UM EXEMPLO DE CONDIES INICIAISPARA ENTRADA IMPULSIVA

Jos A. F. Leitejafleite@del.ufs.br

5 de janeiro de 2014

1. INTRODUO

O problema que estamos comeando a resolver diz respeito ao estabelecimentodas condies iniciais de um circuito excitado por uma fonte impulsiva. Ocircuito que iremos utilizar de segunda ordem, levando-nos ento procurados valores das grandezas, assim como das suas derivadas, em t = 0+.

Na figura 1 abaixo, vemos um circuito eltrico tpico, contendo bipolos passivos(R, L e C) e ativos (fonte de tenso independente Uo(t) e fonte de tensodependente v1). Vamos considerar tambm que no havia energia inicialarmazenada no circuito. Lembramos que dos bipolos passivos, o indutor (L)e o capacitor (C) so reativos, ou seja, eles no consomem energia. Elessimplesmente armazenam e liberam energia. Obviamente estamos falando debipolos ideais.

Figura 1: Circuito a ser analisado.

A notao utilizada para correntes e tenses a de receptores, onde a correnteentra pelo terminal positivo da tenso nos bipolos passivos e saem pelo terminalpositivo da tenso nos bipolos ativos. A figura 2 mostra esta conveno.

Figura 2: Conveno corrente e tenso em bipolos.

A potncia em um bipolo passivo no-reativo, no caso um resistor, semprepositiva, enquanto que em um bipolo ativo sempre negativa. Em um bipolo

1

reativo, no caso capacitor ou indutor, vai depender do estado do mesmo. Se eleestiver se carregando (armazenando energia), ele se comporta como um bipolopassivo. Se estiver se descarregando (fornecendo energia), ele se comportacomo um bipolo ativo.

Os nossos circuitos so sempre lineares e invariantes no tempo (L.I.T.). Assim,nossa anlise fica bem facilitada, pois s precisamos de alguns conceitos bsi-cos, dados por algumas leis, para resolvermos o circuito, ou seja, descobrirmosa tenso e a corrente em cada bipolo.

Vamos comear pelas relaes constitutivas dos bipolos. Estas relaes mos-tram a interdependncia da tenso e corrente em um bipolo. A Lei de Ohm a relao constitutiva de um resistor, e dada pela relao:

v = Ri (1)

No caso do capacitor, a relao constitutiva dada por:

i = Cdv

dt(2)

No caso do indutor, dada por:

v = Ldi

dt(3)

A Lei de Kirchhoff das malhas nos d mais uma ferramenta para analisar umcircuito. Ela diz:

Teorema 1 A soma algbrica das tenses em uma malha igual a zero.

Por exemplo, na figura 3 temos um circuito e vamos aplicar este teorema 1 malha externa, formada pelos bipolos V1, R3, R5, R7 e R8.

v1 + v3 v5 v7 + v8 = 0

Figura 3: Aplicao da L.K.M. na malha externa.

A Lei de Kirchhoff dos ns nos d mais uma ferramenta para analisar umcircuito. Ela diz:

Teorema 2 A soma algbrica das correntes em um n igual a zero.

2

Figura 4: Aplicao da L.K.N.

Por exemplo, na figura 4 vemos um n no qual vamos aplicar este teorema 2.

i1 + i3 i5 i7 + i8 = 0Como nosso circuito contm bipolos reativos (L eC), usaremos os trs teoremasque regem o comportamento destes dispositivos:

Teorema 3 Se todas as tenses e correntes permanecerem finitas, a tensono capacitor e a corrente no indutor no podem variar instantaneamente.

Teorema 4 Um impulso unitrio de corrente provoca uma variao de tensono capacitor igual a 1/C, enquanto que um impulso unitrio de tenso provocauma variao de corrente no indutor de 1/L.

Teorema 5 A tenso no capacitor e a corrente no indutor devem permanecerfinitas.

