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J o u r n a l o f G e o m e t r y 0 0 4 7 - 2 4 6 8 / 9 1 / 0 2 0 1 7 0 - 0 5 5 1 . 5 0 + 0 . 2 0 / 0V o l . 4 0 ( 1 9 9 1 ) ( c ) 1 9 9 1 B i r k h ~ u s e r V e r l a g , B a s e l

P R O P E R T I E S O F P A R A D O X I C A L S E T S I N T H E P L A N E

G l e n A l d r id g e S h e r m a n

W e s h o w t h a t e v e r y p a r a d o x i c a l s u b se t o f R ~ h a s e m p t y i n t e r i o r , a n d e v e r y m e a s u r a b le p a r a d o x i c a l s u b s eto f R 2 ha s m e a s u r e z e r o . W e i n v e s t i g a t e h o w t h e p r o o f f a i l s i n t h e h y p e r bo l ic p l a n e , w h e r e t h e r e a r ep a r a d o x i c a l s e t s w i l h i n t e r i o r p o i n t s a n d w i t h i n f i n i t e m e a s u r e .

1 I N T R O D U C T I O N

D E F I N I T I O N 1 . A s u b s e t X o f a m e t r i c s p a ce i s s a id t o b e p a r a d o x i c a l i f X i s n o n e m p t y a n d t h e r ea re s u b se t s A 1 , A s , . . . , A m ; B 1 , B 2 , . . . , B n o f X a n d is o m e tr ie s f l , f 2 , . . . , fr o; g l , g 2 , . . . , g ~ s u c h t h a t

r r . . r nP 1 = { A , } i = l , P 2 = { B j } ~ = I, a n d 1~ = { f i ( g , ) } i = l U { g j ( B j ) }~ = l a r e e a c h p a r t i t i o n s o f X .

L e t m b e L e b e s g u e m e a s u r e i n R ~ . B a n a e h h a s s h o w n t h a t m h a s a t o t a l ( d e fi n e d o n a ll s u b s e t s o f R 2 ),f i n i t e l y a d d i t i v e e x t e n s i o n f it w h i c h i s i n v a r i a n t u n d e r E u c l i d e a n i s o m e t r i e s [1 ]. S e e a l s o [ 8, C o r . 1 0 . 9] . W es h a l l c a l l s u c h a m e a s u r e f i t a B a n a c h m e a s u r e . I t i s e a s y t o s e e t h a t i f X i s a p a r a d o x i c a l s u b s e t o f R ~ ,t h e n 2 f i t (X ) = f i t ( X ) , a n d t h e r e f o r e e i t h e r fi t ( X ) = 0 o r f i t (X ) = c r T h i s y i e l d s t h e fo l l o w i n g k n o w nr e s u l t w h i c h a p p e a r s i n W a g o n ' s s u r v e y [8 , C o t . 1 0 .1 0 ].

N o b o u n de d s u b s e t o f R 2 w i t h n o n e m p t y i n t e r i o r i s pa r a d ox i c al .

W e w i l l g e n e r a li z e t h i s t o u n b o u n d e d s e t s.

I f X i s a L e b e s g u e m e a s u r a b l e p a r a d o x i c a l s u b s e t o f R 2 , t h e n s i n ce ~ e x t e n d s L e b e s g u e m e a s u r e , w e h a v er e ( X ) = 0 o r r e ( X ) = ~ . M a z u r k i e w i c z a n d S i e rp i rl s k i h a v e s h o w n t h a t t h e r e is a p a r a d o x i c a l s u b s e t Xo f R 2 w i t h r e ( X ) = 0 [5 ]. S e e a l s o [8 , T h e o r e m 1 .7 ]. W e w i l l s h o w t h a t t h e r e i s n o p a r a d o x i c a l s u b s e t Xo f R 2 w i t h r e ( X ) = o o .

S i er p if is k i h a s s h o w n t h a t t h e r e i s a p a r a d o x i c a l s u b s e t o f R ~ w i t h t h e c a r d i n a l i ty o f t h e c o n t i n u u m , b u t i tc a n b e s e e n fr o m t h e c o n s t r u c t i o n t h a t t h i s p a r a d o x i c a l s e t h a s L e b e s g u e m e a s u r e z e r o [ 8 T h e o r e m 6 .1 2] .A b o u n d ed p a r a d o x i c a l s u b s e t o f R 2 , a l s o w i t h m e a s u r e z e ro , h a s r e c e n t l y b e e n c o n s t r u c t e d b y J u s t [4 ].

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Sherman 171

P a r a d o x i c a l s e t s w i t h p o s i t iv e m e a s u r e d o e x i s t i n R 3 a n d i n t h e h y p e r b o l i c p l a n e H 2 . I n d e e d , B a n a c h a n dT a r s k i h a v e s h o w n t h a t i n R 3 a n y b o u n d e d s e t w i t h n o n e m p t y i n t e ri o r i s p a r a d o x i c a l [2 ], a n d M y c i el s k ia n d W a g o n h a v e s h o w n t h a t H 2 it s e lf i s a p a r a d o x i c a l s e t [6 ]. T h e s i t u a t i o n i n H 2 p r o v i d e s a n i n t e r e s t i n gc o n t r a s t w i t h t h e o r e m s 1 a n d 2 b el o w a n d i s d i sc u s s e d i n s e c ti o n 4 . P a r a d o x i c a l s e t s d o n o t e x i s t i n R 1[7].

