IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).

Estas identidades, son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.

¿Para que sirven las identidades trigonométricas?

Las identidades trigonométricas sirven para desarrollar el pensamiento deductivo de los estudiantes. En

efecto, en proceso de demostración se hace necesario de partir de las identidades fundamentales y

mediante una serie de procedimientos algebraicos como sustituciones, operaciones con fracciones

algebraicas, multiplicaciones, factorizaciones y simplificaciones, se debe llegar a una conclusión final.

CONCEPTOS PREVIOS

Explicar y comprender el concepto de igualdad

Conocer las identidades básicas

Procedimientos algebraicos como operaciones básicas de fracciones algebraicas productos

notables, factorización

DEFINICION DE IDENTIDAD TRIGONOMETRICAS

Es una relación que contiene funciones trigonométricas y que es válida para todos los valores del ángulo

en los que están definidas estas funciones.

Ejemplos:

1.

2.

3.

IDENTIDADES TRIGONOMETRICA FUNDAMENTALES

IDENTIDADES POTAGORICAS

Para deducir estas identidades, se debe tener en cuenta el círculo trigonométrico cuyo radio es igual a la

unidad; las líneas trigonométricas y el Teorema de Pitágoras

Por Pitágoras en cada un de las figuras podemos obtener:

1.

2.

3.

IDENTIDADES DE COCIENTE

4.

5.

IDENTIDADES RECIPROCAS

6.

7.

8.

FUNCIONES PARES E IMPARES

9.

10.

2. PASOS PARA DEMOSTRAR IDENTIDADES

1. Se debe partir del lado más complejo y transformarse en el lado más sencillo.

2. Sustituir las funciones: tangente, cotangente, secante y cosecante en función de seno y coseno.

3. Realizar las operaciones algebraicas.

4. Tienen como objetivo, el otro lado de la identidad, para hacer las sustituciones necesarias para

llegar a este lado.

3. Ejemplos:

Verificar las siguientes identidades

1.

Solución:

2.

Solución:

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si , la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.

sen

cos

tan

cot

sec

csc

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o geométrica (que tiene radio igual a 1):

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

Identidades para la suma de ángulos

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

Para ángulos complementarios:

Para ángulos opuestos:

Identidades del ángulo doble, triple y medio

Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea ) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.

Fórmula del ángulo doble

Fórmula el ángulo triple

Fórmula del ángulo medio

Identidades para la reducción de exponentes

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).

Seno

Coseno

Otros

Paso de producto a suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.

Deducción de la identidad:

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:

1):

2):

Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:

3):

Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos lados de la ecuación se mantiene la misma), quedaría:

Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:

2cos(x)cos(y) = cos(x + y) + cos(x − y)

Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.

Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:

Notar el cambio de signo.

Paso de Suma a Producto

Reemplazando x por (a + b) / 2 y por (a – b) / 2 en las identidades de Producto a suma, se tiene:

Paso de diferencia de cuadrados a producto

Demostraciones

1) recordando:

multiplicando

Sabemos que:

en la primera ecuación transponemos y en la segunda

De tal manera que obtendremos:

aplicando esto en la ecuación inicial

Multiplicando

De una manera análoga se halla el segundo teorema.

Ecuaciones trigonometricas

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En

las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede

especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un

procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando

principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es

recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola

función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la

función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función

trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.

Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al

tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cosx = 2, el que debemos descartar, obviamente,

pues el codominio del coseno se limita a [-1, 1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas

y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original.

Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener

presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación

trigonométrica de la forma trix = a (donde tri: es una de las seis funciones trigonométricas y a: número

cualquiera en el codominio de la función). Además, debido a que cuando el lado terminal de un ángulo

realiza un giro completo se genera otro ángulo equivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas

un múltiplo de 360°, esto es, k360°, y k es un entero.

Ejemplo ilustrativo1:

Ejemplo lustrativo2:

En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto

sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.

Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una

sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.

Ejemplos

Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

1)

2)

3)

Transformamos la suma en producto

Dividimos por 2 en los dos miembros e igualamos cada factor a 0.

