VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS

ALEKSEJUS BOGDANOVIČIUS

PANAŠUMO TEORIJOS IR

MODELIAVIMO PAGRINDAI

Mokomoji knyga

Vilnius, 2004

Turinys

1. MODELIAVIMAS, KAIP PAŽINIMO METODAS. MODELIŲ KLASIFIKAVIMAS.................................................................................................................................................... 3

2. PANAŠUMO TEORIJOS OBJEKTAS IR METODIKA ................................................ 4 2.1. GEOMETRINIS PANAŠUMAS............................................................................................... 5 2.2. HOMOGENINĖMIS FUNKCIJOMIS APRAŠOMŲ REIŠKINIŲ PANAŠUMAS. PANAŠUMO KRITERIJAI............................................................................................................................... 7 2.3. DIFERENCIALINIŲ IR INTEGRALINIŲ OPERATORIŲ REDUKAVIMAS................................... 12 2.4. BENDRAS PANAŠUMO ATVEJIS ........................................................................................ 18 2.5. PANAŠUMO TEOREMOS ................................................................................................... 21

3. MECHANINIŲ REIŠKINIŲ PANAŠUMAS .................................................................. 21 3.1. PAGRINDINIŲ MECHANINIŲ DYDŽIŲ PANAŠUMO KOEFICIENTAI ...................................... 21 3.2. ATSKIRI PANAŠUMO ATVEJAI IR MODELIAVIMAS MECHANIKOJE..................................... 23

4. HIDRODINAMINIŲ IR AERODINAMINIŲ REIŠKINIŲ PANAŠUMAS ................ 27

5. ŠILUMINIŲ REIŠKINIŲ PANAŠUMAS IR MODELIAVIMAS ................................ 31

6. ANALOGINIS MODELIAVIMAS .................................................................................. 34 6.1. PERNEŠIMO REIŠKINIŲ PANAŠUMAS................................................................................ 34 6.2. ELEKTRINIS ŠILUMINIŲ REIŠKINIŲ MODELIAVIMAS......................................................... 37

7. DIMENSIJŲ TEORIJA..................................................................................................... 40 7.1. PAGRINDINIAI IR IŠVESTINIAI MATAVIMO VIENETAI. DYDŽIO DIMENSIJA ....................... 40 7.2. SKIRTINGŲ SISTEMŲ MATAVIMO VIENETŲ SĄSAJOS NUSTATYMAS.................................. 44 7.3. FUNKCINIŲ RYŠIŲ NUSTATYMAS DIMENSIJŲ ANALIZE .................................................... 45 7.4. π-TEOREMA DIMENSIJŲ TEORIJOJE .................................................................................. 49

8. DIMENSIJŲ ANALIZĖS PRIVALUMAI IR TRŪKUMAI ......................................... 50

I PRIEDAS.............................................................................................................................. 51

Fizinių dydžių žymėjimai, dimensijos ir SI sistemos matavimo vienetai.......................... 51

II PRIEDAS ............................................................................................................................ 52

Dažniausiai naudojami panašumo kriterijai.................................................................... 52

2

1. MODELIAVIMAS, KAIP PAŽINIMO METODAS. MODELIŲ KLASIFIKAVIMAS

Modeliavimas yra efektyvus mokslinio tyrimo ir prognozavimo metodas. Žodis "modelis" (lotyniškai modulus - matas, pavyzdys) įvairiose žmonių veiklos srityse įgyja skirtingas reikšmes. Plačiąja prasme modelis yra bet koks mintinis arba materialusis originalo (objekto, reiškinio, proceso) atvaizdas. Senamiesčio paveikslas, Žemės gaublys, žmogaus veiklos planai rytojui, chemijos formulės, mikrorajono maketas, operos partitūra, istorijos vadovėlis - visa tai yra modeliai. Mes suvokiame supantį pasaulį kurdami šio pasaulio bei jo fragmentų modelius. Vaikystėje tokie modeliai būna paprastesni, laikui bėgant, jie tobulėja ir vis adekvačiau atspindi tikrovę, todėl didėja jų prognostinės galimybės. Analogiškas procesas vyksta ir žmonijos civilizacijos raidoje. Pavyzdžiui, galima būtų palyginti Ptolemėjo (apie 90-168 m.m.) Visatos geocentrinį ir Koperniko (1473-1543 m.m.) heliocentrinį modelius, arba juos lyginti su šiuolaikiniais kosmologiniais modeliais, besiremiančiais bendrąja reliatyvumo teorija.

Moksle modelis atstovauja originalui, išlaikydamas tas originalo savybes, kurios yra esminės ir svarbios konkrečiam tyrimui. Pavyzdžiui, galima kurti žmogaus mechaninį modelį (robotą, manekeną), biologinį (anatomijos atlasas), psichologinį (psichoterapeuto diagnozė) ir t.t. Tai pačiai vietovei galima sudaryti geografinį, hidrografinį, ekologinį, demografinį, etnografinį žemėlapius. Svarbu pasirinkti tokį modelį, kuris leistų suprasti modeliuojamo objekto esmines savybes, jo struktūrą, raidos dėsningumus ir sąveiką su aplinka. Tinkamai sukurtas modelis padeda ne tik valdyti objektą, bet ir numatyti valdymo (t.y. poveikio objektui) tiesiogines ir netiesiogines pasekmes.

Modeliavimas, kaip pažinimo įrankis, turi nemažai privalumų. Pavyzdžiui, jis yra vienintelis tyrimo būdas, jei objektas yra nepasiekiamas erdvėje (procesai Saulėje) ir laike (organinių molekulių ir junginių sintezė Žemėje prieš keletą milijardų metų), arba retai stebimas gamtoje ir yra trumpalaikis (kamuolinis žaibas). Kai kuriais atvejais modeliavimas leidžia stebėti procesus keičiant laiko mastelį − "ištempiant" laiko skalę (smūginių deformacijų modeliai) arba ją "suspaudžiant" (modeliuojant lėtus difuzijos procesus greitaisiais). Atliekant natūrinius (t.y. gamtos sąlygomis) eksperimentus, galima tirti radioaktyvios arba nuodingos medžiagos sklidimą, keičiant ją nekenksminga medžiaga. Destrukciniai bandymai su modeliais yra daug ekonomiškesni ir techniškai paprastesni, lyginant su bandymais, atliekamais su originalais. Modeliuojant galima kartoti eksperimentus, keisti jų sąlygas tyrinėtojo nuožiūra. Bet tai ne visuomet įmanoma stebint reiškinius gamtoje arba atliekant natūrinius eksperimentus.

Modeliai gali būti daiktiniai (materialieji) ir mintiniai (idealieji) (l pav.). Materialieji modeliai yra dviejų rūšių - fizikiniai (kai objektas ir jo modelis turi tą pačią fizikinę prigimtį, pavyzdžiui, laivas ir jo modelis)* ir analoginiai (kai objektas ir modelis turi skirtingą fizikinę prigimtį, bet formaliai vienodai aprašomi matematinėmis lygtimis arba loginėmis schemomis, pavyzdžiui, mechaniniai svyravimai ir jų elektromagnetinis analogas). Idealieji modeliai skirstomi į intuityviuosius (jie kuriami remiantis mokslininko intuicija, jei objekto aprašymas negali būti visiškai formalizuotas, pavyzdžiui, kai kurie mikropasaulio fizikos arba kosmologijos modeliai), ir simbolinius (vaizduojančius modelį matematikos, logikos arba kitos .formalizuotos kalbos ženklais bei simboliais, pavyzdžiui, politropinio proceso lygtis

). Atskirai reikėtų paminėti eksperimentą, kaip intuityvaus, jutiminio ir simbolinio modeliavimo sintezę. Šis modelių klasifikavimas yra sąlygiškas ir ne vienintelis galimas.

constpVn =

_________________________ *Autoriaus nuomone, šis pavadinimas nėra tinkamas, kadangi ir analoginiai modeliai turi fizikinę prigimtį. Geriau

būtų vadinti juos „vienarūšiais“

3

Dalis autorių priskiria skaitmeninius ir struktūrinius matematinius modelius materialiesiems modeliams, o matematinius programinius sprendinius ir ekonomikos modelius − idealiesiems modeliams. Be to, nei fizikinis, nei analoginis modeliavimas anaiptol nėra diletantiško pobūdžio; jis yra galimas tik besiremiant pakankamai išsamiomis fundamentinių mokslų žiniomis. Pastaruoju metu labai paplitęs kompiuterinis modeliavimas yra neatskiriama ir svarbi informatikos dalis. Šiai problemai nagrinėti yra skirta specialioji literatūra. Mes nagrinėsime iš esmės materialųjį modeliavimą.

2. PANAŠUMO TEORIJOS OBJEKTAS IR METODIKA Anksčiau buvo pabrėžta, kad modelis parenkamas atsižvelgiant į konkrečią užduotį. Kad

veiksmai, bandymai, operacijos su modeliu teiktų teisingą, neiškreiptą informaciją apie sumodeliuotą originalą, modelis turi būti sudarytas pagal tam tikras taisykles. Būtent šias taisykles nustato panašumo teorija, kuri kaip mokslo šaka pradėjo formuotis XX amžiaus pradžioje ir yra vystoma lygi šiol.

Fizikiniai ir techniniai procesai vyksta pagal gamtos dėsnius. Daugeliui atvejų yra žinomi šių dėsnių turinys bei forma (matematinė išraiška). Tačiau perėjimas nuo bendrųjų fizikos, chemijos ir kitų fundamentinių mokslų dėsnių prie konkretaus proceso matematinės išraiškos dažnai būna labai sudėtingas, ypač jei tiriamam procesui turi įtakos veiksniai, priklausantys skirtingiems fundamentiniams mokslams. Pavyzdžiui, modeliuojant sprogimą, reikia atsižvelgti į mechanikos, akustikos, termodinamikos, chemijos dėsningumus. Tokiais atvejais jei ir gaunama analitinė proceso išraiška, ji gali turėti sudėtingą diferencialinių, integralinių arba integralinių diferencialinių lygčių sistemos formą. Pagrindiniuose fundamentinių mokslų dėsniuose figūruoja esminės sąvokos (jėga, masė, energija, šilumos kiekis ir t.t.), kurių dydžiai yra fizikinių reiškinių kiekybiniai matai. Tuo tarpu eksperimentiškai ir fizikoje, ir inžineriniuose moksluose paprastai naudojamasi betarpiškai matuojamais dydžiais - matmenimis, laiku, temperatūra, aplinkos fizikinėmis konstantomis (žr. 2.3.2 pavyzdį). Konkretizuoti fundamentinius dėsnius, taikant juos sukurtam modeliui, išreikšti procesą matuojamų dydžių funkcine priklausomybe reiškia sudaryti pagrindines uždavinio lygtis. Šios lygtys kiekybiškai išreiškia bendrąjį supratimą apie fizikinį proceso mechanizmą. Modelis turi dialektiškai susieti savyje tiek atskiro proceso savybes, tiek fundamentinius mokslo principus. Todėl fizikinis modelis iš esmės turi būti sugretinamas ne su pavieniu reiškiniu, bet su visa reiškinių klase. Atitinkamai lygties arba lygčių sistemos sprendinio neapibrėžtumas, daugiareikšmiškumas atspindi šio sprendinio tinkamumą tam tikrai uždavinių aibei. Konkretų aibės uždavinį galima išskirti tik pasitelkiant papildomas sąlygas. Kiekvienam procesui galima nustatyti parametrus (kintamuosius), kurių ryšiai lemia proceso eigą. Svarbu, nuo kokio pradinio būvio prasidėjo procesas (pradinės sąlygos) ir kokiomis sąlygomis sistemos sąsajoje su aplinka vyksta procesas (kraštinės sąlygos). Tai nepriklausomi kintamieji. Pradinės bei kraštinės sąlygos ir kintamųjų apibrėžtumo ribos išskiria procesą iš panašiųjų procesų

4

visumos, yra konkretaus proceso vienareikšmiškumo sąlygos. Kiti kintamieji yra priklausomi. Pavyzdžiui, kūno judėjimo greitis klampioje terpėje yra priklausomas kintamasis, o tankis, klampumo koeficientas, laisvojo kritimo pagreitis – nepriklausomi.

2.1. Geometrinis panašumas

5

p a n a š u m o k o e f i c i e n t u

Lengviausiai suvokiamas yra geometrinis panašumas. Geometriškai panašios figūros (žr. 2 pav.) turi vienodą formą nepriklausomai nuo matmenų. Atstumų tarp bet kokių dviejų vienos figūros taškų bei atitinkamų panašios figūros taškų santykis yra pastovus ir vadinamas

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ == '1

1' l

lllcl , o kampai tarp atitinkamųjų linijų yra lygūs.

e, turime du a s:

x =+ ir . Redukuokime abi lygtis į bedimensę formą, padaliję jas atitin

2.1.1 p a v y z d y s. Tarkim pskritimus, kurie visada yra panašūs. Jų lygty222 ry 2'2'2' ryx =+

kamai iš apskritimų spindulių 2r ir 2'r :

.1ry

'rx

,1ry

rx 2

2

2

2'

2'

2

'2

2

=+

=+

(2.1.1)

a) Kadangi Xrx

rx

'

'== ir Y

ry

ry

'

'== , abiem panašiems apskritimams gauname tą pačią

bedim nsę lygtį: e

1YX 22 =+ . (2.1.2)

okią matematinę operaciją galima atlikti su bet kokių geometriškai panašilygtimis. Taigi geometrinio panašumo sąlyga yra figū as aprašančių bedimidentiškum

ą

T ų figūrų

r ensių lygčių as.

Analogiškai geometriniam panašumo koeficientui galime įvesti fizikinio dydžio panašumo koeficientą, arba s i m p l e k s ą. Fizikinių dydžių panašumo koeficientus toliau žymėsime raide c su indeksu, atitinkančiu tų dydžių įprastą žymėjim (žr. II priedą) (pavyzdžiui, bet kokių linijinių matmenų (t.y. geometrinis) panašumo koeficientas žymimas cl, masės panašumo koeficientas cm, laiko panašumo koeficientas ct, jėgos panašumo koeficientas cf ir pan.). Analoginio panašumo koeficientus žymėsime raide c su dviem indeksais.

Dar 1683 metais G. Galilėjus (1564 - 1642) pirmasis pabrėžė, kad dviejų objektų (kartu

6

kinį panašumą galima pasiekti tik atsisakius geometrinio panašumo.

