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7/24/2019 PARCIAL 3 PROBABILIDAD.pdf

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Simbologa

Distinto de Pertenece a Conjunto de no.Reales

Casi igual No pertenece a Conjunto de no.naturales Idntico a No existe Conjunto de no.Enteros

Menor o igual que Existe Conjunto de no.Racionales

Mayor o igual que Por tanto Conjunto de no.irracionales

Menor que Porque Interseccin Mayor que Para todo Unin Proporcional a Diferencia de

conjuntos Conjunto vaco

Si y solo si Tal que Complemento de A Entonces Subconjunto propiode

Elementos de

Sumatoria de Subconjunto de A, B, C, Conjuntos Integral de Disyuncin lgica Conjuncin lgica


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3. PROBABILIDAD

3.1 TEORA DE CONJUNTOS3.1.1 Elementos BsicosConjunto

Definicin Un conjunto es una coleccin o familia de objetos.

Las llaves { } tendrn un uso muy especial y nico: servirn para definir un conjunto.

Para ninguna otra cosa ms.

Usualmente, los Conjuntos se denotan por las letras maysculas: A, B, C, X, Y,

Y los elementos de los conjuntos se representan por letras minsculas: a, b, c, x, y,

Formas de Construir o Definir ConjuntosManejaremos dos formas de construir conjuntos:

Definicin de un conjunto porextensin.

Definicin de un conjunto porintencin.

Definicin por ExtensinDefinicin

Construir o definir un conjunto por extensin consiste en declarar todos los elementos que lo

forman.

Ejemplo{Juana, Silvia, Mara, Itzel, Pedro}

Definicin por IntencinDefinicin

Construir o definir un conjunto por intencin consiste en declarar cules elementos de un

cierto conjunto son seleccionados. Esto se lleva a cabo por una propiedad o predicado P(x).

Ejemplo

Todos aquellos nmeros reales que son mayores que -2.

Pertenencia (x A)Definicin

Un objeto x se dice pertenecer o ser elemento o estar en un conjunto A si:

cuando el conjunto A est definido por extensin (cuando el elemento x aparece en la

lista de elementos del conjunto A) cuando el conjunto A est definido por intencin (cuando el elemento x es tomado del

universo del discurso y cumple la propiedad establecida para A)


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EjemploA = {Juana, Silvia, Mara, Itzel, Pedro}

Jons A Pedro A

EjemploIndique cules opciones contienen elementos del conjunto:

a) 3b) 6c) -3d) 1.5

Sol. a) 3 A pues 3 es entero y cumple 2 < 3 < 5Sol. b) 6A pues 2 < 6 5Sol. c) 3A pues 2 3 < 5Sol. d) 1.5A pues 1.5 no es entero.Definicin de SubconjuntoDefinicinDiremos que un conjunto A es un subconjunto del conjunto B y lo simbolizaremos

Si todo elemento de A es tambin elemento de B.

Observe que de la definicin se tiene la siguiente equivalencia:

Y negando lo anterior:

EjemploEn referencia a los conjuntos:

NEl conjunto de los nmeros naturalesZEl conjunto de los enterosREl conjunto de los nmeros realesQEl conjunto de los nmeros racionales o fraccionarios

Se tiene:1. 2. 3. 4. 5.


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6. Conjuntos comparables

Definicin

Dos conjuntos A y Bson comparables si o , esto es, si uno de los conjuntos essubconjunto del otro.

Conjunto de conjuntos

Definicin

Cuando los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos. Por ejemplo, el conjunto de

subconjuntos de A. En estos casos se les suele llamar Familia de Conjuntos o Clase de

Conjuntos.

Conjunto potencia

Definicin

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto A se llama conjunto potenciade A. Se nota

por o tambin )(AP .

