PEMROGRAMAN NonLINIERAnju yosua Sirait

1215031013Teknik Elektro , Universitas Lampung , Kota Bandar Lampung

Email : anjuyosuasirait@yahoo.co.id

Abstrak. non linear programming adalah suatu cara pemecahan masalah dimana variabel-

variabel didalamnya akan bersifat tidak linear, real, atau bahkan terhubung satu sama lainnya.

masalah yang dialami tidak akan bisa di pecahkan dengan metode linear dimana justru biasanya

akan timbul variabel atau fungsi-fungsi baru pada kondisi tertentu dan akan terus berlanjut

(chaos). Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x) harus

memiliki turunan f'(x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak semua fungsi bisa

dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu muncul ide dari yaitu mencari persamaan

yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi. Ide ini lebih dikenal dengan nama Metode Secant.

Ide dari metode ini yaitu menggunakan gradien garis yang melalui titik (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)).

I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pencarian akar persamaan dalam

metode numeric memerlukan iterasi untuk

mencari estimasi akar yang mendekati akar

sesungguhnya. Dalam mengerjakan metode

numerik / teknik untuk mengoptimasi

seringkali menghadapi kesulitan dalam

memahami materi, khususnya tentang akar

persamaan seperti Metode Iterasi Titik

Tetap, Metode Secant, Metode Newton-

Raphson dan Metode Muller. Hal ini

disebabkan karena penyelesaian numeric

suatu akar persamaan dilakukan dengan

perkiraan berurutan (iterasi) sehingga setiap

keluaran, diperoleh hasil yang lebih teliti

dan didapat hasil yang mendekatieksak

(hasil yang benar) dengan toleransi

kesalahan yang diinginkan.

Media pembelajaran merupakan alat

bantu untuk menyampaikan informasi atau

materi dalam proses belajar. Aplikasi

pembelajaran mengenai pencarian akar suatu

persamaan merupakan salah satu

pengembangan bentuk pembelajaran yang

dapat memvisualisasikan beberapa metode

pencarian akar persamaan yang ada dalam

Metode Numerik, yaitu Metode Iterasi Titik

Tetap, Metode Newton Raphson, Metode

Secant dan Metode Muller. Aplikasi

pembelajaran merupakan media

pembelajaran yang sangat diperlukan untuk

memperlancar proses pemahaman konsep

mengenai akar persamaan dan juga untuk

membantu mahasiswa dalam menguasai

materi tersebut, mengingat kemampuan

setiap orang dalam memahami suatu materi

berbeda-beda.

Metode secant merupakan

merupakan metode yang di gunakan untuk

menyelesaikan persamaan non linerar.maka

pada bab selanjutnya akan di jelaskan

mengenai metode scant.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah pada pokok

bahasan dari jurnal ini adalah metode secant

dalam menyelesaikan linear programming

dan bagaimana metode scant dapat

menyelesaikan permaslahan tentang linear

programming.

C. Tujuan

Tujuan dari dibuatnya jurnal ini

adalah untuk mengetahui apa itu metode

secant secara matematika serta bagaimana

metode secant ini dapat menyelesaikan

permasalahan – permaslahan mengenai

linear programming.

II. TINJAUAN PUSTAKA

Metode secant adalahmetode yang

dikembangkanataudimodifikasidarimetode

newton raphson yang

manamemerlukanperhitunganturunan fungsi

f'(x).

telahkitaketahuitidaksemuafungsimudahdica

riturunannya, terutamafungsiyang

bentuknyarumit,

turunanfungsidapatdihilangkandengancaram

enggantidenganbentuk lain yang ekivalen.

    Dalampembuatan program denganmetode

secant memerlukanalgoritma/langkah-

langkah yang dasarnyadariteorimetode

secant itusendiri.Berikutalgoritmametode

secant:

1. Definisikan fungsi F(x)

2. Definisikan toleransi error(e) daniterasi

maksimun (n)

3. Masukkan dua nilai pendekatan awal

yang diantaranya terdapat akar yaitu x0

dan x1, sebaiknya gunakan metode table

atau grafis untuk menjamin titik

pendekatannya adalah titik pendekatan

yang konvergensinya pada akar

persamaan yang diharapkan.

4. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan

y1.

5. Untuki terasi I=1 s/d n atau | F(xi) |

6. Akar persamaan adalah nilai x yang

terakhir.

Metoda secant digunakan untuk mencari

nilai akar dari persamaan y=f(x). Metoda ini

dapat dipahami dengan menggunakan

bantuan model segitiga dalam

penyelesainnya seperti berikut, dengan X0

dan X1 merupakan batas yang dijadikan

acuan awal untuk mencari nilai X yang

sebenarnya :

Gambar 1. Menetukan nilai sebenarnya

Misalkandenganmenggunakangamba

rilustrasi di

ataskitadapatmengambilpersamaandarisifats

egitigasebangunsebagaiberikut :

dimana :

BD = f(x1)

BA = x1-x0

CD = f(x1)

CE = x1-x2

Dan jikadirubah, rumusnyaakanmenjadi :

Dari rumus di atasbisakitalihatbahwa

yang dicariadalah Xn+1 ,( Xn+1)

inimerupakannilai X yang

dicarisebagaipendekatanterhadapnilai X

yang sebenarnyasepertiuntuknilai X2

kemudian X3 padagambardibawah, semakin

lama nilai Xn+1 akanmendekatititik X yang

sebenarnya.

SecaraumumrumusMetode Secant

iniditulis :

Gambar 2. Metode Secant dan rumus

metode secant

Jikaperhitungan di

atasterusdilakukanmakapadaakhirnyaakan di

dapatnilai X yang paling

mendekatidenganjumlaherordaniterasi yang

bisakitatentukansesuaidengan flowchart

algoritma di bawah.