į gausime, sumažinę mastelį cl kartų (3 pav.). Išnagrinėkime keletą atvejų.

e rutulius materialiaisiais

taškais, esanč a šio objekto ir jo modelio svyravimų periodų santykis, t.y. kam lygus periodo panašumo koeficientas?

objekto bei modelio) geometrinis panašumas jokiu būdu nereiškia jų fizikinio panašumo. Kartais fizi

2.1.2 p a v y z d y s. Išnagrinėkime geometrinio bei fizikinio panašumo ryšį. Laikykime objektu metalinį rutulį, pakabintą ant to paties metalo lyno, o šios sistemos model

a) Objektas laikomas matematine švytuokle, t.y. laikomiais lynų galuose, ir nepaisome lynų masių (3a pav.). Koks yr

Matematinės švytuoklės (objekto ir modelio) svyravimų periodai atitinkamai lygūs:

g2T π= , (2.L 1.3)

gL2T

'' π= . (2.1.3a)

čia: ir švytuoklių ilgiai; − laisvojo kritimo p

Iš (2.1.3) ir (2.1.3a) gauname periodo panašumo koeficientą: L 'L − g agreitis.

l''T cLT

c == . LT (2.1.4)

Matome, kad periodo panašumo periodo panageometrinio panašumo koeficientu. Gautas rezultatas fiziškgeom triškai c kartų mažesnio modelio svyravimų periodas yra

šumo koeficientas nesutampa su

ai reiškia, kad šiuo atveju e l lT

galime “suspausti” laiką cc = trumpesnis, t.y. mes

lc kartų, stebėdami tiek kartų pagreitintą svyravimų procesą. Atitinkamai parinkus didesnį už objektą modelį, mes “ištempiame” laiko skalę.

b) Objektas ir modelis nejuda. Palyginkime įtempimo jėgas itinkamuose taškuose (3b pav.). Šios jėgos lygios ų dalių toliau tiriamų taškų ir rutulių svoriams:

lynų at lyn

Vgmgf ρ== , (2.1.5)

g'Vgmf '' ρ== , (2.1.5a)

7

čia: ir ir yra rutulių bei lynų dalių žemiam 'm , V 'V u tiriamo taško masės ir tūriai, ρ − metalo tankis (prisiminkime, kad jis yra vienodas lynui ir rutuliui). Atsižvelgę į tai, kad tūriai yra proporcingi linijinių

matmenų kubams, gauname:

33

clVfc =⎟⎞⎜⎛=== . (2.1.6) l'''flVf ⎟⎠⎜⎝

Šiuo atveju jėgos panašumo koeficientas yra lygus geom

Vadinasi, lyną veikiančios jėgos požiūriu modelis nėra adekvayra ta pati (t.y .

r mod i atitinkamai gauname:

etrinio panašumo kubui. tus objektui, jei jų medžiaga

. 1=pc )Apskaičiuokime dar vieno dinaminio dydžio − įtempio panašumo koeficientą. Įtempis

lygus lyno skerspjūvį veikiančios jėgos ir šio skerspjūvio ploto santykiui. Objektui i eliu

S

f=σ , (2.1.7)

'. (2.1.7a)

'f'

S=σ

Turime rasti

'c

σσ

σ = . Prieš tai buvo parodyta, kad 3l'f c

ffc == . Plotai yra proporcingi

linijin ų matmenų kvadratams, todėl i

2S

l's cS

c == . (2.1.8)

Iš formulės (2.1.8) gauname:

l2l

3l

'

'

'c

c

c

SffSc ====

σσ

σ . (2.1.9)

Matome, kad nagrinėjamame pavyzdyje įtempimo panašumo koeficientas sutapo su geometrinio panašumo koeficientu.

šio paprasto pavyzdžio darytinos dvi išvados. Pirma − modeliuojant būtina numatyti, kokių

ašumo teorijos objektas.

pradžių pagrįskime tolesnius matematinius skaičiavimus bendrais samprotavimais. m jų

komb

Iš dydžių panašumo mes siekiame. Antra − adekvačių modelių sukūrimas reikalauja

specialios metodikos, kuri ir yra pan

2.2. Homogeninėmis funkcijomis aprašomų reiškinių panašumas. Panašumo kriterijai Iš

Praktiškai kiekvieno proceso eigą nulemia daug veiksnių, kurių poveikis pasireiškia kartu tatikruose deriniuose. Atstojamąjį, suminį efektą nulemia ne pavieniai dydžiai, o

inacijos. Todėl yra logiška procesą aprašančius dydžius įvesti ne kaip pavienius parametrus, o kompleksų pavidalu. Panašius reiškinius aprašantys kompleksai neturi priklausyti nuo mastelio ir matavimo vienetų sistemos parinkimo, t.y. minėti kompleksai turi būti bedimensiai. Jie formuojami priklausomai nuo dėsningumų, būdingų konkrečiai panašių reiškinių aibei.

8

, (2.2.1)

u reiškiniai, arba objektai yra panašūs, jei: jie aprašomi identiškos formos lygtimis, pavyzdžiui:

(2.2.2)

Išnagrinėkime atvejį, kai reiškinys matematiškai aprašomas funkciniu ryšiu tarp fizikinių* kintamųjų. Bendras tokios lygties pavidalas:

0)x,...,x,x(F n21 =

čia x yra fizikiniai kintamieji. i

D

( ) 0x,...,x,x,tF n21 = ,

( ) 0x,...,x,x,tF '

n'2

'1

' = , (2.2.2a)

egzist į lygtis įeinančių atitinkamųjų kintamųjų (objektų arba reiškinių pproporcingumas, išreiškiamas panašumo koeficientais (simpleksais):

uoja arametrų)

.x

c ,...,x

c ,x

c ,t

c'n

x'2

x'1

x't n21==== (2.2.3)

xxxt n21

( ) ( )'nn

'22

'11

'n

'2

'1 xc,...,xc,xcFx,...,x,xF = . (2.2.7)

Kadangi (2.2.7) išraiškoje funkcijos yra homogeninės, galima taikyti (2.2.4) lygtį.

uomet gauname:

T

( ) ( ) ( )'n21n21n21

Akivaizdu, ka

''''' x,...,x,xFc,...,c,cx,...,x,xF Φ= (2.2.8)

d turi būti:

( ) 1,...,, 21 =Φ nccc . (2.2.9)

dinamos k o e f i c i e n t ų l y g t i m i s.

Matematiškai buvo įrodyta, kad jei kintamųjų skaičiuskaičius k, tai ci koeficientus galima gauti

(2.2.9) pavidalo lygtys va

s yra n, o nepriklausomų dimensijų ( )kn − funkcinių priklausomybių, turinčių laipsninių

komp

⎬

=

=

=

−−−

+

kkn2kn1kn

rk2r1r

ak

a2

a1n

ak

a2

a1rk

11

c...ccc

...................................

,c...ccc

..........

c

, (2.2.10)

čia yra kintamųjų panašumo koeficientai, − laipsnių rodikliai.

______________________ * Terminas “fizikiniai” anaiptol nereiškia, kad šie kintamieji naudojami tik fizikoje. Jais anaiptol operuoja inžinieriai

ėga, įtempis, energija, srovė, apšviestumas), medikai (biosrovės, apkrovimas, švitinimo dozė), ekonomistai (masė, galia, našumo koeficientas), net konditeriai (kaloringumas)

leksų pavidalą:

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎫

+k11211 a

ka2

ak

.........................

,c...cc

k21 c ..., ,c ,c rka

(j

9

Vėliau V skaičius k būna maže ų skaičių.

a užrašyti koeficientų lygties pavidalu, dalijant visą lygtį

an Draistas (Van Driest) įrodė, kad yra galimos išimtys, kaisnis už nepriklausomų dimensijKaip matome, įvedus panašumo koeficientus, gauname papildomą lygčių sistemą, kuri

neturi prieštarauti reiškinį nusakančioms lygtims. Kiekvieną iš (2.2.10) lygčių galimiš jos dešiniosios pusės:

1...21

rkkccc

21+

rr aarkc =a . (2.2.11)

ę į (2.2.11) 'i

ix

xx

ci=Įraš , gauname:

idemx...xx

x

x..xx 212r1r

.

xra'

ka'

2a'

1

'rk

ak

aark

rk2r1rrk≡== ++ π . (2.2.12)

.2.12) išreiškia bedimensį kintamųjų derinį, identišką visai panašiųjų reiškinių aibei (palyginkite su (2.1.2). tokie deriniai yra vadinami p a n a š u m o k r i t e r i j a i s arba

(2-π k

r i t e r i j a i s. Mes visada žymėsime π -kriterijus su indeksais ( )iπππ ,, 2 skirti gai nuo 1 nformulėse dažnai sutinkamo skaičiaus . Dažniausiai naudojami π14,3=π -kriterijai yra žymimi moks

r

lininkų pavardžių pirmomis dviem (rečiau viena) raidėmis ir vadinami skaičiais (pavyzdžiui, Ne − Niutono (Newton) skaičius; M − Macho (Mach) skaičius). Jie pateikti II priede. Panašumo kriterijai, būdami kelių fizikinių dydžių santykiais, atspindi skirtingų veiksnių santykinę įtaką modeliuojamiems eiškiniams.

Jei turime m kriterijų ( )miidemi ,...,2,1==π , tai galime gauti kitus panašumo kriterijus,

formuojant pirmųjų derinius (pavyzdžiui, idemidemideml

kkj =π

ππ=π

π=ππ j

k

j , , ir pan.).

Taip galima suformuoti panašumo kriterijus tik iš dydžių, įeinančių į vienareikšmiškumo sąlygas. Turėdami r pradinių kriterijų sistemą { }rπππ ,...,, 21 , gauname jai ekvivalentišką pergrupuotų kriterijų sistemą }{ lkkkk +++ ππππππ ,...,,,,...,, 2121 , kurioje k π -kriterijų yra

ųjų ir l sudaryti iš priklausomų ir nepriklausomų kintam π -kriterijų yra sudaryti tik iš vienareikšmiškumo sąlygų. Bendras kriterijų skaičius rlk =+ lieka toks pats. Kiekvienas iš pirmųjų k kriterijų yra likusiųjų l kriterijų funkcija

Lygtis ( ) 0,...,, 21 =nxxxF anašumo kriterijus susiejanti lygtis ( )lkkkii

. aprašo konkretų reiškinį, o p

+++ ππππ=π ,...,, 21 tinka visų panašiųjų reiškinių aibei. 2.2.1 p a v y z d y s. Tegul objektas ir modelis y

ra aprašomi lygtimis:

(2.2.14)

čia b ir yra konstantos.

Kintamųjų panašumo koeficientai (simpleksai):

32

21 xbxz = , (2.2.13)

3'2

2'1

'' xxbz = ,

b′

'2

2x'

1

1x'z

xxc ,

xxc ,

zzc

21== . 2.2.15) =

10

odelio panašumo kriterijus. ringos, panašumo kriterijus galima rasti

dviem ūdais.

Nusakome ir reikšmes ir iš (2.2.15) išreiškę

Raskime objekto ir mJei lygtys (2.2.13), (2.2.14) ir (2.2.15) nepriešta b

1x 2x1x

1'1 c

xx

= bei 2x

2x , įrašome į '2 c

x =

(2.2.14):

3

x

2

x

1''

21cc

bz ⎟⎟⎠⎜

⎜⎝⎟

⎟⎠⎜

⎜⎝

= .

Išreišk

2xx ⎞⎛⎞⎛

(2.2.16)

ę z iš (2.2.15), įrašome iš (2.2.16):

z′

32x ⎟⎞⎜⎛ . (2.2.17) x

2

x

1'z

'z

21cc

xbczcz ⎟⎠⎜⎝⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

s, gauname:

rilyginę (2.2.13) ir (2.2.14) dešiniąsias puseP

3

x

22

x

1'z

32

21

21cx

cx

bcxbx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ,

arba

1cc

cbb

3x

2x

z'

21

=⋅ . (2.2.18)

a koeficientų lygtis.

Nusakome r reikšmes ir iš (2.2.15) iš(2.2.13):

)21

. (2.2.19)

(2.2.18) yra ieškom

'1x i '

2x reiškę '1x1 xcx

1= bei '

2x2 xcx2

= , įrašome į

(cbz = ) ( 3'

2x2'

1x xcx

Išreiškę z′ iš (2.2.15), įrašome z iš (2.2.19):

( ) ( )z

3'2x x

2 . (2.2.20) 2'

1x

z

'c

cxcb

czz 1==

( s, gauname: Prilyginę 2.2.14) ir (2.2.20) dešiniąsias puse

1c

cc

bb

z

3x

2x

'21 = .

objektas ir modelis yra vienas kito „veidrodinis atspindys“, t.y. modeliuojant juos galima keisti vietomis. Iš (2.2.21) gaunamas panašumo kriterijus:

(2.2.21)

Lygtys (2.2.18) ir (2.2.21) yra identiškos. Tai reiškia, kad

11

idemz

xxbzxbx

'

'2

'1

'32

21

1

32

===π . (2.2.22)

) ir (2.2.15) lygčių sistemos suderinamumas. 2.2.2 p a v y z d y s. Raskime rutulio greito judėjimo skystyje panašumo kriterijų.

Nagrinėsime horizontalų rutulio judėjimą, todėl sunkio bei Arclaikome lygią nuliui. Didelio greičio atveju skysčio judėjimas yra turbulencinis ir palyginti mažos kla

(2.2.23)

. (2.2.24)

reiškiame modelio parametrus per objekto parametrus ir panašumo koeficientus

Primename, kad (2.2.22) lygties negalima gauti betarpiškai iš (2.2.13) ir (2.2.14), kol

nėra užtikrintas (2.2.13), (2.2.14

himedo jėgų atstojamąją

mpumo jėgos galime nepaisyti. Šiuo atveju rutulį veikia tokia pasipriešinimo jėga:

22 vr12.0f ρπ= , .pas

čia: r − rutulio spindulys, v − rutulio greitis, ρ − skysčio tankis.

Modeliui atitinkamai turime:

2''2''.pas r12.0f υρπ=

Iš

r

' rc

r = , vcv = , v'

ρ

ρρc

= , '.

.' pasf ir į e juos į (2.2.24): .

fpas cf =

pasrašom

2

vr.sf ccccpa ⎠⎝⎟⎠⎜⎝⎠⎝ ρ

(2.2.25) įra paf ir po supaprastinimo gauna

2.pas vr12.0

f⎟⎟⎞

⎜⎜⎛⎟⎞⎜⎛⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

= ρπ . (2.2.25)

Į šome s iš (2.2.20) me koeficientų lygtį: .

1ccc

c22

r

f .pas

=υρ. (2.2.26)

e panašumIš (2.2.26) gaunam o kriterijų:

idemr

fr

f2'υ'2'

'

221 ===ρρυ

π . (2.2.27)

Išnagrinėkime šio panašumo kriterijaus fizikinę prasmę. Jeigu norime, kad kartų

suma p ir objektą, rc

( )'ff =žintą modelį veiktų tokia pati jėga, kai , ir objekto bei modelio skystis yra tas pats ( )'ρρ = , skysčio greitį turime padidinti kartų; jei norime

sumodeliuoti vienodą slėgį

rv cc =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2'

'

2 rf

rf , o modelio greitis yra

panau

vc kartų mažesnis, reikia

doti skystį, kurio tankis yra didesnis 2υρ = cc kartų; jei modelio spindulys yra kartų

mažesnis, jo greitis vc kartų mažesnis, o skysčio tankis toks pats, modelį veikianti jėga bus 2v

2r cc kartų mažesnė.

rc

12

ų operatori2.3. Diferencialinių ir integralini ų redukavimas Sudėtingi techniniai procesai dažnai aprašomi ne elementariosiomis funkcijomis, o

diferencialinėmis, integralinėmis arba integralinėmis diferencialinėmis lygtimis. Išnagrinėkime, kaip rasti panašumo kriterijų, jei funkcija turi pavidalą:

( ) 0D...,D,DF n,21 = , (2.3.1)

iferencialiniai operatoriai

čia iD − diferencialiniai arba integraliniai operatoriai.

DJeigu objektas yra aprašomas diferencialiniu operatoriumi

dxdyz = , (2.3.2)

tai m deliui panašią funkciją galime išreikšti, naudojant funkcijos ir kintamųjų panašumo okoeficientus:

( )( )xcd

ycdzc

x

yz = . (2.3.3)

Laikydami panašumo koeficientus pastoviais, gauname:

dxdy

czc y

z = (2.3.4) cx

Palyginę (2.3.2) su (2.3.4), gauname diferenciišreikštą per diferencijuojamos funkcijos ir jos argum

alinio operatoriaus panašumo koeficientą, ento panašumo koeficientus:

x

yz

cc =

c (2.3.5)

Antrajai išvestinei:

2

2

dxyd

dxdzu == . (2.3.6)

Analogiškai (2.3.5) galima teigti, kad

2x

y

x

zu

c

cccc == . (2.3.7)

Indukcijos būdu bet kurios eilės išvestinei

n

n

dxydw = gau : name

nx

yw

c

cc = . (2.3.8)

Vadinasi, n-tosios eilės išvestinės operatorius pakeičiamas bedimensiu kompleksu. Šis

13

keitim as operatoriaus redukavimu į bedimensį kompleksą ir simboliškai žymimas as vadinam

D ii P→ , (2.3.9)

čia − operatorius; − redukuotas bedimensis kompleksas. (2.3.1) lygtyje galima pereiti prie bedimensių ų ų. Jei ši lygtis aprašo objekt

modeliui turime:

Analogiškai (2.2.3) įvedame operatorių panašu koeficientą

iD iP kintam j ą, tai

( )0,..., ''

2'1 =nDDDF . (2.3.10)

mo

idemD

c iD ≡= .

