
projeto que as satisfizesse. Isso foi feito através de pesquisa em Cox, A. (1964). Esse
traz em uma de suas seções uma lista com vários números de patentes americanas e
britânicas com o seu respectivo inventor e algumas de suas características. Os projetos
de algumas delas, não de todas, são também encontradas nele em uma seção posterior.
O projeto de algumas patentes que interessaram por suas descrições e não se
encontravam disponíveis no mesmo, foram acessados através de consulta do número da
patente nos endereços eletrônicos: www.uspto.gov, e no gb.espacenet.com. Além das
pesquisas pelo número das patentes tiradas do livro, foram realizadas consultas através
de palavras chave, para tentar conseguir algumas patentes mais recentes que não haviam
no livro, tendo em vista a data de sua publicação.
O passo seguinte foi modelar e analisar vários desses projetos no ZEMAX.
Infelizmente, nenhum delas satisfez os requisitos impostos, então, os projetos que mais
se aproximavam dos requisitos, foram selecionados e otimizados a fim de fazê- los
atender aos requisitos. Tal otimização foi realizada por meio da ferramenta de
otimização do ZEMAX, usando-se uma das funções de mérito do “default” adicionada
de alguns vínculos e metas inseridos manualmente. Não foram feitos muitos esforços
nesse sentido, ou seja, não se gastou muito tempo com a otimização de cada um desses
projetos. Quando se passava um tempo razoável e o projeto não havia convergido de
76
modo a atender os requisitos, a otimização era encerrada e passava-se a otimizar outro
projeto.
Quando, por meio dessa ferramenta de otimização, se obteve um projeto que atendia
razoavelmente aos requisitos, o adotamos como o projeto óptico da objetiva para os
estudos deste trabalho (Figura 3.4). Este projeto óptico foi obtido através da otimização
do projeto inicial de patente norte americana de número 2,836,102 (Figura 3.3). Na
otimização foram deixados como variáveis apenas as espessuras centrais e os raios de
curvatura de cada lente, bem como as distâncias centrais de separação entre cada uma
delas. O número de lentes e o vidro usado em cada uma delas, foram mantidos os
mesmos do projeto inicial.
FIGURA 3.4- Projeto óptico obtido através da otimização do projeto inicial de patente
norte americana 2,836,102, usado para as simulações neste trabalho.
3.2.1.3 – A Banda Espectral do Sensor
Para se definir a influência de cada comprimento de onda no sistema em questão deve-
se levar em conta três parâmetros. São eles: a transmitância do sistema óptico, a
responsividade do detector e a emitância espectral do objeto.
A transmitância do sistema óptico é um valor adimensional dado pela razão entre a
energia que entra e a energia que sai do sistema. Ela pode ser dividida em duas: a
transmitância da objetiva propriamente dita e a transmitância de um possível filtro.
77
O filtro pode estar entre a objetiva e o plano focal, ou entre a objetiva e o objeto. Como
ainda não se decidiu se filtros serão usados, e que tipo de filtro será usado, supôs-se a
presença de um filtro de transmissão colocado na frente da objetiva. Optou-se por
colocá- lo nessa posição pois, desta forma, não influencia no projeto óptico, mas apenas
sobre a influência de cada comprimento de onda no sistema.
O filtro é necessário para reduzir a transmitância no infravermelho e no ultravioleta.
Isso é necessário, devido à dificuldade de se conseguir uma objetiva que seja otimizada
em todo o intervalo de comprimento de onda onde o detector responde. Como a resposta
típica desses detectores é mais baixa tanto no infravermelho como no ultravioleta, o
sistema é otimizado na faixa do visível.
Para este estudo de caso utilizou-se uma composição de dois vidros tipo filtro (filtro de
transmissão) do fabricante SHOTT: KG1 (infravermelho) e GG400 (ultravioleta).
Supôs-se que esses são colados um ao outro e que possuem uma espessura de 2mm cada
um.
Para filtros desse tipo existem dois efeitos que influenciam na transmitância: a
transmitância interna do material, e a transmitância de Fresnel. Aquela está relacionada
com a absorção da radiação pelo material e é função das características do material e do
comprimento do caminho que a radiação faz por dentro dele, enquanto que essa está
relacionada com a reflexão que a luz sofre na interface entre um meio e outro, que é
função da diferença entre os índices de refração dos materiais e do ângulo de incidência
entre o raio e a normal da superfície.
Como as faces do filtro são planas e paralelas entre si e os raios provenientes de uma
determinada estrela localizada no seu CDV atingem o filtro também paralelos entre si
fazendo com que o caminho percorrido por cada raio dentro do filtro seja o mesmo,
então tanto a transmitância de Fresnel quanto a transmitância interna na filtro serão as
mesmas para cada um dos raios provenientes de uma mesma estrela. Além disso, como
o ângulo de incidência de cada raio em relação à normal do filtro não excederá 14°
(metade do CDV), um ângulo relativamente pequeno, então a transmitância do filtro
78
para todo o CDV foi considerada igual à transmitância de raios que chegam a 0° em
relação à normal. O resultado da transmitância da composição dos dois filtros se
encontra na Figura 3.5, na qual se pode perceber que ela é bem baixa a partir de 0,8µm e
antes de 0,38µm como se queria.
Os dados do gráfico da Figura 3.5 foram adquiridos a partir do programa “FILTER '99,
Catalog Optical Glass Filter, Version 1.1US” que é fornecido gratuitamente pelo
próprio fabricante dos filtros.
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,20,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0 Composição dos Filtros KG1 e GG400
τ F
λ(µm) FIGURA 3.5- Transmitância normalizada da composição dos filtros KG1 e GG400 em
função do comprimento de onda λ em µm.
Os dados da transmitância total através de uma objetiva dependem de vários efeitos: da
transmitância interna dos materiais dos elementos do sistema, da transmitância de
Fresnel em cada interface de um meio e outro, e do efeito de “vignetting”.
A objetiva adotada para este trabalho é livre do efeito de “vignetting”, e a transmitância
de Fresnel foi melhorada, para os comprimentos de onda de interesse, com a adição de
uma camada anti-refletora em todas as lentes do sistema. Essa camada foi modelada
como sendo feita do material MgF2 com espessura de 0,0997µm.
Diferente do que ocorre no filtro tipo vidro, na objetiva a transmitância para raios do
mesmo comprimento de onda provenientes de uma determinada estrela serão diferentes.
79
Isso se dá, devido à diferença do ângulo de incidência que cada raio possui em relação à
normal de cada uma das lentes do sistema, pois além dessa não serem superfícies
planas, os raios podem não estar paralelos entre si ao atingirem cada uma delas, e
também devido à diferença de caminho percorrido por cada raio dentro de cada material
do sistema.
Essa diferença de transmitância para cada raio é relevante para o estudo em questão,
porque a densidade da distribuição de energia da imagem de um ponto objeto no plano
focal é influenciada por ela.
Contudo, a transmitância média da objetiva para diferentes regiões do campo de visada
é praticamente a mesma, como mostra a Figura 3.6. Os dados do gráfico desta Figura
foram adquiridos por meio de uma das ferramentas de análise do ZEMAX acessada pelo
seguinte caminho partindo do menu principal: “Analysis”, “Polarization”,
“Transmission”. Essa análise fornece a transmitância média, para cada comprimento de
onda e região do CDV definidos no sistema modelado no ZEMAX.
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,20,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
CDV=0o
CDV=7o
CDV=14o
τ o
λ(µm) FIGURA 3.6- Transmitância média normalizada da objetiva em função do
comprimento de onda λ para diferentes regiões do CDV da objetiva.
A responsividade adotada para o detector foi calculada por meio dos dados da eficiência
quântica, extraídos do gráfico do manual do detector que está sendo utilizado no
protótipo do sensor do INPE (mais detalhes sobre esse detector encontram-se na
80
próxima Seção). Como os dados nesse manual só estão disponíveis para o intervalo de
comprimento de onda de 0,4µm a 0,8µm, e sabendo que ele responde ainda para
comprimentos de onda fora dessa faixa, fez-se uma interpolação linear de 0,38µm até
0,4µm e de 0,8µm até 1,1µm (Figura 3.7). Os valores de responsividade para 0,38µm e
1,1µm foram tomados como zero, pois estes são os dois limites extremos em que
detectores de silício desse tipo geralmente param de responder.
A Equação usada para o cálculo da responsividade através dos dados de eficiência
quântica foi (Thomson Comp...,[198-?]):
hcKaλη
=R (3.8)
Onde: “R” é a responsividade (V/j/m2), “η” é a Eficiência quântica no comprimento de
onda “λ”, “K” é o fator de conversão volts elétrons (V/e-), “a” é a área do “pixel” (m2),
“λ” é o comprimento de onda (m), “h” é a constante de Planck, e “c” é a velocidade da
luz.
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,20,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0 Responsividade do Detector
R
λ(µm) FIGURA 3.7- Responsividade normalizada do detector em função do comprimento de
onda.
81
A emitância espectral de uma estrela pode ser representada por um corpo negro. Porém,
o espectro de emissão de um corpo negro depende de sua temperatura. A questão é:
“qual temperatura usar se existem estrelas das mais variadas temperaturas dentro da
faixa de magnitude que o sensor deve trabalhar?”. Draper (1965) sugeriu em seu
trabalho o uso de um corpo negro de 10700°K para simular uma estrela durante a
calibração radiométrica do sensor em terra. Magnani, Pieri e Romoli (1992) usaram em
seu trabalho o espectro de emitância de um corpo negro de 6000°K para estudar através
de simulação em computador os ESI para diferentes tipos de objetivas que podem ser
usadas em um sensor de estrelas de CDV estreito. Com isso, têm-se duas referências
que usam corpos negros de temperaturas completamente diferentes para simular o
espectro de uma estrela. Porém, nenhum deles esclarece porque usam essas
temperaturas. Acredita-se que a temperatura que se deve usar é dependente da missão e
das características do sensor. Com base nisso, a idéia foi utilizar o valor médio das
temperaturas das estrelas na faixa de magnitude visual de zero a cinco, que é onde o
sensor deve trabalhar.
Para chegar a essa média, utilizou-se um catálogo de estrelas Hipparcos (ESA, 1997)
que continha apenas estrelas até tal magnitude. Como o catálogo não traz informações
sobre as temperaturas das estrelas, calculou-se a temperatura efetiva aproximada de
cada uma delas usando-se o seu índice de cor Johnson B-V (ESA, 1997), usando as
equações:
10T 0,688V)1,376(B0,5150883,402 −+−
= para -0,375<(B-V)<-0,041324 (3.9)
10T 684,3551,14V)(B
−−−
= para (B-V)>= -0,041324 (3.10)
Estas equações foram adquiridas a partir das equações a seguir, apresentadas por Reed
(1998):
037,8)log(402,3)][log(344,0 2 +−=− TTVB para log(T)>=3,916 (3.11)
551,14)log(684,3 +−=− TVB para log(T)<3,916 (3.12)
82
Estas são equações empíricas da relação entre o índice de cor e a temperatura efetiva da
estrela.
A média que se obteve foi de aproximadamente 7500° K. Portanto, um corpo negro com
esta temperatura foi usado para representar a emitância espectral do objeto (Figura 3.8).
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,20,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0 Emitância
E
λ(µm) FIGURA 3.8- Emitância espectral do corpo negro normalizada a temperatura de 7500°
K no intervalo de comprimento de onda de 0,3µm a 1,1µm.
Dado que a objetiva do sensor neste trabalho é simulada pelo ZEMAX, foi necessário
informá-lo acerca dos comprimentos de onda que influenciam no sistema óptico e seus
respectivos “pesos”.
Porém, o ZEMAX impõe um limite máximo de comprimentos de onda que podem ser
definidos. Mas o que se tem não são apenas alguns comprimentos de onda, mas sim um
intervalo com infinitos comprimentos de ondas. Então, para definir esses comprimentos
de onda e seus respectivos “peso” adotou-se o seguinte método:
O primeiro passo foi multiplicar os valores normalizados da influência da transmitância
do sistema óptico, da responsividade do detector e da emitância do corpo negro em cada
comprimento de onda. Nessa multiplicação deixou-se de fora os efeitos da transmitância
da objetiva, pois, como já foi dito, para o estudo em questão deve-se levar em conta a
transmitância de cada raio e não a transmitância média. Apesar de não ser usada para os
83
cálculos dos pesos dos comprimentos de onda definidos no ZEMAX, a transmitância da
objetiva também é levada em conta nas simulações, sendo calculada para cada raio
traçado pelo sistema como explicada na Seção 3.3.1.
A Figura 3.9 mostra a curva resultante da multiplicação da influência de cada
comprimento de onda no sistema.
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,20,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0 Peso Normalizado
P
λ(µm) FIGURA 3.9- Gráfico normalizado da multiplicação entre os valores da transmitância
normalizada do filtro, da responsividade normalizada do detector e da emitância espectral normalizada do corpo negro.
O passo seguinte foi dividir o intervalo de comprimentos de onda de interesse
(0,375µm-1,125µm), em bandas de 0,05µm. Então calculou-se a área embaixo da curva
da Figura 3.9 para cada uma dessas bandas. O peso de cada uma delas foi definido
como sendo a porcentagem da área embaixo da curva da banda em relação à área total.
No ZEMAX inseriu-se apenas o comprimento de onda central de cada banda com o seu
“peso” correspondente (Tabela 3.1). Pesos que ficaram abaixo de 1% foram
desconsiderados e omitidos.
84
TABELA 3.1-Pesos da influência no sistema de cada uma das bandas para um objeto com temperatura de 7500°K.
Bandas em µm Peso
0,375-0,400-0,425 6,128393455
0,425-0,450-0,475 15,1583932
0,475-0,500-0,525 17,36663192
0,525-0,550-0,575 16,09224848
0,575-0,600-0,625 14,35041684
0,625-0,650-0,675 11,98687756
0,675-0,700-0,725 8,398849672
0,725-0,750-0,775 5,286067133
0,775-0,800-0,825 3,006711845
0,825-0,850-0,875 1,400106561
3.2.2 – O Detector
Ainda não se decidiu qual detector qualificado será usado no sensor. Apesar disso, sabe-
se que será um detector tipo APS que deve ser semelhante ao detector que está sendo
usado no protótipo. Desta forma, algumas características utilizadas nas simulações
foram extraídas deste detector: número de “pixels” (1024x1024), tamanho de cada
“pixel” (10µm), características de responsividade (Figura 3.7), não uniformidade,
conversão elétrons/volts, “fill factor”, etc.
O detector usado no protótipo é um detector comercial APS da Photobit modelo PB-
1024.
85
Na Figura abaixo, pode-se ver em escala o tamanho das imagens simuladas geradas pelo
sistema óptico adotado para os estudos deste trabalho em relação ao tamanho dos pixels
do detector adotado. As diferentes cores representam os diferentes comprimentos de
onda que foram inseridos no ZEMAX. A imagem simulada (a) é referente a um ponto
objeto localizado no eixo óptico, enquanto a (b) e a (c) são para objetos pontuais
colocados respectivamente a 5° e a 10° em relação ao eixo ótico.
FIGURA 3.10- Tamanho das imagens simuladas em relação aos pixel do detector, para diferentes regiões do CDV, (a) no eixo óptico, (b) a 5° e (c) a 10° em relação ao eixo óptico.
Apesar do tamanho das imagens simuladas serem bem maiores que um pixel, quando
elas são centralizadas em um deles a energia contida nele é, no pior dos casos, igual a
51% da energia total da imagem.
140µm 10µm
10µm
Dimensão dos pixels
(a) (b)
(c) Legenda dos comprimentos de onda (µm)
86
3.3 – Estudo dos Erros Sistemáticos
Os erros sistemáticos estudados foram divididos em duas classes: os erros de
interpolação e os erros de distorção. O primeiro é influenciado pelo formato do “spot”,
(resultado das aberrações ópticas que sofre o sistema), pelo algoritmo do centróide e
pela discretização do plano focal. Já o segundo é apenas influenciado pela distorção
óptica do sistema. Apesar da distorção também ser um tipo de aberração, ela não
influencia no formato do “spot”, por este motivo pode-se tratá- la separadamente.
Para se fazer os estudos dos erros sistemáticos por meio de simulação, foram usados
dois programas: o ZEMAX e o MATLAB. Em cada um deles foram desenvolvidas duas
rotinas para tal intuito. Uma para estudar os ESI, e outra para os ESD.
Para os estudos dos erros de interpolação o ZEMAX foi usado para gerar a imagem
simulada de uma estrela, ou seja, fazendo o papel da objetiva, enquanto no MATLAB
foi desenvolvida uma rotina que lê as imagens geradas pelo ZEMAX e faz o
processamento dos dados contidos na mesma, ou seja, fazendo o papel tanto do detector
formado de “pixels”, quanto da CPU do sensor, que analisa os dados coletados e faz o
cálculo da posição da estrela nas coordenadas do detector. Além disso, o MATLAB
também foi usado como ferramenta para fazer alguns cálculos e gerar alguns gráficos
desses erros.
Em relação aos estudos dos erros de distorção, o ZEMAX foi usado para extrair dados
do sistema óptico, enquanto o MATLAB foi usado para lê- los seqüencialmente,
armazená- los e gerar o gráfico, tornando assim possível a análise dos resultados.
3.3.1 – Rotina Desenvolvida no ZEMAX, para Estudo dos ESI
A rotina feita no ZEMAX tomou como base a sua linguagem de programação chamada
ZPL (Veja 0 Seção A.7). O que essa rotina faz é traçar raios provenientes de um ponto
objeto através do sistema óptico que estiver carregado no ZEMAX no momento de sua
execução. Isso é feito para objetos localizados em várias regiões do CDV do sistema.
Desta forma, pode-se simular a imagem do ponto objeto que se encontra em tal direção.
87
Os raios são traçados um a um passando pela pupila de entrada em círculos concêntricos
de forma recipolar (Cox, A., 1964), de modo que a razão do número de raios pelo
comprimento do círculo permaneça sempre constante. Isso é feito para cada
comprimento de onda que está definido no sistema óptico carregado.
A forma recipolar (Figura 3.11) de distribuição de raios na pupila de entrada é usada
para que os raios preencham toda a pupila, de modo que se tenha uma densidade
constante de raios, e para que não haja simetria. A simetria é quebrada, pois o valor
inicial de θ é diferente em cada círculo e segue a seguinte lei (Cox, A., 1964):
θ0=7.5.nda+15 (3.13)
Onde nda é o número do círculo.
FIGURA 3.11- Forma recipolar da distribuição dos raios na pupila de entrada de um
sistema óptico. Neste caso definiu-se um total de 10 círculos concêntricos.
Para cada ponto do CDV que os raios são traçados, a rotina salva os dados em um
arquivo de extensão txt. Nesse arquivo se encontram em forma de coluna os valores xr’
e yr’, que são as coordenadas cartesianas de interseção de cada um dos raios com o
plano imagem X’Y’. Na última linha dessas colunas também se encontram xpr’ e ypr’
que são as coordenadas cartesianas da interseção com o plano imagem do raio principal
do comprimento de onda definido como primário. Esse raio é traçado para servir de
comparação, pois essas coordenadas são as que o algoritmo de interpolação, através dos
θ
88
seus cálculos, deveria fornecer se não houvesse erro algum de interpolação.
Inicialmente as posições de xpr’ e ypr’ nos arquivos txt dos dados eram ocupadas pelos
valores de x0’ e y0’ paraxial (que teoricamente é a posição onde todos os raios provindos
de um ponto objeto atingiriam o plano imagem X’Y’ se não houvesse nenhum tipo de
aberração) calculados a partir das equações:
)tan('0 αfx = (3.14)
)tan('0 βfy = (3.15)
Onde “f” é distância focal efetiva da objetiva, e α e β são respectivamente os ângulos
entre o eixo Z e as projeções da reta que vai do ponto objeto ao eixo óptico (eixo Z) na
posição em que se encontra a pupila de entrada nos planos XeZ e YeZ (Figura 3.12).
FIGURA 3.12- Os ângulos α e β no sistema adotado.
Porém, quando se comparava o valor do centróide calculado com esses valores, o que se
obtinha era um erro da posição do ponto imagem (nesse caso a estrela) influenciada
tanto pelos erros de interpolação quanto pela distorção. O que se fez foi tratar esses
erros separadamente como já foi dito. Isso é teoricamente legítimo, pois a distorção,
como visto no Capítulo 2 através das Equações 2.10 e 2.22, apenas influencia na
β
α
Pupila de entrada
Ye
Xe X’
x0’y0’
Y’
Ponto objeto
Eixo óptico(Z)
Plano focal Raio Principal
89
posição do “spot” e não no seu formato, ou seja, apenas influencia na posição do raio
principal e não na posição relativa dos outros raios em relação ao raio principal.
Além das colunas contendo as coordenadas cartesianas de interseção de cada raio com o
plano imagem, em cada arquivo gerado pela rotina existe ainda uma terceira coluna
onde são salvos os “pesos” de cada raio, que indicam a influência de cada um deles no
sistema. Esses valores são relativos, variam de zero a um, e são calculados pela
multiplicação do “peso” normalizado do comprimento de onda do raio em questão
definido no ZEMAX (Seção 3.2.1.2), pela transmitância calculada dentro da rotina ZLP
que esse tem através da objetiva. Por este motivo é que nos cálculos dos “pesos”
mostrados na Seção 3.2.1.2, não se levou em conta a transmitância da objetiva.
Como comentado no primeiro Capítulo, os estudos são feitos apenas em um quadrante
do detector e ao longo de apenas um dos eixos devido à simetria existente. Porém,
como foi visto no Capítulo 2, a distribuição de energia no plano focal referente a uma
estrela varia com a distância dela ao eixo óptico, e também como se pode ver em alguns
trabalhos (Alexander, 1991; Birnbaum, 1996; Cox, J., 1981; Goss, 1975; Hancock et al.,
2001; Magnani, Pieri e Romoli, 1992; Rufino e Accardo, 2003; Salomon e Glavich,
1980) o erro de interpolação, devido a uma dada distribuição de energia da imagem de
uma estrela, varia com a posição relativa dela ao longo de um “pixel”. Com isso, deve-
se gerar imagens em várias regiões desse quadrante e ainda que ocupe várias posições
dentro de cada “pixel”.
Portanto, a princípio, para estudar os erros no quadrante em questão ao longo do eixo
X’, pensou-se em gerar imagens simuladas ao longo de todas as linhas do detector com
várias amostragens em cada um dos “pixel”. Contudo, com isso ter-se- ia um processo
computacional inviável para geração dessas imagens, pois a linguagem ZPL é uma
linguagem do tipo macro, ou seja, interpretada, tornando-a assim muito lenta.
Foi possível reduzir drasticamente o processo computacional, baseando-se nos seguintes
aspectos:
90
1) Sabe-se que o formato do “spot” muda ao longo do CDV, porém, se pegarmos
uma região muito pequena, o “spot” tende a variar pouquíssimo dentro dessa
região. Então, para dois ou três “pixels” adjacentes, o formato do “spot” ou a
distribuição de energia na imagem de um ponto objeto são praticamente os
mesmos. Com isso, não é necessário gerar várias imagens simuladas dentro de
cada “pixel”, o que se pode fazer é gerar uma e depois deslocá- la ao longo do
“pixel” ou “pixels” adjacentes.