Ejemplo

Sea baA , entonces babaAP ,,,,)(


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3.1.2 Diagrama de Venn

Un universo U puede representarse geomtricamente por el conjunto de puntos de un

rectngulo. En tal caso los subconjuntos de U (como A y B indicados y sombreados en la figura)

se representan por conjuntos de puntos dentro de los crculos. Tales diagramas denominados

diagramas de Venn, sirven para darnos una intuicin geomtrica respecto a las posibles

relaciones entre conjuntos.

Definicin de Subconjunto PropioDefinicinDiremos que un conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B y lo simbolizaremos

Si todo elemento de A es tambin elemento de B y adems existe un elemento de b que no es

elemento de A.

Subconjunto propio ( )Todos los elementos de A estn en B y al menos un elemento de B no est en A.

El conjunto VacoDefinicinEl conjunto que no tiene ningn elemento se llamar el conjunto vaco.

Y se simbolizar por:

U

B

A

U

A

B


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3.1.3 Operacin con conjuntos

Unin de conjuntosDefinicin

La unin de los conjuntos ay bes el conjunto de todos los elementos que pertenecen a a o a b

o a ambos. Se denota la unin de ay bpor

Se lee A unin B

Ejemplo

Sean y . Entonces

Interseccin de conjuntos


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Definicin

La interseccin de los conjuntosAy Bes el conjunto de los elementos que son comunes aAy B.

esto es, de aquellos elementos que pertenecen a Ay que tambin pertenecen a B. se denota la

interseccin deAy Bpor

Que se lee Ainterseccin B

Ejemplo

Sean y . Entonces


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Diferencia de conjuntos

Tambin se conoce como complemento de B con respecto a A. La diferencia de los conjuntosA

y Bes el conjunto de elementos que pertenecen a A, pero no a B. se denota la diferencia de Ay

Bpor

Que se lee A diferencia B o simplemente A menos B.

Ejemplo

Sean y . Entonces

Complemento

El complemento de un conjuntoA es el conjunto de elementos que no pertenecen a A, es decir,

la diferencia del conjunto universal Uy delA. se denota el complemento deApor:

Tambin se nota con A o con A.


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Ejemplo

Suponiendo que el conjunto universal sea el alfabeto, dado Entonces

Eventos complementarios

Dos eventos son complementarios cuando su unin es igual al espacio muestral, es decir, sean

A y B Dos eventos de un experimento entonces A y B son eventos complementarios.

Ejemplo:

Lanzar un dado.

Sale par: Sale impar: Sale menor que 3: Sale 3 o ms:

E1 y E2 son eventos complementarios y E3 y E4 son tambin eventos complementarios.


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Teorema

Las operaciones con conjuntos sobre subconjuntos de un universo U cumplen las siguientes

leyes algebraicas:

1 Leyes asociativas2 3 Leyes conmutativas4 5 Leyes distributivas6 7 Leyes de absorcin8 9 Leyes de identidad10 11 Leyes de inversas12 13 Leyes De Morgan14

Cardinal de un conjunto finito

Sea A un conjunto que posee nelementos distintos, siendo nun nmero natural. Entonces se

dice que A es un conjunto finitoy tiene como cardinal n. El cardinal de un conjunto A se nota

A o tambin #A.

Principio de inclusinexclusin

Si A y B son dos conjuntos finitos cualesquiera, se tiene BABABA

Ejemplo

Supongamos que en una clase hay 25 estudiantes que han obtenido la mejor nota en

estadstica; 13 con la mejor nota en clculo y 8 con la mejor nota tanto en estadstica como en

clculo. Cuntos estudiantes hay en la clase, si cada alumno obtiene la mejor nota o en

estadstica o en clculo o en ambas?


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Solucin

El diagrama correspondiente sera:

Conjunto A: total de alumnos con la mejor nota en estadstica

Conjunto B: total de alumnos con la mejor nota en clculo.

Conjunto : total alumnos con mejor nota en estadstica y clculoPor consiguiente ser:

Es decir 30 alumnos hay en clase.


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3.1.4 Ejercicios

A) Determine cules de las proposiciones siguientes son falsas y cuales son verdaderas

1.

2.

3.

4. { }

5.

6.