D'i

i

(2.3.11)

eigu diferencialinis operatorius yra lygus kelių operatorių sumai J

ikij2i1ii D...D...DDD +++++= , (2.3.12)

galima pereiti prie santykinių bedimensių ydžių

d

ij

iij D

D=δ . (2.3.13)

ei sumuojamų operatorių skaičius yra k, galima sudaryti

( )1k −J nepriklausomų santykių.

.3.1 p a v y z d y s. Įvairių procesų lygtyse dažnai naudojamas Laplaso operatorius: 2

2z

2

2

2

2 yx2

∂∂+

∂∂+

∂∂=Δ . (2.3.14)

egul objektui T

222 zyxw

∂+

∂+

∂=Δ , (2.3.15)

222 www ∂∂∂

o modeliui

2'

'2

2'

'2

2'

'2'

zw

yw

xww

∂∂+

∂∂+

∂∂=Δ (2.3.16)

Jei

'w wwc

ΔΔ

Δ = , 'xxxc = , 'y

ycy = , 'zzzc = , (2.3.17)

ę išreikštus iš (2.3.17) dydžius įraš zyx c ,c ,c ,wΔ į (2.3.15) gauname:

22z

2w

22y

2w

22x

2w'

wzc

wcyc

wcxc

wcwc

′∂

′∂+

′∂

′∂+

′∂

′∂=ΔΔ . (2.3.18)

Iš (2.3.16) ir(2.3.18) palyginimo matyti, kad dydį w veikiančio Laplaso operatoriaus

panašumo koeficientas

2z

w2y

w2x

ww

cc

cc

cc

c ++=Δ . (2.3.19)

.3.2 p a v y z d y s. Išnagrinėkime šilumos sklidimą kietajame kūne ir išveskime

temp

iduje tokį mažą tūrio elementą dV, kad bet kuriuo laiko momentu t visuose nagrinėjamo elemento taškuose tem ūra būtų ta pati. Laikome, kad šilumos šaltinio elemente nėra. Jei tiriamojo elemento ir apšilumos apykaita, kurią nusako energijos tvermės dėsnis:

ės energijos pokytis:

iškiame

2eratūros lauką nusakančią lygtį (t.y. temperatūros kitimą bei jos pasiskirstymą pagal x, y,

z ašis trimačio temperatūros sklidimo atveju, kai vyksta kūno šilumos apykaita su aplinka). Pasirinkime kūno v

peratlinkos temperatūra yra nevienoda, vyksta

dQdU .k = , (2.3.20)

čia: .kdU − kūno elemento vidinės energijos pokytis per laiką dt; dQ − šilumos kiekis,

kuriuo apsikeičia elementas ir aplinka per laiką dt. (2.3.20) lygtis turi bendrą formą ir neleidžia išspręsti konkretaus uždavinio. Todėl

turime pereiti prie kintamųjų bei parametrų, apibūdinančių šiame uždavinyje nagrinėjamą proce ą. s

Vidin

( )dmdTcdU V.k = , (2.3.21)

čia: ( )Vc − elemento medžiagos savitoji šiluma esant pastoviam tūriui, dm − elemento masė, dT − temperatūros pokytis.

Išre

dVdm ρ= , (2.3.22)

čia: medžiagos tankis, − elemento tūris. Tu

− dV ρomet vidinės energijos pokytis

( ) dVdTcdU V.k ρ= . (2.3.23) Šilumos kiekiui nustatyti pasinaudokime Furje (Fourier) dėsniu: dQ

qQ

14

gradTλ−= , (2.3.24)

čia:

Qq − šilumos srauto tankis, kurio modulis lyg

laiko

us šilumos kiekiui, pratekėjusiam per

vienetą per ploto vienetą, t.y. StQqQ ∂∂

∂= , 2

λ − kūno medžiagos šilumos laidumo

15

koeficientas, laikomas pastoviu dydžiu; −−−

∂ztimi, susitarkime teigiama kryptimi

∂+∂∂+

∂∂≡ kTj

yTi

xTgradT .

Vienmačiu atveju, kai šiluma sklinda tik x kryplaikyti iš aplinkos į kūną kryptį. Tuomet aplinkos temperatūra turi būti aukštesnė už elemento temp ą,eratūr t.y.

xT∂∂ turi būti neigiamas.

Tuo atveju

dtdSxTdQ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂−−= λ . (2.3.25)

Diferencijuodami (2.3.25) pagal x, gauname:

dtdSdx

QddxdQ

2

2λ= , (2.3.26)

arba

dtxTdQ 2∂

∂= λ dSdx2

. (2.3.27)

Kadangi , gauname

dVdSdx =

dtdVt2∂

∂λx

dQ2

= . (2.3.28)

Įrašę (2.3.21) ir (2.3.28) į (2.3.20), turime:

( ) dVxTdV

tTc 2

2

V∂∂=

∂∂ λρ ,

arba

( ) 2

2

V xT

ctT =∂∂ λ

∂∂

ρ. (2.3.29)

Dydis

( )ρλVc

a = , apibūdinantis šilumines medžiagos savybes, vadinamas temperatūros

laidumo koeficientu. aigi gauname: T

2

2

xTa

tT

∂∂=

∂∂ .

čios energijos balanso lygties operuoti palyginti ydžiais (temperatūra, laiku, fizikinėmis konstantomis). ientų lygtį vienmačiam šilumos laidumui, kurį nusako (2.3.30) lygtis.

egul originalui ir modeliui atitinkamai turime:

(2.3.30)

(2.3.30) lygtis nusako temperatūros pasiskirstymą, kartu šilumos laidumą x kryptimi kietuose kūnuose. Ji leidžia vietoj abstraklengvai matuojamais d

Išveskime koeficT

16

2

2

xTa

tT

∂∂=

∂∂ , (2.3.31)

2'

'2'

' xTa

t'T

∂∂=

∂∂ . (2.3.32)

Redukuodami diferencialinius operatorius (2.3.31) lygtyje, gauname:

t

Tcc

tT →∂∂ , (2.3.33)

2x

T2

2

c

c

xT →

∂∂ . (2.3.34)

vedame temperatūros laidumo koeficiento panašumo koeficientą: Į

'aaac =

ir iš (2.3.31) – (2.3.34) gauname:

(2.3.35)

2x

at cc

TT cc

c= . (2.3.36)

Iš (2.3.36) gaunama koeficientų lygtis:

1c

cc2x

ta = , (2.3.37)

kuri susieja tris panašumo koeficientus. Dvienareikšmiškai nusako (2.3.37) lygtis. Šią lygtį atitinka panašumo kriterijus:

u iš jų galime pasirinkti laisvai, o trečiąjį

.idem

xat

21 ≡=π (2.3.38)

Jis vadinamas Furje (Fourer) skaičiumi ir žymimas

22 lat

xatFo == . (2.3.39)

Dabar transformuokime (2.3.31) ir (2.3.32) lygtiŠiam tikslui įveskime į šias lygtis bedimensę tem

s į bedimensę formą. peratūrą (dar vieną π -kriterijų):

02

T== θπ , T

(2.3.40)

čia: T0 − pradinė temperatūra.

adangi , o ( )θ= TT ( )Foθθ = , tai ( )θ ,FoTT =K . Diferenci-juodami T, kaip bedimensės

17

temp gal koordinatę x, gaun

eratūros θ ir Furjė skaičiaus Fo funkciją, pagal laiką t ir dukart paame:

tF

dFod o

tT

∂∂=

∂∂ θ , (2.3.41)

xFo

dFod

xT

∂∂=

∂∂ θ , (2.3.42)

2

2222 FoFod ∂22 FoxdxdFox

T∂

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∂∂∂ θθ∂

+=∂

. (2.3.43)

Įrašę ) ir (2.3.43) į (2.3.31), gauname: (2.3.41

0Fod 2

2

2=⎥

⎤⎟⎞⎜⎛

∂+ θ (2.3.44) xdFox

FodFoda

tFo

dFod

2

2

⎥⎦⎢⎢⎣

⎡

⎠⎝ ∂∂∂−

∂∂ θθ

Kadangi,

2xa

tFo =∂∂ , (2.3.45)

xFo2

xat2

xFo

3 =−=∂∂ , (2.3.46)

242

2

xFo6

xat6

xFo ==

∂∂ , (2.3.47)

Įrašę (2.3.45), (2.3.46) ir (2.3.47) išraiškas į (2.3.44) lygtį, gauname:

0dFo4 2

2

2

2=⎥

⎤

dFoxdFod

xFo6a

dFod

xa

22 ⎥⎦⎢⎢⎣

⎡−θ

ir po supaprastinimo

+ θθ , (2.3.48)

( ) 0dFo

Fo4dFo

Fo61 22 =−− . dd 2θθ (2.3.49)

(2.3.49) lygties sprendinys yra vieno kintamojo funkcija

( )Foθθ = , į kurią įbedimensiai kompleksai

eina du ir θ=π2 . Bendras (2.3.49) lygties pavidalas Fo1 ≡π

0dd

461

dd

1

221

121

22

=−

−ππ

ππ

ππ , (2.3.50)

tinka visiems panašiems reiškiniams, ji jų vienareikšmiškumo sąlygos yra identiškos. Tuo atveju visai nesvarbu, iš kokių fizikinių kintamųjų yra sudaryti π -kriterija

atoria

i. 2) Integraliniai oper i

18

eigu objektas ir modelis yra aprašomi integraliniais operatoriais J

∫= ydxz , (2.3.51)

∫= ''' dxyz , (2.3.52)

ir 'zzc = , z 'y

yc = ir 'xcx =

x , tai panašumas reikalauja, kad įgaliotų y

∫= ''xy

'z dxy . (2.3.53) cczc

ygindami (2.3.52) ir(2.3.53), gauname;

adangi yra sandaugos xy panašumo koeficientas, pati sandauga xy yra integralo

L

xyz ccc . (2.3.54)

=

K zc

∫ ydx redukuotas kompleksas.

2.4. B

Objekto ir modelio panašumas egzistuoja, jei ¬ jie aprašomi analogiškomis lygtimis; ¬ a¬ ų lygtimis.

egul objekto ir modelio lygtys yra pateiktos neišreikštine forma:

, (2.4.1)

j = , (2.4.2)

r

fun

endras panašumo atvejis

:

šių lygčių titinkamieji kintamieji yra proporcingi (susieti panašumo koeficientais); šios lygtys yra suderintos su panašumo koeficientT

0)D,t,x,z(F jji =

0)D,t,x,z(F ji ′′′′

čia: )t(z j ir )t(z j′′ yra nežinomos, o )t(x ji ir )t(x ji ′′ duotos nepriklausomų kintamųjų jt i jt ′

kcijos, ir nj

n

jdD =′ yra diferencialiniai operatoriai. t ′

Panašumo koeficientai

d

zzcz ′

= , i

ix x

xc

i ′= ,

j

jt

tc = . (2.4.3)

tj ′

Panašumo koeficientų lygtys gaunamos dviem būdais.

I būdas. Pasinaudojant (2.4.3) sąryšiais, (2.4.2) lygtyje jos kintamuosius pakeičiame (2.4.1

) lygties kintamaisiais:

0Dc,cx

,czF j

nt

xi

i

z j=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛. (2.4.4)

Koeficientų lygtys gaunamos iš (2.4.2) ir (2.4.4) lygčių sprendinių tapatingumo.

19

ių sumos formą, dalindami jas

atitinkamai iš bet kurio jų dėmens ir formaliai laikydami operatorius kintamaisiais, reduk

II būdas. Jei (2.4.1) ir (2.4.2) lygtys turi kelių nar

uojame šias lygtis į bedimensę formą:

01)D,t,x,z( jji =±Φ ,

(2.4.11)

01)D,t,x,z( jji =±′′′′Φ . (2.4.12)

Įvedame π - kriterijus kaip funkcijos Φ kintamųjų laipsninius kompleksus:

rπDjrtjrxirzr k

jkj

ki

kr Dtxza= , (2.4.13)

jkj

ki

krr Dtxza ′′′′′=′π , (2.4.14)

čia: . Dabar funkcijoje

Djrktjrxirzr

m 2,..., ,1r =Φ galime pereiti prie naujai gautų kintamųjų:

)(P)D,t,x, , (2.4.15) z( rjji πΦ =

. (2.4.16) )(P)D,t,x,z( rjji πΦ ′=′′′′

Galutinai gauname panašumo kriterijų lygtis:

01)(P r =±π , (2.4.17)

01)(P r =±′π .

(2.4.18)

rπ išraiškoje pereiname prie „štrichuotų“ kintamųjų, pasinaudoję (2.4.7): π r

.r′ccccaa

Dxc()zc(a

1t

kt

kx

kz

r

r

kjkk

xk

zrr

j

tjr

jxiri

zr

Djr

tjrxiri

zr

π

π

′=

⎟⎞⎜⎛ ′′′′=

−

Į

c)tc()

tjti

jj

=⎟⎠

⎜⎝ (2.4.19)

rašius (2.4.19) į (2.4.17), gauname:

1ccccaa

P r1

tkt

kx

kz

r

rj

tjr

jxiri

zr ±=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′

− π . (2.4.20)

Iš (2.4.18) ir (2.4.20) lygčių tapatingumo gauname:

1cccca xz

r i′a 1

tkt

kkrj

tjr

jxirzr =− . (2.4.21)

(2.4.21) yra bendroji koeficientų lygties išraiška. Šią lygtį galim

a užrašyti ir taip:

1Dtxza

Dtxza rkkkk

jjir

Djrtjrxirzr ′=ππ

rjjir

kkkk Djrtjrxirzr

=′′′′′

. (2.4.22)

2.4.1 p a v y z d y s. masės kūnas traukiamas jėga m f aukštyn nuožulnia plokštuma,

sudarančia kampą α su horizontu (4 pav.). Trinties koeficientas yra proporcingas judėjimo greičiui, t.y.

dtdxv)v( vv μμμ == . Raskime šio reiškinio panašumo

koeficientus. Sprendimas. Kūną veikia sun

20

kio jėga gm , traukos jėga f , plokštumos reakcijos jėga N ir trinties tarp kūno ir plokštumos

gjė a αμαμ cosmgdtdxcosmg)v(f v.tr == .

Užrašykime antrąjį Niutono dėsnį, projektuodami vektorius į plokštumai: i

ašį, lygiagrečią nuožulnia

ααμ sinmgfcosmgdtdt

m v2 −+−= . (2.4.2 )

alo F

dx 3

Gavome lygtį pavid )21v =

xd 2

( 0D,D,t,,f,m,x μ , čia: ra kintanti laike nežinoma

kūno koordinatė, ,

( )tx y

m , f vμ – reiškinį nusakantys parametrai, dtdD1 = ir 22

dtdD = –

diferencialiniai operatoriai.

2

eiškinį aprašančią (2.4.23) lygtį redukuojame į bedimensę formą, dalindami visus jos narius iš

Rαsinmg :

01sinmgf

tgdtdx =+⋅+

αμ . (2.4.24)

Modeliui atitinkamai tur

sing1

dtxd v2

2−⋅

αα

ime:

01singmfxd1xd v

2 ′′′′ μtgtdsingtd 2 =±

′−⋅

′+⋅

′ ααα. (2.4.25)

Įvedame panašumo koeficientus ir redukuojame diferencialinius operatorius:

xx , cx ′

=mmcm ′

= , ffc f ′

= , v

vv

cμμ

μ ′= ,

t

x

1

1cc

xDxD

xdtd

dtdx =

′′≡

′′

⋅ , 2t

x

2

22

2

2

2

cc

xDxD

xdtd

dtxd =

′′≡

′′

⋅ . (2.4.26)

Pasinaudoję (2.4.26) sąsajomis, (2.4.24) ir (2.4.25) lygtis užrašome taip:

01sinmgfxD2 μ .

tgD

singx v

1 =+−+ααα

(2.4.27)

01in

x2 =′α

. (2.4.28) singmf

tgxD

sgD v

1 +′

′−

′′′+

′αα

μ

π – kriterijai:

ααπ

singxD

singxD 22

1′′

== , α

μα

μπtg

xDtg

xD v1

v12

′′′== ,

αα singmin ′= . (2.4.29) π f

smgf

3′

=

Iš (2.4.29) gaunamos koeficientų lygtys:

1cc

singxDsinxgD

2t

x

2

2 ==′′ α

α ,

1c

cc

tgxDtgxD

t

x

v1

v1 v ==′′′

μ

αμαμ ,

1cc

sinmgf=

′ αsingmf

m

f =′ α . (2.4.30)

Pavyzdžiui, kriterijus nusako objekto ir odelio pagreičių ( 2

2

2dtdxxDa == m1π ,

2

2

2tdxdxDa′′

=′′=′ ) sąsaja su plokštum nuožulnumo kampu, jei os . αα ′≠

reiškia, kad didindami (mažindami) modelio trinties koeficientą vμ′2π , jo greitis

(tdxdxDv 1 ′′

≡′′=′ ) proporcingai sumažės (padidės), jei je to ir modelio kampaob k s α yra toks

pats.