2) Pela mesma razão, não se faz necessário gerar imagens simuladas ao longo de
toda linha, e muito menos ao longo de todas as linhas. O que se pode fazer é
estudar os ESI em algumas regiões do CDV. Desta forma pode-se ver como
esses erros se comportam em cada uma dessas regiões, e também como eles
evoluem ao longo do CDV.
Pensando desta forma o que se fez foi dividir o CDV em regiões, onde, para cada uma
delas, gerou-se uma imagem simulada. Essa, por sua vez, é deslocada ao longo de
alguns “pixels” adjacentes quando lida pela rotina em MATLAB.
A princípio essa rotina, que gera imagens simuladas de estrelas ou pontos objetos,
funciona para qualquer sistema óptico modelado no ZEMAX que não sofra de
“vignetting”. É claro que, para cada estudo em particular, o usuário talvez tenha que
modificar alguns parâmetros. Por exemplo: o número de amostragens no CDV, o
número de círculos de raios traçados na distribuição recipolar, entre outros.
Para este caso específico, dividiu-se o primeiro quadrante do campo de visada em 12x12
partes (12 ao longo do eixo X’e 12 ao longo do eixo Y’), onde, para cada uma delas, foi
gerada uma imagem simulada, dando um total de 144 imagens. Essas foram geradas
traçando-se 40 círculos na distribuição recipolar para cada comprimento de onda
definido no arquivo do ZEMAX do sistema óptico usado. Esse número foi escolhido
com base em um pequeno estudo de amostragem feito, onde se observou por meio de
um gráfico a mudança dos ESI quando se variava o número de círculos na distribuição
recipolar. Variou-se o número desses de 20 a 70 com um passo de 10. Analisando a
91
variação do gráfico, e o tempo que o computador demora a gerar a imagem simulada,
chegou-se à conclusão que 40 círculos seria um número razoável.
Essa rotina encontra-se na forma de texto no APÊNDICE B Seção B.1, exatamente da
forma que foi usada para este estudo.
3.3.2 – Rotina Desenvolvida no MATLAB para Estudo dos ESI
O que a rotina em MATLAB faz é ler cada um dos arquivos txt gerados pela rotina do
ZEMAX, alocando os valores numéricos desse em uma matriz com três colunas (xr’, yr’,
“peso”), que recebe o nome de Matriz da Posição de Interseção dos Raios (MPIR).
Em seguida, ela cria uma matriz chamada Matriz Detector Virtual (MDV) com o
mesmo número de elementos (linhas e colunas, que neste caso é de 1024 por 1024) que
teria o detector, a fim de fazer o seu papel.
A partir daí, faz a leitura da primeira até a penúltima linha da MPIR localizando, através
de uma sub-rotina lógica, qual o endereço (linha e coluna do “pixel”) da MDV que cada
raio atinge, somando o valor do seu “peso” ao elemento em questão.
Depois de distribuir todos os raios pela MDV, o passo seguinte é achar o endereço do
elemento dessa matriz que tenha o maior valor, ou seja, no qual caiu a maior parte da
energia proveniente do ponto objeto. Esse elemento será o centro da sub-matriz usada
para o cálculo do centróide. O valor que é usado como sinal de cada “pixel”, para tal
cálculo, é justamente a soma dos valores dos “pesos” de cada raio que o atingiu.
Os valores do centróide calculados tanto no eixo X’, chamados de xc’, como em Y’,
chamados de yc’, para essa posição do “spot”, são guardados cada um em matrizes
chamadas respectivamente de: Matriz dos Centróides Calculados em X (MCCX) e
Matriz dos Centróides Calculados em Y (MCCY), onde o número da linha e o número
da coluna são respectivamente o número da medida ao longo do eixo X’ e o número da
medida ao longo do eixo Y’. Os valores da última linha da matriz MPIR, que são os
valores xpr’ ypr’ da interseção do raio principal com o plano focal, também são
guardados em matrizes semelhantes a MCCX e MCCY, que recebem o nome de Matriz
92
dos Centróides Teóricos em X (MCTX) e Matriz dos Centróides Teóricos em Y
(MCTY).
Em seguida, esse mesmo “spot” é deslocado na direção de X’ para uma nova posição.
Isso é feito somando-se a cada elemento da primeira coluna da MPIR um certo valor
que é fração de “pixel” (no nosso caso é de um vigésimo de “pixel”). Desta forma, o
“spot” se desloca ao longo do eixo X’, sem que seu formato mude. Nessa nova posição,
os centróides (xc’e yc’) são novamente calculados, e assim como os novos valores de
xpr’ ypr’ eles são armazenados nas matrizes destinadas a isso. Repete-se o processo até
que o “spot” tenha percorrido alguns “pixels” (no nosso caso três).
No passo seguinte, a rotina lê o próximo arquivo txt que foi gerado pelo ZEMAX e
repete o procedimento anterior descrito, até que todos esse arquivos txt tenham sido
lidos.
Essa rotina, a princípio, funciona para arquivos txt gerados pela rotina do ZEMAX para
qualquer sistema óptico. É claro que, dependendo do estudo, alguns parâmetros do
algoritmo precisam ser modificados, por exemplo: o nome dos arquivos txt a serem
lidos, o tamanho do “pixel”, o número de “pixels” que possui o detector, o passo do
deslocamento da imagem da estrela dentro do “pixel”, o deslocamento total de cada
“spot”, entre outros.
Este algoritmo se encontra no APÊNDICE C Seção C.1 exatamente do modo que foi
usado para fazer estes estudos.
3.3.3 – Aplicação das Rotinas para o Estudo dos Erros ESI
O que se fez primeiramente foi executar a rotina desenvolvida no ZEMAX para o
projeto óptico usado para este estudo. Desta forma, as imagens simuladas foram geradas
para o sistema em várias regiões do CDV (um total de 144) referentes ao seu primeiro
quadrante. Em seguida, usou-se a rotina desenvolvida no MATLAB para ler cada
imagem simulada e executar todo o procedimento já explicado anteriormente.
93
Em seguida, para analisar os erros, gerou-se um gráfico de xc’ pelo respectivo valor do
ESI ao longo do eixo X’ definido como (xc’- xpr’). Tal gráfico se encontra na Figura
3.13; este nos fornece justamente os ESI dados em valores de “pixels”, ao longo do eixo
X’, para doze posições no eixo Y’ espaçadas igualmente ao longo do primeiro
quadrante. Observando a Figura 3.13 pode-se ter uma noção da variação da amplitude
do erro sistemático de interpolação ao longo da posições da estrela no CDV do sensor.
0 80 160 240 320 400 480
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
ypr' = 240
ypr' = 280
ypr' = 320 ypr' = 360 ypr' = 400 ypr' = 440
ypr' = 0
ypr' = 40
ypr' = 80 ypr' = 120 ypr' = 160 ypr' = 200
ESI
(pix
els)
x'c(pixels) FIGURA 3.13- Gráfico dos ESI ao longo do eixo X’ para várias regiões do CDV do
primeiro quadrante. Cada cor de linha representa uma posição fixa em relação ao eixo Y’.
Por meio das Figuras 3.14 3.15 e 3.16, que mostram, respectivamente, os erros
sistemáticos nas posições de X’ próximo ao eixo óptico, próximo ao centro do CDV do
primeiro quadrante, e na borda do CDV do primeiro quadrante, pode-se visualizar a
periodicidade da variação intra “pixel” do erro que ocorre para “pixels” vizinhos ou
muito próximos um dos outros. Contudo, ao comparar estas Figuras pode-se ver sua
variação na forma e amplitude ao longo do CDV.
94
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
-0,1
0,0
0,1
ypr'= 240 ypr'= 280 ypr'= 320 ypr'= 360 ypr'= 400 ypr'= 440
ypr'= 0 ypr'= 40 ypr'= 80 ypr'= 120 ypr'= 160 ypr'= 200
ESI (
pixe
ls)
x'c(pixels) FIGURA 3.14- Vista aproximada da Figura 3.13 para a região de X’ próximo de zero.
Através desta, pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”.
239,0 239,5 240,0 240,5 241,0 241,5
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45 ypr'= 240 ypr'= 280 ypr'= 320 ypr'= 360 ypr'= 400 ypr'= 440
ypr'= 0 ypr'= 40 ypr'= 80 ypr'= 120 ypr'= 160 ypr'= 200
ESI
(pix
els)
x'c(pixels) FIGURA 3.15- Aproximação da Figura 3.13 para a região de X’ próximo a metade do
CDV do primeiro quadrante. Através desta, pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”.
95
437,0 437,5 438,0 438,5 439,0 439,5
0,3
0,4
0,5
0,6 ypr'= 240 ypr'= 280 ypr'= 320 ypr'= 360 ypr'= 400 ypr'= 440
ypr'= 0 ypr'= 40 ypr'= 80 ypr'= 120 ypr'= 160 ypr'= 200
ESI (
pixe
ls)
x'c(pixels) FIGURA 3.16- Aproximação da Figura 3.13 para a região de X’ próximo do final do
CDV do primeiro quadrante. Através desta, pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”.
Fazendo-se algumas análises dos erros com a ajuda do MATLAB, constatou-se que o
módulo máximo do erro que se obteve para o sistema usado aqui é de 0,6203 “pixels” e
o RMS (valor quadrático médio) dos erros é de 0,3137 “pixels”.
3.3.4 – Rotina Desenvolvida no ZEMAX, para Estudo dos ESD
Como comentado anteriormente, separaram-se os erros sistemáticos estudados neste
trabalho em duas classes: os erros de interpolação e os erros de distorção. Nas seções
anteriores discutiu-se sobre o método de estudo dos erros de interpolação, agora
discutir-se-á a respeito dos erros de distorção.
A distorção de um sistema óptico é definida como sendo a diferença entre a altura
paraxial da imagem e a altura verdadeira da imagem (Smith, 1966), assim como mostra
a Equação 3.16
'' HHDistorção p −= (3.16)
96
Onde H’p é a altura paraxial, e H’ é altura do raio principal do comprimento de onda
definido como primário. H’p para sistemas ópticos simétricos é dado por:
)''(' 20
20 yxH p += (3.17)
Onde x0’ e y0’ são dados respectivamente pelas Equações 3.14 e 3.15.
Para extrair os dados da distorção do sistema foi desenvolvida uma rotina em ZPL para
o ZEMAX que traça apenas o raio principal do comprimento de onda definido como o
primário para várias regiões do CDV ao longo apenas do eixo X’, mantendo y’ igual a
zero. Com isso, conseguem-se diferentes valores de H’p variando apenas o valor de x0’,
tornando assim o algoritmo mais simples do que se tivesse que variar x0’ e y0’.
Cada vez que esse raio principal é traçado, é calculada a posição paraxial que ele
atingiria no plano focal através da Equação 3.8. Para cada região do CDV que isto é
feito, é criado um arquivo txt com esses dois valores, o de H’p e o de H’. Esta rotina se
encontra no Apêndice B Seção B.2 exatamente do modo que foi utilizada.
3.3.5 – Rotina Desenvolvida no MATLAB, para Estudo dos ESD
A rotina em MATLAB criada para tal estudo, simplesmente, lê cada um dos arquivos txt
criados pela rotina do ZEMAX descrita anteriormente e transforma os valores de H’p e
de H’ em unidade de “pixels”, guardando-os em vetores respectivamente chamados de
Hp e Hr (a rotina se encontra na Seção C.2 do Apêndice C). Assim, torna-se possível
gerar no próprio MATLAB um gráfico de Hr por Hp-Hr, a fim de se analisar os ESD
definido como sendo: ESD=( H’p-H’).
3.3.6 – Aplicação das Rotinas para o Estudo dos ESD.
Geram-se os dados suficientes para o estudo dos ESD executando a rotina desenvolvida
em ZPL, comentada na Seção 3.3.4, quando o arquivo do sistema óptico usado nos
estudos deste trabalho se encontra aberto no ZEMAX.
97
Em seguida, executa-se a rotina do MATLAB, comentada na Seção 3.3.5. Através das
ferramentas disponíveis no MATLAB, é possível gerar o gráfico de Hr por Hp-Hr, que é
justamente a distorção em função da altura da imagem.
A Figura 3.17 mostra o gráfico de Hr por Hp-Hr para o sistema óptico usado nos
estudos deste trabalho. Pode-se perceber que, para essa objetiva, os erros sistemáticos
devido ao fenômeno de distorção, podem alcançar 2,91 “pixels”.
0 100 200 300 400 500 600 7000,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0 Distorção
Dis
torç
ão (p
ixel
s)
H' (pixels) FIGURA 3.17- Gráfico de H’ versus ESD, que é justamente a distorção em função da
altura da imagem. As unidades do gráfico estão em “pixel” (1”pixel”=10µm).
3.4 – Modelamento e Correção dos ESI e dos ESD
Como visto na Seção 3.3, os erros sistemáticos tanto de distorção quanto de
interpolação podem ser muito maiores do que a precisão que se deseja para o sensor. É
claro que tais erros dependem plenamente do sistema óptico e da geometria do detector
usados no sensor. A princípio, essa objetiva, por mais que respeite razoavelmente os
requisitos impostos na Seção 3.2.1, não serviria para o sensor, pois a precisão de
apontamento que se deseja para o sensor desenvolvido pelo INPE é menor que um
décimo de “pixel”. Por outro lado, modelando os erros tanto de distorção quanto de
98
interpolação, é possível tentar reduzi- los, por meio de uma função correção, de tal modo
a atender a precisão que se deseja.
Nesta Seção propõe-se um método de correção para cada erro sistemático estudado
neste trabalho. Em tese, estes métodos são válidos para qualquer sistema similar ao que
está sendo usado, ou seja, que tenha uma objetiva onde o plano focal é um detector
formado por “pixels”.
3.4.1 – Modelamento dos ESI
Olhando para as Figuras 3.14, 3.15 e 3.16 pode-se ver, como comentado anteriormente,
que os erros de interpolação em um eixo (X’ou Y’) são periódicos ao longo de “pixels”
vizinhos. Em Física, fenômenos com comportamento periódico são bem modelados por
séries de Fourier. Rufino e Accardo (2003), apesar de usarem em seu trabalho uma PSF
teórica para representar a distribuição de energia no plano focal proveniente de uma
estrela, também afirmam que os erros sistemáticos de interpolação podem ser
modelados por uma série infinita. Com isso, optou-se por modelar os erros sistemáticos
de interpolação por uma série de Fourier.
Por outro lado, também pode-se ver comparando as Figuras 3.14, 3.15 e 3.16 entre si
que o formato das curvas dos erros, por mais que seja periódica para “pixels” vizinhos,
muda para cada região do CDV. Como conseqüência os coeficientes da série de Fourier
não são modelados como constantes, mas sim como funções de xc’ e yc’.
A série de Fourier pode ser definida como uma expansão ou representação de uma
função em senos e co-senos como (Arfken e Weber, 1995):
]sencos[2
)(1
0
Lxn
Lxn
xf baan
nn
ππ++= ∑
∞
=
(3.18)
onde:
dxL
xnxf
LL
Lna ∫−=
πcos)(
1 (3.19)
99
dxL
xnxf
LL
Lnb ∫−=
πsen)(
1 (3.20)
Neste caso em específico, como os coeficientes da série não são constantes e sim
funções de xc’ e yc’, e, além disso, deve-se ter uma função correção dos erros
sistemáticos de interpolação para cada eixo, então:
]'
sen)','(
'cos)','([
2
)','()','(
'
1'
0''
Lxn
yx
Lxn
yxyx
yxf
cccnx
c
nccnx
ccxccx
b
aa
π
π++= ∑
∞
= (3.21)
]'
sen)','(
'cos)','([
2
)','()','(
'
1'
0''
Lyn
yx
Lyn
yxyx
yxf
cccny
c
nccny
ccyccy
b
aa
π
π++= ∑
∞
= (3.22)
onde:
')'(
cos)',''(1
)','( ''dx
Lxn
yxxfL
yxL
L ccxccnxa ∫−+=
π (3.23)
')'(
sen)',''(1
)','( ''dx
Lxn
yxxfL
yxL
L ccxccnxb ∫−+=
π (3.24)
')'(
cos)'','(1
)','( ''dy
Lyn
yyxfL
yxL
L ccyccnya ∫− +=π
(3.25)
')'(
sen)'','(1
)','( ''dy
Lyn
yyxfL
yxL
L ccyccnyb ∫− +=π
(3.26)
por simetria tem-se que:
),(),(''
pqqp aa nynx=
),(),(''
pqqp bb nynx=
100
),(),(''
qpqp aa nEnE−=
),(),(''
qpqp aa nEnE−=
),(),(''
qpqp aa nEnE−−=
),(),(''
qpqp bb nEnE−=
),(),(''
qpqp bb nEnE−=
),(),(''
qpqp bb nEnE−−=
onde:
E’=x’ ou E’=y’
Apoiando-se nesta teoria, pode-se modelar os erros sistemáticos de interpolação a fim
de corrigi- los.
3.4.1.1 – Rotina Desenvolvida em MATLAB para Cálculo dos Coeficientes da Série
de Fourier
Tendo em vista a teoria discutida na Seção anterior, desenvolveu-se uma rotina em
MATLAB para calcular os coeficientes da série de Fourier da função )','(' ccx yxf ao
longo do eixo X’ em diferentes regiões do CDV do primeiro quadrante, exatamente nas
mesmas onde se fez os estudos dos erros sistemáticos de interpolação (Figura 3.13).
Para calcular os coeficientes da série, como não se tinha a função )','(' ccx yxf (que é
justamente o que se deseja obter), e sim apenas os valores dessa para alguns pontos
dentro de cada uma das regiões onde se estudou os erros sistemáticos de interpolação, o
que se fez foi usar a seguinte relação do cálculo (Guidorizzi, 1997):
∫∫∫∫∫ ++++=−−
L
pn
p
p
p
p
p
L
L
Ldxxgdxxgdxxgdxxgdxxg ')'(...')'(')'(')'(')'(
3
2
2
1
1 (3.27)
101
onde p1,p2,p3...pn ∈ ]-L,L[
fazendo:
Lxn
yxxfxg ccx)'(
cos)',''()'( 'π
+= ou
Lxn
yxxfxg ccx)'(
sen)',''()'( 'π
+=
Com isso, criou-se uma rotina em MATLAB que para cada dois pontos consecutivos
encontra a equação de reta que passa por eles e assume essa como sendo a
função )','(' ccx yxf dentro do intervalo entre esses pontos. Então, integra nesse intervalo
ao longo de X’, o produto dessa Equação pela Equação )/'cos( Lxnπ e pela Equação
)/'sen( Lxnπ , onde no nosso caso pixel21
=L . Repete esse procedimento em todo o
intervalo que vai de –L a L (ou seja dentro de um “pixel”). Então, por meio da relação
3.27, obtêm-se os coeficientes da série de Fourier de )','(' ccx yxf para uma dada região
do CDV. Desta forma, a rotina calcula esses coeficientes para os erros sistemáticos de
interpolação em cada uma das regiões do primeiro quadrante do CDV onde eles foram
estudados, e os guarda em uma variável do MATLAB.
Usando as relações de simetria apresentadas na Seção 3.4.1, pode-se afirmar que tendo-
se os coeficientes da série de Fourier de )','(' ccx yxf para algumas regiões ao longo do
primeiro quadrante do CDV, então, possui-se também os coeficientes dessa série para
algumas regiões ao longo de todo o CDV. E ainda, que tendo-se os coeficientes de
)','(' ccx yxf , obtém-se também os coeficientes de )','(' ccy yxf para algumas regiões ao
longo de todo o CDV.
Não se pode usar “Fast Fourier Transform” (FFT) para se calcular os coeficientes da
série, pois os pontos do gráfico não são igualmente espaçados na abscissa, que é
justamente o eixo dos centróides calculados (Figuras 3.13,3.14, 3.15 e 3.16).
102
A rotina desenvolvida em MATLAB que calcula os coeficientes da forma explicada
nesta Seção, encontra-se na Seção C.3 do Apêndice C, exatamente da forma que se usou
neste trabalho.
3.4.1.2 – Modelamento da Variação dos Coeficientes ao Longo do CDV
Depois de se obter o conjunto de coeficientes da série de Fourier tanto para )','(' ccx yxf
e, como conseqüência, para )','(' ccy yxf em várias regiões do primeiro quadrante do
CDV, o passo seguinte foi gerar gráficos da variação de cada coeficiente com respeito a
xc’ e a yc’. Isso foi feito com o objetivo de se tentar achar uma função para cada um
deles dependentes de xc’ e yc’ a fim de se modelar a sua variação ao longo do CDV.
Para isso, o que se fez para cada um desses gráficos foi tentar ajustar curvas aos dados
com o auxílio do programa Origin 5.0. Testou-se ajustes usando-se de polinômios de
primeira a nona ordem, dentre outros tipos de funções. Porém, percebeu-se que para este
caso em específico a variação desses coeficientes, tanto ao longo de X’ quanto ao longo
de Y’, não foram descritos satisfatoriamente por nenhum tipo de função testada.
Descartou-se com conseguinte a possibilidade de achar uma função analítica que
descrevesse tal fenômeno satisfatoriamente, e se partiu para outro método.
Ao invés de se usar uma função analítica para o cálculo dos valores dos coeficientes
para qualquer posição do CDV, procurou-se estimá-las por meio de uma interpolação
linear em duas dimensões, usando para tanto os coeficientes encontrados da forma
descrita na Seção 3.4.1.1 como dados de entrada. Pensando desta forma, desenvolveu-se
uma rotina em MATLAB que faz tal interpolação linear em duas dimensões e calcula o
valor das funções )','(' ccx yxf e )','(' ccy yxf para qualquer local do CDV, e corrige a
posição interpolada da estrela da seguinte forma:
)','('' ' ccxcceric yxfxx += (3.28)
)','('' ' ccxcceric yxfyy += (3.29)
Onde x’ceric e y’ceric são as coordenadas da estrela com o ESI corrigido
103
Em tese, através do método proposto torna-se possível achar a posição da estrela no
plano focal com os erros de interpolação reduzidos.
Testou-se este método de correção em várias regiões ao longo do primeiro quadrante do
CDV. Os dados usados para aplicar o método foram adquiridos da mesma forma que os
dados usados para os estudos dos erros sistemáticos de interpolação (a rotina MATLAB
aplicada para gerar os dados nesses testes se encontra no Apêndice B Seção B.3), porém
com a diferença que as imagens simuladas das estrelas foram geradas exatamente entre
as regiões onde elas haviam sido geradas para os estudos dos ESI e cálculo dos
coeficientes das funções )','(' ccx yxf e )','(' ccy yxf (a rotina ZPL aplicada para gerar
imagem simulada das estrelas nesses testes se encontra no Apêndice B Seção B.3).
Assim, a princípio, por estar o mais longe possível das regiões nas quais esses
coeficientes foram calculados, acredita-se que o método foi testado nas posições mais
adversas possíveis.
Os dados, em cada região onde o método foi testado, foram adquiridos ao longo de três
“pixels” adjacentes com vinte amostras dentro de cada um deles.
O método de correção dos erros sistemáticos de interpolação foi testado com diferentes
números de coeficientes (de um a dezenove) das séries de Fourier que compõem as
funções )','(' ccx yxf e )','(' ccy yxf (para o teste do método utilizou-se a rotina do
MATLAB que se encontra na Seção C.5). Os resultados foram avaliados com base no
valor 3σ do ESI residual que se obtêm ao aplicar a correção com um determinado
número de coeficientes, onde σ é definido como:
n
ESIn
ii∑
== 1
2)(σ (3.30)
“n” é o número de pontos no primeiro quadrante onde o método de correção foi testado.
