8/13/2019 paper uas 1

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E m p i r i c a l m o d e d e c o m p o s i t i o n b a s e d t i m e - f r e q u e n c y a t t r i b u t e s

I v a n M a g r i n - C h a g n o l l e a u a n d R i c h a r d G . B a r a n i u k

R i c e U n i v e r s i t y , H o u s t o n , T e x a s

S u m m a r y

T h i s p a p e r d e s c r i b e s a n e w t e c h n i q u e , c a l l e d t h e e m -

p i r i c a l m o d e d e c o m p o s i t i o n E M D , t h a t a l l o w s t h e

d e c o m p o s i t i o n o f o n e - d i m e n s i o n a l s i g n a l s i n t o i n t r i n s i c

o s c i l l a t o r y m o d e s . T h e c o m p o n e n t s , c a l l e d i n t r i n s i c m o d e

f u n c t i o n s I M F s , a l l o w t h e c a l c u l a t i o n o f a m e a n i n g f u l

m u l t i c o m p o n e n t i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y . A p p l i e d t o a

s e i s m i c t r a c e , t h e E M D a l l o w s u s t o s t u d y t h e d i e r e n t

i n t r i n s i c o s c i l l a t o r y m o d e s a n d i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c i e s

o f t h e t r a c e . A p p l i e d t o a s e i s m i c s e c t i o n , i t p r o v i d e s

n e w t i m e - f r e q u e n c y a t t r i b u t e s .

I n t r o d u c t i o n

S e i s m i c s i g n a l s , a s w i t h m a n y r e a l - w o r l d s i g n a l s , a r e n o n -

s t a t i o n a r y , m a k i n g F o u r i e r a n a l y s i s u n s a t i s f y i n g s i n c e t h e

f r e q u e n c y c o n t e n t c h a n g e s a c r o s s t h e t i m e . E x p l o r a t i o n

o f t h e f r e q u e n c y c o n t e n t o f s u c h s i g n a l s d i c t a t e s a l o c a l

s t u d y o f t h e f r e q u e n c y c o n t e n t . I n t i m e - f r e q u e n c y a n a l y -

s i s , w e a n a l y z e t h e f r e q u e n c y c o n t e n t a c r o s s a s m a l l s p a n

o f t i m e a n d t h e n m o v e t o a n o t h e r t i m e p o s i t i o n F l a n -

d r i n , 1 9 9 3 ; C o h e n , 1 9 9 5 . T h e m a j o r d r a w b a c k o f m o s t

t i m e - f r e q u e n c y t r a n s f o r m s i s t h a t t h e r e c t a n g u l a r t i l i n g

o f t h e t i m e - f r e q u e n c y p l a n e d o e s n o t m a t c h t h e s h a p e o f

m a n y s i g n a l s .

O n t h e o t h e r h a n d , b a s i s d e c o m p o s i t i o n t e c h n i q u e s s u c h

a s t h e F o u r i e r d e c o m p o s i t i o n o r t h e W a v e l e t d e c o m p o -

s i t i o n D a u b e c h i e s , 1 9 9 2 h a v e a l s o b e e n u s e d t o a n a -

l y z e r e a l - w o r l d s i g n a l s . T h e m a i n d r a w b a c k o f t h e s e a p -

p r o a c h e s i s t h a t t h e b a s i s f u n c t i o n s a r e x e d , a n d d o n o t

n e c e s s a r i l y m a t c h v a r y i n g n a t u r e o f s i g n a l s .