Gambar 3. Flow chart penyelesaian metode

secant

- Kelemahan Metode Secant

Kelemahandarimetode Newton

Raphsonadalahevaluasinilaiturunandari f(x),

karenatidaksemua f(x)

mudahdicariturunannya.Suatusaatmungkinsa

jaditemukansuatufungsi yang

sukardicariturunannya.Untukmenghindarihal

tersebutdiperkenalkanmetodeSecant ,Meto

de Secant memerlukan 2 tebakanawal yang

tidakharusmengurung/ mengapitakar

- Langkah – Langkah Penyelesaian

Untuk mencari penyelesaian dengan

menggunakan metode secant menggunakan

langkah – langkah berikut ini :

1. Tentukan nilai awal Xo dan X1

2.Hitung f(Xo) & f(X1) kemudian cek

konvergensi

3. Lakukan Iterasi

4. Hitung nilai taksiran akar selanjutnya

5. Cek konversgensi terhadap XTOL

Ide

darimetodeiniyaitumenggunakangradiengari

s yang melaluititik (x0, f(x0)) dan (x1,

f(x1)).Perhatikangambardibawahini.

Gambar 4. Gradien Garis

Persamaangaris l adalah

Karena x = x2 maka y = 0,

sehinggadiperolehsecaraumumrumusMetode

Secant iniditulis

III. PEMBAHASAN

Untuk menyelesaikan suatu masalah

dengan menggunakan metode secant maka

didapatkan sebuah masalah sebagai

berikut.Tentukansalahsatuakardari 4x3 –

15x2 + 17x – 6 = 0 menggunakanMetode

Secant sampai 9 iterasi.

Penyelesaian :

f(x) = 4x3 – 15x2 + 17x – 6

iterasi 1 :

ambil x0 = -1 dan x1 = 3

(ngambiltitikawalinisebarangsaja,

tidakadasyaratapapun)

f(-1) = 4(-1)3 – 15(-1)2 + 17(-1) – 6 = -42

f(3) = 4(3)3 – 15(3)2 + 17(3) – 6 = 18

x2 = (3) –= 1.8

iterasi 2 :

ambil x1 = 3 dan x2 = 1.8

f(1.8) = 4(1.8)3 – 15(1.8)2 + 17(1.8) – 6 = -

0.672 x3 = (1.8) –

= 1.84319

iterasi 3 :

ambil x2 = 1.8 dan x3 = 1.84319

f(1.84319) = 4(1.84319)3 – 15(1.84319)2 +

17(1.84319) – 6 = -0.57817

x4 = (1.84319) –

= 2.10932

iterasi 4 :

ambil x3 = 1.84319 dan x4 = 2.10932

f(2.10932) = 4(2.10932)3 – 15(2.10932)2 +

17(2.10932) – 6 = 0.65939

x5 = (2.10932) –

= 1.96752

iterasi 5 :

ambil x4 = 2.10932 dan x5 = 1.96752

f(1.96752) = 4(1.96752)3 – 15(1.96752)2 +

17(1.96752) – 6 = -0.15303

x6 = (1.96752) –

= 1.99423

iterasi 6 :

ambil x5 = 1.96752 dan x6 = 1.99423

f(1.99423) = 4(1.99423)3 – 15(1.99423)2 +

17(1.99423) – 6 = -0.02854

x7 = (1.99423) –

= 2.00036

iterasi 7 :

ambil x6 = 1.99423 dan x7 = 2.00036

f(2.00036) = 4(2.00036)3 – 15(2.00036)2 +

17(2.00036) – 6 = 0.00178

x8 = (2.00036) –

= 2.00000

iterasi 8 :

ambil x7 = 2.00036 dan x8 = 1.999996

f(1.999996) = 4(1.999996)3 –

15(1.999996)2 + 17(1.999996) – 6 = -

0.0002

x9 = (1.999996) –

= 2.0000

iterasi 9 :

ambil x8 = 1.999996 dan x9 = 2.00000

f(2.00000) = 4(2.00000)3 – 15(2.00000)2 +

17(2.00000) – 6 = 0.00000

x10 = (2.00000) –

= 0.00000

Jadisalahsatuakardari 4x3 – 15x2 + 17x – 6

= 0 adalah2

Contoh selanjutnya yaitu

Terapkandenganmetode secant

padapersamaan: F(x) = x2 – x – 2, Dengan

x1 = 0 dan x2 =3 dan error =0.05?

Jawab:

F(0) = -2 F(3) = 4

Iterasi1 :

ሾ 0,3 ሿ X3 = x2 – (f(x2)(x2-x1)/f(x2) –

f(x1)) = 3(4(3-0)/4-(-2)) = 1

error = |1 – 3| = 2

iterasi 2 :

[1;3] f(1) = -2 f(3) = 4 x3 = 4 – (4(3 – 1)/ 4 –

(-2)) = 2

error = |2 – 1| = 1

iterasi 3 : [2;3] f(2) = 0 8 f(3) = 4 x3 = 3-

(4(3 – 2)/ 4-0) = 2 error = |2 – 2| = 0

makaakar : 2

IV. KESIMPULAN

Kesimpulan dari penjelasan diatas

adalah

1. Metode secant adalah metode yang di

gunakan untuk menyelesaikan

permaslahan matematis non linear

programming.

2. Di dalam penggunaannya , semakin

banyak iterasi maka nilai akan semakin

baik dan semakin presisi.

3.

DAFTAR PUSTAKA

1) http://cttnkuliah117.wordpress.com/

2010/04/01/metode-secant-sekan/

2) http://cttnkuliah117.wordpress.com/

2010/04/01/metode-secant-sekan/

http://aimprof08.wordpress.com/2012/0

9/01/metode-secant-secant-method/