Logo abaixo, na Figura 3.18, pode-se ver o resultado do teste.
104
0 5 10 15 20
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
3σ E
SI (p
ixel
s)
No de coeficientes FIGURA 3.18- Gráfico do números de coeficientes usados para correção dos ESI versus
o seu valor 3σ residual que se obtém aplicando tais coeficientes.
Pode-se perceber pelo gráfico da Figura 3.18 que a partir de três coeficientes já se
obtém a precisão que se deseja, que é de um décimo de “pixel” (0,1 “pixel”), e a partir
de sete coeficientes o erro cai lentamente com o acréscimo de mais coeficientes.
3.4.2 – Modelamento dos ESD
A partir do gráfico mostrado na Figura 3.17 pode-se perceber que a curva de distorção é
bem suave e comportada, com isso, assumiu-se a possibilidade de modelá- la por meio
de um polinômio. A Figura 3.19 mostra o gráfico da distorção em função de H’,
juntamente com as curvas de polinômios de segunda, terceira, quarta e quinta ordem
ajustadas com o auxilio do MATLAB para tentar descrever o fenômeno. Na parte
inferior desta pode-se ver outro gráfico que mostra os ESD residuais resultante do ajuste
de cada polinômio.
105
FIGURA 3.19- Na parte superior está a distorção em função de H’ e curvas dadas por
polinômios ajustados para tentar descrever o fenômeno. Na parte inferior está um gráfico do ESD residual em função de H’ para cada polinômio ajustado.
Com os resultados obtidos através dos gráficos da Figura 3.19, chegou-se à conclusão
que é possível modelar os erros de distorção por polinômios, conseqüentemente, a
correção dos erros pode ser feita aplicando-se a seguinte seqüência de cálculos:
O primeiro passo é calcular H’ da seguinte forma:
22''' prpr yxH += (3.31)
106
Em seguida, aplica-se a correção em H’, obtendo como resultado H’p que é a altura da
imagem com a distorção corrigida.
∑=
+=g
i
iip HPHH
0
''' (3.32)
onde ∑=
g
i
iiHP
0
' é o polinômio de grau “g” usado para a correção.
Por fim, deve-se calcular os valores de x0’ e y0’ a partir de H’p, que já são as
coordenadas com a distorção corrigida.
'
''
'
'arctancos''0 H
xH
x
yHx pr
ppr
prp =
= (3.33)
'
''
'
'arctansen''0 H
yH
x
yHy pr
ppr
prp =
= (3.34)
Logo a seguir, na Figura 3.20, pode-se ver o resultado da correção dos ESD por meio de
polinômios de diferentes graus. O resultado é mostrado por meio do valor 3σ do ESD
residual que se obtém para os diferentes graus de polinômio. O valor σ para este caso é
definido como mostra a Equação 3.35, onde “n” é o número de pontos onde o método
de correção foi testado.
n
ESDn
ii∑
== 1
2)(σ (3.35)
Ao observar as Figuras 3.19 e 3.20 pode-se perceber que, a partir do polinômio de grau
quatro consegue-se um valor 3σ do ESD residual menor que um décimo de “pixel”, e a
partir do polinômio de grau cinco esse valor permanece praticamente constante por
volta de 0,0124 “pixels”. Estes baixos valores mostram que o método funciona bem.
107
0 2 4 6 8 10
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3σ E
SD (p
ixel
s)
Grau do Polinômio FIGURA 3.20- Gráfico do grau do polinômio usado para corrigir os ESD versus o valor
3σ do erro residual que se obtém.
Na prática, não se tem acesso aos valores xpr e ypr, os quais são valores de entrada das
Equações 3.31, 3.33 e 3.34 que fazem parte do procedimento do método de correção,
mas sim apenas aos x’c e y’c ou x’cesic e y’cesic; estes últimos são os mais próximos de xpr
e ypr. Assim, antes de se aplicar o método de correção dos ESD, é necessário que já se
tenha aplicado o método de correção dos ESI, para que se obtenha um melhor resultado.
Mesmo assim, como ainda há um erro residual nos valores de x’cesic e y’cesic em relação
aos valores xpr e ypr, pode-se concluir que os resultados da correção dos ESD são
dependentes do resultado da correção dos ESI.
Desta forma, os resultados apresentados na Figura 3.20 são válidos apenas quando se
está livre de qualquer erro de interpolação. Por outro lado, como pode-se perceber na
Figura 3.17, os erros de distorção são bem suaves, sendo praticamente iguais dentro do
intervalo de um “pixel”, o que já é maior que o valor 3σ do ESI sem nenhuma correção.
Portanto, o método de correção dos ESD para este sistema deve degradar pouco com os
erros residuais da correção dos ESI.
108
109
CAPÍTULO 4
TESTES E RESULTADOS
No Capítulo anterior, em resumo, foram apresentadas as metodologias dos estudos dos
erros sistemáticos de interpolação e de distorção óptica, e também as metodologias
propostas para se tentar corrigi- los. Alguns resultados da aplicação dessas últimas
metodologias foram apresentados para um caso particular. O que se faz neste Capítulo é
testar a metodologia apresentada para correção dos erros sistemáticos estudados neste
trabalho, em diferentes situações, e verificar como esses métodos de correção se
comportam. É claro que os resultados apresentados só são válidos para o sistema em
questão. Para cada projeto diferente devem ser feitos os mesmos testes mostrados aqui
de modo a avaliar o comportamento dos métodos de correção. O intuito do Capítulo é
mostrar alguns testes relevantes que devem ser feitos e como podem ser feitos, quando
se utilizar os métodos de correção propostos no Capítulo anterior. Além disso, pretende-
se mostrar os resultados de tais testes para o sistema adotado como exemplo, desta
forma verificando quais são os efeitos e degradações que podem ocorrem em diferentes
situações, e validando ou não o uso das metodologias de correção para o sistema em
questão.
Os testes realizados estão divididos em seções. Na Seção 4.1, verifica-se como o
método de correção se comporta para outras temperaturas de estrelas, usando os
mesmos coeficientes de correção calculados para estrelas de 7500°K. Na Seção 4.2,
analisa-se a sensibilidade dos métodos de correção quanto à variação da temperatura do
sistema no modo de operação do sensor. Na Seção 4.3, estuda-se a sensibilidade do
método de correção na presença de ruídos no sistema. Por fim, na Seção 4.4 analisa-se
como o método se comporta para um detector com “fillfactor” menor que 100%; mais
especificamente para um detector com 60% de “fillfactor”. Este último teste é o único
onde se recalculam os coeficientes da série pois, neste caso, se tem um outro sistema
devido à mudança na geometria do plano focal.
110
4.1 – Teste do Método de Correção dos Erros Sistemáticos de Interpolação para
Diferentes Temperaturas de Estrelas
O método de correção dos erros sistemáticos de interpolação, proposto e testado na
Seção 3.4.1.2 do Capítulo anterior, onde se assume que a estrela tem uma temperatura
de 7500°K, foi repetido da mesma forma para outras duas temperaturas de estrelas
(3000°K e 20000°K). Para isso, não se recalcularam os coeficientes da série, pois o que
justamente se deseja verificar é se o método de correção dos ESI funciona e quão bem
funciona para temperaturas de estrelas diferentes da que se utilizou para calcular os
coeficientes da série da função correção. Isso é feito, pois o sensor em si não sabe a
temperatura da estrela que ele imageia, portanto o método de correção deve funcionar
para qualquer temperatura de estrela presente dentro da faixa de magnitude que ele
trabalha.
As temperaturas escolhidas para o teste foram de 3000°K e de 20000°K, pois 99,077%
das estrelas no intervalo de magnitude de zero a cinco se encontram entre estas
temperaturas (segundo os cálculos de temperatura das estrelas feitos neste trabalho,
conforme descritos na Seção 3.2.1.3). Isso pode ser visto no histograma da distribuição
das temperaturas das estrelas na Figura 4.1 para este intervalo de magnitude.
O que muda no sistema óptico definido no ZEMAX, para o qual serão geradas as
imagens simuladas, são somente os pesos de cada um dos comprimentos de onda
definidos, pois, como visto na Seção 3.2.1.3, uma das características usadas para o
cálculo da influência de cada comprimento de onda no sistema é justamente a emitância
espectral do objeto, que depende de sua temperatura. Na Figura 4.2 pode-se ver a
influência dos comprimentos de onda no sistema quando se tem como objeto estrelas de
3000°K, 7500°K e 20000°K. Na Tabela 4.1, encontram-se os pesos de cada banda para
cada temperatura de estrela. No ZEMAX, inseriu-se apenas o comprimento de onda
central de cada banda com o seu peso correspondente, do mesmo modo que se fez para
7500°K comentado no Capítulo anterior.
111
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 240
50
100
150
200
Fre
quên
cia
Temperatura das estrelas (103 oK) FIGURA 4.1- Histograma de temperatura das estrelas com largura de 500°K na faixa de
magnitude visual de zero a cinco.
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,20,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
3000oK
7500oK
20000oK
P
λ(µm) FIGURA 4.2- Gráfico da influência de cada comprimento de onda no sistema para
diferentes temperaturas de estrelas.
112
TABELA 4.1-“Pesos” da influência no sistema de cada uma das bandas para diferentes temperaturas de estrelas. Pesos abaixo de 1% foram omitidos da Tabela e não foram usados no ZEMAX.
3000°K 7500°K 20000°K Temperatura
Bandas (µm) “Peso” “Peso” “Peso”
0,375-0,400-0,425 _ 6,128393455 11,07766369
0,425-0,450-0,475 3,214114996 15,1583932 21,74794818
0,475-0,500-0,525 6,853244029 17,36663192 19,82362667
0,525-0,550-0,575 10,42550153 16,09224848 15,36745646
0,575-0,600-0,625 14,25045242 14,35041684 11,78585776
0,625-0,650-0,675 16,94532854 11,98687756 8,709667529
0,675-0,700-0,725 16,02088139 8,398849672 5,507597471
0,725-0,750-0,775 13,03943379 5,286067133 3,177344066
0,775-0,800-0,825 9,330682212 3,006711845 1,673463609
0,825-0,850-0,875 5,264441358 1,400106561 _
0,875-0,900-0,925 2,445878104 _ _
0,925-0,950-0,975 1,051359353 _ _
O comprimento de onda primário definido no ZEMAX para essas novas temperaturas
de estrelas é o mesmo que se definiu para a estrela de 7500°K. Como isso não faz
sentido estudar os métodos de correção dos erros de distorção, visto que ele é calculado
em relação ao comprimento de onda primário, como explicado na Seção 3.3.4.
113
O método de correção dos erros sistemáticos de interpolação foi testado com diferentes
números de coeficientes para cada uma das estrelas, exatamente como foi feito
anteriormente para a estrela de 7500°K. O gráfico da Figura 4.3 mostra os resultados
obtidos, tanto para as estrelas de 3000°K, quanto para as de 20000°K, bem como para a
estrela de 7500°K que serve de comparação.
0 5 10 15 20
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
3000oK
7500oK
20000oK
3σ E
SI (p
ixel
s)
No de coeficientes FIGURA 4.3- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o seu valor
3σ residual para três temperaturas diferentes de estrelas.
Pode-se perceber da Figura 4.3 que, quando se aplica o método de correção com
qualquer número de coeficientes para as temperaturas das estrelas testadas, há uma
degradação do método em relação às estrelas de 7500°K. Isso é lógico tendo em vista
que os coeficientes foram calculados justamente para estrelas desta temperatura.
Os erros residuais para as estrelas de 20000°K são muito próximos aos de 7500°K com
uma diferença média entre os valores 3σ de 0,0109 “pixels”. Para estrelas de 20000°K,
verificou-se que, a partir de três coeficientes, consegue-se neste caso um valor 3σ que
atende às especificações do erro desejado. A partir de 7 coeficientes, assim como ocorre
para estrelas de 7500°K, o erro decai muito vagarosamente com o uso de mais
coeficientes.
114
Os piores resultados foram obtidos com as estrelas de 3000°K, cuja diferença média dos
valores 3σ em relação às de 7500°K é de 0,0727 “pixels”. Não obstante, com o uso de
três coeficientes, já se atinge um valor 3σ dentro do que se deseja, e é com este número
de coeficientes que se consegue o melhor resultado para estrelas desta temperatura. A
partir deste número de coeficientes, o erro tende a aumentar muito levemente, depois
volta a cair e permanece praticamente constante.
Por meio do gráfico da Figura 4.2, pode-se perceber porque o método funciona melhor
para as estrelas de 20000°K em relação às de 3000°K. Nesse gráfico, pode-se ver
claramente que a curva da influência de cada comprimento de onda para as estrelas de
7500°K está muito mais próxima da curva de 20000°K do que a de 3000°K.
Apesar da metodologia ter sido testada apenas para outras duas temperaturas de estrela,
acredita-se que para estrelas com temperaturas superiores a 3000°K e inferiores a
20000°K se conseguem resultados melhores dos que os obtidos aqui, porque essas
temperaturas representam extremos dentro da faixa de magnitude de interesse. Com
isso, pode-se afirmar que, neste sistema, para 99,077% das estrelas entre a magnitude
visual de zero a cinco se consegue, aplicando o método de correção de interpolação na
ausência de ruído e para a temperatura do sistema constante a 20°C, um erro 3σ menor
ou igual à 0,0940 “pixels”.
4.2 – Testes dos Métodos de Correção para Diferentes Temperaturas Ambientais
do Sistema
Nesta Seção, estuda-se a sensibilidade dos métodos de correção, tanto de interpolação
quanto de distorção, com relação à variação de temperatura do sistema.
Para tanto, aplicam-se os métodos de correção para imagens simuladas geradas quando
o sistema se encontra a 15°C e 25°C, que são geralmente os limites do controle térmico
do modo de operação para sistemas ópticos embarcados em satélites. Isso é feito
usando-se os mesmos coeficientes que foram calculados para estrelas de 7500°K com o
sensor a 20°C. As simulações e estudos do método de correção dos erros de
115
interpolação serão feitos para estrelas de temperaturas 3000°K, 7500°K e 20000°K,
enquanto as simulações do método de correção dos erros de distorção serão realizadas
apenas para um deles, pois como já comentado na Seção anterior, o comprimento de
onda adotado como primário é o mesmo independente da temperatura da estrela.
Estas análises se fazem necessárias dado que um sistema óptico pode mudar muito suas
características dependendo da temperatura em que ele se encontra. Essas mudanças são
decorrentes de variações na geometria das lentes, (e.g, curvatura e espessura), do
suporte mecânico onde as lentes estão montadas e variações das propriedades ópticas do
vidro, como comentado nas Seções A.5 e A.9. Nas simulações realizadas, todos estes
fenômenos foram levados em conta, visto que o ZEMAX é capaz de simulá- los.
A temperatura ambiente “default”, quando se define um sistema óptico no ZEMAX, é
de 20°C. A partir dos dados da objetiva nesta temperatura, o ZEMAX é capaz de
simular o sistema em outras temperaturas usando para tanto uma das suas ferramentas
chamadas de “Multi-configuration” (Seção A.9). Por meio desta foi possível estudar a
performance do método de correção em outras temperaturas dentro da faixa do controle
térmico do modo de operação do sensor. A única informação a mais que se inseriu no
ZEMAX foi o valor do coeficiente de expansão térmica do material da montagem
mecânica das lentes, que foi adotado como sendo de 24x10-6 o qual é o valor do
coeficiente de expansão térmica do alumínio. As informações sobre os coeficientes de
expansão térmica dos vidros do sistema, bem como seus coeficientes de variação das
propriedades ópticas, já se encontravam definidas no banco de dados de vidros (Seção
A.5).
Para testar o método de correção dos ESI, gerou-se as imagens simuladas com o sistema
a 15° e a 25°C, para estrelas de 3000°K, 7500°K e 20000°K. Os resultados obtidos das
correções se encontram nas Figuras 4.4, 4.5 e 4.6 logo a seguir.
116
0 5 10 15 20
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
20°C 15°C 25°C
7500oK3σ
ESI
(pix
els)
No de coeficientes FIGURA 4.4- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor de
3σ do erro residual para estrelas de 7500°K, quando o sistema se encontra em três temperaturas diferentes (15°, 20° e 25°C).
0 5 10 15 20
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
20°C 15°C 25°C
3000oK
3σ E
SI (p
ixel
s)
No de coeficientes FIGURA 4.5- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor de
3σ do erro residual para estrelas de 3000°K, quando o sistema se encontra em três temperaturas diferentes (15°, 20° e 25°C).
117
0 5 10 15 20
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
20°C 15°C 25°C
20000oK3σ
ESI
(pix
els)
No de coeficientes FIGURA 4.6- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor de
3σ do erro residual para estrelas de 20000°K, quando o sistema se encontra em três temperaturas diferentes (15°, 20° e 25°C).
Como se pode perceber, praticamente não houve diferenças entre os valores de correção
a 20°C e as demais, para as três temperaturas de estrelas testadas. Embora possa parecer
lógico haver pouca variação dos valores de correção, já que a faixa de temperatura do
modo de operação é bem estreita, este fato esconde certa complexidade. Nesta faixa de
temperatura, dependendo do projeto, o sistema pode ser instável termicamente de modo
a decair muito a resolução. Como conseqüência pode-se ter uma mudança grande no
formato do “spot” e como isso ocorrer uma queda drástica na performance no método
de correção. Essa instabilidade térmica, muitas vezes, pode ser conseqüência da
presença de alguns tipos de vidros que possuem uma variação alta, comparada com
outros vidros, nas suas características ópticas e/ou geométricas (devido a um alto índice
de expansão térmica), como por exemplo, o vidro PK51 do fabricante Schott.
A fim de testar o método de correção para os ESD, repetiram-se os procedimentos
descritos nas Seções 3.3.4 e 3.3.5 com o sistema simulado no ZEMAX nas temperaturas
de 15° e 25°C. Em seguida, aplicou-se o método de correção proposto na Seção 3.4.2
com exatamente os mesmos polinômios. Os resultados estão na Figura 4.7 tanto para as
temperaturas de 15° e 25°C como para a de 20°C, que serve de comparação.
118
0 2 4 6 8 10
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,03σ
ESI
(pix
els)
20oC
15oC
25oC
Grau do polinômio FIGURA 4.7- Gráfico do grau do polinômio usado para corrigir os ESD versus o valor
3σ do erro residual obtido, para três diferentes temperaturas ambientais do sistema(15°, 20° e 25°C).
Examinando-se o gráfico da Figura 4.7, pode-se observar que a correção realizada pelo
polinômio até o de grau três praticamente não evidencia diferença no valor 3σ entre as
temperaturas. A diferença se torna aparente a partir da correção com polinômio de grau
superior a três. Para todas as temperaturas, o valor 3σ se torna praticamente constante a
partir do polinômio de grau cinco, onde o pior resultado é de 0,0536 “pixels” na
temperatura de 25°C. Apesar deste valor ser bem maior que 0,0124 “pixels” que é o
valor 3σ obtido para a temperatura de 20°C, ele é muito menor que 2,6093 “pixels”, o
qual representa o valor do erro para esta temperatura sem correção, além de ser um
valor aceitável para os ESD.
4.3 – Teste dos Métodos de Correção na Presença de Ruído
Até o momento não se considerou, nas simulações, a presença de ruídos da eletrônica e
do detector. Isso porque o que se estudou, se modelou e se tentou corrigir até o
momento foram os erros sistemáticos, diferentes dos ruídos que produzem erros
aleatórios. No sistema real não é possível se livrar desses ruídos. Em vista do exposto, o
que se testa nesta Seção é o método de correção dos erros sistemáticos de interpolação e
119
distorção propostos neste trabalho, quando se tem a presença de ruído, verificando desta
forma suas performances nessa situação.
De acordo com Salomon (1979) citado por Matos (1997), os desvios padrão das
posições interpoladas em cada eixo causadas pelo ruído podem ser aproximados pelas
Equações 4.1 e 4.2 indiferentemente do tipo de interpolação.
u
px RSc /'
ασ = (4.1)
u
py RSc /'
βσ = (4.2)
onde “αp” e “βp” são respectivamente o intervalo angular equivalente a um “pixel” em
X’ e em Y’, “S/Ru” é a relação do sinal da estrela e o ruído total presente na sub-matriz
de interpolação.
O desvio máximo permitido causado pelo ruído deve ser igual a um décimo de “pixel”,
pois se não houvesse nenhum erro de interpolação, o erro causado pelo ruído estaria
dentro do especificado. Desta forma:
uE RSpixelc
301,03 ' =⇒=σ (4.3)
onde Ec’ representa tanto xc’ como yc’.
Segundo Matos (1997, 2003), os ruídos de um detector tipo CCD ou APS podem ser
modelados para cada um dos “pixels” através de uma distribuição normal cuja variância
é dada por:
( ) 222det
22 qeijijVij RVKV σσυσ ++++= (4.4)
onde “Vij” é o sinal gerado pela estrela no “pixel” “i,j”, “K” é o fator de escala de
conversão elétron/volts, “υ” é o valor da não-uniformidade de resposta dos “pixels” do
detector (1σ), “Rdet” é o ruído de leitura do detector, incluindo o ruído do sinal de
120
escuro, não uniformidade do sinal do escuro, ruído Johnson, etc (1σ), “σe” é o valor
eficaz do ruído da eletrônica de processamento do sinal (1σ), e “σq” é o ruído de
quantização da conversão do sinal de analógico para digital (1σ).
O sinal do detector em volts pode ser dado por (Matos, 1997):
∫= )()( λλλτ
dMRaAt
V io (4.5)
onde “τ” é a transmissão da óptica. “A” é a área da pupila de entrada da objetiva, “ti” é
o tempo de integração, “a” é a área do fotoelemento, “R(λ)” é a responsividade dos
elementos (V.cm2.µJ-1), e “M(λ)” é a irradiância espectral da estrela fora da atmosfera
terrestre.
No caso em questão a transmitância da óptica é função de λ, sendo descrita por duas
funções, a transmitância da objetiva τo(λ) e a transmitância do filtro τF(λ). Com isso τ=
τo(λ)τF(λ). Devido à sua dependência em λ, τ deve também ser integrado ficando:
∫= )()()()( λλλλτλτ dMRa
AtV Fo
io (4.6)
Para esses cálculos, diferente do que ocorre na Seção 3.2.1.3, pode-se utilizar os valores
médios da transmitância da objetiva por comprimento de onda apresentados no gráfico
da Figura 3.6, pois para esse fim não interessa a diferença de transmitância que ocorre
entre os raios, mas sim apenas a transmitância total da energia da estrela.
Apesar da saída de alguns detectores tipo APS já serem digitais (como no detector que
se está usando no protótipo do sensor do INPE), existe um fator de conversão de volts
para elétrons para números digitais em cada detector. No nosso caso este fator é de:
1volt = 80000 elétrons =256 números digitais.
Da Equação 4.6, pode-se ver que a resposta do sensor para um dado detector, um dado
sistema óptico, e um certo tempo de integração, varia com a irradiância espectral da
estrela M(λ). Por sua vez, esta varia tanto com sua magnitude visual, quanto com a sua
121
temperatura. Para estrelas com temperaturas de 3000°K, 7500°K e 20000°K com a
mesma magnitude visual, a que produz o menor sinal no sensor é a de 7500°K. Com
isso, primeiramente nas simulações com a presença de ruído, serão usadas estrelas desta
temperatura, com a menor magnitude que se consegue respeitando algumas relações
impostas. Estrelas com essas características são usadas, visto que, representam o pior
caso em termos de sinal, e são elas que limitam a magnitude visual que o sensor pode
trabalhar.