7.

8.

B) En los ejercicios 9-15 escribe cada conjunto listado sus elementos

9.

10.

11. 12.

13.

14.

15.

C) En los ejercicios 16-20 se describe cada conjunto dado con ayuda de una proposicin

16.

17.

18.


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19.

20.

D) Sea , y determine.a) Dibuje un diagrama de Vennb) c) d) e) f)

E) Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos vacios A, B y C de modo que A, B y C

tengan las siguientes caractersticas:

1) 2) 3) 4)

F) Probar las propiedades algebraicas para conjuntos

G) La formula puede definir la diferencia de dos conjuntosmediante las solas operaciones de interseccin y complemento. Encontrar una

formula que defina la unin de dos conjuntos, , mediante estas dosoperaciones de intersecciones y complemento.

H) Se ha investigado una poblacin con los siguientes resultados:

A 816 Personas les gusta el azcar

A 723 personas les gusta el helado

A 645 los pasteles

A 562 el azcar y los helados

A 463 el azcar y los pasteles

A 470 los pasteles y el helado

Existen 310 personas que les gustan las tres cosas

Se trata de conocer por cuantas personas est formada sea poblacin


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3.2 TCNICAS DE CONTEO3.2.1 Elementos Bsicos

Anlisis combinatorio

Los diagramas de rbol muestran objetivamente el nmero de resultados posibles en que se

puede disponer de la ordenacin de un conjunto de elementos, pero esta enumeracin es

limitada, pues a medida que aumenta el nmero de objetos dicha ordenacin se complica, por

lo que hay que utilizar otro procedimiento ms sencillo para determinar el nmero total de

resultados. Con este fin, nos apoyaremos en los conceptos permutaciones y combinaciones, loscuales tienen como base el principio fundamental del conteo.

Principio de conteo

Si un evento puede hacerse de a1 maneras diferentes, y cuando se ha hecho, puede hacerse un

segundo evento (independiente del primero) de a2 modos diferentes y luego un tercer evento

de a3 maneras tambin diferentes, y as sucesivamente, entonces el nmero de maneras

diferentes en que los eventos se pueden realizar, en el orden indicado es de:

EJEMPLO

De cuntos modos podr vestirse un joven que tiene 3 camisas diferentes, 4 pantalones y dos

pares de calzado?

Solucin:

Primer evento (camisas) =3Segundo evento (pantalones) =4Tercer evento (zapatos) =2 =3*4*2=2424 modos diferentes.


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3.2.2 Diagrama de rbol

Un diagrama de rbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles

resultados de un experimento aleatorio. En el clculo de la probabilidad se requiere conocer el

nmero de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la

construccin de un diagrama de rbol.

El diagrama de rbol es una representacin grfica de los posibles resultados del experimento,

el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un nmero finito de

maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Para la construccin de un diagrama en rbol se partir poniendo una rama para cada una de

las posibilidades, acompaada de su probabilidad. Cada una de esta rama se conoce como

rama de primera generacin.

En el final de cada rama de primera generacin se constituye a su vez, un nudo del cual parten

nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generacin, segn las posibilidades del

siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta que la construccin de un rbol no depende de tener el mismo

nmero de ramas de segunda generacin que salen de cada rama de primera generacin y quela suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

Existe un principio sencillo de los diagramas de rbol que hace que stos sean mucho ms tiles

para los clculos rpidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas

adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumna de la primera facultad, o bien las sumamos si se

trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un

alumno.

Ejemplo

El CBTIS 178 est formada por cuatro especialidades:

a) La 1 con el 30% de estudiantes

b) La 2 con el 25% de estudiantes

c) La 3 con el 25% de estudiantes

d) La 4 con el 20% de estudiantes

Las mujeres estn repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada especialidad


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Diagrama de rbol

3.2.3 Principio de la suma y la multiplicacin

Si un evento A puede ocurrir de maneras, y una vez que este ha ocurrido, otro evento Bpuede ocurrir de maneras diferentes, entonces el nmero total de formas diferentes en queambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a .