2.5. Panašumo teoremos

AnP

lyga yra ši ųeikšmiškumo sąlygų dydžių, lygybė. n t r o j i p a n a š u m o t e o r e m a ( π-teorema). Funkcinė priklausomybė tarp

proce ą aprašančių dydžių gali būti išreikšta, kaip priklausomybė tarp panašumo kriterijų,

. y. bedimensių laipsninių kompleksų, naudojimas leidžia tirti visą anaš e to, palyginti su

fiziki

3. ME

aninių dydžių panašumo koeficientai

I sistemoje.

ksčiau išdėstytą teorinę medžiagą apibendrina panašumo teoremos. i r m o j i p a n a š u m o t e o r e m a. Reiškinių panašumo būtina ir pakankama

są ų reiškinių atitinkamųjų panašumo kriterijų, sudarytų iš pagrindini lygčių ir vienar

As

sudarytų iš šių dydžių. Panašumo kriterijų, t

p iųjų reiškinių arba objektų aibę, gretinti ir apibendrinti rezultatus. Bnių kintamųjų lygtimi, panašumo kriterijų lygtis turi mažiau narių. Tai palengvina

pastarosios sprendimą.

CHANINIŲ REIŠKINIŲ PANAŠUMAS

3.1. Pagrindinių mech

Gaukime pagrindinius kinematinių ir dinaminių dydžių panašumo koeficientus (simpleksus ir kompleksus). Simpleksus sudarykime iš tų fizikinių dydžių, kurių dimensijos laikomos pagrindinėmis S

21

22

inijinių matmenų (koordinačių) simpleksas:

L

zzc,

l′lc = ( l yx ′′

yc,xc zyx ′=== ). (3.1.1)

Laiko simpleksas:

tt . (3.1.2) ct ′

=

Masės simpleksas:

mmcm ′

= . (3.1.3)

vestinių dydžių (kompleksų) panašumo koeficientai gaunami iš šių dydžių apibrėžimų. Gaukime, pavyzdžiui, mechaninio darbo panašumo k ficien . Darbo form

Iš

oe tą ulė:

( ) αcoslflfA == , (3.1.4)

ia: f – kampas tarp f ir l – jėga, lč – poslinkis, α . Tarkime, kad , kartu ir αcos ,α objektui ir modeliui

kad kampu ir jų funkcijų panašumo koeficientai lygūs vienetui, jei šių koeficientų skaitinės reikšsąlyg

agal antrąjį Niutono dėsnį jėgos modulis

yra vienodi. Čia ir toliau laikysime,

mės nėra papildomai aptartos. Esant objekto ir modelio geometriniam panašumui ši a tenkinama visada. (žr. 2 paveikslą). P

2

2

dtldmmaf == , (3.1.5)

čia: m – masė, 2

2

dtlda = – pagreičio modulis, l – poslinkio modulis.

3.1 lentelė

DYDIS DYDŽIO FORMULĖ

DYDŽIO PANAŠUMO KOEFICIENTAS

Greitis dtdlv =

t

lv c

cc =

Pagreitis 2

2

dtlda = 2

t

la

c

cc =

Tankis vm=ρ

Vcρmc

c =

Judesio kiekis mv vmcc Jėga

2

2

dtldmf = 2

t

lmf

c

ccc =

Darbas ( )lfA = 2t

2m

lfAc

ccccc l==

23

energija Kinetinė2

mvE2

k = 2t

2m2

vmEc

ccccc l

k==

Potencingravitaciniame lauke; tampriai deformuoto kūno

ė energija: mghE p =

( )2xkE

2

pΔ=

2t

2m

hgmEc

cccccc l

p==

2lkE ccc

p=

Galia dtdAW =

3t

2m

t

AW

c

cc

ccc l==

ikinius dydžius, išreikštus š (3.1.1), (3.1.2) ir (3.1.3), gauname:

Įrašę į (3.1.4) fiz i

( )( )

Ac

ccl

tdldm

ccc

lctcd

lcdmcA 2

t

2lm

2

2

2t

2lm

l2t

l2

m ′=′′′′=′

′

′= . (3.1.6)

Iš (3.1.6) mechaninio darbo panašumo koeficientas

2t

AcA

c =′

= . (3.1.7) 2lmccA

Dažniausia vartojamų mechanikos dydžių panašumo koeficientai pateikiami 3.1 lentelėje.

.2. A ikoje

. Sunkio jėgos modeliavimas Objektą veikianti sunkio jėga

3 tskiri panašumo atvejai ir modeliavimas mechan

1

. Modeliui gVgmf .sun ′′′=′′=′ ρ (čia: ρVgmgf .sun ρ== ir – obj

ρ′ ekto ir modelio tankiai, V ir V ′ – tūriai). Dalydami pirmąją lygtį iš antrosios, gauname:

gV.sun gVgmf.sun ρ ′′′′′′

.sunf cccVgmgf

c ρρ ==== , (3.2.1)

r modelis yra tame pačiame gravitaciniame lauke) ir atsižvelgiame į tai, ūrio panašumo koeficientas yra lygus linijinių matmenų panašumo koefi okią koeficient

. (3.2.1a) (3.2.1) galima perrašyti taip:

Jei laikome 1cg = (objektas i kad t

ciento kubui ( 3lv cc = gauname t ų lygtį:

3lVf ccccc

.sun ρρ ==

1c

ccc

.sunf

gV =ρ . (3.2.2)

Įrašome į (3.2.2) ir išraiškas iš 3.1 lentelės: ρc fc

24

1cc

ccccc

ccc

ccccccc

cccc

lg

2v

lg

2t

2g

l

2tg

lmV

2tgVm

f

gV

.sun

=====ρ , (3.2.2a)

Į (3.2.2a) įrašome panašumo koeficientų išra

dydžius (iškas per objekto ir modelio fizikinius

vvcv ′

= , ggcg ′

= , llcl ′

= ) ir gauname panašumo kriterijų, vadinamą Frūdo (Froude)

skaičiumi:

idemglvFr

2

mg ==≡π . (3.2.3)

Frūdo skaičius dažnai naudojamas modeliuojant mechaninius reiškinius ir vyksmus.

p a y z d y . Iš (33.2.1 v s .2.2) matome, kad g

lt c

cc = , t.y. lglg

tt

′′

=′

. Taikydami šią

formulę matematinei švytuoklei, konstantos tikslumu gauname Hiugenso formulę

matematinės švytuoklės svyravimų periodui: gl~T .

3.2.2 p a v y z d y s. Difuzinio skysčio degimo metusiliejęs skystis, fakelo aukštį galima apytiksliai skaičiuoti pagal formulę

čia:

, jei liepsnoja rezervuaras arba iš

5,1Frd40h = ,

lgvh – liepsnos aukštis, d – rezervuaro skersmuo, F Frūdo s .

Nustatykime, kokią prasmę šiuo atveju turi Frūdo skaičiaus formulėje figūruojantys dydžiai. Akivaizdu, kad

r2

= – kaičius

g yra laisvojo kritimo pagreitis. Linijiniu matmeniu laikytinas rezervuaro skersmuo, t. y. dl = . Dydis v turi turėti greičio matavimo vienetą, kadangi Frūdo skaič

vienetą ius yra bedimensis. Šiuo atveju čia nėra mechaninis greitis, bet garų susidarymo greitis,

t. y. garų tūrio susidarymas iš ploto skysčio ploto vieneto per laiko SV , kurio

matavimo vienetas SI sistemoje ssm2mm3

= .

2. Tampriosios jėgos modeliavimas Tampriai deformuotą kūną veikia jėga

ESf .tamp ε= , (3.2.4)

čia – kūno santykinis pailgėjimas, ε E – Jungo modulis, – kūno skerspjūvio plotas.

. ′′′=′

SModeliui atitinkamai turime

ftamp SEε . (3.2.5)

.tamp ε= . Iš čia koeficientų lygtis

alydami (3.2.4) iš (3.2.5), gauname cD SEf ccc

1ccc SEε

c f .tamp = . (3.2.6)

25

Akivaizdu, kad objektą ir modelį deformuojant geometriškai panašiai εε ′= ir Tada iš (3.2.6) gauname tiesinės deformacijos panašskaič mi:

1c =ε . umo kriterijų, vadinamą Huko (Houke)

iu

ESfHo(E) = . (3.2.7)

Analogiškai gaunamas kitas Huko skaičius,šlyties deformacijos atveju:

apibūdinantis panašumą tampriosios

GSfHo )(Gšl.

= , (3.2.8)

čia – šlyties modulis.

(3.2.6) lygtį galima transformuoti, įrašius šl.G

2t

lmf

c

cc 3c.tamp= ir , tada lm ccc ρ=

1cccc

E

2v =

ε

ρ , (3.2.9)

1

cccc

E

v =

ρε

. (3.2.9a)

Iš (3.2.9a) koeficientų lygties gauname panašumo kriterijų, vadinamą Koši ( Cauchy)

skaičiumi:

ρε

πEvCa

.tampf =≡ . (3.2.10)

Šio panašumo kriterijaus taikymo pavyzdžiu gali būti garso sklidimo kietoje tamprioje

terpėje modeliavimas. Garso bangų greitį galima keisti, tinkamai parenkant medžiagos parametrus ρ( ir )E arba deformuojant kūną, t. y. keičiant ε .

3. Stūmoklinės mašinos modelis Išnagrinėkime stūmoklinės mašinos modelį. Objekto st

, (3.2.11)

ūmoklį veikia jėga

prf čia:

2π=

r – objekto stūmoklio spindulys, p – slėgis po objekto stūmokliu. Modelio stūmoklį veikia jėga

, (3.2.12)

ia:

prf 2 ′′=′ π

č – modelio stūmoklio spindulys, p′ – slėgis po modelio stūmokliu. r ′

Padaliję (3.2.11) iš (3.2.12), gauname:

26

(3.2.13) užrašome koeficientų lygties pavidalu:

p2lf ccc = . (3.2.13)

1cc p

2l

= . c f (3.2.14)

ius į (3.2.14) iš 3.1 lentelės, gaunam

Įraš e: fc

1c

cccccc3

2vm

22lm == ρ

ccccc p

2v

plplt= .

Iš (3.2.18) koeficientų lygties gaunamas pan

skaič mi:

ašumo kriterijus, vadinamas Eulerio (Euler) iu

idempv2ρEu == . (3.2.15)

Tarkime, kad (3.2.15) formulėje ir , tada turi būti , arba pp ′= vv ′=

tl

tl

′′

=ρρ ′= , t.y.

e stūmoklinės mašinos ir modelio galias. Objekto ir modelio galios yra

W 2π= , (3.2.16)

W ′′′=′ (3.

etą (t. y. stūm

lių santykis

t . Praktiškai tai reiškia, kad šiomis sąlygomis lc kartų sumažintame modelyje procesai pagreitės tiek pat kartų (pavyzdžiui, tiek kartų padidės stūmoklio svyravimų dažnis).

Palyginkim

l cc =

tokios:

r phn

r 2′π , 2.17)

čia: h ir h′ – objekto ir modelio stūmoklių eiga, n ir n′ – ciklų skaičiai per laiko vien

nhp

oklių svyravimų dažniai).

Ga n3lp2

2

N cccnhpr

phnrNNc =

′′′′=

′=

ππ . Koeficientų lygtis:

1ccc

c

n3lp

N = .

(3.2.18)

(3.2.15) galima transformuoti taip: np3l

N cc

= . Kadangi P~c3 (linijinių matmenų kubas cc

yra proporcingas svoriui, jei ), gauname p

l

1c =ρ anašumo kriterijų:

idem= . (3.2.19) PnpN

PN =π

(3.2.16) rodo, kad mašinos svorio vienetui tenkanti galia yra tiesiog proporcinga slėgiu

po stūmokliu ir ciklų skaičiui per laiko vienetą.

i

27

4. HID REIŠKIN MAS

alį sud e skyriuje inių reiškinių ir gausime

atitinkamus panašumo kriterijus. 4.1 lentelėje pateikti kai kurie skysčių ir dujų mecha

koeficientai.

4.1 le

DYDIS

DYDŽIO FORMULĖ

DYDŽIO PANAŠUMO KOEFICIENTAS

RODINAMINIŲ IR AERODINAMINIŲ IŲ PANAŠU

Atskirą mechanikos d aro skysčių ir dujų mechanika. Šiamišnagrinėsime tik keletą būdingiausių hidrodinaminių ir aerodinam

nikoje sutinkamų dydžių panašumo

ntelė

V

=ρ m3l

m

V

m

ccc ==ρ Tankis

cc

Dinaminės klampos koeficientas

dxvdS

f .kl=η tlvS ccccη

mc == xf ccc

Kinematinės klampos oeficientas ρ

ην = t

2l

cc

cc

c ==ρ

ην k

Slėgis S

fp = 2tlS ccc

mfp

ccc ==

Paviršiaus įtempimo koeficientas l

f .įt.pav=ξ 2t

mf cсl ccc ==ξ

1. Klampaus skysčio tekėjimas vamzdžiu (5 pav.)

ėga Klampumo j

dxvdS

dxvdSf .kl νρη == , (4.1)

čia: νρ – skysčio dinaminės klampos koeficientas, – kinematinės klampos

koeficientas, – tankis, – klampumo jėgos veikiamas

skysčio sluoksnio plotas,

νρ S

η =

dxvd – skysčio sluoksnių greičio

s skysčio tekėjimo sąlygos šiuo ai x . Fiziškai tai reiškia,

kad ties vamzdžio sienele esantis skysčio sluoksnis „prilimpa“ prie vamzdžio ir nejuda.

Modeliui atitinkamai turime klampumo jėgą

gradiento modulis. Kraštatveju yra tokios: 0v = , k

inė0=x ir d=

xd.kl ′

0 , kai 0=′x i dx =′ . iš antrosios gauname:

vdSf′′′′=′ ρν ,

ir kraštines sąlygas rį

(4.2)

v =′ Dalindami pirmąją lygt

l

vSf c

cc

.kl= . 4.3) ccc ρν (

28

≡ išraišką iš 3.1 lentelės, supaprastiname, atsižvelgdami į lygybę

Įrašome į (4.3) fc fkl.

2 ir gauname koeficientų lygtį:

c

S cc = l

1c

cc lv =ν

. (4.4)

ikoje ir hidrodinamikoje naudojamas

panašumo kriterijus. Jis vadinamas Reinoldso (Reynolds) skaičiumi ir nusako terpės greičio, jos klampos ir terpėje judančio kūno būdingojo matmens s

(4.4) atitinkantis yra pagrindinis aerodinam

ąsają:

ηρ

ν

Jei objekto ir modelio skystis yra tas pats ( , ), tada iš (4.3) gauname

lvlvRe ≡= . (4.5)

1c =ν 1c =ρ

1cc

cct

2l

lv == , t.y. procesų trukmė proporcinga linijin

a naudoti vadinamą jėgų metodą. Pritaikykime jį, nagrinėdami kūno kritimą skystyje arba dujose ir atsižvelgdam

visas realiai veikiančias jė (paly inkite su 2. 2 pakuriame dėl greito kū o judėjimo klampos jėgos nepaisėme). Šios

Tai s

ių matmenų kvadratui.