Quando falamos de impulso unitrio queremos nos reportar funo Delta deDirac, Uo(t), que na verdade no uma funo e sim uma distribuo, definidada seguinte forma:

Uo(t) =

{0 t 6= 0 t = 0 e

ba

Uo()d = 1, para a < 0 < b (4)

2. ANLISE DO CIRCUITO PARA t = 0

Vamos analisar o circuito para t = 0. neste instante que se d a ao dafonte impulsiva na entrada, Uo(t). Repetimos o circuito na figura 5, para t = 0,onde o capacitor foi substituido por uma fonte de tenso de valor 0 volt e oindutor por uma fonte de corrente de 0 ampre, pois no havia energia arma-zenada para t = 0. Supondo que em t = 0 a tenso de entrada cai toda sobreo indutor, conclumos que v1 = 0, pela L.K.M. aplicada primeira malha eque a tenso sobre o capacitor deveria ser infinita, pela L.K.M. aplicada segunda malha e com v4 = 0. Como, pelo teorema 5 isto impossvel, vamosconsiderar que a tenso de entrada cai toda sobre o resistor, fazendo v1 = Uoe v2 = 0, satisfazendo a L.K.M. para a primeira malha. Porm, ao analisar-mos a segunda malha, vemos que v2 6= 0. Ento, a tenso de entrada deve sedistribuir entre o resistor e o indutor na primeira malha.

3

Analisando a malha externa, composta pela fonte de entrada, resistor, capaci-tor e fonte controlada, podemos escrever:

Uo + v1 + v3 + v4 = 0 Uo + v1 + 0 + v1 = 0v1 =

Uo( + 1)

(5)

Resta-nos ento calcular as outras tenses e correntes para este tempo.

Figura 5: Circuito para t = 0.

Fazendo uma anlise clssica, onde resolveremos por matriz, vamos calcularinicialmente a matriz M do circuito. As colunas desta matriz so as variveisdo circuito, tenses e correntes em cada bipolo. Como temos 5 bipolos, teremos10 variveis e nossa matriz ser 10X10. As linhas desta matriz so formadas apartir das relaes constitutivas de cada bipolo (5 equaes), L.K.M.(2 equa-es) e L.K.N. (3 equaes).

Rel. Const.

vo = Uo;v1 Ri1 = 0;i2 = 0;v3 = 0; v1 + v4 = 0;

Malhas

{ vo + v1 + v2 = 0;v2 + v3 + v4 = 0;

Ns

io i1 = 0;i1 i2 i3 = 0;i3 i4 = 0;

A relao que vamos utilizar

~BT =M1. ~KT (6)

Onde K o vetor das fontes independentes.

O vetor soluo deste circuito, ~B, ser:

~BT = [vo, v1, v2, v3, v4, io, i1, i2, i3, i4] =

[Uo,Uo

( +1), Uo( +1)

, 0, Uo( +1)

, Uo( +1)R

, Uo( +1)R

, 0, Uo( +1)R

, Uo( +1)R

]

4

Observar que o valor calculado agora para v1(0) o mesmo da equao 5.

Devemos nos preocupar com a corrente no capacitor e com a tenso no indutor.A corrente no capacitor, i3, impulsiva. Assim, sua tenso em t = 0+ variarinstantaneamente, como tambm a corrente no indutor, pois a tenso v2 impulsiva.

3. ANLISE DO CIRCUITO PARA t = 0+

i3(0) =Uo

( + 1)R v3(0+) = 1

( + 1)RC(7)

v2(0) = Uo

( + 1) i2(0+) =

( + 1)L(8)

A figura 6 mostra o circuito para t = 0+. Resolvendo da mesma forma anterior,vamos ter:

Figura 6: Circuito para t = 0+.