Em seguida, serão usadas estrelas de 3000°K com a temperatura do sistema a 25°C e
com a mesma magnitude visual calculada e usada nas simulações das estrelas de
7500°K. A novidade será que para essa serão estudadas as correções dos erros
sistemáticos de interpolação e distorção ao mesmo tempo. Essas características foram
escolhidas visto que obteve-se o pior resultado de correção dos ESI para estrela de
3000°K, enquanto a temperatura de 25°C justifica-se por que com ela obteve-se o pior
resultado do método de correção dos ESD.
Para gerar imagens simuladas das estrelas a fim de se estudar os ESI juntamente com os
ESD, usou-se a mesma rotina desenvolvida no ZEMAX apresentada na Seção 3.3.1,
com a diferença de que na última linha dos arquivos gerados por essa rotina encontram-
se os valores de x0’ e y0’(Equações 3.14 e 3.15), e não mais os valores de xpr’ e ypr’
(essa rotina se encontra na Seção B.4 Apêndice B).
As magnitudes de estrelas são quantidades comparativas, representadas por uma escala
logarítmica, em que a magnitude visual pode ser representada pela Equação 4.7 (Allen,
1973).
)/log(5,2 1221 ρρ=− VV mm (4.7)
onde:
/)()( 2mlumensdMRK om ∫= λλλρ (4.8)
122
e, “Km” é igual a 683 lumens/W em 555 nm, “Ro(λ)” é a resposta espectral do olho
humano, e “M(λ)” é a irradiância espectral da estrela fora da atmosfera terrestre.
Por analogia, a magnitude instrumental de uma estrela pode ser dada por (Matos, 1997):
)/log(5,2 1221 ooII VVmm =− (4.9)
Segundo Allen (1973), a magnitude visual de uma estrela é igual a zero quando a sua
irradiância espectral fora da atmosfera terrestre for de 4 x 10-9 erg/cm2/s/Å em 5500 Å.
Com isso, fazendo mI1 = mv1=0, para a estrela de 7500°K, juntamente com a Equação
4.9 e a integral numérica da Equação 4.6 feita com a ajuda do programa Origin 5.0,
obtém-se a relação:
100293655,0)( 4,0 VmstV Vmio
×−××= (4.10)
Com esta Equação, dada uma magnitude visual de uma estrela de 7500°K, pode-se
calcular o sinal total gerado no detector para um dado tempo de integração e vice-versa.
A magnitude usada no teste será aquela que gerar o menor sinal respeitando a relação
4.3. Para calcular este valor usam-se as seguintes relações:
oVS = ;
233
213
212
211 ... VVVVuR σσσσ ++++=
onde cada 2Vijσ representa a variância do “pixel” ij dentro da sub-matriz de interpolação
(Equação 4.4);
Com isso, juntamente com as Equações 4.3 e 4.4, chega-se à seguinte Equação do
segundo grau:
)(9)...(30 222det
233
221
213
212
211
2qeoo RVVVVVKVV σσυ +++++++++= (4.11)
123
O valor de )...( 233
221
213
212
211 VVVVV +++++ na pior das hipóteses para o sistema
usado aqui com a estrela de 7500°K é de 0,4830Vo2. Este valor foi calculado através de
uma sub-rotina implementada dentro da rotina desenvolvida em MATLAB para os
estudos dos erros sistemáticos (Seção 3.3.2).
O valor de )( 222det qeR σσ ++ foi estimado estatisticamente por meio de um
experimento usando o protótipo do sensor, por meio da aquisição de inúmeras imagens
no escuro. O valor obtido foi de 0,950 (Níveis Digitais) ND que é equivalente a
0,003711Volts.
Os valores de K e de υ foram extraídos do manual do detector usado no protótipo, e são
respectivamente iguais a: 1/80000 e 0,01.
Substituindo os valores na Equação 4.11 e a colocando em uma forma mais explicita
obtém-se:
011155,001125,095653,0 =−− oo VV (4.12)
Resolvendo a Equação 4.12, obteve-se que o resultado positivo Vo é de 0,347426 volts.
Este é o valor mínimo do sinal que se deve ter para que a relação 4.3 seja respeitada.
Usando esse valor na Equação 4.10, com um tempo de integração de 400ms (que é um
tempo relativamente alto) acha-se um valor de mv ≈3,8. Apesar de se desejar um sensor
que trabalhe com estrelas até a magnitude visual cinco, para que a relação 4.3 seja
satisfeita a magnitude máxima aceitável para uma estrela de 7500°K é
aproximadamente 3,8.
Para o sensor funcionar para estrelas de magnitude maiores, respeitando a relação 4.3,
seria necessário aumentar a relação sinal-ruído. Isso pode ser feito aumentando-se o
sinal ou diminuindo-se o ruído. Uma forma de se aumentar o sinal sem aumentar o
tempo de integração, seria aumentando a área efetiva da objetiva, ou seja, diminuir o
F/#. Já o ruído pode ser minimizado trocando-se o detector por um tecnologicamente
melhor que possua menos ruído, ou melhorando-se o projeto da eletrônica do sensor de
124
modo a minimizar o ruído. A eletrônica do protótipo do sensor usado nas medidas dos
ruídos comentada anteriormente foi feita sem muita preocupação com a sua presença,
pois ainda se encontra em fase de estudo, desenvolvimento e aperfeiçoamento. Com
certeza o modelo final de engenharia do sensor deve sofrer muito menos influência de
ruídos. Como o interesse deste trabalho não é discutir, muito menos resolver este
problema, usou-se a magnitude visual 3,8 nas simulações.
A rotina do MATLAB para as simulações foi a mesma descrita na Seção 3.3.2 usada
para os estudos dos ESI, com a diferença que nessa foi implementada uma sub-rotina
que converte primeiramente o sinal de cada “pixel” para volts, em seguida insere o
ruído em cada “pixel” e depois converte o sinal de cada um deles para digital. A partir
daí, a rotina segue sem nenhuma diferença (essa rotina se encontra na Seção C.6
Apêndice C).
Para converter o sinal da estrela de cada “pixel” para volts simplesmente o que se faz é
utilizar uma relação linear, onde o sinal total da estrela em volts (0,347426) está para o
sinal total da estrela usado até então nas simulações, o qua l é dado pela soma total do
peso normalizado dos raios que passam pelo sistema.
Para calcular o variância do ruído de cada “pixel” da MDV, a sub-rotina faz uso da
Equação 4.4 sem levar em conta a variância do ruído de quantização, onde os valores de
K e υ são os mesmos usados anteriormente, e o valor )( 22det eR σ+ foi calculado com
base no valor )( 222det qeR σσ ++ descontando-se a influência da variância do ruído de
quantização 2qσ , a qual foi tomado como sendo de uma distribuição uniforme com
intervalo de tamanho um. Então, com o valor Vijσ de cada “pixel”, juntamente com a
função que gera números aleatórios no MATLAB, a sub-rotina produz um sinal
aleatório para cada “pixel”, somado, em seguida, ao “pixel” correspondente da MDV.
O próximo passo é transformar o sinal analógico (volts) para digital (ND) com uma
resolução de oito bits; por este motivo é que foi descontado o ruído de quantização
125
anteriormente. Então a sub-rotina é encerrada, resultando “pixels” com seus valores em
números digitais e já com os ruídos.
Desta forma, ao se calcular o centróide a partir do sinal de cada “pixel” que está
influenciado pelo ruído, ter-se-á um desvio em relação ao valor calculado quando não
há ruído. Ao se aplicar os métodos de correção onde as entradas são justamente os
valores de xc’ e yc’, que estão com um certo desvio, conseqüentemente a correção será
gerada com um desvio ou erro, fazendo com que os erros residuais sejam maiores do
que quando não há ruídos.
Logo a seguir, na Figura 4.8, estão os resultados das simulações para as estrelas de
7500°K. Na Figura 4.9 estão os resultados das simulações para as estrelas de 3000°K.
Na primeira os resultados são referentes apenas à correção dos erros de interpolação
(Seção C.5 Apêndice C), enquanto na segunda os resultados são referentes aos dois
erros: tanto o de interpolação quanto o de distorção, onde este último erro foi corrigido
com um polinômio de quinto grau (Seção C.7).
0 5 10 15 20
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
3σ E
SI (
pixe
ls)
No de coeficientes FIGURA 4.8- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor de
3σ do erro residual obtido para uma estrela de 7500°K de magnitude visual 3,8 com o sistema a 20°C na presença de ruídos.
126
Comparando-se as Figuras 4.8 e 4.3, pode-se perceber que, para estrelas de 7500°K, a
presença do ruído degrada bastante a performance do método de correção proposto,
sendo que a média dos erros residuais na presença de ruído é 6,78 vezes maior do que a
média dos erros residuais quando não há ruídos. Os melhores resultados do valor 3σ que
se obtém com o método de correção na presença do ruído são da ordem de 0,104
“pixels”, o que já é um pouco maior do que o especificado que seria de um décimo de
“pixel”. Pode-se ver também, que a partir de cinco coeficientes, os erros residuais ficam
praticamente constantes.
Na Figura 4.9, mostrada logo abaixo, estão os resultados do método de correção dos
erros sistemáticos de interpolação e distorção na presença de ruídos para estrelas de
3000°K de magnitude visual 3,8 com o sistema a 25°C.
0 5 10 15 20
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
3σ E
SI (p
ixel
s)
No de coeficientes FIGURA 4.9- Números de coeficientes usados para correção dos ESI, versus o valor 3σ
obtido do erro residual na presença de ruídos para uma estrela de 3000°K de magnitude visual 3,8 com o sistema a 25°C. Os erros sistemáticos de distorção são corrigidos por um polinômio de quinto grau em todos os casos.
Acredita-se que este seja o pior caso para os métodos de correção, pois foi para estrelas
de 3000°K que se obteve o pior resultado nos testes do método de correção dos ESI. Foi
também na temperatura de 25°C que se obteve o pior resultado dos testes do método de
127
correção dos ESD e esta é a magnitude mínima exigida para que a relação 4.3 seja
atendida. Para a correção dos erros de distorção foi usado o polinômio de grau cinco em
todos os casos. O melhor resultado do valor 3σ do erro residual que se obteve foi da
ordem de 0,138 “pixels”, usando três coeficientes.
Apesar deste resultado ser 38% maior que o especificado, ele é 14,59 vezes menor que o
valor 3σ sem nenhum tipo de correção, e 7,33 vezes menor do que o valor 3σ do erro
sistemático quando se aplica apenas o método de correção dos ESD. É claro que os
resultados tendem a ficar melhores para estrelas de magnitudes menores.
4.4 – Teste do Método de Correção dos Erros Sistemáticos de Interpolação em um
Detector com “Fill Factor” Menor que 100%
“Fill factor” é um valor dado em porcentagem que indica a área efetiva dos “pixels” de
um detector sensível à luz. Até o momento considerou-se nas simulações que toda a
área do “pixel” é sensível à luz. Para alguns detectores, principalmente para CCDs de
última geração, isso pode ser verdade. Porém, não se pode dizer o mesmo para os
detectores tipo APS que tecnologicamente ainda não atingiram essa capacidade. Como
exemplo, o detector usado no protótipo de INPE que possui apenas 60% de “fill factor”.
Simula-se nesta Seção o detector como tendo este “fill factor” de 60%, a fim de
verificar o funcionamento do método de correção dos ESI para detectores desse tipo.
Para realizar esta simulação, apenas se modificou levemente a rotina do MATLAB
desenvolvida para os estudos dos ESI (Seção 3.3.2), fazendo com que sua sub-rotina
lógica que divide os raios não considere aqueles que atingem o espaço “morto” do
detector, como mostrado na Figura 4.10 (esse algoritmo encontra-se na Seção C.8).
FIGURA 4.10- Arranjo da arquitetura do “pixel” do detector usada nas simulações
quando se considera um “fill factor” menor que 100%.
Área do “pixel” sensível a luz
Espaço morto do “pixel”
128
Como não se tem acesso à arquitetura do “pixel”, ou seja, onde e como se encontra a
sua área sensível, considerou-se esta como sendo quadrada e centralizada no “pixel”, da
mesma forma que Cox, A. (1981) e Hancock et al. (2001) consideram em suas
simulações.
Para esse detector, repetiram-se os estudos dos ESI (Seção 3.3.3) e aplicou-se o método
de correção. Os coeficientes da série de Fourier da função correção foram recalculados
exatamente do mesmo jeito que se fez anteriormente na Seção 3.4.1.1. Isso deve ser
feito, pois ao se modificar a geometria do detector tem-se um novo sistema, diferente
das situações estudadas nas seções anteriores deste Capítulo onde simplesmente se tem
um caso particular que um dado sistema pode se encontrar.
A Figura 4.11 mostra um gráfico dos ESI ao longo do eixo X’ em várias regiões do
CDV do primeiro quadrante para estrelas de 7500°K. Esse gráfico é similar ao
apresentado na Figura 3.13. Olhando para essa e para aquela Figura pode-se observar a
diferença que se tem nos erros ao se modificar levemente a geometria do detector.
0 80 160 240 320 400 480
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
ypr' = 0 ypr' = 40 ypr' = 80 ypr' = 120 ypr' = 160 ypr' = 200
ypr' = 240 ypr' = 280 ypr' = 320 ypr' = 360 ypr' = 400 ypr' = 440
ESI (
pixe
ls)
x'c(pixels) FIGURA 4.11- ESI ao longo do eixo X’ para várias regiões do CDV do primeiro
quadrante. Cada cor de linha representa uma posição fixa em relação ao eixo Y’.
129
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
-0,1
0,0
0,1
ypr' = 240 ypr' = 280 ypr' = 320 ypr' = 360 ypr' = 400 ypr' = 440
ypr' = 0 ypr' = 40 ypr' = 80 ypr' = 120 ypr' = 160 ypr' = 200
ESI (
pixe
ls)
x'c(pixels)
FIGURA 4.12- Vista aproximada da Figura 4.11 para a região de X’ próximo de zero. Através desta pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”.
239,0 239,5 240,0 240,5 241,0
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
ypr' = 240 ypr' = 280 ypr' = 320 ypr' = 360 ypr' = 400 ypr' = 440
ypr' = 0 ypr' = 40 ypr' = 80 ypr' = 120 ypr' = 160 ypr' = 200
ESI (
pixe
ls)
x'c(pixels) FIGURA 4.13- Vista aproximada da Figura 4.11 para a região de X’ próximo à metade
do CDV do primeiro quadrante. Através desta pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”.
130
437,0 437,5 438,0 438,5 439,0
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
ypr' = 240 ypr' = 280 ypr' = 320 ypr' = 360 ypr' = 400 ypr' = 440
ypr' = 0 ypr' = 40 ypr' = 80 ypr' = 120 ypr' = 160 ypr' = 200
ESI
(pix
els)
x'c(pixels) FIGURA 4.14- Vista aproximada da Figura 4.11 para a região de X’ próximo do final
do CDV do primeiro quadrante. Através desta pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”.
As Figuras 4.12, 4.13 e 4.14 são, para este sistema, equivalentes respectivamente às
Figuras 3.14, 3.15 e 3.16.
Pode-se perceber que, para este sistema, em geral, os erros são maiores do que quando
se tem um “fill factor” de 100%. Isso já era de se esperar com base em outros trabalhos
(Hancock et al., 2001; Rufino e Accarde, 2003).
Na Figura 4.15 estão os resultados da aplicação do método de correção dos ESI para
estrelas de 3000°K, 7500°K e 20000°K. Os testes foram realizadas nas mesmas
posições e da mesma forma que se fez anteriormente na Seção 3.4.1.2 e na Seção 4.1 (os
dados usados na avaliação dos métodos de correção foram adquiridos através do
algoritmo da Seção C.9 Apêndice C).
131
0 5 10 15 20
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
3000oK
7500oK
20000oK
3σ E
SI (p
ixel
s)
No de coeficientes FIGURA 4.15- Números de coeficientes usados para correção dos erros sistemáticos de
interpolação versus o valor 3σ do erro residual para três temperaturas diferentes de estrelas.
Pode-se perceber no gráfico da Figura 4.15 que o pior caso ocorre para as estrelas de
3000°K, como era de se esperar, baseado na mesma justificativa dada anteriormente
para o sistema com “fill factor” de 100% (Seção 4.1). Para as estrelas de 7500°K e
20000°K, consegue-se um valor 3σ menor que 0,1 “pixel” só a partir de 5 coeficientes,
e o valor 3σ para estrelas destas temperaturas passa a ficar praticamente constante a
partir de 15 coeficientes. Já para as estrelas de 3000°K, o menor valor 3σ que se obtém
é com 7 coeficientes onde este é igual a 0,1074 “pixels”, que, apesar de ser um pouco
maior que um décimo de “pixel”, é bem menor que o valor 3σ inicial sem nenhum
método de correção, isto é 1,117 “pixels”.
Para este sistema pode-se também testar a eficiência do método de correção na presença
de ruído. Adotou-se a mesma metodologia da Seção 4.3, porém, com alguns valores
modificados.
O valor de )...( 233
221
213
212
211 VVVVV +++++ deve ser diferente devido à geometria do
detector. Conseqüentemente, ter-se-á um novo valor de mv para que a relação 4.3 seja
satisfeita. Com isso, um novo fator de conversão do sinal da estrela de cada “pixel” para
132
voltagem deve ser adotado. Antes de ser convertido para tensão o sinal de cada “pixel” é
obtido pela soma do peso normalizado dos raios que atingem sua área sensível. Desta
forma, a soma total do sinal de todos os “pixels” não é constante como ocorre para o
“fill factor” de 100%, pois, neste caso os raios que atingem a parte sensível de cada
“pixel” varia com a posição da imagem da estrela ao longo do detector. Para se achar o
fator de conversão para volts, utilizou-se o valor médio que se obtém da soma total do
peso normalizado dos raios que atingem a área sensível do detector para cada posição
que as imagens simuladas nos estudos dos ESI é colocada.
O pior valor que se obteve para )...( 233
221
213
212
211 VVVVV +++++ é de 1,420V0 2.
Usando este valor na Equação 4.11, onde os outros valores dessa são mantidos iguais
aos mesmos usados anteriormente, se obtém Vo= 0,36413, que é equivale a uma estrela
de mv≈3,77. Como este valor é muito próximo da magnitude que se usou na Seção 4.3,
então para essas simulações se manteve a mesma magnitude usada anteriormente. Isso
foi feito para se manter um padrão de forma que se possa comparar diretamente os
resultados deste sistema com o de “fill factor” de 100%.
O resultado dos métodos de correção para este sistema na presença ruído se encontram
no gráfico da Figura 4.16. Nela estão os resultados para a estrela de 7500°K com o
sistema a 20°C, e também para as estrelas de 3000°K com o sistema a 25°C. Para a
primeira os resultados são apenas do método de correção do ESI (os dados usados para
o teste do método de correção dos ESD foram gerados pela rotina da Seção C.10 e o
teste do método de correção feito pela rotina da Seção C.5), enquanto que para a
segunda tem-se o resultado conjunto tanto da aplicação do método de correção do ESI
quanto do ESD, o qual foi aplicado com um polinômio de quinto grau em todos os casos
mostrados no gráfico (os dados usados para o teste dos métodos de correção dos
ESD+ESD foram gerados pela rotina da Seção C.10 e o teste dos métodos de correção
feito pela rotina da Seção C.7).
133
0 5 10 15 20
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
ESI 7500oK-20oC
ESI+ESD 3000oK-25oC
3σ E
SI/E
SD+E
SI (p
ixel
s)
No de coeficientes FIGURA 4.16- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor
3σ do erro residual na presença de ruídos para estrelas de 7500°K e 3000°K de magnitude visual 3,8. Para aquela o sistema se encontra a 20°C, enquanto que para esta o sistema se encontra a 25°C. Seu ESD é corrigido por um polinômio de quinto grau.
O melhor resultado que se obtém na presença de ruído para estrelas de 7500°K, com o
sistema a 20°C e com mv=3,8, é de 0,1558 “pixels”. Consegue-se este resultado com
cinco coeficientes, a partir do qual o ESI permanece praticamente constante com a
adição de mais coeficientes.
Para as estrelas de 3000°K, com o sistema a 25°C que possuem uma mv=3,8, o melhor
resultado que se obtém com o método de correção dos ESI juntamente com os ESD na
presença de ruído é de 0,1799 “pixels”. Este é obtido com cinco coeficientes do método
de correção dos ESI. Acredita-se que este seja o pior caso que possa ocorrer para este
sistema quando a Equação 4.11 é respeitada. O erro residual neste caso é quase 80%
maior que o erro desejado, porém, pode-se observar através do gráfico da Figura 4.16
que, o método de correção reduz muitas vezes o erro inicial, mostrando desta forma, a
sua eficiência. O erro inicial 3σ total (tanto de interpolação quanto de distorção) para
este último caso, sem nenhum tipo de correção, é de 2,0644 “pixels”. Só a aplicação do
método de correção dos ESD com o polinômio de quinto grau já o reduz 52% fazendo-o
134
cair para 1,0755 “pixels”, e como mostrado, pode chegar até a uma redução de 87,14%
quando se aplicam os métodos de correção dos ESI e ESD simultaneamente.
Ao observar os resultados adquiridos tanto para o sistema com “fill factor” de 60%
como para o de 100% pode-se perceber que, de uma maneira geral para o sistema óptico
usado no trabalho, o sistema com 100% de “fill factor” obteve melhores resultados do
método de correção dos erros sistemáticos de interpolação e distorção.
Todos os estudos realizados até o momento dizem respeito à precisão relativa de se
localizar uma única estrela no CDV do sensor. Todavia, um sensor de estrelas autônomo
não utiliza apenas uma estrela para determinar sua atitude de apontamento. No mínimo,
são necessárias duas estrelas. Segundo Birnbaum (1996), o erro do sensor (Es) é igual à
razão entre o erro que se tem de uma única estrela e a raiz quadrada do número de
estrelas usadas na determinação da atitude (Equação 4.13). Esta Equação também pode
ser encontrada no trabalho de Liebe (1995).
e
es
N
EE = (4.13)
onde “Es” é o erro de apontamento do sensor em um eixo, “Ee” é o erro da posição
relativa de uma única estrela em um eixo, e “N e” é o número de estrelas usadas na
determinação da atitude.
Embora o número mínimo de estrelas para se determinar a atitude seja duas, a maioria
dos algoritmos utilizam-se de mais estrelas.
Se o menor valor 3σ de todos os casos analisados, apenas dos ESI sem nenhuma
correção, que é igual a 0,92244∗ “pixels”, for aplicado na Equação 4.13 a fim de se
calcular o valor mínimo de estrelas que se deve usar na determinação da atitude, de
modo a se obter uma precisão de um décimo de “pixel” para o sensor, se chegará que o
número mínimo de estrelas necessárias é igual 85.
∗ Esse valor é referente ao sistema com “fill factor” de 100% para estrelas de 20000°K com o sistema a 25°C na ausência do ruido.
135
Por outro lado, se os mesmos cálculos forem feitos com o menor valor 3σ do pior caso
analisado da aplicação dos métodos de correção dos ESI juntamente com os ESD, que é
de 0,1799∗∗ “pixels”, se chegará que esse número mínimo de estrelas é igual 4.