I n t h i s p a p e r , w e u s e a n e w t e c h n i q u e , c a l l e d t h e e m -

p i r i c a l m o d e d e c o m p o s i t i o n E M D , r s t i n t r o d u c e d b y

H u a n g e t a l . 1 9 9 8 . T h i s t e c h n i q u e a d a p t i v e l y d e c o m -

p o s e s a s i g n a l i n t o o s c i l l a t i n g c o m p o n e n t s . T h e d i e r -

e n t c o m p o n e n t s m a t c h t h e s i g n a l i t s e l f v e r y w e l l , a n d t h e

t i m e - f r e q u e n c y r e p r e s e n t a t i o n e x t r a c t e d f r o m t h e d e c o m -

p o s i t i o n , c a l l e d t h e H i l b e r t a m p l i t u d e s p e c t r u m , d o e s n o t

h a v e a n y c o n s t r a i n t o n t h e w a y t o t i l e t h e t i m e - f r e q u e n c y

p l a n e . B e c a u s e t h e a p p r o a c h i s a l g o r i t h m i c , i t d o e s n o t

a l l o w t o e x p r e s s t h e d i e r e n t c o m p o n e n t s i n c l o s e d f o r m .

T h e E M D i s i n f a c t t y p e o f a d a p t i v e w a v e l e t d e c o m p o s i -

t i o n w h o s e s u b b a n d s a r e b u i l t u p a s n e e d e d t o s e p a r a t e

t h e d i e r e n t c o m p o n e n t s o f t h e s i g n a l .

E m p i r i c a l M o d e D e c o m p o s i t i o n

T h e e m p i r i c a l m o d e d e c o m p o s i t i o n w a s r s t i n t r o d u c e d

b y H u a n g e t a l . 1 9 9 8 . T h e p r i n c i p l e o f t h i s t e c h n i q u e i s

t o d e c o m p o s e a s i g n a l x t i n t o a s u m o f f u n c t i o n s t h a t :

1 h a v e t h e s a m e n u m b e r s o f z e r o c r o s s i n g s a n d e x t r e m a ;

a n d 2 a r e s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o t h e l o c a l m e a n .

T h e r s t c o n d i t i o n i s s i m i l a r t o t h e n a r r o w - b a n d r e q u i r e -

m e n t f o r a s t a t i o n a r y G a u s s i a n p r o c e s s . T h e s e c o n d c o n -

d i t i o n m o d i e s a g l o b a l r e q u i r e m e n t t o a l o c a l o n e , a n d

i s n e c e s s a r y t o e n s u r e t h a t t h e i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y

w i l l n o t h a v e u n w a n t e d u c t u a t i o n s a s i n d u c e d b y a s y m -

m e t r i c w a v e f o r m s . T h e s e f u n c t i o n s a r e c a l l e d i n t r i n s i c

m o d e f u n c t i o n s I M F s , a n d d e n o t e d i m f

i

t . T h e i n -

t r i n s i c m o d e f u n c t i o n s a r e o b t a i n e d u s i n g t h e a l g o r i t h m

o f T a b l e 1 .

1 . I n i t i a l i z e : r

0

t = x t , i = 1

2 . E x t r a c t t h e i - t h I M F :

a I n i t i a l i z e : h

0

t = r

i

t , j = 1

b E x t r a c t t h e l o c a l m i n i m a a n d m a x i m a

o f h

j , 1

t

c I n t e r p o l a t e t h e l o c a l m a x i m a a n d t h e l o c a l

m i n i m a b y a c u b i c s p l i n e t o f o r m u p p e r a n d

l o w e r e n v e l o p e s o f h

j , 1

t

d C a l c u l a t e t h e m e a n m

j , 1

t o f t h e u p p e r

a n d l o w e r e n v e l o p e s

e h

j

t = h

j , 1

t , m

j , 1

t

f i f s t o p p i n g c r i t e r i o n i s s a t i s e d

t h e n s e t i m f

i

t = h

j

t

e l s e g o t o b w i t h j = j + 1

3 r

i

t = r

i , 1

t , i m f

i

t

4 . i f r

i

t s t i l l h a s a t l e a s t 2 e x t r e m a

t h e n g o t o 2 w i t h i = i + 1

e l s e t h e d e c o m p o s i t i o n i s n i s h e d

a n d r

i

t i s t h e r e s i d u e .

T a b l e 1 : A l g o r i t h m f o r t h e E M D .