De cuntas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo

que cada persona no puede obtener ms de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el

primer premio. Una vez que ste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo,

y posteriormente quedarn 8 personas para el tercer premio. De ah que el nmero de manerasdistintas de repartir los tres premios.

especialidades

tcnicos en

alimentos

mujer

hombre

tcnicos enconstruccin

mujer

hombre

tcnicos en

contabilidad

mujer

hombre

tcnicos en

informatica

mujer

hombre


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Ejemplo

Cuntas placas de automvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras?

No se admiten repeticiones.

El smbolo !se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n;

es decir, sea nun nmero entero positivo, el producto sellama factorial de n.

Por definicin

3.2.4 Permutacin y Combinacin

Permutaciones

Una permutacin de un conjunto de elementos, es un ordenamiento especfico de todos o

algunos elementos del conjunto, facilita el recuento de las ordenaciones diferentes que pueden

hacerse con los elementos del conjunto.

Nota: En una permutacin el orden en que se disponen los elementos del conjunto es

importante.

Permutaciones de nelementos

Por el principio fundamental del conteo podemos enunciar que el nmero de permutaciones de

n objetos distintos tomados de n en n, es:


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Ejemplo

Se quiere conocer el conjunto de todas las disposiciones posibles de tres personas colocadas

en hilera para tomar una fotografa.

Ejemplo

Cinco personas desean nombrar un Comit Directivo compuesto de un presidente, un

vicepresidente, un secretario, un tesorero y un vocal. Cuntas maneras hay de constituir el

comit?

Ejemplo

Hay seis banderas de distintos colores. Cuntas seales diferentes se pueden enviar usando

las seis banderas al mismo tiempo?

Permutaciones de nelementos en diferentes grupos de relementos.

Podemos calcular el nmero de permutaciones , de elementos, tomados en grupos osubconjuntos de elementos.

Ejemplo

Si de un estante tomamos 2 de 3 libros Cuntas permutaciones pueden realizarse?


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Ejemplo

Cuntas ternas pueden formarse con las 26 letras del alfabeto, si cada letra slo puede

utilizarse una sola vez?

Ejemplo

Cinco personas entran a una sala en la que hay 8 sillas. De cuntas maneras diferentes

pueden ocupar las sillas?

Permutaciones donde no todos los elementos son diferentes.

Si los elementos de un conjunto no son todos diferentes entre s, es decir, algunos de los

elementos son idnticos, la frmula de las permutaciones presenta un nuevo aspecto.

El nmero de permutaciones que se pueden formar en el caso de elementos, cuando hay elementos idnticos, elementos de otro tipo idnticos, etctera, es:

EJERMPLO

Cuntas palabras diferentes de cuatro letras pueden formarse con las letras LALO?


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Ejemplo

Cuntos mensajes pueden enviarse con diez banderas utilizndolas todas, si son cuatro

negras, tres verdes y tres rojas?

Permutaciones circulares

Cuando los elementos se encuentran dispuestos en forma circular tenemos:

Ejemplo

De cuntas maneras podemos ordenar 5 llaves en un llavero?

COMBINACIONES

Ya sabemos que en una permutacin el orden de los elementos es importante, pero cuando el

orden de colocacin carece de importancia, a la disposicin de dichos elementos se le

denomina combinacin.

Por lo tanto, una combinacin es un subconjunto o una disposicin de todos los elementos de

un conjunto, sin tener en cuenta el orden de ellos.

El nmero de combinaciones o subconjuntos no ordenados, cada uno formado por elementos, que pueden obtenerse de un conjunto de elemento es:

Ejemplo

Si de un estante tomamos 2 de 3 libros, Cuntas combinaciones pueden realizarse?


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Por lo tanto, el resultado se reduce a 3 posibles formas ya que en una combinacin el orden de

los elementos no es importante.

Ejemplo

Se tienen cinco obreros para un trabajo especial que requiere de tres de ellos. De cuntasmaneras diferentes se puede seleccionar un equipo de tres?