∗∗ Esse valor é referente ao sistema com “fill factor” de 60% para estrelas de 3000°K com o sistema a 25°C na presença do ruído.
136
137
CAPÍTULO 5
CONCLUSÕES
Neste Capítulo se apresenta uma retrospectiva mostrando o que se estudou e se
aprendeu, juntamente com as conclusões gerais e contribuições que se produziu no
decurso dos estudos realizados que serviram de meio para que fosse possível o
desenvolvimento deste trabalho. Mais adiante também são apresentadas e discutidas as
conclusões obtidas dos métodos propostos, tanto para estudo como para correção dos
erros sistemáticos inerentes a um sensor estelar, estudados aqui.
Também são propostas melhorias em relação ao trabalho realizado, juntamente com
idéias de trabalhos futuros que surgiram durante o desenvolvimento deste, porém que
fogem do objetivo principal.
5.1 – Conclusões Gerais e Retrospectiva aos Capítulos
Por meio da leitura de artigos especializados, os quais deram embasamento para a
redação da introdução do primeiro Capítulo, pode-se chegar à conclusão a respeito do
rumo tecnológico dos sensores de atitude usados na área espacial, aonde vem se usando
cada vez mais sensores de estrelas, os quais atualmente representam inúmeras vantagens
em relação a outros sensores. Desta forma despertou-se o interesse pelo assunto, o que
resultou na interação das pesquisas e desenvolvimento do projeto do sensor de estrelas
desenvolvido pelo INPE, através da qual chegando-se à conclusão de que se faz
necessário explorar mais esse assunto de modo que se possa desenvolver um sensor de
estrelas com a precisão da ordem dos desenvolvidos atualmente pelos grandes centros
tecnológicos do mundo.
No segundo Capítulo expuseram-se as noções básicas aprendidas na literatura sobre o
que vem a ser um sensor de estrelas de atitude, os tipos, formas de operação e a
evolução dos detectores usados por eles. Com isso, pode-se chegar a conclusão que
apesar de sensores de estrelas serem usados desde a década de 60 no controle de atitude
138
de veículos espaciais, e os estudos de desenvolvimento a respeito desse tipo de sensor
só terem começado há apenas alguns anos no Brasil, o INPE vem desenvolvendo um
sensor de estrelas que pode ser classificado como de última geração, pelo seu tipo
(cabeça fixa e autônomo) pelo detector usado (APS), e tecnologia da eletrônica adotada
para ele (usando PLDs).
Grande parte do Capítulo 2 ainda foi dedicada à apresentação da teoria sobre aberrações
ópticas, que são uma das principais causas dos erros estudados neste trabalho, porém
pouco levada em conta nos trabalhos que tratam desse assunto e talvez a menos
conhecida na área de concentração do mestrado em que este trabalho foi desenvolvido.
Por meio desse Capítulo pode-se chegar à conclusão de como é importante considerar
os efeitos do sistema óptico na formação da imagem das estrelas para o estudo dos erros
sistemáticos de interpolação, e não simplesmente usar uma distribuição teórica, como
por exemplo a Gaussiana, muito usada em outros trabalhos para simular a imagem da
estrela.
As causas dos erros de interesse deste trabalho foram estudadas, compreendidas e
apresentadas de uma forma mais profunda no Capítulo 3. Estes estudos, juntamente com
os estudos sobre o funcionamento do sensor que está sendo desenvolvido pelo INPE
realizado no Capítulo 2, e com o conhecimento adquirido em literatura especializada,
pode-se ter idéia de alguns dos erros sistemáticos que podem influenciar na precisão do
sensor desse tipo. Com base nisso, tornou-se possível definir o problema e a forma que
seria estudado.
Ainda no Capítulo 3, durante a definição das características do sistema óptico que se
usou no trabalho, acredita-se ter contribuído com que diz respeito ao pequeno estudo
realizado quanto à variação da luminosidade no detector ao longo do CDV, quanto à
escolha do filtro, quanto às técnicas usadas para se chegar a um projeto do sistema que
atendesse aos requisitos, e principalmente quanto ao método proposto para o cálculo da
temperatura média das estrelas na faixa de magnitude de interesse.
Um apêndice que vale a pena comentar, embora não faça parte do corpo do trabalho, é o
Apêndice A. Sua elaboração foi possível através de muita dedicação, estudo da teoria
139
óptica e muitas horas despendidas no entendimento e aprendizagem do programa
ZEMAX, que foi a ferramenta principal para a elaboração deste trabalho. Como esse
não é um programa usual na área de concentração do mestrado na qual este trabalho foi
realizado, achou-se coerente a sua apresentação ao leitor. No decurso dos estudos que
deram origem a esse Capítulo chegou-se a conclusão de que o ZEMAX é uma
ferramenta muito poderosa que pode ser usado para simular o sistema óptico de um
sensor de estrelas a fim de se fazer os estudos dos erros sistemáticos abordados por este
trabalho.
5.2 – Conclusões e Avaliação dos Resultados dos Métodos Propostos de Estudo e
Correção dos Erros Sistemáticos
Um método de estudo dos erros sistemáticos inerentes da posição relativa das estrelas
em um sensor estela r foi proposto. Ele foi desenvolvido por meio de simulações e
considera vários efeitos ignorados em muitos trabalhos da área, como por exemplo: os
efeitos introduzidos pelo sistema óptico na formação da imagem da estrela e sua
variação ao longo do CDV. Além disso, o método é apresentado de forma bem mais
clara e detalhada do que qualquer trabalho que o autor tem conhecimento. Apesar da
aplicação do método ter sido apresentada para um sistema específico, teoricamente ele
pode ser aplicado para qualquer sistema do mesmo tipo. O método proposto possibilita
avaliar e caracterizar a precisão de um sensor estelar quanto aos erros sistemáticos
inerentes da posição relativa das estrelas. Além disso, o método foi de extrema
importância para entender a natureza e comportamento dos erros, dando a base
necessária para que se pudesse propor um método de correção.
Os métodos de correção propostos aqui, como visto nos Capítulos 3 e 4, podem
possibilitar uma redução de muitas vezes nos erros sistemáticos estudados neste
trabalho. Apesar de terem sido testados para um sistema específico, o embasamento
teórico dos métodos possibilita a sua aplicação em qualquer sistema do mesmo tipo. A
redução dos erros envolvidos nas medidas é de grande importância para que se consiga
desenvolver um sensor com as precisões da ordem dos que são atualmente encontrados.
140
Acredita-se que fica bem difícil de se atingir precisões da ordem de fração de “pixel”
sem usar algum tipo de correção.
Alguns testes do método de correção também são propostos no Capítulo 4, mostrando
quais os possíveis efeitos e situações que podem degradar o método de correção. De
todas as situações avaliadas para o sistema testado, o ruído foi o que causou a maior
degradação. Apesar disso, no pior dos casos analisados neste trabalho, os métodos
reduziram em até 87,14% o valor 3σ dos erros totais que se tinha inicialmente. Contudo,
não se pode afirmar que o método funciona bem para todos os sistemas. Desta forma,
todos os testes mostrados aqui devem ser aplicados quando se fizer uso das
metodologias de correção propostas pelo trabalho. Mesmo assim acredita-se que o
método tem grandes chances de funcionar bem para sistemas onde a imagem da estrela
seja grande o suficiente para que haja a interpolação, que o sistema seja razoavelmente
estável no intervalo de temperatura do controle térmico, e que o sinal gerado pela
imagem da estrela no detector respeitar a relação 4.3.
Até onde o autor tem conhecimento, os métodos de estudo dos erros sistemáticos de
interpolação assim como o método de correção proposto, da forma que foram realizados
aqui, representam uma contribuição original para área.
Espera-se com os estudos e desenvolvimentos realizados ao decorrer do trabalho, ter
contribuído para o projeto do sensor de estrelas do INPE, e conseqüentemente para o
desenvolvimento da tecnologia nacional.
5.3 – Sugestões de Melhorias e Propostas para Trabalhos Futuros
O trabalho apresentado aqui representa um grande avanço quanto aos estudos dos erros
presentes em um sensor de estrelas feito no Brasil. Porém, retrata apenas uma pequena
parte do todo no que diz respeito aos erros tanto sistemáticos como aleatórios de um
sensor de estrelas. Com isso, nesta Seção são abordados alguns aspectos que podem ser
melhorados e também algumas idéias que surgiram durante o desenvolvimento do
trabalho, mas que não faziam parte do objetivo do mesmo ou o prolongariam
demasiadamente.
141
Algumas sugestões para melhorias se encontram logo abaixo em forma de tópicos:
• Um efeito que poderia ser considerado nas simulações é a difração do sistema
óptico. Apesar do efeito das aberrações serem bem maiores que os efeitos da
difração para o sensor de interesse, como já foi dito, seria interessante verificar
se haveria diferenças significativas nos resultados. Isso é possível de ser feito
também usando o ZEMAX, que pode considerar os efeitos da difração através
de uma ferramenta nova chamada “Physical Optics Propagation”.
• Outro ponto que poderia ser também melhorado diz respeito à facilidade e
velocidade de se fazer os estudos dos erros sistemáticos e testes do método de
correção de um sistema, já que foram feitos aqui de uma forma um tanto
complicada, usando-se dois programas para realizar as simulações, onde em
cada um deles foram desenvolvidas mais de uma rotina para tal intuito. A idéia
para tornar o estudo mais fácil e rápido seria criar um programa visual em “C”
para Windows, o qual faria comunicação com o ZEMAX usando DDE (veja
Seção A.7) de modo a extrair as informações necessárias. Então, todas as
simulações dos erros sistemáticos bem como a aplicação dos métodos de
correção seriam feitos dentro dele de uma forma automática com base em
alguns parâmetros de entrada fornecidos pelo usuário de forma simples em
uma janela, como: tamanho do pixel, número de amostragens em cada pixel,
número de amostragens ao longo do CDV, etc.
• Um teste que também poderia ser realizado para verificar a robustez do método
de correção seria aplicá- lo quando pequenos movimentos no sensor são
inseridos durante a aquisição da imagem. Para isso seriam colocadas duas
estrelas simuladas na frente da objetiva, onde uma delas ficaria sempre na
posição do eixo óptico e a outra seria colocada em várias regiões ao longo do
CDV. O que seria medido e comparado é a posição relativa entre uma estrela e
outra.
142
• Outro teste que poderia ser feito, que também diz respeito à robustez do
método de correção, seria verificar como o método de correção se comporta
quando pequenas perturbações nos parâmetros do sistema óptico são
introduzidas, onde essas perturbações simulariam defeitos e imprecisões de
fabricação e montagem. Com isso, verificar a possibilidade de se calcular os
coeficientes das funções correção por meio de simulação, e aplicar esses
valores a um sistema real. Isso é possível de ser feito utilizando a ferramenta
do ZEMAX de Análise de Tolerância ( Apêndice A Seção A.10).
• Estudar a viabilidade da aplicação do método implementando-o no “software”
de processamento de sinal do sensor de estrelas que está sendo desenvolvido
pelo INPE. Isso deve ser feito para verificar a memória ocupada no
computador do sensor pelos coeficientes das equações de correção. Além disso,
avaliar o tempo de processamento que o método de correção leva.
Algumas sugestões para temas de trabalhos futuros se encontram logo abaixo em forma
de tópicos:
• Aplicação na prática dos métodos de estudo e correção dos erros propostos
neste trabalho.
• Estudar os efeitos de cada aberração óptica, por meio das Equações 2.1 e 2.2,
quanto à influência nos erros de determinação da posição relativa da estrela no
plano focal em diferentes posições dentro do pixel dada pelo algoritmo
centróide simples. Desta forma, tentar caracterizar e especificar as tolerâncias
de cada aberração que uma objetiva deve ter para se conseguir atender à uma
dada precisão quanto à posição relativa das estrelas sem a necessidade de
aplicar um método de correção. Com as tolerâncias das aberrações definidas,
tentar chegar a um projeto de um sistema óptico que as respeite com o auxílio
do ZEMAX.
• Estudar os erros sistemáticos da determinação da magnitude das estrelas
pelo sensor. Isso é muito importante, pois a magnitude das estrelas é uma
143
das informações que o algoritmo de reconhecimento de padrões leva em
consideração nos seus processamentos. Esse erro ocorre devido ao fato de
que a magnitude instrumental não é igual a magnitude visual, por causa da
diferença de resposta à cada comprimento de onda existente entre o sensor e
o olho humano.
144
145
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Alexander, F. B.; Ng, K. C. Elimination of systematic error in subpixel accuracy centroid estimation. Optical Engineering, v. 30, n. 9, p. 1320-1331, .Sept. 1991.
Allen, C. W. Astrophysical quantities. Great Britain: Willian Clowes, 1973. 310p.
Arfken, G. B.; Weber, H.J. Mathematical methods for physicists. San Diego, California: Academic Press, 1995. 1029p.
Birnbaum, M. M. Spacecraft attitude control using star field trackers. Acta Astronautica, v. 39, n. 9-12, p. 763-773, Nov-Dez. 1996.
Caetano, F. C.; Bastos, A.; Netto, L. S.; Oliveira, L. M.; Pereira, M. A.; Balboa Sensores e atuadores na correção da atitude de um satélite. In: Mostra de Pós-graduação da UNITAU, 1., 2000. Taubaté –SP. Anais...Taubaté: UNITAL, 2000.
Carvalho, G. B. Levantamento de técnicas de identificação de estrelas e desenvolvimento de um ambiente de simulação e testes para análise de seus desempenhos em aplicações espaciais. 2000. 290 p. (INPE-8307-TDI/766). Dissertação (Mestrado em Engenharia e Tecnologias Espaciais/Mecânica Espacial e Controle) - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos, 2001.
Cox, A. A system of optical design. London: The Focal Press Limited, 1964. 665p.
Cox, J. A. Evaluation of peak location algorithms with subpixel accuracy for mosaic focal planes. In: Carter, W. H. eds. Processing of images and data from optical sensors . Bellingham, WA: SPIE, 1981, v. 292, p. 288-299 (Proceedings of SPIE).
Draper, T. L. An approach to standardizing star tracker calibration. In: East Coast Conference on Aerospace and Navigational Electronics, 12., 1965. Baltimore Maryland. Proceedings… Baltimore: IEEE, 1965. p. 1.4.4.1-1.4.4.4.
European Space Agency (ESA), The Hipparcos and Tycho catalogues. [S.l], 1997. ESA SP-1200.
Fialho, M. A. A. Ambiente de simulações e testes de algoritmos para sensores de estrelas autônomos. 2003. 120p. Trabalho de Conclusão de Curso. (Graduação em Engenharia Eletrônica)-Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos.
Goss, W. C. CCD star tracker. In: Symposium on Charge-Coupled Device Technology for Scientific Imaging Application, 1., 1975. Pasadena, California. Proceedings... Pasadena: Jet Propulsion Laboratory, 1975. p. 31-45.
Guidorizzi, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos S.A., 1997. 585p.
Halliday, D.; Resnick, R.; Krane, K. S. Física 4. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1996. 338p.
146
Hancock, B. R.; Stirbl, C. R.; Cunningham, T.J.; Pain, B.; Wrigley, C. J.; Ringold, P. G. CMOS active pixel sensor specific performance effects on star tracker/imager position accuracy. In: Descour, M. R.; Rantala, J. T. eds. Functional integration of opto-electro-mechanical devices and systems . Bellingham, WA: SPIE, 2001,v. 4284, p. 43-53 (Proceedings of SPIE).
Herzberger, M. Analysis of spot diagrams. Journal of the Optical Society of America, v. 47, n. 7, p. 584-593, July. 1957.
Liebe, C. C.; Star tracker for attitude determination. IEEE Aerospace and Electronics Systems Magazine , v. 10, n. 6, p. 10-16, June. 1995.
Magnani, M.; Pieri, S.; Romoli, A. Very high pointing accuracy star tracker optics trade off analysis. In: Zuegge, H. eds. Lens and optical systems design. Bellingham, WA: SPIE, 1992, v. 1780, p. 805-816 (Proceedings of SPIE).
Matos, J. D. Dimensionamento radiométrico preliminar do sensor de estrelas. São José dos Campos: INPE, 1997. 22 p.
Matos, J. D. Visão geral do funcionamento do sensor de estrelas desenvolvido pelo INPE. (Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos, 2003). Comunicação pessoal.
Mejía Cabeza, J. Um sensor estelar para o apontamento fino do telescópio MASCO. 1997. 104 p. (INPE-6682-TDI/627). Dissertação (Mestrado em Ciência Espacial/Astrofísica) - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos, 1998.
Mejía, J.; Villela, T.; Braga, J. The CCD stellar sensor of the MASCO telescope pointing system. Advances in Space Research, v. 26, n. 9, p. 1407-1410, 2000.
O'shea, D. C. Elements of modern optical design. New York: John Wiley & Sons, 1985. 402p.
Reed, B. C. The composite observational-theoretical HR diagram. Journal of the Royal Astronomical Society of Canada , v. 1 , n. 92, p. 36-37, Feb. 1998.
Rufino, G.; Accardo, D. Enhancement of the centroide algorithm for star tracker measure refinement. Acta Astronautica, v. 53, n. 2, p. 135-147, July. 2003.
Salomon, P. M.; Fossum, E.; Clark, C.; Dennison, E. Active pixel sensors for autonomous spacecraft applications. In: Casani, E. K.; Does, M. A. V. eds. Space sciencecraft control and tracking in the new millennium. Bellingham, WA: SPIE, 1996, v. 2810, p. 166-175 (Proceedings of SPIE).
Salomon, P. M.; Glavich, A. T. Image signal processing in sub-pixel accuracy star trackers. In: Barbe, D. F. eds. Smart Sensors II. Bellingham, WA: SPIE, 1980 v. 252, p. 64-74 (Proceedings of SPIE).
Shannon, R. R.; Wyant, J. C. Applied optics and optical engineering volume III. New York: ACADEMIC PRESS INC, 1980. 407p.
147
Shuster, M.D; Lopes, R.V.F. Parameter interference in distortion and alignment calibration. (AAS 94-186) Advances in the Astronautical Sciences, v. 87, p. 595-611, 1994.
Smith, W. J. Modern optical engineering. New York: Mc Graw-Hill, Inc., 1966. 476p.
Stavroudis, O. N.; Feder, D. P. Automatic computation of spot diagrams . Journal of the Optical Society of America, v. 44, n. 2, p. 163-169, Feb. 1954.
Stone, C. R.; A comparison of digital centering algorithms. The Astronomical Journal, v. 97, n. 4, p. 1227-1237, Apr. 1989.
Thomson Composants Militaires et Spatiaux. The CCD image sensors . [S.l], France, [198-?]. 41p.
Wertz, J. R. Spacecraft attitude determination and control. London: D. Reidel, 1997. 879p.
Focus Software, Incorporated. ZEMAX Optical Design Program User's Guide . Tucson-Arizona, 2002. 561p.
148
149
APÊNDICE A
UMA VISÃO GERAL DO ZEMAX: UM PROGRAMA DE MODELAGEM E
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS ÓPTICOS
A.1 – Introdução
Neste Capítulo, descreve-se de maneira sumária, o “software” ZEMAX: para que serve;
seu funcionamento e algumas de suas ferramentas, dando assim meios para que o
trabalho seja entendido por completo, pois tal programa foi talvez a principal ferramenta
de simulação usada. Além disso, este Capítulo ainda fornece uma base inicial ao leitor
que esteja interessado em usar o ZEMAX, ou mesmo compará- lo com outros
“softwares” semelhantes. Quase todas as informações foram retiradas do manual do
programa (ZEMAX User’s Guide, 2002).
A.2 – Visão Geral do ZEMAX
O ZEMAX 10 é um programa de simulação óptica desenvolvido pela ZEMAX
DEVELOPMENT CORPORATION, que serve para modelar, analisar e auxiliar no
projeto de lentes e de sistemas ópticos refrativos, refletivos e difrativos, quer sejam
seqüenciais quer sejam não-seqüenciais, usando para isso basicamente o traçado de
raios.
O ZEMAX pode ser usado de três maneiras diferentes: completamente seqüencial,
híbrida (seqüencial e não seqüencial), e completamente não seqüencial. A maior parte
dos sistemas ópticos e praticamente todos os sistemas de formação de imagem são bem
representados pelo modelo completamente seqüencial. A forma híbrida serve para
sistemas com porções seqüenciais significativas, e alguns componentes não seqüenciais
(ex. prismas), enquanto que a forma completamente não seqüencial serve para fazer
análises de iluminação, espalhamento e desvio de luz.
Na forma seqüencial os raios são traçados da seguinte maneira:
150
O raio tem início na superfície objeto, então é traçado para superfície 1 em seguida para
a superfície 2 e assim por diante. Um raio nunca vai da superfície 2 para 6 em seguida
para 3 e depois para 1, isso seria não seqüencial. Cada raio vai para cada superfície em
uma seqüência específica e pré-determinada. Se um raio não pode ser traçado para a
próxima superfície nessa seqüência, o traçado para este raio é finalizado com um erro.
Já na forma não-seqüencial, os raios são traçados ao longo de qualquer caminho
fisicamente possível, seguindo qualquer ordem.
O ZEMAX, apesar de possuir tanto a forma seqüencial quanto a não seqüencial, é muito
mais especializado e avançado na forma seqüencia l, pois aquela forma só foi incluída no
programa depois da versão 7.0. Apesar de cada atualização do programa incluir novas
ferramentas, facilidades e melhorias na forma não-seqüencial, ele ainda se encontra
distante quando comparado a programas desenvolvidos apenas para esta finalidade,
porém, vêm se aproximando rapidamente.
Neste texto só será tratada, apresentada e discutida a forma seqüencial, pois foi a única
que se utilizou para o desenvolvimento do trabalho em questão, e como já foi dito, em
geral, é a mais usada.
O ZEMAX é disponível em três diferentes edições: ZEMAX–SE (“Standard Edition”),
ZEMAX–XE (“Extended Edition”) e ZEMAX-EE (“Engineering Edition”); a diferença
entre elas está em alguns recursos que não são disponíveis nas versões SE e XE. Este
texto é voltado para a edição EE, a mais completa, já que tal versão engloba as outras
duas.
O ZEMAX não tem o objetivo de ensinar o usuário como projetar lentes ou sistemas
ópticos, mas sim oferecer muitas ferramentas para auxiliá- lo de uma forma interativa na
análise e no projeto dos mesmos. Entre essas ferramentas, destacam-se as de
extensibilidade, otimização, multi-configuração, análise térmica, análise de tolerâncias,
entre muitos outros recursos de análise disponíveis (veja Seção A.6). Se o usuário tem
pouca ou nenhuma experiência em projetos ópticos, antes de usar o ZEMAX, deve
buscar conhecimento em literatura especializada.
151
A.3 – Política da Licença do Programa
Para que o programa rode sem problemas é necessário que a “hardlock” que vem junto
com cada licença do programa esteja conectada à porta paralela ou USB do computador.
Na verdade, o “hardlock” é a própria licença. A política da licença do programa
funciona do seguinte modo: pode-se instalar o ZEMAX em quantos computadores se
queira, porém só uma dessas cópias por licença pode ser executada por vez. O ZEMAX
não possui licenças de rede que são acessadas remotamente.
A.4 – Características Gerais
O ZEMAX foi desenvolvido para ser simples de usar, a interface do programa é feita
através de janelas, sendo assim muito visual e intuitivo. Com um pouco de prática, pode
possibilitar o desenvolvimento de um projeto de uma forma interativa e muito rápida. A
maioria dos recursos do programa são acessados através da seleção do menu de opções.