2. Kūno kritimas klampioje terpėje

kysčių ir dujų mechanikoje panašumo kriterijų gavimui galimSi į

gas g 2. vyzdžiu, n

jėgos pavaizduotos 8 paveiksle. unkio (gravitacijos) jėga gVmgf .k.sun ρ== (kūno tankio, laisvojo kritimo pagreičio ir kūno

tūrio sandauga); keliamoji (Archimedo) jėga f gV.t.A ρ= (terpės tankio, laisvojo kritimo pagreičio ir kūno tūrio sandauga); klampos jėga

dxSf .kl η= ; pvd riklausanti nuo kūno formos ir nusakoma daugiklio

tikslumu pasipriešinimo jėga, . plfp Δ= ( p2 Δ – slėgių skirtumas prieš judantį kūną ir už jo, l – būdingasis kūno matmuo).

Pagal antrąjį Niutono dėsnį .p.A.kl.sun ffffam =++= Pereikime į neinercinę atskaitos sistemą, įvedę inercijos jėgą amf .in −= . Tada iš jekcijų į vertikalią ašį galima sudaryti tokią lygtį:

.p.kl.A.sun.in fffff

kūną veikiančių jėgų pro

−−−= . (4.6)

sę ly ą, padalinę visus narius iš .inf , o dešiniosios pusės ir padalijame iš .sunf . Gautą ly om taip:

Gaukime bedimen gties formantrąjį narį padauginame gtį užraš

e

.in

.p.l fffff

. f+ . (4.7)

lačiai naudojami

hidrodinamikoje ir aerodinamikoje, derinį. Gaukime šių kompleksų, t.y. panašumo kriterijų, išraiškas.

Frūdo (Froude) skaičius:

in

k

.in.sun

.sun.A

.in

.sunfff

1f

++=

Lygtis transformavosi į bedimensių kompleksų, kurie p

glv

gtllv

gtv

gaf

Fr2

.in ===== . (4.8) f .sun

Reinoldso skaičius (žr. formulę (4.2)):

ηρ

ηηvl

tlm

dxvdS

maff

Re.kl

.in ==== . (4.9)

Eulerio (Euler) skaičius:

pv

ff

Eu2

.k

.p

.inΔ

ρ== . (4.10)

.k

.sk

.k

.t

.sun

.Aff

gVgV

ρρ

ρρ

== . (4.11)

Dabar (4.11) lygtį užrašome per panašumo kriterijus:

EuRe1

Fr11

Fr1

.k

.t +++=ρρ , (4.12)

ir po sutvarkymo gauname:

1Re11

Fr1Eu

.k

.t −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=ρρ .

o sąlygas, bet ir leidžia analizuoti

reišk į apibūdinančių parametrų reikšmę konkrečiais atvejais. Pavyzdžiui, jei kūnas krenta

ore,

(4.13)

(4.13) lygtis ne tik nusako objekto ir modelio panašumin

1.k

.t <<ρρ ir keliamosios Archimedo jėgos galime nep

palyginti su inercijos jėga, iš (4.13) lygties iškrenta narys

aisyti; jei klampumo jėga yra maža,

Re1 ir t.t.

e aukščiau minėtų jėgų, skysčių ir dujų mechanikoje sutinkamos tamprioji jėga (kai slėgis yra labai didelis) ir paviršiaus įtempimo jėga (jei nagrinėjami maži

skysčio tūriai). Panašumo kriterijai, gaunami kaip jėgų sa 4.2 len

B.tampf .įt.pavf

ntykiai, pateikiami 4.2 lentelėje.

telė JĖGA .sunf .įt.pavf .tampf

Frūdo (Froude) skaičius

29

.inf glf

2

.sun

Veberio (Weber) skaičius vf

Fr .in == ξ

ρ lvf

We2

.įt.pav==

Koši(Cauchy) skaičius

Kv

ff

Ca2f .in

.tamp

.in ==

.kl f

vgl

ff 2

.kl

.sunηρ=

vff

.kl

.įt.pav

ηξ=

vKl

ff

.kl

.tamp

η=

.pf pglf .sun ρ=

f .p Δ plff .įt.pav ξ=

pff .tamp ξ=

.p Δ .p Δ

.tampf Kgl

ff

.

.

tamp

sun ρ= Klf

f

.tamp

.įt.pav ξ= ________

30

f .įt.pav

ξρ 2

.sun glf .įt.pavf=

________ ________

4.2. lent ės tęsinys

JĖGA el

.pf .klf Eilerio (Eulier) skaičius

2.in

.p

vp

ff

EuρΔ==

Reinoldso (Reynolds) skaičius

.inf ηρ lv

ff

Re.kl

.in ==

Stoks (Stokes) skaičius o

vlp

ff

Stk.kl

.p

ηΔ== .klf

apibrėžtų dydžių (žr. 4.1 lentelę) 4.2 lentelėje figūruoja spūdumo modulis

Be anksčiau

ρΔΔρ pK = , (4.14)

čia:

– slėgio pokytis, ρΔpΔρ

– slėgio pokyčio sukeltas santykinis medžiagos (terpės) tankio

pokytis. Skysčių ir dujų mechanikoje dažnai naudojamas Macho (Mach) skaičius:

garsovM = , (4.15)v

čia: – kūno greitis terpės atžvilgiu, – garso

4.1 p a v y z d y s

R

v garsov greitis terpėje.

. Pritaikykime Reinoldso skaičių liepsnos fakelui aprašyti. einoldso skaičius

vlvlvRe ==

ηρ ,

čia: – terpės tankis,

linijinis matmuo,

ρ v – vidutinis dujų srauto greitis, l –

η ir ηρ

=v – dinaminės ir kinematinė pos

os, – jų srauto vidutinis ėl:

s klam

koeficientai. Šiuo atvejų terpė yra duj vgreitis, linijiniu matmeniu laikytinas degiklio skersmuo d, tod

vdvRe = .

vyksta laminarinis degimas (7 a pav.), o esant

vyksta turbulencinis degimas (7 b pav.). Taigi, vykstant turbulenciniam degimui srauto vidutinis greitis padidė ar

Eksperimentai rodo, kad esant 2300Re <2300Re <

ja, k tu padidėja dujų tūrio debitas.

5. ŠILUMINIŲ REIŠKINIŲ PANAŠUMAS IR MODELIAVIMAS

31

Šiame skyriuje nagrinėsime šiluminiu reiškinių panašumą ir gausime pagrindinius

šiluminio panašumo kriterijus. Vieną iš jų – Furjė čių – jau gavome, nagrinėdami šilumos sklidimą kietajame kūne (žr. 2.3.2 pavyzdį).

iausią re

skai

Šiluminiuose reiškiniuose svarb ikšmę turi kūnų vidinės energijos pokyčiai UΔ yčių matas – šilumos kiekis Qir šių pok Δ . Čia skirsime kietųjų kūnų vidinės energijos pokytį

ir skysčių bei dujų vidinės energijos pokytį, kadangi skysčių ir dujų vidinė energija yra pernešama jų srautais (konvekcijos reiškinys).

Kietųjų kūnų vidinės energijos pokytis

TcmU )V(.k.k ΔΔ = , (5.1)

čia: .km – kūno masė, )V(c – savitoji šiluma esant pastoviam tūriui, TΔ – temperatūros pokytis. Skysčių bei dujų vidinės energijos pokytis

mU sk.sk TcΔ = )p(. Δ , (5.2)

čia: – savitoji šiluma esant pastoviam slėgiui.

Šiluma gali būti perduodama šilumos laidumo, kbūdais. Kietojo kūno laidumu perduotas per plotą per laiką

)p(c

onvekcijos ir spinduliavimo (radiacijos) S t šilumos kiekis:

StlTQlaΔ .id Δ

Δλ= , (5.3)

čia: – kietojo kūno šilumos laidumo koeficientas,

λlTΔΔ – temperatūros gradiento modulis.

Ko aikąnvekcijos būdu perduotas per plotą S per l t šilumos kiekis:

tSTQ konv.konv .ΔχΔ = , (5.4) čia .konvχ – konvekcinio šilumos perdavimo koeficientas.

Spinduliavimo būdu perduotas per plotą per laiką S t šilumos kiekis:

t.spind.spind STQ ΔχΔ = , (5.5

)

čia χ – radiacinio šilumos perdavimo koeficientas. Apibrėžkime tem.spind peratūros laidumo oeficientą k

ρλ

)V(ca = , (5.6)

čia: λ – iluma esant pastoviam tūriui, šilumos laidumo koeficientas, c – savitoji š ρ)V( – ta

Iš (5.1) ÷ (5.6) lygčių gauname šiuos tarpusavio koeficientus:

¬ kietųjų kūnų vidinės energijos pokyčio

nkis. lygius energinių dydžių panašumo

32

ccccc)V(.k

==

¬

lTcmU )p()p(.sk ρ

kiekio

ccc

.spind.spind χ=

Tc3l ccc

)V(ρ , (5.1a) TcmU

skysčių bei dujų vidinės energijos pokyčio

Tc3 cccccccc == . (5.2a)

¬ kietojo kūno laidumu perduoto šilumos

tlTQ ccccc.laid λ= , (5.3a)

¬ konvekcijos būdu perduoto šilumos kiekio

t

2lTQ ccccc

.konv.konv χ= , (5.4a)

¬ spinduliavimo būdu perduoto šilumos kiekio

t2l cc , (5.5a) TQ

¬ temperatūros laidumo koeficiento

ρ

λcc

cc

)V(ca = . (5.6a)

Kadangi , iš (5.1a) ir (5.3a) gauname:

.spind.konv.laid.sk.k QQQUU ccccc ====

1cc

ccc

ccc

cccc

cccc

ta

2l

t

2lc

tlT

Tc3

)V()V ===λ

ρ

λ. (5.7)

Šią koeficientų lygtį atitinkantis panašumo kriteri

l (ρ

jus:

atl 2

= . Fo (5.8)

Iš (5.1a) ir (5.4a):

1ccccccc t

2lTQ konv.konv.konv

=χχ

ccccccc

t

lcTc3l

.

)V()V( =ρρ , (5.9)

atitinkamas panašumo kriterijus:

idemtlc

.konv

)V( =χρ

. (5.10)

Iš (5.2a) ir (5.4a):

1ccc

cc

cccc

cccc 2lkonvχ

lc

t

Tc3l

tT

)p(

.konv

)p(

. ==ρ

χ

ρ, (5.11)

ir panašumo kriterijus – Stentono (Stenton) skaičius:

lct

St)p(

.konvρχ

= . (5.12)

Analogiškai gaunamos kitos koeficientų lygtys. Jas atitaukščiau išvardintų šiluminių dydžių santykiai ir išreiškia kiekvieno dydžio santykinę įtaką iluminiam procesui. Panašumo kriterijai pateikti 5.1 lentelėje (pirmos eilutės dydžiai

dalinBe lentelėje pateiktų panašumo kriterijų, nusakančių šiluminės apykaitos nejudančioje

terpėje reiškinių modeliavimo sąlygas, egzistuoja panir šilumines kūnų savybes ir naudojami tiriant šilumos apikaitskysč

inkantys panašumo kriterijai yra

šami iš kairiojo stulpelio dydžių).

ašumo kriterijai, kurie sieja mechanines ą tarp kieto kūno ir jį aptekančio

io (dujų). Prandtlio (Prandtl) skaičius:

λην )p(c

aPr == , (5.13)

čia: ν ir η – kinematinis ir dinaminis klampumo koeficientai, a – temperatūros laidumo koeficientas, (c

33

)p

mo koeficientas. – skysčio (dujų) savitoji šiluma esant pastoviam slėgiui, – šilumos

laiduGrashofo (Grashoff) skaičius

λ

2

3 TglGrνΔβ= , (5.14)

rtumas tarp kieto k no paviršiaus ir skysčio (duj

.1 lentelė DYDIS

čia: β – tūrinio plėtimosi koeficientas, g – laisvojo kritimo pagreitis, l – linijinis matmuo,

TΔ – temperatūrų ski ū ų)).

5

.kUΔ .skUΔ .laidQΔ .konvQΔ

.kUΔ 1

.)( kVc

.)( skpc 2lFo

at1 = )V(lcρ.konv tχ

.skUΔ

.sk)p(

.k)V(c c

1 )p(

2clt

ρλ

lct

St)p(

.konvρχ

=

.la

1

Bijo (Biot) skaičius

λχ l

Bi .konv= atlFo

2=

tcl )p(

2

λρ

idQΔ

nvQ .koΔ t

lc

.konv

)V(

χρ

tlc

St χ=1

.

)p(ρ

konvlBi

1

.konvχλ=

1

.spindQΔ t

lc

.spind

)V(

χρ

t

lc

.spind

)p(

χρ

lspind.χλ

.spind

.konvχχ

34

5.1 p a v y z d y s. Liepsnos fakelo storis apytiksliai skaičiuojamas pag

al formulę

.. rf aτ≅δ ,

čia: – dujų mišinio temperatūros laidumo koeficientas, a .rτ – cheminės reakcijos vyksmo laikas.

Raskime liepsnos fakelo storio panašumo kriterijų. Liepsnos fakelo storio panašumo koeficientas:

.r.fcc

aa

c a.r.f

τδ ττ

δδ

′=′′

=′

= . .r.f

čia koeficientų lygtis: Iš

1c

cc.ra ′τ

.f =δ ,

arba

1cc

c

.r

.f

a

2

=τ

δ .

Panašumo kriterijus

.r

2.f

1 aτδ

π = .

Jis atitinka Furjė skaičių (žr. 5.1 lentelę) atlFo

2= .

Panašumo kriterijus leidžia modeliuoti liepsnos fakelą. Pavyzdžiui, pakeitus degiojo mišinio komponentus taip, kad temperatūros laidumo koeficientas a pasikeistų n1 kartų, o chem o laikas pasikeistų 2 kartų, liepsnos fakelo storis pasikeis

artų.

6. ANALOGINIS MODELIAVIMAS

, kai objekto ir modelio fizikinė kilmė buvo ta pati ( irgi mechanine, vieną šiluminį lauką – kitu šilum

kiųių klasių yra pernešimo reiškiniai.

as

inės reakcijos vyksm n 21nn k

Iki šiol nagrinėjome fizikinį modeliavimąviena mechaninę jėgą modeliavome kita –iniu ir pan.). Dabar aptarsime analoginį modeliavimą. Jis yra taikomas, kai skirtingos

fizikinės kilmės reiškiniai yra aprašomi tokios pat formos lygtimis (dažniausiai diferencialinėmis), t.y. kai šių reiškinių matematiniai modeliai yra identiški. Viena iš to reiškin

6.1. Pernešimo reiškinių panašum

Pradėkime nuo paprasto pavyzdžio. Išnagrinėkime tam tikros rūšies maisto prekių

kitimą mieste, kuriame šios prekės gaminamos, vartojamos, išvežamos iš miesto ir į jį įvežamos. Per laiko vienetą pagamintų ir suvartotų prekių kiekį pažymėkime xG , o įvežamų bei išvežamų xj . Tada prekių kiekio x kitimas per laiko vienetą gali būti aprašytas tokia balanso lygtimi:

xx jGdtdx += . (6.1.1)

ius, vandens masė, šiluma, elektros krūvis. Sistemos būvį galima vienareikšmiai nusakyti keliais nepriklausomais ekstensyviaisiais dydžiais, kurie šiuo atveju vadinami būdingaisiais. Mechanikoje būdingieji ekste syenergija, tūris. Ekstensyvieji dydžiai sumuojami, je k(pavyzdžiui, vienarūšė gamyklų produkcija, kelių gyvenviečių gyventojų skaičius ir t.t.), irdalin

Tokia pat lygtimi mes galėtumėme aprašyti daug kitokių reiškinių – miesto gyventojų skaičiaus kitimą, vandens nutekėjimą iš vieno telkinio į kitą, šilumos laidumą, elektros srovę grandinėje ir t.t. Visuose išvardintuose reiškiniuose mes stebime tam tikrų dydžių (parametrų) pernešimą, transportavimą tarp nagrinėjamos sistemos taškų. Pernešami dydžiai vadinami e k s t e n s y v i a i s i a i s ( lot. extensivus – tįsus). Mūsų pavyzdžiuose tai prekių kiekis, gyventojų skaič

n vieji dydžiai yra, pavyzdžiui, masė, i elios sistemos apjungiamos į vieną

ami, jei sistema yra suskaidoma į dalis. Ekstensyviųjų dydžių pernešimo priežastimi yra kitokio pobūdžio dydžių (arba

parametrų), susietų sunagrinėjamos sistemos erdvinių koordinačių, skirtumai. Minėtuose pavyzdžiuose tai galėtų būti prekių kainų, pragyvenimo lygių, telkinių aukščių, temperatūrų, elektrinių potencialų skirtumai. Tokie fiksuoti erdvėje (bet kintantys laike!), lokaliniai dydžiai yra vadinami i n t e n s y v i a i s i a i s (lot. intensio – sustiprinimas, įtempimas). Tarp jų išskiriame būdinguosius, t.y. tuos, kurie nusako procesų kryptį (pavyzdžiui, slėgis, temperatūra ir pan.). Kiekvienas fizikinę prasmę turįs dydis, lygus dviejų ekstensyviųjų dydžių santykiui, yra intensyvusis dydis (pavyzdžiui, ekstensyviųjų dydžių masės m ir tūrio V santykis duoda intensyvųjį dydį – tankį

Vm=ρ ). Taip galima sudaryti daug intensyviųjų

dydžių, bet ne visi jie bus būdingieji.