Ejemplo

De un club de 20 socios, se van a seleccionar 3 para formar la mesa directiva. De cuntas

formas puede constituirse?


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3.3 PROBABILIDAD PARA EVENTOS

Definiciones

Probabilidad: es la posibilidad numrica de ocurra un evento. Se mide con valores

comprendidos entre 0 y 1, entre mayor sea la probabilidad, ms se acercar a uno.

Experimento: es toda accin bien definida que conlleva a un resultado nico bien definido

como el lanzamiento de un dado. Es el proceso que produce un evento.

Espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados posibles.

Para un dado es:

Definicin Clsica de Probabilidad. Modelo de frecuencia relativa

La probabilidad de un evento (E), puede ser calculada mediante la relacin de el nmero

de respuestas en favor de E, y el nmero total de resultados posibles en un experimento.

Ejemplo

La probabilidad de que salga 2 al lanzar un dado es:16.

6

1

Ejemplo

La probabilidad de lanzar una moneda y que caiga cara es:5.

2

1

Ejemplo

La probabilidad de sacar 1, 2, 3, 4, 5 o 6 al lanzar un dado es:

16

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1


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La probabilidad de un evento est comprendida siempre entre 0 y 1. La suma de lasprobabilidades de todos los eventos posibles (E) en un espacio muestral S= 1

Un espacio muestral (S): Es el conjunto Universal; conjunto de todos los n elementosrelacionados = Nmero Total de resultados posibles.

Definicin axiomtica

Definicin

Para cualquier espacio muestral finito , la probabilidad del evento Ees un nmero tal que cumplen los siguientes axiomas de probabilidad.

1) la probabilidad no puede ser negativa2) , la probabilidad del espacio muestral es uno3) Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces:

Dos sucesos son disjuntos si y slo si la probabilidad de su unin es la suma de sus

probabilidades.

De los tres axiomas, se deducen casi inmediatamente cinco consecuencias:

1) La probabilidad tampoco puede ser mayor que uno

2) () Las probabilidades de dos sucesos complementarios suman uno

3) La probabilidad de un suceso imposible es cero

4)

Si un suceso est incluido en otro, su probabilidad es a lo sumo la de ste

5) La probabilidad de la unin de dos sucesos es la suma de sus probabilidades menos la

probabilidad de la interseccin.

6) La probabilidad de la unin de tres sucesos es:

Las probabilidades individuales

Menos las probabilidades de las intersecciones tomadas de a 2

Ms la probabilidad de la interseccin tomada de a 3"

Probabilidad compuesta


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Es la probabilidad compuesta por dos eventos simples relacionados entre s.

En la composicin existen dos posibilidades: Unin o Interseccin .

Unin de A y B

Si A y B son eventos en un espacio muestral (S), la unin de A y B contiene todos loselementos de el evento A o B o ambos.

Interseccin de A y B

Si A y B son eventos en un espacio muestral S, la interseccin de A y B estcompuesta por todos los elementos que se encuentran en A y B.

Relaciones entre eventos

Existen tres tipos de relaciones para encontrar la probabilidad de un evento: complementarios,

condicionales y mutuamente excluyentes.

Eventos complementarios

El complemento de un evento A son todos los elementos en un espacio muestral (S) que no se

encuentran en A. El complemento de A es:

Ejemplo

En el evento A (da nublado), P(A) = 0.3, la probabilidad de tener un da despejado ser:

3.3.1 Probabilidad condicional

Para que se lleve a cabo un evento A se debe haber realizado el evento B. La probabilidad

condicional de un evento A dado que ha ocurrido el evento B es:

Si EJEMPLO


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P(A/B)=.67

A

B

A B

Si el evento A (lluvia) = 0.2 y el evento B (nublado) = 0.3, Cul es la probabilidad de que

llueva en un da nublado? Nota: no puede llover si no hay nubes

3.3.2 Eventos independientes

Se dice que dos eventos A y B son independientessi:

.

