parábola senati
TRANSCRIPT
DEFINICIÓN
Es el conjunto de puntosP(x,y) de tal manera quela distancia de P(x,y) aotro punto llamadoFOCO es igual a ladistancia de P(x,y) a larecta llamada DIRECTRIZ
• AF = AA’• BF = BB’• CF = CC’
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
Eje de simetría: es la rectaque pasa por el foco y elvértice.
Vértice: es el punto dondela parábola interseca a sueje de simetría.
Lado recto: es una cuerdafocal perpendicular al eje dela parábola.
ECUACION DE LA PARÁBOLA
Vértice en el origen
pyx 42
• Vértice en el origen• Eje de simetría el eje y.• Foco F(0,p)• Directriz la recta y = -p
Si p > 0 se abre hacia arriba
Si p < 0 se abre hacia abajo
ECUACION DE LA PARÁBOLA
Vértice en el origen
pxy 42
• Vértice en el origen.• Eje de simetría el eje x.• Foco F(p,0)• Directriz la recta x= - p
Si p > 0 se abre hacia arriba
Si p < 0 se abre hacia abajo
ECUACION DE LA PARÁBOLA
Vértice fuera del origen
• Vértice en V(h, k).• Foco F(h, k+p).• Directriz y = k-p es:
Si p > 0 se abre hacia arriba
Si p < 0 se abre hacia abajo
kyphx 42
ECUACION DE LA PARÁBOLA
Vértice fuera del origen
• Vértice en V(h,k).• Foco F(h+p,k).• Directriz x= h-p
Si p > 0 se abre hacia arriba
Si p < 0 se abre hacia abajo
hxpky 42
EJEMPLO 1
De la ecuación y2 = 4x4p=4 p= 1 > 0
b) V(0;0). c) F(1;0)
d) Directriz. x=-1
e) I4pI = 4Hallara) La gráfica.b) Su vértice. c) Su foco. d) Ec. directriz.e) LLR.( Long. Lado recto)
EJEMPLO 2
La ecuación x2 = -12y4p=-12 p= -3 < 0
b) V(0;0). c) F(0;-3)
d) Directriz. y= 3
e) I4pI = 12Hallara) La gráfica.b) Su vértice. c) Su foco. d) Ec. directriz.e) LLR.( Long. Lado recto)
EJEMPLO 3
De la Ec. x2 + 20y = 0
Hallar :a) La gráfica ,b) Su vértice, c) Su foco, d) La ec, de la directriz.e) La LLR.
x2 = - 20y 4p=-20 p= -5 < 0b) V(0;0). c) F(0;-5)d) Directriz. y= 5e) I4pI = 20
EJEMPLO 4
De la Ec. (y -3) 2 = 4(x-4)
Hallar :a) La gráfica ,b) Su vértice, c) Su foco, d) La ec, de la directriz.e) La LLR.
4p= 4 p= 1 > 0
b) V(4;3). c) F(5;3)
d) Directriz. x= 3
e) I4pI = 4
EJEMPLO 5
De la ecuación (x+2) 2 = -12(y-3)
Hallar :a) La gráfica ,b) Su vértice, c) Su foco, d) La ec, de la directriz.e) La LLR.
4p= -12 p= -3 < 0b) V(-2;3) c) F(-2;3-3) F(-2;0)d) Directriz. y= 6e) I4pI = 4
3
-2
y=6
EJEMPLO 6
Hallar el vértice y el foco de la parábola:
x2 - 20y = 20
b) V(0;-1).
4p= 20, p= 5>0
Se abre hacia arriba
c) F(0;-1+5) = F(0,4)
Despejando: x2 =20y+20
Factorizando: x2 =20(y +1)
x2 =20(y +1)
EJEMPLO 7
Hallar el vértice y el foco de la parábola.
y2 +6x +10y +31 =0
De y2 +6x +10y +31 =0Ordenando:
y2 +10y + 6x +31 =0 Completo cuadrados
y2 +10y +25 =-6x -31+25 (y+ 5) 2 =-6x -6
(y+ 5) 2 =- 6 (x +1)
V(-1; -5)
4p=-6 p= -3/2
Se abre a la izquierda
F(-1-3/2;-5)
F(-5/2;-5)
EJEMPLO 8
Hallar la longitud del lado recto de la parábola.
y2 -4x - 2y -11 = 0
De y2 -4x - 2y -11 = 0Ordenando:
y2 -2y – 4x -11 = 0 Completo cuadradosy2 -2y +1 = 4x +11+1 (y - 1) 2 = 4x+12
(y -1) 2 = 4 (x + 3)
La longitud del ladorecto (LLR)
I 4p I = 4
Ejemplo 9
Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, cuyo foco es el punto F(O,3) y la directriz es paralela al eje x. Grafiquemos la parábola
Foco F(0;3) y VérticeV(0,0)Donde: p = 3La ecuación tiene la forma:
x2 = 4pyx2 = 4(3)y
La ecuación sería
x 2 = 12 y
Ejemplo 10
Encontrar la ecuación de la parábola con vértice V(-6,-1) y directriz y=2
-6
-1
y=2Vértice V(-6,-1)
Directriz: y = 2
Donde p =- 3 (abre hacia abajo)
La ecuación sería
(x+6)2 = -4(3)(y+1)
( x + 6)2 = -12(y+1)
3
EJEMPLO 11
De la parábola hallar el vértice y el foco
y2 + 2y – 16x – 47 = 0 .
De y2 + 2y – 16x – 47 = 0Ordenando:
y2 + 2y = 16x +47Completo cuadradosy2 +2y +1 = 16x +47+1 (y + 1) 2 = 16x+48
(y +1) 2 = 16 (x + 3)
V(-3; -1)
4p=16 p= 4
Se abre a la derecha
F(-3+4;-1)
F(1;-1)
Ejemplo 12
De la parábola hallar el vértice y el foco
x2+ 2x – 4y + 9 = 0
De x2+ 2x – 4y + 9 = 0Ordenando:
x2 + 2x = 4y -9Completo cuadradosx2 +2x +1 = 4y -9 +1 (x + 1) 2 = 4y - 8
(x +1) 2 = 4 (y -2)
V(-1; 2)
4p=4 p= 1
Se abre hacia arriba
F(-1;2+1)
F(-1;3)
PROBLEMA 13
Una parábola, de vértice V(-3,0) y cuyo ejefocal es el eje X. Si la parábola pasa por lospuntos A(1,4) y B(–1,k), halle k.
La ecuación seria :
A(1,4) pasa por la parábola:
Resolviendo p=1La ecuación:
342 xpy
31442 p
342 xpy
Pero B(-1;k) pasa por la parábola:
El valor de K es
3142 k
8K