O teclado e as teclas de atalho são usados para uma navegação rápida, ou estabelecendo
uma passagem secundária à estrutura do menu.
O ZEMAX trabalha com diferentes janelas. A principal se abre ao iniciar o programa.
Ela contém uma grande área em branco, com uma barra com título, barra de menu e
uma barra de ferramentas no topo (Figura A.1). Essa janela é usada para modelar uma
lente ou um sistema óptico, e recebe o nome de “Lens Data Editor” (LDE) que é um
tipo de planilha.
O modelamento de uma lente ou um sistema óptico seqüencial é feito através de
algumas ou inúmeras (mais de 1000) instanciações de um único tipo de objeto chamado
de superfície, que são representadas pelas linhas desta planilha; já as características de
cada superfície são inseridas ao longo de suas colunas.
152
FIGURA A.1- Janela principal do ZEMAX e uma de suas janelas secundárias chamada de “Lens Data Editor”.
Ao se abrir o LDE em um novo arquivo, pode-se visualizar inicialmente três superfícies
que são: OBJ, STO; e IMA (Figura A.1). A primeira representa o objeto; a segunda, o
“stop aperture” do sistema; a última, o plano imagem. Todo sistema modelado no
ZEMAX deve conter no mínimo essas superfícies. Pode-se inserir outras superfícies
clicando com o mouse dentro do LDE, e apertando a tecla “Inset”. Desta forma, pode-se
inserir mais de 1000 superfícies. As colunas mais usadas, onde são colocadas as
características das superfícies, são: a segunda (“radius”), onde se insere o raio de
curvatura da superfície; a terceira (“thickness”) onde se insere a distância central da
presente superfície até a seguinte (que pode representar tanto a espessura de uma lente
ou a distância de separação entre duas superfície adjacentes); a quarta (“glass”), onde se
insere o nome de um tipo de vidro, que consta em um dos catálogos de vidro do
programa (Figura A.1). O material definido preenche o espaço entre a presente
superfície e a seguinte. Caso deixado em branco, o programa adota o ar (com índice de
153
refração um para todos os comprimentos de onda) como material que preenche as
superfícies.
As outras colunas são habilitadas ou não, dependendo do tipo de superfície que se
escolhe na primeira coluna. Existem 52 tipos de superfícies que podem ser escolhidas
no ZEMAX-EE, como por exemplo: “Standard, Even Asphere, Odd Asphere, Biconic”,
etc (para mais detalhes sobre os tipos de superfície veja ZEMAX User’s Guide 2002 pp.
13-1-13-38).
Depois de modelados a geometria e o material de cada lente e objeto do sistema, é
necessário definir os comprimentos de onda e seus respectivos “pesos”, os quais o
sistema é projetado para trabalhar, definir o tamanho da pupila de entrada e o campo de
visada do sistema. Isso deve ser feito, pois esses dados servem de entrada para as
simulações, análises e otimização do sistema.
Os comprimentos de onda para os quais se deseja fazer as simulações, análises e
otimização do sistema, são definidos em uma janela chamada “Wavelength Data”.
Nessa se definem até doze comprimentos de onda em mícrons com seu respectivo
“peso” e também o comprimento de onda do sistema adotado como principal. Os pesos
definidos são quantidades relativas da influência ou importância do comprimento de
onda no sistema e são levados em conta nos cálculos, análises e otimizações feitas pelo
ZEMAX. O comprimento de onda definido como primário, é usado como referência em
uma série de cálculos e análises, como por exemplo, no cálculo da distância focal
efetiva do sistema modelado.
O CDV do sistema pode ser definido de várias formas (e.g. ângulo, tamanho do objeto,
tamanho real da imagem) em uma janela chamada de “Field Data”. Esses servem para
se definir para quais regiões do CDV o ZEMAX deve gerar e executar as análises,
cálculos e otimização.
154
A.5 – Banco de Dados de Vidros
Em Óptica Geométrica, para se fazer o traçado de raios através de um sistema, só o que
se precisa é a lei de Snell. Para aplicar tal lei deve-se ter as informações sobre a
geometria de cada lente que compõe o sistema, o ângulo de entrada dos raios e os
índices de refração do material com o qual essas lentes são feitas. Geralmente esses
materiais são vidros. Porém existem muitos tipos de vidros, cada um com suas
características ópticas, que podem diferir muito entre si.
Em programas de simulação óptica, a modelagem de vidros é um dos parâmetros mais
importantes para que se tenha uma simulação mais próxima o possível da realidade. No
ZEMAX, a modelagem é muito bem fe ita, pois considera vários efeitos.
Cada vidro ou material definido em um catálogo possui uma infinidade de coeficientes,
dos quais vários servem para modelar as características ópticas e físicas, sendo usados
como valores de entrada nas simulações do sistema; outros são meramente informativos,
e não são usados para nenhum cálculo ou simulação.
Alguns dos coeficientes definidos para os vidros usados nas simulações e cálculos são:
os dados de dispersão, o máximo e mínimo comprimentos de onda, os coeficientes de
expansão térmica, os coeficientes da equação que modela a mudança do índice de
refração com a temperatura, o valor da densidade do material, e os valores da
transmitância interna do material (para mais detalhes veja ZEMAX User’s Guide, 2002
p.19-1-19-17).
A dispersão de um vidro pode ser modelada através de diferentes equações (e.g. Schott,
Semeirer1, Sellmeirer2, Sellmeirer3, Sellmeirer4, Herzberger e Corandy). Estas
relacionam o comprimento de onda com o índice de refração do material (no ZEMAX
todos os índices de refração do material são relativos ao índice de refração do ar que é
tomado como um). Logo a seguir temos alguns exemplos destas equações:
85
54
43
22
210
2 −−−− +++++= λλλλλ aaaaaan (Schott) (A.1)
155
32
23
22
22
12
212 1
LK
LK
LK
n−
+−
+−
=−λ
λλ
λλ
λ(Sellmier1) (A.2)
6422 λλλ FEDCLBLAn +++++= onde 028,0
12 −
=λ
L (Herzberger) (A.3)
Estas equações são curvas ajustadas a partir de coeficientes, onde, por exemplo, no caso
do Sellmeier 1, são dados por seis (são eles K1,K2,K3,K4,L1,L2,L3 e L4, veja a Figura
A.2). Quando o usuário insere um novo vidro no catálogo, pode definir diretamente os
valores desses coeficientes, ou ainda inserir os dados dos índices de refração do material
nos respectivos comprimentos de onda e escolher a equação de dispersão que deseja
usar, e então o ZEMAX calcula os coeficientes desta Equação através de um ajuste de
curva. Esse procedimento é feito em uma janela que se abre clicando em “Fit Index
Data” (Figura A.3) que é uma das opções dentro da janela “Glass Catalog” (Figura A.2).
FIGURA A.2- Janela dos catálogos dos vidros e as informações referentes ao vidro
selecionado, que neste caso é o BK7 do catálogo Schott.
156
Os valores do comprimento de onda máximo e mínimo dados respectivamente por “Min
Wave” e “Max Wave” são os valores que especificam o limite onde a equação de
dispersão é válida.
O coeficiente de expansão térmica dado por TCE serve para calcular a mudança no raio
de curvatura, na espessura e no diâmetro de cada um dos elementos do sistema formado
por vidro (ou material semelhante) quando se faz a análise térmica do sistema. Esse
coeficiente é válido para o intervalo de -30° a 70°C e o número inserido ou mostrado no
ZEMAX é o valor do coeficiente multiplicado por 106.
A mudança do índice de refração com a temperatura é modelada por uma equação de
dispersão térmica com vários coeficientes (são eles: D0, D1, D2, D3, E0, E1, tk). Esses
também são muito importantes quando se faz a análise térmica do sistema no ZEMAX.
FIGURA A.3- Janela usada para inserir os valores dos índices de refração para cada
comprimento de onda definido, a fim de que o ZEMAX calcule os valores dos coeficientes da Equação de dispersão escolhida.
O valor da densidade do material “p” é dado em gramas por centímetro cúbico, sendo
usado no cálculo da massa de cada lente do sistema.
Os dados de transmitância interna do vidro servem para fazer o cálculo da transmitância
total, a qual é função da transmitância interna, da transmitância de Fresnel e do efeito de
“vignetting”. Os dados da transmitância interna se encontram ou são inseridos em uma
157
janela que se abre ao clicar em “Transmission” (Figura A.4) que é uma opção dentro da
janela “Glass Catalog” (Figura A.2). A transmissão para cada comprimento de onda é
definida no catálogo de vidro por três números: o valor do comprimento de onda em
micrometros, a intensidade da transmitância em porcentagem, e a espessura de
referência do material em mm. Estes valores podem ser inseridos no editor de dados de
transmissão para vários comprimentos de onde. Os dados de transmitância interna para
cada comprimento de onda são calculados através da lei de Beer dada pela Equação:
ατet = (A.4)
Onde t é a transmitância interna, α é o coeficiente de absorção calculado pelo ZEMAX
com base nos dados de transmitância interna inseridos da forma explicada, e τ é o
comprimento do caminho que a luz faz dentro do vidro.
Para calcular a transmitância interna referente a comprimentos de onda para os quais
não se definiu nenhum dado, o ZEMAX faz internamente uma interpolação linear entre
comprimentos de onda para os quais os dados foram definidos. Se o traçado de raio for
feito em um comprimento de onda fora do intervalo dos comprimentos de onda
definidos, então os dados do comprimento de onda mais próximo são usados.
FIGURA A.4- Janela onde se inserem os valores da transmitância interna do vidro. A
primeira coluna é a dos comprimentos de onda, a segunda é a da transmitância e a terceira é a da espessura de referência.
158
A.6 – Análises
Esse programa possui um conjunto de ferramentas de análise e diagnóstico de sistemas
ópticos bem completo. Para todas estas ferramentas têm-se uma “dialog box” na qual
podem ser escolhidos os métodos de cálculo e as formas de apresentação dos resultados
de modo a satisfazer o usuário.
As ferramentas de diagnóstico que são dadas na forma de gráficos, além de poderem ser
facilmente exportadas em diferentes extensões, ainda permitem o acesso aos valores
numéricos que geram o gráfico, bem seu como seu salvamento em arquivos .txt. Isso
também vale para análises que já são dadas na forma de texto.
Como são muitas ferramentas de análise disponíveis no ZEMAX é inviável fazer um
comentário de cada uma delas. Contudo, na Tabela A.1, encontra-se uma lista parcial
das ferramentas de análise mais importantes do modo seqüencial disponíveis no
ZEMAX. A lista pode servir para comparação entre ele e outros programas do mesmo
tipo.
TABELA A.1- Lista parcial das ferramentas de análise disponíveis no ZEMAX. Layouts 2D cross section
3D perspective and wireframe Solid or shaded model Surface, singlet, and doublet element drawings ISO 10110 format drawings
Fans Ray aberration Optical path difference Pupil aberration
Spot Diagrams Standard field-by-field Through focus Full field, Matrix Extended source bitmaps and images
(continua)
159
(Tabela A.1 – conclusão) Diffraction MTF, PSF Analysis Modulation transfer function (MTF)
Sine or Square wave MTF Through focus MTF Point spread function (PSF) Surface MTF and filed MTF maps Geometric, Huygens, or FFT based MTF, PSF Wavefront maps
Encircled Energy Diffraction radial Geometric radial, x, y Extended sources Line/Edge response
Miscellaneous Diffraction extended source images Footprint analysis Grid distortion Relative illumination, Vignetting Longitudinal aberration, Lateral color Field curvature and distortion RMS vs. field, focus, or wavelength Interferograms Y-Ybar diagram Chromatic focal shift Dispersion plot, glass map diagrams Glass internal transmittance vs. wavelength
Numerical Computations Single and multimode fiber coupling efficiency First order system data Surface power, volume, edge thickness data Ray trace data, real and paraxial Gaussian beam parameters Seidel and Zernike aberrations Wavefront, transverse, longitudinal aberrations YNI contributions Sag tables, maximum aspheric deviation
Polarization Ray Tracing Polarization Ray Tracing Polarization state evolution Polarization ellipse pupil map System transmission Coating reflection, transmission, and absorption Polarization aberrations System transmission fans
Physical Optics Propagation User defined beam definition Irradiance plots Phase plots Encircled Energy plots Fiber Coupling Supports Polarization
160
A.7 – Linguagem de Programação do ZEMAX e Ferramentas de Extensibilidade
A linguagem de programação do ZEMAX (ZPL) é uma linguagem interpretada, macro,
de alto nível e simples de usar, especialmente desenvolvida para se usar junto com o
ZEMAX. A ZPL fornece a capacidade de extensibilidade ao usuário. Isso significa que
se o usuário precisar de um cálculo ou um gráfico em particular que não esteja
“incorporado” no programa, ele pode escrever sua própria rotina para fazer a tarefa.
Esta rotina pode ser armazenada em um disco e chamada ou acessada com o ZEMAX. É
possível desenvolver uma biblioteca de programas ZPL, e compartilhar com outros
usuários do ZEMAX.
A ZPL é similar à linguagem BASIC, exceto por não ter todos os comandos e palavras
chaves disponíveis, e por ter algumas novas capacidades e funções adicionais
desenvolvidas próprias para cálculos e análises ópticas. Todas as funções, operações
lógicas e variáveis aceitas pela ZPL são listadas e explicadas no manual do programa.
Para se escrever a rotina basta usar qualquer editor de texto e salvar o arquivo com a
extensão.ZPL dentro de uma pasta do ZEMAX destinada para isso. Então, para executar
essa rotina para um sistema óptico modelado no ZEMAX, basta abrir o arquivo desse
sistema e, em seguida, através do menu principal do ZEMAX, escolher a rotina que se
quer executar.
As saídas dos cálculos e/ou resultados de uma rotina feita em ZPL podem ser dadas na
forma de texto na tela do computador em uma janela que se abre ao se dar início na
execução da rotina, na forma de um arquivo do tipo texto e também em forma de
gráficos em uma nova janela do ZEMAX.
Apesar de simples de usar e de ser uma ferramenta muito boa de extensibilidade do
programa, a ZPL ainda possui muitas limitações de comando. Um exemplo disso é que
não se pode definir variáveis do tipo vetor e muito menos do tipo matriz, pode-se apenas
usar quatro vetores que são variáveis pré-definidas da própria ZPL, e nem mesmo os
seus nomes podem ser modificados. Dessa forma limita-se e dificulta-se o
desenvolvimento de rotinas mais elaboradas por parte do usuário.
161
Outro ponto negativo está no tempo de execução das rotinas feitas nessa linguagem, que
são relativamente muito lentas. Chegou-se a esta conclusão através da comparação entre
o número de raios por segundo que o ZEMAX em um certo computador naturalmente
consegue traçar por um dado sistema, e o número de raios por segundo que se consegue
traçar usado uma rotina em ZPL nas mesmas condições. Isso foi feito da seguinte
forma: aplicou-se, no sistema óptico utilizado para o desenvolvimento deste trabalho,
uma ferramenta disponível no ZEMAX que serve para avaliar a “velocidade” em que o
computador pode traçar raios por segundo por um dado sistema, e se obteve um
resultado de 481880 raios por segundo. Em seguida, criou-se uma rotina na ZPL com
um “loop” para traçar vários raios através do mesmo sistema óptico, obtendo-se um
resultado de 5702 raios por segundo. Este valor é muito menor do que resultado
fornecido pelo teste de velocidade do programa, chegando-se a conclusão de como uma
rotina em ZPL pode ser lenta.
Apesar disso, o ZEMAX ainda possui uma outra ferramenta de extensibilidade mais
poderosa, mais rápida e mais complexa que a ZPL. Através dessa, o ZEMAX permite
que outros programas do “Windows” estabeleçam comunicação com ele através de uma
ferramenta Chamada “Dynamic Data Exchange” (DDE). Com isso, o ZEMAX pode
trocar informações e comandos com outros programas desenvolvidos pelo usuário com
um determinado objetivo. A idéia é usar o ZEMAX para traçar os raios por um dado
sistema óptico, fazendo com que o programa feito pelo usuário extraia as informações
do ZEMAX, de modo a fazer análises ou cálculos que ele não tem disponíveis. Ainda é
possível fazer com que o programa devolva as análises e cálculos para o ZEMAX
fazendo-o mostrar os resultados em uma de suas janelas usuais de gráfico ou texto.
Todavia, para usar esta ferramenta, é necessário que o usuário saiba programação em
“C” para Windows, tenha um compilador de “C” que possa gerar executáveis para
Windows de 32 bits e aprenda a programação DDE. Segundo o manual do ZEMAX, a
parte mais difícil da programação, que é fazer o programa elaborado pelo usuário
estabelecer um meio de comunicação com o ZEMAX, já está feita e disponível para
estudo e reutilização.
162
A.8 – Ferramentas de Otimização do ZEMAX
O ZEMAX é provido de algumas ferramentas de otimização que servem para melhorar
a performance de um sistema óptico baseado em um projeto inicial, utilizando para isso
poderosos algoritmos de otimização que tentam minimizar o valor de uma função
chamada de Função de Mérito (“Merit Function” MF).
A otimização pode ser feita usando três diferentes algoritmos, a saber: “Optimization”,
“Hammer Optimization” e o “Global Search”. O primeiro deles tenta achar o mínimo
local da MF baseado na técnica de otimização de mínimos quadrados. O segundo é o
algoritmo de otimização que serve para escapar do mínimo local e verificar se não
existe uma solução vizinha melhor no espaço solução. O último algoritmo é usado para
buscar soluções com novos arranjos baseados no projeto inicial. Esse usa uma
combinação de algoritmos genéricos como: “simulated annealing”, “multstart”, “expert
systems”, “neural networks”, entre outros. Entretanto ele geralmente não produz
projetos finalizados, para isso é necessário, após a sua utilização, aplicar o “Hammer
Optimization” em uma das soluções encontradas pelo “Global Search”.
Para se fazer uso de qualquer uma das três otimizações, é necessário satisfazer os
seguintes requisitos: 1) ter um sistema óptico razoável o qual servirá de ponto de
partida, 2) definir as variáveis do seu sistema e 3) criar uma MF.
Qualquer número de variáveis pode ser simultaneamente otimizado, praticamente
qualquer parâmetro do sistema que se encontra no LDE pode ser definido como
variável, incluindo raio, espessura, vidros, coeficientes de superfícies não esféricas,
espaçamentos, aberturas, entre outros. Para especificar uma variável usada no processo
de otimização, simplesmente é necessário apertar as teclas Ctrl-Z simultaneamente,
quando se estiver com a barra de seleção em cima do parâmetro a ser definido como
variável no LDE.
A MF pode ser definida como uma representação numérica de quão perto um sistema
óptico se encontra em relação a um conjunto de metas e vínculos.
163
A MF nada mais é do que uma lista de operadores, os quais individualmente
representam diferentes vínculos ou metas para o sistema. Os operadores representam
metas como: qualidade da imagem, distância focal, aumento do objeto, entre outros. E
podem representar vínculos como: espessura máxima de uma lente, tamanho máximo do
sistema, espessura mínima da borda de uma lente, etc. O ZEMAX possui mais de 250
operadores que podem ser usados para a construção da MF. Para cada um deles,
quando definidos na MF, deve-se informar o valor que se deseja que ele tenha, o “peso”
relativo que esse operador tem sobre os demais, e algumas coordenadas que servem para
definir para onde este operador será válido.
A MF é proporcional à raiz quadrada da soma ponderada do quadrado da diferença entre
o valor atual “Vi” e o valor que se deseja “Ti” de cada operador da lista (Equação A.5).
A MF é definida desta maneira onde o valor zero é o ideal. Então o que os algoritmos de
otimização fazem é se esforçar para levar o valor desta função para o menor possível.
∑∑ −
=i
iii
WTVW
MF2
2 )( (A.5)
Onde MF é valor da Função de Mérito, “Wi” é o peso definido para um certo operador i,
“Vi” é o valor atual do operador i e “Ti” é o valor que se deseja para o operador i.
A maneira mais fácil de se definir uma Função de Mérito é usar uma das 20 funções
disponíveis do “default”, e em seguida adicionar outros operadores de interesse
manualmente.
Para se usar uma MF do “default”, deve-se escolher uma série de opções, como: o
método de otimização (RMS ou PTV “peak-to-valley”), tipo de dados a serem
otimizados (que podem ser referentes a um dos raios do “spot”, x, y, ou x + y, ou ainda
referentes aos erros da frente de onda), o método de integração (este método está
relacionado com a geometria de distribuição na pupila de entrada dos raios usados para
o cálculo dos operadores), entre outros. Depois disso, o ZEMAX cria automaticamente
uma MF com vários operadores podendo o usuário inserir outros manualmente (Figura
A.5).
164
A primeira coluna de cada linha da MF traz o código do operador que está sendo usado,
as demais colunas da mesma linha são destinadas aos parâmetros necessários para este
operador. O manual do programa traz uma lista de todos os operadores de otimização e
uma explicação detalhada de cada um deles. Ainda é possível se criar novos operadores
através das ferramentas de extensibilidade, comentada na Seção A.7.
FIGURA A.5- MFE usada para criar a função de mérito.
Depois de ter feito os três passos necessários para otimização, dá-se início ao processo
escolhendo um dos três métodos de otimização disponíveis.
O ZEMAX suporta até 4 CPUs por computador para execução automática de
encadeamento múltiplo no uso das ferramentas de otimização.
A.9 – Multi-Configuração
O ZEMAX tem uma ferramenta que facilita a análise e possibilita a otimização de
sistemas que possuem mais de um modo ou configuração. Exemplos desse tipo de
sistema são sistemas ópticos com “Zoom”, ou mesmo sistemas ópticos que possuem
uma objetiva e diferentes oculares, entre outros. Naqueles geralmente o que se tem é
uma variação entre as distâncias de algumas lentes que compõem o sistema, enquanto,
que nesse, o que se tem é a variação completa de uma parte do sistema, tanto na
geometria, material, quanto no número de elementos que formam cada ocular.
165
Para se fazer análises de sistemas desse tipo, não é necessário o modelamento de cada
configuração em um novo arquivo, pois o ZEMAX possui uma ferramenta chamada de
“Multi-Configuration” ou Multi-Configuração, que possibilita a análise desse tipo de
sistema. Com essa ferramenta o ZEMAX possibilita o modelamento de diferentes
configurações em um único arquivo. Isso é feito em uma janela chamada “Multi-
Configuration Editor” (MCE). Nas linhas dessa janela são inseridos os operadores
referentes a um certo parâmetro do sistema que varia de uma configuração para outra.
Na primeira coluna de cada linha (Figura A.6) pode-se ver uma sigla, que identifica os
parâmetros que mudam de uma configuração para outra (e.g: THIC-“Surface thickness”,
CRVT- “Surface curvature”), juntamente com o número da superfície a que o operador
se refere. Nas demais colunas de cada linha, estão os valores do parâmetro em cada
configuração.
Quando se está em uma dada configuração, todas as ferramentas de análises usadas
geram resultados para essa determinada configuração. Para se mudar de uma
configuração para a seguinte pode-se usar o comando Ctrl+A, ou se quiser ir para
anterior Shift+Crlt+A, ao se fazer isso todas as janelas de análises que estiverem abertas
irão se atualizar e fornecer os resultados para a configuração selecionada.
Quando se usa Multi-Configuração, é possível criar uma MF que contenha operadores
para cada uma das configurações. Desta forma, pode-se otimizar todas as configurações
de um sistema simultaneamente, colocando qualquer parâmetro de qualquer
configuração como variável no MCE.
