para resolver esse problema precisamos descobrir a melhor
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Se Maria tem 4 camisetas, uma vermelha, uma azul, uma amarela e uma verde. Ela
também tem 3 calças, uma roxa, uma rosa e uma preta. De quantas maneiras ela poderá ir
vestida para a escola?
Para resolver esse problema
precisamos descobrir a
melhor maneira de contar
todas as possibilidades
A matemática nos permite, através de alguns cálculos, contar rapidamente o
total de possibilidades que advém dessa situação.
No caso de Maria e suas 4 camisetas e 3 calças, podemos descobrir o número
total de combinações ao multiplicar o número de calças pelo de camisetas.
4x3=12
Esse cálculo funciona, pois ele engloba a combinação de cada uma das 4
camisetas com uma calça, então a Amarela se combina com 3 calças, a Azul
também, e assim por diante, assim cada uma das 4 camisetas se juntou com 3
calças, justificando assim, a multiplicação entre os itens.
Podemos comparar esse cálculo com a árvore de possibilidades, vemos que a
partir de cada camiseta se origina uma árvore e cada uma destas possui 3
galhos referente as calças, dessa forma temos 4 árvores c com 3 finais
possíveis, totalizando 12 finais.
A árvore de possibilidades é uma ótima maneira para visualizar as opções de Maria,
porém em muitos casos os itens a serem combinados serão muitos, neste caso eram
apenas calça e camiseta, mas se pensarmos nos calçados ou ainda, nos acessórios
possíveis, desenhar essa árvore se torna cada vez mais difícil. Você não concorda?
Considerando que Maria, além da roupa, também quer saber as opções de
calçados, ela possui uma sandália e um tênis, temos a árvore a seguir:
Como podemos observar o desenho fica mais complexo que seu anterior,
portanto sugerimos que o desenho da árvore seja feito apenas em casos
simples e apenas para que seja ilustrada a situação.
Neste caso o cálculo a ser feito é analisar quantas opções ela tem para cada
peça de roupa e multiplicar os valores dessas quantidades, assim: 4x3x2=24
possibilidades.
Exercícios
1. Arnaldo planeja ir à praia e deseja utilizar uma camiseta, uma bermuda e
um chinelo. Sabe-se que ele possui 5 camisetas, 6 bermudas e 3 chinelos. De
quantas maneiras distintas Arnaldo poderá vestir-se?
2.Uma prova possui 5 questões de múltipla escolha, onde cada uma possui 4
opções distintas. De quantas maneiras a prova pode ser resolvida?
3. Quantos números de três algarismos distintos existem?
Umas das principais aplicações dos métodos de contagem é a resolução de
problemas de Probabilidade. Pois se considerarmos que todos os resultados
possíveis têm a mesma chance de acontecer. Por exemplo se maria lançar
um dado de 6 lados “honesto”(construído perfeitamente cúbico e
homogêneo), todas as faces têm a mesma chance de sair. Dizemos então
que cada face tem a probabilidade de ⅙ de sair
Também atribuímos probabilidade a conjuntos de resultados possíveis,
chamados de eventos. A probabilidade de um evento ocorrer é a soma das
probabilidades dos resultados que o compõem.
Exemplo: Qual a probabilidade de se obter um resultado maior que 4 ao se
lançar um dado honesto?
Solução: Dizer que se quer um resultado maio que 4é equivalente a dizer que
se quer 5 ou 6. Como cada uma das facetas têm probabilidade ⅙ de ocorrer,
então a probabilidade de um número maior que 4 é:
⅙ + ⅙ = 2/6 = ⅓
De maneira geral, quando todos os resultados têm a mesma possibilidade de
ocorrer, a probabilidade de um evento é igual a razão entre o número de
resultados relativos a esse evento e o número total de resultados. Chamamos
os resultados que desejamos de Resultados favoráveis, o total de resultados
possíveis de Espaço amostral.
Probabilidade = Resultado favorável / Espaço amostral
Exercicios
1) No lançamento de dois dados perfeitos, qual a probabilidade de que a
soma dos resultados obtidos seja igual a 6?
2) Em uma urna existem 16 bolas sendo elas 5 roxos, 3 azuis, 6 amarelas e
2 vermelhas
a) Qual a probabilidade de, tirando apenas 1 bola da urna, esta bola ser
azul?
b) Qual a probabilidade desta bola ser roxa ou amarela?
3) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas
amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?
4) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se
retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela?
5) De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola.
Qual é a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4?
6) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de
inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos.
Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele
também estar cursando o curso de espanhol?
Em jornais, revistas e na televisão são comuns notícias que citam números,
bem como o uso de tabelas e gráficos nas reportagens.
Essas tabelas e gráficos resultam de um trabalho que envolve várias etapas:
1) Coleta de dados;
2) Organização dos dados;
3) Exposição dos dados em forma de tabela e/ou gráficos.
A Estatística é o ramo da Matemática que se encarrega
desse processo. Por meio de tabelas e gráficos, a Estatística
pode fornecer informações sobre um assunto em estudo, bem
como fazer previsões fundamentadas.
Gráficos estatísticos
O gráfico é uma ferramenta utilizada para apresentar dados de maneira
visual e simplificada, isto melhora a compreensão e/ou comparação entre
informações adquiridas por uma pesquisa mais fáceis.
Existem diversos tipos de gráficos, cada um com uma função na
apresentação das informações, alguns apresentam como comparações entre
quantidades dos totais de algo, outros partes de um total, ou ainda
comparando a evolução de um informação.