A t t h e e n d o f t h e a l g o r i t h m , w e h a v e :

x t =

n

X

i = 1

i m f

i

t + r

n

t

w h e r e r

n

t i s t h e r e s i d u e o f t h e d e c o m p o s i t i o n .

A n o t h e r w a y t o e x p l a i n h o w t h e e m p i r i c a l m o d e d e c o m -

p o s i t i o n w o r k s i s t h a t i t p i c k s o u t t h e h i g h e s t f r e q u e n c y

o s c i l l a t i o n t h a t r e m a i n s i n t h e s i g n a l . T h u s , l o c a l l y , e a c h

I M F c o n t a i n s l o w e r f r e q u e n c y o s c i l l a t i o n s t h a n t h e o n e

e x t r a c t e d j u s t b e f o r e . T h i s p r o p e r t y c a n b e v e r y u s e f u l

t o p i c k u p f r e q u e n c y c h a n g e s , s i n c e a c h a n g e w i l l a p p e a r

e v e n m o r e c l e a r l y a t t h e l e v e l o f a n I M F .

T o i l l u s t r a t e t h e E M D , w e p l o t i n F i g . 1 a s e i s m i c t r a c e ,

t h e r s t t h r e e I M F s , a n d t h e r e s i d u e . W e c a n s e e e a s i l y

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E m p i r i c a l m o d e d e c o m p o s i t i o n b a s e d t i m e - f r e q u e n c y a t t r i b u t e s

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.20

0.2

Trace

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.20

0.2

Imf1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.20

0.2

Imf2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.200.2

Imf3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.20

0.2

Residue

Time (s)

F i g . 1 : I l l u s t r a t i o n o f t h e E M D : s e i s m i c t r a c e , r s t t h r e e I M F s ,

a n d t h e r e s i d u e o f t h e d e c o m p o s i t i o n t h e I M F s 4 t o 9 a r e n o t

s h o w n .

t h a t e a c h c o m p o n e n t h a s t h e s a m e n u m b e r o f z e r o c r o s s -

i n g s a s e x t r e m a a n d i s s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o t h e z e r o

l i n e . H e n c e , w e c a n c a l c u l a t e f o r e a c h c o m p o n e n t a m e a n -

i n g f u l i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y . T h e r e s i d u e , i n t h i s c a s e ,

h a s a l m o s t a z e r o v a l u e w h i c h m e a n s t h a t t h e o r i g i n a l

s i g n a l h a d a z e r o m e a n , a s i t i s t h e c a s e f o r m o s t s e i s m i c

t r a c e s . M o r e g e n e r a l l y , t h e r e s i d u e c a p t u r e s t h e t r e n d o f

t h e o r i g i n a l s i g n a l .

C o m p l e x T r a c e s a n d I n s t a n t a n e o u s F r e q u e n c y

T h e n o t i o n s o f c o m p l e x s i g n a l s a s s o c i a t e d w i t h r e a l s i g n a l s

a n d o f i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y F l a n d r i n , 1 9 9 3 ; C o h e n ,

1 9 9 5 h a v e b e e n r s t u s e d i n s e i s m i c a n a l y s i s b y T a n e r e t

a l . 1 9 7 9 .

G i v e n a r e a l s i g n a l x t , w e c a n b u i l d t h e c o r r e s p o n d i n g

a n a l y t i c s i g n a l o r c o m p l e x t r a c e :

X t = x t + j H f x t g

w h e r e H f x t g i s t h e q u a d r a t u r e s i g n a l c o r r e s p o n d i n g t o

x t o b t a i n e d u s i n g t h e H i l b e r t t r a n s f o r m

H f x t g =

1

p v

Z

+ 1

, 1

x

t ,

d

w i t h p v

R

+ 1

, 1

b e i n g t h e C a u c h y p r i n c i p l e v a l u e o f t h e i n -

t e g r a l .

