Universidad Nacional de Colombia CONTROL v2012-I - Prof. Víctor Hugo Grisales

PARCIAL 2B – SISTEMAS CON RETROALIMENTACIÓN DE ESTADO Cesar Leonardo Ramos cód.: 223485 - Edgar Huertas Barón cód.: 223542

Suponga que se tiene un oscilador no amortiguado con frecuencia y una descripción en el espacio de estado dada por:

������������� �� � ��� �� ������������ � �

��� ���� Se desea volver a ubicar los polos del sistema mediante retroalimentación de estado de tal manera que ambos se encuentren en ��� . La ley de control propuesta es de la forma ���� �����con � ������ 1. Verifique la condición que debe cumplir el sistema para la ubicación arbitraria de

polos mediante la ley de control.

Como primera instancia el sistema debe ser controlable, por lo cual se estipula lo siguiente: Para este caso identificamos la matriz A y la matriz B respectivamente

A � 0 1 ω�� 0� B �01� Mediante el criterio de controlabilidad se estipula si el sistema es o no controlable.

Donde la matriz Mc corresponde a la matriz de controlabilidad del sistema planteado, donde MC

equivale a:

M! �B ⋮ AB� Reemplazando se obtiene:

M! �0 11 0� El determinante de la matriz MC:

det�M&� 1

De lo anterior se puede concluir que el sistema planteado es controlable debido a que su

matriz de controlabilidad posee determinante, por lo cual es posible obtener un

retroalimentación de estado.

2. Determine, mediante cálculo directo, las ganancias de retroalimentación.

Ubicando los polos en los valores deseados.

Con la expresión siguiente se obtienen el polinomio característico que permite obtener los

polos reales iguales en 2ω(.

�s � 2ω(��s � 2ω(� 0

s� � 4ω(s � 4ω(� 0

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Ecuación característica deseada.

Aplicando el método directo se obtienen el sistema con retroalimentación de estado se planeta

la siguiente ecuación característica para obtener el polinomio deseado:

+SI A′+ |SI A � BK| Aplicando la ecuación característica de la realimentación de estado anteriormente expuesta se

obtiene la siguiente matriz.

�s 00 s� �0 1 ω�� 0� � �01� �k1k��

De la operación de matrices anterior se obtiene el siguiente sistema:

+SI A′+ � s 1ω�� � k1 s � k��

Obteniendo la determinante e igualando a cero se obtiene los valores de k1 y k2 que satisfacen

el comportamiento requerido del sistema:

det 2� s 1ω�� � k1 s � k��3 0

s� � sk� � k1 �ω�� 0

Los valores de de k1 y k2 se obtiene de la siguiente expresión:

k� 4ω�

k1 �ω�� 4ω��

k1 3ω��

El vector resultante de K es:

K �3ω��4ω��