2 M A I N T H E O R E M S

L E M M A 1 . I f X i s a p a r a d o x i c a l s u b s e t o f [ ~ 2, t h e n ~ ( X o ) = 0 f o r e v e r y b o u n d e d s u b s e t X o o f X .

B e f o re p r o v i n g l e m m a 1 , w e c o n s id e r i t s c o n s e q u e n c e s .T H E O R E M 1 . E v e r y p a r a d o x i c a l s u b s e t o f R 2 h a s e m p t y i n t e r i o r .

P r o o f . I f a s et X h a s i n t e ri o r p o i n t s , t h e n ~ h (X 0 ) > 0 , f o r s o m e b o u n d e d s u b s e t X 0 o f X , s o X i s n o tp a r a d o x i c a l b y l e m m a 1. [ ]

T H E O R E M 2 . E v e r y m e a s u r a b l e p a r a d o x i c a l s u b s e t o f R 2 h a s m e a s u r e z e r o.

P r o o f . L e t X b e m e a s u r a b l e a n d p a r ad o x i ca l . B y l e m m a 1, m ( X o ) = V n (X o ) = 0 f o r e v e r y b o u n d e ds u b s e t X 0 o f X . S i n c e m i s c o u n t a b l y a d d i t iv e , r e ( X ) = O . [ ]T h e r e fe r ee m a k e s t h e f o l l o w in g o b s e rv a t i o n . T h e o r e m s 1 a n d 2 s u b s t a n t i a l l y i n c r e as e t h e c l a ss o f s u b s e t so f 2 k n o w n t o b e n o t p a r a d o x i c a l. T h i s i n v i t e s t h e a p p l i c a t i o n o f a t h e o r e m o f T a r s k i [8 , T h e o r e m 9 .2 ],a n d w e h a v e t h e f o l l o w i n g c o r o l l a ry :

C O R O L L A R Y 1 . L e t X b e a s u b s e t o f R 2 w i t h n o n e m p t y i n t e r i o r o r w i t h p o s i t i v e ( p o s s i b ly i n f i n it e )m e a s u r e . T h e n t h e r e is a t o ta l , f i n i t e l y a d d i t iv e , i s o m e t r y i n v a r i an * m e a s u r e u o n R 2 w i t h v ( X ) = 1 .

P r o o f o f l e m m a 1 . L e t X b e a p a r a d o x i c a l s u b s e t o f R 2 w i t h A i , B j , fi , g j a s i n d e fi n i t io n 1 . L e t 0 b ea n y p o i n t i n R 2 a n d p u t

s = m a x { d ( O , f l ( O ) ) . . . . . d ( O , f r o ( O ) ) ; d ( O , g l ( O ) ) , . . . , d ( O , g ~ ( O ) ) } .

W r i t e D r f o r t h e ( c l o se d ) d i s c o f r a d i u s r w i t h c e n t e r O . F o r a l l i a n d j w e h a v e

f i ( D r ) C D r + s a n d g j ( D r ) C D r + , ,

a n d t h e r e f o r e ,f i ( A i F l D r ) C f i ( A i ) F l D , . + , a n d g j ( B j 0 D r ) C gJ ( B j ) F l D , - + , .

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172 Sherman

N o w u s i n g t h e p a r t i t i o n s P 1 , P 2 a n d P s o f X w e h a v e

2 f i ( X n D r ) = k f i ( A i n D r ) + k f i ( B i N D r )i = 1 j = l

r n n= ~ - ~ f i ( f i ( A i N D r ) ) + Z ~ ( g j ( B j n D r ) )i = 1 j = l

r n r ~

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Sherman 173

P r o o f . L e t V b e a s e t w i t h f in i te m e a s u r e c o n t a i n i n g Y . L e t {V 1, 1 1 2 , . . . ) b e a p a r t i t i o n o f V i n t oe o u n t a b l y m a n y b o u n d e d m e a s u r a b l e s e ts . F o r e a c h e > 0 , t h e r e i s a n u m b e r n s u c h t h a t m (t _J ~= ~V i) < e .T h e n b y l e m m a 1 w e ha v e

n - -1r~(Y) = ~ rh(Y n 88 + ~n(r n (u,%.v~)) < 0 + e

i =1

T h e r e f o r e , r T ~( Y) = O . [ ]N o t e t h a t t h e f o l lo w i n g q u e s t i o n r e m a i n s o p e n :

Q U E S T I O N 1 . I s t h e r e a p a r a d o x i c a l s u b s e t o f R 2 w i t h p o s i li v e o u t e r m e a s u r e ?

