BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Pada geometri masalahnya adalah garis singgung sedangkan mekanis masalahnya pada kecepatan rata-rata dan kecepatan.

Garis singgung pada kurva y=f ( X) di titik P(c , f (c )) adalah garis yang melalui P dengan kemiringan (gradient)

mtan g=limh→ 0

msec=limh→ 0

f ( c+h )−f (c )h

Asalkan bahwa limit ini ada dan bukan ∞ dan -∞

Jika benda bergerak di sepanjang garis koordinat dengan fungsi posisi f(t),maka kecepatan sesaat pada saat c adalah

v=limh → 0

vrata−rata=limh → 0

f (c+h )−f (c)h

Asalkan bahwa limit ini ada dan bukan ∞ dan - ∞

1.2 RUMUSAN MASALAH1. Definisi turunan2. Aturan pencarian turunan3. Turunan trigonometri4. Aturan rantai5. Diferensiasi implisit

1.3 TUJUAN1. Untuk mengetahui definisi turunan2. Untuk mengetahui aturan pencarian turunan3. Untuk mengetahui Turunan trigonometri4. Untuk mengetahui Aturan rantai5. Untuk mengetahui Diferensiasi implisit

1.4 BATASAN MASALAH1. Definisi turunan2. Aturan pencarian turunan3. Turunan trigonometri4. Aturan rantai

5. Diferensiasi implisit

BAB II

PEMBAHASAN

A . Definisi Turunan

Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah

f '(c)=limh→ 0

f (c+h )−f (c)h

Asalkan limit ini ada dan bukan bukan ∞ dan -∞

Jika limit ini memang ada,dikatakan bahwa f terdiferensiasi di c.Pencarian turunan disebut diferensiasi, bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial.

Beberapa bentuk setara untukturunan.Perubahanyanglebihradikal,tetapi masih tetap hanyasuatuperubahancara penulisan,mungkin dipahami dengan menggantikan c+h dengan x,sehingga h dapat digantikan dengan x-c.

f '( x)=limh →0

f ( x )−f (c)x−c

Keterdiferensiasi mengimplikasi kontinuitas jika f’(c) ada maka f kontinu di c.Jika sebuah kurva mempunyai sebuah garis singgung disebuah titik ,maka kurva itu tidak dapat melompat

atau sangat berayun di titik tersebut.

Notasi pendiferensial

Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler.

Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:

dydx

,dfdx

( x ) ataupunddx

f (x ) 

Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.

Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka y mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.

Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:

D x y atau D x f (x )

Notasi Leibniz

Notasi Lagrange

Notasi Newton

Notasi Euler

Turunan f(x) terhadap x

dydx

ƒ′(x) y D x y

Grafik turunan, turunan f’(x) memberikan kemiringan garis singgung terhadap grafiky=f(x)pada nilai x . jadi ketika garis singgung miring naik kekanan,turunan positif,dan ketika garis singgung miring turun ke kiri,turunan negative.karenanya kita dapat memperoleh gambaran kasar dari turunan hanya dengan diketahui grafik fungsi.

B . Aturan Pencarian Turunan1. Aturan Konstanta

f ( x )=k →f ' ( x )=0

Bukti : f ' ( x )=limh →0

f ( x+h )−f (x)h

=limh →0

k−kh

=limh → 0

0=0

2. Aturan Fungsi Satuanf ( x )=x →f ' (x )=1

Bukti : f ' ( x )=limh →0

f ( x+h )−f (x)h

=limh →0

x+h−xh

=limh→ 0

h/h=1

3. Aturan Pangkatf ( x )=xn →f ' (x )=n xn−1

Bukti :

Di dalam kurung siku,semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sehingga jika masing-masing suku ini mempunyai limit nol ketika h mendekati nol.