Rel. Const.

v1 Ri1 = 0;i2 =

( +1)L

;

v3 =1

( +1)RC;

v1 + v4 = 0;

Malhas

{v1 + v2 = 0v2 + v3 + v4 = 0;

Ns{i1 i2 i3 = 0i3 i4 = 0;

O vetor soluo deste circuito, ~B, ser:

~BT = [v1, v2, v3, v4, i1, i2, i3, i4] =

[ 1( +1)2RC

, 1( +1)2RC

, 1( +1)RC

, ( +1)2RC

, 1( +1)2R2C

, ( +1)L

,L+ ( +1)R2C( +1)2R2LC

,L+ ( +1)R2C( +1)2R2LC

]

S nos resta agora achar os valores das derivadas destas grandezas em t = 0+.

5

A relao constitutiva do indutor nos d diretamente o valor da derivada dacorrente em funo da tenso:

v2 = Ldi2dt di2

dt=v2L di2

dt(0+) =

v2(0+)

L=

1

( + 1)2RLC

di2dt

(0+) =1

( + 1)2RLC(9)

Da mesma forma, a relao constitutiva do capacitor nos d diretamente ovalor da derivada da tenso em funo da corrente:

i3 = Cdv3dt dv3

dt=i3C dv3

dt(0+) =

i3(0+)

C= L+ ( + 1)R

2C

( + 1)2R2LC2

dv3dt

(0+) = L+ ( + 1)R2C

( + 1)2R2LC2(10)

Agora temos que lanar mo das leis de Kirchhoff, das malhas e dos ns, assimcomo de suas derivadas, no esquecendo os valores j calculados at agora, parachegarmos s outras condies.

v1 + v3 + v4 = 0; ( + 1)v1 + v3 = 0; v1 = 1( + 1)

v3 dv1dt

=1

( + 1)

dv3dt

dv1dt

(0+) =1

( + 1)

dv3dt

(0+) dv1dt

(0+) =L+ ( + 1)R2C

( + 1)3R2LC2

dv1dt

(0+) =L+ ( + 1)R2C

( + 1)3R2LC2(11)

v2 = v1 dv2dt

= dv1dt dv2

dt(0+) = dv1

dt(0+)

dv2dt

(0+) = L+ ( + 1)R2C

( + 1)3R2LC2(12)

v4 = v1 dv4dt

= dv1dt dv4

dt(0+) =

dv1dt

(0+)

dv4dt

(0+) = L+ ( + 1)R2C

( + 1)3R2LC2(13)

i1 =1

Rv1 di1

dt=

1

R

dv1dt di1

dt(0+) =

1

R

dv1dt

(0+)

di1dt

(0+) =L+ ( + 1)R2C

( + 1)3R3LC2(14)

6

i1 i2 i3 = 0di1dt di2

dt di3

dt= 0

di1dt

(0+) di2dt

(0+) di3dt

(0+) = 0

di3dt

(0+) =di1dt

(0+) di2dt

(0+)

di3dt

(0+) =L+ ( 2 1)RC( + 1)3R3LC2

(15)

di4dt

(0+) =di3dt

(0+)

di4dt

(0+) =L+ ( 2 1)RC( + 1)3R3LC2

(16)

A tabela abaixo nos d um resumo de todas as tenses e correntes, assim comosuas derivadas, para t = 0+.

Tabela grandezas e suas primeiras derivadas em t = 0+.1 2 3 4

v(0+) 1( +1)2RC

1( +1)2RC

1( +1)RC

( +1)2RC

dvdt(0+) L+ ( +1)R

2C( +1)3R2LC2

L+ ( +1)R2C( +1)3R2LC2

L+ ( +1)R2C( +1)2R2LC2

L+ ( +1)R2C

( +1)3R2LC2

i(0+) 1( +1)2R2C

( +1)L

L+ ( +1)R2C( +1)2R2LC

L+ ( +1)R2C( +1)2R2LC

didt(0+) L+ ( +1)R

2C( +1)3R3LC2

1( +1)2RLC

L+( 21)RC( +1)3R3LC2

L+( 21)RC( +1)3R3LC2

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