6.1 lentelė BŪDINGASIS DYDIS

SĄVEIKA ekstensyvusis intensyvusis

PERDUODA-MA ENERGIJA

Mechaninė V – tūris p – slėgis VpΔ

Šiluminė S – entropija T – temperatūra STΔ

Elektrostatinė q – krūvis ϕ – potencialas ϕΔq Bendras atvejis ix iy ii yx Δ

Sistemų sujungimas į vieną tsiranda sąv echaninė, šiluminė,

elektrostatinė ar kitokia. Kiekvienai s po v jį ir intensyvųjį dydį taip, jo dydž š ekstensyviojo dydžio pokyčio b rgijai, perd i iš vienos sistemos kitai. Konkrečius pavyzdžius pateikiame 6 e .

ijos persisk sistemų dalių vyksta, kol visame tūryje n ųjų jų dydžių re džių tolyginis pasiskirstymas yra b a sistemos lygsvaros sąlyga.

Galimi atvejai, kai tuo pačiu metu sistemos sąveikauja keliais būdais. Jei tokių būdų yra

reiškia, kad tarp jų a eika – mąveikai galim

kad intensyvioa priskirti

io sandauga iieną būdingąjį ekstensyvų

ūtų lygi ene uodama.1 lentelėj

Energ irstymas tarp arba sistemos esusilygina būding intensyvių ikšmės. Šių dyūtina ir pakankam

35

36

vi sąveikų energijos sumuojasi: k , sų

∑=k

kk xyE ΔΔ . (6.1.2)

Suprantama, kad izoliuotų sistemų grupėje arba pavienėje izoliuotoje sistemoje bendras

energijos kiekis nekinta, kadangi sandaugos kk xy Δ išreiškia energijos kiekį, kuris p e r n e š a m a s iš vienos sistemos į kitą, t.y. sąveikaujančiose sistemose jis turi priešingus ženklus.

Gaukime apibendrintą ekstensyviojo dydžio balanso lygtį . Tegul tūrio elementas VΔ veikauja su aplinka (8 pav.). są

– tajam ekstensyviajam dydžiui galima užrašyti balanso lygtį tokioje formoje:

i

ii xxi jG

dtdx

+= , (6.1.3)

– ečia

ixG kstensyviojo dydžio šaltinis (šio dydžio atsiradimas per laiko vienetą) tūryje VΔ ; )yy(Lj 2i1iixi

−= – ekstensyviojo dydžio srautas per tūrio VΔ paviršių ( L i –laidum o) koeficientas, 2io (perdavim )yy( 1i − – intensyviojo dydžio reikšmių tūrio VΔ viduje ir išorėje skirtumas). Atsižvelgdami į išr , (6.1.3) lygtį užrašome taip:

ixj aišką

)yy(LGdt

dx21ix

ii

−+= .

ti iau nagrinėsime atvejukai , t.y. nagrinėjamoje šaltinio. Tuomet ekstensyviojo per visą tūrį ribojantį paviršių:

(6.1.4)

nis ixG neturi bendros išraiškos. Žem s,

sistemoje nėra teigiamo arba neigiamo ekstensyviojo dydžio dydžio kitimas per laiko vienetą yra lygus to dydžio srautui

Ekstensyviojo dydžio šal0G

ix =

)yy(Ljdt

dxi21ixi

−== . (6.1.5)

Jei ekstensyviojo dydžio kitimas sąlygojamas keliais

srautais, tai )(n

∑=

−=n

1k21i

i )yy(Ldt

dx . (6.1.5a)

Taikydami (6.1.5) lygtį konkretiems ekstensyviesiems dydžiams, gauname įvairius

fizikinius bei techninius procesus aprašančias lygtis. Keletą dažniausiai sutinkamų pateikiame

6.2 lentelėje. Joje naudojami šie žymėjimai: dtdx

j ixi= – ix –tojo dydžio srautas; .chμ –

chem )v Δinis potencialas; Sm )v( – impulsas, pernešamas per ploto vienetą; 1v( x2− – skysčio sluoksnių greičių sk s vienetiniame atstume; irtuma )pp( 21 − – slėgių skirtumas; )( 21 ϕϕ − – elektrinių potencialų skirtumas; , D η , ir λ A yra difuzijos, klamtūrio perdavimo koeficientai, – ominė varža.

Matematiškai vienodai aprašomų fiziškai skirtingų reiškinių egzistavimas leidžia R

pumo, šilumos laidumo ir

37

mode

e dviem lmžymėjimą, o antrasis – daliklio (

liuoti juos, keičiant vienus kitais. Kaip ir fizikiniame modeliavime, įvedame analoginių dydžių panašumo koeficientus,

kurie šiuo atveju yra dimensiai. Juos žymėsim indeksais, pirmasis atitiks da ens

mkckm = ). Pavyzdžiui absoliutinės temperatūros T ir

elektrostatinio lauko potencialo ϕ analoginio panaš ficientas umo koeϕϕTc ,T = ir m as atuojam

VK .

6.2 lentelė

PERNEŠAMAS DYDIS

REIŠKINYS

DĖSNIS

LYGTIS

Masė m

Difuzij Fiko (Fick)

)( 2.ch1.cha m Dj μμ −=

Impulsas Klampumas _______ vm xm S

j Δ−η= )vv( 21)v(

Vidaus energija

Šilumos laidumas Niutono

)TT(j 21U −= λ

USky čio kysčio uazeilio

) s

tūris V

Stekėjimas

P(Poiseuille

)pp(Aj 21V −=

Krūvis q

Elektros srovė

Omo (Ohm) )(

R1j 21q ϕϕ −=

6.2. Elektrinis šiluminių r avimas

Rem ilumos laidum ūvio pernešimo analogija, galima modeliuoti temper uką elektriniu lauku.

1) tis staciona mos laidumas Išnagrinėkime paprasčiausią dvimatį stacionarųjį šilumos laidumą ir atitinkamą

lektrinio potencialo pasiskirstymą elektriškai laidžioje aplinkoje. Abu laukus aprašo Laplaso

eiškinių modeli

iantis šat la

o ir elektros krūros

Dvima rusis šilu

elygtis.

Temperatūros lauko lygtis:

0yTT 22 ∂∂

x 22 =∂

+∂

. (6.2.1)

Elektrinio potencialo lauko lygtis:

022

=∂+∂ ϕϕ . (6.2.2) yx 22 ′∂′∂

Jei kraštinės sąlygos yra analogiškos (pavyzdžiui, nėra šilumos (arba krūvio) nutekėjimo

per nagrinėjamos sistemos ribas), tapatingiems laukampanašumo koeficientą:

s galime įvesti kintamųjų analoginio

ϕϕTcT = , (6.2.3)

ir geometrinio panašumo koeficientus:

xxcx ′

= , yycy ′

= . (6.2.3a)

ę į (6.2.2) dydžius T , x ir , išreikštus iš (6.2.3) ir (6.2.3a), gauname:

yĮraš

0yc

Tc 22∂

xTc

2T

y2

22x =

∂+

∂

∂

ϕϕ. (6.2.4)

.2.4) ir (6.2.1) lygtys yra tapatingos, jei

cT

(6

ϕϕ TT cc

2y

2x cc

= . (6.2.5)

Kaip matome iš (6.2.5), jei yra geometrinis objekto ir modelio panašumas (

panašumo koeficientą galima pasirinkti laisvai.

mas

Dabar išnagrinėkime nestacionariojo šilumos laidumo medžiagos sluoksnyje atvejį (9 a pav.). Laikykime, kad šiluma sklinda tarpusavio

ėje ir vienalytėje aplinkoje. Temperatūros lauko lygtis šiuo atveju atrodo taip:

yx cc = ), ϕTc

2) Dvimatis nestacionarusis šilumos laidu

statmenų x ir y ašių kryptimis termiškai izotropin

tTc

yT

xT )V(

2

2

2

2 ∂=∂∂+

∂∂

λρ

∂, (6.2.6)

čia: am tūriui, )V(c – medžiagos savitoji šiluma esant pastovi ρ – medžiagos tankis, λ –

medžiagos šilumos laidumo koeficientas. Šių dydžių derinys ρ

λ)V(c

a = vadinamas

temperatūros laidumo koeficientu.

38

Kadangi dmdT

Qdc2

)V( = ir dVdm=ρ , (6.2.6) lygčiai galima suteikti tokį pavidalą

VtQ1

yT

xT 2

2

2

2

2

∂∂∂=

∂∂+

∂∂

λ, (6.2.6 a)

39

čia: VtQ2

∂∂ – šilu tūrinis tankis. ∂

mos srauto

Šio objekto elektrinis modelis (9 b pav.) yra kondensatorius, sudarytas iš mažesnio savitojo elektrinio laidumo γ viršutinės plokštės (1 metalaselektrinio laidumo apatinės plokštės (2 metalas). Tūrįažymėkime . Tada kondensatoriaus tūrio vieneto elektrinė talpa

), dielektriko sluoksnio ir didesnio tarp kondensatoriaus plokščių

V′Vd

dCCV ′=′ . Elektriniame

trike aprašomas lygtimi

p

modelyje potencialo pasiskirstymas dielek

tC

yxV

2

2

2

2

′∂∂=

′∂∂+

′∂∂ ′ ϕ

γϕϕ . (6.2.7)

Įrašę į (6.2.7) VC ′ reikšmę ir atsižvelgę į tai, kad kondensatori uptas elektros

krūvis aus suka

ϕCddq = (čia: C –kondensatoriaus talpa, ϕd – jo potencialo pokytis), gauname tokia potencialo pasiskirstymo dielektrike lygtį:

Vtq1

yx

2

2

2

2

2

′∂′∂∂=

′∂∂+

′∂∂

γϕϕ . (6.2.7a)

eskime ųĮv kintam jų panašumo koeficientus:

, V

)V()C,c( C

cc

V)V(ϕϕTcT = ,

xxcx ′

= , yycy ′

=′

=′ρ , λ

γλγ =c ,

ttc = . (6.2.8)

Įrašę į (6.2.7) dydžius, išreikštus iš (6.2.8), ir palyginus lygtį su (6.2.6), gauname:

t ′

ϕρ T)C,c( cV)V( ′

λγ

ϕϕ

t

T

2y

T

2x

ccc

cc

cc

== . (6.2.9)

Esant objekto ir modelio geometriniam panašumui , ir galime pasirinkti

laisva

lyx ϕT

i. Tada koeficientų lygtis: ccc == c

1cc

cc

t

2l)C,c( V)V( =′

λγ

ρ . (6.2.9)

Atitinkamas panašumo kriterijus:

t ′γlC

tlc 2

V2

)V(1

′== ′′

λρ

π . (6.2.10)

Realizuoti šį kriterijų praktiškai yra gana lengva. Žinodami modeliuojamo objekto

šilum apskaičiuojame inius parametrus, pagal (6.2.10) 1π reikšmę ir pasirenkame tokius odelio elektrinius parametrus, kad jų derinys iš (6.2.10) skaitmeniškai būtų lygus m 1π .

40

Geometrinio panašumo koeficiento pasirinkimas leidžia varijuoti metalo elektrinio laidumo lcγ reikšmę. Elektrinio modelio privalumai palyginus su objektusidarymo greitis (iki 106 ÷ 107 kartų), lengvesnis ir tikslesnis elektrinių dydžių matavimas,

papra

S

u yra šie: žymiai didesnis lauko s

stesnis parametrų keitimas, laisvas panašumo koeficientų ϕTc ir lc pasirinkimas. Iš (6.2.6) ir (6.2.6a), (6.2.7) ir (6.2.7a) palyginimo gauname eilę šiluminių ir elektrinių

dydžių analogų, kuriuos pateikiame 6.3 lentelėje.

6.3 lentelė ŠILUMINIAI DYDŽIAI IR JŲ SĄSAJOS

ELEKTRINIAI DYDŽIAI IR JŲ SĄSAJO

Šilumos kiekis Q Krūvis q

dtdQjQ = Srovė

tddqŠilumos srautas jq =I′

≡

Temperatūra Potencialas T ϕ , įtampa U

Šilumos laidumo koeficientas λ Savitasis elektrinis laidumas γ Šiluminė varža Varža QR R Bijo ir Furjė dėsn s:i

nST

tQ2 ∂−=∂ λ

∂∂∂

Omo dėsnis:

nStq2

=∂′

∂− ϕγ ∂′∂′∂

7. DIM A reiškinių panašumą, la šiuos reiškinius aprašančios

lygtys arba lygčių sistemos yra žinomos. Praktikoje dažnai sutinkame atvejų, kai tokios lygtys nėra žinomos, arba yra tokios sudėtingos, kad jų tikslus sprendimas reikalauja labai daug laiko ir todėl nėra tikslingas konkrečios techninės užduoties kontekste. Tokiais atvejais naudotinas dimensijų analizės metodas. Jis dažnai leidžia operatyviai gauti norimų rezultatų

u, bet remiantis palyginti negausiais duomenimis. Šis metodas yra neatsmode

s dydžius. Pavyzdžiui, teisingas yra dviejų žmonių ūgių lyginimas ir beprasmiška lyginti, tarkim, vieno žmogaus amžių su kito mase. Vienarūšių parametrų matavimo etalonas

is matavimo vienetais, as = 100 centimetrų =

,094 – 4

ENSIJŲ TEORIJA

nksčiau nagrinėjome ikydami, kad

nors ir mažesniu tikslumkiriama panašumo teorijos dalis, ir neatsitiktinai panašumo kriterijai fizikiniame liavime buvo apibūdinti kaip bedimensiai kompleksai. Aptarkime dimensijų teoriją

išsamiau.

7.1. Pagrindiniai ir išvestiniai matavimo vienetai. Dydžio dimensija

Visi tikslieji ir techniniai mokslai remiasi dydžių matavimais. Išmatuoti dydį – reiškia palyginti jį su kitu dydžiu, kuris yra laikomas etalonu. Suprantama, kad lyginti galima tik vienarūšiu

yra vadinamas matavimo vienetu. Aišku, kad matuodami dydį skirtingagauname skirtingas dydžio skaitines vertes. Pavyzdžiui, ilgis l = 1 metr1 jardo = 39,4 colio = 5,4× 10 jūrmylės; laikas t = 1valanda = 60 min. = 3600 s; slėgis p = 1 paskalis = 9.87× 10 – 6 atm = 7,50× 10 – 4 mm Hg; greitis v = 1 m/s = 3,6 km/h = 1,094 yd/s (jardų sekundei) = 1,94 kn (mazgo ≡ jūrmylių valandai); tūris V =1 m3 =1000 l = 264,2 JAV galonų (gal) = 6,29 naftos barelių (oil barrel).