T h e a n a l y t i c s i g n a l c a n a l s o b e o b t a i n e d b y : 1 t a k i n g

t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f x t ; 2 z e r o i n g t h e a m p l i t u d e

f o r n e g a t i v e f r e q u e n c i e s a n d d o u b l i n g t h e a m p l i t u d e f o r

p o s i t i v e f r e q u e n c i e s ; a n d 3 t a k i n g t h e i n v e r s e F o u r i e r

t r a n s f o r m .

T h e c o m p l e x t r a c e c a n b e e x p r e s s e d a s :

X t = A t e

j t

w h e r e A t i s t h e i n s t a n t a n e o u s a m p l i t u d e o r r e e c t i o n

s t r e n g t h a n d t i s t h e i n s t a n t a n e o u s p h a s e . W e c a n

t h e n d e n e t h e i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y ! t a s

! t =

d t

d t

I n s t e a d o f c a l c u l a t i n g t h e c o m p l e x t r a c e a s s o c i a t e d w i t h

t h e s e i s m i c t r a c e x t i t s e l f , w e c a n c a l c u l a t e t h e c o m p l e x

s i g n a l a s s o c i a t e d w i t h e a c h o f t h e i n t r i n s i c m o d e f u n c -

t i o n s , a n d t h u s t h e i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y o f e a c h o f

t h e m , i n o r d e r t o o b t a i n a m u l t i c o m p o n e n t i n s t a n t a n e o u s

f r e q u e n c y .

F i g . 2 r e p r e s e n t s t h e i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y n o r m a l i z e d

b e t w e e n 0 a n d 0 . 5 o f t h e o r i g i n a l t r a c e a n d o f t h e r s t

t h r e e I M F s .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

Freq.

Trace

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

Freq.

Imf1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

Freq.

Imf2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

Freq.

Imf3

Time (s)

F i g . 2 : N o r m a l i z e d i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c i e s o f t h e o r i g i n a l

t r a c e a n d o f t h e r s t t h r e e I M F s .

W e o b s e r v e t h a t t h e i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y o f t h e r s t

I M F i s v e r y s i m i l a r t o t h e i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y o f t h e

o r i g i n a l t r a c e , b u t w i t h m u c h f e w e r p e a k s d u e t o n o i s e

b l o w - u p , w h i c h i s a g r e a t a d v a n t a g e . T h e i n s t a n t a n e o u s

f r e q u e n c i e s o f t h e o t h e r c o m p o n e n t s g i v e a d d i t i o n a l i n f o r -

m a t i o n a b o u t t h e d i e r e n t o s c i l l a t o r y m o d e s o f t h e o r i g i -

n a l t r a c e .

T h e f a c t t h a t t h e i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y o f t h e r s t

I M F p o s s e s s e s s o f e w n o i s e p e a k s s u g g e s t s w e u s e i t a s

a t i m e - f r e q u e n c y a t t r i b u t e i n s t e a d o f t h e i n s t a n t a n e o u s

f r e q u e n c y o f t h e o r i g i n a l t r a c e i t s e l f .

H i l b e r t A m p l i t u d e S p e c t r u m

O n c e w e h a v e c a l c u l a t e d t h e i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y o f

e a c h I M F , w e c a n r e p r e s e n t t h e H i l b e r t a m p l i t u d e s p e c -

t r u m o f t h e i n i t i a l s e i s m i c t r a c e a s i n H u a n g e t a l . 1 9 9 8 ,

w h i c h i s o b t a i n e d i n t h e f o l l o w i n g w a y : f o r e a c h i n t r i n s i c

m o d e f u n c t i o n i m f

i

t , i f !

i

t i s t h e c o r r e s p o n d i n g i n -

s t a n t a n e o u s f u n c t i o n , w e r e p r e s e n t i n t h e t i m e - f r e q u e n c y

p l a n e t h e t r i p l e t f t ; !

i

t ; A

i

t g w h e r e A

i

t i s t h e a m -

p l i t u d e o f t h e c o m p l e x t r a c e a s s o c i a t e d t o i m f

i

t

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3/4

E m p i r i c a l m o d e d e c o m p o s i t i o n b a s e d t i m e - f r e q u e n c y a t t r i b u t e s

F i g . 3 r e p r e s e n t s t h e H i l b e r t a m p l i t u d e s p e c t r u m o f t h e

p r e v i o u s s e i s m i c t r a c e , u s i n g 5 1 2 f r e q u e n c y b i n s .