Existem mais de 55 parâmetros que podem ser definidos na MCE que controlam
praticamente todos os parâmetros do sistema incluindo: a geometria das lentes, o campo
de visada, o F/#, os comprimentos de onda, etc.
166
FIGURA A.6- MCE do ZEMAX usada para modelar sistemas com várias
configurações.
Essa ferramenta também pode ser usada para fazer a análise térmica de um sistema.
Nesse tipo de Multi-Configuração o que se faz é inserir um operador que define a
temperatura do sistema em cada configuração, colocando em cada uma delas o valor da
temperatura em graus Celsius nas quais se pretende fazer as análises. Em seguida, deve-
se colocar todos os operadores para todas as superfícies que possam sofrer variações
com a temperatura. Para cada uma das configurações, tirando a configuração padrão
tomada como referência, deve-se definir o operador como “Thermal Pick Up” da
configuração padrão. Desta forma, o ZEMAX calcula automaticamente os valores de
cada parâmetro na temperatura definida na configuração em questão. Para isso, ele usa
principalmente os valores encontrados no banco de vidros, e os valores de expansão
térmica do material no qual as lentes do sistema estão montadas, que pode ser definido
pelo usuário na última coluna do LDE. Para definir o valor de um operador em uma
determinada configuração como “Thermal Pick Up”, basta dar um clique duplo sobre a
célula que se deseja no MCE e então a janela mostrada na Figura A.7 se abrirá. No item
“Solve Type”, escolhe-se “Thermal Pick Up” e no “Config” se escolhe o número da
configuração padrão, tomada como base para os cálculos.
167
FIGURA A.7- Janela que se abre quando se dá um duplo clique em qualquer célula no
MCE.
Todavia, para facilitar a análise térmica, e evitar que o usuário cometa erros na hora de
inserir todos os operadores no MCE que sofrem variações com a temperatura, o
ZEMAX possui uma ferramenta que faz isso automaticamente para o usuário, criando
diferentes configurações com diferentes temperaturas, já com todos os operadores
necessários definidos para essa análise. O único trabalho que o usuário tem é definir a
mínima e a máxima temperatura onde deseja fazer as análises, e definir o número de
configurações em que esse intervalo de temperatura deve ser dividido.
A.10 – Ferramenta de Análise de Tolerância do ZEMAX
Uma das poderosas e importantes ferramentas do ZEMAX é a chamada “Tolerancing”.
Essa possibilita a análise, baseada em um critério de avaliação, dos efeitos decorrentes
da introdução de perturbações nos valores nominais dos parâmetros do sistema, e tem
como objetivo determinar a quantidade e tipos de erros que podem ser introduzidos na
fabricação e montagem do sistema óptico, de modo que continue atendendo aos
requisitos de performance, ou mesmo, verificar se a precisão de fabricação que se tem
disponível é suficiente para isso.
Essas perturbações decorrem de erros de fabricação, montagem, desvios dos valores
nominais das características ópticas dos materiais, entre outros. As tolerâncias podem
ser avaliadas por vários critérios diferentes, incluindo: valor RMS do tamanho do
“spot”, valor RMS do erro na frente de onda, resposta da MTF em uma determinada
freqüência, valor de uma função de mérito definida pelo usuário, entre outros.
168
As perturbações podem ser inseridas nos parâmetros de construção de cada elemento do
sistema, a saber: curvatura, espessura, índice de refração, número Abbe, constantes não
esféricas, irregularidades no formato das superfícies, entre outros, bem como em
parâmetros de montagem e/ou fabricação do suporte mecânico dos elementos do
sistema: posição, descentralização, inclinação dos elementos em relação a um ponto
arbitrário, etc. As várias tolerâncias podem ser usadas em qualquer combinação para
estimar a performance do sistema referentes aos efeitos dos erros de alinhamento e
fabricação.
As tolerâncias dos parâmetros de cada superfície ou elemento do sistema são inseridas e
editadas individualmente em um editor chamado “Tolerance Data Editor” (TDE). Isso é
feito usando operadores simples, por exemplo, o “TRAD” o qual define a tolerância no
raio de curvatura de uma determinada superfície. Os operadores de tolerância são
automaticamente salvos juntamente com o arquivo do sistema óptico.
A análise de tolerância pode ser feita de três formas:
“Sensitivity Analysis”: Neste modo o programa determina o impacto no critério de
avaliação escolhido, para cada tolerância definida no TDE individualmente. Os efeitos
individuais de cada tolerância são então somados estatisticamente de modo a determinar
a performance estimada do sistema.
“Inverse Sensitivity”: Neste modo se define um decréscimo máximo no critério de
avaliação permitido para cada tolerância definida no TDE, então o programa analisa
cada uma delas e, se necessário, as comprime de modo a atender o decréscimo máximo
definido. Os efeitos individuais de cada tolerância são então somados estatisticamente
de modo a determinar a performance estimada do sistema.
“Monte Carlo”: As análises estatísticas fornecidas através dos dois métodos anteriores
assumem que cada tolerância definida no TDE é perturbada pelo valor máximo
definido, e o que os erros são independentes. Já neste modo, o programa gera
aleatoriamente uma série de sistemas respeitando as tolerâncias definidas, onde todos os
parâmetros são aleatoriamente perturbados usando modelos estatísticos apropriados
169
definidos pelo usuário, baseado nos dados efetivos de fabricação (Normal, Uniforme ou
Parabólica). Com isso, o sistema como um todo é avaliado considerando todos os
defeitos possíveis simultaneamente. Deste modo, o ZEMAX pode simular rapidamente
a fabricação de um imenso número de lentes e informar a estatística da produção
baseado no critério de avaliação.
170
171
APÊNDICE B
ROTINAS ZPL DESENVOLVIDAS DURANTE O TRABALHO
B.1 – Rotina Usada para Gera Imagens Simuladas das Estrelas nos Estudo dos ESI nfield = NFLD() maxfield = MAXF() ! Previne a divisão por zero IF (maxfield == 0.0) THEN maxfield = 1.0 n = NSUR() nwav = NWAV() Pmax=0 FOR P=1,nwav,1 IF Pmax < WWGT(P) Pmax=WWGT(P); ENDIF NEXT SETVECSIZE 33000 POLDEFINE 1,1,0,0 k=0 LABEL 2 ni=0 ENDIF LABEL 1 i = ni hx = i/8800 hy = k/8800 fm$=$str(k+1) fn$ = $STR(i+1) fex$ = ".txt" fname$ = "spotPT" ! Sub-rotina usada para traçar os raios na forma recipolar ! para todos os comprimentos de onda definidos no sistema, ! a fim de calcular a posição de cada um no plano focal ! e a sua transmitância FOR wav=1,nwav,1 peso=(WWGT(wav)/Pmax) x = 0 nda=0 nir=6 nr=0 nta=41 FOR r = 1/nta,1,1/nta nda=1+nda nr=nr+nir FOR j = (7.5*nda+15),(7.5*nda+15)+(nr-1)*360/(nda*nir)+0.000000000009,360/(nda*nir) px = r*SINE(j*3.141592654/180)
172
py = r*COSI(j*3.141592654/180) RAYTRACE hx,hy,px,py,wav x=1+x VEC1(x) = RAYX(n) VEC2(x) = RAYY(n) POLTRACE hx,hy,px,py,wav,4,nsur() VEC4(x+16) = VEC4(1)*peso NEXT NEXT RAYTRACE hx,hy,0,0,WAV,4,nsur() VEC1(0) = RAYX(n) VEC2(0) = RAYY(n) POLTRACE hx,hy,0,0,WAV,4,nsur() VEC4(16)=VEC4(1)*peso file$ = fname$+fn$+fm$+fex$ ! Saída para um arquivo texto dos dados de interseção de cada ! raio no plano X'Y'e sua respectiva de transmitância através ! da objetiva cada raio OUTPUT file$ APPEND FOR p=0,x,1 PRINT VEC1(p)," ",VEC2(p)," ",VEC4(p+16) NEXT NEXT ! Traça o raio principal para o ponto objeto em questão ! e fornece sua posição no plano X'Y' RAYTRACE hx,hy,0,0,PWAV() xp = RAYX(n) yp = RAYY(n) OUTPUT SCREEN PRINT file$ ! Saída dos dados da posição do raio principal plano X'Y' ! para o arquivo texto OUTPUT file$ APPEND PRINT xp," ",yp," ",0 IF ni==0 ni=780 GOTO 1 ENDIF if ni==7980 ni=8740 GOTO 1 ENDIF ni==(40*20)+ni IF ni<=8740 THEN GOTO 1 IF k<8800 k=k+800 GOTO 2 ENDIF
173
B.2 – Rotina para Extrair Dados do Sistema Óptico Usados como dados de
Entrada nos Estudo dos ESD nfield = NFLD() maxfield = MAXF() ! prevent divide by zero bug IF (maxfield == 0.0) THEN maxfield = 1.0 n = NSUR() nwav = NWAV() ki=0 Kf=100 ni=0 nf=100 if ni==0 K=Ki FOR i = ni,nf,1 hx = i/100 hy = k/100 fm$=$str(k+1) fn$ = $STR(i+1) fex$ = ".txt" fname$ = "distortion" file$ = fname$+fn$+fm$+fex$ GETSYSTEMDATA 3 xp=VEC3(7)*TANG(i*(MAXF()/100)*3.141592654/180) yp=VEC3(7)*TANG(K*(MAXF()/100)*3.141592654/180) RAYTRACE hx,hy,0,0,PWAV() xr = RAYX(n) yr = RAYY(n) OUTPUT SCREEN PRINT file$ OUTPUT file$ APPEND PRINT xr," ",xp NEXT
B.3 – Rotina para Gera Imagens Simuladas das Estrelas Usadas no Teste do
Método de Correção dos ESI nfield = NFLD() maxfield = MAXF() ! prevent divide by zero bug IF (maxfield == 0.0) THEN maxfield = 1.0 n = NSUR() nwav = NWAV() Pmax=0 FOR P=1,nwav,1 IF Pmax < WWGT(P) Pmax=WWGT(P); ENDIF NEXT SETVECSIZE 33000 POLDEFINE 1,1,0,0 k=400 LABEL 2 ni=380
174
ENDIF LABEL 1 i = ni hx = i/8800 hy = k/8800 fm$=$str(k+1) fn$ = $STR(i+1) fex$ = ".txt" fname$ = "spotPT" !GETSYSTEMDATA 3 !xr=VEC3(7)*TANG(i*(10/8800)*3.141592654/180) !yr=VEC3(7)*TANG(FLDY(1)*3.141592654/180) FOR wav=1,nwav,1 peso=(WWGT(wav)/Pmax) x = 0 nda=0 nir=6 nr=0 nta=41 FOR r = 1/nta,1,1/nta nda=1+nda nr=nr+nir FOR j = (7.5*nda+15),(7.5*nda+15)+(nr-1)*360/(nda*nir)+0.000000000009,360/(nda*nir) px = r*SINE(j*3.141592654/180) py = r*COSI(j*3.141592654/180) RAYTRACE hx,hy,px,py,wav x=1+x VEC1(x) = RAYX(n) VEC2(x) = RAYY(n) POLTRACE hx,hy,px,py,wav,4,nsur() VEC4(x+16) = VEC4(1)*peso NEXT NEXT RAYTRACE hx,hy,0,0,WAV,4,nsur() VEC1(0) = RAYX(n) VEC2(0) = RAYY(n) POLTRACE hx,hy,0,0,WAV,4,nsur() VEC4(16)=VEC4(1)*peso file$ = fname$+fn$+fm$+fex$ OUTPUT file$ APPEND FOR p=0,x,1 PRINT VEC1(p)," ",VEC2(p)," ",VEC4(p+16) NEXT NEXT RAYTRACE hx,hy,0,0,PWAV() xp = RAYX(n) yp = RAYY(n) OUTPUT SCREEN PRINT file$ OUTPUT file$ APPEND PRINT xp," ",yp," ",0 ni==(40*20)+ni IF ni<=8380 THEN GOTO 1 IF k<8400 k=k+800 GOTO 2 ENDIF
175
B.4 – Rotina para Gera Imagens Simuladas das Estrelas Usada nos Testes dos
Métodos de Correção dos ESI e ESD Simultaneamente nfield = NFLD() maxfield = MAXF() ! prevent divide by zero bug IF (maxfield == 0.0) THEN maxfield = 1.0 n = NSUR() nwav = NWAV() Pmax=0 FOR P=1,nwav,1 IF Pmax < WWGT(P) Pmax=WWGT(P); ENDIF NEXT SETVECSIZE 33000 POLDEFINE 1,1,0,0 k=400 LABEL 2 ni=380 ENDIF LABEL 1 i = ni hx = i/8800 hy = k/8800 fm$=$str(k+1) fn$ = $STR(i+1) fex$ = ".txt" fname$ = "spotPT" GETSYSTEMDATA 3 xr=VEC3(7)*TANG(i*(10/8800)*3.141592654/180) yr=VEC3(7)*TANG(k*(10/8800)*3.141592654/180) FOR wav=1,nwav,1 peso=(WWGT(wav)/Pmax) x = 0 nda=0 nir=6 nr=0 nta=41 FOR r = 1/nta,1,1/nta nda=1+nda nr=nr+nir FOR j = (7.5*nda+15),(7.5*nda+15)+(nr-1)*360/(nda*nir)+0.000000000009,360/(nda*nir) px = r*SINE(j*3.141592654/180) py = r*COSI(j*3.141592654/180) RAYTRACE hx,hy,px,py,wav x=1+x VEC1(x) = RAYX(n) VEC2(x) = RAYY(n) POLTRACE hx,hy,px,py,wav,4,nsur() VEC4(x+16) = VEC4(1)*peso NEXT NEXT RAYTRACE hx,hy,0,0,WAV,4,nsur() VEC1(0) = RAYX(n)
176
VEC2(0) = RAYY(n) POLTRACE hx,hy,0,0,WAV,4,nsur() VEC4(16)=VEC4(1)*peso file$ = fname$+fn$+fm$+fex$ OUTPUT file$ APPEND FOR p=0,x,1 PRINT VEC1(p)," ",VEC2(p)," ",VEC4(p+16) NEXT NEXT OUTPUT SCREEN PRINT file$ OUTPUT file$ APPEND PRINT xr," ",yr," ",0 ni==(40*20)+ni IF ni<=8380 THEN GOTO 1 IF k<8400 k=k+800 GOTO 2 ENDIF
177
APÊNDICE C
ROTINAS DO MATLAB DESENVOLVIDAS DURANTE O TRABALHO
C.1 – Rotina Usada para Estudo dos ESI clc k=1 v=0 w=0 while k<=8801 w=1+w ni=1 v=0 while ni<=8741 fn=num2str(ni); fm=num2str(k); s=strcat('C:\ZEMAX10-11\Macros\PN2,836,102preferido7500kfasttransmitnaciaobjetiva\spotPT',fn,'.0000',fm,'.0000.txt'); MPIR=load(s); MPIR=MPIR/10e-3; desx=0; for increx=0:0.05:3; v=v+1; for linhami=1:max(size(MPIR)); MPIR(linhami,1)=MPIR(linhami,1)+desx; end desx=0.05; MDV=zeros(1024,1024); for n=1:max(size(MPIR))-1 if MPIR(n,1)==floor(MPIR(n,1)) & MPIR(n,2)==floor(MPIR(n,2)) for linha=513+(MPIR(n,1)-1):513+(MPIR(n,1)-1)+1 for coluna=513+(MPIR(n,2)-1):513+(MPIR(n,2)-1)+1 MDV(linha,coluna)=(1/4*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end end end if MPIR(n,1)==floor(MPIR(n,1)) & MPIR(n,2)~=floor(MPIR(n,2)) linha=513+floor(MPIR(n,2)); for coluna=513+(MPIR(n,1)-1):513+(MPIR(n,1)-1)+1 MDV(linha,coluna)=(1/2*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end end if MPIR(n,2)==floor(MPIR(n,2)) & MPIR(n,1)~=floor(MPIR(n,1)) coluna=513+floor(MPIR(n,1)); for linha=513+(MPIR(n,2)-1):513+(MPIR(n,2)-1)+1
178
MDV(linha,coluna)=(1/2*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end end if MPIR(n,2)~=floor(MPIR(n,2)) & MPIR(n,1)~=floor(MPIR(n,1)) linha=513+floor(MPIR(n,2)); coluna=513+floor(MPIR(n,1)); MDV(linha,coluna)=(MPIR(n,3)*10e-3)+MDV(linha,coluna); end end sum(sum(MDV)) Mai=0; for i2=1:10 men(i2)=100000; end somamen=0; for i2=1:1024 for j=1:1024 if Mai < MDV(i2,j); Mai=MDV(i2,j); m=i2; n=j; end end end for o=n-2:n+2 for l=m-2:m+2 if men(1) > MDV(l,o) men(1)= MDV(l,o); for r=1:9 if men(r+1)>men(r); tenp=men(r+1); men(r+1)=men(r); men(r)=tenp; end end end end end for i2=1:10 somamen=men(i2)+somamen; mediamen=somamen/(i2); end x=m-1; y=n-1; for i2=0:2 sx(x+(i2))=0; sy(y+(i2))=0; end for i2=y:y+2 sx(x)=MDV(x,i2)-mediamen+sx(x); sx(x+1)=MDV(x+1,i2)-mediamen+sx(x+1); sx(x+2)=MDV(x+2,i2)-mediamen+sx(x+2); end for j=x:x+2 sy(y)=MDV(j,y)-mediamen+sy(y);
179
sy(y+1)=MDV(j,y+1)-mediamen+sy(y+1); sy(y+2)=MDV(j,y+2)-mediamen+sy(y+2); end xp1=(x)*sx(x)+(x+1)*sx(x+1)+(x+2)*sx(x+2); xp2=sx(x)+sx(x+1)+sx(x+2); xp3=xp1/xp2; MCCY(v,w)=(xp3-512.5); yp1=y*sy(y)+(y+1)*sy(y+1)+(y+2)*sy(y+2); yp2=sy(y)+sy(y+1)+sy(y+2); yp3=yp1/yp2; MCCX(v,w)=(yp3-512.5); MCCX(v,w); MCCY(v,w); MCTX(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),1); MCTY(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),2); v end if ni==1 ni=781; elseif ni==7981 ni=8741; else ni=(20*40)+ni; end end k=k+800; end
C.2 – Rotina Usada para Estudo dos ESD ni=1 nf=441 ki=1 kf=1 v=0 k=ki for i=ni:nf; v=v+1; fn=num2str(i); fm=num2str(k); s=strcat('c:\zemax10-11\macros\distortionPN2,836,102preferido7500k\distortion',fn,'.0000',fm,'.0000.txt'); MI=load(s); Q=MI/10e-3; Xp(v)=Q(1,2); Xr(v)=Q(1,1); i end
end
180
C.3 – Rotina para o Cálculo dos Coeficientes da Série de Fourier Usada no
Modelamento dos ESI k=1; while k<=12 a2=zeros(12,10); b2=zeros(12,10); nii=21; nfi=40; li=0; while nfi<=711 li=li+1 ni=nii; nf=nfi; if MCCX(nii,k)>MCTX(nii,k) while MCCX(ni,k)>MCTX(nii,k) ni=ni-1; end lin(ni,k)=MCTX(nii,k); end if MCCX(nfi+1,k)<MCTX(nfi+1,k) while MCCX(nf+1,k)<MCTX(nfi+1,k) nf=nf+1; end lin(nf+1,k)=MCTX(nfi+1,k); end if MCCX(nii,k)<MCTX(nii,k) while MCCX(ni,k)<MCTX(nii,k) ni=ni+1; end ni=ni-1; lin(ni,k)=MCTX(nii,k); end if MCCX(nfi+1,k)>MCTX(nfi+1,k) while MCCX(nf+1,k)>MCTX(nfi+1,k) nf=nf-1; end nf=nf+1; lin(nf+1,k)=MCTX(nfi+1,k); end for f=ni+1:nf lin(f,k)=MCCX(f,k); end for j=1:10 for i=ni:nf c=(MCTX(1+i,k)-MCCX(1+i,k)-MCTX(i,k)+MCCX(i,k))/(MCCX(1+i,k)-MCCX(i,k)); d=-(-MCTX(i,k)*MCCX(1+i,k)+MCCX(i,k)*MCTX(1+i,k))/(MCCX(1+i,k)-MCCX(i,k)); Syms x y y=c*x+d; a2(li,j)= double(int(y*cos(((j-1)*pi*x)/0.5),lin(i,k),lin(i+1,k)))+a2(li,j); b2(li,j)= double(int(y*sin(((j-1)*pi*x)/0.5),lin(i,k),lin(i+1,k)))+b2(li,j); end
181
a2(li,j)=a2(li,j)*2; b2(li,j)=b2(li,j)*2; V(k,li)={[a2(li,1),a2(li,2),a2(li,3),a2(li,4),a2(li,5),a2(li,6),a2(li,7),a2(li,8),a2(li,9),a2(li,10),b2(li,1),b2(li,2),b2(li,3),b2(li,4),b2(li,5),b2(li,6),b2(li,7),b2(li,8),b2(li,9),b2(li,10)]}; end nii=61+nii; nfi=61+nfi; end k=1+k end
C.4 – Rotina Empregada para Gerar os Dados Usados na Avaliação do Método de