Pagal pirmąjį dimensijų teorijos postulatą dviejų vienarūšių dydžių skaitinių verčių

santykis nepriklauso nuo naudojamų matavimo vienetų. Pavyzdžiui, dviejų tūrių santykis turi likti toks pats, nepriklausomai nuo to, ar matuosime tūrius kubiniais milimetrais, ar litrais ar kubiniais metrais, ar bareliais.

Fizikiniai dydžiai yra tarpusavyje susieti gamtos dėsnius aprašančiomis matematinėmis formulėmis (nusakančiosiomis lygtimis). Pagal antrąjį dimensijų teorijos postulatą nusakančiųjų lygčių forma neturi priklausyti nuo naudojamų matavimo vienetų.

Teoriškai kiekvienam fizikinio dydžio parametrui galima priskirti savo matavimo vienetą, tačiau praktiškai tai būtų labai nepatogu. Kuo daugiau yra nepriklausomų matavimo vienetų, tuo daugiau dimensinių koeficientų tenka įvesti į fizikinių dydžių ryšio formules. Todėl pasirenkamas vienas arba keli pagrindiniai (pirminiai) matavimo vienetai, iš kurių formuojami išvestiniai (antriniai) matavimo vienetai. Pagrindinių ir išvestinių matavimo vienetų visuma sudaro matavimo sistemą. Labiausiai paplitusi ir dauguma atvejų racionaliausia yra SI (Sisteme International d’Unites,Tarptautinė vienetų sistema), priimta 1960 metais. Joje pagrindiniai matavimo vienetai mechanikoje susieti su fundamentinėmis erdvės, laiko ir materijos sąvokomis – ilgio vienetas metras (m), laiko vienetas sekundė (s), masės vienetas kilogramas (kg). Medžiagos kiekio vienetu laikomas molis (mol). Termodinamikoje pagrindinis yra temperatūros vienetas kelvinas (K), elektromagnetizme – elektros srovės vienetas tarptautinis amperas (A), optikoje – šviesos vienetas kandela (cd). Visi kiti matavimo vienetai yra išvestiniai. Toliau mes naudosime būtent SI sistemą.

Skirtingose sistemose egzistuoja įvairūs vienarūšiai matavimo vienetai, kuriais matuojamas tas pats fizikinis dydis įgyja skirtingų skaitinių verčių. Suprantama, kad, keičiant pagrindinius matavimo vienetus, kinta ir išvestiniai matavimo vienetai.

Formulė, kuri leidžia nustatyti išvestinio matavimo vieneto kitimą priklausomai nuo kiekvieno iš pagrindinių matavimo vienetų kitimo, vadinasi dimensijos formule arba dimensija. Dydžio dimensiją žymėsime to dydžio simboliu kvadratiniuose skliaustuose arba didžiosiomis raidėmis.

Pavyzdžiui, SI sistemos pagrindinių dydžių dimensijas žymėsime taip: ilgio dimensija [ ] Ll ≡ , laiko dimensija [ ] Tt ≡ , masės dimensija [ ] Mm ≡ , temperatūros dimensija [ ] θ≡T , elektros srovės stiprio dimensija [ ] II ≡ , šviesos stiprio dimensija [ ] JI .šv ≡ . Išvestinių dydžių dimensijos gaunamos pagal tų dydžių nusakančiąsias lygtis, atliekant su dimensijomis įprastus algebros veiksmus. Sudarant išvestines dimensijas, laikomasi šių taisyklių:

1) Dydžių sandaugos dimensija yra lygi dydžių dimensijų sandaugai. Pavyzdžiui, jėgos

41

amf dimensija:

[ ][ ]

=

[ ] 22 LMT

TLMam −=≡= ;

f

darbo ( )lfA = dimensija:

[ ] [ ][ ] 222

MTLLTMLlfA −=≡= ;

elektros srovės galios dimensija:

ILUIP −−− === ; elektros krūvio dimensija:

= .

IUP =

[ ] [ ][ ] 32132 MTLIMT

Itq =

[ ]q = [ ][ ] TItI

42

2) Dydžių santykio dimensija yra lygi dydžių dimensijų santykiui. Pavyzdžiui, pagreičio

dtdva = dimensija:

[ ] [ ][ ]

2LTTT

L

tva −=≡= ;

galios

tAW = dimensija:

323

222

MTLT

MLT

TML

]t[]A[]W[ −==== ;

os šiludmdt

Q2 dimensija: savitosi mos ( )

dc V =

( )[ ] [ ][ ][ ]

12222

V TLM

TMLTm

Qc −−−

=≡= θθ

.

io dimensijos laipsniui. Pavyzdžiui, kubo tūrio

kirtingose vienetų sistemose dimensijų formulės gali skirtis, kadangi jos priklauso nuo

pagrilė, ten ąjį dimensijų teorijos postulatą. arkim echaninį dydį, kurio nusakančioji lygtis yra koordinatės, laiko ir

masė funkcija:

Jei ši funkcija tenkina pirmąjį dimensijų teorantykis neturi priklausyti nuo dydžio mastelio. Todaun

3) Dydžio laipsnio dimensija yra lygi dydž

3lV = dimensija:

[ ] [ ]3lV = .

Sndinių matavimo vienetų pasirinkimo. Nustatykime, kokio pavidalo turi būti dimensijos

formu kinanti pirme, turime mT

s

( )m,t,lFU = . (7.1.1)

Iš pradžių nagrinėjame atvejį, kai kinta tik vienas argumentas – koordinatė, t. y.:

( )lFu = . (7.1.2)

ijos postulatą, funkcijos dviejų verčių ėl pakeitus šį mastelį kartų, s

gl lc

ame: ( )( )

( )( )2l2 lcFl

1l1

2

1Fu

== . (7.1.3)

(7.1.3) galima užrašyti taip:

lcFlFu

( ) ( )( ) ( )2l

2

11l lcF

lFlFlcF = . (7.1.4)

Diferencijuodami (7.1.4) pagal , gauname:

lc

( )( )

( )( )

( )( )2l

22

1

1l

1l1 lcd

llFlF

lcdlcdF

l = . (7.1.5) 2l lcdF

43

Kadangi pasirenkamas laisvai, imame lc 1cl = :

( ) ( )( )

( )2

22

2

1

1

11 dl

ldFllFlF

dlldFl = . (7.1.6)

(7.1.6) lygtyje atskyrę kintamuosius

( )( )

( )( )2

2

2

2

1

1

1

1ldl

ldFlF

ldl

ldFlF

= , (7.1.7)

gauname:

( )( ) a

dlldF

lFl = , (7.1.8)

ia: – pastovus dydis. yje atskiriame kintamuosius ir integruojame:

č a(7.1.8) lygt

( )( ) ∫∫ =

ldla

lFldF , (7.1.9)

( ) 1ClnllnalFln += , (7.1.10)

1lClF = . (7.1.11)

Analogiškai samprotaudami, kai kinta tik argumentas

( ) a

t ir kai kinta tik argumentas m , galime gauti:

, (7.1.12)

. (7.1.13)

), (7.1.12) ir (7.1.13) gauname:

m,t,lFU =

čia: konstanta nepriklauso nuo matavimVadinasi, anksčiau suformuluotą sąlygą tenkina laipsniniai (7.1.14) pavidalo

komp aunamos pagal dydžio nusakančiąją lygtį, bet kurio dydžio išvestinė dimensija išreiškiama pagrindinėmis SI dimensijomis taip:

. (7.1.15) (7.1.15) formulė atitinka homogeninės funkcijos apibrėžimą (žr. 2.2 skyrių).

a, kad nu trigon

j ygoksidatorius

paten

( ) b2tCtF =

( ) c3mCmF =

Iš (7.1.11

( ) cba0 mtlC= , (7.1.14)

o vienetų pasirinkimo, ji yra bedimensė. 3210 CCCC =

leksai. Kadangi išvestinės dimensijos gA

[ ] fedcba JIMTLA θ=

Suprantam sakančiosios lygtys gali turėti ne tik laipsninių kompleksų, bet irometrinių, eksponentinių bei kitų nealgebrinių funkcijų formą. Tais atvejais

nealgebrinių funkcijų argumentai turi sudaryti bedimensį derinį arba į šiuos argumentus turi įeiti dimensinis koeficientas.

Šio e kn je izikinių dydžių dimensijos pateiktos I priede. naudojamų f7.1.1 p a v y z d y s. Kinetinis degimas, kuriuo metu degioji medžiaga ir oka į degimo zoną susimaišę, aprašomas Arenijaus lygtimi:

44

– degiosios med

RT/Eno

md0 ecckv −= ,

čia: v – vidutinis srauto greitis m/s; 0k – reakcijos greičio konstanta; dc ir oc

žiagos ir oksidatoriaus koncentracijos; n,m – reakcijos stechiometriniai koeficientai; E – vieno molio aktyvacijos energija; t – degiojo mišinio temperatūra; r – universalioji dujų onstanta.

Nustatykime reakcijos greičio konstantos ma vimo vienetą, remdamiesi dimensijų

orija. Koncentracijos ir yra bedimensiai dydžiai. Bet kokio dydžio laipsnis visada turi

k0k ta

te dc ocbūti bedimensis. Vadinasi, šioje form lėje skaičiaus e laipsnis RT/E ra b dimensis (iš tikrųjų, [ ] mol/JE = , [ ] )Kmol/(JR = , [ ]T = . Vadinasi, [ ] [ ] s/mvk 00 == ir SI sistemoje [ ] s/mk0 = .

7.1.2

u y e)

p a v y z d y s. Degiosios medžiagos pliūpsnio temperatūra skaičiuojama pagal pusia

K

u empirinę V. Blinovo formulę:

.g.s.deg.pl pnD

BT = ,

2čia: – nustatymo metodo konstanta, D – skysčio garų difuzijos koeficientas, , – degu

i. Raskime nustatymo metodo konstantos B matavimo vienetą SI sistemoje. Kadangi formulėje esančių dydžių matavimo vienetai yra šie:

B sm / .degn

onies molių skaičius, reikalingas vienam degiojo skysčio moliui sudeginti, .g.sp – sočiųjų garų slėgis (Pa), esant .plT temperatūra

[ ] KT .pl = , [ ] s/mD 2= ,

[ ] 0n .deg = (bedimensis dydis) [ ] 2.g.ssm

kgPap == , nustatymo metodo konstant at o

vienetas SI sistemoje:

os m avim

[ ] [ ][ ][ ][ ]32.g.s.deg.pl

ssms

7.2. Skirtingų sistemų

2 KkgmkgmKpnDTB === .

matavimo vienetų sąsajos nustatymas

raktikoje neretai sutinkami įvairių sistemų matavimo vienetai. Pavyzdžiui, slėgis matuojamas paskaliais, fizikinėmis atmosferomis, techninėmi atmosferomis, barais, gyvsidabrio stulpelio milimetrais, vandens stulpelio milimetrais. Kaip pereiti nuo vienos mata mo vienetų sistemos prie kitos?

Paprasčiausiu atveju abiejų sistemų išvestiniai vienetai turi tą pačią dimensiją, t.y. vienetai skiriasi tik didumu.

arkime, vienoje vienetų sistemoje fizikinio dydžio skaitinė vertė yra , o jo dimensija aTL

11

Ps

vi

nusakančiosios lygtys yra tos pačios, ir pagrindiniai matavimo T N

c111 M , t.y.

cba MTLNX ×= . (7.2.1)

b

1

Jeigu kitoje vienetų sistemoje ilgio, laiko ir masės vienetų mastelis yra pakeistas

atitinkamai lc , tc ir mc kartų, t.y. 2l1 LcL = , 2t1 TcT = , 2m1 McM = , tuomet

45

. (7.2.1a)

Palyginę (7.2.1) ir (7.2.1a), matome, kad antroje

skaiti

( ) ( ) ( )cmb

ta

2lc1

b1

a1 McTcLcNMTLNX ×=×=

vienetų sistemoje fizikinio dydžio c

nė vertė yra didesnė 2

1

2

1

2

1mtl MTL

ccc ⎟⎟⎠⎜⎜⎝⎟⎟⎠⎜⎜⎝⎟⎟⎠⎜⎜⎝= kartų.

bacba MTL ⎞⎛⎞⎛⎞⎛

.2.1 p a v y z d y s. Raskime SI ir CGS sistemų energijos vienetų ryšį. Abiejose sistemose energijos dimensija . SI ir CGS sistemų pagrindi ta

ip: 1m = 102cm, 1s = 1s, 1kg = 103g. Tuomet SI energijos vienetas džaulis (J) ir CGS energ

3222 ××= − .

h = 3,6× 103

isteminio galios vieneto “arklio galia” (anksčiau eteisingai vadinto “arklio jėga”) ir SI galios vieneto vato (W) ryšį. Abiem atvejais dydžio

dimensija . Matavimo vienetų ryšiai: 1a.g. = 75kGm/s = 75kg× 9.81m/s2× 1m: s = 735,5N× 1m: 1s = 735,5W.

sakančiosios lygtys lieka tokios pačios, et skiriasi pagrindiniai vienetai. Tuomet, pereinant nuo vienos vienetų sistemos prie kitos,

ia

s dimensijų analize

7[ ] MTLE 22 −= niai viene i susieti

taijos vienetas ergas (erg) susieti taip:

7=( ) ( ) erg10erg10110J1

7.2.2 p a v y z d y s. Raskime nesisteminio energijos vieneto kilovatvalandės (Kwh) ir džaulio (J) ryšį. 1kW = 103W, 1 s. Todėl J106.3J106.310kWh1 633 ×=××= .

7.2.3 p a v y z d y s. Raskime nesn

[ ] MTLN 32 −=1

Gali būti, kad skirtingose vienetų sistemose nu

breik dimensijos formulėje pagrindinio vieneto dimensiją pakeisti jo dimensija kitoje sistemoje.

7.3. Funkcinių ryšių nustatyma

Iš antrojo dimensijų analizės postulato aišku, kad visų lygties narių dimensijos turi būti vienodos. Pavyzdžiui, antrojo termodinamikos dėsnio lygtyje AdUQ δδ += ir termodinaminės sistemos vidinės energijos pokytis, ir sistemai suteiktas šilumos kiekis, ir sistemos atliktas darbas turi energijos dimensiją ir SI sistemoje matuojami džauliais (J). Lygčių narių dime as kartais leidžia paprastai nustatyti ryšio tarp procesą aprašančių

jų homogeninė funkcija, bet nežinome ios f

nsijos vienodumkintamųjų pobūdį.

Tarkime, žinome, kad dydis U yra trijų kintamųš unkcijos analitinės išraiškos. Tuomet galime teigti:

( ) srp

0 ZYXCZ,Y,XFU == , (7.3.1) čia kintamųjų laipsnių rodikliai p , r , s yra nežinomi.

Surašome funkcijos ir argumentų dimensijas:

[ ] 111 cba MTLU = , [ ] LX = 222 cba MT ,

4a TLZ =

rodik ties pusėse turi būti vienodi, todėl:

[ ] 333 cba MTLY = , [ ] 44 cb M . (7.3.2)

Vienodų dimensijų laipsnių liai abiejose lyg

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++ rb (7.3.3) =++=

.scrcpcc,sbpbb,sarapaa

4321

4321

4321.

Iš šios lygčių sistemos surandame kintamųjų laipsnių rodiklius

p , r , s , vadinasi, ikdaug ertė surandama bandymo būdu.

Išnagrinėkime keletą konkrečių uždavinių, panaudodami jų sprendimui ne žinomas fizikos formules, bet dimensijų analizės metodą.

7.3.1 p a v y z d y s. Raskime fizinės švytuoklės svyravimų periodo formulę. Tarkime, šis periodas priklauso nuo fizinės švytuoklės masės centro nuotolio nuo

svyra

.

ios lygties narių dimensijos:

) .

rilyginę kairiosios ir dešiniosios pusės dimensijas, gauname lygčių sistemą:

1.

Iš čia

i iklio 0C tikslumu nustatome funkcijos ( )Z,Y,XFU = pavidalą. Konstantos 0C v

.fT

vimų ašies l , inercijos momento J ir sunkio jėgos mg , t.y.