Time Sample

Normaliz

edFrequency

50 100 150 200 250

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

220

200

180

160

140

120

100

80

60

F i g . 3 : H i l b e r t a m p l i t u d e s p e c t r u m u s i n g 5 1 2 f r e q u e n c y b i n s .

T h e a m p l i t u d e i s r e p r e s e n t e d i n d B .

E M D - B a s e d T i m e - F r e q u e n c y A t t r i b u t e s

T h e n e x t s t e p o f t h i s a n a l y s i s i s t o d e n e n e w t i m e -

f r e q u e n c y a t t r i b u t e s b a s e d o n t h e E M D . F i g . 4 r e p r e s e n t s

a m i g r a t e d s e i s m i c s e c t i o n f r o m t h e A l b o r a n s e a c o m p o s e d

o f 1 0 0 t r a c e s o f 2 5 6 s a m p l e s e a c h .

Distance (m)

Time(s)

200 400 600 800 1000 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

F i g . 4 : M i g r a t e d s e i s m i c s e c t i o n f r o m t h e A l b o r a n s e a .

O n e a c h t r a c e , w e c o m p u t e t h e i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y

a s d e n e d i n T a n e r e t a l . 1 9 7 9 . F i g . 5 r e p r e s e n t s t h e i n -

s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y a t t r i b u t e f o r t h e A l b o r a n s e a s e c -

t i o n .

W e a l s o c o m p u t e f o r e a c h t r a c e t h e i n s t a n t a n e o u s f r e -

q u e n c y o f t h e I M F s o b t a i n e d b y t h e E M D . T h e t i m e -

f r e q u e n c y a t t r i b u t e s r e p r e s e n t e d F i g . 6 , F i g . 7 , a n d F i g . 8

w e r e o b t a i n e d r e s p e c t i v e l y b y c o m p u t i n g f o r e a c h t r a c e

t h e i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y o f t h e r s t , s e c o n d , a n d t h i r d

I M F s .

T h e n e w t i m e - f r e q u e n c y a t t r i b u t e s d o n o t h a v e a s m a n y

s a t u r a t e d l i n e s a s t h e i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y a t t r i b u t e .

T h e s e s a t u r a t e d l i n e s , c o r r e s p o n d i n g t o t h e p e a k s w h i c h

a r e d u e t o n o i s e b l o w - u p , t e n d t o d i s a p p e a r o n t h e n e w

t i m e - f r e q u e n c y a t t r i b u t e s .

T h e s e c o n d t i m e - f r e q u e n c y a t t r i b u t e m a k e s a p p a r e n t a

c h a n g e a r o u n d 0 . 4 2 s e c o n d s t h a t m a y c o r r e s p o n d t o a

c h a n g e i n t h e s t r a t i g r a p h y o f t h e s e c t i o n .

C o n c l u s i o n a n d F u t u r e D i r e c t i o n s

W e h a v e p r o p o s e d a n e w m e t h o d o l o g y t o d e c o m p o s e a

s e i s m i c t r a c e i n t o d i e r e n t o s c i l l a t o r y m o d e s a n d t o e x -

t r a c t t h e i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c i e s o f t h e s e m o d e s . I f

w e r e p r e s e n t a l l t h e s e f r e q u e n c y f u n c t i o n s i n t h e t i m e -

f r e q u e n c y p l a n e , w e h a v e a c o m p l e t e d e s c r i p t i o n o f t h e

f r e q u e n c y b e h a v i o r o f t h e t r a c e . W e h a v e a l s o e x t r a c t e d

n e w t i m e - f r e q u e n c y a t t r i b u t e s f r o m t h i s d e c o m p o s i t i o n ,

b a s e d o n a n i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y c a l c u l a t i o n o f e a c h

c o m p o n e n t o f t h e d e c o m p o s i t i o n .