Correção dos ESI / ESI+ESD clc k=401 v=0 w=0 while k<=8401 w=1+w ni=381 v=0 while ni<=8381 fn=num2str(ni); fm=num2str(k); s=strcat('C:\ZEMAX10-11\Macros\TestecoeficientesPN2,836,102preferido7500kfasttransmitanciaobjetiva\spotPT',fn,'.0000',fm,'.0000.txt'); MPIR=load(s); MPIR=MPIR/10e-3; desx=0; for increx=0:0.05:3; v=v+1; for linhami=1:max(size(MPIR)); MPIR(linhami,1)=MPIR(linhami,1)+desx; end desx=0.05; MDV=zeros(1024,1024); for n=1:max(size(MPIR))-1 if MPIR(n,1)==floor(MPIR(n,1)) & MPIR(n,2)==floor(MPIR(n,2)) for linha=513+(MPIR(n,1)-1):513+(MPIR(n,1)-1)+1 for coluna=513+(MPIR(n,2)-1):513+(MPIR(n,2)-1)+1 MDV(linha,coluna)=(1/4*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end end end if MPIR(n,1)==floor(MPIR(n,1)) & MPIR(n,2)~=floor(MPIR(n,2)) linha=513+floor(MPIR(n,2)); for coluna=513+(MPIR(n,1)-1):513+(MPIR(n,1)-1)+1 MDV(linha,coluna)=(1/2*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end
182
end if MPIR(n,2)==floor(MPIR(n,2)) & MPIR(n,1)~=floor(MPIR(n,1)) coluna=513+floor(MPIR(n,1)); for linha=513+(MPIR(n,2)-1):513+(MPIR(n,2)-1)+1 MDV(linha,coluna)=(1/2*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end end if MPIR(n,2)~=floor(MPIR(n,2)) & MPIR(n,1)~=floor(MPIR(n,1)) linha=513+floor(MPIR(n,2)); coluna=513+floor(MPIR(n,1)); MDV(linha,coluna)=(MPIR(n,3)*10e-3)+MDV(linha,coluna); end end sum(sum(MDV)) Mai=0; for i2=1:10 men(i2)=100000; end somamen=0; for i2=1:1024 for j=1:1024 if Mai < MDV(i2,j); Mai=MDV(i2,j); m=i2; n=j; end end end for o=n-2:n+2 for l=m-2:m+2 if men(1) > MDV(l,o) men(1)= MDV(l,o); for r=1:9 if men(r+1)>men(r); tenp=men(r+1); men(r+1)=men(r); men(r)=tenp; end end end end end for i2=1:10 somamen=men(i2)+somamen; mediamen=somamen/(i2); end x=m-1; y=n-1; for i2=0:2 sx(x+(i2))=0; sy(y+(i2))=0; end for i2=y:y+2 sx(x)=MDV(x,i2)-mediamen+sx(x);
183
sx(x+1)=MDV(x+1,i2)-mediamen+sx(x+1); sx(x+2)=MDV(x+2,i2)-mediamen+sx(x+2); end for j=x:x+2 sy(y)=MDV(j,y)-mediamen+sy(y); sy(y+1)=MDV(j,y+1)-mediamen+sy(y+1); sy(y+2)=MDV(j,y+2)-mediamen+sy(y+2); end xp1=(x)*sx(x)+(x+1)*sx(x+1)+(x+2)*sx(x+2); xp2=sx(x)+sx(x+1)+sx(x+2); xp3=xp1/xp2; MCCY(v,w)=(xp3-512.5); yp1=y*sy(y)+(y+1)*sy(y+1)+(y+2)*sy(y+2); yp2=sy(y)+sy(y+1)+sy(y+2); yp3=yp1/yp2; MCCX(v,w)=(yp3-512.5); MCCX(v,w); MCCY(v,w); MCTX(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),1); MCTY(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),2); v end ni=(20*40)+ni; end k=k+800; end
C.5 – Rotina Aplicada para Testar o Método de Correção dos ESI for w=1:min(size(MCTX)) for v=1:max(size(MCTX)) q=floor(MCCX(v,w)/40)+1; p=floor(MCCY(v,w)/40)+1; if q<=0 q=1; end if p<=0 p=1; end x1=(q-1)*40; x2=x1+40; y1=(p-1)*40; y2=y1+40; EI=(V{p,q}-V{p,q+1})/-40; FI=(V{p,q+1}*x1-V{p,q}*x2)/-40; CI=EI*MCCX(v,w)+FI; EII=(V{p+1,q}-V{p+1,q+1})/-40; FII=(V{p+1,q+1}*x1-V{p+1,q}*x2)/-40; CII=EII*MCCX(v,w)+FII; EIII=(CI-CII)/-40; FIII=(CII*y1-CI*y2)/-40; CIII{v,w}=EIII*MCCY(v,w)+FIII;
184
cor(v,w)=CIII{v,w}*[1/2;cos(2*pi*MCCX(v,w));cos(4*pi*MCCX(v,w));cos(6*pi*MCCX(v,w));cos(8*pi*MCCX(v,w));cos(10*pi*MCCX(v,w));cos(12*pi*MCCX(v,w));cos(14*pi*MCCX(v,w));cos(16*pi*MCCX(v,w));cos(18*pi*MCCX(v,w));0;sin(2*pi*MCCX(v,w));sin(4*pi*MCCX(v,w));sin(6*pi*MCCX(v,w));sin(8*pi*MCCX(v,w));sin(10*pi*MCCX(v,w));sin(12*pi*MCCX(v,w));sin(14*pi*MCCX(v,w));sin(16*pi*MCCX(v,w));sin(18*pi*MCCX(v,w))]; EYI=(V{q,p}-V{q,p+1})/-40; FYI=(V{q,p+1}*y1-V{q,p}*y2)/-40; CYI=EYI*MCCY(v,w)+FYI; EYII=(V{q+1,p}-V{q+1,p+1})/-40; FYII=(V{q+1,p+1}*y1-V{q+1,p}*y2)/-40; CYII=EYII*MCCY(v,w)+FYII; EYIII=(CYI-CYII)/-40; FYIII=(CYII*x1-CYI*x2)/-40; CYIII{v,w}=EYIII*MCCX(v,w)+FYIII; corY(v,w)=CYIII{v,w}*[1/2;cos(2*pi*MCCY(v,w));cos(4*pi*MCCY(v,w));cos(6*pi*MCCY(v,w));cos(8*pi*MCCY(v,w));cos(10*pi*MCCY(v,w));cos(12*pi*MCCY(v,w));cos(14*pi*MCCY(v,w));cos(16*pi*MCCY(v,w));cos(18*pi*MCCY(v,w));0;sin(2*pi*MCCY(v,w));sin(4*pi*MCCY(v,w));sin(6*pi*MCCY(v,w));sin(8*pi*MCCY(v,w));sin(10*pi*MCCY(v,w));sin(12*pi*MCCY(v,w));sin(14*pi*MCCY(v,w));sin(16*pi*MCCY(v,w));sin(18*pi*MCCY(v,w))]; end sqrt((sum(sum((MCTX-MCCX).^2)))/(671*11))
C.6 – Rotina Empregada para Gerar os Dados Usados na Avaliação do Método de
Correção dos ESI / ESI+ESD na Presença do Ruído clc k=401 v=0 w=0 while k<=8401 w=1+w ni=381 v=0 while ni<=8381 fn=num2str(ni); fm=num2str(k); s=strcat('C:\ZEMAX10-11\Macros\TestecoeficientesPN2,836,102preferido7500kfasttransmitanciaobjetiva\spotPT',fn,'.0000',fm,'.0000.txt'); MPIR=load(s); MPIR=MPIR/10e-3; desx=0; for increx=0:0.05:3; v=v+1; for linhami=1:max(size(MPIR)); MPIR(linhami,1)=MPIR(linhami,1)+desx; end
185
desx=0.05; MDV=zeros(1024,1024); for n=1:max(size(MPIR))-1 if MPIR(n,1)==floor(MPIR(n,1)) & MPIR(n,2)==floor(MPIR(n,2)) for linha=513+(MPIR(n,1)-1):513+(MPIR(n,1)-1)+1 for coluna=513+(MPIR(n,2)-1):513+(MPIR(n,2)-1)+1 MDV(linha,coluna)=(1/4*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end end end if MPIR(n,1)==floor(MPIR(n,1)) & MPIR(n,2)~=floor(MPIR(n,2)) linha=513+floor(MPIR(n,2)); for coluna=513+(MPIR(n,1)-1):513+(MPIR(n,1)-1)+1 MDV(linha,coluna)=(1/2*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end end if MPIR(n,2)==floor(MPIR(n,2)) & MPIR(n,1)~=floor(MPIR(n,1)) coluna=513+floor(MPIR(n,1)); for linha=513+(MPIR(n,2)-1):513+(MPIR(n,2)-1)+1 MDV(linha,coluna)=(1/2*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end end if MPIR(n,2)~=floor(MPIR(n,2)) & MPIR(n,1)~=floor(MPIR(n,1)) linha=513+floor(MPIR(n,2)); coluna=513+floor(MPIR(n,1)); MDV(linha,coluna)=(MPIR(n,3)*10e-3)+MDV(linha,coluna); end end MDV=MDV*0.0000137747204821188; Rdet=0.00249999552447516; alfa=0.01; SIGMAe=0.00249999552447516; K=1/80000; SIGMAt=sqrt(K*MDV+(alfa*MDV).^2+(Rdet^2+SIGMAe^2)); MDV=MDV+(SIGMAt.*randn(1024)); for g=1:1024 for h=1:1024 if MDV(g,h)<0 MDV(g,h)=0; end end end MDV=MDV*256; MDV=floor(MDV); sum(sum(MDV)) Mai=0; for i2=1:10 men(i2)=100000; end somamen=0; for i2=1:1024 for j=1:1024
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if Mai < MDV(i2,j); Mai=MDV(i2,j); m=i2; n=j; end end end for o=n-2:n+2 for l=m-2:m+2 if men(1) > MDV(l,o) men(1)= MDV(l,o); for r=1:9 if men(r+1)>men(r); tenp=men(r+1); men(r+1)=men(r); men(r)=tenp; end end end end end for i2=1:10 somamen=men(i2)+somamen; mediamen=somamen/(i2); end x=m-1; y=n-1; for i2=0:2 sx(x+(i2))=0; sy(y+(i2))=0; end for i2=y:y+2 sx(x)=MDV(x,i2)-mediamen+sx(x); sx(x+1)=MDV(x+1,i2)-mediamen+sx(x+1); sx(x+2)=MDV(x+2,i2)-mediamen+sx(x+2); end for j=x:x+2 sy(y)=MDV(j,y)-mediamen+sy(y); sy(y+1)=MDV(j,y+1)-mediamen+sy(y+1); sy(y+2)=MDV(j,y+2)-mediamen+sy(y+2); end xp1=(x)*sx(x)+(x+1)*sx(x+1)+(x+2)*sx(x+2); xp2=sx(x)+sx(x+1)+sx(x+2); xp3=xp1/xp2; MCCY(v,w)=(xp3-512.5); yp1=y*sy(y)+(y+1)*sy(y+1)+(y+2)*sy(y+2); yp2=sy(y)+sy(y+1)+sy(y+2); yp3=yp1/yp2; MCCX(v,w)=(yp3-512.5); MCCX(v,w); MCCY(v,w); MCTX(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),1); MCTY(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),2); v end
187
ni=(20*40)+ni; end k=k+800; end
C.7 – Rotina Empregada para Testar o Método de Correção dos ESI Juntamente
com ESD for w=1:min(size(MCTX)) for v=1:max(size(MCTX)) q=floor(MCCX(v,w)/40)+1; p=floor(MCCY(v,w)/40)+1; if q<=0 q=1; end if p<=0 p=1; end x1=(q-1)*40; x2=x1+40; y1=(p-1)*40; y2=y1+40; EI=(V{p,q}-V{p,q+1})/-40; FI=(V{p,q+1}*x1-V{p,q}*x2)/-40; CI=EI*MCCX(v,w)+FI; EII=(V{p+1,q}-V{p+1,q+1})/-40; FII=(V{p+1,q+1}*x1-V{p+1,q}*x2)/-40; CII=EII*MCCX(v,w)+FII; EIII=(CI-CII)/-40; FIII=(CII*y1-CI*y2)/-40; CIII{v,w}=EIII*MCCY(v,w)+FIII; cor(v,w)=CIII{v,w}*[1/2;cos(2*pi*MCCX(v,w));cos(4*pi*MCCX(v,w));cos(6*pi*MCCX(v,w));cos(8*pi*MCCX(v,w));cos(10*pi*MCCX(v,w));cos(12*pi*MCCX(v,w));cos(14*pi*MCCX(v,w));cos(16*pi*MCCX(v,w));cos(18*pi*MCCX(v,w));0;sin(2*pi*MCCX(v,w));sin(4*pi*MCCX(v,w));sin(6*pi*MCCX(v,w));sin(8*pi*MCCX(v,w));sin(10*pi*MCCX(v,w));sin(12*pi*MCCX(v,w));sin(14*pi*MCCX(v,w));sin(16*pi*MCCX(v,w));sin(18*pi*MCCX(v,w))]; MCCXi(v,w)=MCCX(v,w)+cor(v,w); EYI=(V{q,p}-V{q,p+1})/-40; FYI=(V{q,p+1}*y1-V{q,p}*y2)/-40; CYI=EYI*MCCY(v,w)+FYI; EYII=(V{q+1,p}-V{q+1,p+1})/-40; FYII=(V{q+1,p+1}*y1-V{q+1,p}*y2)/-40; CYII=EYII*MCCY(v,w)+FYII; EYIII=(CYI-CYII)/-40; FYIII=(CYII*x1-CYI*x2)/-40; CYIII{v,w}=EYIII*MCCX(v,w)+FYIII; corY(v,w)=CYIII{v,w}*[1/2;cos(2*pi*MCCY(v,w));cos(4*pi*MCCY(v,w));cos(
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6*pi*MCCY(v,w));cos(8*pi*MCCY(v,w));cos(10*pi*MCCY(v,w));cos(12*pi*MCCY(v,w));cos(14*pi*MCCY(v,w));cos(16*pi*MCCY(v,w));cos(18*pi*MCCY(v,w));0;sin(2*pi*MCCY(v,w));sin(4*pi*MCCY(v,w));sin(6*pi*MCCY(v,w));sin(8*pi*MCCY(v,w));sin(10*pi*MCCY(v,w));sin(12*pi*MCCY(v,w));sin(14*pi*MCCY(v,w));sin(16*pi*MCCY(v,w));sin(18*pi*MCCY(v,w))]; MCCYi(v,w)=MCCY(v,w)+corY(v,w); Rci(v,w)=((MCCXi(v,w)^2 + MCCYi(v,w)^2)^0.5); Rc(v,w)=Rci(v,w)+(6.39e-014*Rci(v,w)^5 -2.5886e-011*Rci(v,w)^4 + 3.7382e-009*Rci(v,w)^3 -1.6316e-006*Rci(v,w)^2 + 0.0009756*Rci(v,w)^1 -0.0018193); MCCX(v,w)=Rc(v,w)*cos(atan(MCCYi(v,w)/MCCXi(v,w))); MCCY(v,w)=Rc(v,w)*sin(atan(MCCYi(v,w)/MCCXi(v,w))); end end sqrt((sum(sum((MCTX-MCCX).^2)))/(671*11))
C.8 – Rotina Usada nos Estudos dos ESI para Fill Factor de 60% clc k=1 v=0 w=0 while k<=8801 w=1+w ni=1 v=0 while ni<=8741 fn=num2str(ni); fm=num2str(k); s=strcat('C:\ZEMAX10-11\macros\PN2,836,102preferido7500kfasttransmitnaciaobjetiva\spotPT',fn,'.0000',fm,'.0000.txt'); MPIR=load(s); MPIR=MPIR/10e-3; desx=0; for increx=0:0.05:3; v=v+1; for linhami=1:max(size(MPIR)); MPIR(linhami,1)=MPIR(linhami,1)+desx; end desx=0.05; MDV=zeros(1024,1024); for n=1:max(size(MPIR))-1 if (MPIR(n,1)-floor(MPIR(n,1)))>0.225403330758516622964146920044 & (MPIR(n,1)-floor(MPIR(n,1)))<0.77459666924148337703585307995648 & (MPIR(n,2)-floor(MPIR(n,2)))>0.225403330758516622964146920044 & (MPIR(n,2)-floor(MPIR(n,2)))<0.77459666924148337703585307995648; linha=513+floor(MPIR(n,2)); coluna=513+floor(MPIR(n,1)); MDV(linha,coluna)=(MPIR(n,3)*10e-3)+MDV(linha,coluna); end end sum(sum(MDV))
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Mai=0; for i2=1:10 men(i2)=100000; end somamen=0; for i2=1:1024 for j=1:1024 if Mai < MDV(i2,j); Mai=MDV(i2,j); m=i2; n=j; end end end for o=n-2:n+2 for l=m-2:m+2 if men(1) > MDV(l,o) men(1)= MDV(l,o); for r=1:9 if men(r+1)>men(r); tenp=men(r+1); men(r+1)=men(r); men(r)=tenp; end end end end end for i2=1:10 somamen=men(i2)+somamen; mediamen=somamen/(i2); end x=m-1; y=n-1; for i2=0:2 sx(x+(i2))=0; sy(y+(i2))=0; end for i2=y:y+2 sx(x)=MDV(x,i2)-mediamen+sx(x); sx(x+1)=MDV(x+1,i2)-mediamen+sx(x+1); sx(x+2)=MDV(x+2,i2)-mediamen+sx(x+2); end for j=x:x+2 sy(y)=MDV(j,y)-mediamen+sy(y); sy(y+1)=MDV(j,y+1)-mediamen+sy(y+1); sy(y+2)=MDV(j,y+2)-mediamen+sy(y+2); end xp1=(x)*sx(x)+(x+1)*sx(x+1)+(x+2)*sx(x+2); xp2=sx(x)+sx(x+1)+sx(x+2); xp3=xp1/xp2; MCCY(v,w)=(xp3-512.5); yp1=y*sy(y)+(y+1)*sy(y+1)+(y+2)*sy(y+2); yp2=sy(y)+sy(y+1)+sy(y+2); yp3=yp1/yp2; MCCX(v,w)=(yp3-512.5);
190
MCCX(v,w); MCCY(v,w); MCTX(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),1); MCTY(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),2); v end if ni==1 ni=781; elseif ni==7981 ni=8741; else ni=(20*40)+ni; end end k=k+800; end
C.9 – Rotina Aplicada para Gerar os Dados Usados na Avaliação do Método de
Correção dos ESI / ESI+ESD para Fill Factor de 60% clc k=401 v=0 w=0 while k<=8401 w=1+w ni=381 v=0 while ni<=8381 fn=num2str(ni); fm=num2str(k); s=strcat('C:\ZEMAXcrack\Macros\TestecoeficientescomdistorçãoPN2,836,102preferido3000kfasttransmitanciaobjetiva25C\spotPT',fn,'.0000',fm,'.0000.txt'); MPIR=load(s); MPIR=MPIR/10e-3; desx=0; for increx=0:0.05:3; v=v+1; for linhami=1:max(size(MPIR)); MPIR(linhami,1)=MPIR(linhami,1)+desx; end desx=0.05; MDV=zeros(1024,1024); for n=1:max(size(MPIR))-1 if (MPIR(n,1)-floor(MPIR(n,1)))>0.225403330758516622964146920044 & (MPIR(n,1)-floor(MPIR(n,1)))<0.77459666924148337703585307995648 & (MPIR(n,2)-floor(MPIR(n,2)))>0.225403330758516622964146920044 & (MPIR(n,2)-floor(MPIR(n,2)))<0.77459666924148337703585307995648; linha=513+floor(MPIR(n,2)); coluna=513+floor(MPIR(n,1)); MDV(linha,coluna)=(MPIR(n,3)*10e-3)+MDV(linha,coluna); end
191
end for g=1:1024 for h=1:1024 if MDV(g,h)<0 MDV(g,h)=0; end end end MDV=floor(MDV*256); Mai=0; for i2=1:10 men(i2)=100000; end somamen=0; for i2=1:1024 for j=1:1024 if Mai < MDV(i2,j); Mai=MDV(i2,j); m=i2; n=j; end end end for o=n-2:n+2 for l=m-2:m+2 if men(1) > MDV(l,o) men(1)= MDV(l,o); for r=1:9 if men(r+1)>men(r); tenp=men(r+1); men(r+1)=men(r); men(r)=tenp; end end end end end for i2=1:10 somamen=men(i2)+somamen; mediamen=somamen/(i2); end x=m-1; y=n-1; for i2=0:2 sx(x+(i2))=0; sy(y+(i2))=0; end for i2=y:y+2 sx(x)=MDV(x,i2)-mediamen+sx(x); sx(x+1)=MDV(x+1,i2)-mediamen+sx(x+1); sx(x+2)=MDV(x+2,i2)-mediamen+sx(x+2); end for j=x:x+2 sy(y)=MDV(j,y)-mediamen+sy(y); sy(y+1)=MDV(j,y+1)-mediamen+sy(y+1); sy(y+2)=MDV(j,y+2)-mediamen+sy(y+2);
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end xp1=(x)*sx(x)+(x+1)*sx(x+1)+(x+2)*sx(x+2); xp2=sx(x)+sx(x+1)+sx(x+2); xp3=xp1/xp2; MCCY(v,w)=(xp3-512.5); yp1=y*sy(y)+(y+1)*sy(y+1)+(y+2)*sy(y+2); yp2=sy(y)+sy(y+1)+sy(y+2); yp3=yp1/yp2; MCCX(v,w)=(yp3-512.5); MCCX(v,w); MCCY(v,w); MCTX(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),1); MCTY(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),2); v end ni=(20*40)+ni; end k=k+800; end
C.10 –Rotina Aplicada para Gerar os Dados Usados na Avaliação do Método de
Correção dos ESI / ESI+ESD para Fill Factor de 60% na Presença do Ruído clc k=401 v=0 w=0 while k<=8401 w=1+w ni=381 v=0 while ni<=8381 fn=num2str(ni); fm=num2str(k); s=strcat('C:\ZEMAXcrack\Macros\TestecoeficientescomdistorçãoPN2,836,102preferido3000kfasttransmitanciaobjetiva25C\spotPT',fn,'.0000',fm,'.0000.txt'); MPIR=load(s); MPIR=MPIR/10e-3; desx=0; for increx=0:0.05:3; v=v+1; for linhami=1:max(size(MPIR)); MPIR(linhami,1)=MPIR(linhami,1)+desx; end desx=0.05; MDV=zeros(1024,1024); for n=1:max(size(MPIR))-1 if (MPIR(n,1)-floor(MPIR(n,1)))>0.225403330758516622964146920044 & (MPIR(n,1)-floor(MPIR(n,1)))<0.77459666924148337703585307995648 & (MPIR(n,2)-
193
floor(MPIR(n,2)))>0.225403330758516622964146920044 & (MPIR(n,2)-floor(MPIR(n,2)))<0.77459666924148337703585307995648; linha=513+floor(MPIR(n,2)); coluna=513+floor(MPIR(n,1)); MDV(linha,coluna)=(MPIR(n,3)*10e-3)+MDV(linha,coluna); end end MDV=MDV*4.7121e-005; Rccd=0.00353552757658481; alfa=0.01; SIGMAe=0; K=1/80000; SIGMAt=sqrt(K*MDV+(alfa^2*(MDV.^2))+Rccd^2+SIGMAe^2); MDV=MDV+(SIGMAt.*randn(1024)); for g=1:1024 for h=1:1024 if MDV(g,h)<0 MDV(g,h)=0; end end end MDV=floor(MDV*256); Mai=0; for i2=1:10 men(i2)=100000; end somamen=0; for i2=1:1024 for j=1:1024 if Mai < MDV(i2,j); Mai=MDV(i2,j); m=i2; n=j; end end end for o=n-2:n+2 for l=m-2:m+2 if men(1) > MDV(l,o) men(1)= MDV(l,o); for r=1:9 if men(r+1)>men(r); tenp=men(r+1); men(r+1)=men(r); men(r)=tenp; end end end end end for i2=1:10 somamen=men(i2)+somamen; mediamen=somamen/(i2); end x=m-1; y=n-1;
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for i2=0:2 sx(x+(i2))=0; sy(y+(i2))=0; end for i2=y:y+2 sx(x)=MDV(x,i2)-mediamen+sx(x); sx(x+1)=MDV(x+1,i2)-mediamen+sx(x+1); sx(x+2)=MDV(x+2,i2)-mediamen+sx(x+2); end for j=x:x+2 sy(y)=MDV(j,y)-mediamen+sy(y); sy(y+1)=MDV(j,y+1)-mediamen+sy(y+1); sy(y+2)=MDV(j,y+2)-mediamen+sy(y+2); end xp1=(x)*sx(x)+(x+1)*sx(x+1)+(x+2)*sx(x+2); xp2=sx(x)+sx(x+1)+sx(x+2); xp3=xp1/xp2; MCCY(v,w)=(xp3-512.5); yp1=y*sy(y)+(y+1)*sy(y+1)+(y+2)*sy(y+2); yp2=sy(y)+sy(y+1)+sy(y+2); yp3=yp1/yp2; MCCX(v,w)=(yp3-512.5); MCCX(v,w); MCCY(v,w); MCTX(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),1); MCTY(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),2); v end ni=(20*40)+ni; end k=k+800; end