( )mg,J,lFT .f =

Laikydami funkciją homogenine, galime užrašyti:

( )srp0. mgJlCT = .

f

Š

( ) ( s2r2p MLTMLLT −=

P

⎪⎭

⎪⎬⎫

+=++=

−=

sr0sr2p0

s2

; 5,0r = ; 5,0p −= . 5,0s −=

mglJCT 0.f =Tuomet fizinės švytuoklės svyravimų periodui gauname formulę: .

Tikslioje fizinės švytuoklės svyravimų periodo formulėje π2C0 = . 7.3.2 p a v y z d y s. Avarinio dujų išleidimo iš vamzdyno laikas t priklauso nuo

vamzdyno tūrio V, išeigos koeficiento š.iα , vamzdyno skerspjūvio ploto ir dujų srauto greič funkcijos t š.i

S

46

io v. Raskime V(f )v,S,,α= ensio daugiklio tikslumu, remda imens analiz .

išraiška bedimmiesi d ijų ęFunkcijos ir argumentų dimensijos:

[ ] Tt = , [ ] LV = , š.iα yra bedimensis, [ ] LS = , [ ] LTv = . 3 2 1−

=

jos:

Laikydami funkciją homogenine, galime užrašyti:

srp0 vSVt .

Šios lygties narių dimensi

C

47

p3s1r2p TLLL −+= .

Prilyginę kairiosios ir dešiniosios pusės dimensijas, gauname lygčių sistemą:

( ) ssr23 TLT +−=

⎭⎬⎫

++=−=

sr2p30s1 .

Iš čia 1s −= . 1r2p3 =+ . Matome, kad p arba r turime pa rinkti laisvai. Logiška manyti,

ad , t. y. , tada si

k V~t 1p = 1r −= , ir gauname tokią funkciją:

vSVCt 0= .

Galima pasielgti kitaip. Įveskime vamz etrą dyno pasram

S

[ ]

VA = , kurio dimensija

LVA =⎤= . Tada ieškoma cija )v,,A(ft š.iS ⎥⎦⎢⎣⎡ funk α= .

Laikydami ją homogenine, užrašome:

Ct 1= .

s1p TLTL 11 −+− = .

Prilyginę kairiosios ir dešiniosios pusės dimensijas, gauname lygčių sistemą:

Iš čia

sp0 vA

Šios lygties narių dimensijos:

pLT = ( ) ss

⎭⎬⎫

+=−=

sp0s1

1.

1−=s , 1=p , todėl, kaip ir anksčiau, gauname lygtį

vSVCACt 00 == .

v

Analizinis skaičiavimas rodo, kad bedimensis daugiklis š.i

01Cα

= .

7.3.3 p a v y z d y s. Cisternoje, kurios skerspjūvis 1S yra pastovus, iki aukšč įpiltas io h ρ tankio vanduo (24 pav.). Cisternos dugne atidarom skerspjūvio anga. Per kiek laiko

vanduo ištekės? Laikykime proceso būdingaisiais parametrais,

nusakančiais ieškomą laiką, vandens sluoksnio aukšt h ,

a 2S

į vandens tankį ρ , laisvojo kritimo pagreitį g , cisternos ir

ir :

,

angos skerspjūvio plotus S1 2S

( )21 S,S,g,hFt ρ=

.

Laikydami funkciją F laipsniniu kompleksu, ieškome

tokios lygties formos:

48

=

urašome lygties narių dimensijas, keldami jas nežinomais laipsniais:

Laipsnių rodiklių lygčių sistema:

⎫

++−−=

−=

q2u2s2r3p0

s21

Iš čia:

qusrp SSgh 21ρ . t

S

( ) ( ) ( ) ( )q2u2s2r3p LLLTMLLT −−= .

⎪⎭

⎪⎬= r0

5,0s −= , 0r = , 5,0)qu(2p =++ . ežinomuosius, iš kurių du jau yra žinomi ir tai leidžia

teigti, kad laikas, per kurį skystis ištekės, nepriklauso nuo skysčio tankio ( ) ir yra atvirkščiai proporcingas kvadratinei šakniai iš laisvojo kritimo pagreičio (

Ši trijų lygčių sistema turi penkis n0r =5,0s −= ). Kitų

kintamųjų laipsnių rodikliams gauti reikia daryti papildom prielaidas. Tarkime, kad ieškomas laikas yra tiesiog proporcingas skysčio kiekiui, kartu plotui

atvirkščiai proporcingas angos plotui . Tada

as 1S ,

ir 2S 1u = , 1q −= ir į laiko formulę vietoj dviejų

plotų galime įrašyti vieną bedimensį parametrą – plotų santykį 2

1S

. Galutinis rezultatas: S

gh

SSCt

2

10= . Tikslus skaičiavimas rodo, kad dimensijų analize nenustatoma konstanta

2 . Pastarasis pavyzdys akivaizdžiai patvirtina, kad pilnajai lygčių sistemai gauti ir visų

nežinomųjų laipsnių rodikliams surasti p rindinių ensij skaičius turi būti lygus ieškomų parametrų skaičiui. Todėl kartais tenka įvesti papildomas išvestines dimensijas kaip

r gauti

C =0

ag dim ų

pagrindines. Antai, 7.3.4 pavyzdyje galima būtų įvesti plotų ir nepriklausomas

dimensijas i

1S 2S

ghS

Ct 10 ⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

= ϕ , čia ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ 1Sϕ būtų nežinoma plotų santykio funkcija.

S2 ⎠⎝ ⎠⎝ 2S

7.3.4 p a v y z d y s. Vanduo teka per vandens slenkstį – trikampės formos angą vertikalioje sienelėje (25 pav.). Raskime ištekančios per laiko vienetą vandens masės (masės debito mG ) ir vandens bei angos parametrų funkcinę priklausomybę.

Jeigu anga yra pakankamai didelė, vandens klampumo galime nepaisyti. Tuomet masės debitas turi priklausyti nuo tankio ρ , laisvojo kritimo pagreičio g , vand s patvankos h ir kampo

enα .

Ieškome tokios funkcinės priklausomybės: ),h,g,(FGm αρ= . Homogeninės funkcijos pavidalas:

( ) rqpm hgCG ρα= ,

49

čia: )(α – bedimensis koeficientas, priklausantis nuo bedimensio parametro – kampo αC . ę į šią formulę dydžių dimensijas, gauname:

Laipsnių rodiklių lygč

.

Iš čia: ; . Taigi ieškoma masės debito funkcinė priklausomybė nuo vandens bei angos parametrų

yra tokia:

Įraš

rq2p31 L)LT()ML(MT −−− = .

ių sistema:

⎪⎭

⎪⎬⎫

++−==

−=−

rqp30p1

q21

5,0q = ; 1p = 5,2r =

25

21

m

Koeficientas

hg)(CG ρα= .

)(C α nustatomas eksperimentiškai. Gauta formulė rodo, kad vandens masės debitas yra tiesiog proporcingas vandens

tankiui. Todėl modeliuodami galime keisti vieną skystį kitu (pavyzdžiui, benziną arba yvsidabrį – ekologiškai švariu vandeniu), keičiant aukštį h ir atsižvelgiant į besikeičiančią

proce iame o galima rasti vandens tūrio debitą, dalija

gso trukmę. Š pavyzdyje vietoj masės debitnt abi lygybės puses iš tankio. Tūrio debitas visiems skysčiams gaunamas vienodas.

7.4. π-teorema dimensijų teorijoje

ntroji panašumo teorema (A π -teorema) buvo be įrodymo suformuluota 2.6 skyriuje. Dabar mes įrodysime ją dimensijų teorijos kontekste.

mybė tarp fizikinių dydžių, iš kuriųn k dydžių (nuo 1 Tarkime, yra funkcinė priklauso( )kn − dydžių (nuo ( )1k +iki k ) turi nepriklausomas dimensijas, o iki ) – priklausomas:

., n = , (7.4.1)

ertės pasirinktoje matav v arp

gali būti dimensės konstantos (laisvojo kritimo pagreitis, gravitacijos pastovioji, šviesos greitis vakuume, elektrinė bei magnetinė pastoviosios ir pan.).

Laikykime dydžių nepriklausomas dimensijas pagrindinėmis, t.y.:

n

,..a,a,...,a,a(F 1kk21 + 0)a

čia: 1a , 2a , … , na yra dydžių skaitinės v imo ienetų sistemoje. T jų

k

[ ] 11 Aa = , [ ] 22 Aa = , … , [ ] kk Aa = . (7.4.2)

Iš dimensijų teorijos žinome, kad likusiųjų ( )kn − dydžių priklausomas dimensijas galim

iiA ,

epriklausomų dydžių matavimo vienetus , … , pasirenkame laisvai, todėl

galime kiekvieną iš jų didinti atitinkama 1, a2, … , ak kavertė sumažės ,…, kartų, t.y. taps lygi 1.

Suprantama, kad priklausomų dydžių skaitinės vertės irgi pasikeis ir bus lygios:

a išreikšti nepriklausomų dimensijų laipsniniais kompleksais:

[ ] ∏=

+ =i

likiAa

11 , [ ] ∏

=+ =

ika

12 … , [ ] ∏

==

i

pin

iAa1

. (7.4.3) k k

mk

1A , 2A kANi a rtų. Tada kiekvieno dydžio skaitinė

1a , 2a ka

50

∏=i

iia

1

++ =π k

l

kk

a 11 ,

∏=i

mi

ia1

++ =π k

kk

a 22 , … ,

∏=i

pi

ia1

=π na . (7.4.4) kn

Kompleksų jπ išraiškose (7.4.4) skaitiklyje ir vardiklyje esanči

sutampa. Pavyzdžiui,

ų dydžių dimensijos

jπ skaitiklio dimensija yra , o vardiklio dimensija,

gaun ži⎦⎣ ii 11

[ ] ∏=

=k

i

qij

iAa1

ama kaip dyd ų sandaugos dimensija, yra ∏∏ =⎥⎤

⎢⎡ k

qi

kqi

ii Aa . Vadinasi, kompleksai j==

π

yra bedimensiai. Tuomet (7.4.1) lygtis įgyja tokį pavida

0),...1,1(F =

lą:

, n,2k1k ++ ,...,,,1 π π π . (7.4.

Kaip buvo parodyta panašumo teorijoje (žr. šios k

5)

nygos 2.2 skyrių), būtent dydžiai

∏=i 1

Dabar

=π kqi

jj

ia

ayra panašumo kriterijai.

π -teoremą galima suformuluoti tiksliau: n dimensių dydžių, turinčių k pagrindinių kcinę priklausomybę galima transformuoti į (n – k) matavimo vienetų, funbedimensių laipsninių kompleksų priklausomybę.

Kuo mažesnis yra skirtumas ( kn− ), tuo labiau apibrėžtas tampa uždavinys, o esant kn( ) 1=− , jo sprendimas beveik visada yra vienareikšmiškas.

8. DIM I IR

m) Išreikšti išvestinių fizinių dydžių dimensijas per pagrindinių dydžių dimensijas, kai

iantis lygčių narių dimensiniu homo sinis homogeniškumas yra būtina, bet nepakankama lygties teisin

. reiškinį nusakančiąją lygtį bedimensio daug

ENSIJŲ ANALIZĖS PRIVALUMA TRŪKUMAI

ensijų analizė leidžia: Di1

yra žinomos išvestinių dydžių nusakančiosios lygtys. 2) Tikrinti fizinius dydžius siejančias lygtis, remgeniškumu. Lygties dimengumo sąlyga. 3) Gauti funkcinę kintamųjų priklausomybę, t. y

iklio tikslumu, jei teisingai parinkti lygties kintamieji ir ši lygtis yra homogeninė. 4) Sudaryti reiškinį aprašančių kintamųjų bedimensius derinius,vadinamus panašumo

kriterijais. Kartu pabrėžtina, kad pačių būdingųjų kintamųjų parinkimas yra už dimensijų teorijos

51

mensio daug

imentu.

ai, dimensijos ir SI sistemos matavimo vienetai

agrindiniai SI sistemos dydžiai pažymėti riebiu šriftu)

SI MATAVIMO

VIENETAS

ribų ir paliekamas tyrinėtojo nuožiūrai. Be to, dydžių funkciniai ryšiai nustatomi bediiklio tikslumu. Paties daugiklio tiksli reikšmė gali būti nustatyta kitu teoriniu metodu

arba eksper

I PRIEDAS Fizinių dydžių žymėjim

(p

ŽYMĖJIMAS

FIZINIS DYDIS

DIMENSIJA

a temperatūros la umo koefic

L2T-1 idientas

12 −sm

a , a pagrei Ltis T-2 2−sm A darbas L2T-2M 22 −= smkgJ B , B magnetinė indukcija T-2MI-1 12 −−= AskgT ( )pc savitoji šiluma esant

slėgiui θ -1

sm pastoviam

L2T-2 122 −− K

)V(c savitoji šiluma esant pastoviam tūriui

L T θ2 -2 -1 122 −− Ksm

C elektrinė talpa L-2T4M-1I2 −= 2421 AsmkgF −

D difuzijos koeficientas L2T-1 12 −sm E Jungo modulis L-1T-2M 21 −− smkg

E elektrinio lauko stipris LT-3MI-1 13 −− Asmkg kE kinetinė energija L2T-2M 22 −= smkgJ pE potencinė energija L2T-2M 22 −= smkgJ

f , f jėga LT-2M 2−smkg g , g laisvojo kritimo pagreitis LT-2 2−sm G gravitacijos konstanta -1 L3T-2M 231 −− smkg

.šl G s modulis − smkg šlytie L-1T-2M 2−1

I elektros srovės stipris I A .švI šviesos stipris J cd

J inercijos momentas L M 2 2mkg k tamprumo koeficientas T-2M kg 2−s

K spūdumo modulis T-2M L-1 21 −− smkg l m linijinis matmuo L L induktyvumas L2T M-2 I-2 222 −− Asmkg m kg masė M

M,M T M jėgos momentas L2 -2 22 −smkg

p slėgis L T-2M -1 21 −− smkg q elektros krūvis TI sA Q šilumos kiekis L2T-2M 22 −smkg r pasipriešinimo koeficientas T-1M 1−skg

52

MI-2 R elektrinė varža L2T-3 232 −− Asmkg S plotas L2 2m T svyravimų periodas T s T eratūra K absoliutinė temp θ U įtampa L T2 -3 -1 MI 132 −− Asmkg

v,v greitis LT-1 1−sm W galia L2T-3M 32 −smkg

eW elektrinio lauko energija L2T-2M 22 −smkg

mW magnetinio lauko energija mkg L2T-2M 22 −s

β tūrinio plėtimosi koeficientas θ -1 1−K η dinaminės klampos

koeficientas L-1T-1M 11 −− smkg

λ šilumos laidumo koeficientas LT-3Mθ -1 13 −− Ksmkg μ trinties koeficientas T M -1 1−skg μ trinties koeficientas T-1M 1−skg

aμ absoliuti magnetinė skvarba LT-2MI-2 22 −− Asmkg ν kinematinės klampos

koeficientas L2T-1 12 −sm

ϕ elektrinis potencialas L T MI2 -3 -1 Asmkg 132 −−

mΦ magnetinis srautas L T MI2 -2 -1 122 −− Asmkg

ω , ω , Ω kampinis greitis, ciklinis Tdažnis

-1 1−s

II PRIEDAS Dažniau a u ojam

(Fizikiniai dydžiai pažymėti pagal I priedo lentelę)

si i na d i panašumo kriterijai

Bijo

λχ l

Bi .konv=

Eulerio

pvEu

2ρ=

Frūdo

talFo

2=

Frūdo

glvFr

2=

Grashofo 2

3 TglGrνΔβ=

ESfHo(E) = Huko

Koši SG

fHošl.

)(Gšl.=

Macho K2v

EvCa ≡=

ρε

Macho

garsovvM =

Nuselto λχ lNu =

Niutono

lmtFNe

2=

Pėklės alvRePrPe =×=

Prandtlio

λην )p(c

aPr ≡=

Reinoldso ηρ

νlvlvRe ≡=

Stentono lct

St)p(

.konvρχ

=

Stokso v

lpStkηΔ=

Struhalio

0

00ltv

)Ho(Sh =

Veberio

ξρ lvWe

2=

53