4. Aturan Kelipatan KonstantaF ( x )=kf (x ) → F ' ( x )=k ∙ f ' (x )

Bukti :

F ' ( x )=limh→ 0

f (x+h )−f ( x )h

=limh→ 0

k ∙ f ( x+h )−k ∙ f ( x )h

=limh → 0

kf ( x+h )−f ( x )

h=k lim

h→ 0

f ( x+h )−f ( x )h

=k ∙ f ' (x )

5. Aturan Jumlah F ( x )=f ( x )+g ( x ) → F ' ( x )=f ' ( x )+g' (x )

Bukti :

6. Aturan Selisih

F ( x )=f ( x )−g ( x ) → F ' (x )=f ' ( x )−g ' ( x )Bukti :

F ' ( x )=limh→ 0

[ f (x+h )−g ( x+h ) ]−[ f ( x )−g ( x )]h

=limh → 0

[ f (x+h )−f ( x ) ]−¿¿¿

7. Aturan Hasil Kali

F ( x )=f ( x ) ∙ g (x ) →F ' ( x )=f ( x ) g' ( x )+g ( x ) f ' (x )Bukti :

8. Aturan Hasil Bagi

F ( x )= f ( x )g ( x )

→ F ' ( x )=[ g ( x ) f ' ( x )−f (x ) g' ( x ) ]

g2 ( x )Bukti :

C . Turunan Fungsi Trigonometri

Bukti :

D . Aturan Rantai

Aturan rantai adalah aturan yang sangat bermanfaat yang mempermudahkan kita dalam mencari turunan suatu fungsi.

Contoh ambil fungsi f( x )=( x2+2 x+1 )2 maka dengan menggunaka aturan rantai diperoleh

turunannya adalah f( x ) = 2( x2+2 x+1 ) (2 x+2 )

Lihat betapa mudahnya hidup dengan aturan rantai.

Nah..sekarang kami akan membuktian aturan tersebut

Diberikan fungsi f dan g dimana g terturun differentiable pada titik x dan f terturun differentiable pada titik y  dengan y = g(x) Kita akan menghitung turunan dari fungsi komposisi f( g ( x ) )ditik x, dengan kata lain kita mau menghitung

limh→ 0

f ( g ( x+h )−f ( g ( x ) ))h

Jawabannya merupakan bukti dari

d ( f ° g ) ( x )dx

=(f ° g )' ( x )=( f ( g ( x ) ) )'=f ' ( x ) g ' ( x )

yang kita sebut sebagai aturan rantai chain rule

Diketahui g ( x ) terturun pada titik artinya nilai g ' ( x ) ada dan menurut definisi turunan diperoleh

limh→ 0

g ( x+h )−g ( x )h

=g ' ( x )

limh→ 0

g ( x+h )−g ( x )h

−g ' ( x )=0

Kita definisikan variabel ϑdimana

v=g ( x+h )−g ' (x )

h−g ' ( x )

bisa kita lihat nilai tergantung dari nilai h jika h → 0 maka v→ 0

Dengan cara yang sama diketahui f( x ) terturun dititik y=g ( x ), menurut definisi turunan diperoleh

limk→ 0

f ( y+k )−f (k )k

=f ' ( y )

limk→ 0

f ( y+k )−f (k )k

−f ' ( y )=0

Kita definisikan variabel w dimana

w=f ( y+k )−f ( y )

k−f ' ( y )

bisa kita lihat juga jika k → 0 maka w → 0

Dari definisi v dan w diperoleh

g ( x+h )=g ( x )+[ g' (x )+v ] h

f ( y+k )=f ( y )+ [ f ' ( y )+w ] k

Dari persamaan diatas jika f ( g ( x+h ) ) diperoleh

f ( g ( x+h ) )=f (g ( x )+[ g ' ( x )+v ] h )

Nah sekarang ambil k=[ g' ( x )+v ]h dan y=g ( x ), jika h → 0 maka k → 0 diperoleh

f ( y+k )=f (g (x ) )+[ f ' (g ( x ) )+w ] ⦁ [ g' (x )+v ]h

selanjutnya kita peroleh

f ( g ( x+h ) )−f ( g ( x ) )h

=f (g ( x ) )+[ f ' ( g ( x ) )+w ] ⦁ [ g (x )+v ] h−f ( g ( x ) )

h

¿[f ' ( g ( x ) )+w ]⦁ [ g' ( x )+v ] h

h

Sekarang kita siap menghitung turunan

karena menyebabkan yang berakibat dan , diperoleh

E. Diferensiasi implisit

Dalam persamaan y3+7 y=x3

Kita tidak dapat menyelesaikan y dalam x. Mungkin masih berupa kasus bahwa hanya terdapat satu y

yang berpadanan dengan x. Contohnya, kita dapat menanyakan beberapa nilai yang berpadanan

dengan x=2 . untuk menjawab perasamaan ini kita harus menyelesaikan x3+7 y=8.