La probabilidad de la ocurrencia de uno no est afectada por la ocurrencia del otro. De otra

manera los eventos son dependientes.

Ejemplo

De evento independiente es: Cul es la probabilidad de que llueva en lunes?

El ejemplo de evento dependiente es el ejemplo anterior.

Eventos mutuamente excluyentes.

Cuando un evento A no contiene elementos en comn con un evento B, se dice que estos son

mutuamente excluyentes.

El evento A y B son mutuamente excluyentes

Ejemplo


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Al lanzar un dado:

a) Cul es la probabilidad de que salga 2 o 3?

b) Calcule Solucin

a)

b) , ya que al ser conjuntos mutuamente excluyentes la interseccin no existe, esimposible que salga 2 y 3 al mismo tiempo.

Ley aditiva:

Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes:

Cuando los eventos son mutuamente excluyentes:

Ley multiplicativa:

Si los eventos A y B son dependientes:

Si los eventos A y B son independientes:

Ejemplo


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Se selecciona una muestra aleatoria n= 2 de un lote de 100 unidades, se sabe que 98 de los

100 artculos estn en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer

artculo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artculo (con reemplazo), a)

calcule la probabilidad de que ambos artculos estn en buen estado, b) si la muestra se toma

sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos artculos estn en buen estado.

A: El primer artculo est en buen estado.B: El segundo artculo est en buen estado.

a) Al ser eventos independientes el primero del segundo:

b) Si la muestra se toma sin reemplazo de modo que el primer artculo no se regresa antes de

seleccionar el segundo entonces:

Se observa que los eventos son dependientes ya que para que para obtener el evento B, se

tiene que haber cumplido antes el evento A.

3.3.3 Teorema de Bayes

P(B) =.98P(A) =.98

A B

P(B/A)=.97B

A

P(A) =.98


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Mediante el teorema de Bayes podemos calcular la probabilidad de que ocurra un determinado

evento, cuando no tenemos datos inmediatos del mismo mediante la informacin que tenemos

de otros eventos.

Cuando existen dos eventos posibles A y B, la probabilidad de que ocurra Z se describe

mediante el teorema de probabilidad totalel cual es: [ ] [ ]

Mediante el teorema anterior se deduce el teorema de Bayes:

[ ] [ ]

Ejemplo

En cierta universidad 20% de los hombres y 1% de las mujeres miden ms de 1.80m de altura.

Asimismo 40% de los estudiantes son mujeres. Si se selecciona un estudiante al azar y se

observa que mide ms de 1.80m Cul es la probabilidad de que sea mujer?

Z > 1.80 m

A = Hombre

B = Mujer

P (A) = .60

P (B) = .40

P (Z/A) = .20

P (Z/B) = .01

Para encontrar la probabilidad de que sea mujer dado que mide ms de 1.80,

Utilizando el teorema de Bayes:

[ ] [ ]

HOMBRE MUJER

< 1.80

> 1.80

.80

.20

.99

.01

= Z

HOMBRE MUJER

< 1.80

> 1.80

.80

.20

.99

.01

= Z


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Podemos visualizar en el siguiente diagrama:

Por lo tanto la probabilidad de que sea mujer dado que mide ms de 1.80 es 0.032 3.2 %

3.3.4 Selecciones al azar, con o sin reemplazo

Eleccin con reemplazo

Es aquel en que un elemento puede ser seleccionado ms de una vez en la muestra para ello

se extrae un elemento de la poblacin se observa y se devuelve a la poblacin, por lo que de

esta forma se pueden hacer infinitas extracciones de la poblacin aun siendo esta finita.

Eleccin sin reemplazo

No se devuelve los elementos extrados a la poblacin hasta que no se hallan extrados todos

los elementos de la poblacin que conforman la muestra.

Z > .80

Hombre Mujer

P(B/Z) = .032P(A/Z)Z > .80

Hombre Mujer

P(B/Z) = .032P(A/Z)

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