4 T H E H Y P E R B O L I C C A S E

W e h a v e s h o w n t h a t p a r a d o x i c a l s e t s w i t h i n t e ri o r p o i n t s a n d p a r a d o x i c a l s e t s w i t h i n f i n it e m e a s u r e d o n o te x i s t i n R 2 . S u c h s e t s d o e x i s t i n t h e h y p e r b o l i c p l a n e H 2 . I n d e e d , M y c i e l s k i a n d W a g o n h a v e s h o w n t h a tH 2 it s e l f i s a p a r a d o x i c a l s e t . [6 , p g 2 6 1] T h e r e f o r e , t h e p r o o f o f l e m m a 1 m u s t f a i l i n H ~ . I t i s i n t e r e s t i n gt o i n v e s t i g a t e h o w t h i s f a i l u re o c c u r s. T h e f i rs t c o n s i d e r a ti o n i s th e f a c t t h a t L e b e s g u e m e a s u r e # o n H 2d o e s n o t h a v e a t o t a l , f in i t e l y a d d i t i v e , i n v a r i a n t e x t e n s i o n . H o w e v e r , i f t h e s e t s A i , B j a r e # - m e a s u r a b l e ,( a s t h e y a r e i n [ 6] !) , i t d o e s f o l l o w t h a t

l i m p ( D r + n s ), ( x n Dr) ___~ 2 -b y t h e m e t h o d o f l e m m a 1 . H e r e i s w h e r e t h e p r o o f f a il s : I n R 2 , t h e l i m i t ( 1 ) i s z e r o f o r a n y s , b u t i n H 2 ,w h e r e t h e f o r m u l a fo r t h e a r e a o f a d is c is # ( D R ) = 4 ~rs in h ~( -~ ) , w e h a v e

l i m # ( D r + n ~ ) ~ ' 0 i f s < l n 2, ~ 2 ~ - 7 re i f s = l n 2( i f s > l n 2 .W e a r e l e d t o t h e f o l l o w i n g r e s u l t i n H 2 :

T H E O R E M 3 . Let X b e a su b se t o fH 2 wi th i n f i n i t e m ea su re , a n d su p p o se X h a s a p a ra d o x i ca l d eco m -p o s i t i o n w i t h m e a s u r a b l e p i e c es A i , B j . T h e n , f o r e a c h p o i n t 0 i n H 2 , a t le a s t o n e o f t h e m + n i s o m e t r i c sf ~ , g~ s a t i s f ie s d ( / , ( O ) , O ) > I n 2 .T h e p r o o f i s c o n t a i n e d i n t h e d i s c u s s i o n a b ov e . I t i s p o s s i bl e t h a t o n ly o n e o f t h e m + n i s o m e t r i e s s a ti s f ie st h e i n e q u a l i t y o f t h e o r e m 2 . T h i s i s t h e c a s e i n [6 ] i f t h e p o i n t O i s c h o s e n t o l ie w i t h i n t h e u n i o n o f t h eh o r o c y c l i c d i s c s y > v ~ a n d x 2 + ( y - ~ 3 2 ) 2 < ~ ( i n t h e u p p e r h a l f p l a n e m o d e l ) .I t r e m a i n s a n o p e n q u e s t i o n w h e t h e r t h e r e i s a c o n s t a n t l a r g er t h a n l n 2 f o r w h i c h t h e o r e m 3 h o l d s .

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174 Sherman

5 R E F E R E N C E S[1] Banach, S. Sur le probl~me de la mesure, Fund. Math . 4 (1923), 7-33.[2 ] B anach , S . , and A .Tarsk i , Sur l a decomp os i t ion des ensembles de po in t s en par t i es respect ivementcongruen t s , F u n d . M a t h . 6 (1924), 244-277.[3] Goldberg, R. , M e t h o d s o f R e a l A n a l y s i s , New York: Jo hn W i ley & Sons , 1976.[4 ] Jus t , W . , A boun ded paradox ica l subse t o f the p lane , Bul l . Pol . Acad. Sc i . 36 (1988), 1-3.[5] Mazurkiewicz, S. , and W . Sierpif iski , Sur un ensem ble superp osables avee chac une de ses deuxpar t i es , C. R . Acad. Sc i . Par i s 158 (1914), 618-619.[6] Mycielski , J . , and S. Wagon, Large free groups of isometries and their geometrical uses , E n s .M a t h . 30 (1984), 247-267.[7] Sierpifiski, W ., On the C ongruence o f Se t s an d the i r Equivalence by F in i t e Decomp os i t ion , Luc-know, 19 54 . Re pr in ted , New York: Chelsea, 1967 .[8] Wagon, S. T h e B a n a c h - T a r s k i P a r a d o x , New York: Cam br idge U nivers i ty Press , 1985.

G l en A l d r id g e Sh e r ma nD e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i csU n i v e r s i ty o f T o r o n t oT O R O N T O , O n t a r i o M 5 S 1 A 1C A N A D A

( E i n g e g a n g e n am 1 9 . J u n i 1 9 9 0 )( R e v i d i e r t e F o rm am 2 7 . N o v e m b e r 1 9 9 0 )