T h e n e x t s t e p i n t h i s s t u d y w i l l b e t o e x t r a c t o t h e r t i m e -

f r e q u e n c y a t t r i b u t e s b a s e d o n d i e r e n t c a l c u l a t i o n s i n t h e

t i m e - f r e q u e n c y p l a n e , s u c h a s t h e m e a n f r e q u e n c y , t h e l o -

c a l b a n d w i d t h , o r m o r e g e n e r a l l y s o m e h i g h e r m o m e n t s .

W e c a n a l s o u s e o t h e r m e t h o d s f o r c a l c u l a t i n g t h e i n s t a n -

t a n e o u s f r e q u e n c i e s o f t h e I M F s , f o r e x a m p l e b y u s i n g a

p s e u d o - W i g n e r - V i l l e t r a n s f o r m .

A k n o w l e d g e m e n t

T h e a u t h o r s w o u l d l i k e t o t h a n k G u y D r i j k o n i n g e n f o r h i s

p r e c i o u s c o m m e n t s d u r i n g t h i s w o r k . T h i s w o r k h a s b e e n

s p o n s o r e d b y t h e R i c e C o n s o r t i u m f o r C o m p u t a t i o n a l

S e i s m i c S i g n a l I n t e r p r e t a t i o n w w w . d s p . r i c e . e d u c c s i ,

b y t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n , g r a n t n o . M I P

9 4 5 7 4 3 8 , a n d b y D A R P A A F O S R , g r a n t n o . F 4 9 6 2 0 - 9 7 -

1 - 0 5 1 3 .

R e f e r e n c e s

C o h e n , L . , 1 9 9 5 , T i m e - f r e q u e n c y a n a l y s i s : P r e n t i c e H a l l .

D a u b e c h i e s , I . , 1 9 9 2 , T e n l e c t u r e s o n w a v e l e t s : S I A M .

F l a n d r i n , P . , 1 9 9 3 , T e m p s - f r e q u e n c e : H e r m e s .

H u a n g , N . E . , e t a l . , 1 9 9 8 , T h e e m p i r i c a l m o d e d e c o m -

p o s i t i o n a n d t h e H i l b e r t s p e c t r u m f o r n o n l i n e a r a n d

n o n - s t a t i o n a r y t i m e s e r i e s a n a l y s i s : P r o c e e d i n g s o f t h e

R o y a l S o c i e t y L o n d . A , 4 5 4 , 9 0 3 9 9 5 .

T a n e r , M . , K o e h l e r , F . , a n d S h e r i , R . , J u n e 1 9 7 9 , C o m -

p l e x s e i s m i c t r a c e a n a l y s i s : G e o p h y s i c s , 4 4 , n o . 6 ,

1 0 4 1 1 0 6 3 .

8/13/2019 paper uas 1

4/4

E m p i r i c a l m o d e d e c o m p o s i t i o n b a s e d t i m e - f r e q u e n c y a t t r i b u t e s

Distance (m)

Time(s)

200 400 600 800 1000 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

F i g . 5 : F r e q u e n c y a t t r i b u t e b a s e d o n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e i n -

s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y a s p r o p o s e d i n T a n e r e t a l . 1 9 7 9 .

Distance (m)

Time(s)

200 400 600 800 1000 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

F i g . 6 : T i m e - f r e q u e n c y a t t r i b u t e b a s e d o n t h e c a l c u l a t i o n o f

t h e i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y o f t h e r s t I M F .

Distance (m)

Time(s)

200 400 600 800 1000 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

F i g . 7 : T i m e - f r e q u e n c y a t t r i b u t e b a s e d o n t h e c a l c u l a t i o n o f

t h e i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y o f t h e s e c o n d I M F .

Distance (m)

Time(s)

200 400 600 800 1000 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

F i g . 8 : T i m e - f r e q u e n c y a t t r i b u t e b a s e d o n t h e c a l c u l a t i o n o f

t h e i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y o f t h e t h i r d I M F .