4)

5)

6)

1.

ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO.Ecuación vectorial de la recta .

Ejemplo:Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación vectorial.

Ecuaciones paramétricas de la recta.

A partir de la ecuación vectorial:

Realizando las operaciones indicadas se obtiene:

La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares:

Ejemplo:Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir sus ecuaciones paramétricas.

Ecuación continua de la recta .

Si de las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro k.

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un

punto P y con una dirección dada .

P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector

tiene igual dirección que , luego es

igual a multiplicado por un escalar.

Y si igualamos, queda:

Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación continua.

Ecuación punto-pendiente de la recta.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores:

Y despejando:

Como

Se obtiene:

Ejemplo1: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente.

Ejemplo2: Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al cre

Ejemplo3:Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.

Ecuación general de la recta

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores se obtiene:

Trasponiendo términos:

Haciendo

Se obtiene

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.

Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

Ejemplo1: Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director igual (-2, 1).

Ejemplo2:Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.

Ecuación de la recta en forma explícita

Si en la ecuación general de la recta:

despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

El coeficiente de la x es la pendiente, m.

El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY

Ejemplo:Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta es:

cuyas componentes son:

Sustituyendo estos valores en la forma continua.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5)

Ángulo que forman dos rectas

Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de sus vectores directores y el producto escalar.

Ejemplo: Las rectas r y s se cortan en un punto A, que es vértice de un triángulo obtusángulo en A. Determina el ángulo A de ese triángulo.

Rectas paralelas y perpendiculares

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si tienen vectores directores con la misma dirección . También en ellas se cumple que las pendientes son iguales.

Rectas perpendiculares

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

Ejemplo 1: Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pase por el punto A(3,5).

Ejemplo2:Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean paralelas y perpendiculares.

Incidencia

Un punto P(p1, p2) pertenece a una recta de ecuación Ax + By + C = 0, cuando las coordenadas del punto satisfacen la igualdad:

Ap1 + Bp2 + C = 0

Cuando un punto P pertenece a una recta r se dice que r incide en P o que r pasa por P.

Analiza si los puntos A (3, 5) y B(0, 1) pertenecen o no a la recta r ≡ x + 2 y - 13 = 0.

3 + 2 · 5 - 13 = 0 A r

0 + 2 · 1 - 13 ≠ 0 B r

Cuando dos en rectas r y s tienen un punto común, se dice que tienen un punto de intersección.

Para hallar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones de las rectas.

¿Hallar el punto de intersección de las rectas de ecuaciones r ≡ 2 x - y - 1 = 0 y s ≡ x - y + 1 = 0.

Posiciones relativas de dos rectas

Dadas dos rectas, Ax + By + C = 0, A'x + B'y + C' = 0, para calcular su posición relativa tendremos en cuenta que::

1 Si , las rectas son secantes, se cortan en un punto.

2 Si , las rectas paralelas, no se cortan en ningún punto.

3 Si , las rectas son coincidentes, todos sus puntos son comunes.

Ejemplos

Estudia las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas:

¿Son secantes las rectas r ≡ x +y -2 = 0 y s ≡ x - 2 y + 4 = 0? En caso afirmativo calcular el punto de corte.

Distancias

Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

Ejemplo:Calcula la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r de ecuación 3 x + 4 y = 0.

Distancia al origen de coordenadas

Ejemplo:Hallar la distancia al origen de la recta r ≡ 3x - 4y - 25 = 0.

Distancia entre rectas

Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

Ejemplo:Hallar la distancia entre r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x - 12 y - 4 = 0.

Ejemplo:Hallar la distancia entre las rectas:

Ecuación de la mediatriz

Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos.

Ecuación de la mediatriz

Ejemplo: Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2 , 5) y B(4, -7).

Ecuaciones de las bisectrices

Bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo.

Ecuaciones de las bisectrices

Ejemplo: Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas r ≡ 3x - 4y + 5 = 0 y s ≡ 6x + 8y + 1 = 0.