O processo estatístico
Observe a situação a seguir.
Juliana é professora de uma turma de 6º ano, ela decidiu fazer um
levantamento estatístico com os 20 alunos de sua sala, acerca da prova de
matemática. Acompanhe a sequência utilizada por ela.
1º passo: coleta de dados
Juliana registrou no caderno a nota de matemática de todos
os alunos.
2º passo: organização dos dados
Juliana colocou todas as notas em ordem crescente e
elaborou uma tabela.
3º Elaboração de um gráfico
Voltando a pesquisa de Juliana, construiu o gráfico abaixo depois de organizar
os dados.
Verificando o gráfico e a tabela Juliana poderá chegar a algumas
conclusões. Veja:
- A menor nota da turma foi 1,0.
- A maior nota da turma foi 10.
- A nota que apareceu com mais frequência é 6,0.
- A maioria dos seus alunos tiraram notas acima de 10.
Frequência = Número de vezes que uma informação se repete
em uma pesquisa
O gráfico utilizado é chamado de gráfico de barras simples.
É possível fazer um gráfico de barras parecido considerando outros dados da
turma, como gênero.
Os gráficos de barras múltiplas utilizam variáveis numéricas e adiciona uma
variável categórica.
Gráficos e tabelas no cotidiano
Em muitos jornais de revistas é possível encontrar gráficos acompanhando
notícias, reportagens, textos de divulgação científica, etc. Estes podem servir
como argumentação das ideias expostas no texto, demonstração gráfica das
informações ou até para enfatizar alguma informação. Podemos encontrar
gráficos e tabelas sobre diversos assuntos, como por exemplo:
1) ……………………………………………...
2) ................................................................
3) ……………………………………………...
Gráfico de colunas
Esse tipo de gráfico é utilizado principalmente para comparar informações.
As informações aparecem na forma de retângulos (barras), com origem no
eixo x e cuja largura e altura são proporcionais aos valores aos quais elas
representam.
Na situação anterior, Juliana construiu um gráfico estatístico de colunas.
Obs.: Em alguns casos, em vez da correspondência com valores do eixo y,
os valores são colocados no próprio retângulo ou acima deles para eliminar
problemas de interpretação sobre qual seria o valor correspondente. Veja:
Elementos do Gráfico de Colunas
Gráfico de segmentos
Usado, muitas vezes, para representar a variação de algum fato ao longo do
tempo.
Elementos do gráfico de segmentos
Observe que na reta horizontal (chamada de eixo x) ficam os anos em que os
dados foram coletados.
Na reta vertical (chamada de eixo y) ficam as quantidades de estudantes
cursando línguas no exterior, em milhares de unidades; ou seja, cada unidade
dessa reta representa 1000 estudantes.
No gráfico, representamos por pontos os valores da quantidade de estudantes
cursando línguas no exterior em relação ao ano analisado. Por exemplo, o
ponto A representa o número de estudantes no exterior em 2004 (42000).
Finalmente, os pontos são ligados por segmentos. Daí o nome de gráfico de
segmentos.
Obs.: As divisões dos dois eixos podem ter medidas diferentes.
Gráfico de Pizza
Gráficos de pizza são gráficos divididos em setores, cada setor da pizza
exibe o tamanho de uma parte da informação relacionada. Gráficos de pizza
normalmente são utilizados para exibir os tamanhos relativos às partes do
total das informações.
Elementos do Gráfico de Pizza
Trabalho em equipe
Forme dupla com um colega. Escolham um dos temas propostos abaixo e
façam um levantamento estatístico parecido com o que Juliana fez com
as notas da prova de matemática.
- Altura dos colegas de sala
- Tempo para chegar à escola (use valores aproximados)
- Quantidade de irmão
Se preferirem, inventem um novo tema. Após a coleta e organização dos dados faço um
gráfico para apresentar os dados. Utilizem o tipo de gráfico que preferirem.
Exercicios
1) A tabela abaixo mostra a produção de uma montadora de carros
esportivos durante seis meses.
Mês Produção
Julho 60
Agosto 160
Setembro 210
Outubro 280
Novembro 420
Dezembro 100
Construa um gráfico de segmentos que represente essa tabela.
a) Paulo saiu às 8 horas de sua casa e percorreu um total de 90
quilômetros, até as 12 horas. Analise o gráfico e determine:
a) Quantos quilômetros ele percorreu entre 8 e 9?
b) O que aconteceu entre 9 e 10 horas?
c) Quantos quilômetros ele percorreu entre 10 e 12 horas?
4) Observe os exemplos a seguir:
Nomes femininos de bebês mais populares de São Paulo em 2017
Fonte: Fundação Seade Disponível em: https://www.nexojornal.com.br/grafico/2019/09/24/Quais-os-nomes-de-beb%C3%AAs-mais-
populares-de-S%C3%A3o-Paulo-em-2017
Quantidade de espécies de animais de um Zoológico do interior de Minas Gerais
Responda as
seguintes
perguntas:
Na sua opinião, o gráfico de colunas é o tipo de gráfico que melhor representa
a quantidade de bebês com nomes femininos em São Paulo? Por que?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………...
E o gráfico de pizza é o que melhor representa a quantidade de espécies de
um zoológico? Por que ?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………...
5) Discuta e faça um esboço no box a seguir do gráfico que melhor pode
representar as informações de cada tabelas:
Tabela I: Número de empréstimos de livros da
biblioteca ao longo dos meses
Tabela II: Uso das terras do território brasileiro
Fev. 61
Março 78
Abril 49
Maio 48
Junho 52