Tentu saja y=1adalah solusinya, dan hanya y=1adalah satu-satunya solusi real. Di berikan x=2,

persamaan y3+7 y=x3 menentukan nilai yang berpadanan. Kita mengatkan bahwa persamaan itu

mendefinisikan y sebagai fungsi imflisit dari x. Grafik persamaan ini di kerjakan dalam gambar 1.

Tentu saja terlihat seperti grafik fungsi yang terdiferensiasiakan. Elemen baru ini tidak dalam bentuk

y=f (x ). Berdasarkan grafik kita menganggap bahwa y adalah fungsi x yang tidak di ketahui. Kita

menyatakan fungsi ini y (x ), kita dapat menuliskan persamaan ini sebagai ¿

Meskipun kita tidak memiliki rumus untuk y (x ),kita tidak akan memperoleh hubungan antara

x , y ( x ) dan y' (x ). Dengan mendeferensiasikan kedua sisi persamaan terhadap x. Dengan

menggunakan aturan rantai kita peroleh:

ddx

( y3 )+ ddx

(7 y )= ddx

x3

3 y2 dydx

+7dydx

=3 x2

dydx

(3 x2+7 )=3 x2

dydx

= 3 x2

3 y2+7

Perhatikan bahwa turunan dydx

melibatkan x dan y , sebuah fakta yang cukup mengganggu. Tapi, jika

kita hanya ingin mengetahui kemiringannya pada titik dimana kita mengetahui koordinatnya, tidak

ada yang sukar, yaiut:

dydx

=3 (2)2

3 (1)2 =1210

=65

jadi kemiringannya adalah65

Metode yang baru saja di ilustrasikan untuk menjcari dydx

tanpa terlebih dahulu

menyelesaikan secara gamblang persamaan yang di berikan untuk

y dalam xdi sebut diferensiasi implisit .

Sebuah contoh yang dapat diperiksa untuk memberikan bukti untuk menguji kebenaran

metode tersebut, perhatikan contoh berikut yang dapat di kerjakan dalam dua cara.

Contoh 1. Carilah dydx

jika 4 x2 y−3 y=x3−1!!!!!!!!!!!

Penyelesaian:

Metode 1. Kita dapat menyelsaikan persamaan yang di berikan secara implisit untuk y sebagai berikut:

y (4 x2−3 )=x3−1

y= x3−14 x2−3

jadidydx

=(4 x2−3 ) (3x2 )−( x3−1 ) (8 x )

(4 x2−3 )2=4 x2−9 x2+8 x

( 4 x2−3 )2

Metode 2. Diferensiasi implisit kita menyatakan turunan-turuna kedua ruas dari:

dydx

( 4 x2 y−3 y )=dydx

( x2−1 )

Setelah menggunakan aturan hasil kali pada suku pertama, kita peroleh:

4 x2 .dydx

+ y .8x−3dydx

=3 x2

dydx

( 4 x2−3 )=3x2−8xy

dydx

=3 x2−8 xy4 x2−3

Kedua jawaban ini terlihat berbeda. Untuk satu hal, jawaban di peroleh dari metode 1 hanya

melibatkan x, sedangkan dari metode 2 melibatkan x dan y. Ingatlah meskipun demikian,( 4 x2−3 ).

Ketikan mensubsitusikan y=( x3−1 )

( 4 x2−3 ) kedalam persamaan untuk mendapatkan

dydx

kita memperoleh

hasil berikut:

dydx

=3 x2−8 xy4 x2−3

=3 x2−8 x

x2−14 x2−3

4 x2−3

¿12 x4−9 x2−8 x2+8 x

(4 x2−3 )2=4 x4−9 x2+8 x

(4 x2−3 )2